北京市人大附中2020-2021学年度第一学期12月九年级年级数学练习3 PDF版无答案
北京人大附中2020-2021学年九年级(上)开学数学试卷
2020-2021学年北京人大附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A ．1，1，1B ．2，3，4C ．1，2，3D ．3，4，5 2.下列曲线中，表示y 是x 的函数的是 （ ）A ．B ．C ．D ．3. 用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是（ ）A ．()222x += B ．()222x -= C ．()222x -=- D ．()226x -= 4.一次函数21y x =+的图象不经过 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5.在ABCD ，若2A B ∠=∠，则D ∠的度数是 （ ） A ． 30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．120︒6. 若点()3,A a -，()1,6B 都在直线32y x =-上，则a 与b 的大小关系是（ ） A ．a b ＜ B ．a b = C ．a b ＞ D ．无法确定7. 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是AD,BC 边上的点，AE CF =，45EFB ∠=︒，6AB =，14BC =，则DE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．108.北京市体育中考现场共有三个项目，分为耐力、素质和球类，其中耐力为男子1000米跑，女子800米跑.所有同学都要参加，此外，参加考试的同学需在素质和球类项目中分别选择一项参加考试，选项规则如表1所示：表1：北京市体育中考现场考试选项规则小宇对初三A 班40名同学的体育选项情况进行了统计，并根据其中部分信息绘制了表2 表2：初三4班体育中考选项情况统计表以下有四个推断① 一定有女生选择了实心球② 一定有男生同时选择了引体向上和足球绕杆 ③ 至少有一名女生同时选择仰卧起坐和足球绕杆 ④ 男生中同时选择实心球和篮球绕杆的至多5人 所有合理推断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.已知1x =是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则m n +的值是 ． 10.把直线21y x =-+沿y 轴向上平移2 个单位，所得直线的函数关系式为 ．11.在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，则DE 长 ． 12.如图，直线1:2l y x =与直线2:4l y kx =+交于点P ，则不等式24x kx +＞的解集为 ．13.如图，在平面直角坐标系xoy 中，菱形ABCD 的顶点()0,4A ，()3,0D -，若点C 在x 轴正半轴上，则点B 的坐标为 ．14.小宇参加了社会实践调查，他发现，某品牌的空气净化器今年三月份的销售量为8万台，五月份为9.68万台，设销售量的月平均增长率为x ，则可列方程为 ．15.小宇在纸上写了六个两两不等的数1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，并记录下这组数的中位数1m 和方差21S ，然后他将这六个数中大于1m 的三位数分别加1，小于1m 的三个数分别减1，得到了新的一组数，再次记录下新的这组数的中位数2m 和方差22S ，则1m 2m ，21S 22S ．（两空均填“＞”“=”或“＜”）16.在平面直角坐标系xoy 中，直线6y kx =-与x 轴，y 轴分别交于A,B ，直线2y kx k =+与x 轴，y 轴分别交于C,D 其中0k ＞，M,N 均为线段AB 上任意两点，P,Q 为线段CD 上任意两点，记点M,N ，P,Q 组成的四边形为图形G. 下列四个结论中，① 对于任意的k ，都存在无数个图形G 是平行四边形； ② 对于任意的k ，都存在无数个图形G 是矩形； ③ 存在唯一的k ，使得此时有一个图形G 是菱形； ④ 至少存在一个k ，使得此时有一个图形G 是正方形 所有正确结论的序号是 ． 三、解答题17. 1--18. 解方程：234x x +=19. 已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -++=有两个相等的实数根，求代数()()()2122m m m -++-的值20. 在平面直角坐标系xoy 中，已知函数1y x b =-+的图象与x 轴交于()3,0A ，与函数2y kx =的图象交于点B 的纵坐标为2. （1）求b 和k 的值；（2）在坐标系中画出这两个函数的图象，并直接写出AOB 的面积. 21. 小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，90MON ∠=︒，点A ，B 分别在射线OM,ON 上，且满足2OB OA ＞. 求作：线段OB 上的一点C ，使AOC 的周长等于线段OB 的长.以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C 已经找到，即AOC 得周长等于OB 的长，那么由OA OC AC OB OC BC ++==+，可以得到OA AC += . 对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC 上取一点D ，使得BD AO =，那么就可以得到CA = . 若连接AD ，由 .（填推理依据）.可知点C 在线段AD 得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了. 请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）.22.如图，在矩形ABCD 得对角线AC ，BD 交于点O ，延长CD 到点E ，使DE CD =，连接AE. （1）求证：四边形ABDE 是平行四边形； （2）连接OE ，若4AD =，2AB =，求OE 的长.23.小宇观看奥运会跳水比赛，对运动会每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a.每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b.每次试跳都有7名裁判进行打分（0-10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c.运动员该次试跳的得分A=难度系数H⨯完成分3p⨯.在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为(1)甲运动员这次试跳的完成分P甲= .得分A甲.（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为'P甲，那么与（1）中所得的P甲比较，'P甲P甲.（填“＞”“=”或“＜”）；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员13.1分，已知乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳的完成分P乙至少要达到分.24.某公司为了计算游客游览，设置了观光接驳车，如图1所示，公园设计的其中一条观光路线上设有A,B,C,D 四个站点，相邻两个站点的距离是相同的，游客只能在站点上下车，一两接驳车在A,D之间匀速往返行驶，某时刻这辆接驳车从点A站出发，当运行时间为t分钟时（游客上下车的时间忽略不计），这辆接驳车与A 站的距离为y千米，y与t的函数图象如图2所示.综合上面信息，回答问题;(1)这辆接驳车的运行速度为千米/分钟，站点A,B之间的距离为千米；（2）当这辆接驳车运行到B站时，其对应的运行时间t为分钟；（3）小宇沿观光路线徒步游览，当他到达站点B,D之间的M处时，正好遇到开往D站的接驳车，此时他临时有事要赶回A站，于是他决定先返回走到B站，等待刚才那辆接驳车从D站开回，已知小宇步行的平均速度为0.1千米/分钟，若他能够不晚于这辆接驳车到达B 站，则M 处离A 站的最远距离为 千米.25.在平面直角坐标系xoy ，直线11:l y kx b =+与直线y x =平行，且经过点()2,1. （1）求直线1l 的解析式；（2）已知直线22:2l y mx =+，过点(),0p n 作x 轴的垂线，与直线1l 交与点M ，与直线2l 交与点N ， 结合图象回答：① 若2m =-，当点M 在点N 的下方时，直接写出N 的取值范围； ② 若对任意的2n ＜，都有点M 在点N 的下方，直接写出m 的取值范围.26.如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，D 为BC 边上一点（不与B,C 重合），连接AD ，过点C 作CE AD ⊥于E ，过点B 作CE 的垂线，垂足为F. （1）依题意补全图形； （2）求证：CE BF =（3）作CM AB ⊥于点M ，连接FM ，用等式表示线段AE ，BF 与FM 之间的数量关系，并证明.27.在平面直角坐标系xoy 中，对于线段AB 和点C ，若ABC 是以AB 为一条直角边，且满足AC AB ＞的直角三角形，则称点C 为线段AB 的：“从属点”. 已知点A 的坐标为()0,1.（1） 如图1，若点B 为()2,1，在点()10,2C -，()22,2C ，()31,0C 中，线段AB 的“从属点”是 （2） 如图2，若点B 为()1,0，点P 在直线23y x =--上，且点P 为线段AB 的“从属点”，求点P 的坐标；点B 为x 轴上的动点，直线()20y x b b =+≠与x 轴，y 轴分别交于M,N 两点，若存在某个点B ，使得线段MN 上恰有2个线段AB 的“从属点”，直接写出b 的取值范围.。
人大附中2020-2021学年度12月考数学答案
人大附中2020-2021学年度高三12月统一练习数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）B （3）C （4）B（5） D （6）C（7）A（8）D（9）D（10）C二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11）240（12）(,[22,)-∞-+∞ （13）11112()(,)(,)22222-- （1432（15）①②③注：第14题第一空3分，第二空2分；第15题不全对得3分，选④得0分． 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以BC AD ∥．…………… 1分 又因为AD PBC ⊄平面，BC PBC ⊂平面， 所以AD PBC ∥平面．…………… 2分 又因为AD ADE ⊂平面，ADE PBC l =平面平面，所以AD l ∥．…………… 3分 又因为AD ABCD ⊂平面，l ABCD ⊄平面， 所以l ABCD ∥平面．…………… 4分（Ⅱ）因为四边形ABCD 是正方形，P A ⏊平面ABCD ，AB AD ABCD ⊂，平面，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． …………… 5分 建立空间直角坐标系A xyz -，如图．不妨设正方形ABCD 的边长为1，设0AP a =>，则(0 0 0)A ，，，(1 1 0)C ，，，(0 1 0)D ，，，(0 0 )P a ，，，因为点E 是线段PC 的中点，所以11( )222E a，，． 所以(1 )1PC a =-，，，(0 1 0)AD =，，，11( )222a AE =，，． …………… 7分 因为1AE BC ==1，所以a =，所以(11 PC =，11( 22AE =，．…………… 8分设平面ADE 的法向量为()x y z =，，n ，则00AD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n即011022y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩．， 令1z =，则x =．于是( 1)=n ．……………10分所以2cos PC PC PC⋅-〈〉===，n n n ……………12分 所以直线PC 与平面ADE……………13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）设0CD a =>．因为224BC AB AD CD ===， 所以422BC a AB a AD a ===，，． 所以3AC AD DC a =+=．…………… 2分在ABC △中，222222249161cos 2412AB AC BC a a a A AB AC a +-+-===-⋅．…………… 5分 （Ⅱ）所以A ∠为钝角，sinA…………… 7分 又因为ABC △的面积为1sin 2AB AC A ⋅⋅=，所以23a =所以2a =或2-（舍）．