【2014)直角三角形(含解析)
中考一轮复习直角三角形和勾股定理复习课件
题型一 直角三角形的性
质与判定
题型分类·深度剖析
(2)证明：∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°，
∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA＝180°，
∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°，
∴∠NEC＝90°＋45°＝135°.
∵A、B、E三点在同一直线上，
那么 a2+b2=c2
若D为斜边AB的中点呢？
C
B 直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半.
若∠A=30°呢？
直角三角形中，30°角所对的 直角边等于斜边的一半.
基础过关
1．已知菱形的对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长为 A．10cm
( C) B．8cm
C. 5cm
D. 14cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝
6cm，点D为AB的中点，则CD5 ＝______cm,高4C.8E=
cm.
E
面积转化 的思想
基础过关
3. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的纸带 边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与 纸带的一边成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 (D )
A．3 cm C．3 2 cm
在△MAN 和△EAN 中， A∠MM＝ANAE＝，∠EAN， AN＝AN，
∴△MAN≌△EAN(SAS)，∴MN＝EN.
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2，
∴MN2＝BM2＋NC2，∵BM＝1，CN＝3，∴MN＝ 12＋32＝ 10. 2＋NC2，∵BM＝1，CN＝3，∴MN＝ 12＋32＝ 10.
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
【名校名卷取精 命题探究】2014年数学中考抢分训练之“小题狂做”：直角三角形的边角关系(含解析)
3. A解析：∠ACB是网格中两条直角边长分别为2和6的直角三角形的一个内角，根据正切的定义，可得tan∠ACB＝＝.故选A.
4. C解析：在Rt△ABO中，OC∥BA，∠AOC＝36°，∴∠BAO＝36°，∠OBA＝54°，
如图，作BE⊥OC，BO＝sin∠BAO·AB＝sin36°·AB，而BE＝sin∠BOE·OB，∵AB＝1，∴BE＝sin 36°sin54°，即点A到OC的距离为sin36°sin54°，故选C.
∴CD≈2÷0.75≈2.7.
10. 12解析：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，设AE＝5a(a＞0)，则BE＝12a，又(5a)2＋(12a)2＝132，所以a＝1，所以BE＝12 m.
11. 240解析：根据题意构造三角形，
如图所示，在Rt△BDC中，AD＝60 cm，BD＝60 cm，∠D＝90°，设计斜坡的坡度i＝1∶5，
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
7.计算：tan45°＋cos45°＝________．
8.tan60°＝________．
9.如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为______cm(结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
直角三角形的边角关系
一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
1．sin60°的相反数是()
A．－B．－C．－D．－
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sinB的值为()
24.数学 第21讲 直角三角形
第21讲 直角三角形1. (2014，河北)如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 不等于(A )第1题图A. 2B.3C. 4D. 5【解析】 如答图．将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n 可以为3，4，5，故n ≠2.第1题答图2. (2012，河北)如图，AB ，CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C .若∠BOD ＝38°，则∠A ＝ 52°.第2题图【解析】∵∠BOD ＝38°，∴∠AOC ＝38°.∵AC ⊥CD ，∴∠A ＝90°－∠AOC ＝ 90°－38°＝52°.直角三角形的判定例1 (2019，滨州)满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为(C ) A. AB ＝41，BC ＝4，AC ＝5 B. AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5C. ∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5D. ⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎫tan B －332＝0 【解析】 ∵52＋42＝25＋16＝41＝(41)2，∴△ABC 是直角三角形．选项A 不符合题意．∵(3x)2＋(4x)2＝9x 2＋16x 2＝25x 2＝(5x)2，∴△ABC 是直角三角形．选项B 不符合题意．∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，∴∠C ＝53＋4＋5×180°＝75°≠90°.∴△ABC 不是直角三角形．选项C 符合题意．∵⎪⎪⎪⎪cos A －12＋⎝⎛⎭⎫tan B －332＝0，∴cos A ＝12，tan B ＝33.∴∠A ＝60°，∠B ＝30°.∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．选项D 不符合题意．针对训练1 (2019，三明一模)如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于点M .若CM ＝5，则CE 2＋CF 2＝ 100 .训练1题图【解析】 ∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ACE ＝12∠ACB ，∠ACF ＝12∠ACD ，即∠ECF ＝12(∠ACB ＋∠ACD)＝90°.∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，∴∠ECB ＝∠MEC ＝∠ECM ，∠DCF ＝∠CFM ＝∠MCF.∴EM ＝MC ，MF ＝MC.∴EM ＝MF ＝CM ＝5.∴EF ＝10.由勾股定理，可知CE 2＋CF 2＝EF 2＝100.针对训练2一个三角形的周长为38，第一条边长为a ，第二条边长比第一条边长的2倍多3.(1)用含a 的式子表示第三条边长；(2)若这个三角形为等腰三角形，求a 的值；(3)若a 为正整数，则此三角形能否为直角三角形？说明理由． 解：(1)由题意，得第二条边长为2a ＋3. 所以第三条边长为38－a －(2a ＋3)＝35－3a .(2)由三边关系，可知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋（2a ＋3）＞35－3a ，a ＋（35－3a ）＞2a ＋3.解得513＜a ＜8.∵a ≠2a ＋3， ∴分两种情况．①a ＝35－3a ，解得a ＝834.不符合三边关系，舍去．②2a ＋3＝35－3a ，解得a ＝625.符合三边关系．∴a ＝625.(3)此三角形不能为直角三角形．理由：∵513＜a ＜8，且a 为正整数，∴a ＝6或7.当a ＝6时，三边长为6，15，17，62＋152≠172，不是直角三角形． 当a ＝7时，三边长为7，17，14，72＋142≠172，不是直角三角形． 综上可知，此三角形不能为直角三角形．直角三角形的性质例2 (2019，安徽模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D 是BC 边的中点，P 是边AB 上的动点．若要使△BPD 为直角三角形，则BP ＝（165或5 ）.例2题图【解析】 在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB ＝62＋82＝10.∵D 是BC 的中点，∴CD ＝BD ＝4.分两种情形：①当∠DPB ＝90°时，△DPB ∽△ACB ，∴BP BC ＝BDAB.∴BP 8＝410.∴BP ＝165.②当∠PDB ＝90°时，易证DP ∥AC.∵CD ＝DB ，∴AP ＝PB ＝5.综上所述，满足条件的PB 的值为165或5.针对训练3 (2019，上海)如图，已知直线l 1∥l 2，含30°角的三角板的直角顶点C 在l 1上，30°角的顶点A 在l 2上．如果边AB 与l 1的交点D 是AB 的中点，那么∠1＝120°.训练3题图【解析】 如答图．∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC.∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°.∴∠2＝∠DCA ＋∠DAC ＝60°.∵l 1∥l 2，∴∠1＋∠2＝180°.∴∠1＝180°－60°＝120°.训练3答图一、 选择题1. (2019，深圳福田区模拟)下列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是(C )A. 两边之和大于第三边B. 内角和等于180°C. 两个锐角的和等于90°D. 有一个角的平分线垂直于这个角的对边【解析】 任意一个三角形两边之和都大于第三边，选项A 不符合题意．任意一个三角形的内角和都等于180°，选项B 不符合题意．只有直角三角形才有两个锐角的和等于90°，选项C 符合题意．等腰三角形顶角的平分线垂直于顶角的对边，而除等腰直角三角形外其他直角三角形没有任何一个角的平分线垂直于这个角的对边，选项D 不符合题意． 2. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是边BC 的中点，AD ＝ED ＝3，则BC 的长为(D )第2题图A. 32B. 3 3C. 6D. 62【解析】 ∵AD ＝ED ＝3，AD ⊥BC ，∴△ADE 为等腰直角三角形．根据勾股定理，得AE ＝32＋32＝3 2.∵在Rt △ABC 中，E 为BC 的中点，∴AE ＝12BC.∴BC ＝2AE ＝6 2.3. (2019，益阳)已知M ，N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是(B )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【解析】 如答图，AC ＝AN ＝4，BC ＝BM ＝3，AB ＝2＋2＋1＝5，∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形．第3题答图4. (2019，成都)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起．若∠1＝30°，则∠2的度数为(B )第4题图A. 10°B. 15°C. 20°D. 30°【解析】 如答图．∵AB ∥CD ，∴∠ADC ＝∠1＝30°.∵△ADE 是等腰直角三角形，∴∠ADE ＝45°.∴∠2＝45°－30°＝15°.第4题答图5. (2019，宁波)已知直线m ∥n ，将一块含45°角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D .若∠1＝25°，则∠2的度数为(C )第5题图A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【解析】 如答图，设AB 与直线n 相交于点E ，则∠AED ＝∠1＋∠B ＝25°＋45°＝70°.∵直线m ∥n ，∴∠2＝∠AED ＝70°.第5题答图6. (2019，张家口一模)如图，长为8 cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3 cm 至点D ，则橡皮筋被拉长了(A )第6题图A. 2 cmB. 3 cmC. 4 cmD. 5 cm【解析】 ∵C 为AB 的中点，∴AC ＝12AB ＝4 cm ，AD ＝BD.根据题意，得DC ⊥AB ，CD ＝3 cm .在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AD ＝AC 2＋CD 2＝5(cm )．∴AD ＋BD －AB＝2AD －AB ＝10－8＝2(cm )．故橡皮筋被拉长了2 cm .7. (2019，宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大的正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)第7题图A. 直角三角形的面积B. 最大正方形的面积C. 较小两个正方形重叠部分的面积D. 最大正方形与直角三角形的面积和【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a.由勾股定理，得c2＝a2＋b2.阴影部分的面积为c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c)，较小两个正方形重叠部分的长为a，宽为a＋b－c，则较小两个正方形重叠部分的面积为a(a＋b－c)．∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．8. (2019，河南)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3，分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若O是AC的中点，则CD的长为(A)第8题图A. 2 2B. 4C. 3D. 10【解析】如答图，连接FC，则AF＝FC.∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO.∵O是AC的中点，∴OA＝OC.∵∠AOF＝∠COB，∴△FOA≌△BOC(ASA)．∴AF＝BC＝3.∴FC＝AF＝3，FD＝AD－AF＝4－3＝1.在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2＋DF2＝FC2.∴CD2＋12＝32.∴CD＝2 2.第8题答图9.(2019，黄石)如图，在△ABC 中，∠B ＝50°，CD ⊥AB 于点D ，∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点E ，F 为边AC 的中点，CD ＝CF ，则∠ACD ＋∠CED 等于(C )第9题图A. 125°B. 145°C. 175°D. 190°【解析】 如答图，连接DF.∵CD ⊥AB ，F 为边AC 的中点，∴DF ＝12AC ＝CF.∵CD ＝CF ，∴CD ＝CF ＝DF.∴△CDF 是等边三角形．∴∠ACD ＝60°.∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°.∵∠BCD 和∠BDC 的平分线相交于点E ，∴∠DCE ＋∠CDE ＝65°.∴∠CED ＝115°.∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.第9题答图二、 填空题10. (2019，黔东南州)如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上．如果EB ＝1，EC ＝2，那么正方形ABCD 的面积为 3 .第10题图【解析】 由勾股定理，得BC ＝EC 2－EB 2＝ 3.∴正方形ABCD 的面积为BC 2＝3.11. (2019，东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是（ 6＋43 ）.【解析】 如答图，过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC.在Rt △ABD 中，∠B ＝30°，∴AD ＝12AB ＝ 3.由勾股定理，得BD ＝AB 2－AD 2＝3，∴BC ＝2BD ＝6.∴△ABC的周长为6＋23＋23＝6＋4 3.第11题答图12. (2019，南京)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 5 cm.第12题图【解析】 由题意，可得杯子内细木筷的长度最长为122＋92＝15，则木筷露在杯子外面的部分至少有20－15＝5(cm )．13. (2019，北京)如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB ＋∠PBA ＝ 45 °.(点A ，B ，P 是网格线的交点)第13题图【解析】 如答图，延长AP 交格点于D ，连接BD ，则PD 2＝BD 2＝12＋22＝5，PB 2＝12＋32＝10，∴PD 2＋DB 2＝PB 2.∴∠PDB ＝90°.∴∠DPB ＝∠PAB ＋∠PBA ＝45°.第13题答图14. (2019，枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝（ 6－2 ）.第14题图【解析】 如答图，过点A 作AF ⊥BC 于点F.在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC ＝2AB ＝22，BF ＝AF ＝FC ＝22AB ＝ 2.∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝2 2.在Rt △ADF 中，根据勾股定理，得DF ＝AD 2－AF 2＝ 6.∴CD ＝DF －FC ＝6－ 2.第14题答图15. (2019，鄂州)如图，已知线段AB＝4，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝60°，P是直线l上一点，当△APB为直角三角形时，则BP＝（2或23或27 ）.第15题图【解析】如答图．∵AO＝OB＝2，∠1＝60°，∴当BP1＝2时，∠AP1B＝90°.当∠P2BA ＝90°时，∵∠1＝60°，∴BP2＝OB·tan∠1＝2 3.当∠P3AB＝90°时，∵∠AOP3＝60°，∴AP3＝OA·tan∠AOP3＝2 3.∴BP3＝AB2＋AP23＝27.综上所述，当△APB为直角三角形时，BP的长是2或23或27.第15题答图三、解答题16. (2019，大庆)如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离；(结果精确到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(2)确定C港在A港的什么方向．第16题图解：(1)由题意，可得∠PBC ＝30°，∠MAB ＝60°. ∴∠CBQ ＝60°，∠BAN ＝30°. ∴∠ABQ ＝30°. ∴∠ABC ＝90°. ∵AB ＝BC ＝10 km ，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝102≈14.1(km)． 答：A ，C 两港之间的距离约为14.1 km. (2)由(1)知，△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝45°.∴∠CAM ＝60°－45°＝15°.∴C 港在A 港北偏东15°的方向上．17. (2019，呼和浩特)如图，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝6，b ＝8，c ＝12，请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系； (2)求证：△ABC 的内角和等于180°；(3)若aa －b ＋c＝12（a ＋b ＋c ）c ，求证：△ABC 是直角三角形．第17题图(1)解：∠A ＋∠B ＜∠C .(2)证明：如答图，过点B 作MN ∥AC . ∵MN ∥AC ，∴∠MBA ＝∠A ，∠NBC ＝∠C .∵∠MBA ＋∠ABC ＋∠NBC ＝180°， ∴∠A ＋∠ABC ＋∠C ＝180°. 即△ABC 的内角和等于180°. (3)证明：∵aa －b ＋c ＝12（a ＋b ＋c ）c ，∴ac ＝12(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝12[(a ＋c )2－b 2]．∴2ac ＝a 2＋2ac ＋c 2－b 2. ∴a 2＋c 2＝b 2.∴△ABC 是直角三角形．第17题答图1. (2019，绵阳)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5，CD ＝AD ＝3，E 是线段CD 的三等分点，且靠近点C ，∠FEG 的两边与线段AB 分别相交于点F ，G ，连接AC 分别交EF ，EG 于点H ，K .若BG ＝32，∠FEG ＝45°，则HK 的长是(B )第1题图A.223 B. 526 C. 322 D. 1326【解析】 ∵∠ADC ＝90°，CD ＝AD ＝3，E 是CD 的三等分点，∴AC ＝32，CE ＝1，DE ＝2.∵AB ＝5，BG ＝32，∴AG ＝72.∵AB ∥DC ，∴△CEK ∽△AGK.∴CE AG ＝CK AK ＝EK KG .∴172＝CK AK ＝EKKG.∴CK AK ＝EK KG ＝27.∵CK ＋AK ＝32，∴CK ＝223.如答图，过点E 作EM ⊥AB 于点M ，则四边形ADEM 是矩形．∴EM ＝AD ＝3，AM ＝DE ＝2，∴MG ＝32.∴EG ＝EM 2＋MG 2＝352.∵EKKG＝27，∴EK ＝53.∵∠HEK ＝∠KCE ＝45°，∠EHK ＝∠CHE ，∴△HEK ∽△HCE.∴HC HE ＝HE HK ＝CE EK＝153＝35.∴设HE ＝3x ，HK ＝5x.∴5x ＋2233x ＝35.解得x ＝106.∴HK ＝526.第1题答图2. (2019，齐齐哈尔)在等腰三角形ABC 中，BD ⊥AC ，垂足为D ，且BD ＝12AC ，则等腰三角形ABC 底角的度数为 15°或45°或75°.【解析】 本题分三种情况．