皖南八校2018届高三第一次联考理科数学答案
安徽省皖南八校2018届高三第一次联考理数试卷(PDF版)
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2018届高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R ，集合A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ﹣1≥0}，那么A ∩∁U B=（ ） A ．{x|0＜x ＜1} B ．{x|x ＜0} C ．{x|x ＞2} D ．{x|1＜x ＜2}2．已知复数，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则|a+bi|=（ ）A ．﹣1﹣3iB ．C ．10D ．3．已知命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为（ ） A ．∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 B ．∀c ≤0，方程x 2﹣x+c=0有解 C ．∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解 D ．∃c ＜0，方程x 2﹣x+c=0有解4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ．16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第天，两马相逢．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．18．已知数列{an }是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁B=（）UA．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，B={x|x＜1}，∴∁UB）={x|0＜x＜1}．则A∩（∁U故选：A．2．已知复数，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．﹣1﹣3i B．C．10 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵，∴由，得﹣a﹣2i=1+bi，∴，则a=﹣1，b=﹣2．∴|a+bi|=|﹣2﹣i|=．故选：B．3．已知命题p：∃c＞0，方程x2﹣x+c=0 有解，则￢p为（）A．∀c＞0，方程x2﹣x+c=0无解B．∀c≤0，方程x2﹣x+c=0有解C．∃c＞0，方程x2﹣x+c=0无解D．∃c＜0，方程x2﹣x+c=0有解【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p ：∃c ＞0，方程x 2﹣x+c=0 有解，则￢p 为∀c ＞0，方程x 2﹣x+c=0无解． 故选：A ．4．函数的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，再由函数图象经过点（，2），代入解析式Φ的值．【解答】解：由函数的图象可知，周期T=，可得T=π，∴ω=2函数图象经过点（，2），可得2=2sin （2×+Φ），∵Φ＜，∴Φ=．故选B ．5．等比数列{a n }中，a 3=9，前3项和为，则公比q 的值是（ ）A ．1B ．C ．1或D ．﹣1或 【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】=3×=17=，a 3=9=，联立解出即可得出．【解答】解： =3×=27=，a=9=，3解得q=1或﹣．故选：C．6．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7] C．[2，4] D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．7．设向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，则向量﹣与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的垂直求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出．【解答】解：向量=（，1），=（x，﹣3），且⊥，∴x﹣3=0，解得x=，∴﹣=（，1）﹣（，﹣3）=（0，4），∴|﹣|=4，||=2，（﹣）•=4，设向量﹣与的夹角为θ，∴cosθ===，∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°．故选：B．8．已知函数y=a x，y=x b，y=logcx的图象如图所示，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质，用特殊值即可判断a、b、c的大小．【解答】解：根据函数的图象知，函数y=a x是指数函数，且x=1时，y=a∈（1，2）；函数y=x b是幂函数，且x=2时，y=2b∈（1，2），∴b∈（0，1）；函数y=logc x是对数函数，且x=2时，y=logc2∈（0，1），∴c＞2；综上，a、b、c的大小是c＞a＞b．故选：C．9．如图在直角梯形ABCD中AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则=（）A．B．C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】如图所示，利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得【解答】解：如图所示：=+， =， =﹣， =+， =，∴=﹣+（+﹣）=﹣+，故选：C10．已知函数f（x）=ax2﹣x，若对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】对进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围【解答】解：不妨设x2＞x1≥2，====a（x1+x2）﹣1，∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，＞0恒成立，∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立∵x2＞x1≥2∴∴a，即a的取值范围为[，+∞）故本题选D11．已知函数f（x）=cos4x+sin2x，下列结论中错误的是（）A．f（x）是偶函数B．函数f（x）最小值为C．函数f（x）在（0，）内是减函数D．是函数f（x）的一个周期【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数化成只有一个函数名，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数f（x）=cos4x+sin2x=（1﹣sin2x）2+sin2x=sin4x﹣sin2x+1=（sin2x﹣）+．∵f（﹣x）=[（﹣sinx）2﹣]+=f（x），∴f（x）是偶函数．∴A选项对．当sin2x=时，函数f（x）取得最小值为．∴B选项对．当x=和时，f（x）的值相等，函数f（x）在（0，）不是单调函数，．∴C 选项不对．由f（x）的解析式可得，是函数f（x）的一个周期．．∴D选项对．故选：C12．已知函数f（x）的定义域为R．∀a，b∈R，若此函数同时满足：（i）当a+b=0时，有f（a）+f（b）=0；（ii）当a+b＞0时，有f（a）+f（b）＞0，则称函数f（x）为Ω函数．在下列函数中是Ω函数的是（）①y=x+sinx；②y=3x﹣（）x；③y=．A．①②B．①③C．②③D．①②③【考点】分段函数的应用．【分析】容易判断函数①②为奇函数，且在定义域R上为增函数，可设y=f（x），容易得出这两函数满足Ω函数的两条，而函数③是奇函数，不是增函数，这样显然不能满足Ω函数的第②条，这样即可找出为Ω函数的函数序号．【解答】解：容易判断①②③都是奇函数；y′=1﹣cosx≥0，y′=ln3（3x+3﹣x）＞0；∴①②都在定义域R上单调递增；③在定义域R上没有单调性；设y=f（x），从而对于函数①②：a+b=0时，a=﹣b，f（a）=f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）=0；a+b＞0时，a＞﹣b；∴f（a）＞f（﹣b）=﹣f（b）；∴f（a）+f（b）＞0；∴①②是Ω函数；对于函数③，a+b＞0时，得到a＞﹣b；∵f（x）不是增函数；∴得不到f（a）＞f（﹣b），即得不出f（a）+f（b）＞0．故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分13．函数f（x）=的定义域为（0，）∪（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，分母不为0，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．【解答】解：要使函数有意义，则∵∴log2x＞1或log2x＜﹣1解得：x＞2或x所以不等式的解集为：0＜x或x＞2则函数的定义域是（0，）∪（2，+∞）．故答案为：（0，）∪（2，+∞）．14．（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a= ．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为 Tr+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．15．若实数x，y满足约束条件，且z=x+2y有最大值8，则实数k= ﹣4 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，∵z=x+2y有最大值8，∴平面区域在直线x+2y=8的下方，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大为x+2y=8，由，得，即B（0，4），同时B也在2x﹣y=k上，∴﹣y=4，解得k=﹣4，故答案为：﹣416．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第24 天，两马相逢．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an }，其中a1=193，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn }，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm=193m++97m+=290m+×12.5≥2×3000，化为5m2+227m﹣1200≥0，解得m≥，取m=24．故答案为：24．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简函数，利用正弦函数的单调性，求函数f（x）的单调递增区间；（2）求出g（x）=sin（+），即可求出当x∈（﹣π，π）时，函数g（x）的值域．【解答】解：（1）=sin2ωx+cosωx=sin（2ωx+）…最小正周期为4π，∴=4π，∴ω=，∴f（x）=sin（+），由…得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z…（2）由（1）知f（x）=sin（2ωx+），将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度后，得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（+）…∵，∴…10分∴函数g（x）的值域为…18．已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn满足bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求bn取得最小值时n的值．【考点】数列递推式．