2014中考总复习第13讲反比例函数

1 2 ( ) =2× a a 1 1 1 k k
, B M =-
2 a, 则
AN ·B M =-
2 a
·(-
2 a) =2.
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知识考点 03 反比例函数的实际应用 ( 1) 利用反比例函数的知识, 正确解释日常生活中的特殊事件; ( 2) 能通过实例构建反比例函数模型, 从而解决问题; ( 3) 注意事物之间的联系规律和解答步骤. 例 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大, 行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时 是动态的, 车速增加, 视野变窄. 当车速为 50 km / h 时, 视野为 80 度. 如果视野 f ( 度) 是车速 v( km / h)的反比例函数, 求f , v之间的解析式, 并计算当车速为 100 km / h 时视野的度数. 【思路点拨】 设出解析式→代入数据→确定解析式
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6 3. (2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与反比例函数 y= x 的图象交于
A( x1, y1) , B( x2, y2) 两点, 那么( x2-x1) ( y2-y1) 的值为
.
【解析】 由反比例函数图象的对称性知点 A 和点 B 关于原点对称, ∴有 x2=-x1, y2=-y1. 又∵点 A (x1, y1) 在反比例函数 y= 的图象上, ∴x1y1=6, 故 (x2-x1)(y2-y1)=-2x1·(-2y1)=4x1y1=24. 【答案】 24
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6. (2012·漳州)在公式 I= 中, 当电压 U 一定时, 电流 I与电阻 R 之间的函数关系可用图象 大致表示为( )
【答案】 D
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7. (2013·玉林)工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序, 即需要将材料 烧到 800 ℃, 然后停止煅烧进行锻造操作, 经过 8 m i n 时, 材料温度降为 600 ℃. 煅烧时温度 y( ℃) 与时间 x( mi n) 成一次函数关系; 锻造时, 温度 y( ℃) 与时间 x( mi n) 成反比例函数关系 ( 如图) . 已知该材料初始温度是 32 ℃.
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k 2. (2013·同安质检)如图, 已知反比例函数 y= x 与一次函数 y=x+b的图象相交于
点 A( 1, m) , B( -2, -1) , 则反比例函数的值大于一次函数的值的 x的取值范围 是 .
【答案】 0<x<1 或 x<-2
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答: 锻造的操作时间 4 分钟.
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8. 水产公司有一种海产品共 2 104 千克, 为寻求合适的销售价格, 进行了 8 天试销, 试销情 况如下: 第 1天 售价 x( 元/ 千克) 销售量 y( 千克) 30 40 48 60 80 96 100 400 250 240 200 150 125 120 第 2天 第 3天 第 4天 第 5天 第 6天 第 7天 第 8天
4 800 当 y=800 时, x =800 解得 x=6, ∴点 B 的坐标为( 6, 800) .
材料加热时, 设 y=ax+32( a≠0) , 由题意得 800=6a+32, 解得 a=128, ∴材料加热时, y与 x的函数关系式为 y=128x+32( 0≤x≤6) .
4 800 ∴停止加热进行操作时 y与 x的函数关系式为 y= x ( 6<x≤10) . 4 800 ( 2) 把 y=480 代入 y= x , 得 x=10, 10-6=4( 分) ,
( 1) 分别求出材料煅烧和锻造时 y与 x的函数关系式, 并且写出自变量 x的取值范围; ( 2) 根据工艺要求, 当材料温度低于 480℃时, 须停止操作. 那么锻造的操作时间有多长?
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【解析】 ( 1) 停止加热时, 设 y= x ( k≠0) , 由题意得 600= 8 , 解得 k=4 800,
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第十三 讲 反比例函数
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课标要求 理解: 反比例函数的定义与其解析式. 掌握: 反比例函数的图象与性质, 反比例函数中比例系数 k的几何意 义. 会: 运用反比例函数解决实际问题. 解答反比例函数与方程及与其 他函数相融合的综合性题目. 高频考点 1. 反比例函数的有关概念、解析式.
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知识考点 02 反比例函数解析式的确定 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是: ( 1) 设所求的反比例函数为 y= x ( k≠0) ; ( 2) 根据已知条件( 自变量与函数的对应值)
k 列出含 k 的方程; ( 3) 求待定系数 k 的值; ( 4) 把 k 值代入函数解析式 y= x . k
k
( 1) 求反比例函数的解析式; ( 2) 求 AN ·B M 的值.
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【解析】 ( 1) 连接 AC , BC, 由题意得: 四边形 AO B C 为正方形, 对于一次函数 y=x+1, 令 x=0, 求得 y=1; 令 y=0, 求得: x=-1. ∴O A=O B =1, ∴C (-1, 1). 将 C (-1, 1) 代入 y= x 得:1= 1 , 即 k=-1, 则反比例函数解析式为 y=- x . (2) 过 M 作 M E ⊥y轴, 作 N D ⊥x轴, 设 P ( a, a ) , 可得 N D =- a , M E =| a| =-a, ∵△AN D 和△B M E 为等腰直角三角形, ∴AN =
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知识考点 01反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数的图象是双曲线, 它有两个分支, 它们关于原点成中心对称. 2. 反比例函数的图象与 x轴、 y轴都没有交点, 即双曲线的两个分支无限接 近坐标轴, 但永远不能与坐标轴相交. 在画图时要体现出图象和坐标轴无限贴 近的趋势. 3. 反比例函数图象的位置和函数的增减性,是由 k 的符号决定的;由反比例 函数的图象位置和函数的增减性可以判断 k 的符号.
