2018届一轮复习人教A版 专题1.3 跳出10个解题陷阱-备战高三数学考试万能工具包 学案
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章 第2节 排列与组合
高三一轮总复习
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( ) )
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(
m (3)若组合式 Cx ＝ C n n ，则 x＝m 成立．(
)
(4)排列定义规定给出的 n 个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不 相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．( )
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3 B [当五位数的万位为 4 时，个位可以是 0,2，此时满足条件的偶数共有 C1 A 2 4
＝48 个；当五位数的万位为 5 时，个位可以是 0,2,4，此时满足条件的偶数共有 C1 3 A3 4＝72 个， 所以比 40 000 大的偶数共有 48＋72＝120 个．]
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法二(间接法)：从 9 人中选 3 人有 C3 9种方法， 其中甲、乙均不入选有 C3 7种方法，
3 ∴满足条件的选排方法有 C3 9－C7＝84－3，C，D，E 五人并排站成一排，如果 B 必须站在 A 的右边(A，B 可 以不相邻)，那么不同的排法共有________种．
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3．(2016· 四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的 个数为( A．24 C.60 ) B.48 D.72
D [第一步，先排个位，有 C1 3种选择； 第二步，排前 4 位，有 A4 4种选择．
4 由分步乘法计数原理，知有 C1 · A 3 4＝72(个)．]
(2)(2017· 北京西城区质检)把 5 件不同产品摆成一排， 若产品 A 与产品 B 相邻， 且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有________种. 【导学号：01772381】
2018版高三数学一轮复习(3年真题分类+考情精解读+知识全通关+题型全突破+能力大提升)第14章
第十四章 推理与证明1.(2016·新课标全国Ⅲ，4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是( ) A.各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于20 ℃的月份有5个1.解析 由题意知，平均最高气温高于20 ℃的六月，七月，八月，故选D. 答案 D2.(2016·浙江，8)如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|,A n ≠A n＋2,n∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A.{S n }是等差数列B.{S 2n }是等差数列C.{d n }是等差数列D.{d 2n }是等差数列2.解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)， 从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|，S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A.答案 A3.(2014·山东，4)用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A.方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C.方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D.程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 3.解析 至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 答案 A4.(2016·新课标全国Ⅱ，16)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________.4.解析 由丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”可知，丙为“1和2”或“1和3”，又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，所以乙只可能为“2和3”，所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，所以甲只能为“1和3”. 答案 1和35.(2016·山东，12)观察下列等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3－2＝43×1×2；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sinπ2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin2n π2n ＋1－2＝________.5.解析 观察等式右边的规律：第1个数都是43，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1.答案 43×n ×(n ＋1)6.(2015·陕西，16)观察下列等式 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …据此规律，第n 个等式可为________．6.解析 等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n 个等式左边有2n 项且正负交错，应为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n 个有n 项，且由前几个的规律不难发现第n 个等式右边应为1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). 答案 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n7.(2014·福建，16)已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________． 7.解析 可分下列三种情形：(1)若只有①正确，则a ≠2，b ≠2，c ＝0，所以a ＝b ＝1与集合元素的互异性相矛盾，所以只有①正确是不可能的；(2)若只有②正确，则b ＝2，a ＝2，c ＝0，这与集合元素的互异性相矛盾，所以只有②正确是不可能的；(3)若只有③正确，则c ≠0，a ＝2，b ≠2，所以b ＝0，c ＝1，所以100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 答案2018.(2014·课标Ⅰ，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．8.解析 根据甲和丙的回答推测乙没去过B 城市，又知乙没去过C 城市，故乙去过A 城市． 答案 A9.(2016·浙江，20)设函数f (x )＝x 3＋11＋x，x ∈[0，1]， 证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34＜f (x )≤32. 9.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ） ＝1－x 41＋x，由于x ∈[0，1]，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1得x 3≤x ， 故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝（x －1）（2x ＋1）2（x ＋1）＋32≤32， 所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ＋34≥34，又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝1924＞34，所以f (x )＞34.综上，34＜f (x )≤32.10.(2015·四川，21)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0. (1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0,1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解． 综上，34＜f (x )≤32.10.解 (1)由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x，当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0，解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2＝(1＋ln x )2－2x ln x ， 则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0，令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)，其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)， 由u ′(x )＝1－1x≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0， 故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．11.(2015·江苏，20)设a 1,a 2,a 3,a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)证明：2a 1,2a 2,2a 3,2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1,d ,使得a 1,a 22,a 33,a 44依次构成等比数列？并说明理由；(3)是否存在a 1,d 及正整数n ,k ，使得a n 1,a n +k 2,a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列？并说明理由． 11.(1)证明 因为2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列，(2)令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)． 假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝d a ，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜t ＜1，t ≠0，化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1.将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0， 则t ＝－14，显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．(3)解 假设存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k2，a n +2k3，a n +3k4依次构成等比数列， 则a n1(a 1＋2d )n +2k＝(a 1＋d )2(n +k )，且(a 1＋d )n +k (a 1＋3d )n +3k＝(a 1＋2d )2(n +2k )．分别在两个等式的两边同除以a 2(n +k )1及a 2(n ＋2k )1，并令t ＝d a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＞－13，t ≠0，则(1＋2t )n ＋2k＝(1＋t )2(n ＋k )，且(1＋t )n ＋k(1＋3t )n ＋3k＝(1＋2t )2(n ＋2k )．将上述两个等式两边取对数，得(n ＋2k )ln(1＋2t )＝2(n ＋k )ln(1＋t )， 且(n ＋k )ln(1＋t )＋(n ＋3k )ln(1＋3t )＝2(n ＋2k )ln(1＋2t )． 化简得2k [ln(1＋2t )－ln(1＋t )]＝n [2ln(1＋t )－ln(1＋2t )]， 且3k [ln(1＋3t )－ln(1＋t )]＝n [3ln(1＋t )－ln(1＋3t )]．再将这两式相除，化简得ln(1＋3t )ln(1＋2t )＋3ln(1＋2t )ln(1＋t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )(**)．令g (t )＝4ln(1＋3t )ln(1＋t )－ln(1＋3t )ln(1＋2t )－3ln(1＋2t )ln(1＋t )， 则g ′(t )＝2[（1＋3t ）2ln （1＋3t ）－3（1＋2t ）2ln （1＋2t ）＋3（1＋t ）2ln （1＋t ）]（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）.令φ(t )＝(1＋3t )2ln(1＋3t )－3(1＋2t )2ln(1＋2t )＋3(1＋t )2ln(1＋t )， 则φ′(t )＝6[(1＋3t )ln(1＋3t )－2(1＋2t )ln(1＋2t )＋(1＋t )ln(1＋t )]． 令φ1(t )＝φ′(t )，则φ1′(t )＝6[3ln(1＋3t )－4ln(1＋2t )＋ln(1＋t )]． 令φ2(t )＝φ1′(t )，则φ2′(t )＝12（1＋t ）（1＋2t ）（1＋3t ）＞0.由g (0)＝φ(0)＝φ1(0)＝φ2(0)＝0，φ′2(t )＞0，知φ2(t )，φ1(t )，φ(t )，g (t )在⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,31和(0，＋∞)上均单调． 故g (t )只有唯一零点t ＝0，即方程(**)只有唯一解t ＝0，故假设不成立． 所以不存在a 1，d 及正整数n ，k ，使得a n1，a n +k 2，a n +2k 3，a n +3k4依次构成等比数列．12.(2014·天津，20)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合M ＝{0,1,2,…,q －1},集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1,x i ∈M ,i ＝1,2,…,n }．(1)当q ＝2,n ＝3时,用列举法表示集合A ； (2)设s ,t ∈A ,s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1,t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1,其中a i ,b i ∈M ,i ＝1,2,…,n .证明：若a n ＜b n ,则s ＜t .12.(1)解 当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋x 2·2＋x 3·22，x i ∈M ，i ＝1，2，3}．可得A ＝{0，1，2，3，4，5，6，7}． (2)证明 由s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n q n －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n q n －1，a i ，b i ∈M ，i ＝1，2，…，n 及a n <b n ，可得s －t ＝(a 1－b 1)＋(a 2－b 2)q ＋…＋(a n －1－b n －1)q n －2＋(a n －b n )qn －1≤(q －1)＋(q －1)q ＋…＋ (q －1)qn －2－qn －1＝（q －1）（1－q n －1）1－q－q n －1＝－1<0.所以s <t .。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习课件：第10章 第4节 随机事件的概率
解得 x＝15，且 y＝20.2 分 该超市所有顾客一次性购物的结算时间组成一个总体， 100 位顾客一次购物的 结算时间视为总体的一个容量为 100 的简单随机抽样，顾客一次购物的结算时间 的平均值可用样本平均数估计． 1×15＋1.5×30＋2×25＋20×2.5＋10×3 又x＝ ＝1.9， 100 ∴估计顾客一次购物的结算时间的平均值为 1.9 分钟.5 分
高三一轮总复习
(2)设 B，C 分别表示事件“一位顾客一次购物的结算时间分别为 2.5 分钟、3 分钟”．设 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率．”7 分 20 1 将频率视为概率，得 P(B)＝100＝5， 10 1 P(C)＝100＝10.
