第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第一部分
材料力学第3版习题答案
材料力学第3版习题答案第一章：应力分析1. 某材料在单轴拉伸下的应力-应变曲线显示，当应力达到200 MPa 时，材料发生屈服。
若材料在该应力水平下继续加载，其应力将不再增加，但应变继续增加。
请解释这一现象，并说明材料的屈服强度是多少？答案：这种现象表明材料进入了塑性变形阶段。
在单轴拉伸试验中，当应力达到材料的屈服强度时，材料的晶格结构开始发生滑移，导致材料的变形不再需要额外的应力增加。
因此，即使继续加载，应力保持不变，但应变会因为材料内部结构的重新排列而继续增加。
在本例中，材料的屈服强度是200 MPa。
第二章：材料的弹性行为2. 弹性模量是描述材料弹性行为的重要参数。
若一块材料的弹性模量为210 GPa，当施加的应力为30 MPa时，其应变是多少？答案：弹性模量（E）与应力（σ）和应变（ε）之间的关系由胡克定律描述，即σ = Eε。
要计算应变，我们可以使用公式ε =σ/E。
将给定的数值代入，得到ε = 30 MPa / 210 GPa =1.43×10^-4。
第三章：材料的塑性行为3. 塑性变形是指材料在达到屈服点后发生的永久变形。
如果一块材料在单轴拉伸试验中，其屈服应力为150 MPa，当应力超过这个值时，材料将发生塑性变形。
请解释塑性变形与弹性变形的区别。
答案：塑性变形与弹性变形的主要区别在于材料在去除外力后是否能够恢复原状。
弹性变形是指材料在应力作用下发生的形状改变，在应力移除后能够完全恢复到原始状态，不留下永久变形。
而塑性变形是指材料在应力超过屈服点后发生的不可逆的永久变形，即使应力被移除，材料的形状也不会恢复到原始状态。
第四章：断裂力学4. 断裂韧性是衡量材料抵抗裂纹扩展的能力。
如果一块材料的断裂韧性为50 MPa√m，试样的尺寸为100 mm×100 mm×50 mm，试样中存在一个长度为10 mm的初始裂纹。
请计算在单轴拉伸下，材料达到断裂的临界应力。
材料力学课件PPT
力学性质：在外力作用下材料在变形和破坏方面所 表现出的力学性能
一
试
件
和
实
常
验
温
条
、
件
静
载
材料拉伸时的力学性质
材料拉伸时的力学性质
二 低 碳 钢 的 拉 伸
材料拉伸时的力学性质
二 低碳钢的拉伸（含碳量0.3%以下）
e
b
f 2、屈服阶段bc（失去抵抗变 形的能力）
b
e P
a c s
s — 屈服极限
（二）关于塑性流动的强度理论
1．第三强度理论（最大剪应力理论） 这一理论认为最大剪应力是引起材料塑性流动破坏的主要
因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要构件危险 点处的最大剪应力达到材料在单向拉伸屈服时的极限剪应力就 会发生塑性流动破坏。
这一理论能较好的解释塑性材料出现的塑性流动现象。 在工程中被广泛使用。但此理论忽略了中间生应力 2的影响， 且对三向均匀受拉时，塑性材料也会发生脆性断裂破坏的事 实无法解释。
许吊起的最大荷载P。
CL2TU8
解： N AB
A [ ]
0.0242 4
40 106
18.086 103 N 18.086 kN
P = 30.024 kN
6.5圆轴扭转时的强度计算
圆轴扭转时的强度计算
▪ 最大剪应力：圆截面边缘各点处
max
Tr
Ip
max
Wp T
Wp
Ip r
—
抗扭截面模量
3、强化阶段ce（恢复抵抗变形
的能力）
o
b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob
第三章应力分析应变分析屈服准则复习讲诉
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
试问上述应变场在什么情况下成立？
例题解答
2 xy xy
1 2
2 x y 2
2 y x2
(1)
2 xy 2 (2bxy) 2b xy xy
1
2
2 x y 2
2 y x2
1
2
2
a x2 y2 y 2
2
axy
x2
a
a 2b 即当a 2b时，上述应变场存在。
应变分析问题小 结
max min
2
C
2.2 单向拉伸时的Tresca屈服准则
2.2 Tresca yield criterion in uniaxial stretch test
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
第三章 应力分析
σx τxy τxz σy yx τ τyz Sx τzy σz τzx By Sz S= σ Sy N
A x
主平面上的应力
S x = σ l , S y = σ m, S z = σ n S x = σl = σ x l + τ yx m + τ zx n ⎫