①如答图①，当点B 是顶角顶点时，∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴AD ＝CD.∵BD ＝12AC ，∴BD ＝AD ＝CD.在Rt △ABD 中，∠A ＝∠ABD ＝12×(180°－90°)＝45°.②如答图②，当点B 是底角顶点，且BD 在△ABC 外部时，∵BD ＝12AC ，AC ＝BC ，∴BD ＝12BC.∴∠BCD ＝30°.∴∠ABC ＝∠BAC ＝12×30°＝15°.③如答图③，当点B 是底角顶点，且BD 在△ABC 内部时，∵BD ＝12AC ，AC ＝BC ，∴BD ＝12BC.∴∠C ＝30°.∴∠ABC ＝∠BAC ＝12×(180°－30°)＝75°.综上所述，等腰三角形ABC 底角的度数为15°或45°或75°.第2题答图3. (2019，湖州南浔区二模)【尝试探究】如图①，等腰直角三角形ABC 的两个顶点B ，C 在直线MN 上，D 是直线MN 上一个动点(点D 在点C 的右边)，BC ＝3，BD ＝m ，在△ABC 同侧作等腰直角三角形△ADE ，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，EF ⊥MN 于点F ，连接CE .(1)求DF 的长；(2)在判断AC ⊥CE 是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题． 思路一：先证CF ＝EF ，求出∠ECF ＝45°，从而证得结论成立．思路二：先求DF ，EF 的长，再求CF 的长，然后证AC 2＋CE 2＝AE 2，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程． 【拓展探究】(3)如图②，将图①中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为30°的直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，∠BAC ＝∠DAE ＝30°，BC ＝3，BD ＝m .判断AC ⊥CE 是否成立，并说明理由．第3题图(1)解：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°， ∴AB ＝BC ，AD ＝DE ，∠ADB ＋∠EDF ＝90°. ∵EF ⊥MN ，∴∠DEF ＋∠EDF ＝90°. ∴∠ADB ＝∠DEF .在△ABD 和△DFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ADB ＝∠DEF ，∠ABD ＝∠DFE ＝90°，AD ＝DE ，∴△ABD ≌△DFE (AAS)．∴DF＝AB＝BC＝3.(2)证明：思路一：由(1)，得△ABD≌△DFE，∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m.∴CF＝CD＋DF＝CD＋BC＝BD＝m.∴CF＝EF.∵EF⊥MN，∴∠ECF＝45°.∵∠ACB＝45°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.思路二：由(1)，得△ABD≌△DFE，DE＝AD.∴DF＝AB＝BC＝3，EF＝BD＝m.∴CF＝CD＋DF＝CD＋BC＝BD＝m.由勾股定理，得DE2＝DF2＋EF2＝32＋m2＝9＋m2.∴AE2＝2DE2＝2(9＋m2)．∵AC2＝32＋32＝18，CE2＝CF2＋EF2＝2m2，∴AC2＋CE2＝AE2.∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.(3)解：AC⊥CE成立．理由：如答图，过点E作EF⊥MN. ∴∠DEF＋∠EDF＝90°.∵∠ADE＝90°，∴∠ADB＋∠EDF＝90°.∴∠ADB＝∠DEF.∵∠ABC＝∠EFD＝90°，∴△ABD∽△DFE.∴EFBD＝DFAB＝DEAD＝tan∠DAE＝tan 30°＝33.∴EF＝3m 3.∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝3 3.∴DF＝33AB＝3.∴DF＝BC.∴CF＝CD＋DF＝CD＋BC＝BD＝m.∴在Rt△CEF中，tan∠ECF＝EFCF＝3 3.∴∠ECF＝30°.∵∠ACB＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°，∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.第3题答图。
高三数学 黄金考点汇编14 解三角形 理(含解析)
考点14 解三角形（理）【考点分类】热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长1.【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba.2.【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1， ，则AC=( )3.【2014四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos 670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈，1.73≈）4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）】在ABC ∆中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =（ ） （A ）15（B ）59（C（D ）1【答案】B【解析】由正弦定理，得15sin 53sin 39b AB a⨯===，选B. 5.【2013年普通高等学校统一考试天津卷】在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）】在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于（ ） A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【答案】D【解析】因为2sin a B =，所以sin B b =sin A =，所以3A π=. 8.【2013年普通高等学校招生全国统一考试福建卷】如图，在ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥,23,322sin ==∠AB BAC , 3=AD , 则BD 的长为__ ___ . 9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）】已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）. 【答案】1arccos3π- 【解析】2222222323303a ab b c c a b ab ++-=⇒=++，故11cos ,arccos 33C C π=-=-． 10.【2013年普通高等学校招生全国统一考试数学浙江】ABC ∆中，090=∠C ,M 是BC 的中点，若31sin =∠BAM ，则=∠BAC sin ________.11.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国】设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，()()a b c a b c ac ++-+=. （Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若sin sin A C =，求C.12.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）】在△ABC 中，a =3，b ，∠B =2∠A . (I)求cos A 的值， (II)求c 的值.[答案]⑴由正弦定理，sin sin a bA B=,因为a =3，b ，∠B =2∠A ,所以3sin A ==，解得cos A =.13.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos cos sin()sin cos()2A BB A B B AC ---++ 35=-.（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影.（Ⅱ）由3cos 5A =-，0A π<<，得4sin 5A =，由正弦定理，有sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a == 由题知a b >，则A B >，故4B π=．根据余弦定理，有2223525()5c c =+-⨯⨯-， 解得1c =或7c =-（舍去）.故向量BA 在BC 方向上的投影为||cos BA B =……………………12分 14.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min ，在甲出发2 min 后，乙从A乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长1260 m ，经测量，12cos 13A =，3cos 5C =. （1）求索道AB 的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？15.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）】设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且6,2a c b +==，7cos 9B =. （Ⅰ）求,a c 的值； （Ⅱ）求()sin A B -的值.16.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (cos )cos 0.C A A B += （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=，求b 的取值范围.ABCP17.【2013年全国高考新课标（I ）】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.【方法规律】(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．（3）已知三边，解三角形，利用余弦定理； （4）已知两边与夹角解三角形，利用余弦定理；【解题技巧】在处理解三角形过程中，要注意“整体思想”的运用，可起到事半功倍的效果。
三角形的形状判断(含解析)
【考点训练】三角形的形状判断-2(扫描二维码可查看试题解析)一、选择题（共20小题）1．（2014•静安区校级模拟）若，则△ABC为（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能判断2．（2014秋•郑州期末）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形3．（2014秋•祁县校级期末）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰三角形4．（2014•天津学业考试）在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形5．（2014春•禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A ．直角三角形B．等腰直角三角形C ．等腰三角形D．等腰或直角三角形6．（2014•南康市校级模拟）已知△ABC满足，则△ABC是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形7．（2014•马鞍山二模）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A ．等边三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形8．（2014•蓟县校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A ．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形9．（2014•黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（）A ．三边均不相等的三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．等边三角形10．（2014•奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定11．（2015•温江区校级模拟）已知向量，则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形12．（2014秋•景洪市校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC的形状为（）A ．等边三角形B．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D．直角三角形13．（2014•咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A ．直角三角形B．等边三角形C ．非等边锐角三角形D．钝角三角形14．（2014•奎文区校级模拟）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形15．（2014秋•正定县校级期末）在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（）A锐角三角形B直角三角形．．C ．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形16．（2014•漳州四模）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．锐角三角形C ．等边三角形D．等腰直角三角形17．（2014•云南模拟）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定18．（2013秋•金台区校级期末）双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形19．（2014•红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分又不必要条件20．（2014秋•德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）21．（2014春•沭阳县期中）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为．22．（2014秋•思明区校级期中）在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是．23．（2013•文峰区校级一模）已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于．24．（2013春•广陵区校级期中）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是三角形．25．（2014秋•潞西市校级期末）在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为．26．（2014春•常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是．27．（2014春•石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．28．（2013春•遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为三角形．29．（2013秋•沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）30．（2014春•宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为三角形．【考点训练】三角形的形状判断-2参考答案与试题解析一、选择题（共20小题）1．（2014•静安区校级模拟）若，则△ABC为（）A ．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能判断考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用平方差公式，由，推出AB=AC，即可得出△ABC为等腰三角形．解答：解：由，得：，∴故AB=AC，△ABC为等腰三角形，故选A．点评：本小题主要考查向量的数量积、向量的模、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．2．（2014秋•郑州期末）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC （）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．解答：解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣∵C是三角形内角，得C∈（0，π），∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角因此，△ABC是钝角三角形故选：C点评：本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．3．（2014秋•祁县校级期末）A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=，则这个三角形的形状为（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：将已知式平方并利用sin2A+cos2A=1，算出sinAcosA=﹣＜0，结合A∈（0，π）得到A为钝角，由此可得△ABC是钝角三角形．解答：解：∵sinA+cosA=，∴两边平方得（sinA+cosA）2=，即sin2A+2sinAcosA+cos2A=，∵sin2A+cos2A=1，∴1+2sinAcosA=，解得sinAcosA=（﹣1）=﹣＜0，∵A∈（0，π）且sinAcosA＜0，∴A∈（，π），可得△ABC是钝角三角形故选：B点评：本题给出三角形的内角A的正弦、余弦的和，判断三角形的形状．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角形的形状判断等知识，属于基础题．4．（2014•天津学业考试）在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，则这个三角形的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：对不等式变形，利用两角和的余弦函数，求出A+B的范围，即可判断三角形的形状．解答：解：因为在△ABC中，sinA•sinB＜cosA•cosB，所以cos（A+B）＞0，所以A+B∈（0，），C＞，所以三角形是钝角三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状的判定，两角和的余弦函数的应用，注意角的范围是解题的关键．5．（2014春•禅城区期末）已知：在△ABC中，，则此三角形为（）A ．直角三角形B．等腰直角三角形C ．等腰三角形D．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由条件可得sinCcosB=cosCsinB，故sin（C﹣B）=0，再由﹣π＜C﹣B＜π，可得C﹣B=0，从而得到此三角形为等腰三角形．解答：解：在△ABC中，，则ccosB=bcosC，由正弦定理可得sinCcosB=cosCsinB，∴sin（C﹣B）=0，又﹣π＜C﹣B＜π，∴C﹣B=0，故此三角形为等腰三角形，故选C．点评：本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，得到sin（C﹣B）=0及﹣π＜C﹣B＜π，是解题的关键．6．（2014•南康市校级模拟）已知△ABC满足，则△ABC 是（）A ．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据向量的加减运算法则，将已知化简得=+•，得•=0．结合向量数量积的运算性质，可得CA⊥CB，得△ABC是直角三角形．解答：解：∵△ABC中，，∴=（﹣）+•=•+•即=+•，得•=0∴⊥即CA⊥CB，可得△ABC是直角三角形故选：C点评：本题给出三角形ABC中的向量等式，判断三角形的形状，着重考查了向量的加减法则、数量积的定义与运算性质等知识，属于基础题．7．（2014•马鞍山二模）已知非零向量与满足且=．则△ABC为（）A ．等边三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．三边均不相等的三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．解答：解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选A．点评：本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．8．（2014•蓟县校级二模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2c2=2a2+2b2+ab，则△ABC是（）A ．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：整理题设等式，代入余弦定理中求得cosC的值，小于0判断出C为钝角，进而可推断出三角形为钝角三角形．解答：解：∵2c2=2a2+2b2+ab，∴a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC==﹣＜0．则△ABC是钝角三角形．故选A点评：本题主要考查了三角形形状的判断，余弦定理的应用．一般是通过已知条件，通过求角的正弦值或余弦值求得问题的答案．9．（2014•黄冈模拟）已知在△ABC中，向量与满足（+）•=0，且•=，则△ABC为（）A ．三边均不相等的三角形B．直角三角形C ．等腰非等边三角形D．等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：设，由=0，可得AD⊥BC，再根据边形AEDF是菱形推出∠EAD=∠DAC，再由第二个条件可得∠BAC=60°，由△ABH≌△AHC，得到AB=AC，得到△ABC是等边三角形．