高三一轮总复习
∵B，C 互斥，且 A ＝B＋C， 1 1 3 ∴P( A )＝P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝5＋10＝10，10 分 3 7 因此 P(A)＝1－P( A )＝1－10＝10， ∴一位顾客一次购物结算时间不超过 2 分钟的概率为 0.7.12 分
A∩B ______
(或 AB)
(积事件) 则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)
高三一轮总复习
互斥 若 A∩B 为 不可能 事件，那么称 事件 事件 A 与事件 B 互斥 对立 事件 若 A∩B 为不可能事件，A∪B 为
A∩B＝∅
必然事件 ，那么称事件 A 与事件 ___________
随机事件的频率与概率
(2016· 全国卷Ⅱ)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种 的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出 险次数 保 费 0 1 2 3 4 ≥5 2a
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a
2018版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件第一章 集合与常用逻辑用语 第3讲
知识梳理
1.简单的逻辑联结词 (1)命题中的_且__、__或_、__非_叫做逻辑联结词. (2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p
q
真真
真假
假真
假假
p且q
真
_______
假
______
假
假
p或q 真 真 真
假
_____
非p 假 假
真
_____
真 _____
基础诊断
考点突第破三页，编辑于星期六课：二堂十总二点结三十一分。
C.∃x0∈R，ex0－x0－1<0
D.∀x∈R，ex－x－1≤0
(2)(2014·全国Ⅰ卷)不等式组xx＋ －y2≥y≤1， 4 的解集为 D，有下面四个命题：
p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x0，y0)∈D，x0＋2y0≥2， p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x0，y0)∈D，x0＋2y0≤－1. 其中的真命题是( )
＝0，则B为真命题；当x＜0时，x3＜0，则C为假命题；由指
数函数的性质知，∀x∈R，2x＞0，则D为真命题.故选C.
答案 C
基础诊断
考点突第破九页，编辑于星期六课：二堂十总二点结三十一分。
5.(2015·山东卷)若“∀x∈0，π4 ，tan x≤m”是真命题，则实数 m 的最小值为________. 解析 ∵函数 y＝tan x 在0，π4 上是增函数， π ∴ymax＝tan 4 ＝1，依题意，m≥ymax，即 m≥1. ∴m 的最小值为 1. 答案 1
[思想方法] 1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”“且”“非
基础诊断
考点突第破二十三页，编辑于星课期六堂：总二十结二点 三十一 分。
2018版高考数学人教A版理一轮复习课件：第10章 第3节 二项式定理 精品
＝________.
(1)D (2)0 [(1)∵(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等， ∴C3n＝C7n，解得 n＝10. 从而 C010＋C110＋C210＋…＋C1100＝210， ∴奇数项的二项式系数和为 C010＋C210＋…＋C1100＝29. (2)令 x＝1，得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1. 又令 x＝0，得 a0＝(1－0)4＝1. 因此 a1＋a2＋a3＋a4＝0.]
5．(2017·济南模拟)已知(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的系数为 5，则 a＝ ________.
－1 [(1＋x)5＝1＋C15x＋C25x2＋C35x3＋C45x4＋C55x5. ∴(1＋ax)(1＋x)5 的展开式中 x2 的项为(C25＋C15a)x2， 依题意得 10＋5a＝5，解得 a＝－1.]
抓
基
础
· 自
第三节 二项式定真] 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
1．二项式定理 (1)二项式定理： (a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn (n∈N*)； (2)通项公式：Tr＋1＝ Cnran－rbr ，它表示第 r＋1 项；
[易错与防范] 1．二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k＋1 项． 2．(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同 的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念， 注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Cnk(k＝ 0,1，…，n)．
高考数学一轮复习 专题18 任意角、弧度制及任意角的三角函数(含解析)-人教版高三全册数学试题
专题18任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.基础知识融会贯通 1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }． (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 2．弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)． 三个三角函数的性质如下表：三角函数 定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号 第四象限符号sinαR＋ ＋ － － cosR＋－－＋αtanα{α|α≠k π＋π2，k ∈Z } ＋－＋－4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .【知识拓展】1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 2．任意角的三角函数的定义(推广)设P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r，tan α＝y x(x ≠0)．重点难点突破 【题型一】角及其表示【典型例题】已知集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：集合{α|2k πα≤2k π，k ∈Z }，表示第一象限的角，故选：B ． 【再练一题】直角坐标系内，β终边过点P （sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（ ）A ．2+2πk ，k ∈ZB ．2+k π，k ∈ZC ．2+2k π，k ∈zD ．﹣2+2k π，k ∈Z【解答】解：∵β终边过点P （sin2，cos2），即为（cos （2），sin （2））∴终边与β重合的角可表示成2+2k π，k ∈Z ，故选：A ．思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角． (2)确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先写出kα或αk 的X 围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk的终边所在位置． 【题型二】弧度制 【典型例题】已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，试求扇形的圆心角的弧度数（）A．1B．4C．1或 4D．1或 2【解答】解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．故选：C．【再练一题】将300°化成弧度得：300°＝rad．【解答】解：∵180°＝π，∴1°，则300°＝300．故答案为：．思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．【题型三】三角函数的概念及应用命题点1 三角函数定义的应用【典型例题】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝（）A．B．C．1D．﹣1【解答】解：角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，若A（x，3）是角θ终边上一点，且，则x＝﹣1，故选：D．【再练一题】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sinα，3），则cosα＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵由题意可得：x＝2sinα，y＝3，可得：r，∴cosα，可得：cos2α，整理可得：4cos4α﹣17cos2α+4＝0，∴解得：cos2α，或（舍去），∴cosα．故选：A．命题点2 三角函数线的应用【典型例题】已知，a＝sinα，b＝cosα，c＝tanα，那么a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【解答】解：作出三角函数对应的三角函数线如图：则AT＝tanα，MP＝sinα，OM＝cosα，则sinα＞0，AT＜OM＜0，即sinα＞cosα＞tanα，则a＞b＞c，故选：A．【再练一题】已知a ＝sin ，b ＝cos ，c ＝tan ，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c【解答】解：因为，所以cos sin ，tan 1，所以b ＜a ＜c ． 故选：A ．思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的X 围．基础知识训练1．【某某省某某市第八中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角θ的终边经过点()2,3-，则（ ）A ．5B ．15-C ．15D ．5-【答案】A【解析】由任意角的三角函数定义可知：3 tan2θ=-本题正确选项：A2．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知：角的终边不能落在坐标轴上，当角终边在第一象限时，当角终边在第二象限时，当角终边在第三象限时，当角终边在第四象限时，因此函数的值域为，故选：C.3．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】已知角α的终边上一点P的坐标为，则sinα的值为（）A．12B．1-2C3D．3【答案】B 【解析】解：角α的终边上一点P 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 它到原点的距离为r =1，由任意角的三角函数定义知：，故选：B ．4．【某某省宁县第二中学2018-2019学年高一下学期期中考试】已知点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限，则在[0，2π）内α的取值X 围是（ ）A ．（2π，34π）∪（54π，32π） B ．（0，4π）∪（54π，32π） C ．（2π，34π）∪（74π，2π）D ．（2π，34π）∪（π，32π）【答案】C 【解析】∵点P （sinα+cosα，tanα）在第四象限， ∴，由sinα+cosα2=（α4π+）， 得2kπ＜α4＜π+2kπ+π，k∈Z，即2kπ4π-＜α＜2kπ34π+π，k∈Z． 由tanα＜0，得kπ2π+＜α＜kπ+π，k∈Z．∴α∈（2π，34π）∪（74π，2π）．故选：C ．5．【某某省示X 高中2018-2019学年高一下学期第三次联考】若角θ是第四象限角，则32πθ+是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C 【解析】角θ是第四象限角.，则故32πθ+是第三象限角.故选C. 6．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期第四次月考】已知且sin 0α>，则下列不等式一定成立的是（） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】 由于且sin 0α>，故α为第二象限角，故，故D 选项一定成立，故本小题选D. 7．【某某某某市第三中学2018-2019学年高一5月月考】半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ．A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【答案】D 【解析】由题意，半径1r cm =，中心角，又由弧长公式，故选：D ．8．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与0420-终边相同的角是（ ） A ．0120- B ．0420C ．0660D ．0280【答案】C 【解析】与0420-角终边相同的角为：，当3n =时，．故选：C．9．【某某省某某师X大学附属实验中学2018-2019学年高一下学期第二次月考】下列说法正确的是（）A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90︒的角是钝角D．-165︒是第二象限角【答案】A【解析】解：钝角的X围为，钝角是第二象限角，故A正确；﹣200°是第二象限角，60°是第一象限角，-200°＜60°，故B错误；由钝角的X围可知C错误；-180°＜-165°＜-90°，-165°是第三象限角，D错误．故选：A．10．直角坐标系内，角β的终边过点，则终边与角β重合的角可表示成（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为点为第四象限内的点，角β的终边过点，所以β为第四象限角，所以终边与角β重合的角也是第四象限角，而，均为第三象限角，为第二象限角，所以BCD排除，故选A11．