高中数学第一章空间几何体1.3空间几何体的表面积与体积1.3.2球的表课件新人教A版必修 (2)
1.3.2_球的表面积和体积_课件
品质来自专业 信赖源于诚信
掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
3
金太阳教育网
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
1.3.2《球的表面积和体积》
1
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
教学目标
重点难点
球的体积
球表面积
退出
2
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课堂作业 封底
金太阳教育网
教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
15
金太阳教育网
球的表面积
品质来自专业 信赖源于诚信
第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
那么圆的面积就近似等 于R .
2
6
Hale Waihona Puke 金太阳教育网球的体积
品质来自专业 信赖源于诚信
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
品质来自专业 信赖源于诚信
新版人教版高中数学教材最新目录(1)-新版.pdf
人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章集合与函数概念1．1集合1．2函数及其表示1．3函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1指数函数2．2对数函数2．3幂函数第三章函数的应用3．1函数与方程3．2函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1．1空间几何体的结构1．2空间几何体的三视图和直观图1．3空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．2直线、平面平行的判定及其性质2．3直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1直线的倾斜角与斜率3．2直线的方程3．3直线的交点坐标与距离公式必修三：第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2基本算法语句1．3算法案例第二章统计2．1随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2古典概型3．3几何概型阅读与思考概率与密码必修四：第一章三角函数1．1任意角和弧度制1．2任意角的三角函数1．3三角函数的诱导公式1．4三角函数的图象与性质1．5函数y=Asin（ωx+ψ）1．6三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2简单的三角恒等变换必修五：第一章解三角形1．1正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3实习作业第二章数列2．1数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2等差数列2．3等差数列的前n项和2．4等比数列2．5等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2一元二次不等式及其解法3．3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1．1命题及其关系1．2充分条件与必要条件1．3简单的逻辑联结词1．4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2双曲线2．3抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用第三章导数及其应用3．1变化率与导数3．2导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4生活中的优化问题举例实习作业走进微积分选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图选修2-1:第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3双曲线探究与发现2.4抛物线探究与发现阅读与思考第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算阅读与思考向量概念的推广与应用3.2立体几何中的向量方法选修2-2:第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3 第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-1:第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用阅读与思考这样的买彩票方式可行吗探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业选修3-3第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史选修3-4:第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换三平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn二多项式的对称变换三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积第三讲对称与群的故事一带饰和面饰二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论选修4-1:第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行摄影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线选修4-2:第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用选修4-5:第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥选修4-7:第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用选修4-9第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例。
高一数学课件：球的体积和表面积
□ 1.球的体积
如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
1 43πR3 .
2.球的表面积
□ 如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ 2 4πR2 .
4
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
A版 ·数学 ·必修2
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)决定球的大小的因素是球的半径．( √ ) (2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半 径．( √ ) (3)球的体积 V 与球的表面积 S 的关系为 V＝R3S.( √ )
S＝12×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π. 该几何体的体积为 V＝23＋12×43π×13＝8＋23π.
15
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
A版 ·数学 ·必修2
拓展提升
(1)由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积 和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含 义．
6
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
A版 ·数学 ·必修2
3.(教材改编，P27，例 4)若球的过球心的圆面圆周长是 c，
则这个球的表面积是( )
c2 A.4π
c2 B.2π
c2 C. π
D．2πc2
7
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
A版 ·数学 ·必修2
课堂互动探究
13
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
A版 ·数学 ·必修2
探究 2 球的三视图 例 2 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表 面积和体积．
苏教版必修2数学课件-第1章立体几何初步第3节空间几何体的表面积和体积教学课件
栏目导航
合作探究 提素养
栏目导航
棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积 【例 1】 正四棱锥的侧面积是底面积的 2 倍，高是 3，求它的 表面积． 思路探究：由 S 侧与 S 底的关系，求得斜高与底面边长之间的关系， 进而求出斜高和底面边长，最后求表面积．
所以 S 侧＝3×12×(20＋30)×DD′＝75DD′. 又 A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为 S 上＋S 下 ＝ 43×(202＋302)＝325 3(cm2)．
栏目导航
由 S 侧＝S 上＋S 下，得 75DD′＝325 3， 所以 DD′＝133 3(cm)， 又因为 O′D′＝ 63×20＝103 3(cm)， OD＝ 63×30＝5 3(cm)，
错点)
运算核心素养.