⎪ S y = σm = τ xy l + σ y m + τ zy n⎬ ⎪ S z = σn = τ xz l + τ yzx m + σ z n ⎭
S y dF − σ y mdF − τ xy ldF − τ zy ndF = 0
写成矩阵形式：
z C σ τx
y x
dF N σ Sz S Sy Sx O τz
y z
斜面上全应力为： 斜面上切应力为：
S = Sx + S y + Sz
2 2 2
2
σ
y z
τx τy
x z
σ = S xl + S y m + S z n
F0
P
N θ
σ0
σθ C F1 C1 Q Q
P P ⎧ C ⎪ Sθ = F = F cos θ = σ 0 cos θ 1 0 ⎪ ⎪ 2 ⎨σ θ = Sθ cos θ = σ 0 cos θ ⎪ 1 ⎪τ θ = Sθ sin θ = σ 0 cos θ sin θ = σ 0 sin 2θ 2 ⎪ ⎩
SN = σ N +τ N
2 2
2
3.2 点应力状态
点应力状态：点的应力状态，是指物体内任意一点附近不同方位上所承 受的应力情况，必须了解物体内任意一点的应力状态，才可推断整个变 形物体的应力状态。 1、一点应力状态的两种描述方法 第一种方法：应力状态图 在变形区内某点附近取一无限小的单元六面体，在其每个界面上都 作用着一个全应力，设单元体很小，可视为一点，故对称面上的应力是 相等的，只需在三个可见的面上画出全应力：
第三章 屈服准则
• 下一章来解决材料屈服后的应力应变的本构关系.
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
1. 屈服
物体受到荷载作用后，
随着荷载增大，由弹性状
态到塑性状态的这种过渡，
叫做屈服。
加载路径
2. 屈服条件
屈服点
物体内某一点开始产 生塑性应变时，应力或应 变所必需满足的条件，叫 做屈服条件。
only twist
Twist and extension
著名的Taylor和Quinney铜管拉扭 屈服试验(1931)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
3. 屈服函数
一般情况下，屈服条件 与应力、应变、时间、温度 等有关，而且是它们的函数， 这个函数F称为屈服函数。
在不考虑时间效应(如应 变率)和温度的条件下：
在不考虑应力主轴旋转 情况下，可以用三个主应力 分量或应力不变量表示：
F( ij ,ij ,t,T ) 0
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
第三章 屈服准则
(yield criteria)
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
塑性模型三要素
屈服条件 流动法则
硬化规律
判断何时 达到屈服
屈服后塑性应变 增量的方向，也 即各分量的比值
决定给定的应力 增量引起的塑性 应变增量大小
弹塑性计算分 析的首要条件
弹塑性力学基础－－－主讲：韩志仁
这条曲线如图所示的红色曲线. 如果一个应力状态在这条曲线
连续介质力学第三章(分析“应力”文档)共110张PPT
x xy xz
ij
y
yz
=
(对称)
z
x
1 2
xy
y
(对称 )
u
x
1 2
u y
v x
1 2
u z
w x
=
v y
1 2
v z
w y
(对称)
w
z
1
2 1
2
xz yz
z
◆ 几何方程：
x
u x
；
y
v y
性体变，从而出现奇异屈服面。
⑩.平衡（或运动）微分方程
◆ 平衡微分方程：
x
x
yx
y
zx
z
F
x 0
2u t2
xy
x
y
y
zy
z
F
y
0
2v t2
xz
x
yz
y
z
z
F
z 0
2w t2
ij'j Fi 0
◆ 一个客观的弹性力学问题，在物体体内任意一点的 应力分量和体力分量必定满足这组方程。
xxyssii n n xyycco o s sq q00sci on s xy
(xyq0)ctg (xyq0) tg
yxtan
左边界：据圣文南原理和平衡的原理得：
Fx 0 , Fy 0 , M0 0 ,
h
hxdy 0
h
hxydy P0
h
h x ydy M 0
h xdy 0
理论上可证明：当一点的应力状态确定时，经推导 必可求出三个实根，即为主应力，且主应力彼此正交。
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件-第二部分
1 2 ′ J2 = σ S = C 在单向拉伸时， 在单向拉伸时， 3
2 在纯剪切时， 在纯剪切时， J2 =τ S = C ′
比较这二者可知，采用 比较这二者可知，采用Mises条件就意味着 条件就意味着
σs = 3τ s
屈服条件
π平面上 平面上Mises圆同 圆同Tresca六边形的几何关系 平面上 圆同 六边形的几何关系