【分析】（Ⅰ）由已知求得a2，结合公差求得首项，则数列{an}的通项公式可求；（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn+1﹣bn=an，利用累加法求得bn，结合二次函数求得bn取得最小值时n的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知d=2，再由bn+1﹣bn=an，且b2=﹣18，b3=﹣24，得a2=b3﹣b2=﹣6，则a1=a2﹣d=﹣6﹣2=﹣8，∴an=﹣8+2（n﹣1）=2n﹣10；（Ⅱ）bn+1﹣bn=2n﹣10，∴b2﹣b1=2×1﹣10，b3﹣b2=2×2﹣10，…bn﹣bn﹣1=2（n﹣1）﹣10（n≥2），累加得：bn=b1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1）=b2﹣a1+2[1+2+…+（n﹣1）]﹣10（n﹣1），=﹣10+=．∴当n=5或6时，bn取得最小值为b5=b6=﹣30．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a=2，AC边上的垂直平分线交边AB于点D且△DBC的面积为，求边c 的值．【考点】余弦定理；三角函数的化简求值；正弦定理．【分析】（I）利用正弦定理、和差公式即可得出．（II）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵，…∴，…∴3sinBcosC+sinBsinC=3sinBcosC+3sinCcosB，∴，∵sinC≠0．∴，即，∴．…（Ⅱ）由，∴BD=1，…∴在△DBC中，，…∴，∴．…20．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200时，当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．21．已知函数f（x）=e x（x2﹣a），a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，试求a的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的最小值为﹣2e，试求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数求出x=0处的切线斜率，根据点斜式写出切线方程；（2）函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（3）根据函数的单调性，得出函数f（x）的最小值只能在处取得．【解答】解：由题意可知f'（x）=e x（x2+2x﹣a）．（Ⅰ）因为a=1，则f（0）=﹣1，f'（0）=﹣1，所以函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣（﹣1）=﹣（x﹣0）．即x+y+1=0．（Ⅱ）因为函数f（x）在（﹣3，0）上单调递减，所以当x∈（﹣3，0）时，f'（x）=e x（x2+2x﹣a）≤0恒成立．即当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立．显然，当x∈（﹣3，﹣1）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递减，当x∈（﹣1，0）时，函数g（x）=x2+2x﹣a单调递增．所以要使得“当x∈（﹣3，0）时，x2+2x﹣a≤0恒成立”，等价于即所以a≥3．（Ⅲ）设g（x）=x2+2x﹣a，则△=4+4a．①当△=4+4a≤0，即a≤﹣1时，g（x）≥0，所以f'（x）≥0．所以函数f（x）在（﹣∞，+∞）单增，所以函数f（x）没有最小值．②当△=4+4a＞0，即a＞﹣1时，令f'（x）=e x（x2+2x﹣a）=0得x2+2x﹣a=0，解得当x∈时，．所以．所以f（x）=e x（x2﹣a）＞0．又因为函数f（x）的最小值为﹣2e＜0，所以函数f（x）的最小值只能在处取得．所以．所以．易得．解得a=3．以下证明解的唯一性，仅供参考：设因为a＞0，所以，．设，则．设h（x）=﹣xe x，则h'（x）=﹣e x（x+1）．当x＞0时，h'（x）＜0，从而易知g（a）为减函数．当a∈（0，3），g（a）＞0；当a∈（3，+∞），g（a）＜0．所以方程只有唯一解a=3．22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1： +y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．。
2018届高三数学第一次联考试题理
江西省新余市两校2018届高三数学第一次联考试题 理一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合21A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}(2)(1)0B x x x =+->，则A B 等于（ ） A ．(0,2) B ．(1,2) C ．(2,2)- D ．(,2)(0,)-∞-+∞ 2.设:1p x >，:21xq >，则p 是q 成立的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则3z x y =-的最大值为（ ）A ．-7B ．-1C ．1D ．24.函数ln ()x f x e x -=-+的大致图象为（ Ｂ ）5.已知()f x 为奇函数，函数()f x 与()g x 的图象关于直线1y x =+对称，若(3)2f -=-则(1)g =（ ）A ．-2B ．2 C. -1 D ．46.若1cos 86πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 1817B.1817-C.1918D.1918- 7．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且15914,27a a S +=-=-，则使得n S 取最小值时的n为（ ）A. 1B. 6C. 7D. 6或78. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A. B . C. D.9.已知01c <<，10a b >>>，下列不等式成立的是（ ）A ．a b c c >B ．a b a c b c<++ C.c c ba ab >D ．log log a b c c > 10. a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则下列结论中正确的是（ ）①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最小值为60°。
皖南八校2018届高三第一次联考数学试卷(理科)及答案
正视图 侧视图 俯视图1 2 O1 xy A 1 2 O xy1 2 O xy 1 2O xy 1 2 O xy B D皖南八校2018届高三第一次联考数学试卷(理科)2018.9.26一、选择题（5分每题，共12小题60分）1：如果实数b 和纯虚数z 满足关系式(2)4i z bi -=-（其中i 为虚数单位），那么b 等于 A ： 8 B ：－8 C ：2 D ：－2 2：下列函数中，在区间(1,1)-上单调递减的是A ：1y x =B ： 12y x = C ：12log (1)y x =+ D ： 2xy =3：若0m >且1,0m n ≠>，则“log 0m n <”是“(1)(1)0m n --<”的A ：充要条件B ：充分不必要条件C ：必要不充分条件D ：既不充分也不必要条件4：已知奇函数()f x 在区间[3,7]是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为1-，则2(6)(3)f f -+-等于 A ：－15 B ：－13 C ：－5 D ：55：在公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b等于 A ：2 B ：4 C ：8 D ：16 6：函数()y f x =的图象如下图所示，则函数0.2log ()y f x =的图象大致是7：如果一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图中ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为A ：32 B ： 23C ：12D ：6 8：某校根据新课程标准改革的要求，开设数学选修4系列的10门课程供学生选修，其中4－1，4－2，4－4三门由于上课时间相同，所以至多选一门，根据学分制要求，每位同学必须选修3门，则每位同学不同的选修方案种数是A ：120B ：98C ： 63D ：569：设O 为坐标原点，(1,1)A 若点(,)B x y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则OA OB 取得取得最小值时，点B 的个数是A ：2B ：3C ：4D ： 510：已知抛物线24y x =的准线与双曲线2221x y a-=交于,A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB 为直角三角形，则双曲线的离心率是A ：3 B ：6 C ：2 D ： 311：如图所示的算法中，令tan ,sin ,cos a b c θθθ===，若在集合3{|,0,,}4442ππππθθθ-<<≠中，给θ取一个值，输出的结果是sin θ，则θ的取值范围是 A ：(,0)4π-B ：(0,)4πC ：3(,)24ππD ：(,)42ππ 12：若不等式221sin t at x -+≥对一切[,]x ππ∈-及[1,1]a ∈-都成立，则t 的取值范围是 A ：2t ≤-或2t ≥ B ：2t ≤ C ：2t ≥- D ：2t ≤-或 2t ≥或0t =二：填空题（每小题4分，共16分） 13：计算22(sin 2)x dx -+=⎰。
2018届 高三上学期第一次联考数学试卷(理科) Word版含解析
2018届 高三上学期第一次联考试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log 2x ＜1}，则 A ∩B=（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，1）C ．（0，2）D ．（1，2）2．已知复数z=（i 为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin α=，则cos （π﹣2α）=（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ．4．已知函数f （x ）=lg ，则f =（ ）A ．0B ．2C ．20D ．40345．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（ ）A ．B ．C ．2D ．66．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ．37．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（ ）A ．2B ．C ．D ．8．已知a ＜0，则“ax 0=b ”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 09．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．210．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）12．函数f （x ）=（x 2﹣3）e x ，当m 在R 上变化时，设关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣=0的不同实数解的个数为n ，则n 的所有可能的值为（ ） A ．3 B ．1或3 C ．3或5 D ．1或3或5二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，，，则= ．