高考数学 浅析高考数列求和题的解题方法论文
看最新高考试题 谈数列求和方法
数 列 是 高 中 数 学 比 较 重 要 的 一 个 知
识版块 ，课程标准 中要 求教师用大约 １ ２
课 时 进 行 教 学 ；在 每 年 的 高 考 试 题 中 ， 不 论是选择或填空对基础知识 、 基 本 解 题 方
｛ ｏ Ｊ 的前 ｎ项ｊ ｝ 口 ｓ ＝
， ｎ∈Ｎ ．
（ ２ ｎ一 １） ×３ “ ＝ 一 ２一（ ２ ｎ一 ２ ） ×３ ，
所以Ｓ ＝（ ｎ 一１ ） ３ “ ＋１ ．
时候一定要 认真分析 ， 找准 方法 ， 这样 才
会 取得 优 异 的成 绩 。
当ｋ ＋ ｌ ＝ １ ３时 ， ２ ｅ ｒ ＋ ｋ － １ ＝ ５ ， 解得 ｋ ＝ ｌ ２ ， ｒ ｎ ￣ － ３ ， 故舍去 ； 当ｋ ＋ ｌ ＝１时 ， ２ ｍ ＋ ｋ 一 １ ＝ ６ ５ ，
又， ｎ ， ｜ ｊ ｝ ∈Ｎ ，贝 ０（ ｋ ＋１） （ ２ ｍ＋ ｋ 一 １）
＝
３ 一 ＋（ ２ ｎ 一１ ） ×３ ， 将 两 式 相 减得 ：
一
识也 占据着十分重要 的地位。 在高 考数学 试题中 ，无论是对基 本解题方法的考查 ，
还是与 其他知识 交汇命 题综合考 查都会 涉 及 数 列 的 知识 。 所 以学 生 在 学 习数 列 的
５ ×１ ３ ， 或（ ｋ ＋ １） （ ２ ｒ ｎ ＋ ｋ － １） ＝ １×６ ５ ， 下面分类求解 ： 当ｋ ＋ ｌ ＝ ５时 ， ２ ｍ＋ ｋ 一 １ ＝１ ３ ，
解得 ｋ ＝ ４ ， ｍ＝ ５ ；
２ Ｓ ＝ １＋ ２Ｘ（ ３ 。 ＋３ ＋ … ＋３ ｎ ） 一
一
（ ２） 设６ ＝ ２ ＋ （ 一 １ ） ， 求数 列｛ ６ ） 的 前２ ｎ项和．
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思
浅谈高考数列综合问题的解题策略及反思高考数列综合问题是近几年高考数学中的一个重要考点，通过解题策略的运用可以帮助考生更好地应对这类题目。
本文将浅谈高考数列综合问题的解题策略，并进行反思和总结。
一、高考数列综合问题的解题策略1. 确定数列的表达式在解决数列综合问题时，首先需要确定数列的表达式，即找出数列的通项公式。
通过观察数列的前几项，寻找数列的规律，并尝试找到递推公式或通项公式。
对于常见的等差数列、等比数列和斐波那契数列，可以直接利用已有的性质和公式进行求解。
而对于一些复杂的数列，可以通过列出递推关系式或使用递归思想进行求解。
2. 应用数列的性质和定理在解决数列综合问题时，可以利用数列的性质和定理来简化问题的求解过程。
例如，对于等差数列，可以应用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
对于等比数列，可以利用数列的前n项和公式、通项公式和项数的关系来求解。
掌握这些数列的性质和定理，能够帮助考生更快地解答题目。
3. 运用数列思想和数学归纳法数列思想和数学归纳法在解决数列综合问题中起着关键作用。
通过观察数列的规律，推测出数列的通项公式，并通过数学归纳法来验证所推测的结论是否成立。
此外，还可以通过数列的特殊构造和等式的变换，运用数学归纳法来解决数列综合问题。
4. 利用图形化表示对于一些复杂的数列综合问题，可以通过图形化表示进行求解。
将数列的每一项用点表示在坐标系中，从而可以观察出数列的规律和特点。
通过图形化表示可以帮助考生更直观地理解问题，并以直观的方式解决问题。
二、解题策略的反思与总结在解题过程中，有时会遇到难题，但通过灵活运用不同的解题策略可以更好地应对。
然而，在实际解题中，我们还需注意以下几点：1. 理解题意，准确运用数列知识在解决高考数列综合问题时，首先要仔细阅读题目，明确问题所给条件和要求，确保理解题意。
其次，要准确运用数列的知识，利用已学过的公式和定理进行求解。
对于不太熟悉的数列类型，要通过多做习题和练习来加深理解，扩大解题思路。
数学与应用数学-高考数列题的考题分析与解题方法研究论文
1、将未知转化为已知，即把题目所给的条件转化为含有题目要求解的未知量的式子，如这一道例题（选自2016年理科全国卷）：
2.2 高考数列题体现的数学思想
纵观最近五年的高考数学题型中有关数列的部分，呈现出立足于基础数学知识，充分整合数学思想，注重考察数学能力的要求，数列题中蕴含的数学思想主要有转化与化归的思想、函数与方程的思想和分类讨论的思想，其中以转化与化归思想为重点。
2.2.1 转化与化归思想
转化与化归思想在高考中有着无与伦比的地位，甚至可以说，转化与化归思想贯穿数学问题的始终，任何数学问题的求解都不能离开转化与化归思想[1]。
函数思想本质上是抛开研究目标的非本质特征，抽象出所需要的数学特征，建立各个变量之间的一种函数关系，利用函数的各种性质来解决相关问题。数列是一种定义域为正整数的特殊函数，是一种离散的函数，其通项公式也是相应的函数解析式，以函数为背景来思考数列问题有助于学生深刻认识所要研究的数列。利用函数的相关性质、函数的图像来分析问题、解决问题往往可以达到简单、快捷的效果。在近几年的全国卷中求数列最值问题愈来愈频繁出现，关于数列求最值问题可以通过数列与函数的关系，利用其性质或图像来求解。这也要求教师在数列教学过程中要时常贯彻函数的思想进行教学，使学生认知结构中能够将数列与函数与函数的性质相联系。
Key words:Arithmetic progression;geometric progression;solution approach
高考数列题的考题分析与解题方法研来数列都在高考中占据着举足轻重的地位，不论是从学科知识的基础性还是考试的灵活性等角度，数列题型都是不可或缺的。因此，结合时代背景和高考题型改革的需要，立足数列知识的基础，研究高考数列题的考题特点与解题方法是提升学生高考数学实战成绩的不二选择。
高考中数列求和主要方法论文
高考中数列求和主要方法论文摘要：在求和时，一定要认真观察数列的通项公式，如果它能拆分成几项的和，而这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和。
数列是高中数学的一个重要板块，在历年来高考中，所占比例10%左右，而数列求和是考查中重点内容之一，很多学生都觉得面对数列求和问题，显得很无力，下面我将结合具体实例来研究求和的方法.一、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.其实质是对偶原理小结：对某些具有对称性的数列，可运用此法.二、公式法（或直接求和法）此方法仅适用于等差或等比数列。
1.等差数列求和公式：2.等比数列求和公式：例2 （2013四川，理16）（本小题满分12分）在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.解：设该数列公差为d，前n项和为Sn.由已知，可得2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）.所以，a1+d=4，d（d-3a1）=0，解得a1=4，d=0，或a1=1，d=3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和Sn=4n或Sn=小结：数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得.三、裂项相消法如果数列的通项公式很容易表示成另一个数列的相邻两项的差，即，则有.这种方法就称为裂项相消求和法.例3 .[2014·全国大纲卷（理18）]等差数列的前n项和为，已知，a2为整数，且.（I）求的通项公式;（II）设，求数列的前n项和.[解析]（I）由，为整数知，等差数列的公差d为整数.又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为.（II），于小结：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意相消后所剩下的项数，后面还很可能前n项和的最值结合起来考查参数取值范围。
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题
如何解决高考数学中的数列与数学归纳法难题数列与数学归纳法是高考数学中的重要难点之一。
很多学生在这部分内容上遇到困难，对于数列的特征与公式推导、数学归纳法的运用不太熟悉。
然而，只要我们掌握一些解题技巧和方法，就能轻松应对高考中的数列与数学归纳法难题。
本文将介绍几个解题的思路和策略，帮助考生更好地应对高考中的数学难题。
第一部分：数列的特征与公式推导数列是指按照一定规律排列的一组数。
在考试中，我们常见的数列有等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
解决数列问题的关键是要发现数列之间的规律，并根据规律进行推导。
首先，我们来看等差数列。
等差数列的特点是首项与公差确定，任意一项与项数之间的关系可以通过公式推导得出。
当我们遇到一个等差数列时，可以先求出公差，然后根据公式求出所需项数，这样就能轻松解决问题。
接下来是等比数列。
等比数列的特点是首项与公比确定，任意一项与项数之间的关系同样可以通过公式推导得出。
与等差数列类似，我们可以先求出公比，再根据公式求出所需项数，进而解决问题。
第二部分：数学归纳法的运用数学归纳法是解决一类问题的一种常用的证明方法。
在高考数学中，数学归纳法常常用于证明数学命题和不等式。
在解决数列问题时，数学归纳法也是一种重要的推理和证明工具。
数学归纳法的基本思想是：先证明当n=k时某个命题成立，然后假设当n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
通过不断地递推，最终我们就能证明当n为任意自然数时命题都成立。
在解决数列问题中，数学归纳法通常用于证明某个数列的通项公式。
我们可以先通过观察和猜测，找出数列的规律，然后利用数学归纳法证明这个规律对所有项都成立。
这样，我们就能快速确定数列的通项公式，从而方便地求解题目。
综上所述，要解决高考数学中的数列与数学归纳法难题，关键是要发现数列之间的规律，并通过公式推导或数学归纳法证明这个规律的正确性。
在备考过程中，我们可以通过大量的练习和题目分析来提高解题的能力和水平。
浅析高职高考数列求和的几种常用解法
浅析高职高考数列求和的几种常用解法【摘要】数。
数列求和是高职高考中常见的数学问题，掌握数列求和的解法对于考生来说至关重要。
本文从数列求和的基本概念出发，介绍了常用的几种解法，包括数学归纳法、等差数列求和公式、等比数列求和公式以及数列求和通用公式。
