【小初高学习】高中数学第1章直线多边形圆1.1平面直角坐标系学案北师大版选修4_1
高中数学第一章直线多边形圆1第三课时直角三角形的射影定理学案北师大版选修296
第三课时 直角三角形的射影定理[对应学生用书P9][自主学习]射影定理[合作探究]在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高．应用射影定理可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．[对应学生用书P9][例1] 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC 为直角三角形，进一步由射影定理求CD .[精解详析] 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°， ∴∠C ＋∠B ＝90°，∴∠BAC ＝90°， ∴在Rt △ABC 中，AD ⊥BC .由射影定理可知，AD 2＝BD ·CD ，∴62＝8×CD ， ∴CD ＝92.利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 是斜边上的高，AC ＝5，BC ＝8，求S △CDA ∶S △CDB .解：∵△CDA 和△CDB 同高， ∴S △CDA S △CDB ＝AD BD.又AC 2＝AD ·AB ，CB 2＝BD ·AB ， ∴AC 2CB 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD . ∴S △CDA S △CDB ＝AC 2CB 2＝5282＝2564.2.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt△BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt△BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ， 所以CD 2＝16， 因为BD 2＝BE ·BC ， 所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝164 3＝4 33.[例2] 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC于F ，DE ⊥AB 于E .求证：(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3＝BC ·BE ·CF .[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析] (1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ，∴AB ·AC ＝AD ·BC .(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC . ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC . ∴AD 4＝BD 2·DC 2，∴AD 4＝BE ·CF ·AB ·AC . ∴AD 3＝BE ·CF ·AB ·AC ·1AD.又AB ·AC ＝BC ·AD ， ∴AD 3＝BE ·CF ·BC .在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式．同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC . 证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，由射影定理知AC 2＝CD ·BC ， 即AC CD ＝BC AC.∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF .∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD . ∴AE DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝BC AC， 即EF ∶DF ＝BC ∶AC .4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt△ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题．[考题印证]如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝4 3，则CD ＝ .[命题立意]本题主要考查利用射影定理计算线段长问题． [自主尝试] 由射影定理知CD 2＝AD ·BD ，BC 2＝BD ·AB∴BC 2＝(AB －AD )·AB . 即AB 2－2AB －48＝0.∴AB ＝8，∴BD ＝6，故CD 2＝2×6＝12， ∴CD ＝2 3. 答案：2 3[对应学生用书P11]一、选择题1．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD＝( )A ．34 B ．43 C ．169D ．916解析：选C 由射影定理知，BD ＝AB 2BC ，CD ＝AC 2BC ，所以BD CD ＝AB 2AC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2又AC AB ＝34，所以BD CD ＝169. 2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C ．3∶ 2D ．2∶ 3解析：选C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋ BD ＝5. ∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10. ∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶ 2. 3．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能确定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝2 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AB ＝7，BD ＝4，CD ＝2 3解析：选B 在A 中，AD ＝2，AC 2＝AD ·AB ，故△ABC 为直角三角形；在B 中，CD ＝5，CD 2＝5≠AD ·DB ＝4，故△ABC 不是直角三角形，同理可证C ，D 中三角形为直角三角形．4．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ·DC ，则∠BAC ( ) A ．大于90° B ．等于90° C ．小于90°D ．不能确定解析：选D 如图(1)， 由AD 2＝BD ·CD ，有AB 2＋AC 2＝BD 2＋CD 2＋2AD 2＝BD 2＋CD 2＋2BD ·CD ＝(BD ＋CD )2， 即AB 2＋AC 2＝BC 2， 可得∠BAC ＝90°，如图(2)，显然AD 2＝BD ·CD ，D 点在△ABC 外， 则∠ACB >90°，所以△ABC 是直角或钝角三角形． 二、填空题5.如图所示，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，点C 在AB 上的正射影为D ，且AC ＝3，AD ＝2，则AB ＝ .解析：∵AC ⊥BC ，又D 是C 在AB 上的正射影， ∴CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .图1图2又AC ＝3，AD ＝2，∴AB ＝AC 2AD ＝92.答案：926.(湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CE EO的值为 ．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .；∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8.答案：87．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD ＝ . 解析：如图，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，设BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：128.如图，在△ABC 中，D ，F 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，则AC ＝ .解析：；在△ABC 中，设AC ＝x ，因为AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.所以AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ， 因为BD ＝DC ＝1，所以BE ＝EC . 又因为AF ⊥BC ，所以DE ∥AF ，所以DE AF ＝DC AC ，所以DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，因为DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＝12， 所以x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4.所以x ＝32. 所以AC ＝32. 答案：32 三、解答题9．如图所示，在△ABC 中CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，求∠BAC .解：因为BD ＝AB －12AC ，所以AB －BD ＝12AC ＝AD .因为CD ⊥AB ，所以∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中， cos ∠CAD ＝AD AC ＝12AC AC ＝12.∴∠BAC ＝60°.10.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x .因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°.因为AB ＝m ，所以BC ＝12m ，又因为CD ⊥AB ，所以BC 2＝BD ·AB ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m ，所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316m 2，得CD ＝34m .因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m . 11．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G ，H ，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF .求证：GD 2＝GF ·GH .证明：因为∠H ＝∠BCF ，∠EBC ＝∠GBH ， 所以△BCE ∽∠BHG ， 因为CE ⊥BH ，所以∠BGH ＝90°，所以HG ⊥BC . 在Rt△BCD 中，因为BD ⊥DC ， 所以GD 2＝GB ·GC . ①在△FCG 和△BHG 中，因为∠FGC ＝∠HGB ＝90°，∠BCF ＝∠H ， 所以△FCG ∽△BHG ， 所以GF GB ＝GC GH， 即GB ·GC ＝GF ·GH ， ②由①②得，GD 2＝GF ·GH .。
高中数学第一章平面直角坐标系学案北师大版选修4-4