……………10分所以BD =……………13分（18）（共14分）解：法一 选择条件①．…………… 1分（Ⅰ）因为123n n a a +=+，*n ∈N ，所以132(3)n n a a ++=+．…………… 3分又因为11a =，所以{3}n a +是首项为134a +=，公比为2的等比数列． 所以1134(2)2n n n a -++=⋅=，123n n a +=-，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即11123232(23)i k j +++-+-=⋅-，1222i k j ++=．……………10分因为21112220n n n n n a a ++++-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分法二 选择条件③．…………… 1分（Ⅰ）因为11n n a S +=+，211n n a S ++=+，*n ∈N ，所以2111n n n n n a a S S a ++++-=-=． …………… 3分 所以212n n a a ++=，*n ∈N ．又因为11a =，21111122a S a a =+=+==， 所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列． 所以12n n a -=，*n ∈N ．…………… 7分（Ⅱ）假设数列{}n a 中存在三项i j k a a a ，，成等差数列，不妨设i j k a a a ≤≤．所以2i k j a a a +=，即111222(2)i k j ---+=⋅，1222i k j ++=．……………10分因为1112220n n n n n a a --+-=-=>， 所以{}n a 为递增数列，i j k <<．所以1122k i j i --++=，与12 2k i j i --+，均为偶数矛盾． 所以假设不成立，结论得证．……………14分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为21()(1)ln 2f x x a x a x =-++，0x >． 所以(1)()()1a x x a f x x a x x--'=--+=．因为()f x 在区间(1)+∞，上单调递增， 所以对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=≥，即0x a ->． 所以1a ≤．当1a ≤时，对1x ∀>，(1)()()0x x a f x x--'=>， 所以()f x 在区间(1)+∞，上单调递增． 所以a 的取值范围是( 1]-∞，．…………… 4分（Ⅱ）① 当0a ≤时，令()0f x '=，得()1x a =舍或，② 当01a <<时，令()0f x '=，得1x a =或，③ 当1a =时，对0x ∀>，(1)()0x f x x-'=≥（当且仅当1x =时取等号）， 所以()f x 在区间(0)+∞，上单调递增． ④ 当1a >时，令()0f x '=，得1x a =或，当1a =时，1不是极值点； 当1a >或1a <时，1是极值点．……………12分（Ⅲ）存在，满足条件的实数a 的个数为2．……………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）依题意，222224110c a a b a b c a b c ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪>⎩，，，，，解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22182x y +=． …………… 5分（Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，(0)M t ，，0t ≠，则(0)N t -，．因为(2 1)P ，，所以直线PM 方程为12t y x t -=+-． 联立2218212x y t y x t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩-，，得22[(1)2]80x t x t +---=，…………… 7分即222(22)4(1)480t t x t t x t -+--+-=，22(2)[(22)24]0x t t x t --+-+=， 所以2122422t x t t -=-+，221221244222222t t t t y t t t t t ---+-=⋅+=--+-+． 同理2222422t x t t -=++，2224222t t y t t ---=++．……………11分猜想：直线AB 过定点(0)Q u ，，其中u 待定．证明：因为11()QA x y u -，，22()QB x y u -，， 1221222222222222334434 ()()244224422424()22222222222216(2)8(2)448(2)(2)4x y u x y u t t t t t t t t u t t t t t t t t t t t t t t u t t t t u t t t ---------+---=⋅-⋅---+++++-+-+++---=-++-+-=+． 所以当2u =-时，QA QB ∥恒成立．所以直线AB 即直线l 过定点(02)Q -，．……………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）① 因为(1)(2)1r r ==，4222n ==， 所以(1)(2)2n r r =<． 所以表①的“尖点”的个数为0．…………… 2分② 因为(1)(2)3r r ==，4222n ==，(1)(4)1c c ==，(2)(3)2c c ==，2122m ==，所以(1)(2)2n r r =≥，(1)(4)2m c c =≤，(2)(3)2m c c =>， 所以表②的“尖点”为(1 1)，，(1 4)，，(2 1)，，(2 4)，共4个．…………… 4分（Ⅱ）由题知，2m =，设21n k =+，*k ∈N ． （1）当(1)(2)2nr r <，时，数表A 的“尖点”的个数为0； （2）当(1)(2)22n n r r ≥<，时，或当(1)(2)22n nr r <≥，时，数表A 的“尖点”的个数小于或等于n ； （3）当(1)(2)2nr r ≥，时，(1)(2)1r r k ≥+，． 所以(1)(2)(21)(1)(2)22c c c k r r k ++⋅⋅⋅++=+≥+． 因此，(1)(2) (21)c c c k ⋅⋅⋅+，，，中，至多有2k 项不超过1． 所以数表A 的“尖点”的个数不超过4k ，即22n -．…………… 9分构造实例如下：令101 2112 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，211 2012 2j j k a j k k k =⎧=⎨=++⎩，，，…，，，，，…，，121n n a a ==，即数表A 为：则(1)(2)12r r k ==+>，(1)(2)(1)12c c c n ==⋅⋅⋅=-==，()22m c n =>．所以此数表的“尖点”的个数为2(1)22n n -=-． ……………10分（Ⅲ）不妨设(1)(2) ()2n r r r u ≤⋅⋅⋅，，，，0(1)(2) ()2nr u r u r m ≤++⋅⋅⋅<，，，， 0(1)(2) ()2m c c c v ≤⋅⋅⋅≤，，，，(1)(2) ()2mc v c v c n m <++⋅⋅⋅≤，，，， u m ≤，v n ≤，u v ∈N ，，m n ，均为偶数．11()()mni j S r i c j ====∈∑∑N ．① 依题意2mnuv =，所以2m u m ≤≤，2n v n ≤≤． 所以1()24mi n mn S r i u ==≥⋅≥∑，13()()224n j m mv mnS c j v m n v mn ==≤⋅+⋅-=-≤∑． 因此，344mn mn S ≤≤，S ∈N ． ……………13分②（1）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =，当1 2 22m mi m =++⋅⋅⋅，，，，1 2 j n =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =， 则2m u =，v n =，2mn uv =．此时，S 可为42mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………14分（2）当1 2 2m i =⋅⋅⋅，，，，1 2 2nj =⋅⋅⋅，，，时，令0ij a =，当12 i m =⋅⋅⋅，，，，1 2 22n nj n =++⋅⋅⋅，，，时，令1ij a =， 则u m =，2n v =，2mn uv =．此时，S 可为324mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N 中任一元．……………15分综上所述，S 的取值范围为344mn mn S S ⎧⎫∈≤≤⎨⎬⎩⎭N ．。
202012人大附中初三数学月考
2020-2021学年度第一学期初三年级数学练习32020.12考生须知1.本试卷共7页,共三道大题,25道小题,满分100分。
考试时间100分钟2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效4.在答题卡上,选择题、作图题用2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答5.考试结束,将答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题(本题共24分，每小题3分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有．．一个1.《北京市生活垃圾管理条例》对生活垃圾分类提出更高要求,于2020年5月1日起施行，施行的目的在于加强生活垃圾管理，改善坡乡环境，保障人体健康.下列垃圾分类标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）可回收垃圾其他垃圾有害垃圾厨余垃圾（A）（B）（C）（D）2.如图，已知D ，E 分别在直线AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若21=AB AD ，则ACAE的值是（）A.21B.31 C.2D.913.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I (单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.则用电阻R 表示电流I 的函数表达式为（）A.RI 3=B.RI 6－= C.RI 3－= D.RI 6=4.一元二次方程x x 22=的根是（）A.=x 2B.=x 0C.=1x 2，=2x 0D.221==x x 5.如图，⊙O 的半径为1，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B.连接OA ，OB ，AB ，PO ，若∠APB=60°，则△PAB 的周长为（）A.36 B.33 C.6D.36.如果A(2，1y )，B(3，2y )两点都在反比例函数xy 1=的图象上,那1y 与2y 的大小关系是（）A.1y ＜2y B.1y ＞2y C.1y =2y D.无法确定7.如图，以点O 为圆心，AB 为直径的半圆经过点C ，若C 为AB 的中点，若AB=4，则图中阴影部分的面积是（）A.ΠB.2+2πC.2πD.2+π8.小宇在利用描点法画二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：x …01234…y…4－13…接着，他在描点时发现，表格中只有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A.34==y x B.3==y x C.12－==y x D.40==y x 二、填空题(本题共24分，每小题3分)9已知34=y x ，则yyx +=.10.如图，点P 在反比例函数xky =（0＜x ）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴点M ，PN ⊥y 轴于点N ，若矩形PMON 的面积为2，则k 的值为.11.如图,在△ABC 中，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则ABNM CMNS S 四边形△=.12.在平面直角坐标系xOy 中，点A(a ，b )(a >0，b >0)在双曲线xk y 1=上.点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线xk y 2=上，则21k k +的值为.13.如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，C 是弧BD 的中点，若∠ODC=50°，则∠BAC 的度数为.14.