解答：解：设，则原式化为=0，即=0，∴AD⊥BC．∵四边形AEDF是菱形，|•=||•||•cos∠BAC=，∴cos∠BAC=，∴∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAC=30°，∴△ABH≌△AHC，∴AB=AC．∴△ABC是等边三角形．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，三角形形状的判断，属于中档题．10．（2014•奉贤区二模）三角形ABC中，设=，=，若•（+）＜0，则三角形ABC的形状是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，可知+=；利用向量的数量积即可判断三角形ABC的形状．解答：解：∵=，=，∴+=+=；∵•（+）＜0，∴•＜0，即||•||•cos∠BAC＜0，∵||•||＞0，∴cos∠BAC＜0，即∠BAC＞90°．∴三角形三角形．故选B．点评：本题考查三角形的形状判断，+=的应用是关键，考查转化思想与运算能力，属于中档题．11．（2015•温江区校级模拟）已知向量，则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由数量积的坐标运算可得＞0，而向量的夹角=π﹣B，进而可得B为钝角，可得答案．解答：解：由题意可得：=（cos120°，（cos30°，sin45°）=（，）•（，）==＞0，又向量的夹角=π﹣B，故cos（π﹣B）＞0，即cosB＜0，故B为钝角，故△ABC为钝角三角形故选D点评：本题为三角形性质的判断，由向量的数量积说明角的范围是解决问题的关键，属中档题．12．（2014秋•景洪市校级期末）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC的形状为（）A ．等边三角形B．等腰直角三角形C ．等腰或直角三角形D．直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式的左边，整理后表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等，整理后得到a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．解答：解：∵cos2=，∴=，∴cosA=，又根据余弦定理得：cosA=，∴=，∴b2+c2﹣a2=2b2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选D．点评：此题考查了三角形形状的判断，考查二倍角的余弦函数公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；熟练掌握公式及定理是解本题的关键．13．（2014•咸阳三模）△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，，则△ABC一定是（）A ．直角三角形B．等边三角形C ．非等边锐角三角形D．钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：由，结合等腰三角形三线合一的性质，我们易判断△ABC为等腰三角形，又由△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，我们易求出B=60°，综合两个结论，即可得到答案．解答：解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C．又∵A+B+C=180°，∴B=60°．设D为AC边上的中点，则+=2．又∵，∴．∴即△ABC为等腰三角形，AB=BC，又∵B=60°，故△ABC为等边三角形．故选：B．点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算和等差数列的性质，其中根据平面向量的数量积运算，判断△ABC为等腰三角形是解答本题的关键．14．（2014•奎文区校级模拟）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：将c+a+b=转化为以与为基底的关系，即可得到答案．解答：解：∵=﹣，=﹣，∴c+a+b=c﹣a+b（﹣）=即c+b﹣（a+b）=，∵P是BC边中点，∴=（+），∴c+b﹣（a+b）（+）=，∴c﹣（a+b）=0且b﹣（a+b）=0，∴a=b=c．故选A．点评：本题考查三角形的形状判断，突出考查向量的运算，考查化归思想与分析能力，属于中档题．15．（2014秋•正定县校级期末）在△ABC中，tanA•sin2B=tanB•sin2A，那么△ABC一定是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C ．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：综合题．分析：把原式利用同角三角函数间的基本关系变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B为三角形的内角，得到2A与2B相等或互补，从而得到A与B相等或互余，即三角形为等腰三角形或直角三角形．解答：解：原式tanA•sin2B=tanB•sin2A，变形为：=，化简得：sinBcosB=sinAcosA，即sin2B=sin2A，即sin2A=sin2B，∵A和B都为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D．点评：此题考查了三角形形状的判断，熟练掌握三角函数的恒等变换把原式化为sin2A=sin2B是解本题的关键．16．（2014•漳州四模）在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA则△ABC的形状为（）A ．直角三角形B．锐角三角形C ．等边三角形D．等腰直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过两个等式推出b=c，然后求出A的大小，即可判断三角形的形状．解答：解：因为在△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=2ccosA，c=2bcosA所以，所以b=c，2bcosA=c，所以cosA=，A=60°，是正三角形．故选C．点评：本题考查三角形的形状的判断，三角函数值的求法，考查计算能力．17．（2014•云南模拟）在△ABC中，若tanAtanB＞1，则△ABC是（）A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定考点：三角形的形状判断．专题：综合题．分析：利用两角和的正切函数公式表示出tan（A+B），根据A与B的范围以及tanAtanB＞1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan（A+B）小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．解答：解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB＞1，得到1﹣tanAtanB＜0，＞0，tanB＞0，即A，B为锐角，所以tan（A+B）=＜0，则A+B∈（，π），即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故答案为：锐角三角形点评：此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路是：根据tanAtanB＞1和A与B都为三角形的内角得到tanA和tanB都大于0，即A和B都为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan（A+B）的值为负数，进而得到A+B的范围，判断出C也为锐角．18．（2013秋•金台区校级期末）双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形是（）A ．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断；椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：求出椭圆与双曲线的离心率，利用离心率互为倒数，推出a，b，m的关系，判断三角形的形状．解答：解：双曲线=1和椭圆=1（a＞0，m＞b＞0）的离心率互为倒数，所以，所以b2m2﹣a2b2﹣b4=0即m2=a2+b2，所以以a，b，m为边长的三角形是直角三角形．故选C．点评：本题是中档题，考查椭圆与双曲线基本性质的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力．19．（2014•红桥区二模）在△ABC中，“”是“△ABC为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充要条件D．既不充分又不必要条件考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．解答：解：∵，即||•||cosθ＞0，∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），所以两个向量的夹角θ为锐角，又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，则“”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．故选A点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数则是解本题的关键．20．（2014秋•德州期末）在△ABC中，若acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A ．等腰三角形B．直角三角形C ．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，从而得到三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．解答：解：由正弦定理asinA=bsinB化简已知的等式得：sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，2A+2B=π，即A=B或A+B=，则△ABC为等腰或直角三角形．故选D点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，其中正弦定理很好得解决了三角形的边角关系，利用正弦定理化简已知的等式是本题的突破点．二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）21．（2014春•沭阳县期中）在△ABC中，已知sinA=2sinBcosc，则△ABC的形状为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．解答：解：因为sinA=2sinBco（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC﹣sinCcosB=0，即sin（B﹣C）=0，因为A，B，C是三角形内角，所以B=C．三角形的等腰三角形．故答案为：等腰三角形．点评：本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形的判断，考查计算能力．22．（2014秋•思明区校级期中）在△ABC中，若a=9，b=10，c=12，则△ABC的形状是锐角三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：因为c是最大边，所以C是最大角．根据余弦定理算出cosC是正数，得到角C是锐角，所以其它两角均为锐角，由此得到此三角形为锐角三角形．解答：解：∵c=12是最大边，∴角根据余弦定理，得cosC==＞0∵C∈（0，π），∴角C是锐角，由此可得A、B也是锐角，所以△ABC是锐角三角形故答案为：锐角三角形点评：本题给出三角形的三条边长，判断三角形的形状，着重考查了用余弦定理解三角形和知识，属于基础题．23．（2013•文峰区校级一模）已知△ABC中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于2．考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：画出图形，利用已知条件直接求出AC的距离即可．解答：解：由题意AB=，BC=1，知C=60°，B=90°，三角形ABC是直角三角形，所以AC==2．故答案为：2．点评：本题考查三角形形状的判断，勾股定理的应用，考查计算能力．24．（2013春•广陵区校级期中）在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：等式即2cosBsinA=sin（A+B），展开化简可得sin（A﹣B）=0，由﹣π＜A﹣B＜π，得A﹣B=0，故三角形ABC是等腰三角形．解答：解：在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，即2cosBsinA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=0，即sin（A﹣B）=0，∵﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰．点评：本题考查两角和正弦公式，诱导公式，根据三角函数的值求角，得到sin（A﹣B）=0，是解题的关键．25．（2014秋•潞西市校级期末）在△ABC中，已知c=2acosB，则△ABC的形状为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可求得sin（A﹣B）=0，根据﹣π＜A﹣B＜π，故A﹣B=0，从而得到△ABC的形状为等腰三角形．解答：解：由正弦定理可得sin（A+B）=2sinAcosB，由两角和的正弦公式可得sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，∴sin（A﹣B）=0，又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，故△ABC的形状为等腰三角形，故答案为等腰三角形．点评：本题考查正弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，得到sin（A﹣B）=0，是解题的关键．26．（2014春•常熟市校级期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状是等腰或直角三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：在△ABC中，利用正弦定理将中等号右端的边化为其所对角的正弦，再由二倍角公式即可求得答案．解答：解：在△ABC中，由正弦定理得：=，∴=，∴⇔=，∴sin2A=sin2B，又A，B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故答案为：等腰或直角三角形．点评：本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理与二倍角公式的应用，属于中档题．27．（2014春•石家庄期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则该△ABC是钝角三角形（请你确定其是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形）．考点：三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由正弦定理可得a2+b2＜c2，则再由余弦定理可得cosC＜0，故C为钝角，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得a2+b2＜c2，再由余弦定理可得cosC=＜0，故C为钝角，故△ABC是钝角三角形，故答案为钝角．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出cosC＜0，是解题的关键，属于中档题．28．（2013春•遵义期中）△ABC中，b=a，B=2A，则△ABC为等腰直角三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理以及二倍角的正弦函数，求出A，然后求出B即可判断三角形的形状．解答：解：因为△ABC中，b=a，B=2A，所以由正弦定理可知：sinB=sinA，即sin2A=sinA，∴cosA=，∵A是三角形内角，∴A=，则B=，C=，∴△ABC为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．点评：本题主要考查了解三角形的应用和三角形形状的判断．解题的关键是利用正弦定理这一桥梁完成了问题的转化．29．（2013秋•沧浪区校级期末）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC为钝角三角形（填锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．）考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由正弦定理可得，△ABC的三边之比a：b：c=5：11：13，设a=5k，则b=11k，c=13k，由余弦定理可得cosC＜0，故角C为钝角，故△ABC为钝角三角形．解答：解：由正弦定理可得，△ABC的三边之比a：b：c=5：11：13，设a=5k，则b=11k，c=13k，由余弦定理可得cosC==﹣＜0，故角C为钝角，故△ABC形，故答案为：钝角三角形．点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，求出cosC＜0，是解题的关键．30．（2014春•宜昌期中）在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为等腰三角形．考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由三角形的内角和及诱导公式得到sinA=sin（B+C），右边利用两角和与差的正弦函数公式化简，再根据已知的等式，合并化简后，再利用两角和与差的正弦函数公式得到sin（B﹣C）=0，由B与C都为三角形的内角，可得B=C，进而得到三角形为等腰三角形．解答：解：∵A+B+C=π，即A=π﹣（B+C），∴sinA=sin（B+C）osBsinC，又sinA=2cosBsinC，∴sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，变形得：sinBcosC﹣cosBsinC=0，即sin（B﹣C）=0，又B和C都为三角形内角，∴B=C，则三角形为等腰三角形．故答案为：等腰三角形点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意三角形内角和定理及三角形内角的范围的运用．。
专题21 直角三角形篇(解析版)
专题21 直角三角形考点一：直角三角形1. 直角三角形的概念：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。
2. 直角三角形的性质：①直角三角形的两锐角互余。
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
③含30°的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
④直角三角形的两直角边的成绩等于斜边乘以斜边上的高线。
⑤直角三角形的勾股定理。
1．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为（ ）A．34°B．44°C．124°D．134°【分析】根据直角三角形的两锐角互余计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故选：A．2．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED ，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：在Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°，∠DCE ＝40°，则∠CED ＝90°﹣40°＝50°，∵l ∥AB ，∴∠1＝∠CED ＝50°，故选：C ．3．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°CBF 的度数，再根据∠ABC ＝90°，可以得到∠1的度数．【解答】解：∵AC ∥EF ，∠C ＝30°，∴∠C ＝∠CBF ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC ﹣∠CBF ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C ．4．（2022•大连）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°．分别以点A 和点C 为圆心，大于21AC 的长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点，作直线MN ．直线MN 与AB 相交于点D ，连接CD ，若AB ＝3，则CD 的长是（ ）A．6B．3C．1.5D．1【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长．【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．5．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC 的长为（ ）A．3B．23C．2D．4【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半和30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．6．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，延长CB至点E，使BE＝BC，连接DE，F为DE中点，连接BF．若AC＝16，BC＝12，则BF的长为（ ）A．5B．4C．6D．8【分析】利用勾股定理求得AB＝20；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD的长度；结合题意知线段BF是△CDE的中位线，则BF＝CD．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20．∵CD为中线，∴CD＝AB＝10．∵F为DE中点，BE＝BC，即点B是EC的中点，∴BF是△CDE的中位线，则BF＝CD＝5．故选：A．7．（2022•镇江）如图，在△ABC和△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，若DE＝1，则FG＝ ．【分析】根据直角三角形的性质得出AB的长，进而利用三角形中位线定理解答即可．【解答】解：∵∠ADB＝90°，E是AB的中点，∴AB＝2DE＝2，∵F、G分别为AC、BC的中点，∴FG是△ACB的中位线，∴FG＝AB＝1，故答案为：1．8．（2022•西宁）如图，△ABC中，AB＝6，BC＝8，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ ．【分析】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4．∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣3＝1．故答案为：1．9．（2022•梧州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE．如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD+DE的长是 m．【分析】根据三角形中位线定理可得DE的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得CD 的长，进一步即可求出CD+DE的长．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，∵BC＝3m，∴DE＝1.5m，∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB，∵AB＝5m，∴CD＝2.5m，∴CD+DE＝2.5+1.5＝4（m），故答案为：4．10．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 ．【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求出CD．【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∴AB＝2EF＝20，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，AB ＝20，∴CD ＝AB ＝10，故答案为：10．考点二：勾股定理1. 勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