通过对这些解法的分析和比较，帮助读者选择合适的解法进行求解，同时也强调了加强数列求和问题的练习的重要性。
通过阅读本文，读者可以更好地理解和掌握高职高考数列求和问题的解题思路，提高数学解题能力。
【关键词】高职高考、数列求和、解法、数学归纳法、等差数列、等比数列、通用公式、选择、练习1. 引言1.1 高职高考数列求和问题的重要性高职高考数列求和问题在数学学习中具有重要性，不仅在解题能力的培养上起到关键作用，同时也在对数学知识的掌握和应用上具有重要意义。
数列求和问题不仅考察了学生的数学基础知识，还培养了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
数列求和问题在高职高考中占据着重要的比例，在考试中的难度和要求也逐渐增加，因此掌握数列求和的方法和技巧对于学生来说是必要的。
数列求和问题还涉及到生活中的实际问题，如等差数列可以用来表示等间隔的数值变化，等比数列可以用来表示递增或递减的增长率，通过数列求和问题的练习，学生能够加深对数学概念和规律的理解，从而提高数学应用能力。
高职高考数列求和问题的重要性不容忽视，学生应该认真学习和掌握相关知识，以提升自己在数学学习中的成绩和能力。
1.2 解题思路的重要性在高职高考数列求和问题中，解题思路的重要性不容忽视。
由于数列求和问题种类繁多，解题方法各异，对于考生来说，正确的解题思路是解决问题的关键。
解题思路直接影响到解题的效率。
如果能够有清晰的解题思路，考生可以在限定的时间内迅速找到解题的方法，提高答题速度。
相反，若在解题过程中没有明确的思路，可能会浪费大量时间在尝试不同的方法上，导致时间不够用或者答案错误。
合理的解题思路可以避免出现错误。
高考数列求和问题破解策略
高考数列求和问题的破解策略数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考和数学竞赛中都占有十分重要的地位，数列求和问题是数列的基本内容之一，也是高考命题的热点和重点。
由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见解题策略作一归纳，供广大师生参考。
1、公式法求和若所给数列的通项是关于n 的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。
常用求和公式列举如下： 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=， 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn自然数的方幂和：k 3=13+23+33+ +n 3=n 2 (n+1)2，k=1+2+3++n=n(n+1)，k 2=12+22+32+ +n 2=n(n+1)(2 n+ 1)例1已知数列{}n a ，其中()12111,3,22n n n a a a a a n +-===+≥，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}ln n S 的前n 项和为n U ，求n U 。
解：由题意，{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列 前n 项和()211212n n S n n ++-=⋅=，2ln ln 2ln n S n n ==()()2ln1ln 2ln 2ln !n U n n =+++=2、错位相减法求和若数列{}n c 的通项公式为n n n b a c =，其中{}n a ，{}n b 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
它在推导等比数列的前n 项和公式时曾用到的方法。
探析 “数列求和”在高考中的应用
探析“数列求和”在高考中的应用【摘要】数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。
数列求和的内容在课本中没有作为独立的知识点列出，但它在解决数列的有关问题中却有重要意义，有必要进行归纳与总结。
本文根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以提高同学们数列求和的能力。
【关键词】高考数学数列求和题型解法技巧数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。
它几乎涵盖了数列中所有的思想、策略、方法、技巧，对学生的知识和思维能力都有很高的训练价值。
考试时把求和作为大题的一个不可缺少的一问单列，其重要性不言而喻。
因此，我们根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以提高同学们数列求和的能力。
1.公式法（常规公式）（1）直接利用等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
a 等差数列{a n} 的前n项和S n=(a 1+a n)·n2=na 1+n(n-1)2db 等比数列{a n} 的前n项和S n=a 1(1-q n)1-q=a 1-a nq n1-q （q≠1）2.倒序相加法如果一个数列，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序求和法。
这种求和方法在推导等差数列的前n项和也曾用过。
例1：求sin 21°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°的值。
【解题思路】本题是求函数值的和，通过对其解析式的研究，寻找它们的规律然后进行解决。
解：求sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°的值。
解：设S=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 288°+sin 289°①将①右边反序得S=sin 289°+sin 288°+…+sin 23°+sin 22°+sin 21°②即S=cos 21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 288°+cos 289°③①+③得2S=(sin 21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+(sin 23°+cos 23°)+…+(sin 288°+cos 288°) +(sin 289°+cos 289°)=89，∴S=4412。
浅谈高考数列题的解题策略
浅谈高考数列题的解题策略数列是高中数学的重要内容，也是中学数学联系实际的主渠道之一.它与函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，解题中可能涉及到的的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法与技巧在中学数学中也有着十分重要的地位.因此，围绕数列命制的综合性较强的试题 历年来都是高考的重点和热点 .这些试题主要考察学生的运算能力、逻辑思维能力、分析和解决问题的能力、数学归纳能力及综合创新能力.由于高考数列题常考常新,因此,探求一些常用方法与解题策略是十分重要的.本文就近年高考真题来谈谈数列题的题型与应对的解题策略，希望对同学们的解题有所帮助. 题型一 等差数列与等比数列的证明翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是否是等差（等比）数列的题目比比皆是，如何处理这些问题呢？主要有两种方法：①利用等差（等比）数列的定义；②运用等差（等比）中项的性质.例1(2015年高考（江苏）)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列. （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列？并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n kn n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列？并说明理由.分析: 在数列{}n a 中，若d a a n n =--12,(*≥∈n N n 且d 为常数）或02,(*1≠≥∈=-q n N n q a a n n，且为常数，)0≠n a ，则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数最主要的方法——定义法.（1）证明：因为)3,2,1(222211===-++n d a a a a n n nn 是同一个常数，所以43212,2,2,2aa a a 依次构成等比数列.（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列， 则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d a a d +=+． 令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-． 显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k na a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n k n kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++． 令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．点拨：本题主要考查等差、等比数列的定义和性质，函数与方程等基础知识，考察代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力. 例2 (2005年高考（江苏）)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中B A 、为常数.（1）求A 与B 的值；（2）证明：数列{}n a 为等差数列.分析: 212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种方法．