第四篇三角函数第1节

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借助单位圆中的三角函数线，不但可以准确的画出三角函数图象，还可以 讨论三角函数性质，三角函数线是有向线段，字母顺序不能随意调换．当角 α 的终边与 x 轴 重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，角 α 的正弦值和正切值都为 0；当角 α 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，余弦值为 0，正切线不存在．
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考点演练Байду номын сангаас热点预测题
当 k 为偶数，即 k＝2n，n∈Z 时， α π 2nπ< <2nπ＋ (n∈Z)， 2 4 α 是第一象限角； 2 当 k 为奇数，即 k＝2n＋1，n∈Z 时， 5π α 2nπ＋π< <2nπ＋ (n∈Z)， 4 2 α 是第三象限角． 2 α 综上所述， 是第一象限角或第三象限角． 2
弧长公式与扇形面积公式的应用
【例 2】 已知扇形的圆心角为 α，所在圆的半径为 R. (1)若 α＝60°，R＝20 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积； (2)若扇形的周长为定值 c(c>0)，当 α 为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 思路点拨：第一问求弧长时，先将涉及的角度换算为弧度，再套用弧长公式计算．求弓 形面积时，用扇形面积减去三角形面积即可；第二问先建立函数关系，再根据函数式的特点 求其最大值．
质疑探究 1：如何用集合表示各象限的角？ 提示：第一象限角的集合 M＝{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}． 第二象限角的集合 P＝{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}． 第三象限角的集合 R＝{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}． 第四象限角的集合 Q＝{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}．
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3．弧长为 3π，圆心角为 135°的扇形半径为________，面积为________．
3π l 3π ，∴由 l＝|α|·r⇒r＝ ＝ ＝4， 4 |α| 3π 4
解析：∵135°＝
1 1 S＝ l·r＝ ×3π×4＝6π. 2 2 答案：4 6π
解：r2＝x2＋y2＝y2＋3. y y 2 ∵sin α＝ ＝ 2 ＝ y， r y ＋3 4 ∴y＝± 5， x 6 y 15 ∴当 y＝ 5时，cos α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝－ ； r 4 x 3 6 y 15 当 y＝－ 5时，cos α＝－ ，tan α＝ ＝ . 4 x 3
2 y.求 cos α， 4
质疑探究 2：如何用集合表示终边在 x 轴非负半轴、x 轴非正半轴、x 轴、y 轴非负半轴、 y 轴非正半轴、y 轴以及坐标轴上的角？ 提示：x 轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝2kπ，k∈Z}； x 轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝π＋2kπ，k∈Z}； x 轴上的角的集合：{α|α＝kπ，k∈Z}； π y 轴非负半轴上的角的集合：{α|α＝ ＋2kπ，k∈Z}； 2
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(3)终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z} 或 S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}，即：任何一个与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数 个周角的和，前者 α 用角度制表示，后者 α 用弧度制表示．
象限符号函数 sin α，csc α cos α，sec α tan α，cot α Ⅰ __＋ __ __＋ __ __＋ __ Ⅱ __＋ __ __－ __ Ⅲ __－ __ __－ __ Ⅳ __－ __ __＋ __
__－ __＋ __－ __ __ __ y sin α 不是 sin 与 α 的乘积，它是一个比值 ，是三角函数记号，是一个整体，实 r
C )
x 5 解析：因为角 α 的终边过点(－1,2)，所以 x＝－1，y＝2，r＝ 5，cos α＝ ＝－ . r 5
2．(教材改编题)若 cos θ>0 且 sin θ·cos θ<0，则角 θ 的终边所在象限是( (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 D )
解析：依题意，cos θ>0 且 sin θ<0，由 cos θ>0 知，角 θ 的终边在第四象限或 x 轴正半轴 或第一象限，由 sin θ<0 知，角 θ 的终边在第三象限或 y 轴负半轴或第四象限，所以角 θ 的终 边在第四象限，故选 D.