第21讲直角三角形
∴BE=
BD=
×3=3
，
故选 D．
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考 点 知 识 精 讲
中 考 典 例 精 析
举 一 反 三
考 点 训 练
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1．已知在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则 BC∶AC∶AB
考的值为( C )
点 A．1∶2∶3
AB
左边阴影部分的面积为
S1，右边阴影部分的
面积和为 S2，则( )
举
A．S1＝S2 B．S1<S2
一 反
C．S1>S2 D．无法确定
三
【解析】∵AB2＝BC2＋AC2，∴π(A2B)2＝π·(B2C)2＋π·(A2C)2，
考 点
∴S1＝S2.
训 练
【答案】A
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精
讲( )
中
考
典
例
精
析
举 A．30° B．45° C．60° D．75°
一
反
三
【解析】α＝30°＋45°＝75°.
考
点 训 练
【答案】D
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考 点 知 识 精 讲
中
考
典 例
9．(预测题)如图，在 Rt△ABC 中，以三边 AB、BC、CA 为直径
精 析
向外作半圆，设直线
精 析
3 A.2
7 B.6
25 C. 6
D．2
举 【解析】连结 AE，∵DE 垂直平分 AB，∴AE＝BE.设 CE＝x，
全效学习中考数学 第七单元 三角形单元滚动专题四(含解析)-人教版初中九年级全册数学试题
第七单元 三角形一、选择题(每题5分，共50分)1．[2014·滨州]下列四组线段中，可以构成直角三角形的是(B)C ．2，3，4D ．1，2，32．[2015·某某]如图1，AB ∥EF ，CD ⊥EF ，∠BAC ＝50°，则∠ACD ＝(C)A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°图1第2题答图【解析】 如答图，延长AC 交EF 于点G .∵AB ∥EF ，∴∠DGC ＝∠BAC ＝50°，∵CD ⊥EF ，∴∠CDG ＝90°，∴∠ACD ＝90°＋50°＝140°.3．如图2，在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，点E ，F分别为AC 和AB 的中点，则EF ＝(A)A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 ∵在直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，∴BC ＝102－82＝6.∵点E ，F 分别为AC ，AB 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ＝12BC ＝12×6＝3. 故选A.图24．如图3，一架梯子AB 长5 m ，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B与墙角C 距离为3 m ，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为1 m ，则梯子顶端A 下落了(A)A ．1 mB ．2 mC ．3 mD ．5 m【解析】 在Rt △ABC 中，AB ＝5 m ，BC ＝3 m ，根据勾股定理得AC ＝AB 2－BC 2＝4 m ，Rt △CDE 中，ED ＝AB ＝5 m ，CD ＝BC ＋DB ＝3＋1＝4 m ，根据勾股定理得CE ＝DE 2－CD 2＝3 m ，所以AE ＝AC －CE ＝1 m ，即梯子顶端A 下滑了1 m.5．如图4，AC ＝BC ＝10 cm ，∠B ＝15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD的长为(C)A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．6 cm【解析】 ∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ＝15°，∴∠ACD ＝∠B ＋∠BAC ＝15°＋15°＝30°，∴在Rt △ACD 中，AD ＝12AC ＝12×10＝5 cm. 6．如图5，AD ，BE 是锐角△ABC 的高，两高相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为(B)A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 ∵AD ，BE 是锐角△ABC 的高，∴∠ACB ＋∠DBO ＝∠ACB ＋∠DAC ＝90°，∴∠DBO ＝∠DAC .又∵BO ＝AC ，∠BDO ＝∠ADC ＝90°，∴△BDO ≌△ADC ，图3 图4图5∴BD ＝AD ，DO ＝CD .∵BD ＝BC －CD ＝5，∴AD ＝5，∴AO ＝AD －OD ＝AD －CD ＝3.7．[2014·某某]如图6，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，则∠C 的度数为(B)A ．30°B ．40°C ．45°D ．60°图6 图78．[2014·某某]如图7，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为(C)A.53B.52C ．4D ．5 【解析】 设BN ＝x ，由折叠的性质可得DN ＝AN ＝9－x ，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝3，在Rt △NBD 中，x 2＋32＝(9－x )2，解得x ＝4.故线段BN 的长为4.9．[2014·黔西南]如图8，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是(C) A ．CB ＝CDB ．∠BAC ＝∠DACC ．∠BCA ＝∠DCAD ．∠B ＝∠D ＝90° 【解析】 若添A 则由SSS 证明△ABC ≌△ADC ，若添B ，则由SAS 证明△ABC ≌△ADC ，若添图8D ，则由HL 证明△ABC ≌△ADC ，若添C 不能由SSA 证明全等．10．如图9，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连结BD .下列结论错误的是(C)A ．∠C ＝2∠AB ．BD 平分∠ABCC ．S △BCD ＝S △BODD ．点D 为线段AC 的黄金分割点【解析】 A ．∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ＝72°，∴∠C ＝2∠A ，故本选项结论正确；B ．∵DO 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴∠DBC ＝72°－36°＝36°＝∠ABD ，∴BD 是∠ABC 的角平分线，故本选项结论正确；C ．根据已知不能推出△BCD 的面积和△BOD 的面积相等，故本选项结论错误；D ．∵∠C ＝∠C ，∠DBC ＝∠A ＝36°，∴△CBD ∽△CAB ，∴BC AC ＝CD BC ，∴BC 2＝CD ·AC .∵∠C ＝72°，∠DBC ＝36°，∴∠BDC ＝72°＝∠C ，∴BC ＝BD .又∵AD ＝BD ，∴AD ＝BC ，∴AD 2＝CD ·AC ，即点D 是线段AC 的黄金分割点，故本选项结论正确．故选C.二、填空题(每题5分，共30分)11．泰勒斯是古希腊哲学家，相传他利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离．如图10，B 是图9观察点，船A 在B 的正前方，过B 作AB 的垂线，在垂线上截取任意长BD ，C 是BD 的中点，观察者从点D 沿垂直于BD 的DE 方向走，直到点E 、船A 和点C 在一条直线上，那么△ABC ≌△EDC ，从而量出DE 的距离即为船离岸的距离AB ，这里判定△ABC ≌△EDC 的方法是__ASA __.【解析】 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC (ASA )，∴DE ＝AB .12．如图11，AC 与BD 交于点P ，AP ＝CP ，从以下四个论断①AB ＝CD ，②BP ＝DP ，③∠B ＝∠D ，④∠A ＝∠C 中选择一个论断作为条件，则不一定能使△APB ≌△CPD 的论断是__①__.图11 图1213．[2014·某某]如图12，在等腰三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝50°折叠该纸片，使点A 落在点B 处，折痕为DE ，则∠CBE ＝__15°__.14．如图13，已知：在△ABC 中，D ，E 是BC 上的两点，且AD ＝BD ，AE ＝CE ，∠ADE ＝82°，∠AED ＝48°，则∠BAC ＝__115°__.图13【解析】 ∵AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴∠B ＝∠BAD ，∠EAC ＝∠C ，∵∠ADE ＝82°，∠AED ＝48°，∴∠DAE ＝50°，∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ，∠AED ＝∠EAC ＋∠C ，∴∠BAD ＝41°，∠EAC ＝24°，∴∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAE ＋EAC ＝41°＋50°＋24°＝115°.15．如图14，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于点D .若AC ＝6 cm ，则AD ＝__2__cm.图14 第15题答图【解析】 连结BD .∵AB ＝BC ，∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝12(180°－∠ABC )＝30°， ∴DC ＝2BD .∵AB 的垂直平分线是DE ，∴AD ＝BD ，∴DC ＝2AD .又∵AC ＝6，∴AD ＝13×6＝2(cm)． 16．如图15是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后以此类推，若正方形①的边长为64 cm ，则第4个正方形的边长为__162__cm.图15【解析】 根据题意，第1个正方形的边长为64 cm ；第2个正方形的边长为22×64＝32 2 cm ； 第3个正方形的边长为22×322＝32 cm ； … 此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长的22， 所以第n 个正方形的边长为64×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n －1cm ， 则第4个正方形的边长为64×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝16 2 cm. 三、解答题(共70分)17．(10分)如图16，在△ABC 中，已知∠ABC ＝46°，∠ACB＝80°，延长BC 至D ，使CD ＝CA ，连结AD ，求∠BAD 的度数．解：∵∠ACB ＝80°，∴∠ACD ＝180°－∠ACB ＝180°－80°＝100°.又∵CD ＝CA ，∴∠CAD ＝∠D .∵∠ACD ＋∠CAD ＋∠D ＝180°，∴∠CAD ＝∠D ＝40°，∴∠BAD ＝180°－∠ABC －∠D ＝180°－46°－40°＝94°.18．(10分)如图17，DE 是△ABC 的AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于D ，E ，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝30°，求∠C 的度数．解：∵DE 是AB 边的垂直平分线，∴EA ＝EB ，∴∠B ＝∠1.又∵∠B ＝30°，∴∠1＝30°.又∵AE 平分∠BAC ，∴∠2＝∠1＝30°，即∠BAC ＝60°，∴∠C ＝180°－∠BAC －∠B ＝90°.图16图1719．(10分)如图18，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，AB ＝AC ，BD ＝CE .求证：AD ＝AE . 证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .在△ABD 与△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴AD ＝AE .20．(10分)如图19，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E .求证：BD ＝CE .【解析】 证明BD ，CE 所在的两个三角形全等．证明：∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°.在Rt △ABD 和Rt △ACE 中，∠ADB ＝∠AEC ＝90°，∠A ＝∠A ，AB ＝AC ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE .21．(15分)[2014·某某]如图20，已知点A ，F ，E ，C在同一直线上，AB ∥CD ，∠ABE ＝∠CDF ，AF ＝CE .(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明．解：(1)△ABE ≌△CDF ，△ABC ≌△CDA ；(2)选△ABE ≌△CDF .证明：∵AF ＝CE ，∴AE ＝CF ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DCF .又∵∠ABE ＝∠CDF ， 图19 图20∴△ABE ≌△CDF (AAS )．22．(15分)[2015·某某模拟]如图21，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BA 延长线上的一点，点E 是AC 的中点．连结BE 并延长交∠DAC 的平分线AM 于点F .(1)利用直尺和圆规把图形补充完整，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法)；(2)试猜想AF 与BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．图21 第22题答图解：(1)如答图所示；(2)AF ∥BC 且AF ＝BC .理由如下：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∴∠DAC ＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C .由作图可知，∠DAC ＝2∠FAC ，∴∠C ＝∠FAC ，∴AF ∥BC .∵E 是AC 的中点，∴AE ＝CE .在△AEF 和△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAE ＝∠ECB ，AE ＝EC ，∠AEF ＝∠CEB ，∴△AEF ≌△CEB (ASA )，∴AF ＝BC .。
中考数学点对点-解直角三角形问题(解析版)
∴AD＝AB×sin30°＝20 10（海里），
BD＝AB×cos30°＝20 10 10×1.73＝17.3，
∵BD⊥AC，BF⊥CE，CE⊥AC，
∴∠BDC＝∠DCF＝∠BFC＝90°，
∴四边形BDCF为矩形，
∴DC＝BF﹣9.7，FC＝BD＝17.3，
如图，连接BC．
∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是 ，
∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC．
在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，
sin∠ABC ，
∵AC＝2，BC＝3，
∴AB ，
∴sin∠ABC ，
∴sin∠ADC ．
【例题3】（2020•荆门）如图，海岛B在海岛A的北偏东30方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东75°方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．
（2）在Rt△BEF中，解直角三角形求出EF，BF，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AD，BD，证明四边形BDCF为矩形，得出DC，FC，求出CE的长，则可得出答案．
【解析】（1）过点B作BD⊥AC于点D，作BF⊥CE于点E，
由题意得，∠NAB＝30°，∠GBE＝75°，
∵AN∥BD，
∴∠ABD＝∠NAB＝30°，
∠B=90°-∠A，a=c·sinA， b=c·cosA
五、特殊值的三角函数
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
2014年全国中考数学试题分类汇编29 解直角三角形(含解析)
