┃试卷合集3套┃上海市金山区2023届高一数学下学期期末检测试题
上海市高一数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
上海市高一年级第一学期期末试卷一、填空题1.已知集合{}1,2A =，{}2,3B =，A B = ．2.设函数()1f x x x =++，()1g x x x =+-，则函数()()f x g x ⋅的定义域为 ．3.已知函数()f x 满足()fx x =，则()4f = ．4.将函数()3f x x =的图像向右平移2个单位后，得到函数()g x 的图像，则()2g = ．5.已知常数a R ∈，设集合[),A a =+∞，{}1,0,1B =-，若B A ⊆，则a 的最大值为 ．6.设函数()()2log 31f x x =-的反函数为()1f x -，若()13f a -=，则a = ．7.已知常数a R +∈，函数()212x x x af -=+为奇函数，则a = ．8.已知常数a R ∈，函数()24a x x x f =-+在[]1,4上有两个不同的零点，则a 的取值范围为 ． 9.已知常数a R ∈，函数()21x af x x +=+.若()f x 的最大值与最小值之差为2，则a = ． 10.设,,x y z R +∈，满足236xyz==，则112x z y+-的最小值为 ． 11.已知常数a R +∈，函数()()22log f x a x =+，()()g x f f x =⎡⎤⎣⎦，若()f x 与()g x 有相同的值域，则a 的取值范围为 ．12.已知常数a R ∈，设函数()()3232122x a f x x x a =+-+-，定义域为30,⎛⎫⎪⎪⎝⎭.若()f x 的最小值为0，则a = ．二、选择题13.已知常数Q α∈，下图为幂函数y x α=的图像，则α的值可以是（ ）A ．23B ．32C ．23-D ．32-14.设集合()(){}120A x x x =+-≥，201x B x x ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件15.设集合(){},,,1,1,1yz x S x y z xy z x y z ===>>>且x y z ≠≠，则S 中（ ）A ．元素个数为0B ．元素个数为3C ．元素个数为6D ．含有无穷个元素16.若函数()f x 的图像上存在关于直线y x =对称的不同两点，则称()f x 具有性质P .已知,a b 为常数，函数()2g x a x x =+，()21bx h x x =+，对于命题：①存在a R +∈，使得()g x 具有性质P ；②存在b R +∈，使得()h x 具有性质P ，下列判断正确的是（ ） A ．①和②均为真命题B ．①和②均是假命题C ．①是真命题，②是假命题D ．①是假命题，②是真命题三、解答题17.已知常数a R ∈，函数()21f x x a =-+. （1）若3a =-，解不等式()0f x ≤；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥对任意x R ∈恒成立，求a 的取值范围. 18.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x ≥时，221x x =-+. （1）求函数()()()0g x f x x x =-≥的零点；（2）若()f x 为偶函数.当0x <时，解不等式()43f x x <--.19.研究发现，在40分钟的一节课中，注力指标p 与学生听课时间t （单位：分钟）之间的函数关系为()231646,014483log 5,1440t t t p t t ⎧-++<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩（1）在上课期间的前14分钟内（包括第14分钟），求注意力指标的最大值；（2）根据专家研究，当注意力指标大于80时，学生的学习效果最佳，现有一节40分钟课，其核心内容为连续的25分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？20.已知常数a R +∈，函数()21f x x ax =-+.（1）若3a =，解方程()341log 3x f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭（2）设函数()()12g x f x =⎡⎤⎣⎦.若()g x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调进减，求a 的取值范围；（3）设集合(){}3,1A x f x x a x a ==+-≥-的元素个数为n ，求n 关于a 的函数()n a 在R +表达式.21.已知函数()f x ，()g x 的定义域分别为12,D D ，若存在常数C R +∈，满足：①对任意01x D ∈，恒有01x C D +∈，且()()00f x f x C ≤+.②对任意01x D ∈，关于x 的不等式组()()0f x g x ≤≤()()0g x C f x C +≤+恒有解，则称()g x 为()f x 的一个“C 型函数”.（1）设函数()1103113x f x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩和()1102102x x g x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩求证：()g x 为()f x 的一个“12型函数”；（2）设常数a R ∈，函数()()31f x x ax a =+≥-，()()21g x x x =≥-.若()g x 为()f x 的一个“1型函数”，求a 的取值范围：（3）设函数()()240f x x x x =-≥.问：是否存在常数t R +∈，使得函数()()220t x x g x x=+>为()f x 的一个“t 型函数”？若存在，求t 的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、填空题1.{}1,2,32.[)0,+∞3.164.05.1-6.37.1 8.[)3,49.1± 10.11.(]0,112.24二、选择题13.C 14.B 15.A 16.B三、解答题17.