高二数学直线与圆单元练习题
第二章 直线与圆的方程单元测试卷-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线与圆的方程满分卷-2021-2020人教A （2019）高二（上）选择性必修第一册一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3C D ．77．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为1012．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ． 15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y++=和圆22+=，P是直线l上一O x y:1点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（1）若PA PB⊥，求点P的坐标；（2）求线段PA长的最小值；（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<解：由图象知，直线1l 、2l 、3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α， 且1(2πα∈，)π，3202παα<<<；所以对应的斜率分别为10k <，320k k <<， 即132k k k <<． 故选：D ．2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，12l l ⊥， (1)40a a ∴⨯+-⨯=，240a ∴-=，2a ∴=±， 2a ∴=是12l l ⊥的充分不必要条件，故选：A ．3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-． 直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-．[0α∴∈，3][44ππ，)π． 故选：D ．4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=． 故选：D ．5．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解：直线1l 的斜率是：2-， 直线2l 的斜率是：12， 由1212-⨯=-，得直线垂直， 故选：B ．6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3CD ．7解：22226825(3)(4)S x y x y x y =+--+=-+-， 实数x ，y 满足224x y +=，22(3)(4)S x y ∴=-+-的几何意义为圆224x y +=上的动点与定点(3,4)M 的距离的平方， 如图，||5OM =，2(52)49max S ∴=+=，2(52)9min S =-=．∴函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为49，9．故选：A ．7．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=解：直线l 与直线2310x y +-=垂直， 所以直线l 的斜率为32， 又直线l 经过点(1,2)P -，所以直线l 的方程为：3(2)(1)2y x --=-，化简得：3270x y --= 故选：C ．8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．解：关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线，直线的斜率为a ，在y 轴上的截距为1a-，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于1-，图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满足条件，故排除A ；图B 中，直线的斜率小于1，它在y 轴上的截距大于1-小于零，这不满足条件，故排除B ； 图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满足条件，故排除C ；图D 中，直线的斜率小于1-，它在y 轴上的截距大于零小于1，能满足条件，故D 可能成立， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 解：对于A ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故A 正确；对于B ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 恒过定点(2,0)-，故B 错误；对于C ，若4r >，则直线l 所过定点(2,0)-在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D ，若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的最大值为8，最小值为=即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为，8]，故D 错误． 故选：AC ．10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行 解：若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l l 或重合，A 错误； 若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，B 错误；若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l l 或重合，C 错误； 若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 一定不平行，D 正确． 故选：ABC ．11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为10解：对于A ，直线:(2)30n y x λ-+-=，所以直线n 过点(3,2)，故A 错误； 对于B ，1(1)0λλ⨯+-⨯=，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，因为PA PB ⊥，所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故C 错误； 对于D ，222202PA PB AB PA PB +==⨯，所以D 正确． 故选：BD ．12．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大， 此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ， 则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故92ACBD S 四边形， 分析选项：BC 符合题意， 故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ． 解：如图，显然点P 在直线AB 下方，直线AP 的斜率为21121AP k +==+，直线BP 的斜率BP k == 所以若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点， 则直线l 斜率BP k k ，或者AP k k ， 所以3k -或者1k ，故答案为：(-∞，[1，)+∞．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ．解：圆222410x y x y +---=化简可得22(1)(2)6x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，，圆心到直线210x y -+==< ∴直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是相交，故答案为：相交．15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ． 解：直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离85d ==．故答案为：85．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 解：圆222440x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=，表示以(1,2)C -为圆心，半径为1的圆．由于圆心(1,2)C -到直线3490x y -+=的距离4d ==，故动点P 到直线3490x y -+=的距离的最小值与最大值分别为3，5， 故答案为：5，3． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则(2,1)D -， 由圆的性质得CD AB ⊥， 所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >， 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =-，所以圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=； （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)P 斜率为34， 则直线l 的方程为324y x =+， 圆心(1,0)C -到直线l的距离为3|2|1d -==，所以MN ==18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程． 解：（1）根据题意，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =， 圆心到直线y x =的距离d =则直线y x =被圆截得的弦长2l == 故直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为（2）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =， 若切线的斜率不存在，则切线的方程为3x =，符合题意；若切线的斜率存在，则设切线的斜率为k ，则切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，则有1d ==，解可得：34k =，此时切线的方程为3410x y --=．综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线:40l x -=交x 轴于(4,0)M ，圆心半径2r ==，所以圆的方程224x y +=．（2）如图，直线NP 与圆相切，设PNO α∠=，则2sin ONα=， 根据图象，N 越靠近O 点，ON 越小，sin α越大，由2sin 452ON ︒==，得ON = 设(,3)N x x -，由距离公式22(3)8x x +-=，解得x =0372x +．（3）AMO BMO ∠=∠，若直线L 的斜率不存在，显然S 点存在； 当斜率存在时，设:L y kx m =+，L 与圆的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据题意只需0AM BM k k +=，即1212044y yx x +=--， 把11y kx m =+，22y kx m =+带人并化简得12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， 把L 与圆联立解方程224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得12221kmx x k +=-+，212241m x x k -=+， 带入上式222422(2)8011m kmk m k m k k ----=++，化简得0k m +=，即m k =-，所以:(1)L y k x =-，恒过(1,0)点．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 解：（Ⅰ）圆的方程为224210x y x y ++-+=，即22(2)(1)4x y ++-=，∴圆心为(2,1)-，半径为2r =，则圆心到直线的距离d r =，∴直线与圆相交．（Ⅱ）弦长2l ==． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P 且斜率为k 的直线l 与圆M 相切，求k 的值． 解：（Ⅰ）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有222222222(4)(0)(2)(0)(1)(3)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩，解得1a =，0b =，3r =，所以圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=； （Ⅱ）因为直线l 过点(2,3)P 且斜率为k ，则直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心到直线l3=，解得0k =或34-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由．解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P=P 在直线20x y ++=上，设(,2)P x x --，则||OP =1x =-， 故(1,1)P --；（2）由22||||1PA PO =-，可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小． 线段PO 长的最小值，即点O 到直线l 的距离，故||min PO ==∴||1min PA ==；（3）设0(P x ，02)x --，则以OP 为直径的圆的方程为222200002(2)()()224x x x x x y --+---+-=， 化简得：2200(2)0x x x x y y -+++=，与221x y +=联立， 可得AB 所在直线方程为00(2)1x x x y -+=，联立0022(2)11x x x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得22200000(244)2430x x x x x x x ++----=， Q ∴的坐标为002200002(,)244244x x x x x x --++++， 可得Q 点轨迹为22111()()448x y +++=，圆心11(,)44--，半径4R =．故存在点11(,)44T --，使得线段TQ 长为定值．。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案).doc