两点假设
1、材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的，即屈服条件与坐标的取向无关。 材料是初始各向同性的 可表示为三个主应力的函数： 可表示为三个主应力的函数： 或应力不变量来表示： 或应力不变量来表示： 2、静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质。 静水应力不影响材料的塑性性质 这时，屈服条件只与应力偏量有关： 这时，屈服条件只与应力偏量有关： f (s1, s2 , s3 ) = 0,
F(J1, J2 , J3 ) = 0
′ ′ 也可由应力偏张量的不变量表示： 也可由应力偏张量的不变量表示： f (J2 , J3 ) = 0
屈服条件
二、屈服曲线
主应力空间中任一点P代表一个应力状态， 主应力空间中任一点 代表一个应力状态， 代表一个应力状态 直线和π平面分解 平面分解： 向量 OP可参照L直线和 平面分解：
工程塑性力学
第一章:金属材料的塑性性质○1 弹性与塑性的本质区别不在于应力—应变关系是否线性，而在于卸载后变形是否可恢复1、简单○2 低碳钢屈服阶段很长，铝、铜、某些高强度合金钢没有明显的屈服阶段（此时取0.2%塑性应变对应的应力为条件屈服应力）；0.2一、金属材拉伸试验○3 塑性变形量p / E (E 弹性模量；Et 切线模量)○4 简单拉伸件塑性时d E d(拉伸d 0); d Ed(压缩d 0)t料的○5 塑性变形后反向加载（单晶体：反向也对称强化；多晶体：反向弱化—包辛格效应）塑性○6 高温蠕变：应力不变时应变仍随时间增长的现象性质塑性变形不引起体积变化2 静水压○1 静水压力与材料体积改变之间近似服从线弹性规律金属材料发生大塑性变形时可忽略弹性力试验体积变化○2 材料的塑性变形与静水压力无关1、滑移面：晶体各层原子间发生的相对滑移总是平行于这种原子密排的平面，这种大密度平面称为滑移面。
二、塑2、滑移方向：滑移面内，原子排列最密的方向是最容易发生滑移的，称为滑移方向；性变3、滑移系：每个滑移面和滑移方向构成一滑移系。
（体心立方—12；面心立方—48；密排六方—3）形的物理1、为使晶体发生塑性变形，外加应力至少在一个滑移方向上的剪应力分量达到剪切屈服应力；Y基础位错刃形位错：位错运动方向与F 平行；位错在晶体内的运动是塑性变形的根源；塑性变形时位错型聚集、杂质原则阻碍滑移造成强化。
螺形位错：位错运动方向与F 垂直。
三、轴向拉伸时的塑性失稳采用应变的对数定义的优点：=F / A 1、可以对应变使用加法：名义应力：应力真应力： =F / A2、体积不可压缩条件： 1 2 3 0工程应变： =（l-l ）/l应变拉伸失稳条件：0 0=ln(1+ )=ln(l /l )自然应变/对数应变：d / d (此时d / d 0)1、材料塑1、材料的塑性行为与时间、温度无关——研究常温静载下的材料；2、材料具有无限的韧性；3、变形前材料是初始各向同性的，且拉伸、压缩的真应力—自然应变曲线一致性行为基本假设4、重新加载后的屈服应力（后继屈服应力）=卸载前的应力5、应变可分解为弹性和塑性两部分： =e p6、塑性变形是在体积不变的情况下产生的，静水压力不产生塑性变形；7、应力单调变化时有：E(弹性模量) E（s 割线模量）E（t 切线模量） 0简化模型○1 理想弹性○2 理想刚塑性○3 刚线性强化○4 理想弹塑性○5 弹—线性强化四、材料塑性行为的理想化2、应力、应变曲线的理想化模型经验公式鲁得维克表达式：n=+H (0 n 1)Y修正的鲁得维克式：E (当/ E )Y当(E / )n ( /E )Y Y YY Y Y1）n=0：刚塑性材料；2）0<n≤1：刚线性强化材料1）弹性范围内用Hooke 定律表达；2）塑性范围内用幂函数表达。
弹性力学教学大纲
弹性力学教学大纲一、课程简介弹性力学是物理学、工程学和材料科学等领域的重要基础课程，主要研究物体在受到外部力作用时，其内部应力和变形的规律。
本课程旨在帮助学生掌握弹性力学的基本理论、方法和应用，为后续的学习和实践打下坚实的基础。
二、课程目标1、理解弹性力学的基本概念、理论和研究方法，掌握弹性力学的基本方程和定理。
2、掌握弹性力学中的边界条件、应力集中、屈服条件、塑性变形等重要概念及其应用。
3、能够运用弹性力学的原理和方法，分析和解决实际工程中的问题，如结构分析、材料设计等。
4、培养学生的科学素养和解决问题的能力，提高其独立思考和创新能力。
三、课程内容1、绪论：介绍弹性力学的定义、发展历程和研究对象。
2、弹性力学的基本理论和研究方法：讲解弹性力学的基本概念、基本理论和研究方法，包括应力、应变、弹性模量、泊松比等。
3、弹性力学的基本方程和定理：介绍弹性力学的基本方程和定理，包括平衡方程、几何方程、物理方程等，并讲解如何求解这些方程。