【某某省某某市启东中学2018-2019学年高二5月月考】给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号） 【答案】③ 【解析】 ①43απ=-，则α为第二象限角；3πβ=，则β为第一象限角，此时αβ<，可知①错误；②当三角形的一个内角为直角时，不属于象限角，可知②错误； ③由弧度角的定义可知，其大小与扇形半径无关，可知③正确； ④若3πα=，23πβ=，此时，但,αβ终边不同，可知④错误；⑤当θπ=时，，此时θ不属于象限角，可知⑤错误．本题正确结果：③12．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】与02018-角终边相同的最小正角是______ 【答案】0142 【解析】 解：，即与02018-角终边相同的最小正角是0142， 故答案为：0142．13．【某某省某某市郏县第一高级中学2018-2019学年高一下学期第二次5月月考】从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π2- 【解析】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟，故分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32π-. 14．【2017届某某省某某市石室中学高三二诊模拟考试】已知角3πα+的始边是x 轴非负半轴．其终边经过点34(,)55P --，则sin α的值为__________．【答案】43310-+ 【解析】解：∵点P （1，2）在角α的终边上，∴tan α2=， 将原式分子分母除以cos α，则原式故答案为：5．16．【某某省涟水中学2018-2019学年高二5月月考】欧拉公式（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e -表示的复数在复平面中位于第_______象限. 【答案】三 【解析】由题e -3i＝cos3-i sin3，又cos3<0, sin3>0,故3i e -表示的复数在复平面中位于第三象限. 故答案为三17．【某某省会宁县第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】（1）已知扇形的周长为8，面积是4，求扇形的圆心角．（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形的面积最大？ 【答案】（1）2；（2）当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100． 【解析】（1）设扇形的圆心角大小为α()rad ，半径为r ，则由题意可得：．联立解得：扇形的圆心角2α=． （2）设扇形的半径和弧长分别为r 和l , 由题意可得240r l +=， ∴扇形的面积．当10r =时S 取最大值，此时20l =， 此时圆心角为2l rα，∴当半径为10圆心角为2时，扇形的面积最大，最大值为100．18．【某某市徐汇区2019届高三上学期期末学习能力诊断】我国的“洋垃极禁止入境”政策已实施一年多某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角，该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内在圆弧的两端点A ，B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里．求海域ABCD 的面积；现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点海里判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由． 【答案】（1）平方海里； （2）这艘不明船只没进入了海域ABCD ．.【解析】，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD，，，平方海里，由题意建立平面直角坐标系，如图所示；由题意知，点P在圆B上，即，点P也在圆A上，即；由组成方程组，解得；又区域ABCD内的点满足，由，不在区域ABCD内，由，也不在区域ABCD内；即这艘不明船只没进入了海域ABCD．19．已知角β的终边在直线x－y＝0上.①写出角β的集合S；②写出S中适合不等式－360°≤β<720°的元素.【答案】①{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}；②－120°，240°，600°.【解析】①如图，直线x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°X围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA、OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以，角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}.②由于－360°≤β<720°，即－360°≤60°＋n·180°<720°，n∈Z，解得，n∈Z，所以n可取－2、－1、0、1、2、3.所以S中适合不等式－360°≤β<720°的元素为：60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°－0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420；60°＋3×180°＝600°.20．已知，如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【答案】(1) 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}；(2) {α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}. 【解析】(1)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}.(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的角及终边与它们相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z}.能力提升训练1．【某某省某某市2019届高三模拟考试】如图，点为单位圆上一点，，点沿单位圆逆时针方向旋转角到点，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵点A 为单位圆上一点，，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点，∴A （cos ，sin ），即A （），且cos （α），sin （α）．则sinα＝sin[（α）]＝sin （α）cos cos （α）sin，故选：D ．2．【某某省某某实验中学2018-2019学年高一下学期期中考试】在ABC ∆中，若，那么ABC∆是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∆中，，∵在ABC∴，∴,A B为锐角．又，∴，∴，∴C为锐角，∆为锐角三角形．∴ABC故选A．3．【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】由，得异号，则角是第二或第三象限角，故选:.【某某省某某市2018-2019学年高一下学期期中考试】已知角α的终边经过点P（-3，y），且y＜0，cosα=-，4．则tanα=（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】由题意，角的终边经过点，且，则，∴，所以，故选：C ．5．【某某省某某市2019届高三下学期第三次统考】已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．2C ．﹣2D ．﹣4【答案】C 【解析】 ∵已知角83πθ=的终边经过点(,23)P x ，∴23x，则2x =-，故选：C ．6．【某某省某某市第三中学2019届高三上学期期中考试】，则3f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．32B ．33C ．12D ．3【答案】C 【解析】根据题意，，且123π<<，则.故选：C ．7．【某某省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知02απ<<，点是角α终边上一点，则α的值是___________．【答案】3π 【解析】，∵02απ<<，且点P 在第一象限， ∴α为锐角，∴α的值是3π， 故答案为：3π8．【某某省某某市第一中学2018-2019学年高一下学期开学考试】函数的定义域为______．【答案】或x k π=，k Z}∈【解析】 因为所以 2sin x 0cosx≥等价于0cosx >或0sinx =所以或x k π=，k Z ∈故答案为：或x k π=，k Z}∈．9．【某某省蓉城名校联盟2018-2019学年上期期末联考高一】在平面直角坐标系中，已知一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），则sinα+cosα的值为___． 【答案】【解析】∵一个角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P （5，-12），∴sinα=则sinα+cosα=-，故答案为：-．10．对于任意实数，事件“”的概率为_______．【答案】【解析】由于“”，故为第二象限角，故概率为.。
2018届一轮复习人教A版 专题3.3 答题策略与答题技巧-备战高三数学考试万能工具包 学案
第三篇考前必看解题策略专题03 答题策略与答题技巧（一）历年高考数学试卷的启发1.试卷上有参考公式，80 是有用的，它为你的解题指引了方向；2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。
如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。
当然，我们也要考虑结论的独立性；3.注意题目中的小括号括起的部分，那往往是解题的关键；（二）答题策略选择1.先易后难是所有目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。
一般说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。
当然，对于不同的学生说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。
一般说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。
切记不要“小题大做”。
注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。
虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。
多写不会扣分，写了就可能得分。
（三）答题思想方法1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法，即“有形无数去找数，有数无形去配形；形之根在平几，数的核心是解析.数形结合无限好，化繁为简创奇迹”；3.面对含有参数的初等函数说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。
如所过的定点，二次函数的对称轴或是……；4.选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法，即“小题在前，特值当先”；5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法；6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏；7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择“设而不求”“点差法”，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式；8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）；9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围；11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想；12.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题；13.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；4.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略；如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径；15.三选二的三题中，极坐标与参数方程注意转化的方法，不等式题目注意柯西与绝对值的几何意义；16.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元完成；17.注意概率分布中的二项分布，二项式定理中的通项公式的使用与赋值的方法，排列组合中的枚举法，全称与特称命题的否定写法，取值范或是不等式的解的端点能否取到需单独验证，用点斜式或斜截式方程的时候考虑斜率是否存在等；18.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先选择使用定义；19.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；20.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式就可以，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上。