高二直线和圆的方程单元测试卷班级： 姓名：一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线 l 经过 A （2， 1）、B （ 1，m 2） (m ∈ R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取值范围是A ． [0, )B ． [ 0, ] [3 C ． [0, ], )444D ． [0, ](, ) 422. 如果直线 (2a+5) x+( a － 2)y+4=0 与直线 (2－ a)x+(a+3)y － 1=0 互相垂直，则 a 的值等于 A ． 2 B ．－ 2C ． 2,－ 2D ．2,0,－ 2 3.已知圆 O 的方程为 x 2＋ y 2＝ r 2，点 P （ a ，b ）（ ab ≠ 0）是圆 O 内一点，以P为中点的弦所在的直线为 m ，直线 n 的方程为 ax ＋by ＝ r 2，则A ．m ∥n ，且 n 与圆 O 相交B ． m ∥ n ，且 n 与圆 O 相 离C ． m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离D ．m ⊥ n ，且 n 与圆 O 相离4. 若直线 ax2by 2 0( a,b 0) 始终平分圆 x 2y 2 4x 2 y8 0 的周长，则12a b的最小值为A ．1B ． 5 C．4 2D ． 3 225. M (x 0 , y 0 ) 为 圆 x 2 y 2a 2 ( a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线x 0 x y 0 y a 2 与该圆的位置关系为A ．相切 B．相交C．相离 D ．相切或相交6. 已知两点 M （ 2，－ 3）， N （－ 3，－ 2），直线 L 过点 P （ 1， 1）且与线段 MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是A ．3≤k ≤ 4B ． k ≥ 3或 k ≤－ 4C ． 3≤ k ≤ 4D ．－34444≤ k ≤45) 2 1)27. 过直线 y x 上的一点作圆 (x ( y 2 的两条切线 l 1， l 2 ，当直 线 l 1， l 2 关于 yx 对称时，它们之间的夹角为A ． 30oB ． 45oC ． 60oD ． 90ox y 1 01x 、yy1 0，那么 xy8满足条件4()的最大值为．如果实数2xy 1 0A ． 2B． 1C．1D．19 (0, a),1x 2 y224其斜率为 ，且与圆2相切，则 a 的值为．设直线过点Ａ．4Ｂ． 2 2Ｃ．2Ｄ．210．如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线，l 1 与 l 2 间的距离是 1，l 2 与 l 3 间的距离是 2，正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、l 2 、l 3 上，则⊿ ABC的边长是A. 23 4 63 172 21B.3 C.4D.3一、选择题答案123 45 678910二、填空题： 本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．答案填在题中横线上．11．已知直线 l 1 : x y sin 1 0 ， l 2 : 2x siny 1 0 ，若 l 1 // l 2 ，则．12．有下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线的斜率乘积为－ 1, 则其必互相垂直；③过点（－ 1，1），且斜率为 2 的直线方程是y 1 2 ；x1④同垂直于 x 轴的两条直线一定都和 y 轴平行 ;⑤若直线的倾斜角为 ，则 0 .其中为真命题的有 _____________( 填写序号 ).13．直线 Ax ＋ By ＋C ＝ 0 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 相交于两点 M 、 N ，若满足 C 2＝ A 2＋ uuuuruuurB 2，则 OM · ON （ O 为坐标原点）等于 _ .14．已知函数 f ( x) x 22x 3 ，集合 Mx, y f ( x) f ( y) 0 ， 集 合 N x, y f ( x) f ( y) 0 ， 则 集 合 MN 的 面 积是；15．集合P ( x, y) | x y 5 0，x N*，y N*｝，Q ( x, y) | 2x y m 0 ，M x, y) | z x y ， ( x, y) ( P Q)，若z 取最大值时，M(3,1) ，则实数m的取值范围是；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12 分）已知ABC 的顶点A为（3，－1），AB边上的中线所在直线方程为6x 10 y 59 0， B 的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．17．（本小题满分12 分）某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元， 2 千元。
第二章 直线和圆的方程单元检测卷(能力挑战卷)2022高二数学(选择性必修第一册)
第二章直线和圆的方程（能力挑战卷）一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线1:10l x my ++=和2:420l mx y ++=互相平行,则实数m 的值为()A.2- B.2 C.2± D.2或42.圆心在y 轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.22(2)1x y +-= B.22(2)1x y ++= C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(2)(3)1x y -+-=3.圆22210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1x y -=对称,则实数a 的值为()A.2- B.1 C.2± D.24.设直线y x =222:O x y a +=相交于,A B 两点,且||AB =,则圆O 的面积为()A.π B.2π C.4π D.8π5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230x y --=的距离为() A.55 B.255 C.355 D.4556.已知,P Q 分别为圆2:(6)(M x y -+-23)4=与圆22:(4)(2)1N x y ++-=上的动点,A 为x 轴上的动点,则||||AP AQ +的最小值为（）A.3-3- C.3- D.3-7.已知在平面直角坐标系中,ABC ∆的三个顶点分别是(0,3),(3,3)A B ,(2,0)C ,若直线x a =将ABC ∆分割成面积相等的两部分,则实数a 的值是() A. B.212+ C.313+ D.222-8.我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术,也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,即圆内接正多边形边数无限增加时,其周长就越逼近圆周长.先作出圆222x y +=的一个内接正八边形,使该八边形的其4个顶点在坐标轴上,则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为（）A.1)0x y +-= B.(10x y -+=C.1)0x y -=D.1)0x y -+=二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知圆22:(cos )(sin )1M x y θθ++-=,直线:l y kx =,下面四个命题,其中真命题是（）A.对任意实数k 与θ,直线l 与圆M 相切B.对任意实数k 与θ,直线l 与圆M 有公共点C.对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 与圆M 相切D.对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 与圆M 相切10.已知点(3,1)M ,圆22:(1)(2)4C x y -+-=,过点M 的圆C 的切线方程可能为()A.30x -= B.20x -= C.3450x y --=D.3450x y +-=11.若曲线1y =+与直线:(l y k x =-2)4+有两个交点,则实数k 的值可以是（）A.0.3 B.0.75 C.0.8 D.0.612.已知圆22111:0M x y D x E y F ++++=与22222:0N x y D x E y F ++++=的圆心不重合,直线()()121212:0l D D x E E y F F -+-+-=.下列说法正确的是()A.若两圆相交,则l 是两圆的公共弦所在的直线B.直线l 过线段MN 的中点C.过直线l 上一点(P 在两圆外)分别作圆M 圆N 的切线,切点为,A B ,则||||PA PB =D.直线l 与直线MN 相互垂直三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过直线:0l x y +-=上一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为,E F ,若60EPF ∠=︒,则点P 的坐标为14.已知0,0a b >>,直线1:(1)l a x y -+-210,:210l x by =++=,且12l l ⊥,则21a b+的最小值为15.已知直线:(4)l y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,则点M 的轨迹方程为;点M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为.（本题第一空分,第二空3分）16.在平面直角坐标系xOy 中,已知点(1,0)A -,(5,0)B .若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一的点P ,使得直线,PA PB 在y 轴上的截距之积为5,则实数m 的值为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知直线l 过直线250x y +-=与20x y -=的交点.(1)若点(5,0)A 到直线l 距离为3,求直线l 的方程;(2)求点(5,0)A 到直线l 距离的最大值.18.(12分)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的横线中,并加以解答.条件①:直线l 与直线4350x y -+=垂直;条件②:直线l 的一个方向向量为(4,3)a =-;条件③:直线l 与直线3420x y ++=平行.已知直线l 过点(1,2)P -,且(1)求直线l 的一般式方程;(2)若直线l 与圆225x y +=相交于,P Q ,求弦长|PQ .注:如选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.19.(12分)已知圆22:240C x y x y m ++-+=与y 轴相切,O 为坐标原点,动点P 在圆外,过P 作圆C 的切线,切点为M .(1)求圆C 的圆心坐标及半径;(2)求满足||2||PM PO =的点P 的轨迹方程.20.(12分)已知圆22:(4)4M x y +-=，P 是直线:20l x y -=上的动点，过点P 作圆M的切线PA ，切点为A .(1)当切线PA 的长度为P 的坐标.(2)若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当点P 运动时，圆N 是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由.21.(12分)已知ABC 的三个顶点分别为()20A -，，()20B ，，()02C ，．（1）若过()12P ，的直线y ax b =+将ABC 分割为面积相等的两部分，求b 的值；（2）一束光线从()10E ，点出发射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射到x 轴上的F 点，最后再经x 轴反射，反射光线所在直线为l ，证明直线l 经过一定点，并求出此定点的坐标．22.(12分)已知圆22:860C x y x y F +--+=与圆22:4O x y +=相外切，切点为A ，过点()4,1P 的直线与圆C 交于点M ，N ，线段MN 的中点为Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）若AQ AP =，点P 与点Q 不重合，求直线MN 的方程及AMN 的面积.参考答案1.A 【解析】因为直线1:10l x my ++=和2:420l mx y ++=互相平行,所以2140m ⨯-=,解得2m =或2m =-.当2m =时,1:210l x y ++=与2:2420l x y ++=重合,不符合题意,故2m =-.故选A .2.【解析】方法一(直接法)设圆心坐标为(0,)b ,则由题意知22(01)(2)1b -+-=,解得2b =,故圆的方程为22(2)1x y +-=.故选A .方法二(数形结合法)根据点(1,2)到圆心的距离为1,作图易知圆心为(0,2),故圆的方程为22(2)1x y +-=.故选A .方法三(验证法)将点(1,2)代人四个选项,可排除B,D ,又圆心在y 轴上,所以排除C .故选A .3.D 【解析】因为圆22210x y ax y +-++=的圆心坐标为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,圆221x y +=的圆心坐标为(0,0),所以两圆心的中点坐标为1,42a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又两圆关于直线1x y -=对称,所以点1,42a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线1x y -=上,所以1142a -+=,解得2a =故选D .4.C 【解析】圆222:O x y a +=的圆心坐标为(0,0),半径为||a ,直线y x =-2圆222:O x y a +=相交于,A B 两点,且||23,AB =∴圆心(0,0)到直线2y x =-的距离22|2|1,1(3)2d a -==∴+=,即24a =,圆的半径||2,r a ==∴圆O 的面积4S π=,故选C.5.B 【解析】因为圆与两坐标轴都相切,且点(2,1)在该圆上,所以可设圆的方程为222()()x a y a a -+-=,所以222(2)(1)a a a -+-=,即2a -650a +=,解得1a =或5a =,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线230x y --=的距离为2212113|2552(1)⨯--=+-或22|2553|2(1)⨯--=+-255,故选B .6.A 【解析】圆22:(4)(2)1N x y ++-=关于x 轴对称的圆为:(N x '+224)(2)1y ++=,则||||AP AQ +的最小值为12MN '--=221053553+-=-,故选A .7.A 【解析】如图所示,易知直线AB 的方程是y =3直线AC 的方程是123x y +=,即32x y +-60=,且直线x a =只与边,AB AC 相交.设直线x a =与AB 交于点D ,AC 交于点E ,则点D ,E 的坐标分别为63(,3),,2a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭,从而6331||3,||222ADE a DE a S AD ∆-=-==.2133||224DE a a a =⋅=(1).又ABC S ∆=1933,22⨯⨯=所以1924ADE ABC S S ∆∆==(2),由(1)-(2)得23944a =,解得a =a =舍去),故选A .8.C 【解析】如图所示,可知(1,1)A B ,(1,1),(C D E -所以,,, AB BC CD DE 所在直线的方程分别为(11)y x y x y x y x =-=-+=+=+,1)0,(1x y x +-=--1)0,1)0y x y x y +=-+=-+=,故选C.9.BD 【解析】由题意知,圆心坐标(cos ,sin )θθ-,圆心M 到直线l 的距离为|sin()|1d θα==+ (其中tan k α=),所以对任意实数k 与θ,直线l 与圆M 有公共点,且对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 与圆M 相切.故选BD .10.AC 【解析】由题意得圆心(1,2)C ,半径222.(31)(12)r =-+-= 程为3x =,即30x -=.又点(1,2)C 到直线30x -=的距离3d =12,r ==∴直线30x -=是圆C 的切线.当过点M 的圆C 的切线的斜率存在时,设切线方程为1(3)y k x -=-,即130kx y k -+-=,则圆心C 到切线的距离2d ==,解得3,4k =∴切线方程为31(3)4y x -=-,即3450x y --=.综上可得,过点M 的圆C 的切线方程为30x -=或3450x y --=.故选AC.11.BD 【解析】曲线1y =+可化为22(1)4,22x y x +-=- ,1y ,所以曲线1y =+是以(0,1)为圆心,2为半径的半圆.如图,直线:(2)4l y k x =-+恒过点(2,4)A .当直线l 与半圆相切时,圆心到直线l 的距离2d r ==,2=,解得512k =.当直线l 过点(2,1)B -时,直线l 的斜率为4132(2)4-=--.因为曲线1y =+与直线:(2)4l y k x =-+有两个交点,所以实数k 的取值范围为53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选BD.12.BD 【解析】A 中,若2112212A F F A F F ⋅=,则()()a c a c --=2(2)c ,即2c a c =-或2c c a =-(舍去),解得15132c a -=≠,所以A 不正确B 中,连接1112,B F B A ,若11290F B A ∠=︒,则由射影定理可得2112OB F O OA =⋅,即2b ca =,所以220c ca a +-=,即210,e e e +-=∈(0,1),解得512e =,所以B 正确;C 中,连接1,PF PO ,若1PF ⊥x 轴,且21//PO A B ,则且直线PO 与直线21A B 的斜率相等,所以2b bac a =--,即b c =,所以2c e a ===,所以C 不正确;D 中,连接122211,,A B A B A B ,则四边形1221A B A B 为菱形,若四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F ,则内切圆的圆心为原点,圆心到直线21A B 的距离等于c ,因为直线21A B 的方程为1x y a b+=,即0bx ay ab +-=,所以原点到直线21A B的距离d c ==,222b a c =-,整理得()()2222222a a c c a c -=-,所以42310e e -+=,2(0,1)e ∈,解得232e =,所以1,D 2e -==正确.故选BD.13.【解析】因为60EPF ∠=︒,所以30OPE OPF ∠=∠=︒,因为OE PE ⊥,所以||2||2OP OE ==.设(,),P x x -由||2OP ==,解得x =,故点P的坐标为.14.8【解析】因为12l l ⊥,所以(1)1120a b -⨯+⨯=,即21a b +=.因为0,0a b >>,所以21214(2)224b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++++ ⎪⎝⎭8=,当且仅当4b a a b =,即11,24a b ==时等号成立,所以21a b +的最小值为8.15.22(3)1(4)x y x ++=≠-,2.