4、弹性力学的边界条件和应力集中：讲解弹性力学中的边界条件、应力集中、屈服条件等重要概念及其应用。
5、塑性变形和断裂：介绍塑性变形和断裂的基本概念和理论，包括塑性变形的定义、屈服条件、流动法则等。
6、弹性力学的应用：介绍弹性力学在工程实践中的应用，如结构分析、材料设计等。
四、课程安排本课程总计36学时，分为18次授课，每周2次，每次2学时。
具体安排如下：1、绪论（2学时）2、弹性力学的基本理论和研究方法（4学时）3、弹性力学的基本方程和定理（4学时）4、弹性力学的边界条件和应力集中（4学时）5、塑性变形和断裂（4学时）6、弹性力学的应用（4学时）7、总复习及考试（4学时）五、教学方法本课程采用多媒体教学和板书相结合的方式进行授课，同时辅以课堂讨论和案例分析等教学方法，帮助学生更好地理解和掌握课程内容。
课后还会安排相应的作业和练习题，以加强学生对知识点的理解和应用能力。
土力学教学大纲一、课程概述土力学是一门研究土的物理、力学性质及工程应用的学科。
应力和应变和屈服条件
第三章 应力和应变
§3.1 应力分析 §3.2 应变分析
九、张量概念及其基本运算
ai b jk cijk
◆ 张量乘法不服从交换律，但张量乘法服从分配
律和结合律。例如：
(aij bij )ck aij ck bij ck ； 或 (aij bk )cm aij (bk cm )
C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
N
O
SN
采用张量下标记号，可简写成
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于
j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 = 22 = 33 = 1.静水“压力”：
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3.应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
yx
zx
zy
yz
(2) 应力张量
定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。
第3[1].4章+屈服准则(1)
![第3[1].4章+屈服准则(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/34daf4c958f5f61fb736663b.png)
或
[( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 ) 2 6 K 2
由此得出σs与K的关系
1 K s 3
华侨大学模具技术研究中心
三、米塞斯屈服准则
常数C根据单向拉伸实验确定为σs ，于是Mises屈服准则可写成
1 2 2 3 3 1 2 s2
华侨大学模具技术研究中心
四、屈服准则的几何描述
由图可知，屈服表面的几何 意义是： 若主应力空间中一点的应 力状态矢量的端点P位于屈 服表面，则该端点处于塑 性状态； 若P点在屈服表面内部，则 P点处于弹性状态。对于理 想塑性材料，P点不能在屈 服表面之外。
华侨大学模具技术研究中心
主应力空间中的屈服表面
华侨大学模具技术研究中心
二、屈雷斯加屈服准则
Tresca屈服准则
1864年，法国工程师H.Tresca根据库仑（C.A. Coulomb）在土力 学中的研究结果，并从自己所做的金属挤压实验所观察到的滑移 痕迹出发，提出材料的屈服与最大剪应力有关，即当材料质点中 最大剪应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。或者说，质点 处于塑性状态时，其最大剪应力是不变的定值，该定值取决于材 料的性质，而与应力状态无关。所以Tresca屈服准则又称为最大 剪应力不变条件。
2 2
2
C
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三、米塞斯屈服准则
在纯切应力状态
xy 1 3 K
C K2
Mises准则可写成
2 2 2 [( x y )2 ( y z )2 ( z x )2 6( xy yz zx )] 6 K 2
式中，E为弹性模量，ν为泊松比。 上式左端表示变形体在三向应力作用下单位体积的弹性形变能。 H.Henkey于1924年指出Mises屈服准则的物理意义是：当单位体积的弹 性形变能达到某一常数时，质点就发生屈服。故Mises屈服准则又称 为能量准则。
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(3 - 3)
( 3 - 7)
2 2 l12 + l 2 + l 3 = 1,即l i l i = 1.