其中公式⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1,2,11n S n S S a n n n 在解题中起到重要作用.解:（1）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S ,由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(2) 由（1）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ② ②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n即 0))(25())(410())(25(11223=-++-+--++++++n n n n n n S S n S S n S S n 因为 n n n S S a -=++11所以 0)25()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n ，*N n ∈ 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列点拨：本题通过公式n n n S S a -=++11的使用试图将n S 的关系转化成通项之间的递推关系，学生一般做到③式时，就失去了再做下去的勇气.若再使用一次公式n n n S S a -=++11，不仅消去了常数项20-，还找到了相邻三项之间的关系，真可谓“柳暗花明”！题型二 数列的通项与求和数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考察内容.笔者分析近几年高考数学试卷数列部分的命题趋向，发现近年来这部分试题越来越灵活，不再局限于考察学生对等差、等比数列通项和求和公式的直接应用，而是将重点转移到考察学生对公式掌握的熟练程度和综合解决问题的能力.笔者认为要熟练掌握数列通项与求和就必须：①掌握常见的几种数列的求通项与求和的方法；②强化“化生为熟，化繁为简”的解题意识. 例3 （2012年高考（江西文））已知数列{}n a 的前n 项和n n S kc k =-(其中k c ,为常数),且3628,4a a a ==.(Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和n T .分析:第（Ⅰ）问中，借助公式)2(1≥-=-n S S a n n n 进行转换，明确通项公式，然后借助两个已知条件求解，注意对1=n 进行验证；第（Ⅱ）问中，根据通项公式结构的特点：一个等差数列与一个等比数列的乘积，故采用错位相减法求解. 解:( Ⅰ)当1n >时,11()n n n n n a S S k c c --=-=-则 656()a k c c =-,323()a k c c =-65363238a c c c a c c-===-,∴2=c . ∵42=a ,即21()4k c c -=,解得2=k ,∴2n n a =)1(>n ,当1=n 时,112a S == , 综上所述*2()n n a n N =∈ . (Ⅱ)n n n na 2⋅=,则n n n T 22322232⋅++⨯+⨯+= (1) =n T 2 13222)1(2221+⋅+⋅-++⨯+⨯n n n n (2)(1)-(2)得23122222n n n T n +-=++++-解得：12)1(2+⋅-+=n n n T点拨：本题主要考察等差数列的通项公式和前n 项和等基础知识，意在考察学生运算能力和分析问题、解决问题的能力. 求数列通项的常用方法有：①定义法；②累差法；③累乘法；④构造法；⑤归纳、猜想法等.数列前n 项和常用求法有：①公式法；②错位相减法；③裂项相消法；④倒序相加法；⑤并项求和法；⑥分组求和法等.在解题过程中，要视具体情形选用合适的方法，这里不再一一举例.题型三 数列与不等式的综合数列与不等式的综合题主要以压轴题的形式出现，除了涉及数列的通项公式、前n 项和公式以及二者之间的关系，还涉及到函数与导数、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求等问题.主要用于考查学生对知识的灵活变通能力、融合与迁移能力，考查数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．例4（2006年高考（湖北理））已知二次函数)(x f y =的图像经过坐标原点，其导函数为26)('-=x x f ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n S n)(*N n ∈均在函数)(x f y =的图像上．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m . 分析：第（1）问中由⎪⎩⎪⎨⎧=≥-=-1,2,11n S n S S a n n n 可求得n a ;第（2）问可利用裂项相消的方法求和, 不等式的恒成立问题可转化为最值问题求解.解：（1）依题设)0()(2≠+=a bx ax x f ，则b ax x f +=2)('，又由26)('-=x x f 得3=a ,2-=b ,∴x x x f 23)(2-=，所以n n S n 232-=，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a 56-=n ，当1=n 时，51611213211-⨯==⨯-⨯==S a 也符合上式，∴)(56*N n n a n ∈-=． （2）由（1）得)161561(21)16)(56(331+--=+-==+n n n n a a b n n n ，∴)1611(21)]161561()13171()711[(211+-=+--++-+-==∑=n n n b T ni in ， 因此，要求使)(20)1611(21*N n mn ∈<+-成立的最小正整数m ，只要求得)1611(21+-n 的最大项，由于)1611(21+-n 随着n 的增大而增大，故当+∞→n 时，21)1611(21→+-n ，故令21≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.点拨：恒成立问题的处理方法有分离参数、数形结合、分类讨论等.由于数列是特殊的函数，因此在遇到数列中的不等式恒成立问题，也可以采取类似的方法去处理.题型四 数列推理问题在高考中，还有一类数列问题经常用数表或图形给出，或者根据新信息解题，这对考察学生的创新能力提出了较高的要求.解这类问题要先读懂题意，从题目中获取有用信息，然后根据相关知识作进一步的演算和推理. 例5（2011陕西理） 观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .分析:把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -，等式右边都是完全平方数. 解：行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… …… 所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=- ， 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-点拨：归纳总结时，看等号左边的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．题型五 数列应用问题数列作为特殊的函数，涉及实际应用的问题广泛而多样，诸如银行信贷，生产产品的增长率，分期付款等问题，运用数列知识解决实际应用问题时，应在认真审题的基础上，认准问题的哪一部分是数列问题？是哪种数列（等差数列、等比数列）的问题？在n n S a n q d a ,,),(,或中哪些量是已知的，哪些量是待求的？特别要认准项数n 为多少.总之，充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出等差（比）数列、递推数列的模型，再综合运用其它相关知识来解决问题.例6 （2011年高考（湖南文））某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的%75．（I ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（II ）设12,nn a a a A n+++=若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．分析：构造等差、等比数列的模型，然后利用数列的通项公式和求和公式进行求解. 注意求数列的和时要分类讨论，求范围时要借助数列的单调性.解：（I ）当6n ≤时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列． n n a n 10130)1(10120-=--=，当7≥n 时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34为等比数列，又670a =，所以 6)43(70-⨯=n n a ，因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为⎪⎩⎪⎨⎧∈≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯∈≤-=-*6*,7,4370,6,10130Nn n N n n n a n n (II)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当16n ≤≤时，1205(1),1205(1)1255;n n S n n n A n n =--=--=- 当7n ≥时，668764321078043144370570)(--⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+=++++=n n n n a a a S S ， nA n n 6)43(210780-⨯-=. 因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又86968933780210()780210()4779448280,7680,864996A A ---⨯-⨯==>==<所以须在第9年初对M 更新．