两条直线的位置关系 夹角

（1）当a=3时L1、L2重合 ） 时 （2）当a=-1或0时，L1、L2平行 ） 或 时 （3）当a≠3，a≠-1，a≠0时，L1、L2相交 ） ， ， 时
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1、（ 、（1998年上海高考题）设a，b，c 分别是⊿ABC 年上海高考题） 、（ 年上海高考题 ， ， 分别是⊿ 所对边的边长， 中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则 、 、 所对边的边长 xsinA + ay + c =0 和 bx－ysinB+ sinC = 0 － 的位置关系是（ 的位置关系是（ ）. C.垂直 D.相交但不垂直 垂直 相交但不垂直
A1 B 2 A 2 B 1 ta n α = A1 A 2 + B 1 B 2
证明：设两条直线 的斜率分别为k 证明：设两条直线L1，L2的斜率分别为 1、k2， 则 k = A1 , k = A 2 1 2 B1 B2
k 2 k1 tan θ = = 1 + k1k 2 1+ A1 B 2 A 2 B 1 = A1 A 2 + B 1 B 2
1、看两直线的斜率是否都存在； 、看两直线的斜率是否都存在； 2、若都存在，看两直线是否垂直； 、若都存在，看两直线是否垂直； 3、若两直线斜率都存在且不垂直 、 用公式求。 用公式求。
例2：已知直线 1：A1x+B1y+C1=0和L2： ：已知直线L 和 A2x+B2y+C2=0（B1≠0，B2≠0，A1A2+B1B2≠0）直线 （ ， ， ） L1到直线 2 的角是 ，求证 到直线L 的角是θ，求证:
tanα2 tanα1 k2 k1 ∴tanθ = = 1 + tanα2 tanα1 1 + k1k2
直线L1到L2的角公式： 的角公式： 直线
k 2 k1 tan θ = 1 + k1k 2
注意： 的顺序！ 注意：k1与 k2的顺序！
的夹角： 二、直线L1与L2的夹角： 直线L
当直线L 相交但不垂直时， 当直线 1与L2相交但不垂直时，在θ和π－θ中 和 － 中 有且仅有一个角是锐角， 有且仅有一个角是锐角，我们把其中的锐角叫两 直线的夹角，记夹角为α。 直线的夹角，记夹角为 。 的夹角公式： 直线L 直线 1与L2的夹角公式：
A .平行 B. 重合 平行
sin A k1 = 解： a
k
2
k2
1
b = sin B
1
k
=
例2：已知直线 1：y = 3x 2 ， ：已知直线L L2： + 3 x 1 = 0 y 求（1） 直线 1 到直线 2 的角 ） 直线L 到直线L （2）直线 2 到直线 1 的角 ）直线L 到直线L （3）直线 1 与直线 2 的夹角 ）直线L 与直线L
练一练： 练一练： 1、求下列直线L1到L2的角与 2到L1的角： 、求下列直线 的角与L 的角： ⑴L1：y=1/2 x+2；L2：y=3x+7 ； ⑵L1：x－y=5，L2：x+2y－3=0 － ， －
(L1到L2的角 0 的角45 L2到L1的角 的角1350 ） 的角为π－ 的角为arctan3） （L1到L2的角为 －arctan3，L2到L1的角为 ， ）
αα 1
1
α2 1 图一 x L2
α1 0
α2 x
0
图二
已知两条相交直线L 已知两条相交直线 1：y=k1x+b1， L2： y =k2x+b2。求 直线 1到L2的角为 。 直线L 的角为θ。 ： 。 当 k1k2= －1 时，L1⊥L2 则θ=π/2。 。 当k1k2≠－1 时， －
Y L2 θ α1 O
垂直
k1k2 = 1
适用范围
k1 , 存在
A1 B1 C1 = ≠ A2 B2 C2
A1 A2 + B1 B2 = 0
平行时 A1B1C1 ≠ 0 A 2 B2 C 2 ≠ 0
忆一忆： 忆一忆：
平行
点线、 点线、线线之间的距离
8
重合 相交
线线所成的角 （垂直） 垂直）
的角： 一、直线L1到L2的角： 直线L
小 结：
1、L1到L2的角和 1与L2的夹角的定义； 、 的角和L 的夹角的定义； 到角有序，夹角无序” “到角有序，夹角无序” 2、两条直线的到角和夹角公式推导； 、两条直线的到角和夹角公式推导； 3、应用公式求两条直线的到角和夹角。 、应用公式求两条直线的到角和夹角。
