2016高考数学大一轮复习 8.3直线、平面平行的判定与性质课件 理 苏教版
高考数学一轮总复习课件：直线、平面平行的判定及性质
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
又∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
【答案】 略
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作 平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
【证明】 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， 因为四边形ABCD是平行四边形，
5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是 __①_②__④___．
①AD1∥BC1；②平面AB1D1∥平面BDC1；③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
解析 连接AD1，BC1，
因为AB綊C1D1，所以四边形AD1C1B为平行四边形，
故AD1∥BC1，从而①正确； 易证BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面AB1D1∥平面BDC1，从而②正确； 由图易知AD1与DC1异面，故③错误； 因AD1∥BC1，AD1⊄平面BDC1，BC1⊂平面BDC1，故AD1∥平
因为A1G与EB平行且相等， 所以四边形A1EBG是平行四边形．所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG. 【答案】 (1)略 (2)略
【讲评】 要证四点共面，只需证GH∥BC即可；要证面面 平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行，注 意“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的相互转化．
∵BD＝B1C，DN＝CM， ∴B1M＝BN.
∵△MEB1∽△CBB1，∴
ME CB
＝
B1M B1C
，又
∵△NFB∽△DAB，DNAF ＝BBND，
【步步高】高考数学大一轮复习 8.3直线、平面平行的判定与性质课件 理 苏教版
线平行或异面.( √ )
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (4)空间四边形 ABCD中，E，F分别是AB，AD 的中点，
则EF∥平面BCD.( √ )
(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
题号
1
答案
①或③ ①②④
2
解析
2
3
4
②
因为α∥β，a⊂α，所以a∥β， 在平面β内存在无数条直线与直线a平行， 但不是所有直线都与直线a平行，
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
∴OH∥AD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H， ∴平面OHF∥平面PAD.
又 ∵GH⊂ 平 面 OHF ，
∴GH∥平面PAD.
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
判断或证明线面平行的常用 方法：(1)利用线面平行的定 义 ( 无公共点 ) ； (2) 利用线面 平行的判定定理 (a ⊄ α ， b⊂α ， a∥b⇒a∥α) ； (3) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理 (α∥β ， a⊂α⇒a∥β) ； (4) 利用面面平 行 的 性 质 (α∥β ， a ⊄ β ， a∥α⇒a∥β).
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
(2) 中 可 证 明 平 面 OHF∥平面PAD.
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
证明 连结FH，OH，
∵F，H分别是PC，CD的
高考数学一轮复习直线平面平行的判定及其性质课件
4.(必修2P56练习2改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1 与平面AEC的位置关系为________.
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，E为DD1 的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面 ACE，所以BD1∥平面ACE. 答案 平行
第4节 直线、平面平行的判定及其性质
考试要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行 的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形 的平行关系的简单命题.
知识梳理 1.直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行.
＝ 5. 由 AM∥BC 得 M 到 BC 的距离为 5，故 S△BCM＝12×4× 5＝2 5.所以四面体
N－BCM
的体积
VN－BCM＝13×S△BCM×P2A＝4
3
5 .
角度 2 直线与平面平行性质定理的应用 【例 2－2】 如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均
2.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的
()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，
不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
∴BC 綉 AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又∵F是PC的中点，∴FO∥AP， 又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
(江苏专版)高考数学一轮复习第八章立体几何第三节直线、平面平行的判定与性质实用课件文
第十四页，共25页。
(2)连结 FH，OH， ∵F，H 分别是 PC，CD 的中点，∴FH∥PD， ∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 AC 的中点，H 是 CD 的中点，∴OH∥AD， ∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH＝H，∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
第十五页，共25页。
02 突破点(二) 平面与平面平行的判定(pàndìng) 与性质 第十六页，共25页。
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
一个平面内的两条_相__交__ 判定 直__线__与另一个平面平行， 定理 则这两个平面平行(线面
第六页，共25页。
[方法技巧] 判定线面平行的四种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
第七页，共25页。
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形，∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
第十九页，共25页。
[方法技巧]
判定面面平行的四种方法
(1)利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)．
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高考数学大一轮复习.3直线平面平行的判定与性质课件
判定 垂直于同一条直线的两个平面平行
定理
符号语言
a
b
a b P
a
b
⇒α∥β
l ⇒α∥β
l 2Leabharlann 判定 平行于同一个平面的两个平面平
定理 行
3
⇒α∥γ
性质
如果两个平面平行,那么在一个平面
定理
内的所有直线都平行于另一个平面
点,E,F分别为B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
(2)求证:平面AMN∥平面EFDB.
解题导引
证明
(1)连接B1D1.
∵在△B1D1C1中,E,F分别是B1C1,C1D1的中点,
1
2
∴EF∥B1D1且EF= B1D1.
又易证在正方体ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1是矩形,∴BD B1D1.
那么PM∥平面BCE,
∵PM∥BE,∴ = ,
AP
PE
AM
MB
又AE=BD,AP=DQ,
∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,又MQ⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,∴MQ∥平面BCE,又PM∩
MQ=M,
∴平面PMQ∥平面BCE,
1.利用定义,证明直线a与平面α没有公共点,一般结合反证法来证
明,这
时“平行〞的否认应是“在平面内〞或“相交〞两种,只有排除这
两种
位置关系后才能得出“直线a与平面α平行〞这一结论.
高考数学一轮复习第六章第四讲直线、平面平行的判定与性质课件
【名师点睛】平行关系中的重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若 a⊥α，b⊥α，则 a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则 α∥γ.
(4)垂直于同一平面的两个平面不一定平行，平行于同一直线 的两个平面不一定平行.
∴GH∥B1C1. 又 B1C1∥BC，∴GH∥BC. ∵GH 平面 ABC，BC⊂平面 ABC， ∴GH∥平面 ABC.