解直角三角形一、选择题1.（2014•孝感，第8题3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交成的锐角为α，若AC=a，BD=b，则▱ABCD的面积是（）absinαabcosα==CE×absinα的面积是：absinα2. （2014•泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（），，（、底边上的高是=3. （2014•扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）（第2题图）B﹣2∠AC，==2﹣）﹣=﹣===4.（2014•滨州，第11题3分）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=，tanA=，则BC的长为（）=，得到．×=10×=6=，．5.（2014•德州，第7题3分）如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）4米米中，∵=，==6二.填空题1．（2014•新疆，第13题5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，则AC=．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）=，2．（2014•舟山，第12题4分）如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为米（用含α的代数式表示）．=3．（2014•浙江宁波，第17题4分）为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出17 个这样的停车位．（≈1.4）=2.2×≈1.54=5×≈3.5=2.2÷≈3.144. （2014•株洲，第13题，3分）孔明同学在距某电视塔塔底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此塔高约为182米（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）．（第1题图）=5. （2014•泰州，第16题，3分）如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ=AE，则AP等于1或2cm．（第2题图），即cm=cm AE=6.（2014•济宁，第12题3分）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，则AB 的长为3+．，，=．．三.解答题1. （2014•安徽省,第18题8分）如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用．菁优网分析：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，根据三角函数求得BE，在Rt△BCF中，根据三角函数求得BF，在Rt△DFG中，根据三角函数求得FG，再根据EG=BE+BF+FG即可求解．解答：解：过B点作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G．在Rt△ABE中，BE=AB•sin30°=20×=10km，在Rt△BCF中，BF=BC÷cos30°=10÷=km，CF=BF•sin30°=×=km，DF=CD﹣CF=（30﹣）km，在Rt△DFG中，FG=DF•sin30°=（30﹣）×=（15﹣）km，∴EG=BE+BF+FG=（25+5）km．故两高速公路间的距离为（25+5）km．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．2. （2014•广东，第20题7分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.414，≈1.732）考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．分析：首先利用三角形的外角的性质求得∠ABC的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC 中，利用三角函数即可求解．解答：解：∵∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∴∠A=∠ACB，∴BC=AB=10（米）．在直角△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10×=5≈5×1.732=8.7（米）．答：这棵树CD的高度为8.7米．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．3. （2014•珠海，第17题7分）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）=9090=90=60，÷20=34. （2014•广西贺州，第24题8分）如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B处，此时灯塔C在它的北偏西55°方向上．（1）求海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离（结果精确到0.1）；（2）求海轮在B处时与灯塔C的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin55°≈0.819，cos55°≈0.574，tan55°≈1.428，tan42°≈0.900，tan35°≈0.700，tan48°≈1.111）考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：（1）过C作AB的垂线，设垂足为D，则CD的长为海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离；（2）在Rt△BCD中，根据55°角的余弦值即可求出海轮在B处时与灯塔C的距离．解答：解：（1）C作AB的垂线，设垂足为D，根据题意可得：∠1=∠2=42°，∠3=∠4=55°，设CD的长为x海里，在Rt△ACD中，tan42°=，则AD=x•tan42°，在Rt△BCD中，tan55°=，则BD=x•tan55°，∵AB=80，∴AD+BD=80，∴x•tan42°+x•tan55°=80，解得：x≈34.4，答：海轮在航行过程中与灯塔C的最短距离是34.4海里；（2）在Rt△BCD中，cos55°=，∴BC=≈60海里，答：海轮在B处时与灯塔C的距离是60海里．点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线．5．(2014年四川资阳，第19题8分)如图，湖中的小岛上有一标志性建筑物，其底部为A，某人在岸边的B处测得A在B的北偏东30°的方向上，然后沿岸边直行4公里到达C处，再次测得A在C的北偏西45°的方向上（其中A、B、C在同一平面上）．求这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．菁优网分析：过A作AD⊥BC于D，先由△ACD是等腰直角三角形，设AD=x，得出CD=AD=x，再解Rt△ABD，得出BD==x，再由BD+CD=4，得出方程x+x=4，解方程求出x的值，即为A到岸边BC的最短距离．解答：解：过A作AD⊥BC于D，则AD的长度就是A到岸边BC的最短距离．在Rt△ACD中，∠ACD=45°，设AD=x，则CD=AD=x，在Rt△ABD中，∠ABD=60°，由tan∠ABD=，即tan60°=，所以BD==x，又BC=4，即BD+CD=4，所以x+x=4，解得x=6﹣2．答：这个标志性建筑物底部A到岸边BC的最短距离为（6﹣2）公里．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．(2014年天津市，第22题10分)解放桥是天津市的标志性建筑之一，是一座全钢结构的部分可开启的桥梁．（Ⅰ）如图①，已知解放桥可开启部分的桥面的跨度AB等于47m，从AB的中点C处开启，则AC开启至A′C′的位置时，A′C′的长为m；（Ⅱ）如图②，某校数学兴趣小组要测量解放桥的全长PQ，在观景平台M处测得∠PMQ=54°，沿河岸MQ前行，在观景平台N处测得∠PNQ=73°，已知PQ⊥MQ，MN=40m，求解放桥的全长PQ（tan54°≈1.4，tan73°≈3.3，结果保留整数）．考点：解直角三角形的应用．菁优网专题：应用题．分析：（1）根据中点的性质即可得出A′C′的长；（2）设PQ=x，在Rt△PMQ中表示出MQ，在Rt△PNQ中表示出NQ，再由MN=40m，可得关于x的方程，解出即可．解答：解：（I）∵点C是AB的中点，∴A'C'=AB=23.5m．（II）设PQ=x，在Rt△PMQ中，tan∠PMQ==1.4，∴MQ=，在Rt△PNQ中，tan∠PNQ==3.3，∴NQ=，∵MN=MQ﹣NQ=40，即﹣=40，解得：x≈97．答：解放桥的全长约为97m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是熟练锐角三角函数的定义，难度一般．7．（2014年云南省，第21题6分）如图，小明在M处用高1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB的顶端B的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F处，又测得旗杆顶端B的仰角为60°，请求出旗杆AB的高度（取≈1.73，结果保留整数）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．解答：解：∵∠BDE=30°，∠BCE=60°，∴∠CBD=60°﹣∠BDE=30°=∠BDE，∴BC=CD=10米，在Rt△BCE中，sin60°=，即=，∴BE=5，AB=BE+AE=5+1≈10米．答：旗杆AB的高度大约是10米．点评：主要考查解直角三角形的应用，本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．8．（2014•四川自贡，第18题8分）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑2.7米的A处自B点看雕塑头顶D的仰角为45°，看雕塑底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．（最后结果精确到0.1米，参考数据：）=0.9≈1.29．（2014·云南昆明，第20题6分）如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin32°= 0.53，cos32°= 0.85，tan32°= 0.62）64.1310．（2014•浙江宁波，第21题8分）如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=10千米，∠CAB=25°，∠CBA=37°，因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．（1）求改直的公路AB的长；第20题图（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？（sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）11. （2014•益阳，第18题，8分）“中国﹣益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BAD=76.1°，∠BCA=68.2°，CD=82米．求AB的长（精确到0.1米）．参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5．（第1题图），．=4×≈546.712. （2014•益阳，第21题，12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．（1）求AD的长；（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1、S2，若S=S1+S2，求S的最小值．（第2题图），根据≠且≠•（﹣，最后根据x﹣+）=4×=2．，在=，，≠且≠，此时△），=PB=﹣x=x=x，x﹣）x+•（x）x）时，取得最小值x13. （2014•株洲，第17题，4分）计算：+（π﹣3）0﹣tan45°．14. （2014•株洲，第22题，8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF）．（1）求证：△ACE≌△AFE；（2）求tan∠CAE的值．=，在===m=，===15. （2014•株洲，第23题，8分）如图，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1，动点A在圆O的上半圆运动（含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形AB C．（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求△ABC的面积（图1）；（2）设∠AOB=α，当线段AB、与圆O只有一个公共点（即A点）时，求α的范围（图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AO⊥PM于点N，求CM的长度（图3）．（第5题图）==，×==×=的面积为===．===，，==的长度为16．（2014年江苏南京，第23题）如图，梯子斜靠在与地面垂直（垂足为O）的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO=60°；当梯子底端向右滑动1m（即BD=1m）到达CD位置时，它与地面所成的角∠CDO=51°18′，求梯子的长．（参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248）考点：解直角三角形的应用分析：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，根据三角函数得到OB，在Rt△CDO中，根据三角函数得到OD，再根据BD=OD﹣OB，得到关于x的方程，解方程即可求解．解答：设梯子的长为xm．在Rt△ABO中，cos∠ABO=，∴OB=AB•cos∠ABO=x•cos60°=x．在Rt△CDO中，cos∠CDO=，∴OD=CD•cos∠CDO=x•cos51°18′≈0.625x．∵BD=OD﹣OB，∴0.625x﹣x=1，解得x=8．故梯子的长是8米．点评：此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．17. （2014•泰州，第22题，10分）图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）18．（2014•呼和浩特，第18题6分）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果用非特殊角的三角函数及根式表示即可）=．cos cos。
高中数学 第一讲四 直角三角形的射影定理课时作业(含
【全程复习方略】2013-2014学年高中数学 第一讲四 直角三角形的射影定理课时作业（含解析）新人教A 版选修4-11．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm2B ．6 cm2C ．12 cm2D ．24 cm2解析：选B.长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)，故由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)．∴三角形的面积为12×5×2.4＝6(cm2)．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，则AC ＝( ) A.2133B.133C.3133D.13解析：选A.由射影定理知CD2＝AD·B D ，∴AD ＝CD2BD ＝43. ∴AC ＝ CD2＋AD2＝ 22＋432＝2133. 3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BD CD ＝( ) A.34 B.43C.169D.916解析：选C.如图，由射影定理得，AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴AC2AB2＝CD BD ＝(34)2，即CD BD＝916，∴BD CD ＝169.4．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道几条线段的长，就可以求其他的线段的长( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.由射影定理知CD2＝BD·AD，AB2＝AC2＋BC2，由此可以看出只要知道其中的两条就可以求出第三条线段．5．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，下列条件中，一定能确定△ABC 为直角三角形的个数为( )①∠1＝∠A ； ②CD AD ＝DB CD； ③∠B ＋∠2＝90°；④BC ∶AC ∶AB ＝3∶4∶5.A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.①能．∵∠1＋∠B ＝90°，若∠1＝∠A ，则∠A ＋∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．②能．若CD AD ＝DB CD，则CD2＝AD·BD， ∴AB2＝(AD ＋BD)2＝AD2＋BD2＋2AD·BD＝AD2＋BD2＋2CD2＝(AD2＋CD2)＋(BD2＋CD2)＝AC2＋BC2，∴△ABC 为直角三角形．③不能．∠B ＋∠2＝90°，又∠B ＋∠1＝90°，则∠1＝∠2，并不能得到△ABC 为直角三角形．④能．设BC ＝3x ，AC ＝4x ，AB ＝5x ，则AB2＝BC2＋AC2，∴△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ，若AD ＝27，BD ＝3，则AC ＝________，BC ＝________，CD ＝________.解析：由射影定理，得CD2＝AD·BD，则CD ＝9.根据勾股定理，得AC ＝AD2＋CD2＝910，BC ＝BD2＋CD2＝310.答案：910 310 97．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形，所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠1＋∠2＝90°.因为∠2＋∠3＝90°，所以∠1＝∠3.又因为∠A ＝∠D ＝90°，所以△ABE ∽△DEF.答案：①③8．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．解析：如图，过C 点作CE ⊥AB 于E.在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，∴BC ＝8 cm.在Rt △ABC 中，由射影定理易得BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm. ∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)，∴AD ＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ，∴DC ＝AE ＝3.6 cm.∴S 梯形ABCD ＝10＋3.6×4.82＝32.64(cm2)． 答案：32.64 cm29．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AD ＝6 cm ，CD ＝2 3 cm ，求：(1)∠A 的度数；(2)△ABC 的面积．解：(1)在Rt △ACD 中，∵CD ＝2 3 cm ，AD ＝6 cm ，∴tan A ＝CD AD ＝236＝33，∴∠A ＝30°. (2)∵CD2＝AD·BD，∴BD ＝CD2AD ＝2326＝2(cm)． ∴AB ＝6＋2＝8 (cm)．∴S △AB C ＝12×AB×CD＝12×8×23＝8 3(cm2)．10．如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的高，过D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E ，F 为垂足．求证：(1)AE·AB＝AF·AC；(2)△AEF ∽△ACB.证明：(1)∵AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，在Rt △ABD 中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt △ADC 中，由射影定理得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)∵AE·AB＝AF·AC，∴AE AC ＝AF AB . 又∵∠EA F ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB.11．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分．(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．解：(1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，则BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48.又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB ＝20，AC ＝12，B C ＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF ⊥AB 于F ，∴AC2＝AF·AB，∴AF ＝AC2AB ＝12220＝365(cm)； 同理：BF ＝BC2AB ＝16220＝645(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645 cm.。
2014年高考数学(理)试题分项版解析：专题04 三角函数与解三角形(分类汇编)Word版含解析
1. 【2014高考湖南卷第9题】已知函数()sin(),f x x ϕ=-且230()0,f x dx π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是( ) A.56x π=B.712x π=C.3x π=D.6x π=2. 【2014高考江苏卷第5题】已知函数cos y x =与函数sin(2)(0)y x φφπ=+≤<，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是 .3. 【2014高考江苏卷第14题】 若ABC ∆的内角满足sin 2sin A B C =，则co s C 的最小值是 .【答案】4【解析】由已知sin 2sin A B C =及正弦定理可得2a c =，4. 【2014辽宁高考理第9题】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减 B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增5. 【2014全国1高考理第16题】已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则ABC ∆面积的最大值为____________．又22b c 4bc bc +-=≥，故1S bcsinA 2BAC ∆=≤ 【考点定位】1、正弦定理和余弦定理；2、（）三角形的面积公式．6. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 17. 【2014全国2高考理第14题】 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.8. 【2014山东高考理第12题】在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC∆的面积为________.9. 【2014四川高考理第3题】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度10. 【2014高考广东卷理第12题】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba.11. 【2014全国1高考理第6题】如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（ ）【考点定位】１．解直角三角形；2、三角函数的图象． 12.【2014全国1高考理第8题】设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） （A ） 32παβ-=（B ）32παβ+=（C ）22παβ-=（D ）22παβ+=13. 【2014高考北京版理第14题】设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]62ππ上具有单调性，且2()()()236f f f πππ==-，则()f x 的最小正周期为 .14. 【2014高考安徽卷理第11题】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称， 则ϕ的最小正值是________.15. 【2014高考福建卷第12题】在ABC ∆中，60,4,A AC BC =︒==,则ABC ∆的面积等于_________.16. 【2014江西高考理第4题】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积（ ）A.3B.239 C.233 D.3317. ．【2014四川高考理第13题】如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67，30，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 m .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin 670.92≈，cos670.39≈，sin 370.60≈，cos370.80≈ 1.73≈）18. 【2014浙江高考理第4题】为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位19. 【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 .20．【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S 满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A.8)(>+c b bcB.()ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A 【解析】试题分析：由题设得：()()1sin 2+sin 2sin 22A B C ππ-=-+1sin 2+sin2B+sin 22A C ⇒=21. 【2014陕西高考理第2题】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π .B π .2C π .4D π22. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______．23. 【2014大纲高考理第3题】设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>24. 【2014大纲高考理第16题】若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 .。