1.能够利用终边相同角的表示方法判断 角所在象限，会判断半角或倍角所在象 限． 2．能利用三角函数定义求三角函数值， 判断三角函数值的符号． 3．在高考中，本节题目常以选择、填空 题形式出现，难度属于中、低档.
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1．角的概念的推广 (1)角的定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开 始时的射线、终止时的射线分别叫做角的始边、终边，射线的端点 O 叫做角的顶点． 规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负 角．若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角． (2)象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半 轴重合．那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边 落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
解：(1)设弧长为 l，弓形面积为 S 弓． π 20π 由已知 α＝ ，R＝20，l＝ (cm)． 3 3 1 20π 1 π ∴S 弓＝S 扇－S△＝ × ×20－ ×202×sin 2 3 2 3 π 3 ＝200( － )(cm2)． 3 2
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α 已知角 α 的终边位置，确定 nα， (n∈N *)的终边的方法：先用终边相同角的形 n α 式表示出角 α 所在象限，再写出 nα 或 的范围，然后就范围中的 k 的可能取值讨论，从而确 n α 定 nα 或 的终边所在位置 n
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解：(1)据题意，有 x＝4t，y＝－3t， 所以 r＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|. 3 4 ①当 t>0 时，r＝5t，sin α＝－ ，cos α＝ ， 5 5 6 4 2 ∴2sin α＋cos α＝－ ＋ ＝－ . 5 5 5 －3t 3 ＝ ， ②当 t<0 时，r＝－5t，sin α＝ －5t 5 4t 4 6 4 2 cos α＝ ＝－ ，∴2sin α＋cos α＝ － ＝ . 5 5 5 5 －5t
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3 y 轴非正半轴上的角的集合：{α|α＝ π＋2kπ，k∈Z}； 2 π y 轴上的角的集合：{α|α＝ ＋kπ，k∈Z}； 2 kπ 坐标轴上的角的集合：{α|α＝ ，k∈Z}． 2
2．弧度制 (1)1 弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． l (2)弧度数：任一已知角 α 的弧度数的绝对值|α|＝ ，其中 l 为以角 α 作为圆心角时所对弧 r 的长，r 为圆的半径． (3)角度制与弧度制的换算关系：360°＝2π rad；1 rad≈57.30°＝57°18′. (4)弧长公式与扇形面积公式： 设扇形的弧长为 l， 圆心角为 α(弧度)， 半径为 r， l＝|α|r； 则 1 1 S 扇＝ lr＝ |α|r2. 2 2 质疑探究 3：与 30°角终边相同的角的集合用{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}表示正确吗？ 提示：不正确，在表示角的同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用．
2 y.求出 y 值，进而求出 cos α，tan α. 4
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三角函数定义的实质是利用角的终边上一点的坐标表示各个三角函数值， 因此其坐标的比值与三角函数值有密切关系．
变式探究 31：(1)已知角 α 的终边上一点 P(4t，－3t)(t≠0)，求 2sin α＋cos α 的值； (2)已知角 β 的终边在直线 y＝ 3x 上，用三角函数定义求 sin β 和 cos β 的值．
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判断角所在的象限 α 【例 1】 如果 α 是第一象限角，那么－α、 是第几象限角？ 2 α α 思路点拨：解答本题时先把角 α 用不等式表示出来，再表示出－α， 进而确定－α， 所 2 2 在象限． 解：∵α 是第一象限角， π ∴2kπ<α<2kπ＋ (k∈Z)，① 2 π ∴－2kπ－ <－α<－2kπ(k∈Z)， 2 即－α 是第四象限角． α π 由①得 kπ< <kπ＋ (k∈Z)， 4 2
质就是“f(α)” 质疑探究 4：终边相同的角相等吗？它们的三角函数值相等吗？
提示：终边相同的角不一定相等，它们的三角函数值相等．
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1．角 α 的终边过点(－1,2)，则 cos α 等于( 5 5 2 5 2 5 (A) (B) (C)－ (D)－ 5 5 5 5