(2)∵在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， ∴EF∥BC，A1G BE，
∴四边形 BGA1E 是平行四边形，∴A1E∥BG. ∵A1E 平面 BCHG，BG⊂平面 BCHG， ∴A1E∥平面 BCHG.同理 EF∥平面 BCHG. 又 A1E∩EF＝E， ∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
(1)求证：EF∥平面β； (2)若 E，F 分别是 AB，CD 的中点，AC＝4， BD＝6，且 AC，BD 所成的角为 60°，求 EF 的 长.
图 6-4-9
(1)证明：①当 AB，CD 在同一平面内时，由平面α∥平面β， 平面α∩平面 ABDC＝AC，平面β∩平面 ABDC＝BD，知 AC∥BD.
图 6-4-1
(1)证明：如图 6-4-2，记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE.
图 6-4-2 因为 O，M 分别为 AC，EF 的中点，四边形 ACEF 是矩形， 所以四边形 AOEM 是平行四边形，所以 AM∥OE.
又因为 OE⊂平面 BDE，AM 平面 BDE，
所以 AM∥平面 BDE.
2.如图 6-4-7，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边 形，M 是 AD 的中点.过点 M 且平行于平面 PCD 的平面交棱 PB于 点 E.求PEEB的值.
高考数学一轮复习 第八章 第三节 直线、平面平行的判定及其性质教案 文(含解析)苏教版-苏教版高三全
第三节直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行(简记为线线平行⇒线面平行)⎭⎪⎬⎪⎫a⊄αb⊂αa∥b⇒a∥α性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l∥αl⊂βα∩β＝b⇒l∥b2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α⇒α∥β性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[小题体验]1．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．答案：②2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系是________．解析：因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，所以CD∥平面α，所以CD与平面α内的直线可能平行，也可能异面．答案：平行或异面3．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数有________．解析：因为矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M 是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM ∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交，故正确的个数为3.答案：31．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．[小题纠偏]1．在长方体的各面中，和其中一条棱平行的平面有______个．解析：借助长方体的直观图易知，在长方体的六个面中，和其中一条棱平行的平面有2个．答案：22．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/ α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案：必要不充分考点一直线与平面平行的判定与性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]平行关系是空间几何中的一种重要关系，包括线线平行、线面平行、面面平行，其中线面平行是高考热点，多出现在解答题中．常见的命题角度有：(1)证明直线与平面平行；(2)线面平行性质定理的应用．[题点全练]角度一：证明直线与平面平行1．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：AP∥平面C1MN.证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，C1D1的中点，所以AM＝PC1.又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，所以四边形AMC1P为平行四边形，所以AP∥C1M.又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，所以AP∥平面C1MN.角度二：线面平行性质定理的应用2．如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，四条侧棱均相等．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，BC∥平面GEFH .求证：GH∥EF.证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.[通法在握]证明直线与平面平行的3种方法定义法一般用反证法判定定理法关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程性质判定法即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面[演练冲关]如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，CC 1＝4，M 是棱CC 1上的一点．若点N 是AB 的中点，且∥平面AB 1M ，求CM 的长．解：法一：如图，取AB 1的中点P ，连结NP ，PM . 又因为点N 是AB 的中点， 所以NP ∥BB 1. 因为CM ∥BB 1， 所以NP ∥CM ， 所以NP 与CM 共面．因为∥平面AB 1M ，平面PM ∩平面AB 1M ＝PM ，所以∥PM . 所以四边形PM 为平行四边形， 所以CM ＝NP ＝12CC 1＝2.法二：如图，取BB 1的中点Q ，连结N Q ，C Q. 因为点N 是AB 的中点， 所以N Q ∥AB 1.因为N Q ⊄平面AB 1M ，AB 1⊂平面AB 1M ， 所以N Q ∥平面AB 1M .因为∥平面AB 1M ，N Q ∩＝N ，N Q ⊂平面N Q C ，⊂平面N Q C ， 所以平面N Q C ∥平面AB 1M .又因为平面BCC 1B 1∩平面N Q C ＝C Q ，平面BCC 1B 1∩平面AB 1M ＝MB 1， 所以C Q ∥MB 1.因为BB 1∥CC 1，所以四边形C Q B 1M 是平行四边形， 所以CM ＝B 1Q ＝12CC 1＝2.考点二 平面与平面平行的判定与性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：(1)B ，C ，H ，G 四点共面； (2)平面EFA 1∥平面BCHG .证明：(1)因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.[由题悟法]判定平面与平面平行的4种方法(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点；(2)面面平行的判定定理；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．[即时应用]1．如图，平面α内有△ABC，AB＝5，BC＝8，AC＝7，梯形BCDE的底DE＝2，过EB的中点B1的平面β∥α，若β分别交EA，DC于点A1，C1，求△A1B1C1的面积．解：因为α∥β，所以A1B1∥AB，B1C1∥BC，又因为∠A1B1C1与∠ABC同向．所以∠A1B1C1＝∠ABC.又因为cos ∠ABC ＝52＋82－722×5×8＝12，所以∠ABC ＝∠A 1B 1C 1＝60°. 又因为B 1为EB 的中点， 所以B 1A 1是△EAB 的中位线， 所以B 1A 1＝12AB ＝52，同理知B 1C 1为梯形BCDE 的中位线， 所以B 1C 1＝12(BC ＋DE )＝5.则S △A 1B 1C 1＝12A 1B 1×B 1C 1×sin 60°＝12×52×5×32＝2538. 故△A 1B 1C 1的面积为2538.2．如图，四边形ABCD 与四边形ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点，求证：(1)BE ∥平面DMF ； (2)平面BDE ∥平面MNG .证明：(1)如图，连结AE ，设DF 与GN 的交点为O ， 则AE 必过DF 与GN 的交点O ， 连结MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ， 所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG.考点三立体几何中的探索性问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．解：法一：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，如图，取BB1的中点F，连结DF，EF，ED，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面AB1C1，因为EF⊂平面DEF，所以EF∥平面AB1C1，又因为EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，所以EF∥AB1，因为点F是BB1的中点，所以点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.