点拨：在将实际问题转化为数列问题时，要注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求n n S a ,，还是求n .例7 （2012年高考（湖南文））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了%50.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元.(Ⅰ)用d 表示21,a a ,并写出1n a +与n a 的关系式;(Ⅱ)若公司希望经过)3(≥m m 年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).分析：第(Ⅰ)问建立数学模型,得出1n a +与n a 的关系式132n n a a d +=-,第(Ⅱ)问,只要把第一问中的132n n a a d +=-迭代,即可以解决. 解：(Ⅰ)由题意得12000(150%)3000a d d =+-=-,2113(150%)2a a d a d =+-=-d 254500-=，13(150%)2n n n a a d a d +=+-=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)得132n n a a d -=-2233()22n a d d -=-- 233()22n a d d -=-- =12213333()1()()2222n n a d --⎡⎤=-++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d --⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d -=-+. 由题意,134000,()(30003)24000,2n n a d d -=∴-+=解得13()210001000(32)232()12n n n n nn d +⎡⎤-⨯⎢⎥-⎣⎦==--. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+--时,经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为4000元.点拨：本题考查递推数列在实际问题中的应用,考查学生运算能力和使用数列知识分析、解决实际问题的能力.。
探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧
探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧【摘要】数列是高中数学中一个重要的内容，掌握数列的解题方法和技巧对学习和考试都至关重要。
本文从数列试题的普遍性和解题方法的重要性入手，介绍了数列的基本概念、常见数列题型与解法、数列试题中常用的技巧、数列试题的思维拓展以及解题过程中的常见错误。
通过对数列试题解题方法与技巧的总结，提出建议对数列进行更深入的学习和理解，展望数列在高中数学学习中的重要性。
本文旨在帮助读者更好地理解和掌握解题方法和技巧，提高解题效率，同时也引导读者对数列进行深入学习，为高中数学学习打下坚实的基础。
【关键词】高中数学、数列试题、解题方法、技巧、基本概念、常见题型、思维拓展、常见错误、总结、建议、重要性、展望。
1. 引言1.1 介绍高中数学数列试题的普遍性高中数学中的数列试题是学生必须面对的重要内容之一，因为数列在数学中有着广泛的应用和重要的作用。
数列试题不仅在数学考试中经常出现，而且在解决实际问题中也有着重要的作用。
数列试题的普遍性体现在不同难度的考试中都会出现，无论是高考、考研还是数学竞赛，数列试题都是一个不可或缺的部分。
掌握数列试题的解题方法和技巧对于学生是非常必要的。
通过解题方法的学习和实践，可以提高学生对数列的理解和掌握程度，使其在考试中取得更好的成绩。
数列试题也可以培养学生的逻辑思维能力和数学分析能力，让学生在解决问题时能够运用所学知识，做到举一反三，拓展自己的数学思维。
探讨高中数学数列试题的普遍性不仅可以帮助学生更好地掌握知识，还可以培养学生的数学能力和解决问题的能力。
1.2 解题方法的重要性解题方法的重要性在高中数学数列试题中起着举足轻重的作用。
数列作为数学中非常重要的一个概念，其解题方法对于提高解题效率和准确性至关重要。
掌握正确的解题方法可以帮助我们更快速地解决数列题目，在考试中节约宝贵的时间。
解题方法的准确性直接关系到最终答案的正确性，一个错误的解题方法往往会导致答案错误，从而降低整体得分。
浅谈高考中的数列求和问题
浅谈高考中的数列求和问题作者：王雪来源：《理科考试研究·高中》2020年第06期摘要：数列在高中数学知识体系中的地位极其重要，通过对近几年的高考试题的整理分析，发现数列求和问题在其中扮演着“枢纽”的作用.因此，本文对常见数列求和方法进行整理、分析，并归纳其适用题目所具备的特征.关键词：高考数学;数列;求和高考中关于数列求和的考查较为常见，题型的主要方向有正向、逆向（由数列的前n项和求数列的通项公式或其他量）、数列求和与函数（将数列前n项和看作关于n的函数）、不等式综合应用（求取数列和的最值或证明不等式成立）.数列求和的常用方法有公式法求和、倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和、分组转化法求和等.在解题中，学生常常分不清何时采用何方法，下面通过几道典型例题，对几种方法的适用特征进行总结.1 公式法求和若一个数列是等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减运算构成的数列，则其可以使用相应的等差数列或等比数列的公式直接进行求和运算.例1 （2016年全国Ⅰ卷文科第17题）已知an的通项公式an=3n-1，数列bn满足b1=1，b2=1 3，anbn+1+bn+1=nbn.求bn的前n项和.分析此题在判断出该数列为等比数列的基础上，直接应用等比数列的前n项和公式进行计算，属于简单题.解题的关键在于熟练地掌握及应用公式.解析因为an=3n-1，所以（3n-1）bn+1+bn+1=nbn.整理，得bn+1=bn 3.所以数列bn是首项为1，公比为1 3的等比数列.设bn的前n项和为Sn，则Sn=1-（1 3）n 1-1 3=3 2-1 2×3n-1.總结（1）等差数列前n项和公式Sn=n（a1+an） 2（公式1），Sn=na1+n（n-1） 2d（公式2）在解题时需要根据已知条件决定选用哪个公式更为简便：若已知首项、末项和项数时，则选择公式1;若已知首项、公差和项数时，则选择公式2.（2）等比数列的前n项和公式Sn=na1， q=1，a1（1-qn） 1-q=a1-anq 1-q，q≠1.易错点在解题时需要对q的取值进行分类讨论.拓展由奇数项和偶数项分别构成的等差或等比数列以及等差数列各项的绝对值构成的数列、等差数列的通项乘（-1）n构成的数列可以适用公式法进行数列求和.2 倒序相加法求和若一个数列中与首末两项等距离的两项的和相等，则可使用倒序相加法来求此类数列的和.该方法的本质思想是消项.例2 已知f（x）=x3 1+x3，求f（1 2020）+f（1 2019）+…+f（1）+f（2）+…+f（2020）的值.分析由于该式的第一项与最后一项互为倒数，第二项与倒数第二项互为倒数，依次类推.考虑f（x）+f（1 x）的结果，f（x）+f（1 x）=x3 1+x3+1 x3 1+1 x3=x3 1+x3+1 x3+1=1.解析令所求式子和为S，则S=f（1 2020）+f（1 2019）+…+f（1）+…+f（2020）.①S=f（2020）+f（2019）+…+f（1）+…+f（1 2020） .②两式相加，得2S=1+1+ (14039)所以S=4039 2.总结解决此题的关键是通过观察题目所给的表达式的形式，发现问题的答案（f（x）+f （1 x）=1），此类问题的答案往往在问题之中，我们在解答时要注意从问题入手，之后应用倒序相加法求和.应用倒序相加法求和的步骤是：（1）令所求式子和为S，S=a1+a2+a3+…+an;（2）将S的表达式等式右端进行倒置：S=an+an-1+an-2+…+a1;（3）将以上两式相加得2S，进而求得S的值.拓展由此例题我们发现，若能在所给要求和的题目中得到某表达式的和为常数，例如f （x）+f（-x）=c， f（x）+f（1 x）=c，…此种情况下，我们可以应用倒序相加法来解题.由此可以得出结论：非等差数列也可以使用倒序相加法进行求和[1].3 错位相减法求和错位相减法求和适用于an·bn型数列，其中an，bn分别是等差数列、等比数列（即cn=（an+b）qn-1（q≠1））.我们首次接触错位相减法是在推导等比数列的前n项和时，通过错位相减法的应用，可使数列求和计算化繁为简.例3 （2016年山东高考理科第18题）已知数列an=6n+5，bn=3n+1，令cn=（an+1）n+1 （bn+2）n，求数列cn的前n项和Tn.分析此题经过化简后发现是差比型数列，所以我们可以应用错位相减法进行求和计算.解析由题意，可知cn=（6n+6）n+1 （3n+3）n=3（n+1）·2n+1.则数列cn的前n项和Tn=c1+c2+…+cn.所以Tn=3×[2×22+3×23+…+（n+1）×2n+1].①2Tn=3×[2×23+3×24+…+（n+1）×2n+2].②①-②，得 -Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-（n+1）×2n+2]=3×[4+4（1-2n） 1-2-（n+1）×2n+2]=-3n·2n+2.所以Tn=3n·2n+2.总结应用错位相减法进行数列求和的步骤是：（1）写出Tn=c1+c2+…+cn;（2）等式两边同乘等比数列的公比q，即qTn=qc1+qc2+…+qcn;（3）将两式作差，转化为等比数列，应用公式进行求和;（4）两边同时除以1-q，整理得到最后结果.易错点在书写过程中，为了准确写出Tn-qTn的表达式，提高解题的准确性，应特别注意将两式“错项对齐”.同时，要对等比数列的公比进行讨论，若q=1，则不能应用错位相减法进行求和.拓展学生在应用错位相减法求和时，最大的困难在于最后结果的化简整理.此处将拓展一个公式帮助学生进行计算：形如（An+B）·qn-1型数列求和，其结果为Sn=（αn+β）·qn-β，其中α=A q-1，β=B q-1-A （q-1）2.（此公式只是验证计算结果的辅助公式，不能写在答题卡上）4 裂项相消法求和形如bn=1 anan+1（an为等差数列或an=1 n+k+n）型的数列可使用裂項相消法求和，其基本原理通俗来讲是将数列的某一项拆分为两项或多项，在求和时使前后项能够相互抵消，达到消项化简的目的.