如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交，对角线AC 于点F ，若AB=4，AD=3，则CF 的长为.15.已知关于x 的二次函数242+=x mx y －与x 轴有公共点，则m 的取值范围是.16.如图，△ABC 是等边三角形，AB=3，点D 在AC 上，AD=2CD ，点E 在BC 的延长线上，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得到线段DF ，连接AF ，若AF ∥BE,，则AF 的长为.三、解答题(本题共52分，第17-20题，每小题5分，第21-23题，每小题6分，第24-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解方程：9242－－x x x =.18.如图，已知AE 平分∠BAC ，ACADAE AB =.(1)求证:∠E=∠C ；(2)若AB=9，AD=5，DC=3，求BE 的长.19.已知二次函数342+=x x y －.(1)直接写出这个函数的顶点坐标；(2)在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象；(3)当0≤x ≤3时，y 的取值范围是.20.已知关于x 的方程()0222=+++m x m x .(1)求证:方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根大于1，求m 的取值范围.21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：3－mx y =过点A(3，0)(1)求直线l 的表达式；(2)直线l 与y 轴交于点B ，点C 是双曲线xny =与直线l 的一个公共点，①若n =4，点C 在第一象限，求ACAB的值；②若1<ACAB<3，结合图象，直接写出n 的取值范围.22.如图，AB 为⊙O 的直径,点C 在OO 上，直线CP 是⊙O 的切线，过点A 作CP 的垂线，垂足为D ，交BC 的延长线于点E.(1)求证：AE=AB ；(2)若AB=10，BC=6，求线段CD 的长.23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线122－－mx mx y 与y 轴的交点为A.(1)求抛物线的对称轴和点A 坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点B(2，0)，记抛物线与直线AB 所围成的封闭区域为图形W(不含边界)①当m =1时，直接写出图形W 内的整点个数；②若图形W 内恰有1个整点，结合函数图象，求m 的取值范围.24.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AD 为BC 边上的高线，E 为AD 上一点,满足DE=DC ，连接BE.（1）求证：BE=AC ；（2）取线段BC 的中点M ，连接并延长ME 到点F ，使得CF=CA ，①依题意补全图形；②证：∠CFE=∠BM ；③连接AF ，若AF ∥BC 成立，直接写出CDBD的值.25.在平面直角坐标系xOy中，对于已知的点P和图形W，若对图形以上任意两点MPM≤3PN成立，则称图形W为点P的“关联图形”.（1）已知点A(0，1)，B(1，0)①如图1，点C的坐标为(-2，0)，则点A到线段BC上的点的最短距离为，线段BC.(填“是”或“不是”)点A的“关联图形”；②点Q为x轴上一个动点，若线段BQ是点A的“关联图形”，求点Q的横坐标x的取值范围；Q（2）⊙T的圆心为(t，0)，半径为2，直线1y 与x轴，y轴分别交于G，H两点，x－若在线段GH上存在点P，使得⊙T是点P的“关联图形”，直接写出t的取值范围.图1图2备用图。
北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷(12月份)
23．
；24．1：1：2；DH=BF+CG；BF=DH+CG；1＜y≤2；25．5；7； ﹣
；﹣ ；
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22．（5 分）如图 1，给定锐角三角形 ABC，小明希望画正方形 DEFG，使 D，E 位 于边 BC 上，F，G 分别位于边 AC，AB 上，他发现直接画图比较困难，于是他 先画了一个正方形 HIJK，使得点 H，I 位于射线 BC 上，K 位于射线 BA 上，而 不需要求 J 必须位于 AC 上．这时他发现可以将正方形 HIJK 通过放大或缩小得 到满足要求的正方形 DEFG．
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特别地，权重为 1、1 的直角距离，又称为等权重距离，则记为 d（M，N），例
如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．
根据以上定义，回答以下问题：
（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=
，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=
．
（2）P 为直线 y=2x+4 上一动点，求 OP 的等权重距离的最小值及此时 P 点的坐
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五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）
23．（7 分）已知关于 x 的二次函数 y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c． （1）求证：方程 x2﹣（m+3）x+m+2=0 必有实根；
（2）若 m 为整数，y1 的图象与 x 轴有一个交点的横坐标 a 满足 5＜a＜7，求 m 的值；
（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于 x 的不等式 y1＜y2，正确 解得该不等式的解集为 3＜x＜4，求 y2 的解析式．
2020-2021北京市人大附中九年级数学上期中模拟试卷(带答案)
2020-2021北京市人大附中九年级数学上期中模拟试卷(带答案)一、选择题1．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．2．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若∠ACD=25°，则∠BOD 的度数为（ ）A ．100°B ．120°C ．130°D ．150°3．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22° 4．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）5．用配方法解方程210x x +-=，配方后所得方程是（ ）A ．213()24x -= B ．213()24x += C ．215()24x += D ．215()24x -= 6．用配方法解一元二次方程x 2﹣6x ﹣10＝0时，下列变形正确的为( )A ．(x+3)2＝1B ．(x ﹣3)2＝1C ．(x+3)2＝19D ．(x ﹣3)2＝197．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣1＝0（a ≠0）有一根为x ＝2019，则一元二次方程a （x ﹣1）2+b （x ﹣1）＝1必有一根为（ ）A ．12019B ．2020C ．2019D ．20188．用1、2、3三个数字组成一个三位数，则组成的数是偶数的概率是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．169．100个大小相同的球，用1至100编号，任意摸出一个球，则摸出的编号是质数的概率是 （ ）A ．120B ．19100C ．14D ．以上都不对10．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④ 11．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( ) A ．()249x +=- B ．()247x +=- C ．()2425x +=D ．()247x += 12．如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，则∠C 的度数是（ ）A ．30ºB ．35ºC ．25ºD ．60º二、填空题13．某市政府为了改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，则这两年平均绿地面积的增长率为______.14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．15．我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积），八百六十四（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12步），问阔及长各几步．”如果设矩形田地的长为x步，那么根据题意列出的方程为_____．16．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y轴的交点坐标为(0,3).此二次函数的解析式可以是______________17．如图，矩形ABCD对角线AC、BD交于点O，边AB=6，AD=8，四边形OCED为菱形，若将菱形OCED绕点O旋转一周，旋转过程中OE与矩形ABCD的边的交点始终为M，则线段ME的长度可取的整数值为___________________．18．关于x的方程ax²-（3a+1）x+2(a+1)=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1-x1x2+x2=1-a，则a=19．小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角尺，他将直尺、光盘和三角尺按图所示方法放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是________cm．20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为_____．三、解答题21．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．22．已知关于x 的方程（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）当p=2时，求该方程的根．23．为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加10%，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人.(1)求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数；(2)列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率.24．如图，在ABC ∆中，67 30AB cm BC cm ABC ==∠=o ，，, 点P 从A 点出发,以1/cm s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2/cm s 的速度向C 点移动．如果P Q ，两点同时出发，经过几秒后PBQ ∆的面积等于24cm ?25．已知，关于x 的一元二次方程2210x x m -+-=有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）如果m 为非负整数，且该方程的根都是整数，求m 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形；B．是轴对称图形，也是中心对称图形；C．是轴对称图形，不是中心对称图形；D．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．2．C解析：C【解析】【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【详解】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，3．D解析：D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．4．D解析：D【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。
2020-2021北京市人大附中九年级数学上期末模拟试卷（带答案）