§1平面直角坐标系1.1 平面直角坐标系与曲线方程1．通过回顾平面直角坐标系，体会借助坐标系研究曲线和方程的关系．2．了解曲线和方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法．3．能利用已知条件求出曲线方程．1．平面直角坐标系(1)在平面内两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，如图所示．在平面直角坐标系中，有序实数对与坐标平面内的点具有________关系，如图，有序实数对(x，y)与点P相对应，这时(x，y)称作点P的________，并记为P(x，y)，其中，x 称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标．(2)曲线可看做是满足某些条件的点的____或____，由此我们可借助坐标系，研究曲线与方程间的关系．(1)建立平面直角坐标系的意义：平面图形都是二维图形，建立直角坐标系就能准确表示一个点所处的位置．(2)水平轴为x 轴，垂直轴为y 轴，x 轴、y 轴统称为坐标轴．在x ，y 轴上，单位长度一般相同．【做一做1－1】已知点P (－1＋2m ，－3－m )在第三象限，则m 的取值范围是__________． 【做一做1－2】已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的点C 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的________都是方程f (x ，y )＝0的解； (2)以方程f (x ，y )＝0的________的点都在曲线C 上．那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． 【做一做2】已知B ，C 是两个定点，|BC |＝6，且△ABC 的周长为16，顶点A 的轨迹方程是( )．A ．x 216＋y 225＝1(y ≠0)B ．x 225＋y 216＝1(y ≠0) C ．x 216＋y 225＝1(x ≠0) D ．x 225＋y 216＝1(x ≠0)1．建立直角坐标系的作用 剖析：坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上，起过划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究．2．建立适当的坐标系的一些规则剖析：(1)如果图形有对称中心，可以选择对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上．答案：1．(1)一一对应 坐标 (2)集合 轨迹【做一做1－1】－3＜m ＜12∵第三象限点的坐标特征是横坐标与纵坐标均小于0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2m <0，－3－m <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <12，m >－3.∴－3＜m ＜12.【做一做1－2】C 若点C 在x 轴上，可设点C (x,0)，由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋1，解得x 1＝0，x 2＝2. 故点C 的坐标为(0,0)或(2,0)．若点C 在y 轴上，可设点C 为(0，y )，由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y )2＋(0－3)2＋(y －1)2， 解之，得y 1＝0，y 2＝4.故点C 的坐标为(0,0)或(0,4)．∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点． 2．(1)点的坐标 (2)解为坐标【做一做2】B ∵△ABC 的周长为16，|BC |＝6， ∴|AB |＋|AC |＝10.以BC 所在的直线为x 轴，过BC 的中点做BC 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－3,0)，C (3,0)，设A (x ，y )(y ≠0)， 则x ＋32＋y 2＋x －32＋y 2＝10(y ≠0)，化简得顶点A 的轨迹方程是x 225＋y 216＝1(y ≠0)．题型一 利用坐标系解决代数问题【例1】已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM :MB ＝1:2，求动点M 的轨迹方程．分析：利用平面直角坐标系，设出A ，B ，M 三点的坐标，再利用定比分点公式表示出点M 的坐标关系，即点M 的轨迹方程．反思：利用点在平面直角坐标系中的关系，找到其关系式，并用代入法解出相关点的轨迹方程是常见题型．题型二 利用坐标系解决几何问题【例2】已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．分析：此题是平面几何最值问题，用平面几何法不易解决，考虑用坐标法来解决． 反思：(1)也可以以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，计算也不复杂． (2)配方法是求最值的重要方法，应掌握好． 题型三 利用坐标系解决实际问题【例3】我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80海里的B 处．沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．分析：先画出坐标系，标出A ，B 的位置及坐标，根据相应的图形结构求出拦住敌舰的位置并求出坐标．反思：利用坐标解决实际问题的关键是分析好题意，根据题意建立适当的平面直角坐标系或利用已有的坐标系建立相关点的关系式，从而解决实际问题．题型四 易错题型【例4】已知两定点A ，B ，且|AB |＝4，动点M 满足：直线MA 与MB 斜率之积为常数－34，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线．错解：建立坐标系如图， 则A (－2,0)，B (2,0)， 设M (x ，y )，则k MA ·k MB ＝－34.代入坐标，得yx ＋2·y x －2＝－34， 化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1.错因分析：(1)在解本题时没有考虑到式子的意义，y x ＋2，yx －2中x ＋2≠0，x －2≠0，即x ≠±2，没有去掉相应的两个点．(2)没有说明轨迹是什么曲线．反思：在利用平面直角坐标系求轨迹问题时，往往会遇到去点或去掉图形的某一部分的情况，做这种题时要认真分析题目条件，求出准确的轨迹方程．答案：【例1】解：如图，设A (x A,0)，B (0，y B )，M (x ，y )，∵|AB |＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，① 又∵AM ∶MB ＝1∶2，∴x ＝x A1＋12，y ＝12y B 1＋12，即⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36，即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为：x 2＋4y 2＝16.②【例2】解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x2＋3y 2－3ay ＋5a 24＝3x 2＋3⎝⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ⎝⎛⎭⎪⎫0，36a ，它是正△ABC 的中心． 【例3】解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)． 我军舰直行到点C 与敌舰相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．【例4】正解：以AB 所在直线为x 轴，过AB 中点且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (－2,0)，B (2,0)，设M (x ，y )，则k AM ·k MB ＝－34，即y x ＋2·y x －2＝－34(x ≠±2)， 化简得x 24＋y 23＝1(x ≠±2)．∴点M 的轨迹是除去点(±2,0)的椭圆．1已知平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则D 的坐标是( )．A ．(9，－1)B ．(－3,1)C ．(1,3)D ．(2,2)2在△ABC 中，B(－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程是( )．A ．22=195x y +(y ≠0)B ．22=159x y +(y ≠0) C ．22=195x y +(x ≠0) D ．22=159x y +(x ≠0) 3已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＋c 2＝5a 2，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，则BE 与CF 的位置关系是__________．4选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点． 答案：1．C 设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋5＝3＋x ，2＋1＝0＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.故D (1,3)．2．A ∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10，其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6＞4，∴A 点的轨迹为椭圆除去与x 轴相交的两点，且2a ＝6,2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．3．垂直 如图，以△ABC 的顶点A 为原点O ，边AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (c,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，0.设C (x ，y )，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，∴k BE ＝－y 2c －x ，k CF ＝2y 2x －c ， 由b 2＋c 2＝5a 2，得|AC |2＋|AB |2＝5|BC |2，即x 2＋y 2＋c 2＝5[(x －c )2＋y 2]，整理得2y 2＝(2x －c )(2c －x )，∴k BE ·k CF ＝－2y22x －c 2c －x＝－1.∴BE 与CF 互相垂直．4．解：方法一：建立如图(1)所示的平面直角坐标系，(1)则正六边形的顶点分别为A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，D (－1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.方法二：建立如图(2)所示的平面直角坐标系，(2)则正六边形的顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，B ⎝⎛⎭⎪⎫32，3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0.。
2016-2017学年高中数学第1章直线多边形圆1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化学案北师大版选修