14．如果不等式组表示的平面区域内存在点P （x 0，y 0）在函数y=2x +a 的图象上，那么实数a 的取值范围是 ．15．四面体A ﹣BCD 中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于 ．16．四边形ABCD 中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于 ．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asinA=（b ﹣c ）sinB+（c﹣b ）sinC ．（1）求角A 的大小；（2）若a=，cosB=，D 为AC 的中点，求BD 的长．19．如图，已知长方形ABCD 中，AB=2，AD=，M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM （Ⅰ）求证：AD ⊥BM（Ⅱ）若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E ﹣AM ﹣D 的余弦值为．20．已知椭圆M ： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A 、B ，经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点（与A 、B 不重合）． （I ）求椭圆M 的方程；（II ）记△ABC 与△ABD 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值，并求此时l 的方程．21．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2018届高三上学期第一次联考试卷数学（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.x＜1}，则 A∩B=（）1．已知集合A={ x|≥1}，集合B={ x|log2A．（﹣∞，2） B．（0，1）C．（0，2）D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合A和B，利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={ x|≥1}={x|1＜x≤2}，x＜1}={x|0＜x＜2}，集合B={ x|log2∴A∩B={x|1＜x＜2}=（1，2）．故选：D．2．已知复数z=（i为虚数单位），则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi的形式，即可推出结果．【解答】解： ==，故它所表示复平面内的点是（）．在复平面内对应的点，在第一象限．故选A．3．已知sinα=，则cos（π﹣2α）=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得cos（π﹣2α）的值．【解答】解：sinα=，则cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=2sin2α﹣1=﹣，故选：B．4．已知函数f （x）=lg，则f =（）A．0 B．2 C．20 D．4034【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算性质可得f（﹣x）+f（x）=2，即可得出．【解答】解：f（﹣x）+f（x）=lg+==2，∴f =2．故选：B．5．若一个正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．2D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，即可求出其体积．【解答】解：由正视图可得，正六边形的边长为，正六棱柱的高为1，则体积为=2，故选C．6．设ω＞0，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A．B．C．D．3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象向左平移个单位后与原图象重合，得到是一个周期，写出周期的表示式，解出不等式，得到ω的最小值．【解答】解：∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期∴ω≥3 所以最小是3故选D．7．如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A．2B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．再利用等比数列的求和n公式即可得出这五个正三角形的面积之和．【解答】解：此五个正三角形的边长a形成等比数列：2，1，，，．n∴这五个正三角形的面积之和=×==．故选：D．8．已知a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是（ ）A ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0B ．∃x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0C ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0D ．∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≥ax 02﹣bx 0 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，利用导数可得：x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，即可判断出结论．【解答】解：a ＜0，令f （x ）=ax 2﹣bx ，则f′（x ）=ax ﹣b ，令f′（x ）=0，解得x=．∴x=函数f （x ）的极大值点即最大值点，∴∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0，∴a ＜0，则“ax 0=b”的充要条件是：∀x ∈R ， ax 2﹣bx ≤ax 02﹣bx 0， 故选：C ．9．设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，运用双曲线的a ，b ，c 的关系和离心率公式即可求出双曲线的离心率． 【解答】解：依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形， F 2在直线PF 1的投影是其中点，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长， 由勾股定理可知|PF 1|=4b ，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ， 代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=，即b=a ， 则c==a ，即有e==． 故选：A ．10．已知直线l ：y=k （x ﹣1）与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，过AB 分别作直线x=﹣1的垂线，垂足分别是M 、N ．那么以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都有可能【考点】抛物线的简单性质．【分析】先由抛物线定义可知AM=AF ，可推断∠1=∠2；又根据AM ∥x 轴，可知∠1=∠3，进而可得∠2=∠3，同理可求得∠4=∠6，最后根据∠MFN=∠3+∠6，则答案可得． 【解答】解：如图，由抛物线定义可知AM=AF ，故∠1=∠2， 又∵AM ∥x 轴，∴∠1=∠3，从而∠2=∠3，同理可证得∠4=∠6， 而∠2+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠MFN=∠3+∠6=×180°=90°，∴以线段MN 为直径的圆与直线l 的位置关系是相切， 故选B ．11．已知函数f （x ）=x 3+2x ﹣1（x ＜0）与g （x ）=x 3﹣log 2（x+a ）+1的图象上存在关于原点对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（0，）C ．（，2）D ．（0，2）【考点】函数与方程的综合运用；函数的图象．【分析】设出对称点的坐标，代入两个函数的解析式，转化为方程有解，利用函数图象关系列出不等式求解即可．【解答】解：函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）与g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上存在关于原点对称的点，设函数f（x）=x3+2x﹣1（x＜0）上的一点为（m，n），m＜0，可得n=m3+2m﹣1，则（﹣m，﹣n）在g（x）=x3﹣log2（x+a）+1的图象上，﹣n=﹣m3﹣log2（﹣m+a）+1，可得2m=log2（﹣m+a），即（m＜0）有解，即，t＞0有解．作出y=，与y=log2（t+a），t＞0的图象，如图：只需log2a＜1即可．解得a∈（0，2）．故选：D．12．函数f（x）=（x2﹣3）e x，当m在R上变化时，设关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的不同实数解的个数为n，则n的所有可能的值为（）A．3 B．1或3 C．3或5 D．1或3或5【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】求f（x）的导数，单调区间和极值，作出f（x）的图象，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，由判别式和根与系数的关系可得方程有一正一负根，结合图象可得原方程实根的个数．【解答】解：函数f（x）=（x2﹣3）e x的导数为f′（x）=（x+3）（x﹣1）e x，当x＞1或x＜﹣3时，f′（x）＞0，f（x）递增；当﹣3＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．即有f（x）在x=1处取得极小值﹣2e；在x=﹣3处取得极大值6e﹣3，作出f（x）的图象，如图所示；关于x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0，由判别式为m2+＞0，方程有两个不等实根，令t=f（x），则t2﹣mt﹣=0，t1t2=﹣＜0，则原方程有一正一负实根．当t＞6e﹣3，y=t和y=f（x）有一个交点，当0＜t＜6e﹣3，y=t和y=f（x）有三个交点，当﹣2e＜t＜0时，y=t和y=f（x）有两个交点，当t＜﹣2e时，y=t和y=f（x）没有交点，则x的方程f2（x）﹣mf（x）﹣=0的实根个数为3．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.13．设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，，则= 2 ．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据向量加法的平行四边形形法则和减法的三角形法则，可得以AB、AC为邻边的平行四边形ABDC为矩形，可得AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=，结合题中数据即可算出的值．【解答】解：∵∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等因此，四边形ABDC为矩形∵M是线段BC的中点，∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得=∵，得2=16，即=4∴==2故答案为：214．如果不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，那么实数a的取值范围是[﹣3，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，推出a的范围即可．