抛物线与三角形地面积

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第五讲+抛物线中三角形的面积问题

第五讲抛物线中三角形的面积问题一、抛物线内接三角形的面积问题：例、如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1:5，|OB|=|OC|，△ABC的面积S△ABC=15，抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点。

⑴求此抛物线的函数表达式和顶点M坐标；⑵求S△MBC；归纳：怎样求坐标系内任意三角形的面积问题：二、抛物线中三角形的等积变化：1、在抛物线上是否存在点D，使得△ABC和△ABD面积相等，若存在，求出点D的坐标，若不存在，说明理由。

2、在抛物线上是否存在点E，使得△ABC和△BCE面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，说明理由。

S△ABC。

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由3、在抛物线上是否存在点M，使S△MBC= 134、（2011成都）在抛物线上是否存在异于B、C的点M，使△MBC中BC边上的高为7√？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.5、点P（2，-3）是抛物线对称轴上的一点，在线段OC上有一动点M，以每秒2个单位的速度从O向C 运动，（不与点O，C重合），过点M作MH∥BC，交X轴于点H，设点M的运动时间为t秒，试把△PMH 的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；6、在抛物线的对称轴上有一点P的纵坐标为5，在直线上BC求一点M使得S△PBM∶S△ABC=1:5.7、在直线BC下方抛物线上是否存在一个点F，使得△BCF的面积最大，若存在，求出点F的坐标，并求出最大面积，若不存在，说明理由。

练习：1、如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0，-4），其中x1，x2是方程x2-4x-12=0的两个根．（1）求A、B两点坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点M是线段AB上的一个动点（不与A、B两点重合），过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，在M点运动时，△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出△CMN面积最大时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2、（2010玉溪）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，△AOB（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（4）在（2）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD 把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．yAB。

二次函数与实际问题典型例题

二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。

本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。

首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。

求抛物线与三角形ABC 的面积。

解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。

由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。

接下来是抛物线与最值问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。

解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。

当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。

再来一道抛物线与交点问题。

题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。

解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。

抛物线焦点弦三角形的面积(抛物线的弦相关的问题)

抛物线焦点弦三角形的面积本内容主要研究抛物线焦点弦三角形的面积.以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，称为抛物线的焦点弦三角形.给出三种抛物线焦点弦三角形的面积公式，根据已知条件合理选择.例：过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,O 为坐标原点.若|AF |=3,则△AOB 的面积为( ) A.22 B.2 C.322 D.22解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0),因为|AF |=3,所以x 1+1=3,x 1=2,代入抛物线方程得122y =,故A (2,22),所以直线AB 的方程为22(1)=-y x ,由22220,4x y y x⎧--=⎪⎨=⎪⎩得2240y --=. 所以122y y +y 1y 2=－4,则22121219||1()[()4]222AB y y y y ⎡⎤=++-=⎢⎥⎣⎦.又可求得圆点O 到直线AB 的距离为223,故△AOB 的面积为1922322222S =⨯⨯=.[一题多解]设∠AFx =θ(0<θ<π)及|BF |=m ,则点A 到准线l :x =－1的距离为3,得1323cos cos 3θθ=+⇔=,又 232cos()1cos 2,=+π-⇔===+m m BF m m θθ,△AOB 的面积为113||||sin 1(3)22233S OF AB θ=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯=. 答案：C注意：前法是解决此类问题的通法,一般通过求弦长和点到直线的距离进行求解,后法则有一定的技巧性.整理：B AOF过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于A ,B 两点,且11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点.则△AOB 的面积为(1)121||||2S OF y y =⨯⨯-=; (2) 1||2=⨯⨯S AB d ,d 为点O 到直线AB 的距离; (3)11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅其中∠AFx =θ(0<θ<π).再看一个例题：例：设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )解：抛物线的焦点F 的坐标为(1,0),设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(y 1>0,y 2<0), ∠AFx =60°所以直线AB 的方程为3(1)=-y x ,由23(1),4⎧=-⎪⎨=⎪⎩y x y x得231020-+=x x . 所以12103x x +=,则1216||3AB x x p =++=. 又11sin sin 22OAB OBF OAF S S S OF BF OF AF θθ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅ ()11sin sin 22OF AF BF OF AB θθ=⋅+=⋅⋅ 故△AOB 的面积为116341=32323∆=⨯⨯⨯OAB S总结：1.根据已知条件合理选择我三种抛物线焦点弦三角形的面积公式.2.掌握抛物线的焦点弦长计算方法.练习：1.已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ,焦点为F (1,0),经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点.(Ⅰ)求抛物线C 的标准方程;(Ⅱ)若△AOB 的面积为4,求|AB |.2. 设F 为抛物线C :y 2=3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )C.6332D.943. 已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,过点A 作准线l 的垂线,垂足为E ,当A 点坐标为(3,y 0)时,△AEF 为正三角形,则此时△OAB 的面积为( )A.4C.3D.3。