2020-2021北京市人大附中九年级数学上期末模拟试卷(带答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( )A ．1119802x x B ．1119802x x C ．11980x x D ．11980x x 2．关于x 的方程（m ﹣3）x 2﹣4x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值花围是（）A ．m ≥１B ．m ＞1C ．m ≥１且m≠３D ．m ＞1且m ≠３3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．正三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形4．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，分别以A 、C 为圆心，以2AC 的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（）A ．（24-254）cm2B ．254cm2C ．（24-54）cm2D ．（24-256π）cm 25．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)的图象经过(0，1)，(4，0)，当该二次函数的自变量分别取x 1，x 2(0＜x 1＜x 2＜4)时，对应的函数值是y 1，y 2，且y 1＝y 2，设该函数图象的对称轴是x ＝m ，则m 的取值范围是()A ．0＜m ＜1B ．1＜m ≤2C ．2＜m ＜4D ．0＜m ＜46．若将抛物线y=x 2平移，得到新抛物线2(3)y x ，则下列平移方法中，正确的是（）A ．向左平移3个单位B ．向右平移3个单位C ．向上平移3个单位D ．向下平移3个单位7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（）A ．43B ．63C ．23D ．88．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．459．下列函数中是二次函数的为（）A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x2D ．y ＝x 3＋2x －310．若a 是方程22x x 30的一个解，则26a3a 的值为()A ．3B ．3C ．9D ．911．若关于x 的一元二次方程26230a xx 有实数根，则整数a 的最大值是（）A ．4B ．5C ．6D ．712．正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是（）A ．36°B ．54°C ．72°D ．108°二、填空题13．设二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点为A ，B ，其顶点坐标为C ，则△ABC 的面积为_____．14．若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径为__________cm ．15．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x+10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．16．如图，抛物线2y axbx c 的对称轴为1x ，点P ，点Q 是抛物线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为__________．17．一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是_____cm2．18．一元二次方程22x20的解是______．19．某地区2017年投入教育经费 2 500万元，2019年计划投入教育经费 3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．20．在一空旷场地上设计一落地为矩形ABCD的小屋，AB+BC=10m，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗在不能进入小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为S（m2）.（1）如图1，若BC=4m，则S=_____m2．（2）如图2，现考虑在（1）中矩形ABCD小屋的右侧以CD为边拓展一正△CDE区域，使之变成落地为五边形ABCED的小屋，其他条件不变，则在BC的变化过程中，当S取得最小值时，边BC的长为____m．三、解答题21．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？22．在一个不透明的盒子里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们形状、大小完全相同．小明从盒子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的横坐标x，放回然后再随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点P的纵坐标y．（1）画树状图或列表，写出点P所有可能的坐标；（2）求出点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率．23．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt ABC和Rt BED的边长，已知2AE c，这时我们把关于x的形如220ax cx b二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：(1)写出一个“勾系一元二次方程”；(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”220ax cx b，必有实数根；(3)若x1是“勾系一元二次方程” 220ax cx b的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求ABC的面积．24．2019年第六届世界互联网大会在乌镇召开，小南和小西参加了某分会场的志愿服务工作，本次志愿服务工作一共设置了三个岗位，分别是引导员、联络员和咨询员．请你用画树状图或列表法求出小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率．A B两点．25．已知抛物线2y x bx c经过1,0,3,0（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；S，求点P的坐标．（2）设点P为抛物线上一点，若6PAB【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x 个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x 个人是解决问题的关键．2．D解析：D 【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式列出关于m 的一元一次不等式组，然后方程组即可.【详解】解：∵（m-3）x 2-4x-2=0是关于x 的方程有两个不相等的实数根，∴230(4)4(3)(2)0m m 解得：m>1且m ≠3.故答案为 D.【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，正确运用一元二次方程的定义和根的判别式解题是解答本题的关键.3．D解析：D 【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故答案选： D.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形，轴对称图形.4．A解析：A 【解析】【分析】利用勾股定理得出AC 的长，再利用图中阴影部分的面积=S △ABC -S 扇形面积求出即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=8cm ，BC=6cm ，∴22228610ACABBCcm ，则2AC =5 cm ，∴S 阴影部分=S △ABC -S 扇形面积=2190525862423604（cm 2），故选：A ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，阴影部分的面积可以看作是Rt △ABC 的面积减去两个扇形的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．5．C解析：C 【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得．【详解】解：当a ＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x 0，1），∴x 0＞4，∴对称轴为x=m 中2＜m ＜4，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，画出草图更直观．6．A解析：A 【解析】【分析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），然后利用顶点的平移情况确定抛物线的平移情况．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=（x+3）2的顶点坐标为（-3，0），因为点（0，0）向左平移3个单位长度后得到（-3，0），所以把抛物线y=x2向左平移3个单位得到抛物线y=（x+3）2．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．A解析：A【解析】【分析】【详解】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴CD=32OC=23，∴AC=2CD=43．故选A．【点睛】本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．8．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为3 355故选C9．B解析：B【解析】A. y=3x-1是一次函数，故A错误；B. y=3x2-1是二次函数，故B正确；C. y=(x+1)2-x2不含二次项，故C错误；D. y=x3+2x-3是三次函数，故D错误；故选B.10．C解析：C【解析】由题意得：2a2-a-3=0，所以2a2-a=3，所以6a2-3a=3(2a2-a)=3×3=9，故选C.11．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，再求出两不等式的公共部分得到a≤193且a≠6，然后找出此范围内的最大整数即可．【详解】根据题意得a-6≠0且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，解得a≤193且a≠6，所以整数a的最大值为 5.故选B.【点睛】本题考查一元二次方程的定义和跟的判别式，一元二次方程的二次项系数不能为0；当一元二次方程有实数根时，△≥0.12．C解析：C【解析】正五边形绕着它的中心旋转后与它本身重合，最小的旋转角度数是3605=72度，故选C．二、填空题13．8【解析】【分析】首先求出AB 的坐标然后根据坐标求出ABCD 的长再根据三角形面积公式计算即可【详解】解：∵y ＝x2﹣2x ﹣3设y ＝0∴0＝x2﹣2x ﹣3解得：x1＝3x2＝﹣1即A 点的坐标是（﹣10解析：8【解析】【分析】首先求出A 、B 的坐标，然后根据坐标求出AB 、CD 的长，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，设y ＝0，∴0＝x 2﹣2x ﹣3，解得：x 1＝3，x 2＝﹣1，即A 点的坐标是（﹣1，0），B 点的坐标是（3，0），∵y ＝x 2﹣2x ﹣3，＝（x ﹣1）2﹣4，∴顶点C 的坐标是（1，﹣4），∴△ABC 的面积＝12×4×4＝8，故答案为8．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，难度适中．14．1【解析】【分析】（1）根据求出扇形弧长即圆锥底面周长；（2）根据即求圆锥底面半径【详解】该圆锥的底面半径=故答案为：1【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长解析：1【解析】【分析】（1）根据180n Rl ，求出扇形弧长，即圆锥底面周长；（2）根据2Cr ，即2C r，求圆锥底面半径．【详解】该圆锥的底面半径=1203=11802cm故答案为：1．【点睛】圆锥的侧面展开图是扇形，解题关键是理解扇形弧长就是圆锥底面周长．15．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 16．