法二：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：如图，取BB1的中点F，连结DF，则DF∥B1C1.因为DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以DF∥平面AB1C1.因为AB的中点为E，连结EF，ED，则EF∥AB1.因为EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1.因为DF ∩EF ＝F ， 所以平面DEF ∥平面AB 1C 1.而DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面AB 1C 1.[由题悟法]探索性问题的一般解题方法先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在．[即时应用]1．在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，点P 为DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1B Q ∥平面PAO .解析：点Q 为CC 1的中点时，平面D 1B Q ∥平面PAO . 因为点P 为DD 1的中点，所以Q B ∥PA .又Q B ⊄平面PAO ，PA ⊂平面PAO ，所以Q B ∥平面PAO . 连结DB ，因为点P ，O 分别是DD 1，DB 的中点， 所以D 1B ∥PO .又D 1B ⊄平面PAO ，OP ⊂平面PAO ，所以D 1B ∥平面PAO . 又D 1B ∩Q B ＝B ，D 1B ⊂平面D 1B Q , Q B ⊂平面D 1B Q ， 所以平面D 1B Q ∥平面PAO .故点Q 满足条件Q 为CC 1的中点时，有平面D 1B Q ∥平面PAO . 答案：Q 为CC 1的中点2．如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AD ＝6，BC ＝4，E ，F 分别在BC ，AD 上，EF ∥AB .现将四边形ABCD 沿EF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC .若BE ＝1，在折叠后的线段AD 上是否存在一点P ，且AP ―→＝λPD ―→，使得CP ∥平面ABEF ？若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．解：AD 上存在一点P ，使得CP ∥平面ABEF ，此时λ＝32.理由如下：当λ＝32时，AP ―→＝32PD ―→，可知AP AD ＝35，如图，过点P 作MP∥FD 交AF 于点M ，连结EM ，PC ，则有MP FD ＝AP AD ＝35， 又BE ＝1，可得FD ＝5，故MP ＝3， 又EC ＝3，MP ∥FD ∥EC ，故有MP 綊EC ，故四边形MPCE 为平行四边形， 所以CP ∥ME ，又ME ⊂平面ABEF ，CP ⊄平面ABEF ， 故有CP ∥平面ABEF .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·汇龙中学测试)已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的位置关系为________．解析：依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内． 答案：平行或直线b 在平面α内2．(2018·某某模拟)在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是________．解析：如图，由AE EB ＝CF FB得AC ∥EF . 又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF . 答案：AC ∥平面DEF3．(2018·天星湖中学测试)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列四对截面中彼此平行的是________(填序号)．①平面A 1BC 1和平面ACD 1； ②平面BDC 1和平面B 1D 1A ； ③平面B 1D 1D 和平面BDA 1； ④平面ADC 1和平面A 1D 1C .解析：如图，结合正方体的性质及面面平行的判定可知平面A 1BC 1∥平面ACD 1，平面BDC 1∥平面B 1D 1A .答案：①②4．如图，α∥β，△PAB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：因为α∥β，所以CD ∥AB ， 则PC PA ＝CD AB ，所以AB ＝PA ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：525．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MN Q 平行的是________．(填序号)解析：因为点M ，N ，Q 分别为所在棱的中点，所以在①中AB 与平面MN Q 相交，在②③中均有AB ∥M Q ，在④中，有AB ∥N Q ，所以在②③④中均有AB 与平面MN Q 平行．答案：②③④二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·滨海期末)已知m ，n 是不重合的直线，α，β，γ是不重合的平面，已知α∩β＝m ，n ⊂γ，若增加一个条件就能得出m ∥n ，则下列条件中能成为增加条件的序号是________．①m ∥γ，n ∥β；②α∥γ，n ⊂β；③n ∥β，m ⊂γ.解析：对于①，若β∥γ，由m ⊂β，满足m ∥γ，由n ⊂γ，满足n ∥β，但m ，n 可为异面直线，则不成立；对于②，由α∥γ，且α∩β＝m ，β∩γ＝n ，由面面平行的性质定理可得m ∥n ，则成立；对于③，n ∥β，m ⊂γ，则γ∩β＝m ，由线面平行的性质定理可得n ∥m ，则成立． 答案：②或③2．(2019·某某调研)一条直线与两个平行平面中的一个成30°角，且被两平面所截得的线段长为2，那么这两个平行平面间的距离是________．解析：由题意知，两个平行平面间的距离d ＝2sin 30°＝1.答案：13．(2018·前黄高级中学检测)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的是________(填序号)．①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：如图，因为AB ∥C 1D 1，AB ＝C 1D 1，所以四边形AD 1C 1B 为平行四边形，故AD 1∥BC 1，从而①正确；易证AB 1∥DC 1，BD ∥B 1D 1，又AB 1∩B 1D 1＝B 1，BD ∩DC 1＝D ，故平面AB 1D 1∥平面BDC 1，从而②正确；由图易知AD 1与DC 1异面，故③错误；因为AD 1∥BC 1，AD 1⊄平面BDC 1，BC 1⊂平面BDC 1，所以AD 1∥平面BDC 1，故④正确．答案：①②④4．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值；③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值．其中正确命题的个数是________．解析：由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，因为A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，所以A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，所以A 1D 1∥平面EFGH (水面)．所以③是正确的；对于④，因为水是定量的(定体积V )，所以S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .所以BE ·BF ＝2V BC (定值)，即④是正确的． 答案：35．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△PAC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：86．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件：①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的序号填上)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③7．(2018·某某期末)已知棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1，E 为棱AD 的中点，现有一只蚂蚁从点B 1出发，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1表面上行走一周后再回到点B 1，这只蚂蚁在行走过程中与平面A 1EB 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为________．解析：要满足题意，则需在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1上过B 1作与平面A 1EB 平行的平面．取A 1D 1和BC 的中点分别为F ，G ，连结B 1F ，FD ，DG ，GB 1，则A 1F 綊ED ，所以四边形A 1FDE 是平行四边形，所以A 1E ∥FD .因为FD ⊄平面A 1EB ，A 1E ⊂平面A 1EB ，所以FD ∥平面A 1EB .同理：DG ∥平面A 1EB .又FD ∩DG ＝D ，所以平面DFB 1G ∥平面A 1EB ，则四边形DFB 1G 所围成图形的面积即为所求．易知四边形DFB 1G 为菱形，由正方体的棱长为2，得菱形DFB 1G 的边长为5，cos ∠A 1EB ＝15，∴sin ∠A 1EB ＝265，∵∠A 1EB ＝∠FDG ， ∴S 菱形DFB 1G ＝5×5×sin∠FDG ＝2 6.