（1）[]1,2 （2）1a ≥ 18.（1）1x = （2）()1,0- 19.（1）82 （2）不能 20.（1）5x =（2）113,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）当()0,3a ∈时，()0n a =； 当(){}2,263a ∈+∞-时，()1n a =；当(3,2a ∈⎤⎦时，()2n a =.21.（1）略 （2）[)0,+∞（3）)4⎡++∞⎣上海实中高一下学期期末考试数学试卷一．填空题1．57 lim57n nn n n→∞-=+________．2．函数()22cos31y xπ=-的最小正周期为________．3．已知在ABC中，a、b、c分别为A∠、B∠、C∠所对的边，若2222b c a bc+-=，则A∠=________．4．若数列{}n a的前n项和23nnS=+，则其通项公式为________．5．求和：111112123123n++++=+++++++________．6．已知数列{}n a的前n项和4nnS t=+，若{}n a为等比数列，则t=________．7．设无穷数列{}n a的公比为q，若()245limnna a a a→∞=+++，则q=________．8．若{}n a为等比数列，0na>，且20182a=，则2017201912a a+的最小值为________．9．在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，2a=，2sin sinA C=，若B为钝角，1cos24C=-，则ABC的面积为________．10．已知函数()()5sin2f x xθ=-，0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，[]0,5xπ∈，若函数()()3F x f x=-的所有零点依次记为123,,,,nx x x x，且1231n nx x x x x-<<<<<，*n N∈，若123218322222n n nx x x x x xπ--++++++=，则θ=________．二．选择题11．已知函数()()sinf x xωϕ=+（0ω>，ϕπ<）的图像如图所示，则ϕ的值为（）A．4πB．2πC．2π-D．3π-12．用数学归纳法证明()*11111112324n n N n n n n ++++≥+++∈+时，由n k =到1n k =+时，不等式左边应添加的项是（ ） A ．121k + B ．11211k k -++ C ．112122k k +++ D ．112122k k -++13．将函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移()0s s >个单位长度得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A ．12t =，s 的最小值为6π B ．32t =，s 的最小值为6π C ．12t =，s 的最小值为3π D ．32t =，s 的最小值为3π 14．对于数列12,,x x ，若使得0n m x ->对一切*n N ∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”，设函数()()sin f x x x x R =+∈及数列12,,y y ，且()1006y y y R =∈，若()()111*22n n n n n n n n y N f y y y n f y y y ππ-+-⎧⎪=⎨⎛⎫+-< ∈⎪⎝⎭≥⎪⎩，则当01y=时，下列结论正确的应为（ ）A ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为2πB ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为3πC ．数列12,,y y 的“准最大项”存在，且为4πD ．数列12,,y y 的“准最大项”不存在三．解答题15．如图，在梯形ABCD 中，AB a =，BC b =，12CD a =-，G 为对角线AC 、BD 的交点，E 、F 分别是腰AD 、BC 的中点，求向量EF 和AG （结果用向量a 、b 表示）．16．已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列{}n c 对任意*n N ∈，都有1212222nn n c c c a ++++=成立，求122012c c c +++的值．17．某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n 个月从事旅游服务工作的人数()f n 可近似地用函数()()cos f n A wn k θ=++来刻画，其中正整数n 表示月份且[]1,12n ∈，例如1n =表示1月份，A 和k 是正整数，0w >，()0,θπ∈．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律： ①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多； （1）试根据已知信息，求()f n 的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．18．对于任意*n N ∈，若数列{}n x 满足11n n x x +->，则称这个数列为“K 数列”．（1）已知数列：1，1m +，2m 是“K 数列”，求实数m 的取值范围；（2）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，当首项1a 与公差d 满足什么条件时，数列n S 是“K 数列”？（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11232n n S S a +-=，*n N ∈，设()11nn n n c a a λ+=+-，是否存在实数λ，使得数列{}n c 为“K 数列”，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 四．附加题19．