【解析】由题意知圆22(2)4x y ++=的圆心为(2,0)-,半径2r =,所以圆心(2,0)-到直线:(4)l y k x =+的距离2d ==<.直线:(4)l y k x =+过定点(4,0)-,且点(4,0)-在圆22(2)4x y ++=上,不妨设(4,0),(,)(4)A M x y x -≠-,()11,B x y ,则11242x x y y =+⎧⎨=⎩,将(24,2)x y +代人22(2)4x y ++=,得22(3)1(4)x y x ++=≠-,所以点M 的轨迹是以(3,0)-为圆心,以1为半径的圆(除去点(4,0))A -,则点M 到直线3460x y +-=的距离的最小值为|336|125-⨯--=.16.【解析】根据题意,设点P 的坐标为(,)a b ,则直线PA 的方程为(1)1b y x a =++,其在y 轴上的截距为1b a +,直线PB 的方程为y =(5)5b x a --,其在y 轴上的截距为55b a --.若点P 满足使得直线,PA PB 在y 轴上的截距之积为5,则有5515b b a a ⎛⎫⨯-= ⎪+-⎝⎭,变形可得22(2)b a +-=9,则点P 在圆22(2)9x y -+=上.若圆22:(4)()4M x y m -+-=上存在唯一的点P 满足题意,则圆M 与圆22(2)9x y -+=有且只有一个公共点,即两圆内切或外切.又两圆的圆心距为2,所以两圆外切,所以2425m +=,解得m =.17.【解析】（1）由250 20x y x y +-=⎧⎨-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩,所以交点坐标为(2,1).（1分)当直l 的斜率存在时,设l 的方程为1(2)y k x -=-,即12kx y k -+-=0则点A 到直线l3=,解得43k =,所以l 的方程为4350x y --=;（3分)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为2x =,符合题意.故直线l 的方程为4350x y --=或2x =（5分)(2)设直线250x y +-=与20x y -=的交点为P ,由(1)可知(2,1)P ,过点P 任意作直线l(如图所示),设d 为点A 到直线l 的距离,则d PA (当l PA ⊥时,等号成立),(8分)由两点间的距离公式可知||PA =..(10分)18.【解析】(1)选条件①.直线4350x y -+=的斜率为4,3(2分)因为直线l 与直线4350x y -+=垂直,所以l 的斜率为34-.(4分)又直线l 过点(1,2)P -,所以直线l 的方程为32(1)4y x +=--,即3450x y ++=.(6分)选条件②.因为直线l 的一个方向向量为(4,3)a =-,所以直线l 的斜率为34-.2分)又直线l 过点(1,2)P -所以直线l 的方程为32(1)4y x +=--,即3450x y ++=.(6分)选条件③.直线3420x y ++=的斜率为34-,因为直线l 与直线3420x y ++=平行,所以直线l 的斜率为34-.(4分)又直线l 过点(1,2)P -,所以直线l 的方程为32(1)4y x +=--,即3450x y ++=(6分)(2)圆225x y +=的半径r =,圆心(0,0)到直线:3450l x y ++=的距离为1d ==,(8分)设PQ的中点为,||2M PM ===,所以||2||224PQ PM ==⨯=（12分)19.【解析】(1)圆22:240C x y x y m ++-+=可化为22(1)(2)x y ++-=5m -所以圆C 的圆心坐标为(1,2)-.又圆C 与y 轴相切,1=即4m =,故圆C 的半径为1.(6分)(2)设(,)P x y ,则22222||||||(1)(2)1PM PC MC x y =-=++--,222||PO x y =+（8分)由于||2||PM PO =,则()2222(1)(2)14x y x y ++--=+,整理得点P 的轨迹方程为221217339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（12分)20．(1)(0,0)或168 ,55⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)过定点，定点(0,4)和84,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)由题可知圆M 的圆心为(0,4)M ，半径2r =.设(2,)P b b ，因为PA 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒.在Rt MAP △中，222MP AM AP =+，故4MP =.又MP =，4=，解得0b =或85.所以点P 的坐标为(0,0)或168 ,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)因为90MAP ∠=︒，所以PAM △的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆，且MP 的中点坐标为4,2b b +⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以圆N 的方程为()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，即()22(24)40x y b x y y +--+-=.由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩，解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆N 过定点(0,4)和84,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.21．（1）2b =-；（2）证明见解析，()14--，．（1）直线BC 的方程为：20x y―+=，直线y ax b =+只能与BC 、AB 相交，其与BC 的交点为Q 点，由2y ax b x y =+⎧⎨+=⎩得21Q b a y a +=+，0Q y >，直线y ax b =+与x 轴交点为0b R a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，22b a-<<，由12BR BQBA CB =12=，化简得：()2(2)41b a a a +=+，又2b a +=，231280b b ∴-+=，解得：2b =而20a b =->，2b ∴=（2）设()0F m ，，直线AC 的方程为：20x y -+=，直线BC 的方程为：20x y +-=，设()0F m ，关于直线AC 的对称点为()111F x y ，，则111120221m x y y x m +⎧-+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得()122F m -+，，同理可得1F 关于直线BC 的对称点为()24F m -，，则2F 在直线ED 上，所以直线ED 的斜率为41m --，l ∴的斜率为41m +，l 方程为()41y x m m =-+，即()44m y x y +=-，l ∴过定点()14--，．22．（1）22(4)(2)1x y -+-=；（2）MN ：3130x y +-=，AMN S =（1）由题设，22:(4)(3)25C x y F -+-=-，∴(4,3)CC 与圆O 相外切，25+==，可得16F =，即22:(4)(3)9C x y -+-=，又()4,1P 在圆C 内，且在MN 上，MN 的中点为Q ，则CQ MN ⊥，∴Q 在以CP 为直径的圆上，则Q 的轨迹方程为22(4)(2)1x y -+-=.（2）由题设知：OC 交圆O 于A ，则22434x y y x ⎧==+⎪⎨⎪⎩，可得86(,55A ，又AQ AP =，∴,P Q 是以A 为圆心，AP 为半径的圆与Q 轨迹的交点，∴圆A ：228629()()555x y -+-=，与Q 轨迹作差，即可得MN 的方程为3130x y +-=，∴C 到MN 的距离为d =||MN =，A 到MN 的距离为246|13|55h +-=∴1||210AMN S h MN =⋅= .。
高二数学直线和圆的方程单元测试
高二数学直线和圆的方程单元测试班级 学号 姓名一．选择题(3 ⨯12).1．下列命题正确的是（ ）A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角α与它对应 ；B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与它对应；C ．直线的斜率为k ，则这条直线的倾斜角为arctan k ；D ．直线的倾斜角为α，则这条直线的斜率为tanα . 2．过点()2,3P 与()1,5Q 的直线PQ 的倾斜角为（ ） A ．arctan 2 B ．()arctan 2- C ．2πarctan 2- D ．arctan 2π- 3．过点()()2,,,4A m B m -的直线的倾斜角为2πarctan 2+，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．10 C ．－8 D ．0 4．直线023cos =++y x α的倾斜角的范畴是（ ）A ．]65,2()2,6[ππππB ．),65[]6,0[πππC ．]65,0[πD ．]65,6[ππ5．下列说法中不正确的是（ ）A ．点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线B ．斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线C ．两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线D ．截距式1x ya b+=适用于只是原点的任何直线 6．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为 A ．230x y --= B ．250x y +-= C ．240x y +-= D ．230x y -+= 7．直线10x y +-=到直线sin cos 10()42x y ππααα⋅+⋅-=<<的角为 （ ）A ．4πα-B ．4πα-C ．34πα-D ．54πα-8．直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，∈b a ,R ，则||ab 的最小值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知点（2，－1）和（－3,2）在直线20x y a -+=的异侧，则a 的取值范畴是（ ）A ．（4,7）B ．（－4,7）C ．（－7,4）D ．（－4,4） 10．若点A （4，a ）到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则 （ ）A ．－1＜a ＜9B ．0≤a ≤10C ．5＜a ＜8D ．－2≤a ≤6 11．已知点P （－1，1）、Q （2，2），若直线L ：0=++m my x 与线段PQ 的延长线相交，则m 的取值范畴为( )A ．)32,3(--B ．13(,)32C ．)3,32( D ．以上都不对12．若动点),(11y x A 、),(22y x B 分别在直线05:07:21=-+=-+y x l y x l 和上移动，则线段AB 的中点M到原点的距离的最小值为( )A ．32B ．33C ．23D ．2413．过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线的方程是 14. 一条直线过点()5,4P -，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线的方程为15.已知实数x 、y 满足1,1,y y x ≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩则2x y +的最大值是16．不等式组200360x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域的面积是 _____________； 17．已知两直线1l ：y x =,2l ：0ax y -=,当这两条直线的夹角在区间0,12π⎛⎫⎪⎝⎭内变化时, a 的取值范畴是 . 三．解答题：18.(9分) 直线:24l y x =-与x 轴的交点为M ，把直线l 绕点M 逆时针方向旋转045，求得到的直线方程。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2B ．－1C ．0D ．12．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25B ．1C ．-1D ．1或-13．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件,5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y 与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．3277．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．2-8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+ 10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =-D ．若12l l ⊥，则12m =11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2) B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2-C 10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
(完整版)高二数学-直线和圆的方程-单元测试(含答案)
高二直线和圆的方程单元测试卷班级：姓名：一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线 l 经过 A（2，1）、B（1，m2）(m∈R)两点，那么直线 l 的倾斜角的取 值范围是A．[0, )B．[0, ] [ 3 , ) 44C．[0, ] 4D．[0, ] ( , ) 422. 如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a 的值等于A． 2B．－2C．2,－2D．2,0,－23.已知圆 O 的方程为 x2＋y2＝r2，点 P（a，b）（ab≠0）是圆 O 内一点，以 P为中点的弦所在的直线为 m，直线 n 的方程为 ax＋by＝r2，则A．m∥n，且 n 与圆 O 相交 离B．m∥n，且 n 与圆 O 相C．m 与 n 重合，且 n 与圆 O 相离D．m⊥n，且 n 与圆 O 相离4. 若直线 ax 2by 2 0(a,b 0) 始终平分圆 x2 y2 4x 2 y 8 0 的周长，则 1 2 ab的最小值为A．1B．5C．42D． 3 2 25. M (x0 , y0 ) 为 圆 x2 y2 a2 (a 0) 内 异 于 圆 心 的 一 点 ， 则 直 线x0 x y0 y a 2 与该圆的位置关系为A．相切B．相交C．相离D．相切或相交6. 已知两点 M（2，－3），N（－3，－2），直线 L 过点 P（1，1）且与线段MN 相交，则直线 L 的斜率 k 的取值范围是A． 3 ≤k≤4 4B．k≥ 3 或 k≤－4 4C． 3 ≤k≤4 4D．－4≤k≤ 3 47. 过直线 y x 上的一点作圆 (x 5)2 ( y 1)2 2 的两条切线 l1，l2 ，当直线 l1，l2 关于 y x 对称时，它们之间的夹角为A． 30B． 45C． 60D． 90x y 1 08．如果实数x、y满足条件 y 1 0x y 1 0，那么 4x (1)y 的最大值为 2A． 2B．1C． 1 2D． 1 49．设直线过点 (0, a), 其斜率为 1，且与圆 x2 y2 2 相切，则 a 的值为15 ． 集 合 P (x, y) | x y 5 0 ， x N* ， y N* ｝ ，Q (x, y) | 2x y m 0，M x, y) | z x y ， (x, y) (P Q) ， 若 z 取 最 大 值 时 ，M (3,1)，则实数 m 的取值范围是；三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤．16．（本小题满分 12 分）已知 ABC 的顶点 A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为 6x 10y 59 0 ， B 的平分线所在直线方程为 x 4y 10 0 ，求BC 边所在直线的方程．17．（本小题满分 12 分） 某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为 3 千元，2 千 元。
2023-2024学年高二数学单元速记——直线与圆的方程(压轴题专练)(解析版)