答案：2 68．(2019·海安中学检测)如图，在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值X 围是________．解析：取B 1C 1的中点M ，BB 1的中点N ，连结A 1M ，A 1N ，MN ，可以证明平面A 1MN ∥平面AEF ，所以点P 位于线段MN 上，因为A 1M ＝A 1N ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝52，MN ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22， 所以当点P 位于M ，N 处时，A 1P 的长度最长，取MN 的中点O ，连结A 1O ，当P 位于MN 的中点O 时，A 1P 的长度最短，此时A 1O ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522－⎝ ⎛⎭⎪⎫242＝324， 所以A 1O ≤A 1P ≤A 1M ，即324≤A 1P ≤52， 所以线段A 1P 长度的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤324，52 9．如图，在四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．求证：(1)AP ∥平面BEF ；(2)GH ∥平面PAD .证明：(1)连结EC ，因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ， 所以BC 綊AE ，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以O 为AC 的中点．又因为F 是PC 的中点，所以FO ∥AP ，因为FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，所以AP ∥平面BEF .(2)连结FH ，OH ，因为F ，H 分别是PC ，CD 的中点，所以FH ∥PD ，因为PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，所以FH ∥平面PAD . 又因为O 是AC 的中点，H 是CD 的中点，所以OH ∥AD ，因为AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ，所以OH ∥平面PAD .又FH ∩OH ＝H ，所以平面OHF ∥平面PAD .因为GH ⊂平面OHF ，所以GH ∥平面PAD .10.如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是BC ，CC 1，C 1D 1，A 1A 的中点．求证：(1)BF ∥HD 1；(2)EG ∥平面BB 1D 1D ；(3)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图所示，取BB 1的中点M ，连结MH ，MC 1，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，所以HD 1∥MC 1.又因为MC 1∥BF ，所以BF ∥HD 1.(2)取BD 的中点O ，连结EO ，D 1O ，则OE 綊12DC ， 又D 1G 綊12DC ，所以OE 綊D 1G ， 所以四边形OEGD 1是平行四边形，所以GE ∥D 1O .又GE ⊄平面BB 1D 1D ，D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，所以EG ∥平面BB 1D 1D .(3)由(1)知BF ∥HD 1，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1，HD 1⊂平面B 1D 1H ，BF ，BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1＝D 1，DB ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·某某期中)若半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，则这两个平面之间的距离为________．解析：∵半径为5的球被两个相互平行的平面截得的圆的半径分别为3和4，∴圆心到两个平面的距离分别为： 52－32＝4，52－42＝3，∴当两个平面位于球心同侧时，两平面间的距离为4－3＝1，当两个平面位于球心异侧时，两平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或72．如图所示，设正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点P 是棱AD 上一点，且AP ＝a 3，过B 1，D 1，P 的平面交平面ABCD 于P Q ，Q 在直线CD 上，则P Q ＝________. 解析：因为平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，而平面B 1D 1P ∩平面ABCD＝P Q ，平面B 1D 1P ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥P Q.又因为B 1D 1∥BD ，所以BD ∥P Q ，设P Q ∩AB ＝M ，因为AB ∥CD ，所以△APM ∽△DP Q.所以P Q PM ＝PD AP＝2， 即P Q ＝2PM .又知△APM ∽△ADB ，所以PM BD ＝AP AD ＝13， 所以PM ＝13BD ，又BD ＝2a ， 所以P Q ＝223a . 答案：223a 3．(2019·某某调研)如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1，E ，F 分别为CC 1，BB 1上的点，且EC ＝B 1F ，过点B 做截面BMN ，使得截面交线段AC于点M ，交线段CC 1于点N .(1)若EC ＝3BF ，试确定M ，N 的位置，使平面BMN ∥平面AEF ，并说明理由；(2)若K ，R 分别为AA 1，C 1B 1的中点，求证：KR ∥平面AEF .解：(1)当AM AC ＝EN EC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF . 理由如下：∵EN ＝13EC ，BF ＝13EC ， ∴EN 綊BF ，∴四边形BFEN 是平行四边形，∴BN ∥EF .∵AM AC ＝ENEC，∴MN ∥AE ，∵MN ⊂平面BMN ，BN ⊂平面BMN ，且MN ∩BN ＝N ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，且AE ∩EF ＝E ，∴当AMAC ＝ENEC ＝13时，平面BMN ∥平面AEF .(2)证明：连结BC 1，交FE 于点Q ，连结Q R .∵△B Q F ≌△C 1Q E ，∴B Q ＝C 1Q ，∴Q R ∥BB 1，且Q R ＝12BB 1，∴Q R 綊AK .∴四边形AKR Q 为平行四边形．连结A Q ，则A Q ∥KR ，∵A Q ⊂平面AEF ，KR ⊄平面AEF ，∴KR ∥平面AEF .。
高考数学一轮复习课件第八章第三节 直线、平面平行的判定与性质
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判断或证明线面平行的常用方法： (1)利用线面平行的定义(无公共点)； (2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)； (3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
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第八章 立体几何
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第三节 直线、平面平行的判定与 性质
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考纲要求： 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理 解空间中线面平行的有关性质与判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平 行关系的简单命题．
行四边形，故 AD1∥BC1，从而①正确；
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易证 BD∥B1D1，AB1∥DC1， 又 AB1∩B1D1＝B1，BD∩DC1＝D， 故平面 AB1D1∥平面 BDC1，从而②正确； 由图易知 AD1 与 DC1 异面，故③错误； 因 AD1∥BC1，AD1⊄平面 BDC1，BC1⊂平面 BDC1，故 AD1 ∥平面 BDC1，故④正确．
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2．若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系
是( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上均有可能
答案：D
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3．一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相
等，那么直线 l 与平面 α 的位置关系是( )
行⇒线线平行”)
图形语言
符号语言
2016届高考数学文一轮复习课件8.3直线、平面平行的判定与性质
∴S▱EFGH＝FG· GH· sin α
题型三
平行关系的综合应用
思维点拨
解析
思维升华
例3 如图所示， 在四面体ABCD
b ＝x· (a－x)· sin α a· bsin α ＝ a x(a－x).