已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足()*1112n n A A n n N n +-=+∈，且11a =，数列{}n b 满足()*2120n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．（1）当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1a ，1b ，2b ，2a ，3a ，3b ，4b ，4a ，5a ，5b ，…，求该数列的前n 项和n S ； （2）设1n n nc a b =+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数l 、()m k l m <<，使得k c 、l c 、m c 成等差数列？若存在，求出l 、m （用k 表示），若不存在，请说明理由．20．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足()241n n S a =+，数列{}n b 满足12b =，24b =，且等式211n n n b b b -+=对任意2n ≥成立．（1）将数列{}n a 与{}n b 的项相间排列构成新数列1122,,,,,,,n n a b a b a b ，设该新数列为{}n c ，求数列{}n c 的通项公式和前2n 项的和2n T ；（2）对于（1）中的数列{}n c 的前n 项和n T ，若n n T c λ≥⋅对任意*n N ∈都成立，求实数λ的取值范围．参考答案一．填空题 1．1- 2．13 3．4π 4．15 122n n n -=⎧⎨≥⎩ 5．21n n + 6．1- 7．12 8．4 910．9π二．选择题11．C 12．D 13．A 14．B 三．解答题 15．34EF a =，()23AG a b =+． 16．（1）n a n =；（2）20132．17．（1）()2200cos 30063f n n ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭； （2）一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”． 18．（1）2m >或3m <-；（2）11a d +>且0d ≥；（3）536λ> ． 四．附加题19．（1）n a n =，1n b n =-，222,243,4141,414n n n k n S n k n n k ⎧=⎪⎪+⎪==-⎨⎪⎪-=-⎪⎩，*k N ∈；（2）存在21l k =-，2452m k k =-+．20．（1）2 1 222n n n n k c n k=-⎧⎪⎨⎪=⎩，*k N ∈，21222n n T n +=+-；（2）1λ≤．上海市高一下学期期末考试数学试卷一．填空题： 1、计算：5arcsin sin6π⎛⎫= ⎪⎝⎭______； 2、关于未知数x ，y的方程组对应的增广矩阵为216320⎛⎫⎪-⎝⎭，则此方程组的解x y +=______；3、设3,sin 2a α⎛⎫=⎪⎝⎭，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2α=______；4、已知函数()sin cos f x a x x =+的一条对称轴为3x π=，则a =______；5、已知平面向量a ，b ，满足3a =，3b =-，则2a b +=______； 6、设11S 2=，222121S 2=++，22322312321S =++++，……，2222222123321n S n =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++．希望证明()2213n n n S +=，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从k 到1k +应添的项是______．（不用化简）7、已知0a b c ++=，3a =，4b =，5c =，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______；8、若数列{}n a 为无穷等比数列，且()1231lim 2n n n a a a a a -→∞+++⋅⋅⋅++=-，则1a 的取值范围是______；9、设数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则123456789a a a a a a a a a =______； 10、已知向量()5,5a =，(),1b λ=，若a b +与a b -的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______； 11、如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD ⋅=______；12、已知平面直角坐标系内定点()1,1A ，动点B 满足2AB =，动点C 满足3CB =，则点C 在平面直角坐标系内覆盖的图形的面积为______；二．选择题 13、要得到函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只要把函数3sin 2y x =的图像（） A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、向右平移6π个单位 14、O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0,λ∈+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC △的（）A 、内心B 、外心C 、重心D 、垂心15、已知数列{}n a 为等差数列，10a <且1231990a a a a +++⋅⋅⋅+=，设()*12n n n n b a a a n N ++=∈，当{}n b 的前n 项和n S 最小时，n 的值有（）A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 16、设O 为ABC △所在平面内一点，满足2730OA OB OC --=，则ABC △的面积与BOC △的面积的比值为（）A 、6B 、83C 、127D 、4三．