应有
ij ij 0,
11 12 13 21 22 23 0 31 32 33
(3 8)
或即
(3 8)
将这个行列式展开得到
；
（2）应力主向
所在的平面 —— 称为主平面； 主应力 所在平面的法线方向 —— 称为应力主向；
主应力
根据主平面的定义，SN与N重合。若SN的大小为 ，则它在各 坐标轴上的投影为 S Ni = li 代入（3-3）式
S Ni = ij l j
( ij - ij )l j = 0.
(3 10) (3 11) (3 12)
3.3 偏应力应变张量及其不变量
应力偏张量Sij显然也是一种应力状态即J1=0的应力状态。 不难证明，它的主轴方向与应力主轴方向一致，而主值 （称为主偏应力）为：
s j j m , ( j 1,2,3)
一、 应力偏张量不变量：
而没有剪应力的状态。
应力偏张量
m m ij 0 0
0
m
0
0 0 m
S ij ——应力偏张量 12 13 11 m S ij 21 22 m 23 31 32 33 m
第三章 应力分析、应变分析和屈服条件
§3.1 应变张量和应力张量 §3.2 应变张量和应力张量的不变量 §3.3 偏应变张量和偏应力张量 §3.4 屈服条件
§3.5 几个常用的屈服条件
§3.6 屈服条件的试验验证
§3.1 应变张量和应力张量
一、应力张量及其分解
(1) 一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： x , xy , xz y面的应力： z面的应力：
8
(3 26)
说明：
这些量的引入，使我们有可能把复杂应力状态化作“等效”（ 在
J
' 意义下等效）的单向应力状态，从而有可能对不同应力 2
状态的“强度”作出定量的描述和比较。
四、三向Mohr圆和Lode应力参数 1.三向Mohr圆
在 平面上 P (1,0), P2 ( 2 ,0), P3 ( 3 ,0) 1
(3 13)
J1 s1 s2 s3 1 2 3 3 M 0 1 2 2 2 ( s1s2 s2 s3 s3 s1 ) ( s1 s2 s3 ) J2 2 J 3 s1s2 s3
(3 14) (3 15) (3 16)
三点中的任意两点为直径端点， 可作出三个Mohr圆，如图3-3. 其半径为：
P P2 1 2 1 3, 2 2 P2 P3 2 3 1, 2 2 P3 P 1 3 1 2. 2 2
O P3
M P2
P 1
3
2
1
图 3-3
1、 2、 3 ——称为主剪应力 max ——最大剪应力
用张量符号表示： 其中：
ij m ij sij ,
(3 5)
1 0 0 ij 0 1 0 0 0 1
1,当i j, ij 0,当i j,
(3 6)
或
应力球张量
——与单元体的体积变形有关
ij ——单位球张量 m ij ——应力球张量，它表示各方向承受相同拉（压）应力
标志着所考察的偏应力状态与材料未受力（或只受静水应 力）状态的距离或差别的大小。
联系到（3-17）式， J 2
1 sij sij 2
不难看出 代表 S ij 空间的中的广义距离
4. 等效剪应力
1 0, 2 0, 3 0,
J2
J2 2 或 联系到（3-19）式，可知
3 J12 J 2 J 3 0,
其中 J , 1 kk
(3 9)
(3 10) (3 11) (3 12)
1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
2. 应力张量的不变量
当坐标轴方向改变时,应力张量的分量 ij均将改变,但主应力的 大小不应随坐标轴的选取而改变.因此,方程(3-9)的系数 J 1、J 2、J 3 的值与坐标轴的取向无关，称为应力张量的三个不变量。
J1 kk , 1 J 2 ii kk ik ki , 2 J 3 ij .