（0）【解析】∵抛物线的对称轴为点P点Q是抛物线与x轴的两个交点∴点P和点Q关于直线对称又∵点P的坐标为（40）∴点Q的坐标为（-20）故答案为（-20）解析：（2，0）【解析】∵抛物线2y ax bx c的对称轴为1x，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，∴点P和点Q关于直线1x对称，又∵点P的坐标为（4，0），∴点Q的坐标为（-2，0）.故答案为（-2，0）.17．【解析】分析：先求出扇形对应的圆的半径再根据扇形的面积公式求出面积即可详解：设扇形的半径为Rcm∵扇形的圆心角为135°弧长为3πcm∴=3π解得：R=4所以此扇形的面积为=6π（cm2）故答案为6解析：6【解析】分析：先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．详解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，∴135180R=3π，解得：R=4，所以此扇形的面积为21354180=6π（cm2），故答案为6π．点睛：本题考查了扇形的面积计算和弧长的面积计算，能熟记扇形的面积公式和弧长公式是解此题的关键．18．x1＝1x2＝－1【解析】分析：方程整理后利用平方根定义开方即可求出解详解：方程整理得：x2=1开方得：x=±１解得：x1=1x2=﹣1故答案为x1=1x2=﹣1点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接解析：x1＝1，x2＝－1【解析】分析：方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解．详解：方程整理得：x2=1，开方得：x=±1，解得：x1=1，x2=﹣1．故答案为x1=1，x2=﹣1．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握直接开平方法是解答本题的关键．19．10【解析】【分析】设年平均增长率为x则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元建立方程2500(1+x)2=3025求解即可【详解】解：设年平均增长解析：10%【解析】【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键. 20．88π；【解析】【分析】(1)小狗活动的区域面积为以B为圆心10m为半径的圆以C为圆心6m为半径的圆和以A为圆心4为半径的圆的面积和据此列式求解可得；(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心10为半解析：88π；5 2【解析】【分析】(1)小狗活动的区域面积为以B为圆心、10m为半径的34圆，以C为圆心、6m为半径的14圆和以A为圆心、4为半径的14圆的面积和，据此列式求解可得；(2)此时小狗活动的区域面积为以B为圆心、10为半径的34圆，以A为圆心、x为半径的1 4圆、以C为圆心、10-x为半径的30360圆的面积和，列出函数解析式，由二次函数的性质解答即可．【详解】解：(1)如图，拴住小狗的10m长的绳子一端固定在B点处，小狗可以活动的区域如图所示：由图可知，小狗活动的区域面积为以B为圆心、10m为半径的34圆，以C为圆心、6m为半径的14圆和以A为圆心、4m为半径的14圆的面积和，∴S=34×π？102+14?π？62+14?π？42=88π；（2）如图，设BC=x，则AB=10-x，∴S=34π？102+14?π？x2+30360?π？(10-x)2=π3(x2-5x+250)=π3(x-52)2+325π4，当x=52时，S取得最小值，∴BC=5 2 .故答案为：(1)88π；(2)5 2 .【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据绳子的长度结合图形得出其活动区域及利用扇形的面积公式表示出活动区域面积．三、解答题21．（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元【解析】【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可．（2）根据利润计算公式列式即可；（3）进行配方求值即可．【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得806010050k bk b解得：k2b200∴y=－2x+200（30≤x≤60）（2）W=（x－30）（－2x+200）－450=－2x2+260x－6450=－2（x－65）2 +2000）（3）W =－2（x－65）2 +2000∵30≤x≤60∴x=60时,w有最大值为1950元∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元考点：二次函数的应用．22．（1）列表见解析，P所有可能的坐标有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)；（2）1 8【解析】【分析】（1）用列表法列举出所有可能出现的情况，注意每一种情况出现的可能性是均等的，（2）点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个，即(3，4)，(4，3)，由概率公式即可得出答案．【详解】（1）由列表法列举所有可能出现的情况：因此点P所有可能的坐标有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种．（2）点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个，即(3，4)，(4，3)，∴点P在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为21 168．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，利用这种方法注意每一种情况出现的可能性是均等的．23．（1）235240x x(答案不唯一)（2）见解析（3）1.【解析】【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）根据根的判别式即可求解；（3）根据方程的解代入求出a,b,c的关系，再根据完全平方公式的变形进行求解.【详解】（1）当a=3,b=4,c=5时，勾系一元二次方程为235240x x；（2）依题意得△=（2c）2-4ab=2c2-4ab,∵a2+b2=c2,∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0，即△≥０，故方程必有实数根；（3）把x=-1代入得a+b=2c∵四边形 ACDE 的周长是62，即2(a+b)+ 2c=62，故得到c=2，∴a2+b2=4，a+b=22∵(a+b)2= a2+b2+2ab∴ab=2,故ABC 的面积为12ab=1.【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.24．1 3【解析】【分析】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，利用列表法求出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】分别用字母A，B，C代替引导员、联络员和咨询员岗位，用列表法列举所有可能出现的结果：小西小南A B CA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）由表中可以看出，所有可能的结果有9种，并且这9种结果出现的可能性相等，所有可能的结果中，小南和小西恰好被分配到同一个岗位的结果有3种，即AA，BB，CC，∴小南和小西恰好被分配到同一个岗位进行志愿服务的概率=39＝13．【点睛】考查随机事件发生的概率，关键是用列表法或树状图表示出所有等可能出现的结果数，用列表法或树状图的前提是必须使每一种情况发生的可能性是均等的．25．（1）抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，顶点坐标为（1，－4）；（2）P点坐标为（1＋7，3）或（1－7，3）或（0，－3）或（2，－3）．【解析】【分析】（1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再利用配方法即可求出抛物线顶点坐标；（2）设P（x，y），根据三角形的面积公式以及S△PAB＝6，即可算出y的值，代入抛物线解析式即可得出点P的坐标．【详解】解：（1）把A（－1，0）、B（3，0）分别代入y＝x2＋bx＋c中，得：10 930b cb c＝＝，解得：23 bc，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．∵y＝ x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点坐标为（1，－4）．（2）∵A（－1，0）、B（3，0），∴AB＝4．设P（x，y），则S△P AB＝12AB?|y|＝2|y|＝6，∴|y|＝3，∴y＝±3．①当y＝3时，x2－2x－3＝3，解得：x1＝1＋7，x2＝1－7，此时P点坐标为（1＋7，3）或（1－7，3）；②当y＝－3时，x2－2x－3＝－3，解得：x1＝0，x2＝2，此时P点坐标为（0，－3）或（2，－3）．综上所述，P点坐标为（1＋7，3）或（1－7，3）或（0，－3）或（2，－3）．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）设出点P的坐标，找出关于y的方程．。
2020-2021年人民大学附属中学初三(上)数学综合练习(三)
初三（上）数学综合练习（三）班级__________姓名__________学号_____一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置．1．抛物线21y x =+的对称轴是A ．直线1x =-B ．直线1x =C ．直线0x =D ．直线1y =2．点(21)P -，关于原点对称的点P '的坐标是A ．(21)-，B ．(21)--，C ．(12)-，D ．(12)-，3．下列App 图标中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是AB C D 4．用配方法解方程2240x x --=，配方正确的是A ．()213x -=B ．()214x -=C ．()215x -=D ．()213x +=5．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，点P 为切点.若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB 的长为A ．B ．C D ．26．将抛物线2(1)2y x =+-向上平移a 个单位后得到的抛物线恰好与x 轴有一个交点，则a 的值为A ．1-B ．1C ．2-D ．27．下图是几种汽车轮毂的图案，图案绕中心旋转90°后能与原来的图案重合的是A B C D8．已知一个二次函数图象经过11(3)P y -，，22(1)P y -，，33(1)P y ，，44(3)P y ，四点，若324y y y <<，则1234y y y y ，，，的最值情况是A ．3y 最小，1y 最大B ．3y 最小，4y 最大C ．1y 最小，4y 最大D ．无法确定二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个以0和2为根的一元二次方程：________．10．函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0．（填“>”，“=”，或“<”）11．若关于x 的方程2410x x k -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为直径CD 延长线上一点，且AB ∥CD ，若∠C =70°，则∠ADE 的大小为________．13．已知O 为△ABC 的外接圆圆心，若O 在△ABC 外，则△ABC 是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．14．在十三届全国人大一次会议记者会上，中国科技部部长表示，2017年我国新能源汽车保有量已居于世界前列．2015年和2017年我国新能源汽车保有量如图所示．设我国2015至2017年新能源汽车保有量年平均增长率为x ，依题意，可列方程为．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于（1，0），（3，0）两点，请写出一个满足0y <的x 的值．16．如图，⊙O 的动弦AB ，CD 相交于点E ，且AB CD =，BED α∠=(090)α︒<<︒．在①BOD α∠=，②90OAB α∠=︒-，③12ABC α∠=中，一定成立的是（填序号）．