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
栏目导航
自主预习 探新知
栏目导航
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体 锥体
V 柱体＝ Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆柱＝ πr2h (r 为底面半径) 1
V 锥体＝ 3Sh (S 为底面面积，h 为高)， V 圆锥＝ π3r2h (r 为底面半径)
栏目导航
台体
V 台体＝ 13h(S＋ SS′＋S′) (S′，S 分别为上、下底面面 积，h 为高)，V 圆台＝ 13πh(r′2＋rr′＋r2) (r′，r 分别为上、 下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系． 提示：V＝Sh―S′―＝→S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′―＝→0 V＝13Sh.
栏目导航
[解] 如图所示，设 SE 是侧面三角形 ABS 的高，则 SE 就是正 四棱锥的斜高．
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
1.3.2 球的体积和表面积
[跟踪训练] 1．过球一条半径的中点，作一垂直于这个半径的截面，截面面积为 48π cm2，则球的表面积为________cm2.
256π [易知截面为一圆面，如图所示，圆 O 是球的过已知半径的大圆， AB 是截面圆的直径，作 OC 垂直 AB 于点 C，连接 OA.由截面面积为 48π cm2， 可得 AC＝4 3 cm.设 OA＝R，则 OC＝12R，所以 R2－12R2＝(4 3)2，解得 R ＝8 cm.故球的表面积 S＝4πR2＝256π(cm2)．
由三视图求球的表面积与体积 例 2、一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形．在此容器内注 入水并且放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆 锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？ 思路探究：设出球未取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下 降后减少的体积来建立一个关系式来解决．
2．若球的过球心的圆面的周长是 C，则这个球的表面积是( )
A．4Cπ2
B．2Cπ2
C．Cπ2
D．2πC2
C [由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.]
3．若将气球的半径扩大到原来的 2 倍，则它的体积扩大到原来的( )
A．2 倍
B．4 倍
C．8 倍
D．16 倍
C [设气球原来的半径为 r，体积为 V，则 V＝43πr3.当气球的半径扩大到 原来的 2 倍后，其体积变为43π(2r)3＝8×43πr3.]
]
2．一平面截一球得到直径是 6 cm 的圆面，球心到这个圆面的距离是 4
cm，则该球的体积是 ( )
A．1030π cm3
B．2038π cm3
C．5030π cm3
D．416313π cm3
高中数学必修二：1.3-2球的表面积和体积.pptx
3
3
18
你能由此推导出半径为R的球的表面积 公式吗？
S 4 R2
经过球心的截面圆面积是什么？它与球 的表面积有什么关系？
球的表面积等于球的大圆面积的 4 倍
19
理论迁移
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等 于球的直径，求证： （1）球的体积等于圆Байду номын сангаас体积的 2 ；
3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2
S S 正多边形
A1OA 2
SA2OA3
SAnOA1
1 2
p( A1A2
A2 A3
An A1)
1 2
pC正多边形
O
当n 时，p R,C正多边形 C圆
p
A3
S圆
1 2
R
2R
R2
A1 A2
12
极限思想
zxxkw
割
圆
术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面
O A
C
M B
R 3 6 , S 54 ,V 27 6
23
2
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍.2
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的倍4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是. 1: 2 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是. 1: 3 4
20
例2 已知正方体的八个顶点都在球O
的球面上，且正方体的表面积为a2，求
球O的表面积和体积.
C′
o
A
21
例3某街心花园有许多钢球（钢的密度是
高中数学人教版必修二：1.3.2《球的体积与表面积》课件
D1
C1
A1
B1
表面积为 4 ( 3 a) 2 3 a 2 2
典例展示
由三视图求几何体的体积和表面积 2r
例5.（2015年新课标I）圆柱被一 个平面截去一部分后与半球(半 径为r)组成一个几何体，该几何 体三视图中的正视图和俯视图如 r 图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则r=（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） 4 （ D） 8
正视图
侧视图
1 （ A） 8 1 （ C） 6
1 （B） 7 1 （ D） 5
俯视图
【解析】由三视图得，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，截去四面体 A A1B1D1，如图所示， 设正方体棱长为 a 则 VA A B D
1 1 1
D1
C1
A1
B1
【答案】D
1 所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5
2 V球 = V柱 3
与球组合的组合体的表面积和体积
两个几何体相切: 一个几何体的各个面与另一个几何体的各面相切.
典例展示
例3.求棱长为
a 的正方体的内切球的体积和表面积.
