第二十四章《圆》学案

24.1、1《圆》学案编制人刘同祥学习目标：【知识与技能】理解圆的定义及弧、弦、半圆、直径等相关概念。

【过程与方法】经历动手实践、观察思考、分析概括的学习过程，养成自主探究、合作交流的良好习惯。

【情感、态度与价值观】利用我国悠久的数学研究历史，对学生进行爱国主义熏陶；通过圆的完美性，让学生进行美的体验。

【重点】与圆有关的概念【难点】圆的概念的理解学习过程:（一）复习巩固1、举出生活中的圆的例子2、圆既是对称图形，又是对称图形。

3、圆的周长公式C= 圆的面积公式S=（二）自主探究1、圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“”决定圆的位置，决定圆的大小。

圆的定义○2：到的距离等于的点的集合．2、弦：连接圆上任意两点的叫做弦直径：经过圆心的叫做直径3、弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆优弧：半圆的弧叫做优弧。

用个点表示，如图中叫做优弧劣弧：半圆的弧叫做劣弧。

用个点表示，如图中叫做劣弧等圆：能够的两个圆叫做等圆等弧：能够的弧叫做等弧4、如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？24、1、2垂直弦的直径学案学习目标： 编制人 刘同祥 【知识与技能】1理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其他结论2学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题 3了解拱高、弦心距等概念 【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其他结论的过程，锻炼思维品质，学习证明的方法 【情感、态度与价值观】在学生通过观察、操作、变换、探究出图形的性质后，还要求对发现的性质进行证明，培养学生的 新意识，良好的运用数学 【重点】垂径定理及其推论 【难点】垂径定理及其推论学习过程: 一、自主学习（一）复习巩固判断：1、直径是弦，弦是直径。

（ ）2、半圆是弧，弧是半圆。

（ ）3、周长相等的两个圆是等圆。

（ ）4、长度相等的两条弧是等弧。

（ ）5、同一条弦所对的两条弧是等弧。

（ ）6、在同圆中，优弧一定比劣弧长。

（） 7、请在图上画出弦CD ，直径AB.并说明___________________________叫做弦； _________________________________ 叫做直径.8、在图上画出弧、半圆、优弧与劣弧并填出概念及表示方法.弧：___ _ 半圆：_________________________ 优弧：________________ _ 表示方法：__ 劣弧：______________________________ _,表示方法：______9、同心圆: __________________ _ _等圆: __________________________ _. 10、同圆或等圆的半径_______.等弧: _______________________（二）自主探究请同学按下面要求完成下题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ． （1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ 相等的线段：相等的弧：表达式： 下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，弧AC=BC ，弧AD=BD.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中∴Rt △OAM ≌Rt △OBM( ) ∴AM=∴点 和点 关于CD 对称 ∵⊙O 关于CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，弧AC 与BC 重合，AD 与CD 重合． ∴ ， ，表达式： （三）、归纳总结：1．圆是 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理 推论．（四）自我尝试：1、辨析题：下列各图，能否得到AE=BE 的结论？为什么？2、赵州桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m ，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m ，你能求出赵州桥的主桥拱的半径吗？DA AA D注：在半径r,弦a ，弦心距d,拱高h 四个量中，任意知道其中的 个量中，利用 定理，就可以求出其余的量。

3、如图，两圆都以点O 为圆心，求证AC=BD二、教师点拔1、圆是轴对称图形，经过圆心的 都是它的对称轴。

由此可得出垂径定理：垂直于弦的直径 弦，并且 弦所对的两条弧。

平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧。

如果具备垂径定理五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个及其推论，可以概括如下，对于一个圆和一条直线来说，如果一条直线具备① 经过圆心，② 垂直于弦， ③平分弦（不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备了其他三个。