第二章直线与圆的方程（压轴题专练）一、选择题1．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法错误的是（）A ．A 点的坐标为()2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为5【答案】D【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解.【详解】因为1:20l x my m -+-=可以转化为(1)20m y x -+-=，故直线恒过定点A ()2,1，故A 选项正确；又因为2l ：240mx y m ++-=即()42y m x -=-+恒过定点B ()2,4-，由1:20l x my m -+-=和2:420l mx y m +-+=,满足()110m m ⨯+-⨯=，所以12l l ⊥,可得PA PB ⊥,故B 选项正确；所以()()22222221425PA PB AB +==++-=,故C 选项正确;因为PA PB ⊥,设,PAB ∠θθ=为锐角,则5cos ,5sin PA PB θθ==,所以()()252cos sin 5PA PB θθθϕ+=+=+,所以当()sin 1θϕ+=时,2PA PB +取最大值,故选项D 错误.故选：D.2．设m R ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值（）A ．B ．C ．3D ．6【答案】D【分析】根据动直线方程求出定点,A B 的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得22||||18PA PB +=，最后由基本不等式222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭即可求解.【详解】解：由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以()()22222||||||120318PA PB AB +==--+-=，因为222||||||||22PA PB PA PB ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以6P A PB +≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号.故选：D.3．在平面直角坐标系内，设()11,M x y ，()22,N x y 为不同的两点，直线l 的方程为0ax by c ++=，1122ax by c ax by c δ++=++，下面四个命题中的假命题为（）A ．存在唯一的实数δ，使点N 在直线l 上B ．若1δ=，则过M ，N 两点的直线与直线l 平行C ．若1δ=-，则直线经过线段M ，N 的中点；D ．若1δ>，则点M ，N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段M ，N 的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对δ一一分析，逐一验证．【详解】解：对于A ，1122ax by c ax by cδ++=++化为：112222()0(0)ax by c ax by c ax by c δ++-++=++≠，即点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此A 不正确．对于B ，1δ=，则1212()()0a x x b y y -+-=，即过M ，N 两点的直线与直线l 的斜率相等，又点2(N x ，2)y 不在直线l 上，因此两条直线平行，故B 正确；对于C ，1δ=-，则1122()0ax by c ax by c +++++=，化为1212022x x y y a b c ++++=，因此直线l 经过线段MN 的中点，故C 正确；对于D ，1δ>，则2112222()()()0ax by c ax by c ax by c δ++⨯++=++>，则点M ，N 在直线l 的同侧，故D 正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事转化为点(),x y 与点(),a b 之间的距离的几何问题.已知点()11,M x y 在直线1:2l y x =+，点()22,N x y 在直线2:l y x =上，且1MN l ⊥）A ．2B ．2C D ．5【答案】D【分析】根据两点距离公式将目标函数转化为点()11,M x y 到点()0,4A 的距离与点()22,N x y 到点()5,0B 的距离和，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，证明AM CN =，由CN NB CB +≥求目标函数最小值.表示点()11,M x y 到点()0,4A 的距离，表示点()22,N x y 到点()5,0B 的距离，MA NB +=+，过点A 作1AC l ⊥，垂足为C ，因为直线1l 的方程为20x y -+=，()0,4A ，所以AC ==又直线1:2l y x =+与直线2:l y x =平行，1MN l ⊥，所以MN =所以//,MN AC MN AC =，所以四边形AMNC 为平行四边形，所以AM CN =，CN NB +=+，又CN NB CB +≥，当且仅当,,C N B 三点共线时等号成立，所以当点N 为线段CB 与直线2l 的交点时，CB ，因为过点()0,4A 与直线1l 垂直的直线的方程为4y x =-+，联立42y x y x =-+⎧⎨=+⎩，可得13x y =⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标为()1,3，所以CB =，5，故选：D.将问题转化为两点之间的距离问题.5．已知圆C 是以点(2,M 和点(6,N -为直径的圆，点P 为圆C 上的动点，若点()2,0A ，点()1,1B ，则2PA PB -的最大值为（）A B ．4C ．8+D【答案】A【分析】由题设可知圆C ：22(4)16x y -+=，在坐标系中找到(4,0)D -，应用三角线相似将2PA 转化到||PD ，再利用三角形的三边关系确定目标式的最大值即可.【详解】由题设，知：(4,0)C 且||8MN ==，即圆C 的半径为4，∴圆C ：22(4)16x y -+=，如上图，坐标系中(4,0)D -则24OD AC CP OC ====，∴12AC PC CP DC ==，即△APC △PCD ，故12PA PD =，∴2||||PA PB PD PB -=-，在△PBD 中||||||PD PB BD -<，∴要使||||PD PB -最大，,,P B D 共线且最大值为||BD 的长度.∴||BD ==故选：A【点睛】关键点点睛：首先求出圆C 方程，找到定点D 使AC PC CP DC =，进而将2PA 转化到其它线段，结合三角形三边关系求目标式的最值.6．过点()8,4A -作抛物线28y x =的两条切线1l ，2l ，设1l ，2l 与y 轴分别交于点B ，C ，则ABC ∆的外接圆方程为（）A ．2264160x y x y ++--=B ．226160x y x ++-=C ．2256120x y x y ++--=D ．224160x y y +--=【答案】A【解析】设切线方程为l ：()84x t y +=-，与抛物线联立，表示线段AB 的中垂线方程，可求解圆心坐标和半径，表示圆的方程即可.【详解】设过点()8,4A -的抛物线2:8E y x =的切线方程为l ：()84x t y +=-，即84x ty t =--（*），代入28y x =得288(48)0y ty t -++=，由0∆=得2240t t --=，（1）所以方程（1）有两个不相等的实数根1t ，2t ，且122t t +=，124t t =-，在（*）中令0x =得180,4B t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，280,4C t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，设ABC ∆的外接圆圆心为点()100,O x y ，则()0122B C y y y =+=，下求0x ：线段AB 中点横标04x '=-，纵标0144y t '=+，线段AB 的中垂线方程为1144(4)y t x t --=-+，令2y =得211021424t t x t -++=，由（1）知21124t t +=，故03x =-，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则229R =，所以ABC ∆的外接圆方程为22(3)(2)29x y ++-=，即2264160x y x y ++--=.故选：A【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，圆的方程，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.7．已知平面内两个定点A ，B 及动点P ，若PBPA λ=（0λ>且1λ≠），则点P 的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知()0,0O，0,2Q ⎛ ⎝⎭，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为1l ，2l 的交点，则32PO PQ +的最小值为（）A ．B．6-C．9-D．3【答案】A【分析】由直线方程可得12l l ⊥，则点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，得到P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，可得)332PQ y =+≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PQ PA =，结合AQ =()3222PO PQ PA PQ AQ +=+≥，进而求解.【详解】由已知1:230l kx y k -++=过定点()2,3C -，2:320l x ky k +++=过定点()2,3D --，因为1l k k =，21l k k=-，所以121l l k k ⋅=-，即12l l ⊥，所以点P 的轨迹是以CD 为直径的圆，除去D 点，故圆心为()2,0-，半径为3，则P 的轨迹方程为()()22293x y y ++=≠-，即()22453x y x y ++=≠-，易知O 、Q 在该圆内，又32PO =即)332PO y ==≠-，取5,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则32PO PA =，又2AQ =，所以()3322222PO PQ PO PQ PA PQ AQ ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭所以32PO PQ +的最小值为故选：A.8．已知点P 为直线l ：20x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：2220x x y ++=的切线PA ，PB ，切点为,A B ，当PC AB ⋅最小时，直线AB 的方程为（）A ．3310x y ++=B ．3310x y +-=C ．2210x y ++=D ．2210x y +-=【答案】A【分析】先利用圆切线的性质推得,,,A P B C 四点共圆，AB CP ⊥，从而将PC AB ⋅转化为2PA ，进而确定PC l ⊥时PC AB ⋅取得最小值，再求得以PC 为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【详解】因为圆C ：2220x x y ++=可化为()2211x y ++=，所以圆心()1,0C -，半径为1r =，因为PA ，PB 是圆C 的两条切线，则,PA AC PB BC ⊥⊥，由圆的知识可知，,,,A P B C 四点共圆，且AB CP ⊥，PA PB =，所以14422PAC PC AB S PA AC PA ⋅==⨯⨯⨯= ，又PA =所以当PC 最小，即PC l ⊥时，PC AB ⋅取得最小值，此时PC 的方程为1y x =+，联立120y x x y =+⎧⎨+-=⎩，解得13,22x y ==，即13,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故以PC 为直径的圆的方程为13(1)022x x y y ⎛⎫⎛⎫-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，221031222x x y y +-+=-，又圆22:20C x x y ++=，两圆的方程相减即为直线AB 的方程：3310x y ++=.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将PC AB ⋅转化为2PA ，从而确定PC AB ⋅最小时P 的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.9．（多选）已知O 为坐标原点，()3,1A ，P 为x 轴上一动点，Q 为直线l ：y x =上一动点，则（）A ．APQ △周长的最小值为B ．AP AQ +的最小值为1C ．AP PQ +的最小值为D OP +的最小值为4【答案】BCD【分析】设A 关于直线l ：y x =的对称点为()11,3A ，A 关于x 轴的对称点为()23,1A -，对于A ：根据对称性可得1212PQ QA PA PQ QA PA A A ++=++≥，进而可得结果；对于B ：根据点到直线的距离分析判断；对于C ：因为2AP PQ A P PQ +=+，结合点到直线的距离分析判断；对于D ：根据题意分析可得)2OP A P CP+=+，结合点到直线的距离分析判断.【详解】设()3,1A关于直线l：y x=的对称点为()11,3A，()3,1A关于x轴的对称点为()23,1A-，可知12,QA QA PA PA==，对于选项A：可得APQ△周长1212PQ QA PA PQ QA PA A A++=++≥=当且仅当12,,,A P Q A四点共线时，等号成立，所以APQ△周长的最小值为A错误；对于选项B：设()3,1A到x轴，直线l：0x y-=的距离分别为12,d d，则121,d d==，可得121AP AQ d d+≥+=，所以AP AQ+的最小值为1B正确；对于选项C：因为2AP PQ A P PQ+=+，设()23,1A-到直线l：0x y-=的距离为3d=可得23A P PQ d +≥=所以AP PQ +的最小值为C 正确；对于选项D ：作PC l ⊥，垂足为C ，因为直线l 的斜率1k =，则45COP ∠=︒，可得CP =，则23AP CP A P CP d +=+≥=，)2234OP A P OP A P CP d ⎫++=⎪⎪⎭，OP +的最小值为4，故D 正确；故选：BCD.二、填空题10．设R m ∈，过定点A 的动直线10x my ++=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值．【答案】9【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可；【详解】由题意，动直线10x my ++=过定点(1,0)A -，直线230mx y m --+=可化为(2)30x m y -+-=，令2030x y -=⎧⎨-=⎩，可得()2,3B ，又1(1)0m m ⨯+⨯-=，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以22222||||||(12)(03)18PA PB AB +==--+-=，因为2218||2PA PB PA PB =+≥⋅，所以9PA PB ⋅≤，当且仅当||||3PA PB ==时取等号．【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点.11．若恰有三组不全为0的实数对(a ,)b满足关系式|1||431|a b a b t ++=-+=t 的所有可能的值为．【答案】52或75t ==，然后对t 进行分类讨论即可求解.【详解】由已知得0t >t ==，看成有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，又5AB ==，（1）当||522AB t ==，此时易得符合题意的直线l 为线段AB 的垂直平分线68230x y --=以及与直线AB 平行的两条直线86110x y ++=和86390x y +-=；（2）当||522AB t <=时，有4条直线l 会使得点(1,1)A 和(4,3)B -到它们的距离相等，注意到l 不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A 到l 的距离为d ，①作为增根被舍去的直线l ，过原点和A ，B 的中点5(,1)2M -，其方程为250x y +=，此时52t d ==，符合；②作为增根被舍去的直线l ，过原点且与AB 平行，其方程为430x y +=，此时7552t d ==<，符合；综上，满足题意的实数t 为52或75故答案为：52或75t ==，将问题转化为有且仅有三条直线满足(1,1)A 和(4,3)B -到直线:10l ax by ++=(不过原点)的距离t 相等，然后分类讨论即得.12．已知P ､Q 分别在直线1:10l x y -+=与直线2:10l x y --=上，且1PQ l ⊥，点()4,4A -，()4,0B ，则AP PQ QB ++的最小值为.【分析】利用线段的等量关系进行转化，找到AP QB +最小值即为所求.【详解】由直线1l 与2l PQ =()4,0B 作直线l 垂直于1:10l x y -+=，如图，则直线l 的方程为：4y x =-+，将()4,0B 沿着直线l B '点，有()3,1B '，连接AB '交直线1l 于点P ，过P 作2⊥PQ l 于Q ，连接BQ ，有//,||||BB PQ BB PQ ''=，即四边形BB PQ '为平行四边形，则||||PB BQ '=，即有||AP QB AP PB AB ''+=+=，显然AB '是直线1l 上的点与点,A B '距离和的最小值，因此AP QB +的最小值，即AP PB '+的最小值AB '，而AB '==，所以AP PQ QB ++的最小值为AB PQ '+【点睛】思路点睛：（1）合理的利用假设可以探究取值的范围，严谨的思维是验证的必要过程.