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1.了解极坐标系与直角坐标系的联系.2.理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别.(易错易混点)3.能进行极坐标和直角坐标的互化.(重点)[基础·初探]教材整理 极坐标与直角坐标的互化 1.互化的前提条件把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图123所示.图1232.互化公式设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标(x ，y )极坐标(ρ，θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2tan θ＝yx(x ≠0)把极坐标写成直角坐标，把直角坐标写成极坐标.(1)⎝⎛⎭⎪⎫2，π6________；(2)()1，3 ________；(3)(0,2) ________；(4)⎝⎛⎭⎪⎫4，－π3 ________. 【解析】 (1)x ＝2cos π6＝3，y ＝2sin π6＝1，∴直角坐标为(3，1).(2)ρ＝1＋3＝2，tan θ＝3，∴θ＝π3，∴极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(3)(0,2)在y 轴上，∴ρ＝2，θ＝π2，∴极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2. (4)x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝2，y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－2 3.∴直角坐标为(2，－23).【答案】 (1)(3，1) (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 (3)⎝⎛⎭⎪⎫2，π2(4)(2，－23)[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]化极坐标为直角坐标分别把下列点的极坐标化为直角坐标. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π12.【精彩点拨】 点的极坐标ρ，θ―→x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ―→点的直角坐标x ，y【自主解答】 (1)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3).(2)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π3＝－2，y ＝ρsin θ＝4sin2π3＝2 3. ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23).(3)∵cos π12＝1＋cosπ62＝ 1＋322＝6＋24， sin π12＝ 1－cosπ62＝ 1－322＝6－24， ∴x ＝ρcos θ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝4cos π12＝6＋2， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－4sin π12＝2－ 6.∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，－π12化为直角坐标为( 2＋6，2－6).1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同.2.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，要求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.[再练一题]1.把下列各点的极坐标化为直角坐标，并判断所表示的点在第几象限. (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2，－2).【解】 (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点.(2)x ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23π＝3，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1，3)，是第二象限内的点.(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3， ∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点. (4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2，y ＝2sin(－2)＝－2sin 2.∴点(2，－2)的直角坐标为(2cos 2，－2sin 2)，是第三象限内的点.直角坐标化为极坐标分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π). (1)(0,0)；(2)(－1，－1)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.【精彩点拨】直角坐标x ，y――――――→ρ＝x 2＋y 2tan θ＝yxx ≠0极坐标ρ，θ【自主解答】 (1)由于直角坐标原点(0,0)与极点重合，所以限定ρ≥0,0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ).(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝－12＋－12＝2，tan θ＝y x＝1，θ∈[0,2π).由于点(－1，－1)在第三象限，所以θ＝5π4.∴点的直角坐标(－1，－1)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝y x ＝1，θ∈[0,2π).由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4.∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.将点的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)时，运用公式ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)即可.在[0,2π)范围内，由tan θ＝y x(x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可.[再练一题]2.分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0，θ∈R ).(1)(－2,23)；(2)(6，－2). 【解】 (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝－22＋232＝4，tan θ＝y x＝－3，θ∈R ，由于点(－2,23)在第二象限， ∴θ＝23π＋2k π，k ∈Z .∴点(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π＋2k π，k ∈Z . (2)∵ρ＝62＋－22＝22，tan θ＝yx ＝－33，θ∈R . 由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝116π＋2k π，k ∈Z .∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，116π＋2k π，k ∈Z . [探究共研型]互化公式的综合应用探究 1 纽带是什么？【提示】 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ＞0，sin θ＝yρ，cos θ＝x ρ，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝|OM |2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0).探究2 将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角.当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝y x按上述方法确定.当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.在极坐标系中，如果点A ，B 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4，且△ABC 为等腰直角三角形，求直角顶点C 的极坐标与该三角形的面积.【精彩点拨】 解答本题既可以把极坐标转化为直角坐标来解，也可以利用余弦定理来解决.【自主解答】法一：利用坐标转化.对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直角坐标为()2，2，点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2，－2).设点C 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |，∴A C →·B C →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴(x －2)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4. ①又|AC |2＝|BC |2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2， 即y ＝－x ，代入①得x 2＝2，解得x ＝±2，∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为()2，－2或()－2，2. ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4.法二：设点C 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0,0≤θ＜2π)， ∵|AB |＝2|OA |＝4，∠C ＝π2，|AC |＝|BC |， ∴|AC |＝|BC |＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝8， ①ρ2＋22－2×2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π4＝8， ②①＋②化简得ρ2＝4，由ρ＞0得ρ＝2，代入①得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝0，∴θ－π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝3π4＋k π，k ∈Z ，又0≤θ＜2π，令k ＝0,1， 得θ＝3π4或7π4，∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4，S △ABC ＝12|AC ||BC |＝12|AC |2＝12×8＝4.1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等腰直角三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.坐标平面内两点间的距离公式：(1)如果已知点的直角坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22；(2)如果已知点的极坐标A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，那么|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cosθ1－θ2.[再练一题]3.在极坐标系中，点A 和点B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和(3,0)，O 为极点.(1)求|AB |；(2)求S △AOB .【解】 法一：|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝22＋32－2×2×3×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－0＝4＋9－6＝7.S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×2×3×sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－0＝332. 法二：A ，B 的直角坐标为A (1，3)，B (3,0)， ∴|AB |＝3－12＋3－02＝7.S △AOB ＝12×3×3＝332. [构建·体系]1.点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6，则点A 的直角坐标为( )A.(－1，－3)B.(－3，1)C.(－3，－1)D.