在圆的有关计算和证明中，常作圆心到 的垂线段，这样不仅为利用垂径定理创造条件，而且为构造直角三角形利用勾股定理，沟通已知与未知量之间的关系创造条件。

2、本节学习的数学方法是数形结合和转化思想。

三、课堂检测 P82 练习1、2 四、课外训练1．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．2．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______（只需写一个正确的结论）（6）3．如图6，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，则弦CD 长 4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 弧所在圆的圆心，•其中CD=300m ，E 为CD 弧上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=45m ，求这段弯路的半径．5.AB 和CD 分别是⊙O 上的两条弦，圆心O 到它们的距离分别是，OM和ON 的大小有什么关系？为什么？A BB '24、1、3 弧、弦、圆心角学案编制人 刘同祥学习目标：【知识与技能】1理解圆的旋转不变性，掌握圆心角的概念以及弧、弦、圆心角之间的相等关系，并能运用这些关系解决有关的证明、计算2弧、弦、圆心角之间的相等关系是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据 【过程与方法】经历探索发现圆的旋转不变性，证明圆心角、弦、弧之间的关系 【情感、态度与价值观】学生通在探索圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间关系过程中体验其成立的喜悦 【重点】弧、弦、圆心角之间的相等关系 【难点】定理的证明学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固（1）圆是轴 图形，任何一条 所在直线都是它的对称轴．（2）垂径定理 推论 ． （二）自主探究如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做 ．请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？相等的弦： ；相等的弧： 理由：结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ． 表达式：同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ．表达式：⌒ D⌒ ⌒ ⌒ 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，•所对的 也相等．表达式：注：同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 。

（三）、归纳总结：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的弦也 ．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的弦也 ．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 ，•所对的 也相等．（四）自我尝试：1、如图，在⊙O 中，AB=AC∠ACB =60 °， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC2、如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦。

（1）如果AB=CD ，那么 ，（2）如果AB=CD ，那么 ，（3）如果∠AOB=∠COD ，那么 ，（4）如果AB=CD ，OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ，OE 与OF 相等吗？为什么？3、如图，AB 是⊙O 的直径，BC=CD=DE ，∠COD=35 °，求∠AOE 的度数。

二、教师点拔1、根据圆的旋转不变性，可以得出关于圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反过来也成立，也就是说：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。

特别注意的是：运用本知识点时应注意其成立的条件：“同圆或等圆中”；本知识点是证明弦相等、弧相等的常用方法。

在同圆或等圆中，圆心角和弧间的倍分关系可以互相转化，但与弦之间⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 倍分关系就不能互相转化2、本节学习的数学方法是归纳、化思想。

三、课堂检测1、已知⊙O 的半径为2，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 ，AB 的弦心距为 .2、如图5，在半径为2的⊙O 内有长为32的弦AB,则此弦所对的圆心角∠AOB= °.3、如图6，在⊙O 中，弦AB=CD 。

求证：（1）DB=AC;（2）∠BOD=∠AOC.4、如果两个圆心角相等，那么（ ）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对5、在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧 AB 与CD 关系是（ ）A ．AB =2CD B ．AB >2CDC ．AB <2CD D ．不能确定 6、如图7，⊙O 中，如果 AB =2AC ，那么（ ）． A ．AB=2AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC7、 P83 练习1、2 四、课外训练1、一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．2、圆内接梯形ABCD 中，AB ∥CD ，⊙O 半径为13，AB=24，CD=10，则梯形面积为3、如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N•在⊙O上． （1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM=MN=NB成立吗？⌒ ⌒4、如图，∠AOB=90°，C、D是AB三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，⌒求证：AE=BF=CD．24、1、4 圆周角学案（1）编制人刘同祥学习目标：【知识与技能】理解圆周角的概念及其相关性质，并能运用相关性质解决有关问题【过程与方法】经历探索圆周角的有关性质的过程，体会分类、转化等数学思想方法，学会数学地思考问题【情感、态度与价值观】在探求新知的过程中学会合作、交流体会数学中的分类转化等方法。