当用主应力来表示不变量时
(3 10) (3 11) (3 12)
可以证明方程（3-9）有三个实根，即三个主应力 1、 2、 3
J1 1 2 3 , J 2 ( 1 2 2 3 3 1 ), J 3 1 2 3
说明： 在第四章中将看到， 2 在屈服条件中起重要作用。至于 J 3 可以注 J 意它有这样的特点：不管 sij 的分量多么大，只要有一个主偏应力 为零，就有 J 3 0 。这暗示 J 3 在屈服条件中不可能起决定作用。
二、
等斜面上的应力
等斜面：通过某点做平面 ，该平面的法线与三个应力主轴
13 11 12 13 m 0 0 11 m 12 0 0 21 22 m 23 m 21 22 23 31 32 33 0 0 m 31 32 33 m
其中应力偏张量的第二不变量 J 2 今后用得最多。 再介绍它的其他几个表达式：
2 2 2 2 2 2 2 J 2 1 ( s11 s22 s33 2s12 2s23 2s31)
1 sij sij , 2
(3 17)
1 J 2 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ], (3 18) 6 1 2 2 J 2 [ 12 2 3 1 2 2 3 3 1 ] (3 19) 3
写法： 采用张量下标记号的应力写法 把坐标轴x、y、z分别 用x1、x2、x3表示， 或简记为xj (j=1,2,3),
(3 1)
上式中左边是工程力学的习惯写法，右边是弹性力学的习惯写法
11 12 13 22 23 ij ji , 21 31 32 33
N
O
SN
采用张量下标记号，可简写成
S Ni = ij l j
说明：
(3 - 3)
x1 i）重复出现的下标叫做求和下标，相当于
j 1
3
,这称为求和约定；
x2
ii）不重复出现的下标i叫做自由下标，可取i=1,2,3；
(4) 应力张量的分解
11 1.静水“压力”： = 22 = 33 =
夹角相等 设在这一点取 x1 , x2 , x3 坐标轴与三个应力主轴一致， 3 则等斜面法线的三个方向余弦为
l1 l2 l3 1 / 3
八面体面：
(3 20)
2
1
满足（3-20）式的面共有八个，构成 一个八面体，如图所示。 等斜面常也被叫做八面体面。
若八面体面上的应力向量用F8表示，则按（3-3）式有 1 2 2 2 2 2 2 2 F8 ( 1l1 ) ( 2l2 ) ( 3l3 ) ( 1 2 3 ) (3 21) 3
z
y , yx , yz
z , zx , zy
xz xy y yx y yz x zx zy z
yx
zx
zy
yz
(2) 应力张量
定义：一点 的应力状态可由九个应力分量来描述，这些分量构成 一个二阶对称张量，称为应力张量。
x xy xz xx xy xz xy y yz 或 xy yy yz z yz z xz yz zz
在静水压力作用下，应力—应变间服从弹性规律，且不会屈 服、不会产生塑性变形。
不产生塑性变形的部分 应力 产生塑性变形的部分
反映静水“压力”：
2.平均正应力：
1 1 m = ( 11 + 22 + 33 ) = kk 3 3 (3 - 4)
3. 应力张量的分解：
应力张量可作如下分解：
2
8
说明：
2 3
J2 .
(3 23)
八面体面上的应力向量可分解为两个分量：
i)垂直于八面体面的分量，即正应力 8 m ，它与应力球张 量有关，或者说与 J1 有关； ii)沿八面体面某一切向的分量，即剪应力 8 2 J 2 ，与应力 偏张量的第二不变量 J 2 有关。
八面体面素上的正应力为
2 2 2 8 1l12 2l2 3 l3 1 ( 1 2 3 ) m (3 22) 3
八面体面素上的剪应力为
8 F8 82 1 ( 1 2 )2 ( 2 3 )2 ( 3 1 )2 . 3
也可以定义 ,剪应力强度或等效剪应力:
J2
1 6
1 2 2 2 3 2 3 1 2
5. 八面体剪应力、等效应力 和等效剪应力之间的换算 关系为：
2 2 2 J 2 , 3 3 3 3 8 3 3J 2 , 2 1 3 8 J2 2 3