（2）转化与划归思想是解决距离最值问题中一种有效的途径.（3）数形结合使得问题更加具体和形象，从而使得方法清晰与明朗.13．在平面直角坐标互中，给定()()1,2,3,4M N 两点，点P 在x 轴的正半轴上移动，当MPN ∠最大值时，点P 的横坐标为【答案】3【分析】根据条件结合圆的性质，转化为求圆的半径最小，利用数形结合，即可求解.【详解】过点,,M N P 三点的圆的圆心在线段MN 的中垂线5y x =-上，其中MPN ∠为弦MN 所对的圆周角，所以当圆的半径最小时，MPN ∠最大，设圆心坐标为(,5)E a a -，又由点P 在x 轴上移动，当圆和x 轴相切时，MPN ∠取得最大值，设切点为(,0)P a ，圆的半径为5a -，所以圆的方程为222()(5)(5)x a y a a -++-=-，代入点(1,2)M 代入圆的方程，可得222(1)(25)(5)a a a -++-=-，整理得2250a a +-=，解得3a =或5a =-（舍去），所以点P 的横坐标的为3.故答案为：3.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()221:2C x a y a -+-+=，点(0,2)A ，若圆C 上的点M 均满足2210MA MO +>，则实数a 的取值范围是．【答案】a<0或3a >【分析】将条件2210MA MO +>坐标化，先转化为22(1)4x y +->恒成立，即圆C 上所有动点到定点(0,1)B 距离的最小值大于2，再转化为(0,1)B 与圆心C 距离的不等关系求解可得.【详解】设(,)M x y ，由点(0,2)A ，2210MA MO +> 222222(2)2(22)10x y x y x y y ∴+-++=+-+>即点M 满足22(1)4x y +->2，设点(0,1)B ，即2MB >恒成立则min 2MB >，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值大于2，又圆(,2)C a a -，半径为1，圆上所有点到定点(0,1)B 最小值即为：1BC -.12BC ∴->.即3BC =，化简得230a a ->，解得a<0或3a >.故答案为：a<0或3a >.15．已知P 为直线60x y ++=上一动点，过点P 作圆22:66140C x y x y +--+=的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形PACB 面积最小时，直线AB 的方程为．【答案】6=0x y +【分析】求得四边形PACB 面积最小时P 点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线AB 的方程.【详解】圆22:66140C x y x y +--+=，即()()22233=2x y -+-，所以圆心为()3,3C ，半径2r =，1=2=22PACB S PA r PA ⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭所以当CP 最小，也即CP 垂直60x y ++=时，四边形PACB 面积最小，直线60x y ++=的斜率为1-，则此时直线CP 的斜率为1，则直线CP 的方程为y x =，由60y xx y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，解得3x y ==-即(3P --，对应PC ，=PA PB以P 为圆心，半径为((2233=12x y -++-+，即()()226622x y x y ++++-，由()()2222661406622x y x yx y x y ⎧+--+=⎪⎨++++-⎪⎩，两式相减并化简得26=0x y ++-，也即直线AB 的方程为26=0x y ++-.故答案为：26=0x y ++-【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.16．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0(a ∈R )．(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为；(2)若a >－1，直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点，O 为坐标原点，则△OMN 的面积取最小值时，直线l 对应的方程为.【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0x ＋y －2＝0【详解】(1)①当直线l 经过坐标原点时，可得a ＋2＝0，解得a ＝－2．所以直线l 的方程为－x ＋y ＝0，即x －y ＝0；②当直线l 不经过坐标原点，即a ≠－2且a ≠－1时，由条件得221a a a +=++，解得a ＝0，所以直线l 的方程为x ＋y －2＝0．综上可得直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．(2)在(a ＋1)x ＋y －2－a ＝0（a >－1）中，令0x =，得2y a =+；令0y =，得21a x a +=+．所以2(,0),(0,2)1a M N a a +++．由于1a >-，得210a a +>+>．所以22121(2)1(1)2(1)1(2)212121OMNa a a a S a a a a ∆++++++=⋅⋅+=⋅=⋅+++111[(1)2][22]2212a a =+++≥=+．当且仅当111a a +=+，即a ＝0时等号成立．此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．答案：(1)x －y ＝0或x ＋y －2＝0(2)x ＋y －2＝0【点睛】用基本不等式求最值时，首先要判断是否满足了使用基本不等式的条件，若满足则可直接利用基本不等式求出最值；若不满足，则需要对代数式进行适当的变形，此时要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等变形的技巧，通过变形使得代数式满足基本不等式中“正”、“定”、“等”的条件．三、解答题17．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =．为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记()015011,,5n n n n T a a a x y a a a T=+++==+++ ，作函数()y f x =，使其图像为逐点依次连接点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线．(1)求(0)f 和(1)f 的值；(2)设1n n P P -的斜率为(1,2,3,4,5)n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系；(3)证明：当(0,1)x ∈时，()f x x <；(4)求由函数y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积．（用12345,,,,a a a a a 表示）【答案】(1)(0)0f =，(1)1f =(2)12345k k k k k <<<<(3)见解析(4)124512345225()a a a a a a a a a --++++++【分析】（1）运用代入法进行求解即可；（2）根据斜率公式，结合已知进行判断即可；（3）要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，根据已知定义，结合放缩法进行证明即可.（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积，求出1S ，再由112S S =-求解即可.【详解】（1）0015(0)0a f a a a ==+++ ，015015(1)1a a a f a a a +++==+++ ；（2）[]01011111()()5155n n n n n n n n a a a a a a y y T k a n n x x T ---+++-+++-===--- (1,2,,5)n = ，因为12345a a a a a <<<<，所以12345k k k k k <<<<；（3）由于()f x 的图像是连接各点(),(0,1,2,,5)n n n P x y n = 的折线要证明()f x x <，(0,1)x ∈，只需要证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=事实上，当1(,)n n x x x -∈时，1111()()()()()n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=-+-11111111()()n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f x x x xx x x x x x x x ------------=+<+=----下面证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=对任何n (1,2,3,4)n =，15()n a a ++ 1[(5)]()n n n a a =+-++ 11()(5)()n n n a a n a a =+++-++ 1()(5)n n n a a n na ≤+++- []1()(5)n n n a a n a =+++-< 115()n n n a a a a nT++++++= 所以1()5n n n a a nf x x T ++=<= ，综上，(),(1,2,3,4)n n f x x n <=（4）设1S 为[]0,1上折线()f x 与x 轴及直线1x =所围成图形的面积则1011012212332111()()()()()()222S y y x x y y x x y y x x =+-++-++-3443455411()()()()22y y x x y y x x ++-++-123451(2222)10y y y y y =++++[]112123123411()()()510a a a a a a a a a a T =++++++++++123411(432)105a a a a T=++++直线y x =与()y f x =的图像所围成图形的面积为1245112345221.25()a a a a S S a a a a a --++=-=++++【点睛】关键点睛：在证明()f x x <，(0,1)x ∈时，关键在于将其转化为证明(),(1,2,3,4)n n f x x n <=，结合题设定义进行证明.18．已知曲线():,0T F x y =，对坐标平面上任意一点(),P x y ,定义[](),=F P F x y ,若两点P ,Q ，满足[][]0F P F Q ⋅>，称点P ,Q 在曲线T 同侧；[][]0F P F Q ⋅<，称点P ,Q 在曲线T 两侧.(1)直线l 过原点，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，其中()1,1A -，()2,3B ,求直线l 的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线()(,3450F x y x y =+-=，O 为坐标原点，求点集[][]{}0S P F P F O =⋅>的面积；(3)记到点()0,1与到x 轴距离和为5的点的轨迹为曲线C ，曲线()22:,0=+--=T F x y x y y a ，若曲线C 上总存在两点M ,N 在曲线T 两侧,求曲线C 的方程与实数a 的取值范围.【答案】(1)33[0,arctan (,)24ππ ；(2)83S π=（3）()()222480:24120y x x C y x x ⎧=-≥⎪⎨=+<⎪⎩，52⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）由题意设出直线方程为y kx =，通过新定义，得到[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，求出斜率范围，进而可求出倾斜角范围；（2）先由题意得到点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，求出23AOB π∠=，进而可求出结果；（3）先设曲线C 上的动点为(,)x y5=y ，化简整理，即可得出轨迹方程；再由新定义，将[][]0⋅<F M F N 化为(6)(24)0--<a a ，进而可得出结果.【详解】（1）由题意，显然直线l 斜率存在，设方程为y kx =，则(),0=-=F x y kx y ，因为()1,1A -，()2,3B ，线段AB 上所有点都在直线l 同侧，则[][](1)(23)0⋅=--->F A F B k k ，解得312-<<k ；故倾斜角的范围是33[0,arctan (,)24ππ ；（2）因为[]0<F O ，所以[](345)0=+-F P x y ，故2234504x y x y +-<⎧⎨+<⎩，点集S 为圆224x y +=在直线3450x y +-=下方内部，设直线与圆的交点为A B 、，则O 到AB 的距离为1，故23AOB π∠=，因此，所求面积为：2214182223223ππ=⋅⋅+⋅=S（3）设曲线C 上的动点为(,)x y 5=y ，化简得曲线C 的方程为：228(3),0312(2),20x y y x y y ⎧=-≤≤⎨=+-≤≤⎩，其轨迹为两段抛物线弧；当03≤≤y 时，[]2(,)9246,24=-+-∈--F x y y y a a a ；当20-≤≤y 时，[]2(,)11246,24=++-∈--F x y y y a a a ，故若有[][]0⋅<F M F N ，则(6)(24)0--<a a ，解得624<<a .【点睛】本题主要考查新定义下直线与圆的综合，熟记直线与圆位置关系，以及直线斜率与倾斜角的概念等即可，属于常考题型.19．如图，已知A ，(0,0)B，(12,0)C ，直线:(20l k x y k --=．(1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若P ，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由BC （反射点为K ）、AC （反射点为I ）反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线方程．【答案】(1)证明见解析，定点坐标为(2,；170y +-=；(3)2100x +-=．【分析】（1）整理得到(2))0k x y -+-=，从而得到方程组，求出定点坐标；（2）求出定点P 在直线AB 上，且||8AM =，由12AMD ABC S S = 得到3||||94AD AC ==，设出00(,)D x y ，由向量比例关系得到D（3）作出辅助线，确定P 关于BC 和AC 的对称点1,P 2P ，得到123P P k =，由对称性得3PK k =-，写成直线方程.【详解】（1）直线:(20l k x y k --=可化为(2))0k x y -+-=，令200xy -=⎧⎪-=，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩l 经过的定点坐标为(2,；（2）因为A ，(0,0)B ，(12,0)C ，所以||||||12AB AC BC ===，由题意得直线AB 方程为y =，故直线l 经过的定点M 在直线AB 上，所以||8AM =，设直线l 与AC 交于点D ，所以12AMD ABC S S =，即111||||sin ||||sin 222AM AD A AB AC A =⨯⨯，所以3||||94AD AC ==，设00(,)D x y ，所以34AD AC =，即003(6,(6,4x y --=-，所以0212x =，0y =21(2D ，将D 点坐标代入直线l的方程，解得k =所以直线l170y +-=；（3）设P 关于BC的对称点1(2,P -，关于AC 的对称点2(,)P m n ，直线AC12612x -=-，即)12y x =-，直线AC的方程为12)y x =-，所以(1221222n m n m ⎧-⋅=-⎪-⎪⎨++⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩，解得14,m n ==2P ，由题意得12,,,P K I P四点共线，123P P k =，由对称性得3PK k =-，所以入射光线PK的直线方程为2)y x ---，即2100x -=．20．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上．(1)设直线l ：43y x =+与圆M 交于C ，D 两点，且OC OD =，求圆M 的方程；(2)设直线y =与（1）中所求圆M 交于E ，F 两点，点P 为直线5x =上的动点，直线PE ，PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H ，且G ，H 在直线EF 两侧，求证：直线GH 过定点，并求出定点坐标．【答案】(1)22(1)(4x y -+=(2)证明见解析【分析】（1）由||||OC OD =，知OM l ⊥，运用两直线垂直的条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，求得E ，F 的坐标，PE 和PF 的方程，联立圆的方程，运用韦达定理，3PE PF k k =．设PE k m =，则3PF k m =．