6.抛物线求三角形面积(割补法铅垂法)

抛物线与三角形面积问题
———割补法、铅垂法
例1：在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7），求△ABC 的面积．解：过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D。

1.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴
于点B .
（1）求抛物线和直线AB 的解析式.
（2）求CAB S .2.如图,抛物线经过A(1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点,连接DC,DB,
（1）求抛物线的表达式.
（2）求△BCD 面积的最大值,并写出D 点的坐标.
x
C O y A B 1
1C (4,7)
B (7,3）
A (1,1)
o x y D
121-=⨯k k (3)x y A B C P E O x y A B
C Q
O
(2)3.如图,二次函数的图象经过点A(0,1),它的顶点B(1,3).
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)过点A 作AC⊥AB 交抛物线于点C,P 是直线AC 上方抛物线上的
一点,当△APC 面积最大时,求点P 的坐标和△APC 面积的最大
值.(提示：若两条直线互相垂直，则)
4.如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A(1,0),B(-3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.。

抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析

抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。

它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。

抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。

本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。

在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。

我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。

通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。

同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。

最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。

本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。

【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。

同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。

（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。

首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。

然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。

最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。

（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。

同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。

通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。

抛物线焦点三角形面积公式

抛物线焦点三角形面积公式
抛物线焦点三角形面积公式：
1、抛物线焦点三角形的基本概念：抛物线焦点三角形是一种由抛物线的两个焦点所围成的三角形。

它是一种特殊的三角形，因为它的全部边都是由两个抛物线的焦点和一条直线组成的。

2、抛物线两个焦点间距离公式：在抛物线中，首先需要计算两个焦点之间的距离，计算公式如下：
距离=抛物线焦点距离=2*抛物线离心率。

3、抛物线焦点三角形面积公式：抛物线焦点三角形的面积可通过下式计算：
S=½*[(2*焦点距离)+(外边长)^2-4*(外边长*内边长)].
4、该公式应用场景：抛物线焦点三角形面积计算可以在有关椭圆和抛物线的数学问题中得到应用，如抛物线的焦点定理以及大约椭圆和抛物线的物理应用等。

因此，抛物线焦点三角形面积公式是在计算椭圆和抛物线方面极其重要的公式。

抛物线内接三角形面积公式

抛物线内接三角形面积公式
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。

如果把抛物线的顶点设为坐标原点 (0,0)，那么抛物线的顶点
坐标为 (h, k)，其中 h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)。

接下来，我们设抛物线上任意一点的坐标为 (x, ax^2 + bx + c)。

我们知道，任意抛物线上的一点到抛物线顶点的距离可以用欧几里得距离公式计算：
d = √((x-h)^2 + (ax^2 + bx + c - k)^2)
现在我们要求抛物线上的三个点坐标 (x1, y1)，(x2, y2)，(x3,
y3)，使得这个三角形与抛物线相内切。

由于内切三角形的性质，三个点到抛物线顶点的距离都是相同的。

因此我们可以将这个距离简化为：
d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2)
根据欧几里得距离公式，这个内切三角形的面积可以通过海伦公式计算：
s = √(p(p-d1)(p-d2)(p-d3))
其中 p = (d1 + d2 + d3)/2 是三个边长的半周长。