2018版高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书 第5章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含解析
第三节 等比数列及其前n 项和[考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1. (2)前n 项和公式：3．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(2017·广州综合测试(二))已知等比数列{a n }的公比为－12，则a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6的值是( )A ．－2 B.－12 C.12D.2A [a 1＋a 3＋a 5a 2＋a 4＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5－12(a 1＋a 3＋a 5)＝－2.]3．(2017·东北三省四市一联)等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＝6，a 3＝8，则a 6＝( )A ．64 B.128 C ．256D.512A [设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝6，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝18，q ＝－23(舍去)，所以a 6＝a 1q 5＝64，故选A.]4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________．27,81 [设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝__________.6 [∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S n ＝126，∴2(1－2n )1－2＝126，解得n ＝6.]等比数列的基本运算n {a n }的前n 项和，a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝( )A ．32 B.64 C ．128D.256(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________．【导学号：01772183】(1)C (2)2n －1 [(1)∵{a n }为等比数列，a 2·a 4＝16，∴a 3＝4.∵a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝7，∴S 2＝a 1(1－q 2)1－q＝3，∴4q 2(1－q 2)＝3(1－q )，即3q 2－4q －4＝0，∴q ＝－23或q ＝2.∵a n >0，∴q ＝2，则a 1＝1，∴a 8＝27＝128.(2)设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎨⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n 1－2＝2n －1.][规律方法] 1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．[变式训练1] (1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1 B.－12 C ．1或－12D.－1或12(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝__________.(1)C (2)28 [(1)根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7， ①a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21， ②②÷①得1＋q ＋q 2q 2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0， 解得q ＝1或q ＝－12.(2)由题可知{a n }为等比数列，设首项为a 1，公比为q ，所以a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，所以27a 1q 2＝a 1q 5，所以q ＝3，由S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得S 6＝a 1(1－36)1－3，S 3＝a 1(1－33)1－3，所以S 6S 3＝a 1(1－36)1－3·1－3a 1(1－33)＝28.]等比数列的判定与证明(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.[解] (1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，2分 故λ≠1，a 1＝11－λ，故a 1≠0.3分 由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .5分由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.7分 (2)由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.9分 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.10分 解得λ＝－1.12分[规律方法] 等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0，且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．说明：前两种方法是证明等比数列的常用方法，后者常用于选择题、填空题中的判定．[变式训练2] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2).3分 ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)，故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列.6分 (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列.9分 ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n＝(3n－1)·2n－2.12分等比数列的性质及应用(1)(2016·安徽六安一中综合训练)在各项均为正数的等比数列{a n}·a m－1＝2a m(m≥2)，数列{a n}的前n项积为T n，若T2m－1＝512，则m 中，若a m＋1的值为()A．4 B.5C．6 D.7(2)(2016·天津高考)设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是＋a2n<0”的()“对任意的正整数n，a2n－1A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)C[(1)由等比数列的性质可知a m＋1·a m－1＝a2m＝2a m(m≥2)，所以a m＝2，即数列{a n}为常数列，a n＝2，所以T2m－1＝22m－1＝512＝29，即2m－1＝9，所以m＝5，故选B.(2)若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0，则a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝a2a1<0.若q<0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0.所以“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的必要而不充分条件．故选C.][规律方法] 1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[变式训练3] (1)(2017·合肥三次质检)在正项等比数列{a n }中，a 1 008·a 1 009＝1100，则lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝()A ．2 015 B.2 016 C ．－2 015D.－2 016(2)(2017·南昌一模)若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为814，则前4项倒数的和为( )A.32B.94 C ．1D.2(1)D (2)D [(1)lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 2 016＝lg a 1a 2…a 2 016＝lg(a 1 008·a 1 009)1008＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100 1 008＝lg ()10－21 008＝－2 016，故选D.(2)由题意得S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝9，所以1－q 41－q ＝9a 1.由a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝(a 21q 3)2＝814得a 21q 3＝92.由等比数列的性质知该数列前4项倒数的和为1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q 41－1q ＝q 4－1a 1q 3(q －1)＝1a 1q 3·9a 1＝9a 21q 3＝2，故选D.][思想与方法]1．方程的思想．等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．2．函数的思想．通项公式a n ＝a 1q n －1可化为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q n ，因此a n 是关于n的函数，即{a n }中的各项所表示的点(n ，a n )在曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x 上，是一群孤立的点．3．分类讨论思想．当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，此处是常考易错点．[易错与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽视q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列)．。
2018届高考数学第一轮复习的提分攻略
2018届高考数学第一轮复习的提分攻略高中数学怎么复习高中数学的基本概念、定义、公式，数学知识点的联系，基本的数学解题思路与方法，是第一轮复习的重中之重。
回归课本，自已先对知识点进行梳理，确保基本概念、公式等牢固掌握，要扎扎实实，不要盲目攀高，欲速则不达。
复习课的容量大、内容多、时间紧。
要提高复习效率，必须使自己的思维与老师的思维同步。
而预习则是达到这一目的的重要途径。
没有预习，听老师讲课，会感到老师讲的都重要，抓不住老师讲的重点；而预习了之后，再听老师讲课，就会在记忆上对老师讲的内容有所取舍，把重点放在自己还未掌握的内容上，从而提高复习效率。
预习还可以培养自己的自学能力。
进一步加强对知识点的巩固、强化。
尤其要重点巩固常考知识点、重难知识点，注重对已经复习掌握过的知识的融会、贯通、透析、运用，把握每个知识点背后的潜在出题规律。
高中数学到了高三，课只有两种形式：复习课和评讲课，到高三所有课都进入复习阶段，通过复习，学生要能检测出知道什么，哪些还不知道，哪些还不会，因此在复习课之前一定要有自己的思考，听课的目的就明确了。
高中数学提分攻略有的学生认为，要想学好高中数学，只要多做题，功到自然成。
其实不然。
一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。
因此，应该适当地多做题。
但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。
错题本和记笔记一样，整理错题不是誊写不是照抄，而是摘抄。
你只顾着去采撷问题，就失去了理解和挑选题目的过程，笔记同理，如果老师说什么记什么，那只能说明你这节课根本没听，真正有效率的人，是会把知识简化，把书本读薄的。
一定要重视改错工作，做到错不再犯。
高中数学课没有那么多时间，除了少数几种典型错，其它错误，不能一一顾及。
如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。
精心整理，仅供学习参考。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习易错考点排查练(一)Word版含解析