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26小题，每小题6分；第27~28小题，每小题7分）17．解方程：()236x x x +=+．18．如图，将ABC △绕点B 旋转得到DBE △，且A ，D ，C 三点在同一条直线上．求证：DB 平分ADE ∠．19．下面是小董设计的“作已知圆的内接正三角形”的尺规作图过程.已知：⊙O ．求作：⊙O 的内接正三角形．作法：如图，①作直径AB ；②以B 为圆心，OB 为半径作弧，与⊙O 交于C ，D 两点；③连接AC ，AD ，CD ．所以△ACD 就是所求的三角形．根据小董设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明：证明：在⊙O 中，连接OC ，OD ，BC ，BD ，∵OC =OB =BC ，∴△OBC 为等边三角形（___________）（填推理的依据）．∴∠BOC =60°．∴∠AOC =180°-∠BOC =120°．同理∠AOD =120°，∴∠COD =∠AOC =∠AOD =120°．∴AC =CD =AD （___________）（填推理的依据）．∴△ACD 是等边三角形．20．已知1-是方程20x ax b +-=的一个根，求222a b b -+的值．21．生活中看似平常的隧道设计也很精巧．如图是一张盾构隧道断面结构图，隧道内部为以O 为圆心AB 为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A 到顶棚的距离为0.8a ，顶棚到路面的距离是3.2a ，点B 到路面的距离为2a ．请你求出路面的宽度l ．（用含a 的式子表示）22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x ax b =++经过点()20A -，，()13B -，．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为C ，直接写出点C 的坐标和BOC ∠的度数．23．用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x 米，窗户的透光面积为y 平方米（铝合金条的宽度不计）．（1）y 与x 之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积．24．如图，在△ABC 中，AB AC =，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作AC 的垂线交AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：DE 与⊙O 相切；（2）若CD BF =，3AE =，求DF 的长．25．有这样一个问题：探究函数332x x y -++=的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数332x x y -++=的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成：（1）化简函数解析式，当3x ≥时，y =___________，当3x <时y =____________；（2）根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出函数332x x y -++=的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：若关于x 的方程3312x x ax -+++=只有一个实数根，直接写出实数a 的取值范围：___________________________．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax x a =-≠与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧）．（1）当1a =-时，求A ，B 两点的坐标；（2）过点(30)P ，作垂直于x 轴的直线l ，交抛物线于点C ．①当2a =时，求PB PC +的值；②若点B 在直线l 左侧，且14PB PC +≥，结合函数的图象，直接写出a 的取值范围．27．已知∠MON =α，P 为射线OM 上的点，OP =1．（1）如图1，︒=60α，A ，B 均为射线ON 上的点，OA =1，OB >OA ，△PBC 为等边三角形，且O ，C 两点位于直线PB 的异侧，连接AC ．①依题意将图1补全；②判断直线AC 与OM 的位置关系并加以证明；（2）若︒=45α，Q 为射线ON 上一动点（Q 与O 不重合），以PQ 为斜边作等腰直角△PQR ，使O ，R 两点位于直线PQ 的异侧，连接OR ．根据（1）的解答经验，直接写出△POR 的面积．图1备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，点A 是x 轴外的一点，若平面内的点B 满足：线段AB 的长度与点A到x 轴的距离相等，则称点B 是点A 的“等距点”．（1）若点A 的坐标为（0，2），点1P （2，2），2P （1，4-），3P （1）中，点A 的“等距点”是_______________；（2）若点M （1，2）和点N （1，8）是点A 的两个“等距点”，求点A 的坐标；（3）记函数y =（0x >）的图象为L ，T 的半径为2，圆心坐标为(0,)T t .若在L 上存在点M ，T 上存在点N ，满足点N 是点M 的“等距点”，直接写出t 的取值范围．一饭千金帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级上学期期末模拟试题 三(解析版)
2020-2021第一学期人教版9年级数学期末模拟试卷三一、选择题（每题3分，共24分）1. 下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A. 2x ﹣3＝x B. 2x +3y ＝5C. 2x ﹣x 2＝1D. 17x x+= 【答案】C 【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【详解】A 、方程2x ﹣3＝x 为一元一次方程，不符合题意； B 、方程2x +3y ＝5是二元一次方程，不符合题意； C 、方程2x ﹣x 2＝1是一元二次方程，符合题意； D 、方程x +1x＝7是分式方程，不符合题意， 故选：C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的问题，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2. 方程x 2=4的解是（ ） A. x=2 B. x=﹣2C. x 1=1，x 2=4D. x 1=2，x 2=﹣2【答案】D 【解析】 【详解】x 2=4， x =±2. 故选D.点睛：本题利用方程左右两边直接开平方求解.3. 如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，若以A 为圆心，4为半径作⊙A .下列四个点中，在⊙A 外的是( )A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D【答案】C 【解析】【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC 的长度,即可解题. 【详解】解：如下图,连接AC, ∵圆A 的半径是4,AB=4,AD=3, ∴由勾股定理可知对角线AC=5, ∴D 在圆A 内,B 在圆上,C 在圆外, 故选 C.【点睛】本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC 的长是解题关键.4. 一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别有1到6的点数．下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5 B. 掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5 C. 掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6D. 掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6 【答案】D 【解析】【分析】事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，据此进行判断即可． 【详解】解：A ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数小于5，属于随机事件，不合题意； B ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于5，属于随机事件，不合题意； C ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数等于6，属于随机事件，不合题意； D ．掷一次这枚骰子，向上一面的点数大于6，属于不可能事件，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是不可能事件的定义，比较基础，易于掌握．5. 已知A 1122(,)(,)x y B x y 、为二次函数()21y x k =--+图象上两点，且1x <2x <1，则下列说法正确的是（ ）A. 120y y +> B. 120y y +< C. 12 0y y -> D. 12 0y y -<【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，从而得到因变量的大小关系．【详解】解：二次函数()21y x k =--+的对称轴是直线1x =，且开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大， ∵1x <2x <1，∴12y y <，即120y y -<． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．6. 已知点A （﹣1，﹣1），点B （1，1），若抛物线y ＝x 2﹣ax +a +1与线段AB 有两个不同的交点（包含线段AB 端点），则实数a 的取值范围是（ ） A. 32-≤a ＜﹣1 B. 32-≤a ≤﹣1 C. 32-＜a ＜﹣1 D. 32-＜a ≤﹣1 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先将一次函数解析式和二次函数解析式联立方程，求出使得这个方程有两个不同的实数根时a 的取值范围，然后再求得抛物y ＝x 2﹣ax+a+1经过A 点时的a 的值，即可求得a 的取值范围． 【详解】解：∵点A （﹣1，﹣1），点B （1，1）， ∴直线AB 为y ＝x ， 令x ＝x 2﹣ax+a+1， 则x 2﹣（a+1）x+a+1＝0，若直线y ＝x 与抛物线x 2﹣ax+a+1有两个不同的交点， 则△＝（a+1）2﹣4（a+1）＞0， 解得，a ＞3（舍去）或a ＜﹣1，把点A （﹣1，﹣1）代入y ＝x 2﹣ax+a+1解得a ＝﹣32，由上可得﹣32≤a ＜﹣1， 故选：A ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 7. 设方程2320x x -+=的两根分别是12,x x ，则12x x +的值为（ ） A. 3B. 32-C.32D. 2-【答案】A 【解析】【分析】本题可利用韦达定理，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．【详解】由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-， 由韦达定理：12x x +(3)31b a -=-=-=， 故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率．8. 函数y ＝ax 2﹣a 与y ＝ax ﹣a （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据二次函数与一次函数图像与系数的关系进行排除选项即可．【详解】A 、由二次函数的图像可知0a >，故一次函数的图像应该经过一、三、四象限，故错误； B 、由二次函数的图像可知0a <，故一次函数的图像应该经过一、二、四象限，故错误；C 、由二次函数的图像可知0a >，故一次函数的图像应该经过一、三、四象限，再由当y=0时，一次函数与二次函数交于一点，故错误；D 、由二次函数的图像可知0a <，一次函数经过一、二、四象限，且当y=0和x=0时，一次函数的图像与二次函数的图像都有公共交点，故正确． 故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与一次函数的图像，熟练掌握图像与系数的关系是解题的关键．二、填空题（每题3分，共24分）9. 