(3，－1)【解析】 ∵x ＝ρcos θ＝2cos 7π6＝－2cos π6＝－2×32＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin7π6＝－2sin π6＝－2×12＝－1， ∴A (－3，－1)为所求. 【答案】 C2.极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】 因为ρ＝3，θ＝3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴x ＝ρcos θ＜0，y ＝ρsin θ＞0，所以极坐标为(3,3)的点在直角坐标系的第二象限. 【答案】 B3.点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则点M 的极坐标为________(ρ>0,0<θ<2π).【解析】 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2. 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫π2，π24.若点A 的直角坐标为(2,0)，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，则|AB |＝________.【导学号：12990008】【解析】 把点B 的极坐标化为直角坐标是(1，3).则|AB |＝2－12＋0－32＝2.【答案】 25.将直角坐标P (－1，－3)化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π).aa 【解】 ∵ρ＝－12＋－32＝2，tan θ＝－3－1＝3，由于点P (－1，－3)在第三象限，所以θ＝4π3， ∴直角坐标P (－1，－3)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学 第1章 直线、多边形、圆 1.2.1 圆周角定理学案 北师大版选修4-1
§2.圆与直线 2.1 圆周角定理1.掌握圆周角定理，圆周角定理的两个推论.2.会用圆周角定理及其推论解决与圆心角、圆周角有关的问题.[基础·初探]教材整理1 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的孤的度数的一半.1.△ABC 内接于⊙O ，且︵AB ∶︵BC ∶︵CA ＝3∶4∶5，则∠A ＝________，∠B ＝________，∠C ＝________.【解析】 ∵︵AB ∶︵BC ∶︵CA ＝3∶4∶5，∴︵AB 的度数为90°，︵BC 的度数为120°，︵CA 的度数为150°， ∴∠A ＝60°，∠B ＝75°，∠C ＝45°. 【答案】 60° 75° 45° 教材整理2 圆周角定理的两个推论推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弧是半圆.2.如图121，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，∠BAC ＝20°，︵AD ＝︵CD ，则∠DAC 的度数是( )图121A.30°B.35°C.45°D.70°【解析】 ∵∠BAC ＝20°， ∴︵BC 的度数为40°， ∴︵AC 的度数为140°. ∵︵AD ＝︵CD ， ∴︵CD 的度数为70°. ∴∠DAC ＝35°. 【答案】 B3.如图122，A ，B ，C 是⊙O 的圆周上三点，若∠BOC ＝3∠BOA ，则∠CAB 是∠ACB 的________倍.【导学号：96990014】图122【解析】 ∵∠ACB ＝12∠AOB ，∠CAB ＝12∠BOC ，又∵∠BOC ＝3∠BOA ， ∴∠CAB ＝3∠ACB . 【答案】 3[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑：疑问3： 解惑：[小组合作型]与圆周角定理相关的证明＝CE ，∠1＝∠2.图123求证：AB ＝AC .【精彩点拨】 证明此题可先添加辅助线，再由圆周角∠1＝∠2得到其所对弧相等.进而构造等弦、等弧的条件.【自主解答】 延长AD ，AE ，分别交⊙O 于F ，G ，连接BF ，CG ， ∵∠1＝∠2，∴︵BF ＝︵CG ， ∴BF ＝CG ，︵BG ＝︵CF ， ∴∠FBD ＝∠GCE . 又∵BD ＝CE ， ∴△BFD ≌△CGE ， ∴∠F ＝∠G ，︵AB ＝︵AC ， ∴AB ＝AC .1.解答本题时，添加辅助线，构造等弧是解题的关键.2.利用圆周角定理证明等量关系是一类重要的数学问题，在解此类问题时，主要是分析圆周角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时，需添加辅助线构造等弧、等角、等弦的条件.[再练一题]1.如图124，△ABC内接于⊙O，高AD，BE相交于H，AD的延长线交⊙O于F，求证：BF＝BH.图124【证明】∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AHE＝∠C.∵∠AHE＝∠BHF，∠F＝∠C，∴∠BHF＝∠F.∴BF＝BH.直径所对的圆周角如图1AB＝10 cm，OD⊥AC 于D.求四边形OBCD的面积.图125【精彩点拨】由AB是半圆的直径知∠C＝90°，由条件求出AC，BC，四边形OBCD面积可求.【自主解答】∵AB是半圆的直径，∴∠C＝90°.∵AC∶BC＝4∶3，∴可设AC＝4x，BC＝3x.又∵AB＝10，∴16x2＋9x2＝100，∴x＝2，∴AC＝8 cm，BC＝6 cm.又∵OD⊥AC，∴OD∥BC，∴AD＝4 cm，OD＝3 cm.∴S 四边形OBCD ＝S △ABC －S △AOD＝12×6×8－12×3×4＝24－6＝18(cm 2).1.解答本题时利用AC ∶BC ＝4∶3，得到AC 与BC 的关系，然后根据勾股定理可求出AC 与BC 的长度.2.在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质既可以计算角大小、线段长度又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等.[再练一题]2.如图126，AB 是⊙O 的直径，AB ＝2 cm ，点C 在圆周上，且∠BAC ＝30°，∠ABD ＝120°，CD ⊥BD 于D .求BD 的长.【导学号：96990015】图126【解】 如图，连接BC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＝30°，AB ＝2 cm ， ∴BC ＝AB2＝1(cm).∵∠ABD ＝120°，∴∠DBC ＝120°－60°＝60°. ∵CD ⊥BD ，∴∠BCD ＝90°－60°＝30°，∴BD ＝BC 2＝12＝0.5(cm).与圆周角定理有关的计算问题AD 于E ，且AE ＝BE .图127(1)求证：︵AB ＝︵AF ；(2)如果sin∠FBC ＝35，AB ＝45，求AD 的长.【精彩点拨】 BC 为半⊙O 的直径，连接AC ，构造Rt△ABC . 【自主解答】 (1)证明：如图，连接AC . ∵BC 是半⊙O 的直径， ∴∠BAC ＝90° 又AD ⊥BC ，垂足为D ， ∴∠1＝∠3.在△AEB 中，AE ＝BE ， ∴∠1＝∠2.∴∠2＝∠3，即︵AB ＝︵AF . (2)设DE ＝3x ，∵AD ⊥BC ，sin∠FBC ＝35，∴BE ＝5x ，BD ＝4x . ∵AE ＝BE ， ∴AE ＝5x ，AD ＝8x .在Rt△ADB 中，∠ADB ＝90°，AB ＝45， ∴(8x )2＋(4x )2＝(45)2， 解得x ＝1， ∴AD ＝8.与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似，解三角形等来计算.[再练一题]3.已知：如图128，△ABC 内接于⊙O ，︵AB ＝︵AC ，点D 是︵BC 上一点，AD 交BC 于E 点，AD＝6 cm，BD ＝5 cm ，CD ＝3 cm ，求DE 的长.图128【解】 ∵︵AB ＝︵AC ， ∴∠ADB ＝∠CDE ， 又∵︵BD ＝︵BD ， ∴∠BAD ＝∠ECD ， ∴△ABD ∽△CED ， ∴AD CD ＝BD DE， 即63＝5DE ， ∴DE ＝2.5(cm).[探究共研型]圆周角相等的前提条件探究1 【提示】 不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的，如图.若AB ∥DG ，则∠BAC ＝∠EDF ，但︵BC ≠︵EF . 探究2 圆的一条弦所对的圆周角都相等吗？【提示】 不一定相等.一般有两种情况：相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补，所对同一条弧上的圆周角都相等，直径所对的圆周角既相等又互补.(江苏高考)如图129，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点.证明：∠OCB ＝∠D .图129【精彩点拨】 ︵AC 所对的圆周角是∠B 与∠D ，∠B ＝∠D ，△OBC 为等腰三角形，∠OCB ＝∠B .【自主解答】 因为B ，C 是圆O 上的两点， 所以OB ＝OC . 故∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 故∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D . 因此∠OCB ＝∠D . [再练一题]4.在半径等于7 cm 的圆内有长为7 3 cm 的弦，则此弦所对的圆周角为( )【导学号：96990016】A.60°或120°B.30°或150°C.60°D.120°【解析】 如图所示，⊙O 的半径为7 cm ，AB ＝7 3 cm ，过O 作OC ⊥AB 于C ，则AC ＝723 cm ，∴sin∠AOC ＝AC AO ＝32， ∴∠AOC ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.又圆的一条弦所对的圆周角相等或互补， 故弦AB 所对的圆周角为60°或120°. 【答案】 A[构建·体系]1.如图1210，已知圆心角∠AOB的度数为100°，则圆周角∠ACB的度数是( )图1210A.80°B.100°C.120°D.130°【解析】∵∠AOB＝100°，∴︵AMB所对圆心角为260°，∴∠ACB＝130°.【答案】D2.如图1211，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于( )图1211A.4πB.8πC.12πD.16π【解析】连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形.又AB＝4，∴OA＝OB＝4.∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】D3.如图1212，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD 相交于点F ，则AF 的长为________.图1212【解析】 如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°.故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233. 【答案】 233 4.如图1213，G 是BC 为直径的圆上一点，A 是劣弧︵BG 的中点，AD ⊥BC ，D 为垂足，连接AC 、BG ，其中BG 交AD ，AC 于点E ，F .求证：BE ＝EF .图1213【证明】 连接AB ，∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠DAC ＝90°.∵∠C ＋∠DAC ＝90°，∴∠2＝∠C .∵︵BA ＝︵AG ，∴∠1＝∠C ，∴∠1＝∠2，∴AE ＝BE .又∵∠1＋∠BFA ＝90°，∠2＋∠DAF ＝90°，∴∠BFA ＝∠DAF ，∴AE ＝EF ，∴BE ＝EF .我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)欢迎您的下载，资料仅供参考！。
高中数学第1章直线、多边形、圆1.1 平面直角坐标系学案 北师大版