我们可以进一步简化这个面积公式，将三个边长用 d 表示：s = √(3d^2(d-p))
其中d = √((x1-h)^2 + (ax1^2 + bx1 + c - k)^2) 是三个边长的距离，p = (3d)/2 是三个边长的半周长。

这就是抛物线内接三角形的面积公式。

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用

抛物线内接直角三角形的一个性质及应用抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它告诉我们：如果一个直角三角形的一个顶点在抛物线上，那么其它两个顶点的坐标也会在这个抛物线上。

本文将简要介绍抛物线内接直角三角形的定义、性质及其应用。

首先，抛物线内接直角三角形定义为：一个直角三角形，其中一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在抛物线上，且抛物线的准线和直角三角形的两条腰都相交。

因此，抛物线内接直角三角形的性质有以下三点：
1）直角三角形的一个顶点在抛物线上，另外两个顶点也在同一
条抛物线上；
2）抛物线的准线与直角三角形的腰相交；
3）抛物线内接直角三角形的面积小于等于抛物线面积的一半。

此外，抛物线内接直角三角形还有一些其它特性：抛物线内接直角三角形的高度等于抛物线的端点之间的距离；两点定理说明了任何一点到抛物线上的点的距离等于直角三角形的斜边的长度。

抛物线内接直角三角形有许多实际应用，其中最为重要的是在机械设计中，抛物线被用来设计螺旋形线路，使得机械运动更加均匀，减少了摩擦力，减少了损耗。

在建筑过程中，抛物线也被用来设计电梯的曲线，使其运行曲线十分柔和，降低了电梯的震动，减少了乘客的不适感受。

另外，抛物线内接直角三角形也被用于医学领域中的X 射线成像技术，使得X射线的扫描更加准确，精确诊断病症。

综上所述，抛物线内接直角三角形是几何学中一个重要的定理，它描述了三角形和抛物线之间的关系，它的定义、性质和应用在许多不同的领域中有广泛的应用，它能够减少摩擦力、降低震动，使X射线扫描更准确，为人类带来科学和技术上的进步。

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略

抛物线中三角形面积最大值问题的解法攻略
抛物线中三角形面积最大值问题是很多数学教师都会遇到的问题。

求得抛物线中三角形面
积最大值，就先要分析抛物线的基本参数，因为抛物线是一种比较复杂的曲线，需要对其
有一定的了解才可以解答此问题。

抛物线的标准方程为y=ax2+bx+c，a为抛物线的系数，a>0，抛物线呈转弯向上，a<0，呈
转弯向下；b表示抛物线的开口方向，b>0，表示开口向右，b<0，表示开口向左。

因此，
得知抛物线在某一瞬间的顶点位置，以及抛物线的开口位置，就可以求出抛物线上三角形
的端点位置。

在定位了三角形端点位置后，只需要利用海伦公式就可以求出三角形面积：S=√[p(p-
a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，a,b,c分别为三角形的三边长。