设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k ，b 的关系，即可得到所求定点．（1）圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上，设M t ⎛ ⎝⎭由||||OC OD =，知OM l ⊥.所以2OM k t =1t =±.当1t =时，圆心M 到直线:4l y =+的距离1)d =小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y =+的距离1)d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为22(1)(4x y -+-=.（2）设0(5,)P y ，11(,)G x y ，22(,)H x y ，又知(E -，F ，所以06PE y k =，02PF y k =．显然3PE PF k k =，设PE k m =，则3PF k m =．从而直线PE 方程为：(1)y m x +，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(1)(22)30m x m x m ++-+-=，所以212311m x m --⨯=+，即21231m x m -=+；同理直线PF 方程为：3(3)y m x -，与圆M 的方程22(1)(4x y -+=联立，消去y ，可得：2222(19)(542)8130m x m x m +-++-=，所以222813319m x m -⨯=+，即22227119m x m -=+．所以22212224232713221199101m m m x x m m m m --+=+=+++++；222122242327111231199101m m m x x m m m m --=⋅=-+++⋅++．消去参数m 整理得121227()200x x x x -++=．①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得222(1)(22)0k x kb x b ++--+-=．所以122221kb x x k --+=-+，21221b x x k -⋅=+．代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k -．当2b k =时，直线GH 的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH 的方程为(5)y k x =-，过定点第二种情况不合题意（因为G ，H 在直径EF 的异侧），舍去．所以，直线GH 过定点．21．如图所示，已知圆222:()0O x y r r +=>上点(1,)a 处切线的斜率为圆O 与y 轴的交点分别为A B 、，与x 轴正半轴的交点为D ，P 为圆O 的第一象限内的任意一点，直线BD 与AP 相交于点M ，直线DP 与y 轴相交于点N ．（1）求圆O 的方程；（2）试问：直线MN 是否经过定点？若经过定点，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由．【答案】（1）224x y +=；（2）(2,2).【分析】(1)根据切线斜率得切点与圆心连线斜率，解得a,再代入圆方程得r,即得结果，(2)先设直线AP 方程，分别解得P 坐标，M 坐标,以及N 坐标，再求出直线MN 方程，最后根据方程求定点.【详解】（1）由题意得2211413a a r ⋅=-∴==+=∴22:4O x y += （2）设:2(10)AP y kx k =+-<<()222221404y kx k x kx x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩222422,11k k P k k ⎛⎫-+⇒- ⎪++⎝⎭()()0,2,2,0B D - ∴直线:2BD y x =-2422,211y x k M y kx k k =-⎧---⎛⎫⇒⎨ ⎪=+--⎝⎭⎩由,,D P N 三点共线得：2222222002222140221121N N k y k k k y k k k k k -+---+-++=⇒==--+++-+∴21MN kk k =+直线MN 为：22211k k y x k k -+=+++即：()()2220y x k y -++-=由2022202y x y x y -==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴直线MN 过定点()2,2.【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.22．已知圆C 经过()0,1A ，()()4,0B a a >两点．(1)如果AB 是圆C 的直径，证明：无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，求出这个定点坐标．(2)已知点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，且过点B 的直线l 与两坐标轴分别交于不同两点M 和N ，当圆C 的面积最小时，试求BM BN ⋅的最小值.【答案】(1)证明见解析，定点为()4,1(2)min 8BM BN ⋅=【分析】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，由AB 是圆C 的直径，得0AP BP ⋅= ，从而可求出圆C 的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线3y x =-上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以AA '为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B 点的坐标，设出直线l 的方程，分别求出,M N 的坐标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解．【详解】（1）设点(),P x y 是圆C 上任意一点，因为AB 是圆C 的直径，所以0AP BP ⋅= ，即()()()()(),14,410x y x y a x x y y a -⋅--=-+--=，所以圆C 的方程为：()()()410x x y y a -+--=，则4x =，1y =时等式恒成立，故定点为()4,1，所以无论a 取何正实数，圆C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为()4,1；（2）因点A 关于直线3y x =-的对称点A '也在圆C 上，所以点C 在直线3y x =-上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以AA '直径的圆，设过点A 与直线3y x =-垂直的直线方程为1y x =-+，由方程组31y x y x =-⎧⎨=-+⎩得()2,1C -，则AC =所以圆C 的方程为()()22218x y -++=，当4x =时，1a =或3a =-，又0a >，所以1a =，即()4,1B ，由题意知直线l 斜率存在且不为零，设直线l 的方程为()14y k x -=-，当0x =时14y k =-，当0y =，时14x k =-，所以||||448BM BN ⋅=，（当且仅当221k k =，即1k =±时取等号）则当1k =±时，min 8BM BN ⋅=。
高二数学同步测试题---直线和圆
高二数学测试题—直线和圆一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．直线01)1(0622=-+-+=++a y a x y ax 与直线平行的充要条件是 （ ）A ．a =2B ．a =2或－1C ．a =－1D ．a =－22．设a ，b ，k ，p 分别表示同一直线在x 轴，y 轴上的截距，斜率及原点到该直线的距离，则下面关系式正确的是（ ）A ．)1(2222k p k a +=B ．ab k =C ．p ba =+11 D ．kb a -= 3．图中阴影部分可用不等式表示为（ ）A ．x y ≤B ．||x y ≤C ．||x y ≥D ．||y x ≥4．过原点的直线与圆03422=+++x y x 相切，若切点在第三象限，则该直线方程是（ ）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．圆的方程为⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧+=+-=1612,sin 23cos 21t y t x y x 直线方程为θθ则直线与圆的位置关系为（ ） A ．直线过圆心 B ．相交而直线不过圆心C ．相切D ．相离6．k 为任意实数，直线4)1()1(01)1(22=-+-=--+y x ky x k 被圆截得的弦长为 （ ）A ．8B ．4C ．2D ．与k 有关的值 7．方程211||y x -=-表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一个圆D ．两个半圆8．圆心在直线034,034,042222=--+=--+=--y y x x y x y x 且经过两圆上的交点的圆的方程为（ ）A ．032622=-+-+y x y xB ．032622=-+++y x y xC ．032622=---+y x y xD ．032622=--++y x y x9．和x 轴相切且和圆122=+y x 外切的动圆的圆心的轨迹方程是 （ ）A ．122+=y xB ．122+-=y xC. 1||22+=y xD ．1||22+-=y x10．实数x ,y 满足24,012222--=+--+x y y x y x 则的取值范围为 （ ）A ．),34[+∞B ．]34,0[C ．]34,(--∞D ．)0,34[-二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．在y 轴上截距为1，且与直线0732=--y x 夹角为4π的直线方程为 . 12．半径为20的圆过点A （3，5），且在两坐标轴上截得的弦长相等，则圆的方程为 .13．点P 在圆2134,0126422=+=+-++y x Q y x y x 在直线点上上，则|PQ|的最小值为 .14．若圆1)1(22=-+y x 上任意一点),(y x 都使不等式0≥++m y x 恒成立，则实数m 的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．求证：以A （4，1），B （1，5），C （－3，2），D （0，－2）为顶点的四边形是正方形.（12分）16．已知直线l 垂直于直线0743=--y x ，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10，求直线l 的方程.（12分）17．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线03=-y x 上,且被直线y =x 截得的弦长为72，求圆C 的方程.（12分）18．预算用2000元购买单价为50元的桌子和椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？（12分）19．已知直线222222:,,,1:0:c k b a c b a y x P c by ax l =+=+=++满足条件其中及圆 （0,0≠≠k c ）（1）试讨论直线l 与圆P 的位置关系，（2）若直线l 被圆P 截得的弦长为1，求k 的值.（14分）20．有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品往回运的费用是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍，已知A 、B 两地距离10公里，顾客选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线内、曲线外及曲线上的居民应如何选择购货地点.（14分）直线和圆参考答案一、1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．D 8．A 9．C 10．A二、11．055,015=-+=+-y x y x 12．20)1()1(,20)7()7(2222=-+-=-+-y x y x13．3 14．（+∞-,12）三、15．证明∵|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=5 14334-=⨯-=⋅BC AB k k ∴四边形ABCD 是正方形.16．解：设直线l 方程为)3,0()0,4(,034bB b A y x l b y x --=++轴的交点为轴与则 10.1012||53||4||10|||||||,|125||±=∴=++=++=∴b b b b AB OB OA b AB 得由01034,01034:=-+=++∴y x y x l 方程为17．解：设圆心坐标为（3t,t ）则半径为3|t|，则圆心到直线y=x 的距离为||22|2|t t =由半径、弦心距、半径的关系得12722±=∴+=t t at∴所求圆的方程为3)1()3(,3)1()3(2222=+++=-+-y x y x18．解：设购买桌子x 张，椅子y 张，其总数为z ，根据题意得约束条件为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈≥≥≤+≤≤Ny N x y x y x xy yx ,0,020*******.1 目标函数为z=x +y ，作出可行域（如图）作出直线l y x l 将0:=+向右上方平称到l ′位置，使l ′经过直线200020505.1≤+=y x x y 与的交点A ，此时z 应取得最大值. 解⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=5.3725200020505.1y x y x x y 得由问题的实质意义知y 应取整数.又由20002050≤+y x .得y=37. ∴x =25, y=37是符合条件的最优解 答：应买桌子25张，椅子37张.19．解（1）已知圆P 的圆心（0，0）引直线l 的距离,||1||||2222k c k c b a c d ==+=圆的半径r=1 l b k k ,0111||1时且即当≠<<->∴和圆相离，l k k ,11||1时即当±=和圆相切. 当l k k k ,111||1时或即-<><和圆相交.（2）由弦长为1，半径为1，得弦心距为33223||123±=∴=∴=k k d20．解：以过A 、B 的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系∵|AB|=10 ∴A （－5，0） B （5，0）设某地P （x ,y ）.B 地运费为a 元/公里，则A 地的运费为3a 元/公里. 若P 地居民选择A 地购买商品的总费用较低，则.)5()5(32222y x a y x a +-≤++0>a两边平方整理得222)415()425(≤++y x结论：A 、B 两地的售货区域的分界线是以415,)0,425(为圆心-c 为半径的圆.在圆C 内的居民从A 地购买商品的总费用较低；在圆C 外的居民从B 地购买高品总费用较低，在圆C 上的居民从A 地或B 地购买商品的总费用相等. .。
高二数学直线与圆练习题及答案
高二数学直线与圆练习题及答案一、选择题1.已知直线l的方程为2x - y = 4，点A(2, 5)在直线l上，则点A所在直线的斜率是：A. 2B. -2C. 1/2D. -1/22.已知圆O的圆心坐标为(-3, 4)，半径为5，则圆O的方程是：A. (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2B. (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 5^2C. (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25D. (x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 253.直线l与圆O相交于点A(1, 3)和点B(4, -2)，则直线l的方程是：A. 2x + y = 5B. 2x - y = 1C. x - 2y = -5D. x + 2y = -54.已知点A(-2, 1)和点B(4, -3)，则直线AB的斜率为：A. 1B. -1C. 2D. -25.已知直线l的方程为y = 2x + 3，点A(1, 6)在直线l上，则直线l与x轴的交点坐标为：A. (1, -1)B. (1, 0)C. (-1, 2)D. (0, 3)二、解答题1.已知直线l的斜率为-2，且直线l经过点A(3, -5)，求直线l的方程。
解：设直线l的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为常数项。
已知斜率k = -2，点A(3, -5)在直线l上，代入得-5 = -2*3 + b。
解得b = 1，因此直线l的方程为y = -2x + 1。
2.已知直线l的方程为2x + 3y = 9，求直线l与x轴和y轴的交点坐标。
解：与x轴的交点坐标，直线上的点的纵坐标为0，代入直线方程得2x + 3*0 = 9，解得x = 4.5。
因此直线l与x轴的交点坐标为(4.5, 0)。
与y轴的交点坐标，直线上的点的横坐标为0，代入直线方程得2*0 + 3y = 9，解得y = 3。
因此直线l与y轴的交点坐标为(0, 3)。
3.已知圆O的圆心坐标为(2, -1)，点A(4, 3)在圆O上，求圆O的方程。
第2章 直线和圆的方程 章末测试(提升)(原卷版).