1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础²初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( )(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.( )(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.( )【解析】(1)√(2)√(3)³因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)³教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x 轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x 2＋y 2＝1表示的曲线是____________. 【答案】 (1)y ＝0 (2)x 2＋y 2＝1 (3) 椭圆 教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“³”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.( )(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线.( )【解析】 (1)√ 因为x 2＋y 2＝4的圆的形状变为方程x 24＋y 2＝1表示的椭圆.(2)³ 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】 (1)√ (2)³ (3)√[质疑²手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此 4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A ，B ，C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23).∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上.k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4). ①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2).②联立①②，解得P 点坐标为(8,53). ∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A ，B ，C 的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点).以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0). 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图. 因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33 x ＋1 ，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332²⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km.G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程；(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝32，故c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3).∵|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2， 化简得x 2＋(x ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x 轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |P (M )}； ③用坐标表示条件P (M )，写出方程f (x ，y )＝0； ④化简方程f (x ，y )＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程. (3)代入法(相关点法)：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图111，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →²QM →＝2.图111(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程.【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，△CQM 为正三角形. ∴QC →²QM →＝r 2²cos 60°＝2， ∴圆C 的半径为2. 又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝23，∴椭圆方程为：x 24＋23＋y 223＝1.[探究共研型]探究 1 线和抛物线呢？【提示】 在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2 平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】 平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3 在伸缩变换中，若x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍后，变换后的坐标(x ′，y ′)与原坐标(x ，y )有什么关系？【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】 先按要求改变x 轴或y 轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题 2 中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题 3 中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x 225＋y 29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的53倍；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的35倍.【解】 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y29＝1的图形如图②.[构建²体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A.(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】 将答案代入验证知D 正确. 【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A.|x |－|y |＝1 B.|x －y |＝1 C.||x |－|y ||＝1 D.|x ±y |＝1【解析】 由题知C 正确. 【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B.【答案】 B 4.将圆x2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程.【解】 如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x | ＝2 x －1 2＋y 2， 化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.我还有这些不足： (1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)。
高中数学第1章坐标系1.1平面直角坐标系教案北师大版选修4
平面直角坐标系教学目标1.理解平面直角坐标系的意义；掌握在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法。
2.掌握坐标法解决几何问题的步骤；体会坐标系的作用。
教学重点体会直角坐标系的作用。
教学难点能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题。
授课类型新授课教学模式启发、诱导发现教学.教具多媒体、实物投影仪教学过程一、复习引入情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。
要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定2、平面直角坐标系在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。
它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定。
3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。
它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定。
三、讲解新课1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
变式训练如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗?变式训练1一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程2在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,分别按下列条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）变式训练用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
【必做练习】高中数学第1章直线多边形圆1.3柱坐标系和球坐标系学案北师大版选修4_1
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所以 2，π3 ， 1 的直角坐标是 (1 ， 3， 1).
π
π
(2) x＝4×sin 4 ×cos 6 ＝ 6，
y＝4×sin
π ×sin
π ＝
2，
4
6
π z＝ 4cos 4 ＝ 2 2.
∴
4，
π4 ，
π 6
的直角坐标是
(
6，
2， 2
2).
【答案】 (1)(1, 3，1) (2)( 6， 2， 2 2) [ 质疑·手记 ]
z＝ 0，
∴( － 1,0,0) 为所求 .
把点的球坐标化为直角坐标
把下列各点的球坐标化为直角坐标 .
35 (1) 2， 4π ， 4π ； (2)
6，
π 3
，
π 6
.
【精彩点拨】
x＝ r sin φ cos θ
y＝ r sin φ sin θ 球坐标 ――――――→ 直角坐标
z＝ r cos φ
【自主解答】 设点的直角坐标为 ( x， y， z) ，
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§３ 柱坐标系和球坐标系
1. 了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
.( 重点 )
2. 理解柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式
.( 重点 )
3. 体会空间直角坐标、柱坐标、球坐标刻画点的位置的方法的区别
.( 易错易混点 )
[ 基础·初探 ] 教材整理 1 柱坐标系和球坐标系 1. 柱坐标系 如图 1-3-1 ，建立空间直角坐标系 O- xyz. 设 M( x， y， z) 为空间一点，并设点 M在 xOy 平 面上的投影点 P 的极坐标为 ( r ， θ) ，则这样的三个数 r ， θ， z 构成的有序数组 ( r ， θ ，z) 就叫作点 M的柱坐标，这里规定 r ， θ， z 的变化范围为 0≤ r ＜＋∞， 0≤ θ ＜ 2π，－∞＜ z ＜＋∞．
高中数学第一章坐标系1平面直角坐标系学案北师大版选修4.doc