关于x 的方程()21210m x mx +++=是一元二次方程，则m 的取值范围是_____．【答案】1m ≠- 【解析】【分析】根据定义，一元二次方程的二次项系数不能是0，求出m 的取值范围． 【详解】解：∵方程()21210m x mx +++=是一元二次方程，∴10m +≠，即1m ≠-． 故答案是：1m ≠-．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 10. 如果关于x 的方程x 2﹣5x+k=0没有实数根，那么k 的值为________ 【答案】k ＞254【解析】【分析】据题意可知方程没有实数根，则有△=b 2-4ac ＜0，然后解得这个不等式求得k 的取值范围即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2-5x+k=0没有实数根， ∴△＜0，即△=25-4k ＜0， ∴k ＞254， 故答案为k ＞254． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式（△=b 2-4ac ）判断方程的根的情况：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有：当△＜0时，方程无实数根．基础题型比较简单． 11. 已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则这个圆锥的侧面积是_______cm 2．【答案】15π 【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=2π×3×5÷2=15π． 故答案是：15π【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．12. 已知实数a ，b 是方程210x x --=的两根，则11a b+的值为______． 【答案】-1 【解析】【分析】利用根与系数的关系得到a+b=1，ab=-1，再根据异分母分式加减法法则进行计算代入求值. 【详解】∵a ，b 是方程210x x --=的两根， ∴a+b=1，ab=-1， ∴11a b+ =a bab + =11- =-1， 故答案为：-1.【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系式，异分母分式的加减法计算法则. 13. 抛物线y ＝(x ﹣1)(x ﹣3)的对称轴是直线x ＝_____． 【答案】2 【解析】【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴； 【详解】解：∵抛物线y ＝(x ﹣1)(x ﹣3)＝x 2﹣4x +3＝(x ﹣2)2﹣1， ∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2， 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.14. 如图，已知在ABC中，AB AC．以AB为直径作半圆O，交BC于点D．若∠BAC=40°，则AD 的度数是_________度．【答案】140【解析】【分析】【详解】解：连接AD、OD，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=20°，BD=DC，∴∠ABD=70°，∴∠AOD=140°，∴AD的度数为140°；故答案为：140．15. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____．【答案】2028【解析】【分析】根据一元二次方程解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得．【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020， 则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2 ＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=ca． 16. 已知二次函数的y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③2a +b ＝0；④a +b ＜m （am +b ） （m ≠1的实数），其中正确的结论有_____．【答案】①③ 【解析】【分析】①由抛物线开口向下a ＜0，抛物线和y 轴的正半轴相交，c ＞0，2ba- ＝1＞0，b ＞0，②令x ＝﹣1，时y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，③2ba-＝1，即2a +b ＝0，④把x ＝m 代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x ＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x ＝1时函数值最大，所以x ＝1对应的函数值大于x ＝m 对应的函数值，化简得到不等式．【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y 轴的正半轴相交， ∴a ＜0，c ＞0， ∵2ba-＝1＞0， ∴b ＞0，∴abc ＜0，故①正确；②令x ＝﹣1，时y ＜0，即a ﹣b +c ＜0，故②错误；③∵2ba-＝1， ∴2a +b ＝0，故③正确；④x ＝m 对应的函数值为y ＝am 2+bm +c ，x ＝1对应的函数值为y ＝a +b +c ，又x ＝1时函数取得最大值， ∴a +b +c ＞am 2+bm +c ，即a +b ＞am 2+bm ＝m （am +b ）， 故④错误； 故答案为①③．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与系数、性质，熟练掌握二次函数的图像与系数、性质的关系是解题的关键．三、解答题17. 解下列方程： （1）x 2﹣2x ＝5；（2）（x ﹣2）2+2（2﹣x ）＝0．【答案】（1）x 16，x 26；（2）x 1＝2，x 2＝4． 【解析】【分析】（1）等式两边同时+1，配成完全平方式，再开平方，解方程即可；（2）首先变号，然后再提公因式x ﹣2，分解因式后解方程即可． 【详解】解：（1）x 2﹣2x ＝5， x 2﹣2x +1＝5+1， （x ﹣1）2＝6， x ﹣1＝6±∴x 16，x 26； （2）（x ﹣2）2+2（2﹣x ）＝0， （x ﹣2）2﹣2（x ﹣2）＝0， （x ﹣2）（x ﹣2﹣2）＝0， （x ﹣2）（x ﹣4）＝0，则x﹣2＝0，x﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝4．【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法和完全平方式是解题的关键．18. 已知关于x的方程x2+ax+16=0，（1）若这个方程有两个相等的实数根，求a的值（2）若这个方程有一个根是2，求a的值及另外一个根【答案】（1）a=8或﹣8；（2）a=﹣10，方程的另一个根为8．【解析】【分析】（1）由题意可得方程的判别式△=0，由此可得关于a的方程，解方程即得结果；（2）把x=2代入原方程即可求出a，然后再解方程即可求出方程的另一个根．【详解】解：（1）∵方程x2+ax+16=0有两个相等的实数根，∴a2－4×1×16=0，解得a=8或﹣8；（2）∵方程x2+ax+16=0有一个根是2，∴22+2a+16=0，解得a=﹣10；此时方程为x2﹣10x+16=0，解得x1=2，x2=8；∴a=﹣10，方程的另一个根为8．【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程的解法以及根的判别式等知识，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．19. 已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN 于E（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．【答案】解：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径是7.5cm．【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的判断方法与性质可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切线．（2）由直角三角形的特殊性质，可得AD的长，又有△ACD∽△ADE．根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据即可求得圆的半径．【详解】（1）证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE．∴DO∥MN．∵DE⊥MN，∴∠ODE=∠DEM=90°．即OD⊥DE．∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，∴2235+=AD DE AE连接CD．∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=∠AED=90°．∵∠CAD=∠DAE，∴△ACD∽△ADE．∴AD AC AE AD=．∴3535=．则AC=15（cm）．∴⊙O的半径是7.5cm．考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．20. 在一个不透明的袋子中装有4个小球，球上分别标有1-，0，1，2四个数字，这些小球除数字外都相同．（1）从袋中任意摸出一个球，球上标有负数的概率是____________．（2）小明先从袋子中任意摸出一个球（不放回），小华再从袋子里摸出另一个球，如果两球数字之差的绝对值小于或等于1，那么就称他俩“心有灵犀”，请用列表法（或画树状图）求两人“心有灵犀”的概率．【答案】（1）14；（2）12【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算可得．（2）画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算即可得．【详解】解：（1）如果从袋中任意摸出一个小球，那么小球上的数字标有负数的概率是：1 4（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中满足两球数字之差的绝对值小于或等于1，有6种结果，所以两人“心有灵犀”的概率为61= 122【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．21. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．（1）若降价2元，则平均每天销售数量为件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1050元?【答案】（1）24；（2）5【解析】【分析】（1）根据平均每天销售量=20+2×降低的价格，即可求出结论；（2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润=每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】解：（1）20+2×2=24（件）．故答案为：24．（2）设每件商品降价x元，则平均每天可售出（20+2x）件，根据题意得：（40-x）（20+2x）=1050，整理得：x2-30x+125=0，解得：x1=5，x2=25．又∵每件盈利不少于25元，∴40-x≥25，即x≤15，∴x=25不合题意舍去，∴x=5．答：当每件商品降价5元时，该商店每天销售利润为1050元【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．22. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠BAD，DF 与AB的延长线相交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）21 10．【解析】【分析】（1）如图，连结OD，只需推知OD⊥DF即可证得结论；（2）根据平行线的性质得到∠FDB＝∠CBD，由圆周角的性质可得∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，即AD平分∠BAC；（3）由勾股定理可求AD的长，通过△BDE∽△ADB，可得DE BDBD AD=，可求DE＝92，AE＝72，由锐角三角函数可求CE的长．