最后，把求的所有的三角形面积按从大到小排列，那么最大的面积就是抛物线中三角形面
积最大值了。

抛物线中三角形面积最大值问题，要求求解者要完全把握和理解方程抛物线的特征，以及
三角形的基本定义，之后再结合海伦公式求出最大面积。

海伦公式和抛物线方程是相结合，那么广大教师和学生并不必对此感到困惑，只需要把这两个概念理解深入，就能在一定的
时间内得出满意的答案。

抛物线三角形面积最大值

抛物线三角形面积最大值抛物线三角形面积最大值，听起来有点高大上，其实就是个数学小问题。

不过，别急，咱们慢慢来聊聊。

想象一下，阳光明媚的一天，咱们在公园里，随便找块地方坐下，开始讨论这个看似复杂的概念。

抛物线，其实就是那种弯弯曲曲的线，像是个调皮的小孩在滑滑梯，突然又调转方向。

大家对它的第一印象就是在抛物运动里，什么篮球啊、飞盘啊都和它有关系。

其实它不仅在运动中显得风光，连数学问题也逃不过它的法眼。

抛物线与三角形又有啥关系呢？简单来说，如果我们把一条抛物线和一条直线搭配，嘿，立马就能形成一个三角形。

这种三角形的面积可是可以变化的，像气球一样，吹得大大小小，关键在于你怎么把那条直线放置在抛物线上。

这就引出了一个问题：怎么才能让这个三角形的面积达到最大呢？听起来是不是有点像在玩拼图？其实不然。

想象一下，咱们把那条直线横放，抛物线在下面摇摇晃晃。

面积的公式大家都知道，底乘高除以二，但这里的“底”和“高”可不是随便的数字。

这时候，你得考虑抛物线的形状，底边得在抛物线的顶点和两侧的交点之间，这样才能得到最大面积。

是不是听起来有点拗口，但别担心，继续往下走，你会发现其实很简单。

先把心放宽，咱们来设想一下。

你想象一下，有一个小朋友在画图，他用铅笔画了一个抛物线，心里琢磨着：“我能把这条直线放在哪儿，才能让这三角形看起来更大更漂亮？”聪明的小朋友自然会选择抛物线的最高点作为参考，这样就能最大化地利用那条直线和抛物线之间的空间。

真是个小天才，是吧？我们就能得出一个结论，三角形的面积最大值其实与抛物线的对称性有关。

就像咱们的生活，很多时候，保持平衡才能让一切顺利进行。

你看，无论是在生活中还是学习里，有时候简单的选择就能给你带来意想不到的结果。

没错，抛物线三角形的面积最大值，就是通过对称和巧妙的放置来实现的。

是不是觉得这个发现有点惊喜？再说到实际应用，虽然大家可能觉得这些数学公式离生活有点远，但其实它们可以用在很多地方。

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

抛物线的焦点三角形面积公式

抛物线的焦点三角形面积公式抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

抛物线是一类曲线，当这类曲线经过一定变换后，它们的焦点就会凸显出来。

在抛物线上任意三点A,B,C所组成的三角形ABC的面积，可以用下面的抛物线的焦点三角形面积公式来计算：面积S=1/4[(AB²+AC²+BC²)-2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)]其中，AB、AC、BC分别表示三角形ABC的三条边长度，AB.AC、AB.BC、AC.BC分别表示三边长之间的点乘积。

抛物线的焦点三角形面积公式可以帮助我们计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，而不需要求出抛物线的方程，这个公式比较简单，如果我们了解了它的原理，就可以很容易地计算出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：如果抛物线上任意三点所构成的三角形的面积，其面积可以由抛物线的方程来求解，而抛物线的方程可以采用下面的标准形式：y=ax²+bx+c其中a,b,c是抛物线的方程中的常数。

假设抛物线上任意三点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则把抛物线的方程代入，可以得到：y1=ax12+bx1+cy2=ax22+bx2+cy3=ax32+bx3+c这三式子可以组成一个三元二次方程组，可以求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

因此，抛物线的焦点三角形面积公式的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

总之，抛物线的焦点三角形面积公式是一个有趣的几何学概念，它可以用来计算抛物线上任意三点所组成的三角形的面积。

它的原理是：利用抛物线的方程求解出a,b,c 的值，然后将a,b,c的值代入抛物线的面积公式，即可求出抛物线上任意三点所构成的三角形的面积。

抛物线三角形OAB面积

抛物线三角形OAB面积
抛物线三角形，又称平抛三角形，是物理学和数学中两个重要的概念，也是和古典力学有关的抛体运动中经常出现的问题。

一个抛物线三角形是指，一直线段从O点开始，沿抛物线从A点到B点终止构成的一个三角形，因为一条直线所构成的三角形有一定的抛物线，所以叫做抛物线三角形。

要求求抛物线三角形OAB面积，要做到既能求出结果，又能准确地描述抛物线三角形时，可以使用力学中的抛体运动知识。

在抛体运动中，射程和时间的有效结合，可以得到对应抛物线的一般公式，把它代入就能得到相应的抛物线三角形的位置和面积。

由上述可知，若要求抛物线三角形OAB的面积，先由力学抛体运动中的变量计算出抛物线方程，然后再求出抛物线三角形ABO的面积。

可将此类计算分为三种情况：要么抛物线具有十字形，AB两点对应抛物线上的两个拐点；要么AB两点在同一条抛物线上，都在抛物线的根号一侧；要么AB两点在同一条抛物线上，但都在抛物线的根号后侧。