§1 平面直角坐标系[对应学生用书P1][自主学习]1．平面直角坐标系与曲线方程(1)平面直角坐标系中点和有序实数对的关系：在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的．(2)平面直角坐标系中曲线与方程的关系：曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：①曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解； ②以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程f (x ，y )＝0叫作曲线C 的方程，曲线C 叫作方程f (x ，y )＝0的曲线． (3)一些常见曲线的方程： ①直线的方程：ax ＋by ＋c ＝0；②圆的方程：圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ③椭圆的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1； ④双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上，实轴长为2a ，虚轴长为2b 的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1；⑤抛物线的方程：顶点在原点，以x 轴为对称轴，开口向右，焦点到顶点距离为p2的抛物线方程为y 2＝2px .2．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．[合作探究]1．如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 提示：①如果图形有对称中心，选对称中心为坐标原点； ②如果图形有对称轴，选对称轴为坐标轴； ③使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上；④如果是圆锥曲线，所建立的平面直角坐标系应使曲线方程为标准方程． 2．平面直角坐标系中的伸缩变换可以改变图形的形状，那平移变换呢？ 提示：平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状、大小．[对应学生用书P1]到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程．(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线．[思路点拨] 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等．解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线．[精解详析] (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝ca ＝32，故c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3)；∵|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2. 化简得x 2＋(y ＋3)2＝4.又∵P在△ABC内，∴y>0.∴P点的轨迹方程为x2＋(y＋3)2＝4(y>0)．其曲线如上图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x轴上半部分圆孤．1．求曲线方程的方法：(1)已知曲线类型求方程一般用待定系数法；(2)求动点轨迹方程常用的方法有：①直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：a．建立适当的平面直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；b．写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}；c．用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；d．化简方程f(x，y)＝0；e．检验或证明d中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则e可以省略．②定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．③代入法(相关点法)：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，x1，y1的方程组，利用x，y表示x1，y1，把x1，y1代入已知曲线方程即为所求．④参数法：动点P(x，y)的横坐标、纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．2．根据曲线的方程画曲线时，关键根据方程判定曲线的类型，是我们熟知的哪种曲线，但要注意是曲线的全部还是局部．1．在△ABC 中，底边BC ＝12，其他两边AB 和AC 上中线CE 和BD 的和为30，建立适当的坐标系，求此三角形重心G 的轨迹方程．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，过原点且与BC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，|BD |＋|CE |＝30， 可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20，∴重心G 的轨迹是以(－6,0)，(6,0)为焦点，2a ＝20的椭圆，且y ≠0，其轨迹方程为：x 2100＋y 264＝1(x ≠±10)．[例2] 和正方形BCFG ，连接EC ，AF ，且EC ，AF 交于点M ，连接BM .求证：BM ⊥AC .[思路点拨] 本题考查坐标法在解决平面几何中垂直、平行、线段相等、平分等问题中的应用，解答此题需要先建立适当的平面直角坐标系，设出相关点的坐标，求出相关线的方程，求出k BM ，k AC ，证明k BM ·k AC ＝－1，即可．[精解详析] 如图，以两条直角边所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．设正方形ABDE 和正方形BCFG 的边长分别为a ，b ，则A (0，a )，B (0,0)，C (b,0)，E (－a ，a )，F (b ，－b )．直线AF ：y ＋b a ＋b ＝x －b0－b， 即(a ＋b )x ＋by －ab ＝0； 直线EC ：y －0a －0＝x －b－a －b， 即ax ＋(a ＋b )y －ab ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b x ＋by －ab ＝0，ax ＋a ＋b y －ab ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2b a 2＋ab ＋b 2，y ＝ab2a 2＋ab ＋b 2.即M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b a 2＋ab ＋b 2，ab 2a 2＋ab ＋b 2.故k BM ＝b a .又k AC ＝0－a b －0＝－ab，∴k BM ·k AC ＝－1， ∴BM ⊥AC .坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步，把代数运算结果翻译成几何结论．2．已知正△ABC 的边长为a ，在平面上求一点P ，使|PA |2＋|PB |2＋|PC |2最小，并求出此最小值．解：以BC 所在直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，B ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0. 设P (x ，y )，则|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝3x 2＋3y 2－3ay ＋5a24＝3x 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫y －36a 2＋a 2≥a 2，当且仅当x ＝0，y ＝36a 时，等号成立， ∴所求最小值为a 2，此时P 点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，36a ，它是正△ABC 的中心．[例3] 在下列平面直角坐标系中，分别作出25＋9＝1的图形．(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍．[思路点拨] 本题考查平面直角坐标系中的伸缩变换对图形的影响及数形结合思想，解决此题只需根据坐标轴的伸缩变换找出变换后x 轴、y 轴单位长度的变化情况，再作出图形即可．[精解详析] (1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.一般地，在平面直角坐标系xOy 中：(1)使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y的伸缩变换．(2)在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.本例中若x 轴的单位长度为y 轴上单位长度的35，则椭圆x 225＋y29＝1的图形如何？解：如果y 轴上的单位长度不变，x 轴的单位长度缩小为原来的35，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝35x ，y ′＝y ，则x 225＋y 29＝1的图形变为圆．本课时主要考查平面直角坐标系中曲线的求解，常与平面几何知识结合．[考题印证]设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q满足BQ ＝λQA ，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM ＝λMP ，求点P 的轨迹方程．[命题立意] 本题考查直线和抛物线的方程、平面向量的概念、性质与运算、动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养．[自主尝试] 由QM ＝λMP 知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上， 故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)， 则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ ＝λQA ， 即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λy 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝＋λx －λ，y 1＝＋λ2x 2－λ＋λy －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21， 再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2，(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2， 2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0. 因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0. 故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.[对应学生用书P4]一、选择题1．方程x 2＋xy ＝0的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线解析：选C 方程变形为x (x ＋y )＝0，∴x ＝0或x ＋y ＝0，而方程x ＝0，x ＋y ＝0表示的是直线，∴C 正确．2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，且sin B －sin C ＝12sinA ，若以底边BC 为x 轴、底边BC 的中点为原点建立平面直角坐标系，则点A 的轨迹方程是( )A.x 29－y 227＝1 B.x 29－y 227＝1(x ＜－3) C.x 227－y 29＝1 D.x 227－y 29＝1(x ＜－3) 解析：选B 由题意知，B (－6,0)，C (6,0) 由sin B －sin C ＝12sin A 得b －c ＝12a ＝6，即|AC |－|AB |＝6.