解答题17、解关于x 、y 的一元二次方程组()3322ax y a x a y +=--⎧⎪⎨+-=-⎪⎩，并对解的情况进行讨论． 18、已知x R ∈，设()3cos ,sin cos m x x x =-，()2sin ,sin cos n x x x =+，记函数()f x m n =⋅. （1）求函数()f x 的最小值，并求出函数()f x 取最小值时x 的值；（2）设ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2f C =，c =ABC △的面积S 的最大值．19、已知ABC △内接于O ，AB c =，BC a =，CA b =，O 的半径为r ．（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC∠的大小；（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值．20、已知平方和公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，其中*n N ∈. （1）记()()()()()22222231521432f n n n =-++⋅⋅⋅+-+-+++⋅⋅⋅+-，其中*n N ∈，求()20f 的值；（2）已知()()22222213214948242n n ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+，求自然数n 的值； （3）抛物线2y kx =、x 轴及直线:AB x a =围成了如图（1）的阴影部分，AB 与x 轴交于点A ，把线段OA 分成n 等份，作以a n 为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为S ，n 等于这些内接矩形面积之和． 2222231a a a a a a a n k k k k a n n n n n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当n →+∞时的极限值．图（3）中的曲线为开口向右的抛物线2y x =，抛物线y x 、x 轴及直线:4AB x =围成了图中的阴影部分，请利用极限、平方和公式、反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积．21、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈，数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213111333n n n n n a b a b a b a b n ---⎛⎫+++⋅⋅⋅+=+- ⎪⎝⎭成立．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．参考答案：一、填空题：1、6π； 2、307； 3、4±； 456、()221k k ++；7、75-； 8、()()4,22,0--⋃-； 9、0； 10、()()7,11,7-⋃；11、52-； 12、25π； 二、选择题：13、C ； 14、A ； 15、B ； 16、A ；三、解答题：17、3a =，无数个解；1a =-，无解；3,1a ≠-，4111a x a y a --⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩； 18、（1）min 2y =-，6x k ππ=-+，k Z ∈； （2） 19、（1）56π； （2）2；20、（1）47980； （2）72；（3）163； 21、（1）113n -⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）21n -；（3）存在，1c ，2c ，5c 或2a ，3c ，5c ；。
2023-2024学年上海市高一下学期期末阶段练习数学质量检测模拟试题(含答案)
2023-2024学年上海市高一下册期末阶段练习数学试题一、单选题1．已知O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且20OA OB OC ++=，那么（）A ．AO OD =B ．2AO OD= C ．3AO OD = D ．2AO OD= 【正确答案】A【详解】O 是ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，∴2OB OC OD +=，且20OA OB OC ++= ，∴0OA OD +=，即AO OD = ，故选A.2．已知复数11z i=+，则复数·z i 在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】B【详解】分析：利用复数的除法运算得z 和z ，从而得解.详解：复数()()11i 1111122z i i i i -===-++-，则1122z i =+.所以11·22z i i =-+.在复平面上对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限.故选B.点睛：本题考察了复数的除法运算和共轭的定义及在复平面对于点的问题.3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据“cos cos a A b B =，得出222sinAcosA sinBcosB sin A sin B A B A B π===+=，，，，根据充分必要条件的定义可判断．【详解】∵ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，，acosA bcosB sinAcosA sinBcosB =∴= ，，222sin A sin B A B A B π=∴=+=，，，,a b ∴=或222,a b c +=∴根据充分必要条件的定义可判断：“a b =”是“cos cos a A b B =”的充分不必要条件．故选A本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．4．