此外，计算抛物线三角形OAB面积时，可以通过求得抛物线的顶点位置O的极坐标来计算：求解抛物线的三个不等式，得到对应的极坐标，由极坐标可以方便地求出抛物线三角形极面积。

总之，求抛物线三角形OAB面积有多种方法，由于这种三角形相当一般，有使用力学知识计算抛物线方程的方法，也有求极面积的方法。

根据具体情况的需求可以选择不同的方式，计算出抛物线三角形对应的位置和面积。

证明抛物弓形的面积是等底等高三角形的

在数学中，证明抛物线弓形的面积等于等底等高三角形的面积是一个有趣且充满挑战的数学问题。

通过深度和广度的评估，我们可以从简到繁、由浅入深地探讨这个主题，让我们一起来深入探讨一下。

1. 概述让我们明确一下抛物线弓形和等底等高三角形的定义。

抛物线弓形是指由抛物线与两条相连的弧线所围成的形状，而等底等高三角形是指具有相等底边和相等高度的三角形。

现在，我们的目标是证明这两个不同形状的面积是相等的。

2. 抛物线弓形的面积让我们来回顾一下抛物线的性质。

抛物线的面积可以通过积分来求解，具体来说，可以通过定积分来计算抛物线上方和下方的面积，并将两者相减得到抛物线的面积。

这是一个非常深入的数学计算过程，需要对定积分有一定的了解和掌握才能进行计算。

在这里，我们可以使用“抛物线”和“面积”这两个关键词来引出抛物线弓形的面积计算公式，以及相关的数学概念和原理。

3. 等底等高三角形的面积接下来，让我们转向等底等高三角形的面积计算。

等底等高三角形的面积是通过底边和高度的乘积除以2来计算的，这是一个非常基础和简单的数学原理。

我们可以使用“等底等高三角形”和“面积”这两个关键词来引出等底等高三角形的面积计算公式，以及相关的数学概念和原理。

4. 证明过程现在，让我们开始证明抛物线弓形的面积确实等于等底等高三角形的面积。

通过对抛物线弓形和等底等高三角形的面积公式进行推导和分析，我们可以得出它们面积相等的结论。

具体的数学推导过程可以通过数学符号和公式来展现，以便让读者更加深入地理解证明的过程。

5. 个人观点和理解在我看来，这个证明过程不仅仅是数学知识的应用，更重要的是在这个过程中培养了我对数学的逻辑思维和严谨推导的能力。

这个证明过程也让我对抛物线和等底等高三角形的性质有了更深刻的理解，这对于我日后在数学领域的学习和应用将会起到重要的作用。

6. 总结通过对抛物线弓形和等底等高三角形的面积进行全面评估和证明过程的深入探讨，我们可以得出它们面积相等的结论。

再证抛物线内接三角形的面积公式

2020年第3期中学数学研究• 41 •再证抛物线内接三角形的面积公式广西东兴市东兴中学(538100) 吴中伟文［1］中推导了抛物线内接三角形的面积的两个重要结论：性质1已知A 』、C 是抛物线犷=2卩%5. 上的三点，其纵坐标分别为』3 ,则S AABC =詁（71 -y 2）（y 2 -y 3）（y 3 - Ji ）1 ;若a、b 、c 是抛物线/ = 2py （p > 0）上的三点，其横坐标分别为％, 力2 ,%3 ,则 ^AABC = ~a — I （%］—悠）（％2 — %3 ）（%3 —） I •yVl AB\2 \ AC\2 - (AB - AC)2 ,又因为丨 AB 2 I \ AC \2 = (xi +yj)(xl +yl) = xjx^ + y 説 + 盘 y ； +yixl,{AB - AC)2 = (x^2 +y 』2)2 =力龙 + y\yi + 2省％2升了2,所以 S = y+ J1«2 - 2x i x 2yiy=y -y^2)2 = y I 力*2 _ «2Ji I ■2 2性质1的简洁证明:易知A （詈,yJ,B （寻丁2）,2 2 2C 奇Q,则為=（寸少- X ），花=2 _ 2（号亠彷-力），由定理的公式得,s 辺c =4p性质2已知A 、B 、C 是抛物线y2=2p%（p>0）上的三点，过A 』、C 三点作抛物线的切线分别交于p、Q 、R 三点，则 s AABC = 2S apqr .本文给出了一个更简洁的方法，并且对这一面积公式给出一些举例应用.现在先给出一个与向量有关的三角形面积公式.定理：在AABC 中，已知為=(X1,yJ,AC =(力2』2)，则 “ABC 的面积 S = y I %)y 2 - x 2y 1 I .证明：s = y I AB I I AC I sinA = y I AB I •I AC I 71 - cos 2A = ^-\ ABW AC\ •1 _ (AB • AC)?