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易错考点排查练(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数考点一 集合1.如图所示,A,B 是两个非空集合,定义A-B=,则A-(A-B)是图中的 ( )A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ【解析】选B.因A-B=,所以A-(A-B)=, 而A-B 为图中的区域Ⅰ,故A-(A-B)应为图中的区域Ⅱ.2.已知集合A={a+2,(a+1)2,a 2+3a+3},B={(a+1)2,5},若A ∩B={1},则实数a 的值为 ( )A.0B.-1C.-2D.-2或0【解析】选 A.根据题意有(a+1)2=1,所以a=0或a=-2,当a=-2时,(a+1)2=a 2+3a+3,与元素的互异性相矛盾,因此a=0.3.已知集合A=,B=,若A∪B=A,求实数m的值. 【解析】由A∪B=A,得B⊆A,当x=-1时,得m=1,当x=2时,得m=-,故m的值为1或-,当B为空集时也符合题意,此时m=0.故m=0或m=1或m=-.答案:0或1或-考点二常用逻辑用语1.已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A.a≥1B.a≤1C.a≥-1D.a≤-3【解析】选A.因为p是q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,即p是q的必要不充分条件.解不等式|x+1|>2,得x>1或x<-3,故a≥1.2.若命题p:方程(x+2)(x-1)=0的根是-2,命题q:方程(x+2)(x-1)=0的根是1,则命题“方程(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”是(填“真”或“假”)命题.【解析】命题“方程(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”中的“或”不是逻辑联结词,有“和”的意思.因此所判断命题应为真命题.答案:真3.命题p:“四边形是矩形”的p形式为.【解析】命题p省略了全称量词,这里的“四边形”指的是“所有的四边形”,而全称量词的否定应是存在量词,故命题p即为“所有的四边形是矩形”,其p应为:“有些四边形不是矩形”或“四边形不都是矩形”.答案:有些四边形不是矩形(或四边形不都是矩形)4.写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定为.【解析】对于原命题可表示为“若A,则B”,其否命题是“若A,则B”,而则B”,即不需要否定命题的题设部分.所以其否其否定形式是“若A,定是:满足条件C的点不都在直线F上.答案:满足条件C的点不都在直线F上考点三函数1.若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A不可能为( ) A.[0,4] B.[2,4]C.[1,4]D.[-3,5]【解析】选D.注意到f(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3,f(0)=f(4)=1,结合函数y=f(x)的图象不难得知f(x)在[0,4],[2,4],[1,4]上的值域都为[-3,1],而在[-3,5]上的值域不是[-3,1].2.函数y=的单调增区间是.【解析】y=的定义域是[-5,1],又g(x)=5-4x-x2在区间[-5,-2]上是增函数,在区间[-2,1]是减函数,所以y=的单调增区间是[-5,-2].答案:[-5,-2]3.已知mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内,则m的取值范围是.【解析】设f(x)=mx2+x+1,(1)当m=0时方程的根为-1,不满足条件.(2)当m≠0时,因为mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内,又f(0)=1>0,所以有两种可能情形①f(1)<0得m<-2,或者②f(1)=0得m=-2,此时由-2x2+x+1=0得x1=1,x2=-,此时x1,x2∉(0,1),故应舍去.综上可得,m<-2.答案:m<-24.已知函数f(x)=log a(3-ax).(1)当x∈[0,2]时f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1,如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)由题设知,3-ax>0,对一切x∈[0,2]恒成立,a>0,a≠1, 显然,函数g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,从而g(2)=3-2a>0得到a<,所以a的取值范围是(0,1)∪(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,即f(1)=log a(3-a)=1,所以a=,此时f(x)=log a当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.考点四导数1.经过曲线y=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程为. 【解析】设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为y′=3-2.所以切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0),即y-(-2x0)=(3-2)(x-x0).又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0),整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1,或x0=-.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1),或y-=,即x-y-2=0,或5x+4y-1=0.答案:x-y-2=0,或5x+4y-1=02.函数f(x)=2x-lnx的单调增区间为,单调减区间为.【解析】函数的定义域为x>0,由题设知f′(x)=2-.由f′(x)>0,得x>;由f′(x)<0,得0<x<.所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.答案:3.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则实数a的取值范围是.【解析】f′(x)=3ax2+6x-1.因为f(x)在R上是减函数,所以f′(x)≤0,即不等式3ax2+6x-1≤0在x∈R上恒成立,所以a<0且Δ=36+12a≤0,解得a≤-3.答案:a≤-34.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上有极值,求实数a的取值范围. 【解析】由题意知,3x2+2ax+(a+6)=0在R上有实数解,所以Δ≥0,即4a2-12(a+6)≥0⇒a≤-3或a≥6.当a=-3时,f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=3(x-1)2≥0,1不是极值点,f(x)在R上没有极值;当a=6时,f′(x)=3(x+2)2≥0,-2不是极值点,f(x)在R上也没有极值.所以a的取值范围是a<-3或a>6.5.设函数f(x)=ax-lnx,g(x)=e x-ax,其中a为正实数.(1)若x=0是函数g(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性.(2)若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线g(x)与曲线y=ax2-ax在(1,+∞)上交点的个数.【解析】(1)g′(x)=e x-a,由g′(0)=1-a=0得a=1.f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.(2)由f′(x)=a-=,若0<a<1则f(x)在(1,+∞)上有最小值f(a),当a≥1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增无最小值.因为g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,所以g′(x)=e x-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤e,综上所述a的取值范围为[1,e].g(x)=ax2-ax,即a=,令h(x)=⇒h′(x)=.则h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,极小值为h(2)=>e,故两曲线没有公共点.关闭Word文档返回原板块。
2018年高考数学(人教A版)一轮复习易错考点排查练(六)Word版含解析
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易错考点排查练(六)算法、统计与概率考点一 算法1.图中,x 1,x 2,x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最终得分,当x 1=6,x 2=9,p=8.5时,x 3等于 ( )A.11B.10C.8D.7【解析】选C.x 1=6,x 2=9,|x 1-x 2|=3≤2不成立,即为“否”,所以再输入x 3;由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3-x1|<|x3-x2|知, 点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离,所以当x3<7.5时,|x3-x1|<|x3-x2|成立,即为“是”,此时x2=x3,所以p=,即=8.5,解得x3=11>7.5,不合题意;当x3≥7.5时,|x3-x1|<|x3-x2|不成立,即为“否”,此时x1=x3,所以p=,即=8.5,解得x3=8>7.5,符合题意.2.若框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.k<8?B.k≤8?C.k≥8?D.k>8?【解析】选D.k=10,S=1,执行,得S=11,k=9,不合题意,需继续执行,得S=20,k=8,此时符合题意,需终止程序运行,故应填k>8?.3.阅读如图所示的程序框图,若运行该程序后输出的y值为,则输入的实数x值为.【解析】由程序框图可得,该程序为一分段函数y=所以或解得x=.答案:4.阅读如图所示的程序框图,则输出的S= .【解析】第一次循环:T=3×1-1=2,S=0+2=2,i=2;此时不满足i>5. 第二次循环:T=3×2-1=5,S=2+5=7,i=3;此时不满足i>5.第三次循环:T=3×3-1=8,S=2+5+8=15,i=4;此时不满足i>5.第四次循环:T=3×4-1=11,S=2+5+8+11=26,i=5;此时不满足i>5.第五次循环:T=3×5-1=14,S=2+5+8+11+14=40,i=6;此时,i>5,满足退出条件,故输出S=40.答案:40考点二统计、统计案例1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A.6B.8C.10D.12【解析】选B.设在高二年级的学生中应抽取的人数为x人,则=,解得x=8,故选B.2.在演讲比赛决赛中,七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示,但其中在△处数据丢失.按照规定,甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分,用x和y分别表示甲、乙两位选手获得的平均分,则( )A.x>yB.x<yC.x=yD.x≤y【解析】选B.设图中甲丢失的数据为a,则x=80+,y=80+,因为0≤a≤9,所以x=80+≤80+<y.3.某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表:根据上表可得回归方程=x+中的为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为万元.【解析】由题表可知,=4.5,=35,代入回归方程=7x+,得=3.5,所以回归方程为=7x+3.5,所以当x=10时,=7×10+3.5=73.5.答案:73.54.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:(1)用茎叶图表示这两组数据.(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)作出茎叶图如图:(2)派甲参赛比较合适,理由如下:=(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,=(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为=,<,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如:从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1=,乙获得85分以上(含85分)的概率为P2==. 因为P2>P1,所以派乙参赛比较合适.考点三概率1.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )A. B. C. D.【解析】选D.设正六边形为ABCDEF,从6个顶点中随机选择4个顶点,可以看作随机选取2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF 共15种. 若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有AD,BE,CF,共3种,故其概率为=.2.将一根长为3m 的木棒随机折成三段,折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是 ( )A.B. C. D.【解析】选 C.设这三段木棒的长分别为x,y,3-x-y,则若能构成三角形,则还应满足则作出以上不等式组表示的区域,由几何概型的概率公式得P=.3.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.4.某校为调查学生喜欢统计课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:(1)判断是否有99.5%的把握(在犯错误的概率不超过0.005的前提下)认为喜欢统计课程与性别有关?(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选2人,求恰有1个男生和1个女生的概率.临界值参考:(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解析】(1)K2=≈11.978>7.879,所以有99.5%的把握(在犯错误的概率不超过0.005的前提下)认为喜欢统计课程与性别有关.(2)设所抽样本中有m个男生,则=,得m=4,所以样本中有4个男生,2个女生,分别记作B1,B2,B3,B4,G1,G2.从中任选2人的基本事件有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,G1),(B2,G2),(B3,B4),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),(G1,G2),共15个,其中恰有1名男生和1名女生的事件有(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),共8个,所以恰有1名男生和1名女生的概率为P=.关闭Word文档返回原板块。