第2章直线和圆的方程章末测试（提升）一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分)1．（2021·河南）不论k 为何实数，直线()()()213110k x k y k --+--=恒通过一个定点，这个定点的坐标是（）A．()5,2B．()2,3C．()5,9D．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭2．（2022·全国·专题练习）已知过定点直线40kx y k -+-=在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（）A．270x y --=B．270x y -+=C．260x y +-=D．260x y +-=3．（2022·陕西汉中）直线l :y x =被圆C ：()()22313x y -+-=截得的弦长为（ ）A．1B．2C．3D．44．（2023·全国·专题练习）若方程3x b +=-b 的取值范围为（）A．(1-+B．(11]--C．[1,1-+D．(1-5．（2023·广东）若圆()()2221:10C x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线y ＝x 的对称点Q 在圆()()222:211C x y -+-=上，则r 的取值范围是（）A．1⎤-⎦B．-C．⎡⎣D．(]0,16．（2022·全国·高二课时练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭处出发，河岸线所在直线方程为23x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为（）B．5D．1637．（2022·云南）如果圆22()()8x a y a -+-=则实数a 的取值范围是（）A．()3,3-B．(1,1)-C．(3,1)-D．(3,1)(1,3)--8．（2022·安徽）已知直线:320l mx y m +--=与圆22:(5)(4)25M x y -+-=交于,A B 两点，则当弦AB 最短时，圆M 与圆22:(2)9N x m y ++=的位置关系是（）A．内切B．外离C．外切D．相交二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。
高二数学直线与圆练习题
高二数学直线与圆练习题1. 已知直线L1的方程为3x+y-5=0，直线L2的方程为x-2y+6=0，圆C的方程为x^2+y^2-8x+2y+8=0。
求直线L1与L2的交点坐标，并判断圆C与直线L1、L2的位置关系。
解：首先,我们来求直线L1与L2的交点坐标。
令L1与L2联立，得到(1) 3x+y-5 = 0(2) x-2y+6 = 0解这个方程组，可以使用消元法或代入法。
我们使用代入法。
将(1)式的y代入(2)式中，得到x - 2(5 - 3x) + 6 = 0x - 10 + 6x + 6 = 07x - 4 = 07x = 4x = 4/7将x的值代入(1)式中，得到3(4/7) + y - 5 = 012/7 + y - 5 = 0y - 23/7 = 0y = 23/7所以，直线L1和L2的交点坐标为(x,y) = (4/7, 23/7)。
接下来，我们判断圆C与直线L1、L2的位置关系。
首先，我们要分别求出直线L1和L2在圆C上的焦点。
将直线L1的方程代入圆C的方程，得到3x + y - 5 = 0x = (5 - y)/3将直线L1的方程代入圆C的方程，得到x - 2y + 6 = 0x = 2y - 6将上述两个等式相等，得到(5 - y)/3 = 2y - 65 - y = 6y - 187y = 23y = 23/7将y的值代入直线L1的方程，得到x = (5 - (23/7))/3x = 4/7所以，直线L1在圆C上的焦点坐标为(x,y) = (4/7, 23/7)。
将直线L2的方程代入圆C的方程，得到x - 2y + 6 = 0x = 2y - 6将直线L2的方程代入圆C的方程，得到x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0(2y - 6)^2 + y^2 - 8(2y - 6) + 2y + 8 = 04y^2 - 24y + 36 + y^2 - 16y + 48 + 2y + 8 = 05y^2 - 38y + 92 = 0解这个二次方程，得到y = (38 ± √(38^2 - 4(5)(92)))/(2(5))y = (38 ± √(1444 - 1840))/10y = (38 ± √(-396))/10由于√(-396)是虚数，所以y的值没有实数解。
高二数学直线和圆的练习题及答案
高二数学直线和圆的练习题及答案一、选择题1. 设直线l过点A(2,3)和B(4,5)，则直线l的斜率k为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 42. 设直线l的斜率为-2，过点(3,4)，则直线l的方程为（）。
A. y = -2x + 10B. y = 2x - 6C. y = -2x -6D. y = 2x - 103. 设圆C的圆心坐标为(2,-1)，半径为3，则圆C的方程为（）。
A. (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9B. (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9^2C. (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9D. (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 9^24. 设直线l过点A(2,3)且垂直于直线x - 2y = 4，则直线l的方程为（）。
A. x + 2y = -1B. x + 2y = 4C. x - 2y = 10D. x - 2y = 05. 在平面直角坐标系xOy中，直线l1过点A(-1,2)和B(2,5)，直线l2过点C(3,1)和D(5,3)。
若l1和l2平行，则直线l1和l2的方程分别为（）。
A. y = x + 3, y = x - 2B. y = -3x + 5, y = -3x + 2C. y = -x + 5, y = -x + 2D. y = 3x + 5, y = 3x + 2二、填空题1. 过点A(4,5)且垂直于直线x - 2y = 4的直线方程为（）。
2. 过点A(-3,2)且平行于直线y = 3x - 1的直线方程为（）。
3. 设圆的圆心在直线y = x上，过点(2,3)，则圆的方程为（）。
4. 过点A(2,3)和B(4,5)的中点坐标为（）。
5. 直线2x - y = 3与直线y = 3x + 1的交点坐标为（）。
三、解答题1. 设直线l过点A(1,2)和B(3,4)，求直线l的斜率。
解：直线l的斜率k可以通过斜率公式计算，斜率公式为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)将点A(1,2)和B(3,4)的坐标代入斜率公式得到：k = (4 - 2) / (3 - 1) = 2 / 2 = 1因此，直线l的斜率为1.2. 设直线l过点A(-2,3)且平行于直线3x - 2y = 4，求直线l的方程。
第二章 直线和圆的方程单元检测卷(知识达标卷)2022高二数学(选择性必修第一册)
第二章直线和圆的方程（知识达标卷）一、单选题1．方程(0,0)y kx b k b k =++=≠表示的直线可能是（）A ．B ．C ．D ．2．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t的值为（）A ．1B ．12C ．13D ．23．下列关于倾斜角的说法中正确的是（）．A ．任意一条直线有唯一的倾斜角B ．一直线的倾斜角可以为π6-C ．若直线的倾斜角为0，则该直线与x 轴重合D ．若直的倾斜角为α，则()sin 0,1α∈4．已知点()1,2M -、(),2N m ，若线段MN 的垂直平分线的方程是12xy +=，则实数m 的值是（）A ．2-B ．7-C ．3D ．15．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知三角形的三个顶点()2,4A ，()3,6B -，()5,2C ，则BC 边上中线的长为（）AB ．C ．D ．7．方程222220x y ax y a a ++-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（）A ．1aB ．1a <C ．1a >D ．01a <<8．过点(4,2)P 作圆224x y +=两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB 的外接圆方程是（）A ．22(2)(1)5x y -+-=B ．22(4)(2)20x y -+-=C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=二、多选题9．已知点()(),0M a b ab ≠是圆()2220x y r r +=>内一点，直线g 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为20ax by r ++=，则（）A ．//l gB ．l g⊥C ．l 与圆相交D ．l 与圆相离10．已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则（）A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交D11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB=．设点P 的轨迹为C ，则（）．A ．轨迹C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA=12．已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-三、填空题13．将直线1:l y =+x 轴的交点逆时针旋转90︒后得到直线2l ，则2l 在y 轴上的截距为________．14．函数y =____________．15．由方程2221(1)02x y x m y m +++-+=所确定的圆中，最大的面积是_________.16．直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________．四、解答题17．已知直线1:20()l ax y a R ++=∈．（1）若直线1l 在x 轴上的截距为2-，求实数a 的值；（2）若直线1l 与直线2:210l x y -+=平行，求两平行直线1l 与2l 之间的距离．18．求满足下列条件的直线方程：（1）已知()1,2A 、()1,4B -、()5,2C ，求ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程；（2）过点()2,3P ，在两坐标轴上截距相等的直线方程.19．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）将圆C 向上平移1个单位长度后得到圆1C ，求圆1C 的标准方程．20．在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别是()1,2A ，()1,3B n -，()1,3C n --．（1）若A ∠是直角，求实数n 的值；（2）求过坐标原点，且与ABC 的高AD 垂直的直线l 的方程．21．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所（1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.22．实数x ，y 滿足222410x y x y ++-+=，求（1）4yx -的最大值和最小值；（2）2x y +的最大值和最小值.参考答案1．B 【分析】直接判断出直线经过点(1,0)，对照四个选项，即可求解.【详解】因为0k b +=，所以k b =-，代入直线方程，可得y bx b =-+，即(1)y b x =--．所以直线过点(1,0)，故选：B ．2．B 【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解.【详解】解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∴直线1//l 直线2l ．∴1l 与2l间的距离215244t d ⎛⎫-+ ⎪=，当且仅当12t =时取等号．∴当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12．故答案选：B【分析】根据直线倾斜角的定义，对四个选项逐一分析，即可得出答案.【详解】任意一条直线都有唯一的倾斜角，选项A 正确；直线倾斜角α的取值范围是[)0,π，所以直线的倾斜角不可以为π6-，故选项B 错误；若直线的倾斜角为0，则该直线与x 轴重合或平行，故选项C 错误；因为直线的倾斜角α的取值范围是[)0,π，所以[]sin 0,1α∈，故选项D 错误.故选：A ．4．C 【分析】分析可知，直线MN 的斜率为2，且线段MN 的中点在直线12xy +=上，可列出关于实数m 的等式组，由此可得出关于实数m 的值.【详解】由中点坐标公式，得线段MN 的中点坐标为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭，直线12x y +=的斜率为12-，由题意知，直线MN 的斜率为421MN k m ==-，所以，114421m m +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得3m =.故选：C.5．C 【分析】根据0AC <且0BC <，得0B ≠，则直线方程可化为斜截式A C y x B B =--，再根据,A CB B--的符号，即可得出结论.【详解】解：易知0B ≠，所以直线方程可化为A Cy x B B=--．因为0,0AC BC <<，所以A 、B 同号，B 、C 异号，从而有0,0A CB B-<->，所以直线的斜率为负，且在y 轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．故选：C ．【分析】根据中点坐标公式求解出BC 中点D 的坐标，结合两点间距离公式求解出BC 边上中线的长.【详解】设边BC 的中点为(),D x y .因为()3,6B -，()5,2C ，所以3542x +==，6222y -+==-，即()4,2D -，所以AD ==故选：B.7．B 【分析】根据圆的一般方程所需满足的条件得到不等式，解之即可求出结果.【详解】由2240D E F +->，得222(2)(2)4()0a a a +--+>，即440a ->，解得1a <.故选：B.8．A 【分析】由切线性质得O 、A 、B 、P 四点共圆，OP 为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求．【详解】由题意知O 、A 、B 、P 四点共圆，从而OP 的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，1||2OP =为所求圆的半径，所以所求圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=.故选：A.9．AD 【分析】由圆心到直线l 距离d r >可确定l 与圆相离；根据直线g 的方程，可判断出两直线平行.【详解】点M 在圆内，∴222a b r +<. 圆心()0,0到直线l 的距离2d r =>，∴直线l 与圆相离.又直线g 的方程为()ay b x a b-=--，即220ax by a b +--=，∴//l g .10．