【解答】解：不等式组表示的可行域如图：平面区域内存在点P（x0，y）在函数y=2x+a的图象上，可得a≤0，指数函数y=2x，向下平移a单位，经过可行域的A时，a可得最小值，由，可得A（2，1），此时1=22+a，解得a=﹣3，实数a的取值范围是：[﹣3，0]故答案为：[﹣3，0]．15．四面体A﹣BCD中，AB=AC=DB=DC=2，AD=BC=4，则它的外接球表面积等于32π．【考点】球的体积和表面积．【分析】如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，取EF中点O，AO=DO=OB=OC=2，即可得O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，【解答】解：如图，取BC、AD中点分别为E、F，连结DE，AE，EF，∵AB=AC=DB=DC=2，∴AE⊥BC，DE⊥BC，∴AE=DE，∴EF⊥AD，取EF中点O，OF=，∴AO=DO=，同理可得OB=OC=2，故O为四面体A﹣BCD的外接球，半径R=2，则它的外接球表面积等于4πR2=32π，故答案为：32π．16．四边形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，则它的面积最大值等于．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，设BC 为2x ，可求DH=，S四边形ABCD=x 2+x ，设x=sin θ，则利用三角函数恒等变换的应用化简可得S 四边形= [1+sin （2θ﹣）]，利用正弦函数的性质即可求得S 四边形的最大值．【解答】解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，∴D 在以BC 为焦点的椭圆上运动，A 在以BC 为直径的圆上运动，∴当D 在BC 的正上方时S △DBC 面积最大，A 为BC 的正下方时S △ABC 面积最大，此时，设BC 为2x ，则DH=，∴S 四边形ABCD =S △BCD +S ABC =x +=x 2+x，设x=sin θ，则=cos θ，∴S 四边形=sin 2θ+sin θcos θ=（2sin 2θ+2sin θcos θ）=（1﹣cos2θ+sin2θ）= [1+sin（2θ﹣）]，∴当sin （2θ﹣）=1时，即θ=时，S 四边形取得最大值，最大值为：．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =n 2﹣3n ． （I ）求数列{a n }的通项公式a n ；（II ）设b n =，数列{b n }的前n 项和T n （n ∈N*），当T n ＞时，求n 的最小值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1得出通项公式，再验证n=1是否成立即可；（2）化简bn，使用裂项法求和，解不等式得出n的范围即可．【解答】解：（I）∵Sn=n2﹣3n．∴当n=1时，S1=12﹣3×1=﹣2，即 a1=﹣2，当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2﹣3（n﹣1）=n2﹣5n+4∴an =Sn﹣Sn﹣1=2n﹣4，显然，n=1时，2n﹣4=﹣2=a1也满足上式，∴数列{an }的通项公式an=2n﹣4．（II）bn===﹣，∴Tn=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．令＞得 n＞2016，∵n∈N*，故n的最小值为2017．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinA=（b﹣c）sinB+（c ﹣b）sinC．（1）求角A的大小；（2）若a=，cosB=，D为AC的中点，求BD的长．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）由已知，利用正弦定理可得a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，化简可得2bc=（b2+c2﹣a2），再利用余弦定理即可得出cosA，结合A的范围即可得解A的值．（Ⅱ）△ABC中，先由正弦定理求得AC的值，再由余弦定理求得AB的值，△ABD中，由余弦定理求得BD的值．【解答】解：（I）∵，∴由正弦定理可得： a2=（b﹣c）b+（c﹣b）c，即2bc=（b2+c2﹣a2），∴由余弦定理可得：cosA==，∵A∈（0，π），∴A=．（Ⅱ）∵由cosB=，可得sinB=，再由正弦定理可得，即，∴得b=AC=2．∵△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos∠A，即10=AB2+4﹣2AB•2•，求得AB=32．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠A=18+1﹣6•=13，∴BD=．19．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质证明BM⊥平面ADM即可证明AD⊥BM（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立二面角的夹角关系，解方程即可．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率e=左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（I）求椭圆M的方程；（II）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由焦点F坐标可求c值，根据离心率e及a，b，c的平方关系可求得a值；（Ⅱ）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2，x 1x2，|S1﹣S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值．【解答】解：（I）设椭圆M的半焦距为c，即c=1，又离心率e=，即=∴a=2，b2=a2﹣c2=3∴椭圆M的方程为（II ）设直线l 的方程为x=my ﹣1，C （x 1，y 2），D （x 2，y 2），联立方程组，消去x 得，（3m 2+4）y 2﹣6my ﹣9=0∴y 1+y 2=，y 1y 2=﹣＜0S 1=S △ABC =|AB|•|y 1|，S 2=S △ABD =|AB|•|y 2|，且y 1，y 2异号∴|S 1﹣S 2|=|AB|•|y 1+y 2|=×4×|y 1+y 2|==∵3|m|+≥4，当且仅当3|m|=，即m=±时，等号成立∴|S 1﹣S 2|的最大值为=此时l 的方程为x ±2y+=021．设函数f （x ）=e x ﹣x 2﹣x ﹣1，函数f′（x ）为f （x ）的导函数． （I ）求函数f′（x ）的单调区间和极值；（II ）已知函数y=g （x ）的图象与函数y=f （x ）的图象关于原点对称，证明：当x ＞0时，f （x ）＞g （x ）；（Ⅲ）如果x 1≠x 2，且f （x 1）+f （x 2）=0，证明：x 1+x 2＜0． 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可； （Ⅱ）令F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出F （x ）＞F （0），证出结论即可；（Ⅲ）要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜﹣x 2，根据函数的单调性只需证﹣f （x 2）=f （x 1）＜f （﹣x 2），即f （x 2）+f （﹣x 2）＞0，结合（Ⅱ）得出结论． 【解答】解：（I ）f′（x ）=e x ﹣x ﹣1，f′′（x ）=e x ﹣1 当x ＜0时，f′′（x ）＜0，当x ＞0时，f′′（x ）＞0∴f′（x ）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增． 当x=0时，f′（0）=0为f′（x ）极小值，无极大值．（II）证明：由题意g （x）=﹣f （﹣x）=﹣e﹣x+x2﹣x+1，令F （x）=f （x）﹣g （x）=f （x）+f （﹣x）=e x+e﹣x﹣x2﹣2（x≥0），F′（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，F′′（x）=e x+e﹣x﹣2≥0因此，F′（x）在[0，+∞）上单调递增，从而有F′（x）≥F′（0）=0；因此，F （x）在[0，+∞）上单调递增，当x＞0时，有F （x）＞F （0）=0，即f （x）＞g （x）．（III）证明：由（I）知，f′（x）≥0，即f （x）在R上单调递增，且f （0）=0．因为x1≠x2，不妨设x1＜x2，于是有x1＜0，x2＞0，要证x1+x2＜0，即证x1＜﹣x2．因为f （x）单调递增，f （x1）+f （x2）=0故只需证﹣f （x2）=f （x1）＜f （﹣x2），即f （x2）+f （﹣x2）＞0因为x2＞0，由（II）知上不等式成立，从而x1+x2＜0成立．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（I）求圆C的直角坐标方程；（II）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，即可求圆C的直角坐标方程；（II）设A、B点所对应的参数分别为t1，t2，把直线l的参数方程代入圆C的方程，利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（I）由圆的极坐标方程ρ=2sinθ，可得ρ2=2ρsinθ，∴x 2+y 2=2y ，∴圆C 的直角坐标方程为，x 2+y 2﹣2y=0（II ）设A 、B 点所对应的参数分别为t 1，t 2，把直线l 的参数方程代入圆C 的方程 则t 1，t 2是下面方程的根（3+t ）2+（+t ）2﹣2（+t ）=0整理得，t 2+3t+4=0所以，t 1+t 2=﹣3，t 1t 2=4（t 1，t 2同号）∵直线l 过P （3，）∴根据t 的几何意义可知|PA|=|t 1|，|PB|=|t 2|∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1+t 2|=3[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣|+|x+m|（m ＞0） （1）证明：f （x ）≥4；（2）若f （2）＞5，求m 的取值范围． 【考点】带绝对值的函数．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质：绝对值的和不小于差的绝对值，利用基本不等式即可证得结论．（2）若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m 或2﹣＜m ﹣3．转化为二次不等式，解出即可，注意m ＞0．【解答】（1）证明：∵f （x ）=|x ﹣|+|x+m|≥|（x ﹣）﹣（x+m ）|=|﹣﹣m|=+m （m ＞0）又m ＞0，则+m ≥4，当且仅当m=2取最小值4． ∴f （x ）≥4；（2）解：若f （2）＞5，即|2﹣|+|2+m|＞5，即有|2﹣|＞3﹣m ，即2﹣＞3﹣m或2﹣＜m﹣3．由于m＞0，则m2﹣m﹣4＞0或m2﹣5m+4＞0，解得m＞或m＞4或0＜m＜1．故m的取值范围是（，+∞）∪（0，1）．。
安徽省2018届高三上学期第一次联考(10月)考试数学(理)试题 Word版含答案