所以点A 的轨迹是以B (－6,0)，C (6,0)为焦点，2a ＝6的双曲线的左支且y ≠0.其方程为x 29－y 227＝1(x <－3)．3．已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )解析：选B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则该椭圆的形状为选项B 中所示．4．平面内有一条固定线段AB ，|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|OP |的最小值是( )A.32B.12 C ．2D ．3解析：选A 以AB 的中点O 为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图，则点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线的一部分.2c ＝4，c ＝2,2a ＝3，∴a ＝32.∴b 2＝c 2－a 2＝4－94＝74.∴点P 的轨迹方程为x 294－y 274＝1(x ≥32)．由图可知，点P 为双曲线与x 轴的右交点时，|OP |最小，|OP |的最小值是32.二、填空题5．已知点A (－2,0)，B (－3,0)，动点P (x ，y )满足PA ·PB ＝x 2＋1，则点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得PA ＝(－2－x ，－y )，PB ＝(－3－x ，－y )． ∴PA ·PB ＝(－2－x )(－3－x )＋(－y )2＝x 2＋1. 即y 2＋5x ＋5＝0. 答案：y 2＋5x ＋5＝06．在平面直角坐标系中，O 为原点，已知两点A (4,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC ＝m OA ＋n OB ，其中m ，n ∈[0,1]，且m ＋n ＝1，则点C 的轨迹方程为________．解析：由题意知，A ，B ，C 三点共线且C 在线段AB 上，点A ，B 所在的直线方程为2x ＋5y －13＝0，且点C 的轨迹为线段AB ，所以，点C 的轨迹方程为2x ＋5y －13＝0，x ∈[－1,4]．答案：2x ＋5y －13＝0(－1≤x ≤4)7．在平面直角坐标系中，设点P (x ，y )，定义|OP |＝|x |＋|y |，其中O 为坐标原点，对以下结论：①符合|OP |＝1的点P 的轨迹围成图形面积为2；②设P 为直线5x ＋2y －2＝0上任意一点，则|OP |的最小值为1；③设P 为直线y ＝kx ＋b (k ，b ∈R )上任意一点，则“使|OP |最小的点P 有无数个”的必要不充分条件是“k ＝±1”．其中正确的结论有________．(填序号) 解析：在①中，由于|OP |＝1⇔⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋1，0≤x ≤1，y ＝－x －1，－1≤x ≤0，y ＝x ＋1，－1≤x ≤0，y ＝x －1，0≤x ≤1，其图像如图故其面积为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝2.故①正确． 在②中，当P ⎝⎛⎭⎪⎫255，0时，|OP |＝|x |＋|y |＝255＜1， ∴|OP |的最小值不为1，故②错误．在③中，∵|x |＋|y |≥|x ＋y |＝|(k ＋1)x ＋b |， 当k ＝－1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意， 即|x |＋|y |≥|x －y |＝|(k －1)x －b |，当k ＝1时，|x |＋|y |≥|b |满足题意，故③正确． 答案：①③8．曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a ＞1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是________．解析：因为原点O 到两个定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)的距离的积是1，而a ＞1，所以曲线C 不过原点，即①错误；因为F 1(－1,0)，F 2(1,0)关于原点对称，所以|PF 1||PF 2|＝a 2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；因为S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2≤12|PF 1||PF 2|＝12a 2，即面积不大于12a 2，所以③正确．答案：②③ 三、解答题9.如图所示，△ABC 中，角A ，B ，C 所对三边分别为a ，b ，c ，且B (－1，0)，C (1,0)．(1)求满足b >a >c ，b ，a ，c 成等差数列时，顶点A 的轨迹方程． (2)在x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍的平面直角坐标系中作出(1)中轨迹．解：(1)∵b ，a ，c 成等差数列， ∴b ＋c ＝2a ＝2×2＝4.即|AB |＋|AC |＝4>|BC |＝2符合椭圆定义条件． 动点A (x ，y )的轨迹是椭圆，且⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，2c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，∴A 点的轨迹方程是x 24＋y 23＝1.由于b >c ，即|AC |>|AB |，可知A 点轨迹是椭圆左半部分，还必须除去点(0，－3)，(0，3)．∵A ，B ，C 构成三角形，∴必须除去点(－2,0)． ∴所求轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (－2<x <0)．(2)如果y 轴上的单位长度不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 24＋y23＝1(－2<x <0)的图形为图示．10．我海军某部发现，一艘敌舰从离小岛O 正东方向80 n mile 的B 处，沿东西方向向O 岛驶来，指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40 n mile 的A 处的我军舰沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若敌我两舰行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我军舰最快拦住敌舰的位置，并求出该点的坐标．解：A ，B 两点如图所示，A (0,40)，B (80,0)，∴OA ＝40(n mile)，OB ＝80(n mile)． 我军舰直行到点C 与敌舰相遇， 设C (x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x . ∵敌我两舰速度相同， ∴AC ＝BC ＝80－x .在Rt△AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2， 即402＋x 2＝(80－x )2，解得x ＝30. ∴点C 的坐标为(30,0)．11.如图，椭圆C0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左、右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )．② 由①②得y 2＝－y 21x 21－a2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2， 因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．。
高中数学 第一章 直线、多边形、圆章末复习课学案 北师大版-1
第一章直线、多边形、圆章末复习课[对应学生用书P30]［对应学生用书P30]平移反射旋转相似判断两个图形是经过平移、反射、旋转、相似哪种变换而得到的．关键是抓住每一种变换的特点：即图形的位置、形状、大小会发生如何变化,从而解决与之相关的问题．［例1］如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（8，8），B（4,0），C（12，－4)，D(16,4)，画出它以原点O为位似中心、相似比为错误!的位似图形，并确定其对应点的坐标．［解] A、B、C、D的对应点的坐标分别为A′（4,4)，B′（2，0），C′(6,－2）,D′(8，2）和A″(－4,－4）,B″(－2,0），C″(－6，2），D″(－8，－2)．与圆有关的角的计算与证明通常涉及这四类角，因此圆周角定理，圆心角定理，弦切角定理是解决此类问题的知识基础，通常利用圆周角、弦切角、圆心角与弧的关系转化，借助于圆内接四边形的对角互补和圆的切线垂直于经过切点的半径(获得直角)来解决．[例2］(1）已知⊙O是∠ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，则∠BOC ＝，∠BIC＝ .(2）如图，过点P作⊙O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线分别与AE，BE相交于点C，D。
若∠AEB＝30°,则∠PCE＝ .［解析] （1）如图，∵∠A＝80°，由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠BOC＝2∠A＝160°.又∵在△ABC中,∠A＝80°,∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100°。
又∵∠IBC＝错误!∠ABC,∠ICB＝错误!∠ACB，∴∠IBC＋∠ICB＝错误!(∠ABC＋∠ACB）＝错误!×100°＝50°.∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130°。
2019-2020最新高中数学第1章直线多边形圆1-1-5直角三角形的射影定理学案北师大版选修4_1(1)
教材整理1 比例中项
如果a∶b＝b∶c(即b2＝ac)，那么b称为a和c的比例中项.
1.已知4是a与8的比例中项，求实数a的值.
【解】 ∵4是a与8的比例中项，∴42＝8a，a＝2.
教材整理2 直角三角形的射影定理
(1)定理：直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项.
【96990011】
图1 1 63
【解析】 由题意知，AD＝2a，DE＝BD，
∴AD2＝DE·BD＝BD2，
∴BD2＝4AD2＝16a2，
∴BD＝4a.
【答案】 4a
4.如图1 1 64所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BD·CF2＝CD·EF2.
[再练一题]
2.如图1 1 60所示，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足.求证：
图1 1 60
(1)AE·AB＝AF·AC；
(2)△AEF∽△ACB.
【证明】 (1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，
在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，
∴AE·AB＝AF·AC.
(2)∵AE·AB＝AF·AC，
∴＝.
又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.
[探究共研型]
射影定理的条件
探究1 如何使用射影定理？
【提示】 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理的条件时，可直接运用定理，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，再运用定理，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系，要注意它们的综合应用.