AD 【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项.【详解】把圆的方程化为标准形式得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)以圆心到直线x －y ＝1的距离为d故选：AD 11．BC 【分析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可.【详解】A ：在平面直角坐标系xOy 中，()20A -，，()40B ，，点P 满足12PA PB=，设()P x y ，12=，化简得2280x y x ++=，即()22416x y ++=，所以A 错误；B ：假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=，设()0Dm ，，()0E n，=化简得()2222338240x y m n x m n +--+-=，由轨迹C 的方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=，解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），所以B 正确；C ：当A ，B ，P 三点不共线时，12OA PAOBPB==，可得射线PO 是APB ∠的角平分线，所以C 正确；D ：若在C 上存在点M ，使得2MOMA =，可设()Mx y ，，=221616033x y x +++=，与2280x y x ++=联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误．故选：BC ．12．BD讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．13．【分析】根据1l 的方程可以求出1l 的倾斜角，及1l 与x 轴的交点坐标，根据1l 与2l 倾斜角的关系确定2l 的倾斜角，利用直线点斜式写出2l 方程即可判断直线2l 在y 轴上的截距.【详解】易知1l 的倾斜角为60︒，所以2l 的倾斜角为9060150︒+︒=︒，又由题意知2l 过点(1,0)-，所以2l的方程为0tan150(1)y x -=︒⋅+，即33y =--，从而可知2l 在y 轴上的截距为3-．故答案为：14【分析】首先根据题意得到y 表示点(),0P x 到点()0,2A 和()3,3B --的距离之和，从而得到当点P 为线段AB 与x 轴的交点时，y 取得最小值，再求AB 即可.【详解】y==y表示点(),0P x到点()0,2A和()3,3B--的距离之和.当点P为线段AB与x轴的交点时，y取得最小值.miny AB===.15．34π【分析】由方程求出圆半径的最大值后可得最大面积．【详解】圆的半径12r=则222211(1)422244m m m mr+--⨯--+==，所以当1m=-时，2max34r=，所以max34Sπ=.故答案为：34π．16．60【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k=+>被圆224xy+=截得的弦长为所以，圆心()0,0O到直线20kx y-+=的距离1d==，1=，解得)0k k=>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tanθ=，则60θ= ．因此，直线()20y kx k=+>的倾斜角为60 ．故答案为：60 ．17．（1）1a=；（2．【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得a 的值．（2）利用两条直线平行的性质求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果．【详解】（1）若直线1:20l ax y ++=，令0y =，求得1l 在x 轴上的截距为22a-=-，∴实数1a =．（2）若直线1:20l ax y ++=与直线2:210l x y -+=平行，则12211a =≠-，求得2a =-，故1:220l x y -++=，即220x y --=，求两平行直线1l 与2l=．18．（1）5150x y +-=；（2）320x y -=或50x y +-=.【分析】（1）先计算AB 中点的坐标，再利用两点式写出直线方程，即得结果；（2）分类讨论直线是否过原点两种情况，分别设直线方程，再将点P 代入计算，即得结果.【详解】解：（1）由题意可知，AB 的中点坐标为()0,3，又点()5,2C ，所以ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为：253205y x --=--，即5150x y +-=；（2）当直线过原点时，设方程为y kx =，∵过点()2,3P ，∴直线方程为32y x =，即320x y -=；当直线不过原点时，设方程为1x ya a+=，∵过点()2,3P ，∴5a =，∴直线方程为155x y+=，即50x y +-=.故所求直线的方程为320x y -=或50x y +-=.19．（1）()()223213x y -+-=；（2）()()223313x y -+-=．【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线，再联立直线l 求解即可；（2）分析C 向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可【详解】（1）因为直线AB 的斜率为50116-=--，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1．又易知线段AB 的中点坐标为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即10x y --=．因为圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．由102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．所以圆心为()3,2C ，半径r CA ==所以圆C 的标准方程是()()223213x y -+-=．（2）由（1），知圆C 的圆心坐标为()3,2，将点()3,2向上平移1个单位长度后得到点()3,3，故圆1C 的圆心坐标为()3,3故圆1C 的标准方程为()()223313x y -+-=．20．（1）53n =；（2）0x y -=．【分析】（1）根据A ∠是直角可知2n ≠且1A AB C k k ⋅=-，由此构造方程求得n ；（2）易知直线l 与直线BC 平行或重合，知直线l 的斜率1BC k k ==，结合直线过坐标原点可得结果.【详解】（1）当2n =时，A ∠不是直角，不合题意；当2n ≠时，A ∠是直角，1AB AC k k ∴⋅=-，即323211111n n ---⋅=-----，解得：53n =；综上所述：53n =.（2） 直线l 与ABC 的高AD 垂直，∴直线l 与直线BC 平行或重合，,B C 不重合，0n ∴≠，∴直线l 的斜率()()33111BC n k k n --===---，又直线l 过坐标原点，∴直线l 的方程为0x y -=．21．（1）22(1)1y x +-=；（2）2（3）163.【分析】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解；（3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =又因为直线截圆M所以221+=⎝⎭，解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得23k =±；（3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111AC t t k MAO t t -=∠==---，同理直线BC 的斜率为：()()222241411BCt t k t t --+==+--，所以直线AC 的方程为：()221t y x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+-，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭，又()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-，当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=.22．（1）最大值为0，最小值为2021-；（2）最大值为-【分析】先求出所给的圆的圆心和半径，（1）4y x -表示圆上的点（x y ）与点A （4，0）连线的斜率k ．设出过点A 的圆的切线方程，根据圆心C 到切线的距离等于半径，求得k 的值，可得k 的最大值和最小值．（2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可.【详解】（1）4y x -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率，设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-，即40kx y k --=，由2=0k =或2021-，结合图形知，4y x -的最大值为0，最小值为2021-.（2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于2-的直线在y 轴上的截距，当直线2x y t +=和圆相切时，有2=t =±，故2x y +的最大值为-。
高二直线和圆的练习题
高二直线和圆的练习题【高二直线和圆的练习题】一、填空题1. 过点A(-1, 3)且与直线L：2x - 3y + 4 = 0垂直的直线方程为__________。
2. 直线L1：x + 2y - 7 = 0和直线L2：3x - y - 4 = 0的交点为__________。
3. 过点A(3, 1)且与直线L：2x + y - 5 = 0平行的直线方程为__________。
4. 直线L1：x - 2y - 3 = 0和直线L2：2x + y - 4 = 0的夹角为__________度。
5. 过点A(-2, 4)且与直线L：3x + 4y - 1 = 0平行的直线方程为__________。
二、选择题1. 直线L1过点A(2, 1)，斜率为2，直线L2过点B(3, 4)，斜率为1/2，则L1与L2的关系是：a) 相交b) 平行c) 垂直d) 重合2. 直线L1过点A(1, -3)，与直线L2：x + 2y - 4 = 0垂直，则L1的斜率为：a) -2b) -1/2c) 1/2d) 23. 设直线L通过点A(3, 2)和点B(5, 4)，直线M通过点C(4, 1)和点D(7, 5)，若L和M平行，则L和M的斜率之差为：a) -1/2b) -1/3c) 0d) 1/24. 过点A(2, 3)的直线L与直线L1：x - 4y + 2 = 0平行，L与直线L2：2x + 3y - 9 = 0垂直，则L的方程为：a) 3x + 2y - 13 = 0b) 3x + 2y + 11 = 0c) 2x + 3y - 5 = 0d) 2x + 3y + 11 = 05. 过点A(1, 4)且垂直于直线L：2x - 3y + 1 = 0的直线方程为：a) 3x + 2y - 7 = 0b) 3x + 2y + 11 = 0c) -3x + 2y - 3 = 0d) -3x + 2y + 11 = 0三、计算题1. 已知直线L1：3x - 4y + 5 = 0和直线L2：x + y - 7 = 0，求L1与L2的交点坐标。
【高二】高二数学下册直线和圆课时同步测试题(含参考答案)
【高二】高二数学下册直线和圆课时同步测试题(含参考答案)高二数学同步测试（1）―直线和圆一、（本主要问题共有10个子问题，每个子问题得5分，共计50分）1．如图所示，直线l1，l2，l3，的斜率分别为k1，k2，k3，则（）a、 k1<k2<k3b．k3<k1<k2c、 k3<kk2<k1d．k1<k3<k22.从点（0,5）到直线y=2x的距离为（）a．b．c．d．3.通过点P（3,2）的直线方程，倾角是直线x-4y+3=0倾角的两倍（）a、 8x-15y+6=0b.x-8y+3=0c．2x-4y+3=0d．8x+15y+6=04.在直角坐标系中，由方程式x+y=1表示的图形所包围的面积为（）a．2b．1c．4d．5.通过点P（2，3）并在两个坐标轴上具有相等截距的直线方程为（）a．x+y-5=0或x-y+1=0b．x-y+1=0c、 3x-2y=0或x+Y-5=0d。
X-Y+1=0或3x-2y=06．设a、b、c分别是△abc中∠a、∠b、∠c所对边的边长，则直线sinax+ay+c=0与bx-sinby+sinc=0的位置关系是（）a、平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直7．直线x-y+4=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长为（）a、 b.2c.3d.48．直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（）a、 x-y=1b.x-y=1c.（x-y）2=1d.x-y=19．若集合那么a的值范围是（）a．b．c．d．10.在约束条件下，目标函数的最小值和最大值为（）a．1，3b．1，2c．0，3d．2，3二、问题（本主要问题共4个子问题，每个子问题6分，共24分）11．如果直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称，那么直线l的方程是．12.如果直线x+Y-2=0，截断圆x2+y2=4，则与下弧相对的圆的中心角为13．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是．14.如果直线L平分圆：x2+y2-2x-4y=0，且不通过第四象限，则L的斜率的值范围为三、解答题（本大题共6小题，共76分）15.求出穿过两点P1（2,1）和P2（2,2）的直线L的斜率(∈ R），并求出Lα的倾角及其取值范围。
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1 高二数学直线与圆单元练习题
1．直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m ＝ ．
2．已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为 ．
3．已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交，则实数m 的取值范围为 ．
4．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆C 的方程
是 ．
5．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是 ．
6．已知AC BD 、为圆O :224x y +=
的两条相互垂直的弦，垂足为(M ,则四边形ABCD 的面积的最大值为 ．
二、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线的方程．
2．已知P （x ，y ）为圆012y 4x 6y x 22=+--+上的点．
（1）求x y 的最大值与最小值； （2）求22y x +的最大值与最小值； （3）求y x -的最大值与最小值．
3．(本小题满分16分)
已知过点A(0,1)，且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1，相交于M 、N 两点．
(1) 求实数k 的取值范围；
(2) 求证：AM →·AN →是定值；
(3) 若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．。