例4 （2017年全国Ⅲ卷文科第17题）若an=2 2n-1，求数列an 2n+1的前n项和.分析解决此题的关键是通过对该数列的通项公式的观察发现其分母可拆分，之后将其裂项相抵消.解析设数列an 2n+1的前n项和为Sn.an 2n+1=2 （2n+1）（2n-1）=1 2n-1-1 2n+1.则Sn=1 1-1 3+1 3-1 5+…+1 2n-1-1 2n+1=1-1 2n+1=2n 2n+1.总结在运用裂项相消法求和过程中，要注意以下几个问题：（1）在利用裂项相消法求和时，要检验裂项前后等式两端是否相等，若不相等，可通过添加系数，使等式的左右两端保持相等;（2）在利用裂项相消法求和时，我们发现，前后剩余项数是具有对称性的.拓展常用的裂项公式：（1）1 n（n+k）=k（1 n-1 n+k）;（2）1 （2n-1）（2n+1）=1 2（1 2n-1-1 2n+1）;（3）1 n（n+1）（n+2）=1 2[1 n（n+1）-1 （n+1）（n+2）];（4）1 n+n+k=1 k（n+k-n）;（5）loga（1+1 n）=loga（n+1）-logan.5 分组转化法求和此方法是针对一些特殊的数列，从它们的通项公式上来看，既不是等差数列也不是等比数列，但是，若将其拆分开来，可分为几个等差、等比或常见数列.因此，对于这样的数列在进行求和时，应该先将其拆分，之后分别求和，最后将其合并.例5 （2015年福建高考文科第17题）等差数列an的通项公式为an=n+2，设bn=2an-2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值.分析解决此题的关键是将该数列的通项公式进行拆分后，发现其是等差数列与等比数列的和，之后分别应用各自的求和公式进行计算求和.解析由题意，可得bn=2an-2+n=bn=2n+n.所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+（23+3）+…+（210+10）=（2+22+23+…+210）+（1+2+3+…+10）=2×（1-210） 1-2+（1+10）×10 2=2103.总结能够应用分组转化求和法进行求和的数列类型[2]：（1）an=bn±cn，bn，cn为等差或等比数列;（2）通项公式为an=bn，n为奇数，cn，n为偶数，bn，cn为等差或等比数列.6 结论高考中对于数列知识的考查是必考点，近年来数列在高考中的地位更是突出，数列求和问题的考查频率也很高，但是不难.因此，在平时的教学中，仅仅给出简略的说明是不够的，应该让学生掌握每种方法适用题目所应具有的特征，这样才能“对症下药”，顺利解决数列求和问题.参考文献：[1]秦秀红.揭开“倒序相加法”的神秘面纱[J] .中学教研（数学），2008（07）：36-37.[2]董兴勇.高中数列求和的有效方法初探[J].数学学习与研究，2017（05）：142-143.（收稿日期：2020-02-17）。
浅析数列求和法
教学实践新课程NEW CURRICULUM写。
上述的动态寓喻就是一个突出的宏观方面，而从微观入手，亦可发现作者笔触的活跃性。
如，太阳透过……照射在地上……南风刮来了……整个屯子都轰动了。
啼明鸡叫着。
东南天上露出了一片火烧似的红云。
丰富的动景让整部作品充满激情与生命力，似乎每一个力量都在积蓄待发、蠢蠢欲动。
然而，相比于《太阳照在桑干河上》不安乱闯的“小虫”、会呼吸能睡觉的活生生的“大地”，《暴风骤雨》对景物的描写则没有掺杂过多的主观感情色彩，它则显得如此洗练纯净。
如王国维《人间词话》中所言：“无我之境，不知何者为我，何者为物”。
“昔人论诗，有景语情语之别，不知一切景语皆情语也。
”枯燥的政治题材、浓郁的政治色彩，朴实白描的粗犷景物再现，始终无法遮盖作者成熟稳重而坚定的憧憬，始终无法掩住革命胜利的伟大光芒，更无能掩盖优秀作品的闪光点。
作为当代文学中的审美客体，《暴风骤雨》所蕴含的独特的文学价值值得多角度地推敲。
参考文献：［1］王国维.人间词话［M］.上海：上海古籍出版社，2014.［2］周立波.暴风骤雨［M］.北京：人民出版社，1996.［3］丁玲.太阳照在桑干河上［M］.北京：人民出版社，1995.［4］胡春燕.小说中景物描写作用举隅［J］.语文教学与研究，2012（12）：39-40.•编辑谢尾合求数列的前n项和是数列题中的高频考点。
它的考查十分灵活，题型变化多样，有以选择题的方式出现，有的则是填空题，甚至还会以一道综合大题的方式进行考查。
本文通过用列举典型题的方式，总结归纳了6种常见的数列求和方法，供大家参考。
一、倒序相加法如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
倒序相加法是数列求和当中应用最广的一种解题方法，它的基本类型可以用公式表示为：a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=a4+a n-3…具体解法见下面的例题。
浅谈数列求和创新题的解题策略
1 ,____
A=1 / $ A * / $ A*1
( 2 ) 由 （1 ) 得 C4
4 ，4 为 奇 数 ' 4 为偶数。
当 4 为 偶 数 时 ，, 4 # % 1 * %, * ， % 4一1) * ( $ 2 * $ 4 * •••* $ 4 ) # [ 1 * 3 *
4 一D ] * (2) * ( 2 ) * - * ( 2
一 、条 件 完 整 型 ：以奇偶项讨论为例
( 2 0 2 0 年 安 徽 亳 州 模 拟 ）已 知 等
(4*1)2 * 1 4 *3
1 ^ /1 r *1 一 M r *1
3
(2 )
(2 )
(4*1) , 1 4 *3
1 / 1 、4—1 3 •(2 ) °
j %4， 4 为奇数， 评 注 ：通 项 公 式 为 $ 4 #
4+1 〇
所 以 74 = ( _ _ 2 ) + ( 2 _ ^31
_ 1+ M + 3 + 4 )+
「（_ 1 ) 4 ( _ 1 ) 4+ 1]
_4
4+ 1 _
1 ( _ 1 ) 4+ 1 ， 4 $ #
因 为 1了4 + 1 | < 2 〇 2 〇 , 所 以 I 了4 + 11
44 +十1丄< 2 22 〇0Z,0解 得 4 1 2 0 1 9 。 所 以 4 的 最 小 值 为 2 020# 评 注 ：本 题 考 查 数 列 通 项 公 式 的 求 法 ，以
数 时 ，利 用 , 4 # , W — $ W 求 和 较 为 简 洁 ，
处理方式新颖。
浅谈高考中数列求和问题的解法
浅谈高考中数列求和问题的解法
武杰峰
【期刊名称】《试题与研究(教学论坛)》
【年(卷),期】2012(000)029
【摘要】在高考试题中，数列求和问题是试题的重要组成部分，高考重点考查的是公式求和法、裂项求和法和错位相减求和法，其中裂项求和法对数式的变换有较高的要求，要掌握一些常见的变换技巧。
【总页数】1页(P67-67)
【作者】武杰峰
【作者单位】河南省郑州市七中高中部
【正文语种】中文
【中图分类】G633.603
【相关文献】
1.高考中的数列求和问题 [J], 李向虹
2.高考中的数列求和问题 [J], 廖永福
3.高考中的数列求和问题 [J], 廖永福
4.探究高考数列求和问题的解法 [J], 许欣;廖小莲
5.活跃在高考中的数列求和问题 [J], 蓝云波
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数学论文_浅谈数列求和的若干方法
内江师范学院学年论文目录摘要.......................................................................... 错误！未定义书签。
ABSTRACT (1)1．引言 (2)2．公式法 (2)3．错项相消法 (3)4．倒序相加法 (4)5．通项分析法 (5)6．待定归纳法 (6)7．裂项法 (7)8. 逐差法 (8)9. 组合数法 (9)10．导数求和法 (10)11．数学归纳法 (11)12．递推数列求和法 (12)13．无穷递缩等比数列求和法 (12)小结 (14)参考文献 (14)致谢 (15)摘要:初学者对这部分的内容有畏难情绪，以至没有学好此内容.关于数列求和前人也作过不少文章，但随着数学的发展，数列求和出现了新题型，数列求和的若干方法不但解决了数列的一般求和也很好的处理了递推问题.要解决一类问题，数列求和是从它们的本质特点出发，去寻找最一般的方法，从而得出的结论比较具有针对性，可以普遍推广.本章的内容规律性比较强，只要抓住它们的不同特点，相应的归类就比较容易地解答.根据数列的不同特点，给出了数列通项与求和的一般形式，很好地解决了数列求和的若干问题，为学好本章起到很大的帮助作用.关键词：数列；前n项和；通项公式；递推求和ABSTRACTSeries summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of the series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the general promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to learn to play a great help in this chapter .Key words : series ；pre-n and ; formula ; recursive summation1．引言数列是高中代数的重要内容，是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列外，大部分求和都需要技巧，下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.2．公式法对于以下数列可利用公式直接求和.