和 CD ，试问截面在什么位置时 函数求最值. 其截面面积最大？
题型三
平行关系的综合应用
思维点拨
解析
思维升华
例3 如图所示， 在四面体ABCD
解 ∵AB∥平面EFGH，
平面 EFGH 与平面 ABC 和平
中，截面EFGH
平行于对棱AB
面ABD分别交于FG、EH.
∴AB∥FG，AB∥EH，
和 CD ，试问截面在什么位置时
数学 A（文）
第八章
立体几何
§8.3 直线、平面平行的判定与性
基础知识
自主学习
题型分类
思想方法 练出高分
深度剖析
感悟提高
1.直线与平面平行的判定与性质
图形 定义 判定 定理 a⊂α，b⊄α，a∥b b∥α 条件 a∩α＝∅ 结论 a∥α
图形
条件 a∥α
结论 a∩α＝∅
性质
a∥α，a⊂β，
B1D1⊂平面CD1B1，
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1； ∴BD∥平面CD1B1.
题型二
平面与平面平行的判 定与性质
解析
思维升华
∵A1D1綊B1C1綊BC， ∴ 四 边 形 A1BCD1 是 平 行 四边形，∴A1B∥D1C.
例2 (2013· 陕西)
如图，四棱柱ABCD
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂ －A1B1C1D1的底面ABCD是正方形， 平面CD1B1， O 为底面中心， A1O⊥ 平面 ABCD ， ∴A B∥平面CD B . AB＝AA1＝ 2.
高考数学一轮复习 8.3 直线、平面平行的判定与性质 理 苏教版
8.3 直线、平面平行的判定与性质一、填空题1．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，给出下列四个结论：①若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α；②若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β；③若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β；④若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β.其中正确结论的序号是________．解析 ①选项不正确，n 还有可能在平面α内；②选项不正确，平面α还有可能与平面β相交；③选项不正确，n 也有可能在平面β内，选项④正确．答案 ④2．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是________．解析 由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故填m ∥l 1，且n ∥l 2.答案 m ∥l 1且n ∥l 23.设m,n 是平面α内的两条不同直线;12l l ,是平面β内的两条相交直线.下面给出四个条件其中满足α∥β的一个充分而不必要条件是_______.①m ∥β且1l ∥α②m ∥1l 且n ∥2l ③m ∥β且n ∥β ④m ∥β且n ∥2l解析 对于②:∵m ∥1l ,且n ∥2l ,又1l 与2l 是平面β内的两条相交直线,∴α∥β,而当α∥β时不一定推出m ∥1l 且n ∥2l ,也可能异面.故选②.答案 ②4．已知直线a 不平行于平面α，给出下列四个结论：①α内的所有直线都与a 异面；②α内不存在与a 平行的直线；③α内的直线都与a 相交；④直线a 与平面α有公共点．以上正确命题的序号________．解析 因为直线a 不平行于平面α，则直线a 与平面α相交或直线a 在平面α内，所以选项①、②、③均不正确．答案 ④5．已知直线a ，b 和平面α，给出下列四个结论：①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊂α⇒a ⊥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ∥b ⇒b ⊥α； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥b b ⊥α⇒a ∥α或a ⊂α；④ ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αb ⊂α⇒a ∥b .以上正确结论的序号是________．解析 当a ∥α，b 在α内时，a 与b 的位置关系是平行或异面，故④不正确．答案 ①②③6．若平面α∥平面β，直线m ⊥α，直线m ⊥直线n ，则n 与β之间的位置关系是________． 解析 ∵α∥β，m ⊥α，∴m ⊥β.又m ⊥n ，故n ⊂β或n ∥β.答案 n ⊂β或n ∥β7．过三棱柱ABC-A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析 过三棱柱ABC-A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．答案 68．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是________．①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线；②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相平行，m 、n 互相平行，若m ∥α，则n ∥β；④若m 、n 在平面α内的射影互相平行，则m 、n 互相平行．解析 ①为假命题，②为真命题，在③中，n 可以平行于β，也可以在β内，故是假命题，在④中，m 、n 也可能异面，故为假命题．答案 ②9．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出下列六个命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑥ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. 其中正确的命题是________(将正确命题的序号都填上)．解析 ②中a 、b 的位置可能相交、平行、异面；③中α、β的位置可能相交． 答案 ①④⑤⑥10．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点．点M 在四边形EFGH 内部运动(包括边界)，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.解析 因为HN ∥平面B 1BDD 1，FH ∥平面B 1BDD 1，所以有平面FHN ∥平面B 1BDD 1.又M 在四边形EFGH 内部运动(包括边界)，所以当M ∈FH 时，有MN ∥平面B 1BDD 1.答案 M ∈FH11．对于平面M 与平面N ，有下列条件：①M 、N 都垂直于平面Q ；②M 、N 都平行于平面Q ；③M 内不共线的三点到N 的距离相等；④l ，m 为两条平行直线，且l ∥M ，m ∥N ；⑤l ，m 是异面直线，且l ∥M ，m ∥M ；l ∥N ，m ∥N ，则可判定平面M 与平面N 平行的条件是________(填正确结论的序号)．