安徽“皖南八校”2018届高三第一次联考理科数学一、选择题1、全集,=U R 集合2{|210},{|12,},=-->=-≤≤∈A x x x B x x x Z 则图中阴影部分所表示的集合为A. {1,2}-B. {1,0}-C. {0,1}D. {1,2}2、在复平面内，复数z 的对应点为(1,1)，则22z z-= A. 13i -- B. 13i -+ C. 13i - D. 13i +3、若数列{}n a 的前n 项和为2n S kn n =+，且1020,a =则100a =A. 200B. 160C. 120D. 1004、已知,,a b c 满足313349,log 5,,5a b c ===则 A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. c b a << 5、函数1()1x f x ae -=的图象在点(1,(1))f 处的切线斜率为52，则实数a = A. 12 B. 12- C. 3 D. 3- 6、若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，21()log (1),1f x x x =-++则不等式4(1)7f x +>的解集为A. (2,)+∞B. (,1)(3,)-∞-⋃+∞C. (4,2)-D. (,4)-∞-7、已知下列命题：（1）“co s 0x <”是“tan 0x <”的充分不必要条件； （2）命题“存在,41x Z x ∈+是奇数”的否定是“任意,41x Z x ∈+不是奇数”；（3）已知,,,a b c R ∈若22,ac bc >则.a b > 其中正确命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3 8、若,x y 满足4,20,24,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则4y z x -=的取值范围是 A. 3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ B. 5(,][1,)2-∞-⋃-+∞ C. 53[,]22-- D. 3[,1]2-- 9、已知tan 3,tan(2)1,ααβ=--=则tan 4β=A.43 B. 43- C. 2 D. 2- 10、在ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，CE 的延长线交AB 于点,F 若,DF AB AC λμ=+ 则λμ+= A. 23- B. 34- C. 65D. 1 11、已知函数()2sin()1(0,||)f x x ωϕωϕπ=--><的一个零点是,3x π=直线6x π=-函数图象的一条对称轴，则ω取最小值时，()f x 的单调增区间是 A. [3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ B. 5[3,3],36k k k Z ππππ-+-+∈ C. 2[2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ D. [2,2],36k k k Z ππππ-+-+∈ 12、已知函数1,0(),(0),21,0x kx x f x k x --≤⎧=<⎨->⎩当方程1[()]2f f x =-恰有三个实数根时，实数k 的取值范围为 A. 1(,0)2- B. 1[,0)2- C. 1(,]2-∞- D. 1(,)2-∞- 二、填空题13、已知向量(,1),(1,0),(2,).a k b c k ===- 若(2),a b c +⊥ 则k =14、已知120()1,x m dx +=⎰则函数2()log (32)m f x x x =+-的单调递减区间是15、设等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 且321272,,,33S a a a ==<则数列{}n na 的前n 项和为 n T =16、在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且222,3a b c ab c +-==，sin sin sin ,A B A B += 则ABC 的周长为三、解答题17、（本小题满分10分）已知函数()s i n ()1(0,||)2f x A x A πωϕϕ=+-><的图象两相邻对称中心的距离为2π，且()()1().6f x f x R π≤=∈ （1）求函数()f x 的解析式；（2）当[0,]2x π∈时，求()f x 的取值范围.18、（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11,a =点111(,)n n a a +在函数()3f x x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1(1),n n nb a =-求数列{}n b 的前n 项和.n S19、（本小题满分12分）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且向量(c o s 21,2s i n m B A =-与向量s i n ,1)n C =- 平行.（1）若1,a b ==求;c（2）若4sin(),c a A C a c+>+求cos B 的取值范围.20、（本小题满分12分） 已知函数()22xxa f x =+是偶函数. （1）求不等式5()2f x <的解集； （2）对任意x R ∈，不等式(2)()18f x mf x ≥-恒成立，求实数m 的最大值及此时x 的取值.21、（本小题满分12分）设函数()sin 2(1cos )2f x x a x x =++-在56x π=处取得极值. （1）若()f x 的导函数为()f x '，求()f x '的最值；（2）当[0,]x π∈时，求()f x 的最值.22、（本小题满分12分）已知函数()(1)ln 1,().f x a x x a R =-+∈（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若(1,),()ln x f x x a x ∈+∞>-恒成立，求实数a 的取值范围.。
2018年安徽省“皖南八校”高考数学模拟试卷(理科)(4月份)
2018年安徽省“皖南八校”高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M ={y ∈R|y =2x ,x >0}，N ={x ∈R|x 2−2x <0}，则M ∩N =（ ）A.(1,2)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.(−∞,0]∪(1,+∞) 【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为x >0，所以2x >1，所以M =(1,+∞). 因为x 2−2x <0，所以10<x <2，即N =(0,2)， 所以M ∩N =(1,2)． 故选A .2. 复数z =a 2−1+(a +1)i 为纯虚数（i 为虚数单位），其中a ∈R ，则a−i 2+ai的实部为（ ） A.−15B.−35C.15 −15D.35【答案】 C【考点】 复数的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据z =a 2−1+(a +1)i 为纯虚数，可得{a 2−1=0,a +1≠0,解得a =1， 则a−i 2+ai =1−i 2+i =(1−i)(2−i)5=2−3i+i 25=15−35i ，所以实部是15．故选C ．3. 在区间[−3,5]上随机地取一个数，若x 满足|x|≤m(m >0)的概率为78,则m 的值等于（ ） A.72B.3C.4D.−2【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】解：当m=4时，解不等式|x|≤4，可得−4≤x≤4，以长度为测度，则在区间[−3,4]上区间长度为4−(−3)=7，在区间[−3,5]上区间长度为5−(−3)=8，满足在区间[−3,5]上随机地取一个数x，满足|x|≤m的概率为78．故选C．4. 已知非零向量a→,b→，满足|a→|=√22|b→|，且(a→+b→)⊥(3a→−2b→)，则a→与b→的夹角为（）A.3 4πB.14π C.12π D.π【答案】B【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】根据平面向量数量积的定义与夹角公式，求出夹角的余弦值，再求夹角大小．【解答】非零向量a→,b→，满足|a→|=√22|b→|，且(a→+b→)⊥(3a→−2b→)，则(a→+b→)(3a→−2b→)=0，∴3a→2+a→⋅b→−2b→2=0，∴3|a→|2+|a→|×|b→|×cosθ−2|b→|2=0，∴3×12|b→|2+√22|b→|×|b→|×cosθ−2|b→|2=0，∴cosθ=√22，∴a→与b→的夹角为π4．故选B.5. 定义某种新运算⊗：S=m⊗n的运算原理如流程图所示，则6⊗5−4⊗7=（）A.3B.1C.4D.0 【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据题中所给的程序框图，可以得到6⊗5=6×(5−1)=24，4⊗7=7×(4−1)=21．又24−21=3． 故选A ．6. 中国古代数学家名著《九章算术》中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A.43πB.4πC.8πD.64π【答案】 B【考点】由三视图求体积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由已知可得该“堑堵”是一个长方体截去一半而形成的直三棱柱，且长、宽、高分别是√2,1,1，该几何体的外接球就是对应的长方体的外接球，而长方体的对角线是√2+1+1=2，所以其外接球的半径为1，所以其外接球的表面积为4π×12=4π． 故选B .7. 已知函数f(x)=ln 1−x1+x ，若x ，y 满足f(x)+f(−12y)≥0，则yx+3的取值范围是（ ） A.[−1,12] B.(−1,12)C.(−1, 1)D.[−1, 1]【答案】 C【考点】对数函数的图象与性质【解析】先求出函数y =f(x)的定义域(−1, 1)，并利用定义判断出函数y =f(x)为奇函数，利用复合函数的单调性判断出函数y =f(x)为减函数，由f(x)+f(−12y)≥0，得f(x)≥f(12y)，可得到关于x 、y 的二元一次方程组，然后利用线性规划的知识可求出yx+3的取值范围． 【解答】由1−x1+x >0，得x−1x+1<0，解得−1<x <1，所以，函数f(x)=ln 1−x1+x 的定义域为(−1, 1)，关于原点对称，任取x ∈(−1, 1)，则−x ∈(−1, 1)，f(−x)=ln 1−(−x)1+(−x)=ln 1+x1−x =−ln 1−x1+x =−f(x)， 所以，函数f(x)=ln 1−x1+x 为奇函数， 令u =1−x1+x =21+x −1，则内层函数u =21+x −1在x ∈(−1, 1)上单调递减，而外层函数y =lnu 单调递增，由复合函数的单调性可知，函数f(x)=ln 1−x1+x 为减函数， 由f(x)+f(−12y)≥0，得f(x)≥−f(−12y)=f(12y)， 则有{x ≤12y −1<x <1−1<−12y <1，化简得{y ≥2x −1<x <1−2<y <2 ， 做出不等式组{y ≥2x−1<x <1−2<y <2 所表示的可行域如下图阴影部分区域所示，而代数式yx+3表示连接可行域上的点(x, y)与定点P(−3, 0)两点连线的斜率， 由斜率公式可得直线PC 的斜率为k PC =−2−1+3=−1， 直线PB 的斜率为k PB =2−1+3=1， 结合图形可知，yx+3的取值范围是(−1, 1)，8. 若函数f(x)=Asin(wx +φ)(A >0,w >0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间是（ ）A.[2kπ−π12,2kπ+5π12](k∈Z)B.[2kπ+5π12,2kπ+11π12](k∈Z)C.[kπ−π12,kπ+5π12](k∈Z)D.[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)【答案】D【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据条件求出A，ω和φ的值，结合函数的单调性进行求解即可．