2018届高三数学二轮复第四篇考前冲刺跳出10个解题陷阱文
跳出10个解题陷阱数学中的陷阱题,往往针对考生学习某些概念、定理、运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生习惯思维、思维的弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷去构造问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,以假乱真,可以有效地检测并暴露出考生的认知缺陷.下面结合一些典型例题教你如何走出陷阱.陷阱一混淆概念致误——使用概念要明辨例1 若z=sin θ-+i是纯虚数,则tan的值为( )A.-7B.-C.7D.-7或-易错分析解决本题易忽视虚部不为零的限制条件.答案 A正确解析由纯虚数的概念,可知由①,得sin θ=,故cos θ=±=±=±,而由②,可得cos θ≠,故cos θ=-,所以tan θ==-.所以tan===-7.故选A.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析试题待求的问题,在准确用好概念的前提下对试题进行解答,这样才能避免概念性错误.跟踪集训1.已知R是实数集,集合P={x|y=log2(-x2+2x+3)},Q={y|y=log2(-x2+2x+3)},则P∩Q=()A.(-1,3)B.(0,3)C.(-1,2]D.[-1,2]陷阱二错用结论失分——公式定理要记准例2 函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的.所得函数解析式为( )A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin易错分析解决该题易出现以下两个方面的问题:一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的变化规律与函数解析式的变换之间的关系.答案 D正确解析将原函数图象向右平移个单位长度,所得函数解析式为y=sin=sin,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的得y=sin.故选D.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上点的横坐标变为原来的ω倍,则得到函数y=f的图象.跟踪集训2.函数f(x)的图象由函数g(x)=4sin xcos x的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到,则f=( )A. B.C. D.陷阱三忽视特殊情况——特别情况要谨记例3 已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n+1(n∈N*),且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{na n}的前n项和T n.易错分析解决本题易出现以下两个方面的问题:一是利用a n=S n-S n-1建立a n与a n-1之间的关系时忽视n≥2的限制条件,而忽略对n=1时的讨论;二是求数列{na n}的前n项和T n时,忽视该数列通项公式中n=1时的情况,直接求和不验证而导致失分.正确解析(1)当n=1时,由已知可得a1=2a2,即a2=a1=.当n≥2时,由已知S n=2a n+1(n∈N*),可得S n-1=2a n(n≥2,n∈N*),两式相减得a n=2a n+1-2a n⇒2a n+1=3a n,即=,所以数列{a n}从第二项开始成一个首项为a2=,公比为的等比数列,故当n≥2,n∈N*时有a n=·.所以a n=(2)记b n=na n=故当n=1时,T1=b1=1;当n≥2时,T n=b1+b2+b3+…+b n=1+×+×+…+×+×, ①T n=+×+×+…+×+×, ②①-②得,-T n=-+1+×+×+…+×-×=+-×=+×-×=--×=-+-×=-1-×,所以T n=2+(n-2)×.当n=1时,T1=2+(1-2)×=1,显然上式也成立.综上,T n=2+(n-2)×,n∈N*.▲跳出陷阱解决数列问题一定要注意n的取值范围,求通项问题,要注意对首项的验证,如该题中用到a n与S n的关系式a n=S n-S n-1,而该式成立的前提是n≥2;再如已知数列{a n},当n≥2时,若有=q,则该数列不一定是等比数列,因为该式不包含=q,若要证明该数列是等比数列,则还需验证=q.例4 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆C的右焦点H 作两条互相垂直的弦EF与MN.当直线EF的斜率为0时,|EF|+|MN|=7.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求|EF|+|MN|的取值范围.易错分析解决本题易忽视两条弦中一条斜率为0,另一条斜率不存在的情况.正确解析(1)由题意知e==,即a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,当k EF=0时,有|EF|+|MN|=2a+=4c+3c=7,所以c=1,a=2,b=,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0,另一条弦所在直线的斜率不存在时,此时由题意知|EF|+|MN|=7;②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设E(x1,y1),F(x2,y2),且直线EF的方程为y=k(x-1),则直线MN的方程为y=-(x-1),将直线EF的方程代入椭圆方程中,整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,所以x1+x2=,x1x2=,所以|EF|=|x1-x2|=,同理,|MN|==,所以|EF|+|MN|=+====7-=7-≥7-=,又>0,所以≤|EF|+|MN|<7,综合①与②可知,|EF|+|MN|的取值范围是.▲跳出陷阱解决直线与圆锥曲线的问题时,当问题涉及直线方程时,常见错误是容易遗漏对斜率k的讨论.一般地,对斜率k应分三种情况讨论:直线l的斜率k=0、直线l的斜率不存在、直线l的斜率存在且k≠0.跟踪集训3.已知等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n+b,且a1=3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和T n.4.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆C的一个焦点重合,且抛物线的准线与C相交于点.(1)求p的值和椭圆C的方程;(2)过点F是否存在直线l与椭圆C交于M,N两点,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.陷阱四分类讨论不全——问题分类要全面例5 已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2ln x(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围.易错分析解决本题易出现以下两个方面的问题:一是讨论f(x)的单调性时,对a分类讨论的标准不正确,造成分类重复或遗漏而导致解题错误;二是讨论f(x)、g(x)的最值时,对a分类标准不正确,造成解题错误.正确解析 f '(x)=ax-(2a+1)+(x>0).(1)f '(x)=(x>0).①当a≤0时,ax-1<0,在区间(0,2)上, f '(x)>0,在区间(2,+∞)上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2),单调递减区间是(2,+∞).②当0<a<时,>2,在区间(0,2)和上, f '(x)>0,在区间上,f '(x)<0,故f(x)的单调递增区间是(0,2)和,单调递减区间是.③当a=时, f '(x)=≥0,故f(x)的单调递增区间是(0,+∞).④当a>时,0<<2.在区间和(2,+∞)上, f ' (x)>0,在区间上f '(x)<0.故f(x)的单调递增区间是和(2,+∞),单调递减区间是.(2)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.由已知,g(x)max=0,由(1)可知,①当a≤时, f(x)在(0,2]上单调递增.故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln 2=-2a-2+2ln 2,所以,-2a-2+2ln 2<0,解得a>ln 2-1.∴ln 2-1<a≤.②当a>时, f(x)在上单调递增,在上单调递减,故f(x)max=f=-(2a+1)+2ln=--2-2ln a<0.当a>时,+2ln a>+2ln e-1>-2,故a>时满足题意.综上,a的取值范围为(ln 2-1,+∞).▲跳出陷阱含参函数单调性的分析是一个难点,合理分类是解决此类问题的关键,一般来说,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为:①最高次幂系数是否为0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类之后确定导函数的符号,应画出导函数解析式中符号变化的部分对应函数(一般可转化为一次函数或二次函数)的图象,根据函数图象与x轴的相对位置变化确定导函数的符号,进而写出单调区间.跟踪集训5.已知函数f(x)=ax-1-ln x(a∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数;(2)若函数f(x)在x=1处取得极值,∀x∈(0,+∞), f(x)≥bx-2恒成立,求实数b的取值范围.陷阱五遗漏条件增解——细心审题不遗漏例6 某市为了解社区群众体育活动的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查,已知A,B,C三个行政区中分别有12,18,6个社区.(1)求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数;(2)若从抽得的6个社区中随机地抽取2个进行调查结果的对比,求抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区的概率.易错分析解决本题易出现的问题是求解基本事件时,不按照一定的顺序列举导致漏、重现象.正确解析(1)社区总数为12+18+6=36,样本容量与总体的个体数之比为=.所以从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.(2)设A1,A2为在A行政区中抽得的2个社区,B1,B2,B3为在B行政区中抽得的3个社区,c为在C行政区中抽得的1个社区,在这6个社区中随机抽取2个,全部可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,c),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,c),(B1,B2),(B1,B3),(B1,c), (B2,B3),(B2,c),(B3,c),共15种.设事件“抽取的2个社区中至少有1个来自A行政区”为事件X,则事件X所包含的所有可能的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,c),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,c),共9种.所以P(X)==.▲跳出陷阱利用列举法求基本事件时,一是要注意用不同的字母或数字符号表示不同的元素,这样便于区分;二是要注意按照一定的顺序一一写出基本事件,否则容易产生遗漏或重复现象.跟踪集训6.若a,b∈{-1,0,1,2},则函数f(x)=ax2+2x+b有零点的概率为( )A. B. C. D.陷阱六推理不当致错——归纳类比要合理例7 在平面上,设h a,h b,h c是三角形ABC三条边上的高,P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为P a,P b,P c,我们可以得到结论:++=1.把它类比到空间,设P为四面体ABCD内一点,四个顶点到对面的距离分别是h a,h b,h c,h d,P到这四个面的距离依次是P a,P b,P c,P d,则有.易错分析从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析,在三角形中是其内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1,类比到空间应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于 1.本题如果不考虑比值的特点,就可能误以为类比到空间后是面积之比等,从而得到一些错误的类比结论.答案+++=1正确解析类比到空间有+++=1.▲跳出陷阱类比推理是一种由此及彼的合情推理,“合乎情理”是这种推理的特征,一般的解答思路是进行对应的类比,如平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体),平面上的面积对应空间的体积等.类比推理得到的结论不一定正确,故这类题目在得到类比的结论后,还要用类比方法对类比结论的正确性作出证明,例如本题在三角形中的结论是采用等面积法得到的,在三棱锥中就可以根据等体积法得到,这样不但写出来类比的结论,而且这个结论还是一个正确的结论.跟踪集训7.对于命题:若O是线段AB上一点,则有||·+||·=0.将它类比到平面的情形是:若O是△ABC内一点,则有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0.将它类比到空间的情形应该是:若O是四面体ABCD内一点,则有.陷阱七画图不准失分——画图用图要准确例8 已知实数x,y满足约束条件向量a=(x,y),b=(3,-1),设z表示向量a 在向量b方向上的投影,则z的取值范围是( )A. B.[-1,6]C. D.易错分析解决本题易出现的问题是不能准确作出不等式组所表示的平面区域导致目标函数的最值判断失误.