专题14 直角三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题14直角三角形中的分类讨论模型模型1、直角三角形中的分类讨论模型【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性质或勾股定理解题即可。
1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。
2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt ABC △方法：两线一圆具体图解：①当︒=∠90BAC 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外）②当︒=∠90ABC 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。
③当︒=∠90ACB 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。
例1．（2023春·江苏·八年级假期作业）若三角形的三边长是6，8，x ，当2x 的值为时，该三角形是直角三角形.【答案】100或28【分析】三角形是直角三角形，这里给出三边的长，只要用两小边的平方和等于最长边的平方即可求解，所以要分情况讨论，当最长边为8时，和最长边不是8时，再根据勾股定理进行计算.【详解】①最长边为8时，82-62=2x ，则2x =28；②最长边不是8时，82+62=2x ，则2x =100.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是分情况讨论最长边.例2．（2023春·江苏宿迁·八年级统考期末）如图，在ABC 中，9040BAC C ∠=︒∠=︒，，AH 、BD 分别是ABC 的高和角平分线，点E 为BC 边上一点，当BDE 为直角三角形时，则CDE ∠=︒．【答案】50或25/25或50【分析】根据三角形内角和定理得ABC ∠形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：∵9040BAC C ∠=︒∠=︒，∵BD 平分ABC ∠∴1DBC ABC ∠=∠=∵40C ∠=︒，∴904050CDE ∠=︒-︒=︒②当90BDE ∠=︒时，如图2，∴902565BED ∠=︒-︒=︒，∵BED ∠=∠综上，CDE ∠的度数为50︒或25︒．故答案为：【点睛】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，题的关键．A．1个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：其中的一条腰．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．例4．（2023·江苏·九年级假期作业）外部作等腰直角ABC，或(37)，【答案】(74)∵BAC AOB AEC ∠=∠=∠∵AB AC =，∴AOB △≌△同法可得，当AB BC ='，当AB 是等腰直角三角形的斜边时，综上所述，满足条件的点．【答案】2或5/5或2【分析】当90B ED ∠'=︒时，先求出时，作AH BC ⊥，证明出ADH 【详解】解：当90B ED ∠'=︒时，如图，AB AC = ，AE BC ⊥，BE ∴=由折叠得BD B D ='，AB AB '=在Rt B DE ' 中，224)8(x -+=当90B DE ∠'=︒时，如图，作AH 90B DE ∠'=︒ ，ADB ADB ∴∠=∠6DH AH ∴==，BD BH DH ∴=-【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质，掌握勾股定理是解题关键．例8．（2023秋·广东·八年级专题练习）如图，5(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接．．写出AD 的长．【答案】(1)BDF V 是等边三角形；见解析(2)40A ∠=︒；(3)AD 的长是3或6【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论；（2）根据折叠的性质可知角相等，再根据三角形的内角和定理即可得到结果；（3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到AD 的长度．【详解】（1）解：BDF V 是等边三角形，理由如下：∵60B DE BC ∠=︒，∥，∴60ADE B ∠=∠=︒，由折叠可得60FDE ADE ∠=∠=︒，∴60BDF ∠=︒，∴60DFB B BDF ∠=∠=∠=︒，∴BDF V 是等边三角形；（2）解：由折叠可得A DFE ∠=∠，∵60FDE ADE ∠=∠=︒，∴120ADC ∠=︒，∵CF EF =，∴FEC FCE ∠=∠，设FEC FCE x ∠=∠=，则2A DFE FEC FCE x ∠=∠=∠+∠=，在ADC △中，180A ACD ADC ∠+∠+∠=︒，即2120180x x ++︒=︒，解得20x =︒，∴240A x ∠==︒；（3）解：AD 的长是3或6，理由如下：当90BFD ∠=︒时，点F 在ABC 内（如图所示）∵60BDF ∠=︒，∴30DBF ∠=︒，∴2BD DF=由折叠得DF AD =，∴2BD AD =，∴39AD =，∴3AD =；当90DBF ∠=︒时，点F 在ABC 外，同理可得2AD DF BD ==，∴6AD =．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，含30︒角的直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键．例10．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图，已知直线1l 经过点()5,6，交x 轴于点()30A -,，直线2:3l y x=交直线1l 于点B ．(1)求直线1l 的函数表达式和点B 的坐标；(2)求AOB 的面积；(3)在x 轴上是否存在点C ，使得ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标：若不存在，请说明理由．39=+；()1,3(2)9(3)()1,0 y x②当90ABC ∠=︒时，点C 在图中C 的位置：设【答案】（1）见解析；（2）①721y x =--；②()4,2Q 或2022,33⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）：利用角的数量关系可求得D E ∠=∠，ACD EBC ∠=∠，然后根据（2）①：过点B 作BC AB ⊥交2l 于C ，过C 作CD y ⊥轴于D ，由（1三角形的性质求出C 的坐标，再利用待定系数法求2l 的解析式即可；②可得：(AAS)AMQ QNP ≌，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．∵45BAC ∠=︒，∴ABC ∵14:43l y x =+，令y =令0x =，则4y =，∴∴437OD =+=．∴C 将点(3,0)A -，(4,7C -当90AQP ∠=︒时，由（1）同理可证：∴QN AM =，即86(2m m -=--【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键．课后专项训练A．2【答案】D【分析】由条件可求得t<<两种情况，根据当610三角形的性质求解即可得．△【详解】解：在Rt ABC【答案】90︒或34︒【分析】分当90A ∠=︒时，当【详解】解：当90A ∠=︒时，满足【答案】2483-或【分析】由等边三角形的性质可得角三角形的性质可求【答案】125或247或325①当04t <≤时，3AP t =，BP 在Rt BPQ 中，2BP BQ =，即12②当46t <≤时，312BP t =-，①当04t <≤时，3AP t =，BP AB =在Rt BPQ 中，2BQ BP =，即2t =②当46t <≤时，312BP t =-，在【答案】3-【分析】分两种情况：即可求得EF；当EF．【答案】103或53【分析】分BMN ∠=【详解】解：由题意得，当90BMN ∠=︒时，【答案】30︒或45︒【分析】分两种情况：当点E在∆外时，由折叠可得：AE在ACB【详解】解：分两种情况：如图，由折叠可得：AE AC =，C ∠= AD 平分CAE ∠，45CAD ∴∠=︒，故答案为30︒或45︒．【点睛】本题考查折叠的性质，解本题要注意分类讨论．熟练掌握折叠的性质、直角三角形的性质和三角【答案】4，6或73【分析】由题意分AD =BD 【详解】解：如图，当AD ∵Rt △ABC 中，∠C =90°∵AB =BD ，∴CD BD BC =-如图，当AB =AD 时，∵AB =BD ，∠C =90°，∴综上可得CD 的长为4，【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握利用方程根据勾股定理建立方程求解以及进行全面思考、分类讨论是解题的关键12．（2023春·江苏·八年级期末）在为线段AB 上的动点，当【答案】69°或11°【分析】分情况讨论，当∠时，通过三角形内角和求出∠【详解】∵80C ∠=︒，∠∵BD平分∠ABC，∴∠DBE如图，当∠ADE=90°时，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC∴∠ADB=∠DBC+∠C=21°+80°=101°【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画一共可作出6【点睛】本题考查了等腰直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解更形象直观．14．（2023·江苏兴化·八年级期中）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D、E在边BC所在的直线上，且AB=DB，AC=EC，则∠DAE的度数为________．【答案】45°或135°【分析】分四种情况：若点D 、E 在线段BC 上时；若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上点E 在BC 的延长线上时；若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时讨论，即可求解．【详解】解：如图，若点D 、E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，AC =EC ，∴∠BAD =∠ADB ，∠CAE =∠AEC ，∴∠BAE +∠DAE =∠CAD +∠C ，∠CAD +∠DAE =∠BAE +∠B ，∴∠BAE +∠CAD +2∠DAE =∠CAD +∠BAE +∠B +∠C ，∴2∠DAE =∠B +∠C ，∵∠BAC =90°，∴∠B +∠C =90°，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在线段BC 上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴可设∠E =∠CAE =x ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2x ，∵∠BAC =90°，∴∠B =90°-∠ACB =90°-2x ，∵AB =DB ，∴()1180452BAD ADB B x ∠=∠=︒-∠=︒+，∵∠ADB =∠DAE +∠E ，∴∠DAE =45°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在BC 的延长线上时，∵AC =EC ，∴∠E =∠CAE ，∴∠ACB =∠E +∠CAE =2∠CAE ，∵AB =DB ，∴∠D =∠BAD ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2∠BAD ，∵∠BAC =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∴2∠CAE +2∠BAD =90°，∴∠CAE +∠BAD =45°，∴∠DAE =∠CAE +∠BAD +∠BAC =135°；如图，若点D 在CB 的延长线上，点E 在线段BC 上时，∵AB =DB ，∴可设∠D =∠BAD =y ，∴∠ABC =∠D +∠BAD =2y ，∴∠ABC =2y ，∵∠BAC =90°，∴∠C =90°-2y ，∵AC =EC ，∴∠AEC =∠CAE =()1180452C y ︒-∠=︒+，∵∠AEC =∠D +∠DAE ，∴∠DAE =45°综上所述，∠DAE 的度数为45°或135°．故答案为：45°或135°【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，利用分类讨论思想解答是解题的关键．15．（2022·广东·八年级课时练习）如图，60BOC ∠=︒，点A 是BO 延长线上的一点，10cm OA =，动点P 从点A 出发沿AB 以3cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s 的速度移动，如果点P Q ，同时出发，用(s)t 表示移动的时间，当t =_________s 时，POQ △是等腰三角形；当t =_________s 时，POQ △是直角三角形．5类时注意不能遗漏，也不能重复．16．（2022·浙江·义乌市八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点P是BC 边上的一个动点，点B与B′是关于直线AP的对称点，当△CPB'是直角三角形时，BP的长＝_______．24＝5，PB′2，是矩形，2，1，17．（2022·河北承德·八年级期末）如图，60ABC ∠=︒，3AB =，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC 运动，嘉琪在研究过程中发现，随着点Р运动，ABP △形状在发生变化，设点P 的运动时间为t 秒．（1）当ABP △是直角三角形时，t 的值为______；（2）当ABP △是钝角三角形时，t 满足的条件是__________．19．（2022·江苏镇江·八年级期中）点P，Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB，BC上的动点，点P 从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ，CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ．①当△BPQ为等边三角形时，t＝秒；②当△BPQ为直角三角形时，t＝秒．（直接写出结果）(1)点M，N运动几秒后，AMN如存在，请求出此时∆？到直角三角形AM N【答案】(1)12秒(2)存在，，AMN ANM ∴∠=∠，∴∠AB BC AC == ，ΔACB ∴AMC ANB Ð=ÐQ ，C ∠=CM BN ∴=，1236t ∴-=2BN t = ，AM t =，AN ∴如图，若90ANM ∠=︒，由2AN AM =，则2(12当点N 在AC 上运动时，点当点N 在BC 上运动时，如图，当点由ABC ∆时等边三角形知如图，当点M 位于BC 中点处时，由ABC ∆时等边三角形知AM 综上，当3t =或245或15或【点睛】本题考查了等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，角三角形的性质，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．(1)在图2的ABC 中，20C ∠=︒，110ABC ∠=︒．请在图2中画出ABCDBC ∠的度数；(2)已知20C ∠=︒，在图3中画出两种不同于图1、图2的ABC ，所画ABC 同时满足：①∠C 为最小角；②存在关于点B 的伴侣分割线，请画出其伴侣分割线，标出所画ABC 中各个角的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把∠ABC 分成90°角和20°角即可；（2）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质和三角形内角和求解即可．【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图，直角三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，涉及分类讨论，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和直角三角形的性质．23．（2023秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点O 为坐标原点，经过A(-2，6)的直线交x 轴正半轴于点B ，交y 轴于点C ，OB=OC ，直线AD 交x 轴负半轴于点D ，若△ABD 的面积为27．（1）求直线AD 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为y （y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若∴EF=-m+4，∴-m+4=3 2③当∠PFE=90°时，如图∵∠FPE+∠EFP+∠FEP=180°∴∠PFR=180°-∠FPE-∠∵点R与点E的纵坐标相同，∴∴PR=FR=-m+4=-107+4=18。
2014高考全国1数学试卷及解析