\ AB\2\ AC\2知1=却 5-y 2) (y 2 - y 3) (y 3 - yJ I -2 2性质2的简洁证明：设A 奇加）"奇,％）,2C （詐），易知过"C 三点的切线方程分别是TiTs 71 + 为、y 2y 3 y 2 + 为2 2h :TiJ = p O + 詬）,抵：畑=pd + 寿）,ic-y 3y =p & +菁）,则联立方程可得p （欝，0（第，宇）用第，中），从而而= （器（歹3 - y 2）, " 2 %），硕 =（器（彷 -Ji ）,"2刃），由定理公式得S"QR = y I 寻了3 -y 2）（J3-Ji ），器（九-y 2）（y 3 - Ji ）1 = （ji -y 2）（y 2 -了3）（了3 _ 71 ） I •从而 S^BC = 2S “qr ・整个证明过程非常的简洁，省去了文［1］的采用弦长公式或点到直线的距离公式求长度的步骤.接下来给出一些有关这一面积公式的举例应用.例1 在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：异=4y,点P 是C 的准线Z 上的动点，过点P 作C 的两条切线，切点分别为求AAOB 面积的最小值.分析：由公式 S^dOB =石 I （%1 — %2 ）（%2 — %3 ）（%3-） I = y Q （衍+ %2）2 - 4%谆2 ,所以只需找到幻%2,衍+%2的关系式代入运算即可.而根据导数的知识可以得到切线PA,PB 的方程，再把点A （衍，yj ,B （x 2,y 2）分别代入发现衍，％2是方程/ -2处- 4=0的两个解.解:设点4（衍』1）,〃（先2』2），准线Z ：y = _ 1』=*力,故可设点P{t, -1）,则切线PA 的方程为y +1 =卜1（% - 0，把点A （衍,力）代入上式，得］+ 1=*省（衍-/）,又因为x =，所以有分-2阿• 42 •中学数学研究2020年第3期光2 =2t,%i%2 =-4.由公式 S^aob -4 =0,同理可得囲-2tx 2-4 =0.故衍严2是方程/ _2处-4二0的两个解.由根与系数关系得，衍+=7-1 (久1 一％2)(%24p* I (%! - 0) (0 --兀3 ) (%3 —先1 ) I 可得 SgAOB光2)(%2 _ 街)I - 4~ I 光1%2(%2 _ %] )O=占-j 匕\ + *2)2 _ 4*12 = + 丿4孑 + 16 .所以当t = 0时，三角形AOB 的面积取得最小值2.*本文系广东省教育科学规划课题“问题驱动视野下高中数学主干知识的教学设计与实践研究”(课题批准号2019YQJK288)成果.例2 已知点P(l,l )为抛物线y 2 =x±的一定点，斜率为-*的直线与抛物线交于人"两点.(1)求弦的中点M 的纵坐标.(2)若中点M 的横坐标％ e [2,6],求三角形ABP 的面积取得最大值及对应的宓的值.分析：由公式Swp =却(yj -y 2) (y 2 -y 3) (y 3-Ji) I = y V (Ji + y 2)2 - 47172 I _7172 - 1 + Ji +y 21知，只需找到了仇仍+y 2的关系式代入运算即可.而7172,71 +y 2的关系式可以通过联立方程得到•解：(1)设直线方程y =-j-x + b,与方程犷= 力联立可得,于+2y -2b =0,设401』1)出(%2』2),则+ 力--2,7^2 = -2b. A =4+86 > > - *.所以弦的中点M 的纵坐标为音冬=-1.(2)点 M(%o, - 1)代入方程y 二-+ b,得公式得 S m =却(ji -y 2) (y 2 -y 3) (y 3 -Jil 1 得S m = y I (ji - y 2)(y 2 -i)(i - Ji) l = y l Ji -y 211 -7172 -1 + Ji + y 21 = y V (Ji + y 2)2 - 47172I-歹』2-l+yi+J^I - a /863 - 20b 2 +66 +9.令 f (x ) = = 8a ;3 - 20/ + 6% + 9 ,0 W % W 2,则/(%) = 24a ;2 一40兀+6 二 2(2%—3)(6% —1),所以1 Q1f E 二0的解为久二&或亍％丘[0,&)时，/(^)1 3> 0/(%)单调递增;％ G [―, y)时,_/(%) < 0,/(%)单调递减;％ e [y ,2]时，/(^) > 0/(%)单调递增•所以/(*)=等为/(%)的极大值，而/(2)=薯罟此时"5 </(y).所以 S 边” W点评:根据例1,2可以看出，相对于其他方法，利用性质1和2的面积公式求抛物线内接三角形的面积时更直接.由公式变形直接转化成光1%2，衍+久2(或丁』2』1 + 72)的关系式，然后根据条件代入运算就可以得到结果.参考文献[1]房增军.抛物线内接三角形的面积[J].中学数学研究(江西师大),2019(2).b =^-x 0-l,因为％o e [2,6],所以 6 e [0,2],由椭圆范围矩形相关点的一个结论及应用”广东省惠州市实验中学(516003)肖志向在椭圆性质的学习中，我们知道，椭圆刍+ £成的矩形框内，矩形四个顶点是(±。