D1 A1 C1
分析：正方体的中心为球的球心， 正方体的棱长为球的直径。
【解析】正方体的内切球的直径为
4 3 所以球的体积为 a . 3
1 3 5 3 故剩余几何体体积为 a a a 6 6
3
1 1 3 1 3 a a 3 2 6
一、基本知识
柱体、锥体、台体、球的表 面积 展开图
圆柱 S 2r (r l ) 圆台S (r2 r 2 rl rl )
圆锥 S r (r l )
第一章 §1.3.1 球的表面积和体积.
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
4 4 5 3 125 3 V R ( ) cm 3 3 3 2 6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它 的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
圆锥的母线长 2a，底面半径 a. ∴圆柱的侧面积 S1＝2π·2a· 3a＝4 3πa2， 圆锥的侧面积 S2＝π·a· 2a＝2πa2， 圆柱的底面积 S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积 S4＝πa2， ∴组合体上底面积 S5＝S3－S4＝3πa2， ∴旋转体的表面积 S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4 3＋9)πa2.
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
A
D D
B
C
O
A1 A
1
C1 B1 B
D
夹在两个平行平面之间的两个空间几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的 面积总相等，那么这两个空间几何体的体积相等．
棱柱的体积公式:V=S h
重要结论：等底等高的两个棱柱的体积相等
棱锥的体积
棱柱的体积公式:V=S h
问题1.棱锥的体积公式是什么?
问题2.棱锥的体积公式是如何推导的.
(2)因为 S 球＝4πR2，S 圆柱侧＝2πR· 2R＝4πR2， 所以 S 球＝S 圆柱侧．
证明
小结
(1)球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方
高中数学第1章 1.31.3.2空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选择性必修第一册
2.已知 a＝(1,0,1)，b＝(2，－2,0)，则〈a，b〉＝_______.
60° [因为 a·b＝1×2＋0×(－2)＋1×0＝2，
|a|＝ 12＋02＋12＝ 2，
|b|＝ 22＋－22＋02＝2 2，
所以 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
2 2×2
2＝12，
因此〈a，b〉＝60°.]
[解] 建立如图所示空间直角坐标系 Oxyz，则有 E0，0，12， F12，12，0，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，G0，34，0，H0，78，12.
(1)E→F＝12，21，0－0，0，12＝12，21，－12， C→1G＝0，34，0－(0,1,1)＝0，－14，－1， ∴|C→1G|＝ 417.
知识点 2 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示
设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
平行(a∥b)
a1＝λb1， a2＝λb2，λ∈R
a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔____a_3＝__λ_b_3___________
垂直(a⊥b)
a⊥b⇔a·b＝0⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非 零向量)
∴FH＝|F→H|＝
－212＋382＋122＝
41 8.
用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什 么？
[提示] 1根据条件建立适当的空间直角坐标系； 2写出相关点的坐标，用向量表示相关元素； 3通过向量的坐标运算求夹角和距离.
[跟进训练] 3．在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1 ＝2，Q 为 A1A 的中点． (1)求B→Q的长； (2)求 cos〈B→Q，C→B1〉，cos〈B→A1，C→B1〉，并比较〈B→Q，C→B1〉， 〈B→A1，C→B1〉的大小．
人教版数学必修二课件：1-3-3球的体积和表面积
答案：C
图 10
这个球的表面积是( )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
(2)(2019 年高三模拟)已知边长为 2 的正方形 BCDE 所在的平面与腰长为 3 的等腰
三角形 ABC 所在的平面垂直，若多面体 ABCDE 的各个顶点均在球面上，则该球的表
面积为( )
A．226π
B．113π
图5
C.238π
D.1183π
第一章 空间几何体
第三节 空间几何体的表面积与体积
第三课时 球的体积和表面积
目标导向
1．知识与技能 能运用球的表面积和体积公式解决实际问题． 2．过程与方法 直接给出球的体积与表面积公式，证明留待以后．求球的体积与表面积关键是求球 的半径． 3．情感、态度与价值观 通过利用球的体积与表面积公式解决实际问题，增强学生的数学应用意识．
知识导学
知识点 1 V 球＝43πR3(R 为球的半径) 知识点 2 S 球面＝4πR2
重点导析
重点：能灵活运用球的表面积和体积公式解决实际问题．
思维导悟
导悟 1 球的体积和表面积 【例 1】 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积． (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积． 【(3分)已析知】球的在体面积积为和5体 030积π公，式求中它，的共表面3 个积量．，半径 R 起着桥梁作用，知一可求二， 关键求半径 R. 【解】 (1)∵直径为 6 cm， ∴半径 R＝3 cm. ∴表面积 S 球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积 V 球＝43πR3＝36π(cm3)．
图4
(2)球心 O 在 PE 上，AE＝2 2，PA＝2 11 设 PO＝OA＝R 在 Rt△AOE 中，R2＝(6－R)2＋(2 2)2 R＝131 S＝4πR2＝4849π 【答案】 (1)27π (2)B
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
制作一个乒乓球和一个篮球，分别需要多少材质？
把氢气球充满，需要多少氢气呢？
1.了解球的体积、表面积的推导过程.（难点） 2.能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题.