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1.1 平面直角坐标系与曲线方程1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.理解平面直角坐标系的作用.(重点)2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.(重点)3.了解平面直角坐标系中直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等各种图形的代数表示.(易混点)[基础·初探]教材整理1 平面直角坐标系与点的坐标在平面直角坐标系中，对于任意一点，都有唯一的有序实数对(x，y)与之对应；反之，对于任意的一个有序实数对(x，y)，都有唯一的点与之对应.即在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在平面直角坐标系中，x轴上点的纵坐标都是0.( )(2)在平面直角坐标系中，点和有序实数对是一一对应的.( )(3)坐标(3,0)和(0,3)表示同一个点.( )【解析】(1)√(2)√(3)×因为(3,0)在x轴上，而(0,3)在y轴上.【答案】(1)√(2)√(3)×教材整理2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线.填空：(1)x 轴的直线方程为________.(2)以原点为圆心，以1为半径的圆的方程为____________.【导学号：12990000】(3)方程2x 2＋y 2＝1表示的曲线是____________. 【答案】 (1)y ＝0 (2)x 2＋y 2＝1 (3) 椭圆 教材整理3 平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)如果x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小为原来的12，圆x 2＋y 2＝4的图形变为椭圆.( )(2)平移变换既不改变形状，也不改变位置.( ) (3)在伸缩变换下，直线依然是直线.( )【解析】 (1)√ 因为x 2＋y 2＝4的圆的形状变为方程x 24＋y 2＝1表示的椭圆.(2)× 平移变换只改变位置，不改变形状.(3)√ 直线在平移和伸缩下依然为直线，但方程发生了变化. 【答案】 (1)√ (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s 后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【精彩点拨】 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A ，B ，C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解.【自主解答】 设A ，B ，C ，P 分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23).∵|PB |＝|PC |，∴点P 在线段BC 的垂直平分线上.k BC ＝－3，线段BC 的中点D (－4，3)，∴直线PD 的方程为y －3＝13(x ＋4). ①又|PB |－|PA |＝4，∴点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上， 双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ≥2).②联立①②，解得P 点坐标为(8,53). ∴k PA ＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1.由于A ，B ，C 的相对位置一定，解决问题的关键是如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解.2.运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题.[再练一题]1.已知某荒漠上有两个定点A ，B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问：暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C ，D ，由围墙总长为8 km ，得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点).以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0). 易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 的面积最大，则C ，D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2).(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图. 因此，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋，x 24＋y 23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫332·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8132－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3213＝4813，故暂不加固的部分长4813 km.G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，求椭圆G 的方程；(2)在边长为2的正△ABC 中，若P 为△ABC 内一点，且|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，求点P 的轨迹方程，并画出方程所表示的曲线.【精彩点拨】 本题是曲线方程的确定与应用问题，考查建立平面直角坐标系、数形结合思想、曲线方程的求法及分析推理、计算化简技能、技巧等.解答此题中(1)需要根据已知条件用待定系数法求解；(2)需要先建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，用直接法求解，再根据方程判定曲线类型画出其表示的曲线.【自主解答】 (1)由已知设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 则2a ＝12，知a ＝6.又离心率e ＝c a ＝32，故c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点，BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设P (x ，y )是轨迹上任意一点，又|BC |＝2，∴B (－1,0)，C (1,0)，则A (0，3).∵|PA |2＝|PB |2＋|PC |2，∴x 2＋(y －3)2＝(x ＋1)2＋y 2＋(x －1)2＋y 2， 化简得x 2＋(x ＋3)2＝4. 又∵P 在△ABC 内，∴y >0.∴P 点的轨迹方程为x 2＋(y ＋3)2＝4(y >0).其曲线如图所示为以(0，－3)为圆心，半径为2的圆在x 轴上半部分圆弧.求动点轨迹方程常用的方法有：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可直接求曲线的方程，步骤如下：①建立适当的平面直角坐标系，并用(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合P ＝{M |P (M )}； ③用坐标表示条件P (M )，写出方程f (x ，y )＝0； ④化简方程f (x ，y )＝0；⑤检验或证明④中以方程的解为坐标的点都在曲线上，若方程的变形过程是等价的，则⑤可以省略.(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程. (3)代入法(相关点法)：如果动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 1，y 1)，而Q (x 1，y 1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x ，y ，x 1，y 1的方程组，利用x ，y 表示x 1，y 1，把x 1，y 1代入已知曲线方程即为所求.[再练一题]2.如图111，四边形MNPQ 是圆C 的内接等腰梯形，向量CM →与PN →的夹角为120°，QC →·QM →＝2.图111(1)求圆C 的方程；(2)求以M ，N 为焦点，过点P ，Q 的椭圆方程.【解】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意得，△CQM 为正三角形. ∴QC →·QM →＝r 2·cos 60°＝2， ∴圆C 的半径为2. 又圆心为(0,0)，∴圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(2)由(1)知M (2,0)，N (－2,0)，Q (1，3)， ∴2a ＝|QN |＋|QM |＝23＋2， ∴a ＝3＋1，c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝23，∴椭圆方程为：x 24＋23＋y 223＝1.[探究共研型]探究 1 线和抛物线呢？【提示】 在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线.探究2 平移变换与伸缩变换的区别是什么？【提示】 平移变换区别于伸缩变换的地方就是：图形经过平移后只改变了位置，不会改变它的形状.探究3 在伸缩变换中，若x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍后，变换后的坐标(x ′，y ′)与原坐标(x ，y )有什么关系？【提示】 一般地，在平面直角坐标系xOy 中：使x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍(k >0)，则当k ＝1时，x 轴与y 轴具有相同的单位长度；即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝y的伸缩变换，当k >1时，相当于x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k ，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝1k y 的伸缩变换，当0<k <1时，相当于y轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的k 倍，即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝kx ，y ′＝y 的伸缩变换.在下列平面直角坐标系中，分别作出x 225＋y 29＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12倍.【精彩点拨】 先按要求改变x 轴或y 轴的单位长度，建立平面直角坐标系，再在新坐标系中作出图形.【自主解答】 (1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，则x 225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图②.(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则x 225＋y29＝1的图形如图③.在平面直角坐标系中，改变x 轴或y 轴的单位长度会对图形产生影响，本题中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 的伸缩变换，本题中即为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y的伸缩变换.[再练一题]3.本例中，x 225＋y 29＝1不变，试在下列平面直角坐标系中，分别作出其图形：(1)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的53倍；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的35倍.【解】 (1)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x225＋y 29＝1的图形如图①.(2)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的35，则x 225＋y29＝1的图形如图②.[构建·体系]1.曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A.(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15C.(1,5)D.(4,4)【解析】 将答案代入验证知D 正确. 【答案】 D2.直角坐标系中到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是( ) A.|x |－|y |＝1 B.|x －y |＝1 C.||x |－|y ||＝1 D.|x ±y |＝1【解析】 由题知C 正确. 【答案】 C3.已知一椭圆的方程为x 216＋y 24＝1，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )【解析】 如果y 轴上单位长度不变，x 轴的单位长度变为原来的12倍，则方程变为x 2＋y 2＝4，故选B.【答案】 B 4.将圆x2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y 后的曲线方程为________.【导学号：12990001】【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】x 216＋y 29＝1 5.已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.求动点M 的轨迹C 的方程.【解】 如图，设点M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |，由此得|4－x | ＝2x －2＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。