【解答】由图象知A=2，3T4=5π12−(−π3)=9π12，即T=π，即2πω=π，则ω=2，此时f(x)=2sin(2x+φ)，由五点对应法得2×5π12+φ=π2，得φ=−π3，则f(x)=2sin(2x−π3)，由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ+5π12,kπ+11π12](k∈Z)，9. 函数f(x)=xcos(x2−2x−3)在区间[−1, 4]上的零点个数为（）A.5B.4C.3D.2【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】根据二次函数的性质判断cos(x2−2x−3)=0的解得个数，从而得出f(x)的零点个数．【解答】若f(x)=0则x=0或cos(x2−2x−3)=0，令cos(x2−2x−3)=0可得x2−2x−3=π2+2kπ，k∈Z．设g(x)=x2−2x−3(−1≤x≤4)，则g(x)在[−1, 1]上单调递减，在(1, 4]上单调递增，∴当x=1时，g(x)取得最小值−4，当x=4时，g(x)取得最大值5．且f(−1)=0，∵−3π2<−4<−π2，3π2<5<5π2，∴g(x)=−π2有2解，g(x)=π2有1解，g(x)=3π2有1解，∴cos(x2−2x−3)=0在[−1, 4]上有4个零点，又x=0是f(x)的零点，∴f(x)有5个零点．10. 删去正整数数列1，2，3……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A.2062B.2063C.2064D.2065【答案】B【考点】数列的概念及简单表示法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，这些数列可以写成：12，2，3，22，5，6，7，8，32…，第k个平方数与第k+1个平方数之间有2k个正整数，而数列12，2，3，22，5，6，7，8，32...,452共有2025项，去掉45个平方数后，还剩余2025−45=1980个数，所以去掉平方数后第2018项是2025后的第38个数，即是原来数列的第2063项，即为2063．故选B.11. F1、F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A.√2B.√3C.√5D.√7【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】由双曲线的定义，可得F1A−F2A＝F1A−AB＝F1B＝2a，BF2−BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB＝BF2＝AF2＝m，A为双曲线上一点，F1A−F2A＝F1A−AB＝F1B＝2a，B为双曲线上一点，则BF2−BF1＝2a，BF2＝4a，F1F2＝2c，由∠ABF2＝60∘，则∠F1BF2＝120∘，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2＝4a2+16a2−2⋅2a⋅4a⋅cos120∘，得c2＝7a2，则e2＝7，解得e=√7．12. 若x，a，b均为任意实数，且(a+2)2+(b−3)2=1，则(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为( )A.3√2B.18C.3√2−1D.19−6√2【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程两点间的距离公式函数的最值及其几何意义【解析】由题意可得(a, b)在(−2, 3)为圆心，1为半径的圆上，(x−a)2+(lnx−b)2表示点(a, b)与点(x, lnx)的距离的平方，设过切点(m, lnm)的切线与过(−2, 3)的法线垂直，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程求得切点，圆心和切点的距离d，可得距离的最小值为d−r，可得所求值．【解答】解：(a+2)2+(b−3)2=1，可得(a, b)在(−2, 3)为圆心，1为半径的圆上，(x−a)2+(lnx−b)2表示点(a, b)与点(x, lnx)的距离的平方，设过切点(m, lnm)的切线与过(−2, 3)的法线垂直，可得lnm−3m+2⋅1m=−1，即有lnm+m2+2m=3，由f(m)=lnm+m2+2m在(0, +∞)上单调递增，且f(1)=3，可得切点为(1, 0)，圆心与切点的距离为d=√(1+2)2+(0−3)2=3√2，可得(x−a)2+(lnx−b)2的最小值为(3√2−1)2=19−6√2，故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）二项式(√x−2x )6的展开式中常数项为________.（用数字作答）【答案】60【考点】二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：二项式(√x−2x )6的展开式的通项为T r+1=C 6r ⋅(√x)6−r ⋅(−2x )r =(−2)r ⋅C 6r⋅x6−r2−r ，令6−r 2−r =0，解得r =2,所以常数项为T 3=(−2)2C 62=60. 故答案为：60.如图1所示是一种生活中常见的容器，其结构如图2，其中四边形ABCD 是矩形，四边形ABFE 和CDEF 都是等腰梯形，且AD ⊥平面CDEF .现测得AB =20cm ，AD =15cm ，EF =30cm ，AB 与EF 间的距离为25cm ，则几何体EF −ABCD 的体积为________cm 3．【答案】 3500 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：在EF 上，取两点M,N ，分别满足EM =NF =5， 连结DM ，AM ，BN ，CN ，则该几何体就被分割成两个棱锥和一个棱柱， 根据柱、锥体的体积公式以及题中所给的相关量，可以求得V =12×20×15×20+2×13×12×20×15×5=3500． 故答案是：3500.四边形ABCD 中，A =60∘，cosB =17，AB =BC =7，当边CD 最短时，四边形ABCD 的面积为________． 【答案】37√32【考点】 三角形求面积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：当CD 边最短时，就是∠D =90时，连结AC ，应用余弦定理可以求得AC =2√21，并且可以求得cos∠CAB =√217,从而求得sin∠CAB =2√77,从而求得sin∠CAD =sin(60−∠CAB)=√32×√217−12×2√77=√714,利用平方关系求得cos∠CAD =3√2114,从而求得CD =2√21×√714=√3,AD =2√21×3√2114=9,所以四边形的面积S =12×√3×9+12×7×7×4√37=37√32. 故答案为：37√32．已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，E 为其准线与x 轴的交点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且|ME|=√11，则|AB|=( ) A.6B.3√3C.8D.9 【答案】 A【考点】直线与抛物线的位置关系 抛物线的求解 【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，可得E 的坐标，设过F 的直线为y =k(x −1)，代入抛物线方程y 2=4x ，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得k ，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值． 【解答】解：F(1, 0)为抛物线C:y 2=4x 的焦点， E(−1, 0)为其准线与x 轴的交点， 设过F 的直线为y =k(x −1)， 代入抛物线方程y 2=4x ，可得 k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=2+4k 2， 中点M(1+2k 2, 2k )， 可得√(2+2k 2)2+4k 2=√11，解得k 2=2，则x 1+x 2=2+4k 2=4，由抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+2=6，故选A .三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设a n2=(12)b n ，求1b 1b 2+1b2b 3+⋯+1bn b n+1的值．【答案】解：（1）由题知2a n =2+S n .当n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，即a na n−1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n. （2）由a n2=(12)b n=2−b n，得b n=−2n，所以1b n b n+1=1(−2n)(−2n−2)=14⋅1(n+1)n=14(1n−1n+1)，所以1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=n4(n+1).【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由题知2a n=2+S n.当n=1时，a1=2；当n≥2时，a n=S n−S n−1=2a n−2−(2a n−1−2)，即a na n−1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为a n=2n. （2）由a n2=(12)b n=2−b n，得b n=−2n，所以1b n b n+1=1(−2n)(−2n−2)=14⋅1(n+1)n=14(1n−1n+1)，所以1b1b2+1b2b3+⋯+1b n b n+1=14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=n4(n+1).如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为AC和BD的交点，若AB=AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=60∘．（1）求证：A 1O ⊥平面ABCD ；（2）求二面角C 1−BD −C 的余弦值．【答案】(1)证明：连接A 1B ，A 1D ，由题意知△ABA 1，△ADA 1均是边长为2的等边三角形， 所以A 1B =A 1D =2， 所以△ABD ≅△A 1BD ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 垂直平分于点O ， 由△ABD ≅△A 1BD ，得A 1O ⊥BD ，且A 1O =AO =√2.因为A 1O 2+AO 2=4=A 1A 2，所以A 1O ⊥AO . 因为AO ∩BD =O ，AO ，BD ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥平面ABCD .(2)解：由（1）可知BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥OC ，BD ⊥OC 1， 所以∠C 1OC 为二面角C 1−BD −C 的平面角， 以O 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则OA →=(√2,0,0),OA 1→=(0,0,√2)，OC →=(−√2,0,0),OC 1→=OA 1→+A 1C 1→=OA 1→+AC →=(−2√2,0,√2)， 所以cos∠C 1OC =cos⟨OC →,OC 1→⟩=OC →⋅OC 1→|OC →|⋅|OC 1→|=2√5=2√55, 所以二面角C 1−BD −C 的余弦值为2√55.【考点】二面角的平面角及求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)证明：连接A 1B ，A 1D ，由题意知△ABA 1，△ADA 1均是边长为2的等边三角形， 所以A 1B =A 1D =2， 所以△ABD ≅△A 1BD ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC 与BD 垂直平分于点O ， 由△ABD ≅△A 1BD ，得A 1O ⊥BD ，且A 1O =AO =√2.