答案 C正确解析画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,向量a在向量b方向上的投影z==(3x-y),由可行域知,a=(x,y)=(2,0)时,向量a在b方向上的投影最大,且最大值为=;当a=时,向量a在b方向上的投影最小,且最小值为- =-,所以z的取值范围是.▲跳出陷阱对线性规划问题的求解,关键在于两点:一是准确作出不等式组所表示的平面区域;二是准确确定目标函数的几何意义.作可行域时,应采用“线定界,点定域”,即先作出边界直线,然后根据“同侧同号、异侧异号”,利用特殊点(一般取原点)确定不等式组所表示的平面区域.跟踪集训8.若(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的一点,且z=kx+y取得最小值的点有无数个,则k=( )A.1B.-2C.2D.1或-2陷阱八运算过程出错——步骤过程要合理例9 如图所示的四棱锥A-BCDE,四边形BCDE是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,点P是边DE上的一个动点,连接PA,PC.(1)若点Q为棱AC的中点,是否存在点P,使得PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;(2)当EP=ED时,求三棱锥C-ABP的高.易错分析在用等体积法求三棱锥C-ABP的高时,易因运算出错,导致△ABP的面积求错,从而所求的结果出错.正确解析(1)当P为DE的中点时,PQ∥平面AEB.理由如下:取AB的中点M,连接EM,QM,如图所示.由Q为AC的中点,得MQ∥BC,且MQ=BC,又PE∥BC,且PE=BC,所以PE∥MQ,PE=MQ,所以四边形PEMQ为平行四边形,故ME∥PQ.又PQ⊄平面AEB,ME⊂平面AEB,所以PQ∥平面AEB.(2)因为四边形BCDE是边长为3的正方形,EP=ED,所以△BCP的面积S△BCP=×3×3=,且EP=×3=2,因为AE⊥平面BCDE,所以AE⊥EP.又AE=3,所以AP===,因为BP===,AB===3,所以△ABP的面积S△ABP=×3×=,设三棱锥C-ABP的高为h,因为V C-ABP=V A-BCP,所以S△ABP×h=S△BCP·AE,所以h===,所以三棱锥C-ABP的高为.▲跳出陷阱利用等体积法求三棱锥(或四面体)的高时,一定要认真计算底面三角形的面积.跟踪集训9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为的正方形,PA⊥BD.(1)求证:PB=PD;(2)若E,F分别为PC,AB的中点,EF⊥平面PCD,求三棱锥D-ACE的体积.陷阱九问题转化不等价——等价转化要正确例10 f(x)=x2-2aln x+(a-2)x,a∈R.(1)当a=1时,求曲线f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;(2)当a<0时,讨论函数f(x)的单调性;(3)是否存在实数a,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有>a恒成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.易错分析该题易出现的问题是直接把题中>a转化为该函数的导数值的范围,即f '(x)>a.正确解析 f '(x)=x-+a-2=(x>0).(1)当a=1时, f(1)=-,f '(x)=, f '(1)=-2,所以所求的切线方程为y-f(1)=-2(x-1).即4x+2y-3=0.(2)①当-a=2,即a=-2时,f '(x)=≥0, f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当-a<2,即-2<a<0时,因为0<x<-a或x>2时, f '(x)>0,-a<x<2时, f '(x)<0,所以f(x)在(0,-a),(2,+∞)上单调递增,在(-a,2)上单调递减.③当-a>2,即a<-2时,因为0<x<2或x>-a时, f '(x)>0,2<x<-a时, f '(x)<0,所以f(x)在(0,2),(-a,+∞)上单调递增,在(2,-a)上单调递减.(3)假设存在这样的实数a满足条件,不妨设x1<x2.由>a,知f(x2)-ax2>f(x1)-ax1成立.令g(x)=f(x)-ax=x2-2aln x-2x,则函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g'(x)=x--2≥0,即2a≤x2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立.所以a≤-,故存在这样的实数a满足题意,其取值范围为.▲跳出陷阱条件的合理转化是将复杂、陌生的问题转化为简单、熟悉的问题的关键,在转化过程中一定要对式子进行等价变形,如该题中的第(3)问探究性问题中的“ >a”,其几何意义是曲线上两点(x1, f(x1))与(x2, f(x2))连线的斜率,但如果直接利用导数的几何意义转化为该直线的斜率与函数图象上某点处切线斜率之间的大小关系,则求解较复杂,应该通过代数式的等价变形,从而转化为函数y=f(x)-ax的单调性问题求解.跟踪集训10.已知p:关于x的不等式x2-mx+4<0有解,q:方程+=1表示椭圆.若命题p∧q为真命题,则实数m的取值范围为.陷阱十新定义陷阱题——正确理解新定义例11 定义:用[x](x∈R)表示不超过x的最大整数,用[x)(x∈R)表示超过x的最小整数.例如[1.2]=1,[-0.3]=-1,[-1.5)=-1.给出下列结论:①函数f(x)=[sin x]是奇函数;②2π是函数f(x)=[sin x]的周期;③若x∈(1,2),则不等式([x)-x)[x)<x的解集为;④函数g(x)=[sin x]+[cos x)的值域是{2,1,0,-1}.其中正确的是.(填上所有正确结论的编号)易错分析未读懂新定义“[x](x∈R)”与“[x)(x∈R)”的含义,导致出错.答案②③④正确解析对于①,因为f==[0.5]=0,f==[-0.5]=-1,所以f≠-f,所以函数f(x)=[sin x]不是奇函数,所以①错.对于②,因为f(x)=[sin x]=k∈Z.数形结合可知,2π是函数f(x)=[sin x]的周期,所以②正确.对于③,当x∈(1,2)时,[x)=2,由([x)-x)[x)<x,得解得<x<2,故其解集为.所以③正确.对于④,因为g(x)=[sin x]+[cos x)=k∈Z.所以函数g(x)=[sin x]+[cos x)的值域是{2,1,0,-1},所以④正确.▲跳出陷阱利用题设的新定义解题时,一定要过审题关,仔细辨析试题中待求的问题;在准确理解新定义的前提下再对试题进行解答,这样才能避免掉入应用新定义的陷阱.跟踪集训11.若函数f(x)(x1≤x≤x2)图象上的两端点A,B的横坐标分别为x1,x2,动点M(x M,y M)在函数f(x)的图象上,且满足x M=x2+λ(x1-x2)(λ∈R),O为坐标原点,且点N满足=+λ,则称向量-的模的最大值为函数y=f(x)的“向高”.函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为.答案全解全析陷阱一混淆概念致误——使用概念要明辨跟踪集训1.C 集合P表示函数y=log2(-x2+2x+3)的定义域,由-x2+2x+3>0,即x2-2x-3<0,亦即(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3.故P=(-1,3).集合Q表示函数y=log2(-x2+2x+3)的值域,设t=-x2+2x+3,则y=log2t.因为t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4,故t∈(0,4],所以y=log2t∈(-∞,2],即Q=(-∞,2].所以P∩Q=(-1,2],故选C.陷阱二错用结论失分——公式定理要记准跟踪集训2.D函数g(x)=4sin xcos x=2sin 2x的图象向左平移个单位得到函数y=2sin=2sin的图象,该函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数为f(x)=2sin=2sin.所以f=2sin+=2sin cos+cos sin=2×=.故选D.陷阱三忽视特殊情况——特别情况要谨记跟踪集训3.解析(1)等比数列{a n}的前n项和为S n=a·2n+b,∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=a·2n-a·2n-1=a·2n-1.∴a2=2a,a3=4a.∴等比数列{a n}的公比q==2.又a1=3,∴a n=a1q n-1=3×2n-1.(2)由(1),可知b n==×.∴数列{b n}的前n项和为T n=, ①∴T n=++++…++. ②由①-②,得T n=+++++…+-=,∴T n=.4.解析(1)依题意,设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由抛物线的准线与C相交于点,可知-=-1,所以p=2.由此可知抛物线的焦点为F(1,0),所以c=1.将点代入椭圆方程,得+=1,又a2-b2=c2=1,解得a2=2,b2=1.于是所求椭圆C的方程为+y2=1.(2)当直线l与x轴重合时,l:y=0,此时M(,0),N(-,0),以MN为对角线的正方形另外两个顶点坐标为(0,),(0,-),符合题意. 当直线l与x轴垂直时,l:x=1,此时M,N,以MN为对角线的正方形另外两个顶点坐标为,,不符合题意.当直线l与x轴既不重合也不垂直时,不妨设直线l:y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),则线段MN的中点Q,联立并消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=,所以Q.则线段MN的中垂线l'的方程为y+=-,即y=-+,令x=0,得直线l'与y轴的交点R,由题意知,以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上,当且仅当RM⊥RN,即·=·=0,所以x1x2+y1y2-(y1+y2)+=0. ①又y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-, ②y1+y2=k(x1+x2-2)=-, ③将②③代入①,解得k=±1,此时直线l的方程为y=±(x-1).综上,所求直线l的方程为x=0,x-y-1=0或x+y-1=0.陷阱四分类讨论不全——问题分类要全面跟踪集训5.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=a-=,当a≤0时, f '(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点;当a>0时,由f '(x)<0得0<x<,由f '(x)>0得x>,∴f(x)在上递减,在上递增,即f(x)在x=处有极小值.∴当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上没有极值点,当a>0时, f(x)在(0,+∞)上有一个极值点.(2)∵函数f(x)在x=1处取得极值,∴a=1,∴f(x)≥bx-2⇒1+-≥b,令g(x)=1+-,x>0,则g'(x)=,令g'(x)=0,得x=e2,则g(x)在(0,e2)上递减,在(e2,+∞)上递增,∴g(x)min=g(e2)=1-,即b≤1-,即实数b的取值范围为.陷阱五遗漏条件增解——细心审题不遗漏跟踪集训6.A 易知(a,b)共有16种等可能的结果.当a=0时, f(x)=2x+b,无论b取{-1,0,1,2}中的何值,函数f(x)必有零点,所以有4种取法符合要求;当a≠0时,函数f(x)=ax2+2x+b为二次函数,若f(x)有零点,则有4-4ab≥0,即ab≤1,所以符合要求的a,b取值组成的数对有:(-1,0),(1,0),(2,0),(-1,1),(-1,-1),(1,1),(1,-1),(-1,2),(2,-1),共9种,故所求的概率为=,故选A.陷阱六推理不当致错——归纳类比要合理跟踪集训7.答案V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0解析将平面中的相关结论类比到空间,通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意可知:若O为四面体ABCD内一点,则有V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.陷阱七画图不准失分——画图用图要准确跟踪集训8.D 作出可行域如图中阴影部分所示,y=-kx+z,依题意知-k≠0,所以,①当-k>0,即k<0时,依题意,当目标函数线运动至与BC重合时,最优解有无数个,符合题意,即-k=2,即k=-2;②同理,当-k<0,即k>0时,依题意,当目标函数线运动至与AB重合时,最优解有无数个,符合题意,即-k=-1,即k=1.综合①②可知,k=1或-2.陷阱八运算过程出错——步骤过程要合理跟踪集训9.解析(1)证明:设AC交BD于点O,连接PO,∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD且O为BD的中点,又∵PA⊥BD,PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,由于PO⊂平面PAC,故BD⊥PO,又∵BO=DO,故PB=PD.(2)设PD的中点为Q,连接AQ,EQ,则EQ=CD,且EQ∥CD,∵AB∥CD,AB=CD,F为AB的中点,∴AF=CD,且AF∥CD,∴EQ=AF,且EQ∥AF,∴四边形AFEQ为平行四边形,∴EF∥AQ,∵EF⊥平面PCD,∴AQ⊥平面PCD,∵PD⊂平面PCD,∴AQ⊥PD,∵Q为PD的中点,∴AP=AD=,由AQ⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,可得AQ⊥CD,又∵AD⊥CD,AQ∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,∵PA⊂平面PAD,∴CD⊥PA,又∵BD⊥PA,BD∩CD=D,∴PA⊥平面ABCD.在△PAC中,E、O分别是PC,AC的中点,∴EO∥PA,且EO=PA,∴EO⊥平面ABCD,∴V D-ACE=V E-ACD=×PA×S△ACD=×××××=,故三棱锥D-ACE的体积为.陷阱九问题转化不等价——等价转化要正确跟踪集训10.答案(4,5)∪(5,7)解析当p为真命题时,Δ=(-m)2-4×1×4>0,解得m>4或m<-4;当q为真命题时,解得3<m<7且m≠5.因为p∧q为真命题,所以p,q皆为真命题,所以解得4<m<5或5<m<7.所以实数m的取值范围为(4,5)∪(5,7).陷阱十新定义陷阱题——正确理解新定义跟踪集训11.答案9解析由题意知A(-1,7),B(5,7),所以=(-6,0),所以=+λ=(5-6λ,7).因为x M=x2+λ(x1-x2),所以x M=5+λ(-1-5)=5-6λ.因为点M(x M,y M)在函数f(x)的图象上,所以-1≤5-6λ≤5,解得0≤λ≤1.所以y M=f(5-6λ)=(5-6λ)2-4(5-6λ)+2=36λ2-36λ+7,所以-=(5-6λ,7)-(5-6λ,36λ2-36λ+7)=(0,-36λ2+36λ),所以|-|=|-36λ2+36λ|=36,所以当λ=时,|-|有最大值9.所以函数f(x)=x2-4x+2在区间[-1,5]上的“向高”为9.。