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∵O E =2, ∴C E =3, ∴点 C 的坐标是( -2, 3) .
6 ∴k=-2× 3=-6, ∴y=- x .
( 2) 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b( k≠0) .
1 k b 2 2 则 4k b 0 , 解得 . b 2
1 ∴y=- 2 x+2.
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4. (2011·宁德质检)如图, A 是反比例函数 y= x ( x>0) 图象上一点, 点 B, D 在 y轴正半 轴上, △AB D 是△C O D 关于点 D 的位似图形, 且△AB D 与△C O D 的位似比是 1︰3, △AB D 的面积为 1, 则该反比例函数的表达式为 【解析】 ∵△AB D 与△C O D 的位似比是 1︰3,
1 OA OA 1 ∵t an∠AB O = 2 , O B =4, ∴ OB = 4 =t an∠AB O = 2 .
∴O A=2, 即点 A 的坐标为( 0, 2) , 点 B 的坐标为( 4, 0) . ∵C E ⊥x轴, ∴C E ∥O A ,
OA OB ∴ CE = BE .
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5 1. (2013·兰州)当 x>0 时, 函数 y=- x 的图象在(
)
A. 第四象限 C. 第二象限
B. 第三象限 D. 第一象限
5 【解析】 ∵函数 y=- x 中 k=-5<0, ∴其图象位于第二、四象限, 当 x>0 时, 其图
象位于第四象限. 【答案】 A
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二、反比例函数的图象与性质 1. 反比例函数 y= x ( k≠0, k为常数) 的图象是 2. 反比例函数 y= x ( k≠0, k为常数) 的图象和性质: 函数 y= x ( k≠0, k为常 k 数) ➡特别提醒: 反比例函数的增减性, 只能是在每个象限内讨论. 0
k
k
, 且关于
对称.
k
图象 k 0
所在象限 一、三象限 ( x, y同号) 二、四象限 ( x, y异号)
性质 在每个象限内, y随 x增大而
在每个象限内, y随 x增大而
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【答案】一、1. x
k
2. ( 1) x
k
( 2)kx-1 减小 < 增大
二、1. 双曲线 原点 2. >
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5. (2013·莆田中考)如图, 直线 l : y=x+1 与 x轴, y轴分别交于 A , B 两点, 点 C 与原点 O 关于 直线 l对称, 反比例函数 y= x 的图象经过点 C , 点 P 在反比例函数图象上且位于 C 点左侧, 过点 P 作 x轴, y轴的垂线分别交直线 l于 M , N 两点.
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【思路点拨】 因反比例函数解析式中只有一个常数 k, 故确定反比例函数解析 式只需要一个条件即可, 若由反比例函数图象求函数解析式, 则只需知道函数图 象上一个点的坐标即可. 【自主解答】
k ( 1) 设反比例函数的解析式是 y= x ( k≠0) .
CB BE CB 1 ∴△C B E ∽△C AD , ∴ CA = AD . ∵AB =2B C , ∴ CA = 3 . 1 BE ∴3= 6 , ∴B E =2. 即点 B 的纵坐标为 2.
当 y=2 时, x=-3, 易知: 直线 AB 为 y=2x+8. ∴C (-4, 0).
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一、反比例函数的有关概念 1. 反比例函数的定义: 形如 y= 量, y是 x的函数. 2. 反比例函数的解析式的三种形式: ( 1) y= 0, k为常数) . ( k≠0, k为常数) ; ( 2) y= ( k≠0, k为常数) ; ( 3) xy=k( k≠ ( k≠0, k为常数) 的函数叫做反比例函数, 其中 x是自变
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例1
m 8 (2010·广州中考)已知反比例函数 y= x ( m 为常数) 的图象经过点
A( -1, 6) . ( 1) 求 m 的值;
m 8 ( 2) 如图, 过点 A 作直线 AC 与函数 y= x 的图象交于点 B , 与x
轴交于点 C , 且 AB =2B C , 求点 C 的坐标.
【思路点拨】 函数图象经过某点, 则点的坐标代入函数解析式后, 解析式仍然 成立.
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【自主解答】 ( 1) ∵图象过点
m 8 A (-1, 6), ∴ 1 =6, m =2.
(2) 分别过点 A 、B 作 x轴的垂线, 垂足分别为点 D 、E , 由题意得, AD =6, O D =1, 易知, AD ∥B E ,
BD 1 1 1 ∴ OD = 3 , BD = 4 BO . 又∵S△AB O =1, ∴ 2 B D ·B A=1, 8 ∴B O ·B A=8. 设 A 点坐标为 A ( x, y) , 由 xy=8, 得 y= x . 8 【答案】y= x ( x>0)
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k
.
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例 2 已知: 如果在平面直角坐标系 xO y中, 直线 AB 分别与 x轴、 y轴交于 B 、A , 与反比例函数的图象分别交于点 C 、D , C E ⊥x轴 于点 E , t an∠AB O = 2 , O B =4, O E =2. ( 1) 求该反比例函数的解析式; ( 2) 求直线 AB 的解析式.
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【自主解答】
k 设f , v之间的解析式为 f =v ( k≠0) . k
∵v=50 时, f =80, ∴80= 50 .
4 000 解得 k=4 000. ∴f = v . 4 000 当 v=100 时, f = 100 =40( 度) .
故当车速为 100 km / h 时视野为 40 度.