因为A 1O 2+AO 2=4=A 1A 2，所以A 1O ⊥AO . 因为AO ∩BD =O ，AO ，BD ⊂平面ABCD ， 所以A 1O ⊥平面ABCD .(2)解：由（1）可知BD ⊥平面ACC 1A 1，所以BD ⊥OC ，BD ⊥OC 1， 所以∠C 1OC 为二面角C 1−BD −C 的平面角， 以O 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则OA →=(√2,0,0),OA 1→=(0,0,√2)，OC →=(−√2,0,0),OC 1→=OA 1→+A 1C 1→=OA 1→+AC →=(−2√2,0,√2)， 所以cos∠C 1OC =cos⟨OC →,OC 1→⟩=OC →⋅OC 1→|OC →|⋅|OC 1→|=2√5=2√55, 所以二面角C 1−BD −C 的余弦值为2√55.自2016年底，共享单车日渐火爆起来，逐渐融入大家的日常生活中，某市针对18岁到80岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查，结果如表所示：（1）采用分层抽样的方式从年龄在[25, 35)内的人中抽取10人，求其中男性、女性的使用人数各为多少？（2）在（1）中选出10人中随机抽取4人，求其中恰有2人是女性的概率；（3）用样本估计总体，在全市18岁到80岁的市民中抽4人其中男性使用的人数记为ξ，求ξ的分布列． 【答案】因为年龄在[25, 35)人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为360600=35,240600=25， 所以抽取的10人中男性，女性人数分别为35×10=6,25×10=4． 由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4， 所以4人中恰有2女性使用者的概率为C 62C42C 104=37．由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为6001000=35， 所以随机变量ξ服从二项分布，即ξ∼B(4,35)，P(ξ=0)=C 40(35)0(25)4=16625,P(ξ=1)=C 41(35)1(25)4=96625,P(ξ=2)=C 42(35)2(25)2=216625，P(ξ=3)=C 43(35)3(25)1=216625,P(ξ=4)=C 44(35)4(25)0=81625，所以ξ的分布列为：离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）求出年龄在[25, 35)人中男性，女性使用人数占总体的比例，从而能求出抽取的10人中男性，女性人数．（2）选出的10人中，女性使用者人数为4，由此能4人中恰有2女性使用者的概率． （3）由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，随机变量ξ服从二项分布，即ξ∼B(4,35)，由此能求出ξ的分布列．【解答】因为年龄在[25, 35)人中男性，女性使用人数占总体的比例分别为360600=35,240600=25， 所以抽取的10人中男性，女性人数分别为35×10=6,25×10=4． 由题意知，在（1）中选出的10人中，女性使用者人数为4， 所以4人中恰有2女性使用者的概率为C 62C42C 104=37．由题知，ξ的可能取值为0，1，2，3，4，因为用样本估计总体，任取1人，是男性使用者的概率为6001000=35， 所以随机变量ξ服从二项分布，即ξ∼B(4,35)，P(ξ=0)=C 40(35)0(25)4=16625,P(ξ=1)=C 41(35)1(25)4=96625,P(ξ=2)=C 42(35)2(25)2=216625，P(ξ=3)=C 43(35)3(25)1=216625,P(ξ=4)=C 44(35)4(25)0=81625，所以ξ的分布列为：设椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为e =12，椭圆C 上一点M 到左右两个焦点F 1，F 2的距离之和是4． （1）求椭圆的方程；（2）已知过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且两点与左右顶点不重合，若F 1M →=F 1A →+F 1B →，求四边形AMBF 1面积的最大值．【答案】依题意，椭圆C 上一点M 到左右两个焦点F 1，F 2的距离之和是4，则2a ＝4，a ＝2， 因为e =12，所以c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3， 所以椭圆C 方程为x 24+y 23=1；设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB:x ＝my +1， 则由{x =my +1x 24+y 23=1，可得3(my +1)2+4y 2＝12，即(3m 2+4)y 2+6my −9＝0，△＝36m 2+36(3m 2+4)＝144(m 2+1)>0， 又因为F 1M →=F 1A →+F 1B →，所以四边形AMBF 1是平行四边形， 设平面四边形AMBF 1的面积为S ，则S =2S △ABF 1=2×12×|F 1F 2|×|y 1−y 2|=2×√△3m 2+4=24×√m 2+13m 2+4，设t =√m 2+1，则m 2＝t 2−1(t ≥1)，所以S =24×t 3t 2+1=24×13t+1t，因为t ≥1，所以3t +1t ≥4，所以S ∈(0, 6]，所以四边形AMBF 1面积的最大值为6． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a 的值，由离心率公式可得c 的值，计算可得b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)以及AB 的方程，将AB 的方程与椭圆联立，分析可得3(my +1)2+4y 2＝12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF 1面积用k 表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】依题意，椭圆C 上一点M 到左右两个焦点F 1，F 2的距离之和是4，则2a ＝4，a ＝2， 因为e =12，所以c ＝1，b 2＝a 2−c 2＝3， 所以椭圆C 方程为x 24+y 23=1；设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB:x ＝my +1， 则由{x =my +1x 24+y 23=1，可得3(my +1)2+4y 2＝12，即(3m 2+4)y 2+6my −9＝0，△＝36m 2+36(3m 2+4)＝144(m 2+1)>0， 又因为F 1M →=F 1A →+F 1B →，所以四边形AMBF 1是平行四边形， 设平面四边形AMBF 1的面积为S ，则S=2S△ABF1=2×12×|F1F2|×|y1−y2|=2×√△3m2+4=24×√m2+13m2+4，设t=√m2+1，则m2＝t2−1(t≥1)，所以S=24×t3t2+1=24×13t+1t，因为t≥1，所以3t+1t≥4，所以S∈(0, 6]，所以四边形AMBF1面积的最大值为6．已知函数f(x)=e x−x2−ax有两个极值点x1，x2(x1<x2)（1）求a的取值范围；（2）求证：e x1+e x2>4【答案】f′(x)=e x−2x−a，∵f(x)有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程e x−2x=a的两个解，令g(x)=e x−2x，则g′(x)=e x−2，∴当x<ln2时，g′(x)<0，当x>ln2时，g′(x)>0，∴当x=ln2时，g(x)取得最小值g(ln2)=2−2ln2．∴a>2−2ln2．由（1）可知x1<ln2<x2，且g(x1)=g(x2)=a，∴2ln2−x1>ln2，∴g(2ln2−x1)−a=g(2ln2−x1)−g(x1)=4e x1−2(2ln2−x1)−e x1+2x1=4e x1+4x1−e x1−4ln2，令ℎ(x)=4e x +4x−e x−4ln2，则ℎ′(x)=−4e x+4−e x≤−2√4e x∗e x+4=0，∴ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x1)=4e x1+4x1−e x1−4ln2>ℎ(ln2)=0，∴g(2ln2−x1)>a，即g(2ln2−x1)>g(x2)，∴2ln2−x1>x2，即x1+x2<2ln2．∵x1≠x2，∴e x1+e x2>2√e x1+x2恒成立，又e x1+x2<e2ln2=4，∴e x1+e x2>4．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）令f′(x)=0，分离参数可得a=e x−2x，根据此函数的单调性和零点个数得出a 的范围；（2）利用单调性得出x1+x2<2ln2，再根据基本不等式得出结论．【解答】f′(x)=e x−2x−a，∵f(x)有两个极值点x1，x2，∴x1，x2是方程e x−2x=a的两个解，令g(x)=e x−2x，则g′(x)=e x−2，∴当x<ln2时，g′(x)<0，当x>ln2时，g′(x)>0，∴ 当x =ln2时，g(x)取得最小值g(ln2)=2−2ln2． ∴ a >2−2ln2．由（1）可知x 1<ln2<x 2，且g(x 1)=g(x 2)=a ， ∴ 2ln2−x 1>ln2，∴ g(2ln2−x 1)−a =g(2ln2−x 1)−g(x 1)=4e x 1−2(2ln2−x 1)−ex 1+2x 1=4e x 1+4x 1−ex 1−4ln2，令ℎ(x)=4e x +4x −e x −4ln2，则ℎ′(x)=−4e x+4−e x ≤−2√4e x ∗e x +4=0，∴ ℎ(x)单调递减， ∴ ℎ(x 1)=4e x 1+4x 1−ex 1−4ln2>ℎ(ln2)=0，∴ g(2ln2−x 1)>a ，即g(2ln2−x 1)>g(x 2)， ∴ 2ln2−x 1>x 2，即x 1+x 2<2ln2．∵ x 1≠x 2，∴ e x 1+e x 2>2√e x 1+x 2恒成立， 又e x 1+x 2<e 2ln2=4， ∴ e x 1+e x 2>4．四.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα （α为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ(sinθ+√3cosθ)=√3． （1）求C 的极坐标方程；（2）射线OM:θ=θ1(π6≤θ1≤π3)与圆C 的交点为O ，P 与直线l 的交点为Q ，求|OP|⋅|OQ|的范围． 【答案】∵ 圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα （α为参数），∴ 圆C 的普通方程是(x −2)2+y 2=4， 又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ； 设P(ρ1, θ1)，则有ρ1=4cosθ1，设Q(ρ2, θ1)，且直线l 的方程是ρ(sinθ+√3cosθ)=√3， 则有ρ=√3sinθ+√3cosθ， ∴ |OP||OQ|=ρ1ρ2=ρ=√3cosθ1sinθ+3cosθ=√33+tanθ(π6≤θ1≤π3)，∴ 2≤|OP||OQ|≤3．∴ |OP|⋅|OQ|的范围是[2, 3]． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）圆C 的参数方程消去参数能求出圆C 的普通方程，再由x =ρcosθ，y =ρsinθ，能求出C 的极坐标方程．（2）设P(ρ1, θ1)，则有ρ1=4cosθ1，设Q(ρ2, θ1)，且直线l 的方程是ρ=√3sinθ+√3cosθ，由此能求出|OP|⋅|OQ|的范围． 