解析 由面面平行的判定定理及性质定理知，只有②⑤能判定M ∥N .答案 ②⑤12.已知m,n 是不同的直线αβ,,是不重合的平面,给出下列命题:①若m ∥α,则m 平行于平面α内的任意一条直线;②若α∥m n βαβ,⊂,⊂,则m ∥n;③若m n m αβ⊥,⊥,∥n,则α∥β;④若α∥m βα,⊂,则m ∥β.上面的命题中,真命题的序号是_____.(写出所有真命题的序号)解析 ①由m ∥α,则m 与α内的直线无公共点,∴m 与α内的直线平行或异面.故①不正确.②α∥β,则α内的直线与β内的直线无公共点,∴m 与n 平行或异面,故②不正确.③④正确.答案 ③④13．如图，两个正方形ABCD 和ADEF 所在平面互相垂直，设M ，N 分别是BD 和AE 的中点，那么：①AD ⊥MN ；②MN ∥平面CDE ；③MN ∥CE ；④MN ，CE 异面，其中正确结论的序号是________．答案 ①②③二、解答题 14．如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB 且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE .证明 过M 作MG ∥BC ，交AB 于点G ，如图所示，连接NG .∵MG ∥BC ，BC ⊂平面BCE ，MG ⊄平面BCE ，∴MG ∥平面BCE .又BG GA ＝CM MA ＝BN NF， ∴GN ∥AF ∥BE ，同样可证明GN ∥平面BCE .又MG ∩NG ＝G ，∴平面MNG ∥平面BCE .又MN ⊂平面MNG ，∴MN ∥平面BCE .15．如图所示，已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AA 1，CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF .若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面B 1FM .解析 连接AE ，在BE 上取点M ，使BE ＝4ME ，连接FM ，B 1M ，FB 1.在△BEA 中，∵BE ＝4ME ，AB ＝4AF ，∴MF ∥AE .又在平面AA 1C 1C 中，易证C 1D ∥AE ，∴C 1D ∥FM .∵C 1D ⊄平面FMB ，FM ⊂平面FMB ，∴C 1D ∥平面B 1FM .16．如图，在直棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.问：在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？并证明你的结论．解析 存在点P ，P 为A 1B 1的中点． 证明如下：由P 为A 1B 1的中点，有PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ，∴DC 綉PB 1， ∴四边形DCB 1P 为平行四边形，从而CB 1∥DP .又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.17．如图所示，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，直线l 是平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线．求证：l ∥平面A 1BD . 证明 ∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ，且平面A 1B 1C 1D 1∩平面AB 1D 1＝B 1D 1，平面ABCD ∩平面AB 1D 1＝l ，∴l ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，∴l ∥BD .又l ⊄平面A 1BD ，BD ⊂平面A 1BD ，∴l ∥平面A 1BD .18．如图，三棱柱ABCA 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M在何位置时，BM∥平面AEF?解析法一如图，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M. ∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC，∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM綉FB綉12 EC，∴四边形OMBF为矩形，∴BM∥OF，又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF.故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ，∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綉BF，PB∥EF，∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ∥平面AEF，又∵BQ⊂面PQB，∴BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．。
高考数学(理科)大一轮精准复习课件：8.3直线、平面平行的判定与性质
破考点考点清单考点一 直线与平面平行的判定与性质考向基础直线与平面平行的判定与性质言 语字 文判定定理V a 70考点考向清单 考点题霸集训性质定理- -厂仪〃=/a X 一//a朋 dn a(1) 在推证线面平行时，一定要强调直线6/不在平面内，直线b 在平面内，且d 〃b,否则会岀现错误•⑵一条直线平行于一个平面，它可以与平 面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平 行，也可能异面.(3加〃 a 的判定定理和性质定理使用的区别:如果结论中 有d 〃6C,则要用判定定理，在CC 内找与。