2014年普通高等学校招生全国统一考试（I）一．选择题（共12小题）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数4．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．211．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4二．填空题（共4小题）13．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为．（用数字填写答案）14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为．15．已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA ﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n﹣a n=λ+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．21．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．22．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．23．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2018年04月22日fago的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[1，2） B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论正确的是（）A．f（x）•g（x）是偶函数B．|f（x）|•g（x）是奇函数C．f（x）•|g（x）|是奇函数D．|f（x）•g（x）|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）•g（﹣x）=﹣f（x）•g（x），故函数是奇函数，故A错误，|f（﹣x）|•g（﹣x）=|f（x）|•g（x）为偶函数，故B错误，f（﹣x）•|g（﹣x）|=﹣f（x）•|g（x）|是奇函数，故C正确．|f（﹣x）•g（﹣x）|=|f（x）•g（x）|为偶函数，故D错误，故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【分析】双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3【分析】作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．【解答】解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，p1：区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；p2：在直线x+2y=2的右上方和区域D重叠的区域内，∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；p3：由图知，区域D有部分在直线x+2y=3的上方，因此p3：∀（x，y）∈D，x+2y ≤3错误；p4：x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3 C．D．2【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6 B．6 C．4 D．4【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．【解答】解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二．填空题（共4小题）13．（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）【分析】由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．【解答】解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：8．含x2y6的系数是28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20【点评】本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA ﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC⇒（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c⇒2a﹣b2=c2﹣bc，又因为：a=2，所以：，△ABC面积，而b2+c2﹣a2=bc⇒b2+c2﹣bc=a2⇒b2+c2﹣bc=4⇒bc≤4所以：，即△ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．三．解答题（共7小题）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．﹣a n=λ（Ⅰ）证明：a n+2（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得+2到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，（a n+2﹣a n）=λa n+1∴a n+1≠0，∵a n+1﹣a n=λ．∴a n+2（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，+2∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，则λ=a n+2∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【分析】（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l 的方程．【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知，得又，所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，从而又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，设，则t＞0，，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．21．设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．【分析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，∵f（x）＞1，∴e x lnx+＞1，∴lnx＞﹣，∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．22．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．【分析】（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．23．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【分析】（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥2及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。
有复习资料-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．求证：（1）AB＝CD：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案及解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）∴AB＝CD（全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 及Rt△CBA中，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．2、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等．（）【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×. 在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AE为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案及解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 及Rt △BCD 中，∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形 在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BABD AC=⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案及解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 及△CBE 中，∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参及，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB＝AC，AD⊥ BC于D，E、F为AD上的点，则图中共有（）对全等三角形．A．3 B．4 C．5 D．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt△ABC及Rt△'''A B C中, ∠C ＝∠'C＝ 90, A＝∠'B, AB ＝''A B, 那么下列结论中正确的是( )A. AC ＝''B C D. ∠A C B.BC ＝''B C C. AC ＝''A ＝∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A＝∠D＝90°，BE＝CF，AC＝DE，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则AC＝_________.10. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，EC⊥AC，AC＝EC，若DE＝2，AB＝4，则DB＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC＝EF，左边滑梯的高度AC及右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B 点及O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上及AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 及Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等）∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得： ∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 及Rt △EDF 中 B EDF BC DFC F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠2.证明：∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴△AEC、△AFB为直角三角形在Rt△AEC及Rt△AFB中∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL）∴∠EAC＝∠FAB∴∠EAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，即∠1＝∠2.【答案及解析】一、选择题1. 【答案】C；【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS定理证明全等.2. 【答案】D；【解析】△ABD≌△ACD；△ABF≌△ACF；△ABE≌△ACE；△EBF ≌△ECF；△EBD≌△ECD；△FBD≌△FCD.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】注意看清对应顶点，A对应'B，B对应'A.5. 【答案】C；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD；【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△CDE.10.【答案】6；【解析】DB＝DC＋CB＝AB＋ED＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL证Rt△ABC≌Rt△DEF，∠BCA＝∠DFE. 12.【答案】45°；【解析】证△ADC及△BDF全等，AD＝BD，△ABD为等腰直角三角形.。
直角三角形----知识讲解(基础
直角三角形----知识讲解（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用.【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ①3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……②如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长；④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长；⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长.要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以. 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边.要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题.要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．【答案与解析】解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股定理的原式还是变式．举一反三：【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，b ＝2，c ＝3，∴a ===；（2）设3a k =，5c k =．∵∠C＝90°，b ＝32，∴222a b c +=．即222(3)32(5)k k +=．解得k ＝8．∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．2、一圆形饭盒，底面半径为8cm ，高为12cm ，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？【答案与解析】解：如图所示，因为饭盒底面半径为8cm ，所以底面直径DC 长为16cm ．则在Rt△BCD 中，222BD DC BC =+，所以20BD ===(cm )．答：筷子最长不超过20cm ，可正好盖上盒盖．【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．举一反三：【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？【答案】解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，∴ 22222512169AB BC AC =+=+=．∴ 13AB ==(m )．∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．∴ 旗杆折断前的高度为18m ．【高清课堂 勾股定理 例3】类型二、勾股定理的逆定理3、判断由线段a b c ，，组成的三角形是不是直角三角形．（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25；（2）a ＝43，b ＝1，c ＝34；（3）22a m n =-，22b m n =+，2c mn =(0m n >>)；【思路点拨】判断三条线段能否组成直角三角形，关键是运用勾股定理的逆定理：看较短的两条线段的平方和是否等于最长线段的平方．若是，则为直角三角形，反之，则不是直角三角形．【答案与解析】解：（1）∵ 2222724625a b +=+=，2225625c ==，∴ 222a b c +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形． （2）∵ a b c >>，222239251141616b c ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭，2241639a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，∴ 222b c a +≠．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形不是直角三角形．（3）∵ 0m n >>，∴ 222m n mn +>，2222m n m n +>-．∵2222224224224224()(2)242a c m n mn m m n n m n m m n n +=-+=-++=++，22224224()2b m n m m n n =+=++，∴ 222a c b +=．∴ 由线段a b c ，，组成的三角形是直角三角形．【总结升华】解此类题的关键是准确地判断哪一条边最大，然后再利用勾股定理的逆定理进行判断，即首先确定最大边，然后验证2c 与22a b +是否具有相等关系，再根据结果判断是否为直角三角形，第3小题，m,n 可以取特殊值，代入到三边中，也可以判断其三边的大小．举一反三：【变式1】判断以线段a b c ，，为边的△ABC 是不是直角三角形，其中a =，b =2c =．【答案】解：由于a c b >>，因此a 为最大边，只需看2a 是否等于22b c +即可．∵227a ==，223b ==，2224c ==，∴222a b c =+，∴以线段a b c ，，为边能构成以a 为斜边的直角三角形．【高清课堂 勾股定理逆定理 例3】【变式2】一个三角形的三边之比是3:4:5 则这个三角形三边上的高之比是（ ）A ．20:15:12B ．3:4:5C ．5:4:3D ．10:8:2【答案】A.提示：这个三角形是直角三角形，三边上的高之比为4:3：125，即20:15:12.4、如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝12，AD ＝13，∠B＝∠90°，求四边形ABCD 的面积．【答案与解析】解：连接AC ，在△ABC 中，因为∠B＝90°，AB ＝3，BC ＝4，所以222223491625AC AB BC =+=+=+=，所以AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝13，DC ＝12，AC ＝5，所以2222225122514416913DC AC AD +=+=+===，即222DC AC AD +=．所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以11S 22ABC ACD ABCD S S AB BC AC DC ∆∆=+=⨯+⨯四边形113451222=⨯⨯+⨯⨯63036=+=．【总结升华】有关四边形的问题通常转化为三角形的问题来解．由AB ＝3，BC ＝4，∠B＝90°，应想到连接AC ，则在Rt△ABC 中即可求出△ABC 的面积，也可求出线段AC 的长．所以在△ACD 中，已知AC ，AD ，CD 三边长，判断这个三角形的形状，进而求得这个三角形的面积．而判断△ACD 的形状，常考虑能否用勾股定理的逆定理来判断是否是直角三角形．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用5、（2015春•遵义期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）【思路点拨】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．【答案与解析】解：在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．类型四、原命题与逆命题6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．2．原命题：对顶角相等.3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端点的距离相等．4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．【答案与解析】1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． （正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．（正确）【总结升华】掌握原命题与逆命题的关系. 原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误.举一反三：【变式1】下列命题中，其逆命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．【答案】①④提示：①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c ，，满足222a b c +=”也是正确的.【变式2】（2014秋•永州校级期中）根据命题“两直线平行，内错角相等．”解决下列问题：（1）写出逆命题；（2）判断逆命题是真命题还是假命题；（3）根据逆命题画出图形，写出已知，求证．【答案】解：（1）逆命题：内错角相等，两直线平行；（2）是真命题；（3）已知：如图，∠AMN=∠DNM，求证：AB∥CD．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD∥BC．【思路点拨】先由“HL”证Rt△ABD≌Rt△CDB，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°在Rt△ABD 和Rt△CDB 中，AD BCBD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL ）∴AB＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB＝∠CBD∴AD∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.举一反三：【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，例3】【变式】已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED⊥AC．【答案】证明：∵AE⊥AB，BC⊥AB，∴∠DAE＝∠CBA＝90°在Rt△DAE 与Rt△CBA 中，ED ACAE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt△DAE≌Rt△CBA （HL ）∴∠E＝∠CAB∵∠CAB＋∠EAF＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED⊥AC．8、（2014春•东营区校级期末）如图，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，且DB=DC ，求证：EB=FC．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∴DE=DF；∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∴在Rt△DBE和Rt△DCF中∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL）；∴EB=FC．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（在直角三角形中）．。
直角三角形
【解析】当折痕经过点 B 时， x 取得最大值，此时 BA′=BA=8 ； 当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾 股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
3 10 答案： 3 10 ． 3
【规律方法】解图形折叠问题的思路 1.寻找出折叠前后的不变量(即相等线段，相等角). 2.发现图形中直角三角形，并能灵活应用勾股定理. 3.利用勾股定理建立方程求解.