【详解】（1）连接OD，CD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠ODB＝90°，∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO，∵∠BDF＝∠BAD，∴∠BDF+∠ODB＝90°，∴∠ODF＝90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；（2）∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠CBD，∵CD CD=，∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF，∴AD平分∠BAC；（3）∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝22100368 AD AB BD=-=-=，∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°，∴△BDE∽△ADB，∴DE BD BD AD=，∴6 68 DE=，∴DE＝92，∴AE＝AD﹣DE＝72，∵∠CAD＝∠BAD，∴sin∠CAD＝sin∠BAD∴CE BD AE AB=∴6 710 2CE=∴CE＝21 10【点睛】本题考查了圆的综合问题，掌握平行线的性质、圆周角的性质、勾股定理、相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0）与点C（0，3），连接BC，点P是直线BC是上方的一个动点（且不与B，C重合）．（1）求抛物线的解析式； （2）求△PBC 的面积的最大值． 【答案】（1）y ＝−x 2+2x ＋3（2）278【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图，过点P 做PD 垂直x 轴，交BC 于点F ，连接PB ，PC ，根据S △PBC ＝S △PBF ＋S △PFC ＝12PF(OD ＋DB)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）设抛物线方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）将A （-1，0），B （3，0）,C （0，3）三点代入可得：09303a b c a b c c -+⎧⎪++⎨⎪=⎩＝＝， 解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为：y ＝−x 2+2x ＋3;（2）如图，过点P 做PD 垂直x 轴，交BC 于点F ，连接PB ，PC ， 设BC 的直线方程为y ＝kx ＋b ，代入B 点，C 点可得303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩所以直线AC 为y ＝-x ＋3，设P 点坐标为（m ，−m 2+2m ＋3），F 点的坐标为（m ，-m ＋3）， 所以|PF|＝−m 2+2m ＋3−（-m ＋3）＝−m 2+3m ， ∵S △PBC ＝S △PBF ＋S △PFC＝12PF(OD ＋DB) ＝12PF •OB ， ∴S △PBC ＝12 (−m 2+3m)×3＝−32 (x-32)2＋278 (0＜m ＜3) 所以当m ＝32时，S △PBC 最大，最大值为278．【点睛】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用分割法求三角形的面积，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．新人教部编版初中数学“活力课堂”精编试题。
北京市海淀区首都师范大学附属育新学校2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试卷带讲解
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，掌握知识点是解题关键．
13.下列图形一定不是中心对称图形的是（ ）
A. 正六边形B. 线段
C. 圆D. 抛物线
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义即可得．
故③正确；
④若点(x1，y1)，(x2，y2)在对称轴右侧时，
函数y随x增大而减小
即若x1＜x2，则y1＞y2
故④错误；
故选C.
【点睛】此题考查的是二次函数图像及性质，掌握二次函数图像及性质和各系数之间的关系是解决此题的关键.
10.在平面直角坐标系中，将抛物线 向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到抛物线（）
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
7.函数 的自变量 的取值范围为全体实数，其中 部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于 轴对称；
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根据二次函数图像与b2－4ac的关系、对称轴公式、点的坐标及增减性逐一判断即可.
【详解】解：①由图可知，将抛物线补全，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点
∴b2－4ac＞0
∴4ac－b2＜0，故①正确；
②∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1
A.1B.2C.4D.3
北京中国人民大学附属中学本部九年级上学期限时练习数学试卷(3)
2021-2022学年北京人大附中本部九年级（上）限时练习数学试卷（3）一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝﹣2x2﹣5的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（0，5）B．向上，（0，﹣5）C．向下，（0，﹣5）D．向下，（0，5）3．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（）A．b＜0B．a+b+c＝0C．c＞0D．b2﹣4ac＜04．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”，现有一款监测半径为5km的雷达，监测点的分布情况如图，如果将雷达装置设在P点，每一个小格的边长为1km，那么能被雷达监测到的最远点为（）A．M点B．H点C．G点D．N点5．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB＝DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（）A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的6．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A′B′C，若B′恰好落在线段AB上，连接AA′，则下列说法中错误的是（）A．∠B'A'C＝25°B．AC＝AA′C．∠ACA′＝50°D．AB⊥AA′7．如图，⊙O中直径AB⊥DG于点C，点D是弧EB的中点，CD与BE交于点F．下列结论：①∠A＝∠E，②∠ADB＝90°，③FB＝FD中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．38．如图，AB是⊙O的一条弦，C为AB中点，射线OC交⊙O于点D，连接OA，若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．B．C．5D．39．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB 上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1B．﹣3C．﹣5D．﹣710．如图，在平面直角坐标系xOy中，以（3，0）为圆心作⊙P，⊙P与x轴交于A、B，与y轴交于点C（0，2），Q为⊙P上不同于A、B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE⊥QA于E，PF⊥QB于F．设点Q的横坐标为x，PE2+PF2＝y．当Q点在⊙P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共27分，每小题3分）11．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是．12．抛物线y＝x2+6x+m与x轴只有一个公共点，则m的值为．13．若点（﹣1，5），（﹣3，5）是抛物线y＝x2+bx+c（a≠0）上的两个点，则b＝．14．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠AOB＝150°，那么∠ACB的度数为．15．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案，这个图案绕点O至少旋转度后能与原来的图案互相重合．16．如图，以AC为斜边在AC的两侧作Rt△ABC和Rt△ADC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝45°，BD＝4，则AC的长度为．17．已知⊙O的半径是4，点P到圆心O的距离d为x2﹣4x﹣5＝0的一个根，则点P与⊙O 的位置关系为．18．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为．19．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为上一点，若PB＝1，P A＝2，则PD的长是．三、解答题（本题共43分，第21题每小题5分，20，22，23每题5分，24-26每题6分）20．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知射线AB；求作：∠P AB，使得∠P AB＝30°．作法如图①在射线AB上取一点O以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；②以C为圆心OC为半径作弧，与⊙O交于点P，作射线AP，所以∠P AB即为所求的角；根据上述的尺规作图过程．（1）使用直尺和圆规在答题纸上补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明证明：连接PO、PC，在⊙O和⊙C中，∵OP＝OC＝．∴△POC是等边三角形（）（填推理的依据）．∴∠POC＝60°（）（填推理的依据）．∵＝．∴∠P AB＝∠POB＝30°（）（填推理的依据）．21．解下列一元二次方程：（1）x2+3x+2＝0；（2）2x2﹣2x﹣1＝0．22．已知m是方程15x2﹣3x﹣1＝0的根，求代数式（3m+2）（3m﹣2）+m（m﹣2）的值．23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，过点O作OD⊥BC交BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m的顶点为A．（1）当m＝1时，直接写出抛物线的对称轴；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求抛物线的解析式；（3）已知点B（m﹣，m+1），C（2，2），若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．25．如图①，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D 不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图②．（1）请你在图②中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系；（2）请你在图③中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；（3）若AD＝，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，直接写出线段AM的最大值：．26．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的⊙P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P （0，4），Q（a，0）．（1）当a＝4时，在点A（1，0）、B（2，2）、C（2，2）、D（5，5）中，△POQ 关于边PQ的“Math点”为．（2）当a＝4时，①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线y＝﹣x+b交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，直接写出b的取值范围.。