平行的直线;若条件中有则要 用性质定理，找(或作)过G 且与G 相交的平面.考向一证明直线与平面平行例1 (2017山西太原五中等名校联考,⑻如图，在边长为3的菱^ABCD 中,ZABC=60°・PA丄平面4BCQ,且为PD的中点,F在棱PA上，且AF=l.(1)求证:CE 〃平面BDF;⑵求点P到平面BDF的距离.C解析⑴证明:如图所示，取PF的中点G,连接EG,CG •连接AC交BD 于O, 连接FO・••• FOd平面GEC.GC u 平面GEC, FO //平面GEC. 又G为PF的中点,E为PD的中点,••• GE//FD・••• FDQ 平面GEC,GEu平面GEC、：・FD //平面GEC, 又FO A FD=F,FO u 平面BDF.FD u 平面BDF,•••平面GEC 〃平面BDF.T CEu平面GEC,:. CE//平面BDF.⑵J PA丄平面ABCD, ••• PA是三棱锥PABD的高, 又P4=3,S△沁二丄x3x3x逼二座，2 2 4品•_ 1 c PA_9•• y P-ABD——^^ABD9 r---------------- ，3 4冋理,V_ABD=—S^ABD-FA=,23 4•• yp-BDF= P-ABD~ F-ABEF1,1 j ( /J"、？IyS ABD^-BD^DF2-^j =- x3 设点P到平面BDF的距离为九Hill、/ -1 c 1 _3A/3 .1 3A/39. 3A/37vJ Vp.BDF 、HBDF，h—------ , — X ------- h—-------------3 2 34 2解得心念I,即点P到平面BDF的距离为念113 133A/39 ~T~考向二证明直线与直线平行例2 如图,在多面体ABCDEF中QE丄平^ABCD^D // BC,平面BCEF A 平\§\ADEF=EF, Z BAD=60° AB=2QE=EF= 1.(1)求证:BC//EF;⑵求三棱锥B-DEF的体积.解析（1）证明:9：AD// BCAD u 平面ADEF0CQ平面4DEF, BC 〃平[^ADEF.又BCu平面BCEF，平面BCEF0 平面ADEF=EF,:.BC//EF,••• DE 丄平面AB 平面AB CD, DE丄BH.T ADu 平面ADEFQEu 平面ADEFAD A DE=D.:.BH丄平®ADEF.••• 是三棱锥B-DEF的高.在RtAABH 中,故BH二也・••• DE 丄平^ABCDAD u 平面ABCD, Z. DE 丄AD. 由(1)知BC // EF^AD // BC,:.AD//EFS.DE丄EF・•••三棱锥B-DEF的体积V=-S^DEF BH=- XJ L x 1 x 1 x 盯二VI.3 3 2 6考点二平面与平面平行的判定与性质考向基础平面与平面平行的判定和性质知识拓展1•与平面平行有关的几个常用结论(1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；(2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行；(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例;(4)同一条直线与两个平行平面所成角相等.2.平行问题的转化方向图线线平行线面平行面面平行的性质-面面丫行・利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反. 在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.考向突破考向一证明平面与平面平行例1 (2018河北衡水中学模拟，⑼如图,直角梯^ABCD与梯形EFCD全等，其中AB//CD// EFAD=AB= -CD= 1,且ED 丄平面点G是CD 的中占I 八、、•(1)求证:平面BCF 〃平面AGE;(2)求平面与平IUGE间的距离.解析（1）证明:9：AB// CDAB= -CD.G是CD的中点, •••四边形ABCG 为平行四边形S.BC//AG.又VAG u平面4EG0CQ平面4EG,:.BC〃平面AEG.•••直角梯形4BCD与梯形EFCQ全等,EF〃CD〃AB, ••• EF=AB,:.四边形ABFE为平行四边形,：.BF//AE. 又VAE u 平面AEG,BFQ平面AEG, BF//平面AEG. 9：BFHBC=B.:.平面BCF 〃平面AGE. （6分）⑵设点C到平面AGE的距离为〃. 易矢\]AE=EG=AG=运.（7 分）连接EC 、AC,由 V aAGE =V E ,ACG ,W lx^.sin 60^4x1 CG.AD.DE•••平面3(7尸〃平面46£,.••平面BCF 与平面遊间的距离为半即厶 CG ・AD ・DE （10 分）（12 分）考向二平行关系中的存在性问题例2 （2017山西临汾三模,18）如图，梯形ABCD中,ZB4D二Z4DC=90。
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解析
思维升华
∵A1D1綊B1C1綊BC， ∴ 四 边 形 A1BCD1 是 平 行 四边形，∴A1B∥D1C. 又 A1B ⊄ 平 面 CD1B1 ， D1C⊂平面CD1B1，
A1B1C1D1的底面ABCD
是正方形，O为底面中心，A1O⊥ ∴A B∥平面CD B . 1 1 1 平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 . 又∵BD∩A1B＝B， (1) 证明：平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 ；∴平面A1BD∥平面CD1B1.
解析
思维升华
判断或证明线面平行的常用 方法：(1)利用线面平行的定 义 ( 无公共点 ) ； (2) 利用线面 平行的判定定理 (a ⊄ α ， b⊂α ， a∥b⇒a∥α) ； (3) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理 (α∥β ， a⊂α⇒a∥β) ； (4) 利用面面平 行 的 性 质 (α∥β ， a ⊄ β ， a∥α⇒a∥β).
∴S▱EFGH＝FG· GH· sin α
对棱 AB 和 CD ，试问截面在什么
位置时其截面面积最大？
b ＝x· (a－x)· sin α a· bsin α ＝ a x(a－x).
思维点拨
解析
思维升华
题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于
A1B1C1D1的底面ABCD 平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 .
是正方形，O为底面中心，A1O⊥ 又 BD ⊄ 平 面 CD1B1 ， (1) 证明：平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 ；∴BD∥平面CD1B1.
题型二 平面与平面平行的判 定与性质
例2 (2013· 陕西) 如图，四棱柱ABCD－
EF∥GH， ∴截面EFGH是平行四边形.
对棱 AB 和 CD ，试问截面在什么 ∴FG∥EH，同理可证
位置时其截面面积最大？
思维点拨
解析
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题型三 平行关系的综合应用 设AB＝a，CD＝b，∠FGH
例3 如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于
＝ α (α 即为异面直线 AB 和
思维点拨
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题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于
对棱 AB 和 CD ，试问截面在什么
位置时其截面面积最大？
思维点拨
解析
思维升华
题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于 利用线面平行的性质可
以得到线线平行，可以
CD所成的角或其补角).