1．下列四个命题中，真命题是（B） ．下列四个命题中，真命题是（ A．经过定点 P( x0 , y 0 )的直线都可以用方程 y y 0 = k ( x x0 ) ． 表示 B．经过两个不同的点 P1 ( x1 , y1 ) P2 ( x2 , y 2 ) ，的直线 ． ( 都可以用方程： 都可以用方程：y y1 )( x 2 x1 ) = ( x x1 )( y 2 y1 ) 来表示 x y C．与两条坐标轴都相交的直线一定可以用 + = 1 ． a b 表示 D．经过点Q（0，b）的直线方程都可以表示为 ．经过点 （ ， ） y=kx+b 2．直线m(x+y-1)+(3y-4x+5)=0不能化成截距式方程，则 ．直线 不能化成截距式方程， 不能化成截距式方程 m的值为（D A．5 B．-3或4 C．-3或4或5 的值为（ ） ． 的值为 ． 或 ． 或 或 D．m∈（-∞，-3）∪（4，5）∪（5，+∞） ． ∈ ， ） ， ） ， ）
2、求下列两条直线的夹角： 、求下列两条直线的夹角： ⑴y=3x－1，y=－1/3 x+4 （900） － ， － （450） ⑵x－y=5；y=4， － ； ， (π/2-arctan2) ⑶y=2x+1 ; x=2
注意！！ 注意！！ 求两条直线的到角和夹角的步骤： 求两条直线的到角和夹角的步骤：
直线L 旋转到与L 直线 1按逆时针方向旋转到与 2重合时所转的 叫做L 的角。 角,叫做 1 到 L2的角。 叫做
图中θ 的角， 的角。 图中 1是L1到L2的角， θ2是L2到L1的角。
θ1 + θ 2 = π
到角的范围： 到角的范围：
注 意
θ ∈( 0,π )
到角具有方向性！ 到角具有方向性！
图一
L1 α2 X
Y L 1 θ α2
图二
L2 α1 X
O
的倾斜角分别是α 设L1，L2的倾斜角分别是 1和α2， 则k1=tanα1，k2=tanα2 由图可知θ=α2－α1 由图可知 或θ=π-（α1－α2）=π+（α2－α1） （ （
∴tanθ=tan（α2－α1）或tanθ=tan π+（α2－α1） （ （ =tan（α2－α1） （
的方程是： － ∴L3的方程是：2x－y+4 = 0
练习： 练习： 的斜率分别是方程6x 1、若直线l1，l2的斜率分别是方程 2+x-1=0 、若直线 的两根， 的两根，则l1与l2的夹角等于_______ 的夹角等于 2、B（0，6）、 （0，2）， 为x轴负半轴 、 （ ， ）、 ）、C（ ， ）， ），A为 轴负半轴 上一点， 在何处时， BAC有最大值 有最大值？ 上一点，问A在何处时，∠BAC有最大值？ 在何处时
数学之美：美丽的分形几何图形
两条直线的位置关系
---------夹角
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忆一忆： 忆一忆：
两直线方程 平行 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y +C1=0 l2:A2x+B2y +C2=0
k1 = k2 且b1 ≠ b 2
L2 θ2 θ1 L1
练一练： 练一练： 根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线 根据下列直线方程，在同一坐标系中作出直线L1，L2； 并标出L 的角；同时探求两角的大小。 并标出 1到L2和L2到L1的角；同时探求两角的大小。 1、L1：y=x+1 、 2、L1: y=x+1 、 y θ2 L2 θ1 L2:x=1 L2: y= 3 x y L1 θ2 θ1 L1
1 ( 2 ) k 2 k1 ∴ tan θ = = = 3 1 + k1k 2 1 + 1× ( 2 )
1 ( 2 ) k 2 k1 ta n α = = = 3 1 + k1k 2 1 + 1 × ( 2 )
利用计算器或查表可得： 利用计算器或查表可得：θ≈ 108026′ α≈71034′
ta n α
=
k 2 k1 1 + k1k 2
00＜α≤900
当直线L 直线L 的夹角是π/2。 当直线 1⊥L2时，直线 1和L2的夹角是 。 夹角的范围： 夹角的范围：
三、应用： 应用：
例1：已知直线 1：y= －2x+3，L2：y=x－3/2 ：已知直线L ， － 求L1到L2的角和L1、L2的夹角（用角 的角和 的夹角（ 度制表示） 度制表示） 由两条直线的斜率k － ， ， 解：由两条直线的斜率 1=－2，k2=1，得
3．直线xcosα-y+1=0的倾斜角的范围是 ．直线 的倾斜角的范围是 （ ） B π 3π π 3π [0, ] U [ , π ] [0, ] U [ , π ) A． 4 4 B． 4 4 ． ． π C．[0，π] D． [0, ] ． ， ．
4
例1：已知两直线 1：x+a2y+6=0，L2:（a-2） ：已知两直线L ， （ ） x+3ay+2a=0，问a为何值时 1与L2（1）平行（2） 为何值时L ）平行（ ） ， 为何值时 重合（ ） 重合（3）相交
1 , k 2 = 1 1 2 ( 1) 1 = 3 k 2 k1 2 tan θ 1 = = 1 + k1k 2 1 + ( 1) 1 2 k =