（1）等差数列： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ （其中：n S ：前n 项和，1a ：首项，：n a 末项，d ：公差，n ：项数，下同）（2）等比数列：()111,11,1n n n a q S q qS na q ⎧-⎪=≠⎨-⎪==⎩ (3) 自然数的和1(1)2ni n n i =+=∑ （4）自然数的平方和)12)(1(6112++=∑=n n n i ni （5）自然数的立方和2213)1(41+=∑=n n i ni 例1 求和2222123n S n =++++分析：由332(1)331k k k k +=+++得 ()3321331k k k k +-=++，令k =1、2、3、n 得3322131311-=⋅+⋅+ 3323232321-=⋅+⋅+3324333331-=⋅+⋅+……()3321331n n n n +-=++把以上各式两边相加得：()()()3322211312312n n n n +-=++++++++∴ ()()3131132n n n S n n +=+--- 因此，()()11216n S n n n =++例2 求和：ααααααααcos sin cos sin cos sin cos sin 1253-++++n 解：设所求之和为n S ，则)sin sin sin (sin cos 1253ααααα-++++=n n S ，这是公比为α2sin 的等比数列前n 项之和.（1）、若,1sin 2≠=αq 即,,2Z ∈=≠n n ππα则有),sin 1(sin 1)sin 1(sin cos 222αααααα-=--=tg S n n （2）、若,1sin 2==αq 即,,2Z ∈+=n n ππα则有0=n S3．错项相消法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积形成，那么此数列可采用错项相减消法.例3 求和211323212222n n n n n S ---=++++解：由原式乘以公比12得：231113232122222n n n n n S +--=++++ 原式与上式相减，得∴ 2111111121222222n n n n n S S -+--=++++-∴ 2332n n n S +=-例4 设0≠a 求数列a 、22a 、33a …n na …的前n 项和分析：这个数列的每一项都含有a ，而a =1或不等于1，对数列求和方法上有本质的不同，所以解题时需要进行讨论.解：若1=a ，2)1(321+=++++=n n n S n若1≠a ，n n na a a a S ++++= 3232，此时，该数列可以看成等差数列1、2、3…n 与等比数列a 、2a 、3a …n a 的积构成的数列，且公比a q =，在上述等号两边同时乘a ，有133232+++++=n n na a a a aS两式相减得132)1(+-++++=-n n na a a a a S a所以，11)1()1(+---=-n n n na aa a S a 从而得21212)1()1(1)1()1(a aa n na a na a a a S n n n n n -++-=----=+++4．倒序相加法如果一个数列与首末两项等距的 两项之和等于两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和. 例5 已知{}n a 为等差数列，求123n a a a a ++++解：令123n n S a a a a =++++将上式中各项的次序反过来就得到：121n n n n S a a a a --=+++上两式相加的()()()12112n n n n S a a a a a a -=+++++由等差数列性质得：1211n n n a a a a a a -+=+==+所以得()12n n S n a a =+ 所以()12n n n a a S +=例6 求和：n n n n nC C C 36321+++ .解：令.396303210n n n n n nn nC C C C C S +++++= 将上式中各项的次序反过来，得：.03)2(3)1(330121n n n n n n n n n C C C n C n nC S +++-+-+=-- 上述2式左右两边分别相加，并利用kn n k n C C -=，得 .23)(321210n nn n n n n n n n C C C C C n S ⨯=+++++=-所以123-⨯=n n n S5．通项分析法对数列的通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和.例7 求数列1，2a a +，432a a a ++，++43a a 65a a +，…的前n 项和n S ，（0≠a ）解：当a =1时，.k a k = 则)1(21+=n n S n 当1-=a 时，0=k a ，（k 为偶数）和1=k a ，（k 为奇数）可见]2)1(1[21n S nn +--= 当|a |1≠时，aa a a k k k --=--1121 ，所以)]()()()1[(11121523---++-+-+--=n n n a a a a a a a aS =)]()1[(11125312--++++-++++-n n a a a a a a a a=)]1)(1[()1()1(11)1(11[111222+--+-=------n n n n a a a a a a a a a a6．待定归纳法解决与自然数有关的某一问题，首先应对结论的代数形式做一个正确推测，并将结论用待定系数设出来，随之令其满足数学归纳法的各个步骤，从中得到得到待定系数的方程，求出待定系数，即可使问题得解. 例8 求数列221⨯，243⨯，265⨯，，()2221n n -的前n 项和n S因为数列()232221882n a n n n n n =-=-+它是关于n 的多项式，与之类似的数列求和问题我们熟悉的有⑴ ()213521n n ++++-=⑵ ()()()112231123n n n n n ⨯+⨯+++=++ ⑶ ()233332112314n n n ++++=+ 以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于n 的多项式，对其次数进行比较便可得到这样的结论：若数列{}n a 的通项公式是关于n 的多项式，则其前n 项和是比通项公式高一次的多项式，对本题而言，因为通项公式()232221882n a n n n n n =-=-+是关于n 的三次多项式，所以我们猜想该数列的前n 项和n S 是关于n 的四次多项式，故可设432n S An Bn Cn Dn E =++++ 即1n =，n k =，1n k =+时上式均成立，有12S A B C D E =++++= 432k S Ak Bk Ck Dk E =++++()()()()43211111k S A k B k C k D k E +=++++++++ 即()()()4321463432k S Ak A B k A B C k A B C D k A B C D E+=++++++++++++++又因为11k k k S S a ++=+所以()()()4321816102k S Ak B k C k D k E +=++++++++ 比较上两式同类项系数可得 486316432102A AA B B A B C C A B C D D A B C D E E =⎧⎪+=+⎪⎪++=+⎨⎪+++=+⎪++++=+⎪⎩ 解方程得 2A =,43B =,1C =-,13D =-,0E =故43241233n S n n n n =+--7．裂项法顾名思义，裂项法就是把数列的项拆成几项，然后相加时各项相消，达到求和目的的一种方法.通项分解如：⑴ ()()1n a f n f n =+- ⑵ ()11111n a n n n n ==-++⑶()()()221111212122121n n a n n n n ⎛⎫==+-⎪-+-+⎝⎭ ⑷ ()()()()()1111122112n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥-++++⎣⎦例9 求数列)12)(12()2(,,756,534,3122222+-⨯⨯⨯n n n 的前n 项和n S 分析：该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积，用分子凑分母的方法，化简分式，然后再拆项，有解：nn n n n n S n =+--+++-++-+=+-++⨯+⨯=)]121121(211[)]5131(211[)]3111(211[)12)(12()2(534312222 ).121121(211)12)(12(11)12)12(11)2()12)(12()2(22+---=+--=+-+-=+-n n n n n n n n n n+ 12)1(2)1211(21++=+-n n n n 例10 求和个n n S 333333333++++= 解：个n n 333333333S ++++= =）（个n 99999999993++++ =)]110110110110[9332-++-+-+-n （）（）（）（ =3)110(2710]10101010[9332n n n n --=-++++ 8逐差法针对一类高阶等差数列求和的问题.某些数列的构成规律不十分明显.我们可以逐次求出它的各阶差数列，如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列，那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式，然后再求出其前n 项和n S .例11 求数列5,6,9,16,31,62的前n 项和n S考虑数列的各差数列： 原数列：5,6,9,16,31,62 一阶差数列：1,3,7,15,31二阶差数列：2,4,8,16由于二阶差数列是等比数列，可用逐差法求数列的通项，然后再求出其前n 项和n S .解：设原数列为{}n a ，一阶差数列为{}n b ，二阶差数列为{}n c 那么211b b c -= 322b b c -= 433b b c -=11n n n b b c ---=以上1n -个式子相加，有11231n n b b c c c c --=++++1248162n -=+++++()12122212n n --==--因为11b =，所以22121n n n b =-+=- 又 211a a b -= 322a a b -= 433a a b -=11n n n a a b ---=所以 ()1111231112121n n m n n n m m m a a b b b b b n ---==-=++++==-=--∑∑21524n n n a n n =--+=-+ 数列{}n a 的前n 项和为()1112424nnnmmn m m m S m m n ====-+=-+∑∑∑()()21214122nn n n -+=-+- ()17222n n n +-=--9．