又设FG＝x，GH＝y，
则由平面几何知识可得 x CG y BG a＝ BC ，b＝BC，
对棱 AB 和 CD ，试问截面在什么
位置时其截面面积最大？
思维点拨
解析
思维升华
题型三 平行关系的综合应用
例3 如图所示， 在四面体ABCD中， 截面EFGH平行于
x y 两式相加得a＋b＝1， b 即 y＝a(a－x)，
跟踪训练 1
(2013· 福建改编 ) 如图，在四棱锥 P—
ABCD 中， PD⊥ 平面 ABCD ， AB∥DC ， AB⊥AD ，
BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°. (1)若M为PA的中点，求证：DM∥平面PBC； 方法一 证明 如图①，取PB中点N， 连结MN，CN. 在△PAB中，∵M是 PA的中点，
解析
思维升华
题型一 直线与平面平行的判 定与性质
例1 (2014· 山东改编)如图，四棱
锥P－ABCD中， AD∥BC，AB＝ BC ＝1 AD ， E ， F ， H 分别为线段 2 AD，PC，CD的中点，AC与BE交 于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP∥平面BEF；
解析
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证明 连结EC，
∴DM∥平面PBC.
(2)求三棱锥D—PBC的体积.
1 解 VD—PBC＝VP—DBC＝3S△DBC· PD，
又 S△DBC＝6，PD＝4 3， 所以 VD—PBC＝8 3.
题型二 平面与平面平行的判 定与性质
例2 (2013· 陕西) 如图，四棱柱ABCD－
解析
思维升华
A1B1C1D1的底面ABCD
∴DE∥BC，又DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
∴DE∥平面PBC. 又在△PAB中，ME∥PB， ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
又在△PAB中，ME∥PB，
ME ⊄平面PBC，PB ⊂平面PBC， ∴ME∥平面PBC，又DE∩ME＝E， ∴平面DME∥平面PBC. 又DM ⊂平面DME，
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连结SD， ∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1，由(1)知， EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG， FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
解析
思维升华
FO⊂平面BEF， AP⊄平面BEF，
∴AP∥平面BEF.
题型一 直线与平面平行的判 定与性质
例1 (2014· 山东改编)如图，四棱
锥P－ABCD中， AD∥BC，AB＝ BC ＝1 AD ， E ， F ， H 分别为线段 2 AD，PC，CD的中点，AC与BE交 于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP∥平面BEF；
题型二 平面与平面平行的判 定与性质
例2 (2013· 陕西) 如图，四棱柱ABCD－
解析
思维升华
证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义； 如果一个平面内有两条 个平面，那么这两个平
(2) 面面平行的判定定理：
A1B1C1D1的底面ABCD 平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 .
是正方形，O为底面中心，A1O⊥ 相交直线都平行于另一 (1) 证明：平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 ；面平行；
例2 (2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
解 ∵A1O⊥平面ABCD， ∴A1O是三棱柱ABD－A1B1D1的高． 1 又∵AO＝2AC＝1，AA1＝ 2，
2 ∴A1O＝ AA2 － OA ＝1. 1
例2 (2)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.
1 又∵S△ABD＝2× 2× 2＝1，
∴VABD A B D ＝S△ABD×A1O＝1.
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
∴OH∥AD， ∴OH∥平面PAD. 又FH∩OH＝H， ∴平面OHF∥平面PAD.
又 ∵GH⊂ 平 面 OHF ，
∴GH∥平面PAD.
思维点拨
解析
思维升华
例1 (2)求证：GH∥平面PAD.
判断或证明线面平行的常用 方法：(1)利用线面平行的定 义 ( 无公共点 ) ； (2) 利用线面 平行的判定定理 (a ⊄ α ， b⊂α ， a∥b⇒a∥α) ； (3) 利 用 面 面 平 行 的 性 质 定 理 (α∥β ， a⊂α⇒a∥β) ； (4) 利用面面平 行 的 性 质 (α∥β ， a ⊄ β ， a∥α⇒a∥β).
线平行或异面.( √ )
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (4)空间四边形 ABCD中，E，F分别是AB，AD 的中点，
则EF∥平面BCD.( √ )
(5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × )
题号
1
答案
①或③ ①②④
2
解析
2
3
4
②
因为α∥β，a⊂α，所以a∥β， 在平面β内存在无数条直线与直线a平行， 但不是所有直线都与直线a平行，
_____ a ∥α
a∥α，a⊂β， ____________ α∩β＝b ________ a∥b _____
结论
a∥α
a∩α＝∅ ________
2.面面平行的判定与性质
判定 性质
定义
图
定理
形
a⊂β，b⊂β， ___________ α∥β ， α∩γ ___________
α∩β＝∅ _________ a∩b＝P， 条件 ________
故命题②为真命题，命题①为假命题.
在平面β内存在无数条直线与直线 a垂直，故命题③
为假命题.
题型一 直线与平面平行的判 定与性质
例1 (2014· 山东改编)如图，四棱
锥P－ABCD中， AD∥BC，AB＝ BC ＝1 AD ， E ， F ， H 分别为线段 2 AD，PC，CD的中点，AC与BE交 于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP∥平面BEF；
数学
苏（理）
第八章 立体几何
§8.3 直线、平面平行的判定与 性质
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高
练出高分
1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质
定义
图
定理
形
条件 ________ a∩α＝∅
a⊂α ， b ⊄ α ， ___________
a∥b _____ b∥α
题型二 平面与平面平行的判 定与性质
例2 (2013· 陕西) 如图，四棱柱ABCD－
解析
思维升华
(3) 利用垂直于同一条直
线的两个平面平行；
(4) 两个平面同时平行于
第三个平面，那么这两个 平面平行；
A1B1C1D1的底面ABCD
是正方形，O为底面中心，A1O⊥ (5) 利用 “ 线线平行 ” 、 平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 . “线面平行”、“面面平 (1) 证明：平面 A1BD∥ 平面 CD1B1 ；行”的相互转化.
先确定截面形状，再建 立目标函数求最值.