【解答】∵ 圆C 的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα （α为参数），∴ 圆C 的普通方程是(x −2)2+y 2=4， 又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴ 圆C 的极坐标方程为ρ=4cosθ； 设P(ρ1, θ1)，则有ρ1=4cosθ1，设Q(ρ2, θ1)，且直线l 的方程是ρ(sinθ+√3cosθ)=√3， 则有ρ=√3sinθ+√3cosθ， ∴ |OP||OQ|=ρ1ρ2=ρ=√3cosθ1sinθ+√3cosθ=√3√3+tanθ(π6≤θ1≤π3)，∴ 2≤|OP||OQ|≤3．∴ |OP|⋅|OQ|的范围是[2, 3]．已知f(x)=2|x −2|+|x +1|． （1）求不等式f(x)<6的解集；（2）设m ，n ，p 为正实数，且m +n +p =f(2)，求证：mn +np +pm ≤3． 【答案】不等式2|x −2|+|x +1|<6等价于不等式组{x <−1−3x +3<6 或{−1≤x ≤2−x +5<6 或{x >23x −3<6， ⇒∈⌀或−1<x ≤2或2<<3所以不等式2|x −2|+|x +1|<6的解集为(−1, 3)； 证明：因为m +n +p =3，所以(m +n +p)2=m 2+n 2+p 2+2mn +2mp +2np =9，因为m ，n ，p 为正实数，所以由基本不等式m 2+n 2≥2mn （当且仅当m =n 时等号成立），同理m 2+p 2≥2mp ，p 2+n 2≥2pn ，所以m 2+n 2+p 2≥mn +mp +np ，所以(m +n +p)2=m 2+n 2+p 2+2mn +2mp +2np =9≥3mn +3mp +3np ， 所以mn +mp +np ≤3． 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x 的范围；（2）由基本不等式，可以解得m 2+n 2+p 2≥mn +mp +np ，将条件平方可得(m +n +p)2=m 2+n 2+p 2+2mn +2mp +2np =9，代入m 2+n 2+p 2≥mn +mp +np ，即可证得要求证得式子． 【解答】不等式2|x −2|+|x +1|<6等价于不等式组{x <−1−3x +3<6 或{−1≤x ≤2−x +5<6 或{x >23x −3<6，⇒∈⌀或−1<x≤2或2<<3所以不等式2|x−2|+|x+1|<6的解集为(−1, 3)；证明：因为m+n+p=3，所以(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m，n，p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn（当且仅当m=n时等号成立），同理m2+p2≥2mp，p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，所以(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，所以mn+mp+np≤3．。
安徽省2018届高三名校联考数学试题(理)及答案
安徽省2018届高三一轮复习名校联考数 学 试 题（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}}2120,01x x x x B xx ⎧--≤=≥⎨+⎩则()u AC B =A {}10x x -≤< B {}10x x -<≤C {}01x x ≤<D {}01x x <≤2．若12a ibi i+=- 则a+b= A 3 B -3 C 2 D -23已知实数a 、b,则“2a 0a b b +>>且”是“a>1且b>1”的A 充分非必要条件B 必要非充分条件C 充要条件D 既非充分又非必要条件4已知函数()log a f x x =满足f a =，则A (2)0f >B 1()02f >C (3)0f >D 1()03f >5已知向量(1,2), b (1,3)a ==-，(12)c a b λλ=+-，且a c ⊥，则λ= A -1 B 1 C 12-D 126下列命题：21:,12sin cos 2p x x x ∀∈ℜ-= 2:,sin cos cos 2p x x x x ∃∈ℜ+=33:(0,),log log p x x x π∀∈+∞> 2:(0,),23x x p x ∃∈+∞>其中真命题是( )A 14,P PB 13,P PC 23,P PD 14,P P7在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c 若2223c )4sin a bc A +-=2（b ,则角A= A6π B 3πC 23πD 56π8定义在ℜ上的偶函数(f x ），当0()2xx f x ≥=时，，则满足(12)(3)f x f -<的x 取值范围是A (-1,2)B (-2,1)C [-1,2]D (-2,1]9已知实数x,y,z满足0+=的最小值为ABCD 10将正奇数按如图所示规律排列，则第31行从左向右的第3个数为13 5 717 15 13 11 919 21 23 25 27 29 31A 1915B 1917C 1919D 1921二第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11 已知α 是第二象限角，且1sin 3α=，则tan α=____________ 12 等比数列S n 的前n 项和为S n ，公比12q =-，则33S a =__________13 平面向量a (1,0),2b ==与b 的夹角为4π，a (1,0),2b ==则2a b -=_______14 不等式组202030{x y x y a x y -≥-+≤+-≤ 表示的平面区域被x 轴分成面积相等的两个部分，则a=_________15 已知曲线C ：31()3,[,2]2f x ax x x =-∈ ，A 、B 是曲线C 上不同两点，且直线AB 的斜率R 总满足，3<R<124则实数a=__________三、解答题：本大题共6小题，共75分。
皖南八校2018届高三第一次联考理科数学答案.
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2018届皖南八校第一次联考理科数学
“皖南八校”2018届高三第一次联考数学(理科)一．选择题（每题5分）.1已知集合}|{1>=x x A ，}log |{12<=x x B ，则（ ）.A }|{41<<=x x B A .B }|{1>=x x B A.C }|{2>=x x B A .D }|{0>=x x B A.2若复数z 满足i i z -=+21)(，则=||z （ ）.A 3 .B 2 .C 22 .D 32.3若31=αsin ，α是第二象限角，则=α2sin （ ） .A 924- .B 924 .C 322- .D 322 .4下列四个命题1p ：若1>a ，则函数ax x y -=2在),(1-∞上是减函数；2p ：若1>a ，则3223..a a > 3p ：若函数)(log 1-=x y a 在),(+∞1上是增函数，则1>a ；4p ：若函数)(x f 是幂函数，则)(x f 在),(+∞1上一定是增函数，其中真命题为（ ）.A 21p p , .B 32p p , .C 43p p , .D 41p p ,.5已知向量),(12=a ，52=||b ，15=+||b a ，则向量b a ,的夹角为（ ）.A 4π .B 3π .C 32π .D 43π .6已知y x ,满足不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤-042632y x y x y x ，则y x z 23+=的最大值为（ ）.A 417 .B 524 .C 320 .D 776 .7直线x y 2=与曲线22-+=x x y 围成的封闭图形的面积为（ ）.A 49 .B 29 .C 5 .D 6 .8若函数)(x f 是奇函数，定义域为R ，且当0≥x 时，232x x a x f -+=)(，则满足112>-)(x f 的实数x 的取值范围是（ ）.A ),(0-∞ .B ),(1-∞ .C ),(+∞0 .D ),(+∞1.9设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若3315=S ，34110=S ，则=n n S a （ ）.A 1221--n n .B 1331--n n .C 12231-⨯-n n .D 13321-⨯-n n .10若0>>b a ，且12=+b a ，则下列不等式成立的是（ ）.A 2222-<+<b a b a ab log B ba a ab b 2222+<<-log .C b a ab a b 2222+<<-log .D 2222-<<+b a ab b a log .11将函数）π82-=x y sin(的图象向左平移4π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则（ ） .A )][)(Z k k k x f ∈++（ππ，ππ的单调增区间为函数16916 B 2285163上的最大值为π，π在区间函数],[)(x f .C ）π为点（的图象的一个对称中心函数012,)(x f .D 165x π程为的图象的一条对称轴方函数-=)(x f .12已知函数)()(1212--=x n ax x f 的一个极值点为1=x ，则当][2e 1e 2e 1++∈，x 时，函数)(xf 的最大值与最小值的和为（ ）.A 2e 2e 12）++( .B 22e 12）++( .C 2e 2e 1）+( .D 22e 1）+( 二．填空题（每题5分）.13函数x x y 425-⨯=的定义域为___________.14函数x x a y 2cos sin -=的最小值为2-，且0>a ，则__________=a .15已知等差数列}{n a 的公差为d ，若1a ，d 都是实数，且211143=-a a ，则d 的取值范围是_________ .16如图，在同一平面内，向量→OA ,→OB ,→OC 的模分别为32152=∠=∠BOC AOB tan ,tan ,,,.若→→→+=OC OA OB μλ,则_________=+μλ2三．解答题（本大题共6小题，共70分）.17（本小题满分10分） ABC △的内角C B A ,,的对边分别为,,,c b a 且.sin )sin(sin )(A a B A c B b a -+=+（1）求C ；（2）若,2=a ABC △的面积为33，求.sin AB C设等差数列}{n a 的前n 项为.,,15953-==S S S n)(1求数列}{n a 的通项公式和前n 项和n S ；)(2若数列}{n b 满足,)(93392211-⨯-=+⋅⋅⋅++n n n n b a b a b a 求数列}{n b 的通项公式。
【高三数学试题精选】皖南八校2018届高三摸底联考数学试题(理)
5
c
皖南八校12，0]……13分
法二，设
则
，而，
即…………9分
的取值范围是[0，36]
即的取值范围是[-6，6]
的取值范围是[-12，0]…………13分
19．（Ⅰ）证明为正方形，
，则cG=1=Ec…………2分
又F为EG中点，
面ABcD，
平面EcF，…………4分
平面BDE…………6分
（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系
由（Ⅰ）知，产平面BDE的一个法向量…………8分
设平面ABE的法向量，则
即
…………10分
从而
二面角A—BE—D的大小为…………13分
20．（Ⅰ）证明，
显然…………6分
（Ⅱ）构造函数，
即在R上递增，…………8分
所以
得到
…
相加后，得到……12分
21．解（Ⅰ）
综合可知，对一切的正整数，都有…………12分
证法2当时
……12分
综上所述，当时，当时，……13分
5
c
数列是首项为，差为的等差数列，…………2分
故
因为
所以数列的通项式Hale Waihona Puke ……64分（Ⅱ）将代入可求得
所以…………5分
①
②…………7分
由①-②得
…………9分
（Ⅲ）
于是确定与的大小关系等价于比较与的大小
由1，…
可猜想当时，…………11分
证明如下
证法1（1）当时，由上验算显示成立，
（2）假设时成立，即
则时
所以当时猜想也成立