（重点） 3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”
与“外切”的几何体问题．（难点）
知识探究1 怎样求球的体积?
两个半径为 1 的铁球，熔化成一个大球，这个大球的
半径为( C )
A．2
B. 2
C. 3 2
D.12 3 4
【解题关键】熔化前后体积相等。
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证： （1）球的体积等于圆柱体积的 2.
3 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
（B）
D．都不对
【解题关键】正方体的体对角线与球的直径相等。
【例 2】 (1)火星的直径约为地球直径的一半，
地球的体积约是火星体积的多少倍？
(2)木星的表面积约为地球表面积的 120 倍，木星
的体积约是地球体积的多少倍？ 【解析】 (1)设火星的半径为 R，则地球的半径
为 2R， 因此VV地 火＝43π43π2RR33＝8. 故地球的体积约是火星体积的 8 倍．
高为2R.
因为V球
4 R3 ,V 圆柱 3
所以，V球
2
V 圆柱
3
R2 2R 2 R3,
（2）因为 S球 4 R2 ，
S = 圆柱侧 2 R 2R 4 R2 ，
所以, S球
S 圆柱侧.
【变式练习】
长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它
的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
A．25π
B． 50π C． 125π
【变式练习】
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,求这个球的体积.
32 3
1.（2016·全国卷 I）如图，某几何体的三视图是三个半径相等 的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28π ，
3
则它的表面积是( A )
A.17π B.18π C.20π D.28π
2.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此
球的半径是( B )
A. 3
B.3
C.4
D.5
3.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与
半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中
的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积
为16+20π,则r=( B )
A
球体的分割
O
球体由N个这样形状的几何体 组成，近似的看做圆台。
这样可以求出球体的体积为
V 4 R3 3
球的表面积
O
球面被分割成n个网格，表面积分别为
S
，
1
S
，
2
S 3 ,
,
S
n
则球的表面积为
S S1 S2 S3 Sn
Si
O Vi
思考4:你能由此推导出半径为R的球的表面积公 式吗？
1.实验：排液法测小球的体积
放入小球前
h
1.实验：排液法测小球的体积
放入小球后
H h
小球的体积 等于它排开 液体的体积
怎样求球的体积和表面积？
2.割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面 积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”.这样 重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割， 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想.
A.1
B.2
C.4
D.8
4.(2015·全国卷Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC
体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ( C )
A.36π B.64π C.144π D.256π
5.（2016·全国卷 II）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何
S1
R
4 3 R 3 V 球 1 3 R S 1 1 3 R S 2 1 3 R S 3 1 3 R S 球 面
半径是R的球的表面积：S 4 R 2
球的表面积是大圆 面积的4倍
球的体积与表面积
1.球的体积公式：V 4 R 3. 3
2.球的表面积公式： S 4 R 2 .
【即时训练】
体的三视图，则该几何体的表面积为
（ C）
A.20π
B.24π C.28π D.32π
6.表面积为4π的球的半径是
.
【解析】设球的半径为R,则S=4πR2=4π,得R=1.
答案:1
1.球知识结构图 球
表面积 体积
2.空间几何体结构图
结构
空间几何体
三视图和直观图 表面积和体积柱锥台球三视图
直观图 表面积
体积
(2)设木星和地球的半径分别为 r、R. 依题意，有 4πr2＝120×4πR2，解得 r＝2 30R. 所以VV木地＝4343ππRr33＝43π234πR303R3＝240 30. 故木星的体积约是地球体积的 240 30倍．
【总结提升】求解球的体积的大小问题，实际是 转化为求它们的半径之间的关系．