组合数法原数列各项可写成组合数的形式，然后再利用公式11m m mn n m C C C -++=求解.例12 求1，12+，123++，，123n ++++ 由()21112312n n n n C +++++=+=知可以利用“组合数法”求和 解 ()()()112123123n S n =++++++++++ ()11362n n +=++++ 22222341n C C C C +=++++ 32223341n C C C C +=++++ =32n C +=()()1126n n n =++10．导数求和法通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式1/)(-=n n nx x ，可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的结构特征. 例13 求和：)0(32112≠++++=-x nx x x S n n解：当x =1时，S n =1+2+3+…+n=2n)n(1+ 当≠x 1时，,1132x x x x x x x n n--=+++++ 两边都是关于x 的函数，求导得（,)1()/1/32x x x x x x x n n --=+++++ 即 .)1()1(13212112x nx x n nxx x S n n n n -++-=++++=+-11．数学归纳法有些题目通过求出的{}n a 的前n 项之和，猜想出n S ，然后用数学归纳法证明. 例14 设数列{}n b 的前n 项之和为n S ，满足3()*12(),n n n S nb b n +=+∈N 求.n S 解：因为,11b S =由，3()12n n n S nb b +=+，得3（111)12S S S +=+所以 411=S 而221b S S =-所以 3()22121212()S S S S S +-=+-⎡⎤⎣⎦得 227S = 同理 求 得3310S =推测).(13*N ∈+=n n n S n 下面用数学归纳法加以证明（1）、当n =1时，结论显然成立（2）、假设k n =时结论成立，即31k k S k =+ 由题设有1113[(1)]12k n k S k b b +++++=+知又因为11k k k S S b ++=+所以 13311311+-++=++k S k k S k k 有 113(1)1k k S k ++=++ 则k n =时结论亦成立.由（1）（2）知，对于13,*+=N ∈n n S n n 总成立. 111331k k S b k ++-=+12．递推数列求和法递推数列求和是较难的一类，针对这类题，一般先要研究通项公式，而求通项公式又往往是难点，通项求出就可以从本质上去求和，下面介绍地推数列通项的方法.例15 已知数列{}n a 中,23,2,11121-+-===n n n a a a a a 求n S解：要求n S ，首先寻找n a因02311=+--+n n n a a a 故)(211--+-=n n a n a a a n所以{}n n a a -+1是以2为公比，12a a -为首项的等比数列.所以112-+=-n n n a a所以112211)()()(a a a a a a a a n n n n +-++-+-=---=10132212222---=+++++n n n所以.12222112-=++++=-n n n S13．极限求和当数列为无穷数列，这就是我们高等数学要学的一个重要组成部分——级数，那它的和怎么求啦？有些我们可以直接运用公式，有些我们还是可以裂项，然后再求极限.例16 求数列11111,,,,,,2482n 的前n 项和 解：由题设可知此数列为递缩等比数列，公比121 =q ，故前n 项和 1112211212nn n S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 故 lim 2n n S →∞=例17 求数列()1111,,,,1324352n n ⨯⨯⨯+解：因为()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭所以111111123242S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =111112212n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭所以11113lim lim 122124n n n S S n n →∞→∞⎛⎫==+--= ⎪++⎝⎭数列求和问题虽然很难，但我总可以通过找出共同的特点和规律或进行恒等变换得到解决的途径.以上几种方法是求数列较适用的方法，是从根本上去认识数列求和.类型较全，公式简单易懂，对学好数列的求和有很大的帮助.参考文献[M.北京人民教育出版社；]1[人民教育出版社中学数学室，高一数学上册][M.北京：中国青年出版社；]2[泸海运、付延卫、田春林等.创新方案][J.成都教育出版社2006.6；]3[叶锋，浅谈数列的求和][J.数理化学习（高中版）；]4[广冬雁、李居强、刘利琴，数列求和十法][M.北京：人民日报出版社；]5[李增旺、宋胜利.名师一号][6] 刘玉琏、数学分析讲义（下册）[M]，北京：高考教育出版社，2003；[7] 陈传璋，数学分析讲义下册[J],北京：高考教育出版社，2004.经过几个月的奋斗，我的学年论文终于完成了，在此我要感谢我的指导老师曾德强老师，没有他就没有我这篇论文的一些思想，没有他我很多地方的数学思维是不可能有的，他使我的数学水平提过了一个档次，明白了如何写数学论文，如何查找文献等等，也感谢他在每周星期六上午对我们的辅导，在这些时间里我学会了很多利用数学建模的思想去解决实际问题，如何把实际中的问题与数学联系起来，使我数学有了长足的进步，他也对我大四写毕业论文做了很多指导，使我对以后有了信心，我也可以写出好的论文.另外，在论文资料的收集上，我要谢谢我们学校的图书馆，在上面我找到了很多有用资料，对我论文的书写有了很大的帮助.但由于初次尝试写论文，有很多地方想的并不是很周到，如有不足之处，希望大家批评指正.。
数列求和问题的探讨 毕业论文
数列求和问题的探讨【摘要】数列求和问题是数列的基本内容之一，由于数列求和问题题型多样，技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。
鉴于此，下面就数列求和问题的常见题型及解法技巧逐一探讨。
本文将用一些较为简单和具代表性的例子，探讨将数列求和的方法和技巧渗透、融合，实现方法与内容的整合实践，阐述数列求和中一些具体方法与思想。
【关键词】数列求和通项公式方法一、数列求和的思路数列是数学的重点内容之一，而数列求和是数列中较难的一个问题，技巧性强，覆盖面广，而且能有效地测试学生的运算能力、逻辑推理能力以及分析问题的能力。
数列求和是一个较复杂的数学问题，因此必须挖掘题设条件，从中发现规律，顺利完成求和问题。
等比、等差数列前n 项和可以直接用通项公式求和；非等比、等差数列前n项求和的关键是从通项出发，分析其结构特征，若问题能转化为等差数列或等比数列求和的问题，则有基本求和公式可用，或变换通项，经过裂相等方法消去中间相，达到求和的目的；若通项是项数n 的一次、二次、三次多项式的形式，则可以转化为正整数平方数列、立方数列进行求和。
二、探究数列求和的方法1. 公式求和法如果给定的数列是由等差数列、等比数列、一些已知求和公式的特殊数列或这些数列通过和的形式组成，其前n 项和可用已知公式直接求得。
1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn 3、)1(211+==∑=n n k S nk n4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、213)]1(21[+==∑=n n k S nk n例1、已知{}n a 是一个首项为a ，公比为(01)q q <≤的等比数列，求2222*123()n n S a a a a n N =++++∈解：由已知得1n n a aq-=，222(1)2212222n n n n a a q q a a q+-+-∴==∴{}2n a 是首项为2a ，公比为2q 的等比数列。
高中数学论文一道数列求和题的解法探究
一道数列求和题的解法探究数列是高中数学的重要内容,在高考中每年必考,有基础题,中档题,也有压轴题.其归纳起来主要考查数列的通项及求和两大类问题.其中数列求和题涉及到数学上诸多思想及方法.本文就一道数列求和题的解法进行探究，以供参考。
问题:设n S =()()12197531--++-+-+-n nΛΛ,则n S 等于( ) A . n ± B . ()n n1- C . ()n n 11+- D . n 2 方法一:分析:由于是一道选择题,所以可巧用 “赋值法”.可令n =1,由题设得到1S =1-.再考虑答案支选出答案B .方法二:分析:通过观察可发现此数列具有正负相间,且正数项和负数项分别成等差数列这一特征.因此可以将正数项和负数项分别进行分组求和.但此数列有多少正数项和负数项呢?还要对项数n 的奇偶性进行讨论.解：ⅰ:当项数n 为偶数时; 正数项和负数项各有2n 项 ()[]32951-++++-=n S n ΛΛ+()[]121173-++++n ΛΛ()22321n n -+-=()22123nn -++()()2121++--=n n n n n = ⅱ: 当项数n 为奇数时; 正数项有21-n 项,负数项有21+n 项 ()[]12951-++++-=n S n ΛΛ+()[]321173-++++n ΛΛ ()()()()n n n n n n n n n -=-++-=--+++-+-=2121221323221121所以()()⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n 1-.故选B .另解：ⅰ:当项数n 为偶数时; 正数项和负数项各有2n 项 ()[]32951-++++-=n S n ΛΛ+()[]121173-++++n ΛΛ()22321nn -+-=()22123n n -++()()2121++--=n n n n n = ⅱ:当项数n 为奇数时,1+n 为偶数由11++-=n n n a S S =()()()[]112111-+--++n n n n -=所以()()⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n 1-.故选B .