【真题专练】 1.(2014·牡丹江中考)已知：如图， 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B， CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线 CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好 与AB垂直，那么∠A的度数是 A.30° B.40° C.50° ( ) D.60°
4． 一直角三角形的两边长分别为 3 和 4.则第三边 的长为( A． 5
D D
) B. 7 C. 5 D． 5或 7
解析：当 4 是直角边时，第三边的长为 32＋42＝ 5；当 4 是斜边时，第三边的长为 42－32＝ 7. 故选 D.
2.(2014·东营中考)如图，有两棵树，一棵高12m，另一棵高6m， 两树相距8m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小 鸟至少飞行
，则正方 2
【解析】因为正方形ABCD的对角线AC= 2 ，所以由勾股定理得， 正方形的边长为1，故周长为4. 答案：4
4.(2014·苏州中考)如图，在矩形ABCD中， AB 3 ，以点B为 圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E，若AE·ED= ABCD的面积为 .
解直角三角形练习试题1(含答案解析)
解直角三角形练习题1一. 选择题：（每小题2分，共20分）1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则cotE=（ ） A.43 B. 34 C. 53 D. 35 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A.21B. 33C. 1D. 33. 在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B，则这个三角形一定是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ）A.EGEF G =sin B. EFEH G =sinC. FGGH G =sin D. FGFH G =sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ）A. sin65°<cos26°B. sin65°>cos26°C. sin65°=cos26°D. sin65°+cos26°=1 6. 已知30°<α<60°，下列各式正确的是（ ） A.B.C.D.7. 在△ABC 中，∠C=90°，52sin =A ，则sinB 的值是（ ） A.32 B.52 C.54D.521 8. 若平行四边形相邻两边的长分别为10和15，它们的夹角为60°，则平行四边形的面积是（ ）米2A. 150B.375C. 9D. 79. 如图19，铁路路基横断面为一个等腰梯形，若腰的坡度为i= 2∶3，顶宽是3米，路基高是4米，则路基的下底宽是（ ）A. 7米B. 9米C. 12米D. 15米 10. 如图20，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阻影部分）的面积为（ ） A.αsin 1 B. αcos 1C. αsinD. 1二. 填空题：（每小题2分，共10分）11. 已知0°<α<90°，当α=__________时，21sin =α，当α=__________时，Cota=3. 12. 若，则锐角α=__________。
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定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决． 触类旁通 3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为 6 m，8 m，现在要将 绿地扩充成等腰三角形， 且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形， 求扩充后等腰三角形 绿地的周长．
1．(2012 湖南邵阳)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90° ，∠B＝30° ，ED 是 BC 的 垂直平分线，请写出图中两条相等的线段__________．
2．(2012 四川巴中)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式 c2－a2－b2＋|a－ b|＝0，则△ABC 的形状为__________． 3. (2012 重庆)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90° ，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边 三角形．若 AB＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号)
角三角形的一边时， 如果可以找到另外两边的关系， 也可通过列方程的方法求出另外两条边． 2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形． 触类旁通 2 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12， 求四边形 ABCD 的面积．
考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用 【例 4】 如图所示，铁路上 A，B 两站(视为直线上两点)相距 14 km，C，D 为两村庄(可 视为两个点)，DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，已知 DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建 一个土特产品收购站 E，使 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米 处？
D．无法确定
4. 如图，在 Rt△ABC 中，以三边 AB，BC，CA 为直径向外作半圆，设直线 AB 左边 阴影部分的面积为 S1，右边阴影部分的面积和为 S2，则( )
A．S1=S2
B．S1＜S2
C．S1＞S2
D．无法确定
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8，现将△ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B CE 重合，折痕为 DE，则 的值是( BC )
分析：因为 DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，在 AB 上找一点可构成两个直角三角形，我 们可想到通过勾股定理列方程进行求解．
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解：设 E 站应建在距 A 站 x km 处， 根据勾股定理有 82＋x2＝62＋(14－x)2，解得 x＝6. 所以 E 站应建在距 A 站 6 km 处． 方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用， 是把实际问题转化为数学问题， 建立勾股
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解：设 CD 长为 x cm，由折叠得△ACD≌△AED． ∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90° ，DE＝CD＝x cm. 在 Rt△ABC 中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10(cm)． ∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm， 在 Rt△DEB 中，由勾股定理得 DE2＋BE2＝DB2. ∴x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3. ∴CD 的长为 3 cm. 方法总结 1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边， 当我们只知道直
导学必备知识
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自主测试 1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示：
在 Rt△ABC 中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得：AB＝ AC2＋BC2＝15. 过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D， 1 1 又 S△ABC＝ AC· BC＝ AB· CD， 2 2 AC· BC 9×12 36 ∴CD＝ ＝ ＝ ， AB 15 5 36 则点 C 到 AB 的距离是 . 5 2． 等腰直角三角形 由题意得： c2－a2－b2＝0， a－b＝0， ∴c2＝a2＋b2， a＝b， 则△ABC 的形状为等腰直角三角形． 3．解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B＝60° . ∵∠BAC＝90° ，∴∠C＝180° －90° －60° ＝30° ， ∴BC＝2AB＝4. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC＝ BC2－AB2＝ 42－22＝2 3，∴△ABC 的周长为 AC＋BC＋AB＝2 3＋4＋2＝6＋2 3.
8. 如图，已知点 D 为等腰 Rt△ABC 内一点，∠CAD＝∠CBD＝15° ，E 为 AD 延长线上 的一点，且 CE＝CA．
(1)求证：DE 平分∠BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC＝DM，求证：ME＝BD．
参考答案
【知识梳理】 一、1.互余 2.一半 3.一半 二、1.90° 2.互余 3．一半 4.平方和
等于 90° ，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理证
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得． 触类旁通 1 具备下列条件的△ABC 中，不能成为直角三角形的是( 1 A．∠A＝∠B＝ ∠C B．∠A＝90° －∠C 2 考点二、直角三角形的性质 【例 2】 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出 的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连接 DC． )
第 16 讲
直角三角形
考标要求 1.了解直角三角形的有关概念， 掌握其 性质与判定． 2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来 解决有关问题.
考查角度 直角三角形是中考考查的热点之一，题 型多样，多以简单题和中档难度题出现，主 要考查直角三角形的判定和性质的应用，以 及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题 的能力.
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图甲
图乙
(1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)； (2)求∠ACD 的余弦值．
1. 如图所示，将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上， 另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角， 则三角板的最大边的长为( )
知识梳理 一、直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角________． 2．直角三角形中，30° 角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________． 4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 二、直角三角形的判定 1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这 个三角形是直角三角形． 自主测试 1．(2012 广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝9， BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( 36 A． 5 12 9 B． C． 25 4 3 3 D． 4 )
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考点一、直角三角形的判定 【例 1】 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 为边 BC 上的任一点，DF ⊥AB 于 F，DE⊥AC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断△MEF 的形状，并证明你的结论．
分析：连接 AM，可得 AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到 FM＝ME，∠EMF ＝90° . 解：△MEF 是等腰直角三角形． 连接 AM，∵∠BAC＝90° ，AM 是斜边 BC 的中线，
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n
24 A． 7
B．
7 7 1 C． D． 3 24 3
6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 是斜边 AB 的中点，DE⊥AC，垂足为 E， 若 DE＝2，CD＝2 5，则 BE 的长为__________．
7. 如图，已知等腰 Rt△ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第 二个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE，…， 依此类推直到第五个等腰 Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ___________.
∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45° . ∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90° ， ∴四边形 DFAE 是矩形，∴FD＝EA． 又∵FB＝FD，∴FB＝EA， ∴△BFM≌△AEM(SAS)， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∵∠AMF＋∠BMF＝90° ， ∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90° ， ∴△MEF 是等腰直角三角形． 方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多， 最简捷的方法就是求出一个角
2．(2012 湖南岳阳)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90° ，沿 AD 折叠，使点 B 落在斜边 AC 上，若 AB＝3，BC＝4，则 BD＝________.
3．(2012 湖南郴州)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，则这个菱形的边 长为__________．
4．(2012 湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据 此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90° ，AB＝BC＝15 千米，CD＝ 3 2千米，请据此解答如下问题：
探究考点方法
触类旁通 1.D 触类旁通 2.解：在 Rt△ABD 中，BD＝ AD2＋AB2＝ 42＋32＝5， 在△BCD 中，CD＝13，CB＝12，BD＝5， ∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90° . 1 1 1 1 ∴S 四边形 ABCD＝S△ABD＋S△DBC＝ AB· AD＋ BC· BD＝ ×3×4＋ ×12×5＝6＋30＝36. 2 2 2 2 触类旁通 3.解：在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝ AC2＋BC2＝ 10，扩充部分为 Rt△ACD，扩成等腰三角形 ABD，应分以下三种情况： (1)如图 1，当 AB＝AD＝10 时，可求得 CD＝CB＝6，故△ABD 的周长为 32 m. (2)如图 2，当 AB＝BD＝10 时，可求得 CD＝4，由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝4 5， 故△ABD 的周长为(20＋4 5) m.