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备战高三考试万能工具包【2018版】专题03 跳出10个解题陷阱“陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点 设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷. 陷阱一 混淆概念——理解概念抓本质例1 【2018四川省广元市统考】已知a 是实数， i 是虚数单位，若()211z a a i=-++是纯虚数，则a =__________．易错分析 本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致多解.▲跳出陷阱 在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念. 跟踪集训【2018湖北省稳派教育联考】若0,0x y >>，则“2x y +=”的一个充分不必要条件是A. x y =B. 2x y =C. 2,x =且1y =D. ,x y =或1y = 陷阱二 错用结论——公式定理要记准例2 【2018东北四校联考】已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，现将()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原 的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的值域为（ ） A. []1,2- B. []0,1 C. []0,2 D. []1,0-易错分析 该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.学 +- 【答案】A▲跳出陷阱 三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原 的ω(ω>0)倍,则得到函数.跟踪集训已知函数()22sin 22cos 148f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，把函数()f x 的图象向右平移8π个单位，得到函数()g x 的图象，若12,x x 是()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两根，则()12sin x x +的值为（ ）A.B. C. D. 陷阱三 忽视验证——特例情况要谨记例3 的半焦距为c,曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y 轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l 过点F,交曲线Γ于A,B 两点,过A,B 分别作曲线Γ的切线,交于点P,判断.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,经常设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错误.正确解析(1)的半焦距为c,所以因为曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,所以曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设抛物线Γ的方程为y2=2px(p>0),解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)0.证明如下:①当过点F的直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以由y2=4x(y<0),得所以过点B的切线PB的方程为y-y22),即即所以直线PF 的斜率k PF 所以k PF ·k=×k=-1, 所以PF⊥AB.综上所述,且定值为0.▲跳出陷阱 破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度,还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三是注意适时转化,如例3,0转化为判断两直线斜率的积是否为-1. 跟踪集训数列{}n a 的前n 项和是n S ， ()111,2n n a S a n N ++==∈，则n a =__________．陷阱四 讨论漏解——参数标准要恰当例4 已知函数()()()22ln 0,f x x x a x x x a R =+-+>∈．（Ⅰ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的0x >， ()22xf x x x e >+-+．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()22a f x x a x=---' ()()12x x a x+-=， 当0a ≤时， ()f x '对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以函数单调递增；当x 变化时， ()g x '和()g x 变化情况如下表()()0min g x g x == 00001ln 22x e x x x --=+-， 因为00x >，且01x ≠，所以()min 20g x >-=，因此不等式得证．易错分析 该题易出现的问题是讨论f(x)的单调性时,对参数进行分类讨论的标准不正确,造成分类的重复或遗漏.正确解析 【解析】（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()22af x x a x=---' ()()12x x a x+-=， ()10x g x e x ='-=，此时方程有唯一解0x ，满足0010x e x -= 当x 变化时， ()g x '和()g x 变化情况如下表()()0min g x g x ==00001ln 22x e x x x --=+-， 因为00x >，且01x ≠，所以()min 20g x >-=，因此不等式得证．▲跳出陷阱 含参函数单调性的分析是一个难点,易出现的问题是对参数分类的标准不清楚,导致分类混乱.明确标准,合理分类是解决此类问题的关键,讨论含参函数单调性的问题,对参数进行分类讨论的基本顺序为①最高次幂系数是否为0;②方程f '(x)=0是否有解;③解是否在定义域内;④解之间的大小关系.分类后确定导函数的符号,应画出导函数的图象,根据图象与x 轴的相对位置确定导函数的符号,进而写出单调区间. 【变式训练】已知()()xf x e ax a R =-∈（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；学/ *-（Ⅱ）若()f x 有两个零点12,x x ，求a 的取值范围； （2）在（1）的条件下，求证： 122ln x x a +<． 陷阱五 条件遗漏——细心审题不遗漏例5 用1,2,3,4,5,6组成各位数字不重复的六位数,满足1不在左、右两端,2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为( )A.432B.288C.216D.144易错分析 该题易出现的问题是不注意审题,导致漏掉或错用题中的限制条件. 答案 B正确解析 解法一:先考虑只有2,4相邻,可以用2,4相邻的个数减去2,4与6相邻的个数.2,4相邻,把2,4捆绑在一起,与另外4个数排列(相当于5个元素排列),1不在左、右两侧,则这样的六位数的个数为2!·3·4!=144.第三步,两组偶数插空(1,3,5全排列后形成4个空),.由分步乘法计数原理可得,其中1在左、右两端的情况:第一步,选出两个偶数相邻(捆绑法),;第二步,1,3,5排列,且1在两端,;第三步,两组偶数插空(1在两端,两组偶数只能插在1,3,5排好后形成4个空中的3个),.故1在左、右两端的排法种数有所以满足条件的排法种数有432-144=288.即满足题意的六位数的个数为288.故选B. ▲跳出陷阱 排列组合的实际应用题中限制条件较多,如何处理这些限制条件是解决问题的关键.一般 说要遵循排列组合的基本策略:先组后排,特殊优先.组合中要注意均分问题,记住相应的规律,如本题有两个偶数相邻——捆绑法;只有两个相邻,即与第三个偶数不相邻——插空法,明确处理此类问题的基本顺序,然后逐步求解即可.【变式训练】 【2018河南省中原名校联考】已知函数()22sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()1cos 24x g x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象在区间,22m m ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有9个交点，记为()(),1,2,,9i i x y i = ，则()91i i i x y =+=∑（ ）A.92π B. 8 C. 982π+ D. 992π+ 陷阱六 推理不当——归纳类比要合理例6 我国齐梁时代的数学家祖暅发现了一条原理:幂势既同,则积不容异.这句话的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.设由曲线x 2=4y 和直线x=4,y=0所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ1,由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为Γ2,根据祖暅原理,通过类比Γ2可以得到Γ1的体积为 .易错分析 该题易出现的问题是不能准确理解祖暅原理,只关注两个平面图形形状的差异性,找不出共性,导致错误类比.答案 32π正确解析 如图(1)和图(2),设图(1)中的阴影部分绕y 轴旋转一周得到的旋转体Γ'的体积为V',则两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两个相距为8的平行平面之间,用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点的距离为|y|,则所得截面面积S 1=π(42-4|y|),S 2=π(42-y 2)-π[4-(2-|y|)2]=π(42-4|y|),所以S 1=S 2,由祖暅原理知,Γ'与Γ2的体积相等.因为Γ2由同时满足x≥0,x 2+y 2≤16,x 2+(y-2)2≥4,x 2+(y+2)2≥4的点(x,y)构成的平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体,所以它应该为一个大的球体减去两个半径一样的小的球体,3-3=64π,所以Γ1的体积为32π.▲跳出陷阱 类比推理的关键在于“类”,即找到两类事物的共性,这是类比推理的基础,在此基础上才能进行由此及彼的相关性质研究,如该题中两个截面面积相等是类比两个几何体体积相等的关键.【变式训练】【2018湖北省沙市中学模拟】“求方程34155x x⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 的解”有如下解题思路：设()3455xxf x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在R 上单调递减，且()21f =，所以原方程有唯一解2x =.类比上述解题思路，不等式()()63222x x x x -+>+-的解集是__________．陷阱七画图不准——数化“形”要准确例7 【2018河北省定州中学模拟】若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(-1,1］时f(x)=1-x2,函数(),0 {1,0 lg x xg xx ≠== ,则函数()()()h x f x g x=-在区间［-5，10］内零点的个数为A. 15B. 14C. 13D. 12易错分析该题易出现的错误是不能准确作出函数图象,导致无法判断两个函数图象交点的个数.【答案】B【解析】因为f(x+2)=f(x)，所以f(x)周期为2，，作图可知交点有14个，所以选B.▲跳出陷阱该题是利用函数图象的直观性解决两函数图象的交点问题,利用函数的性质准确画出函数图象是解决此类问题的关键.要熟练掌握函数的一些基本性质,如函数的奇偶性、周期性与单调性等.如该题中的函数y=f(x),根据题意知,该函数图象既有对称中心,又有对称轴,所以该函数也具有周期性——其周期就是对称中心到相邻对称轴距离的4倍,所以该函数的周期为T=2×4=8.所以,可以利用周期性作出函数在已知区间之外的图象.【变式训练】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当x∈[－2,0)时，f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－log a(x＋2)＝0(a>0且a≠1)在区间(－2,6)内恰有4个不等的实数根，则实数a的取值范围是( )A.1,14⎛⎫⎪⎝⎭B. (1,4)C. (1,8)D. (8，＋∞)陷阱八计算跳步——步骤过程要合理例8 如图所示的四棱锥 A-BCDE,四边形BCDE是边长为3的正方形,AE⊥平面BCDE,AE=3,P是边DE上的一个动点,连接PA,PC.(1)若点Q为棱AC的中点,是否存在点P,使得PQ∥平面AEB?若存在,请给予证明;若不存在,请说明理由;学。