方法三：分析：通过观察可发现此数列具有这样的特征，即第一项与第二项，第三项与第四项，第五项与第六项，……，第1-n 项与第n 项的和都等于2，共多少个2呢？还要对项数n 进行奇偶性讨论.解：ⅰ:当项数n 为偶数时;共2n 个2. n n S n =⋅=++++=222222ΛΛ ⅱ:当项数n 为奇数时;444344421ΛΛ个212222-++++=n n S +()[]12--n =n n 21212-+-⋅n -= 所以()()⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n1-.故选B . 方法四： 分析：由此数列的通项()()121--=n a nn ；其是等差数列与等比数列的积这一类型的数列求和，故用错位相减法.解：由n S =()()121531--++-+-n nΛ ()1 ()n S 1-= Λ-+-531()()321--+n n +()()1211--+n n ()2所以()()21-得：()()()1212122221211---⋅-++-+-+-=+-n S n n n n 4444434444421ΛΛ个当项数n 为偶数时n S 244443444421ΛΛ个1222221-++-+-+-=n ()12-+n =21+-()12-+n n 2=所以n S n =. 同理：当项数n 为奇数时，n S n -=所以()()⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n n S n ,即n S =()n n 1-.故选B .通过对以上问题几种方法的探讨，不难看出，实际上所有与项的序号的奇偶性有关的数列求和问题，通过认真审题，抓住数列的通项,灵活地运用分类讨论、转化和化归数学思想，就可将其变为熟悉的，简单的等差数列或等比数列来处理，辅助以适当的解题方法技巧，问题就会迎刃而解。
数列求和的几种方法(毕业论文)
S p 、 S q 、 S r ，若记
pr ，则 rq
Sp Sq
Sr p q . r 1
证明 从而
设 {a n } 的公差为 d (d 0) ,首项为 a1 ，则 S p p a1
p ( p 1) d. 2
Sp p
a1
Sq p 1 q 1 Sr r 1 d , 同理， a1 d, a1 d. 2 q 2 r 2
1.1 公式法
1.1.1 等差数列求和公式 定义 3 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 等差数列前 n 项和公式 n(n 1) S n a1 a 2 a 3 a n na1 d. 2 定理 1 在等差数列中（公差不为零） ，前 p 项、前 q 项、前 r 项之和分别是
绪论
数列是高中数学的重要内容，近十年的高考试题中，有关数列与极限的试题 约占满分的 10% .而数列求和又是考查的重点之一.许多考生对此感到无助.而且 有许许多多的人都对“数列求和”进行了探讨.经过高中阶段的积累和四年的大 学学习，感觉自己对数列求和有些见解.于是把它写了出来. 定义 1 数列是按一定“次序”排列的一列数.数列一般形式可以写成 a1 , a 2 , a 3 , , a n , 或简记为 {a n } ， （其中 n 表示位置序号）. 定义 2 把 a1 a 2 a n 叫做数列 {a n } 的前 n 项和.并记做 S n .即有
m
m
3
3
2
2
m
1 2 m 1 (C m 1 a n d C m 1 a n 2
m m d 2 Cm d )
高考数学 浅析高考数列求和题的解题方法论文
浅析高考数列求和题的解题方法数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。
本文归纳近几年高考求数列{an}前n 项和题的解题方法，供同学们参考。
一、直接求和法等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
例1（2009年湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 C 】A ．13B ．35C ．49D ． 63解: 172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++===故选C. 二、分组求和法某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，可采用分组分别求和的方法。
例2（2008年浙江文）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（,,n N p q *∈为常数），且145,,x x x 成等差数列，求：（Ⅰ）,p q 的值； （Ⅱ）数列{}n x 的前n 项的和n S 的公式。
解：（Ⅰ）由得,31=x解得得且又,82523,2,52,42,32554315544q p q p x x x q p x q p x q p +=++=++=+==+ p =1,q =1(Ⅱ) 三、裂项相消法某些数列的通项，可拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，一般情况下剩下正负项个数相同。
例3（2010山东理数）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． .2)1(22)21()222(12++-=+++++++=+n n n S n n n解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+22⨯=2n +2n 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅析高考数列求和题的解题方法
数列求和是数列的重要内容，也是高考的重点考察对象。
本文归纳近几年高考求数列{an}前n 项和题的解题方法，供同学们参考。
一、直接求和法
等差数列和等比数列求和均可直接利用求和公式。
例1（2009年湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于【 C 】
A ．13
B ．35
C ．49
D ． 63
解: 172677()7()7(311)49.222
a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨
⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22
a a S ++===故选C. 二、分组求和法
某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，可采用分组分别求和的方法。
例2（2008年浙江文）已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p nq =+（,,n N p q *∈为常数），且145,,x x x 成等差数列，求：
（Ⅰ）,p q 的值； （Ⅱ）数列{}n x 的前n 项的和n S 的公式。
解：（Ⅰ）由得,31=x
解得
得
且又,
82523,2,52,42,
32554315544q p q p x x x q p x q p x q p +=++=++=+==+ p =1,q =1
(Ⅱ) 三、裂项相消法
某些数列的通项，可拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，一般情况下剩下正负项个数相同。
例3（2010山东理数）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ．（Ⅰ）求n a 及n S ；
（Ⅱ）令b n =211
n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． .2)1(22)21()222(12++-=+++++++=+n n n S n n n
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11
2721026a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)3n+
22⨯=2n +2n 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =211n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)⋅=111(-)4n n+1⋅， 所以n T =111111(1-+++-)4223n n+1⋅-=11(1-)=4n+1⋅n 4(n+1)
， 即数列{}n b 的前n 项和n T =n 4(n+1)。
四、错位相减法
若数列{an}{bn}分别为等差数列和等比数列，求数列{an ·bn}的前n 项和就可以用这一方法。
例4(2008年陕西文)已知数列{}n a 的首项123a =
，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{
1}n a -是等比数列； （Ⅱ）数列{}n
n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ） 121n n n a a a +=+，∴ 111111222n n n n a a a a ++==+⋅， ∴ 11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴11112
a -=， ∴数列1{1}n a -是以为12首项，12为公比的等比数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112
n n a =+，∴2n n n n n a =+． 设23123222n T =+++ (2)
n n +， ① 则23112222n T =++…1122n n n n +-++，② 由①-②得 2111222n T =++…11111(1)1122112222212
n n n n n n n n n +++-+-=-=---，
∴11222n n n n T -=-
-．又123+++…(1)2
n n n ++=． ∴数列{}n n a 的前n 项和 22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==． 此外还有一些数列求和方法，比如倒序相加法、待定系数法、数学归纳法等等，相应的技巧也应重视。