抛物线阿基米德三角形常用结论高中

抛物线、阿基米德三角形常用结论一、抛物线1. 抛物线的定义抛物线是一种特殊的曲线，其定义可以由平面上的点P到给定直线上一点F的距离等于P到另一固定点D的距离的平方的约束条件定义。

2. 抛物线的常用方程抛物线的常用方程形式为y = ax^2 + bx + c 或者 x = ay^2 + by + c。

其中a、b、c为常数，a≠0。

3. 抛物线的性质（1）抛物线的对称轴与顶点抛物线的对称轴是其顶点处的垂直平分线。

（2）抛物线的焦点和直线抛物线的焦点是与其对称轴上的一个定点F，直线是与抛物线平行于其对称轴的直线。

二、阿基米德三角形1. 阿基米德三角形的定义阿基米德三角形是一种特殊的三角形，其三边分别由三个与三个同一直线上的点相连而得到。

这三个点一般是由同一圆的直径上得到。

2. 阿基米德三角形的常用结论（1）阿基米德三角形的边长关系公式设阿基米德三角形的边长分别为a、b、c，其边长关系可由公式a^2 = b^2 + c^2得到。

（2）阿基米德三角形的面积公式设阿基米德三角形的三角形边分别为a、b、c，其面积S可由公式S = 1/2 * b * c * sinA得到。

其中A为a对应的角度。

三、高中数学中抛物线和阿基米德三角形的应用1. 抛物线在物理学中的应用在物理学中，抛物线常常用来描述抛体运动的轨迹。

抛出的物体在水平方向上的运动可以用抛物线方程描述。

2. 阿基米德三角形在几何学中的应用在几何学中，阿基米德三角形经常用于解决三角函数相关问题。

在求解三角函数值时，可以利用阿基米德三角形的边长关系进行变换，从而简化计算。

四、结语抛物线和阿基米德三角形作为数学中的重要内容，在高中数学教学中被广泛应用。

通过对其定义、性质以及应用的深入了解，不仅可以增加数学知识的广度和深度，还能够帮助学生更好地理解数学的应用价值。

希望学生们能够加强对抛物线和阿基米德三角形的学习，不断提升数学思维能力和解决问题的能力。

抛物线和阿基米德三角形作为数学中重要的内容，不仅在高中数学教学中被广泛应用，而且在科学研究和工程技术中也发挥着重要作用。