已知向量sin ,16a πα→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4,4cos b α→=，若a b →→⊥，则4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（）A ．4B ．14-C D ．14【正确答案】B【分析】根据题意，由a b →→⊥得出0a b →→= ，根据平面向量垂直的坐标公式，两角和与差的正弦公式和辅助角公式化简得出1sin 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后利用诱导公式化简4sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】解：由题可知，sin ,16a πα→⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(4,4cos b α→=，由于a b →→⊥，则0a b →→= ，即4sin 4cos 06παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭，6cos αα∴+，1sin 34πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，41sin sin sin 3334ππαπααπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.本题考查三角函数化简求值，平面向量垂直的坐标公式，以及两角和与差的正弦公式，辅助角公式和诱导公式的应用，考查运算能力.二、填空题5．已知R m ∈，复数i 11i 2m +-+的实部和虚部相等，则m 等于__________.【正确答案】120.5【分析】先化简复数，再利用复数的实部和虚部相等求解.【详解】解：复数()()()()i 1i i 111i 1i 21i 1i 222+-+--=-=+++-m m m m，因为复数i 11i 2m +-+的实部和虚部相等，所以122m m -=，解得12m =，故126．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.【正确答案】35-【详解】解：∵sin θ45=-＜0，tan θsin cos θθ=＞0，∴cos θ35==-．故35-7．若π3sin(+θ)=25，则cos2θ=_________．【正确答案】【详解】试题分析：∵π3sin(+θ)=25，∴3cosθ=5，∴27cos2θ=2cos θ1=25－－，故答案为.诱导公式；二倍角的余弦.8．规定运算a b ad bc c d=-，若i12i i 2z =--，设i 为虚数单位，则复数z =__________.【正确答案】1i-【分析】根据新定义运算直接列方程求解.【详解】因为规定运算a b ad bc cd=-，且i12i i 2z =--，所以2i(i)12i z --=-，222i z =-，得1i z =-，故1i-9．设复数z 满足(23)64z i i -=+（其中i 为虚数单位），则z 的模为_______【正确答案】2【分析】先由复数的除法运算，根据题意，得到2z i =，进而可得复数的模.【详解】因为(23)64z i i -=+，所以()()()()642364122612223232349i i i i z i i i i ++++-====--++，因此2z =.故答案为.2本题主要考查复数的除法运算，以及求复数的模，熟记除法运算法则，以及复数模的计算公式即可，属于基础题型.10．设向量()1,1a x =- ，()1,3b x =+ ，则“2x =”是“//a b r r”的__________条件.【正确答案】充分不必要【分析】利用共线向量定理，结合充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当//a b r r时，(1)(1)3x x -+=，解得2x =或2x =-，所以当2x =时，//a b r r一定成立，而当//a b r r时，2x =不一定成立，有可能2x =-，所以“2x =”是“//a b r r”的充分不必要条件，故充分不必要11．已知向量a ，b 满足2b = ，a 与b 的夹角为60︒，则b 在a上的数量投影__________.【正确答案】1【分析】根据平面向量数量积的几何意义求解即可.【详解】因为2b = ，a 与b的夹角为60︒，所以b 在a 上的数量投影为1cos 60212b ︒=⨯= ，故112．设A 、B 为锐角三角形的两个内角，则复数()()cot tan i tan cot z B A B A =-+-对应点位于复平面的第__________象限.【正确答案】二【分析】由题知2A B π+>，进而得sin cos 0A B >>,sin cos 0B A >>，()cos 0A B +<，再根据复数的几何意义求解.【详解】解：因为A ,B 为锐角三角形的两个内角,所以2A B π+>,即2A B π>-,所以sin cos 0A B >>,sin cos 0B A >>，()cos 0A B +<，所以()cos cos sin cos cos sin sin cot tan 0sin cos sin cos sin cos A B B A A B A B B A B A B A B A+--=-==<,()cos sin cos sin sin cos cos tan cot 0cos sin sin cos sin cos A B B A A B A BB A B A A B A B+--=-==->,所以复数()()cot tan i tan cot z B A B A =-+-对应点(cot tan ,tan cot )B A B A --在第二象限.故二13．已知：1sin cos 5αα+=，0απ<<，则cos 2α=__________.【分析】由1sin cos 5αα+=，两边平方得到242sin cos 025αα=-<，进而求得sin cos αα-，两式联立得到sin ,cos αα，再利用三角恒等变换求解.【详解】解：由1sin cos 5αα+=，两边平方得：11+2sin cos 25αα=，即242sin cos 025αα=-<，因为2απ<<π，所以sin 0,cos 0αα><，所以7sin cos 5αα-===，两式联立得43sin ,cos 55αα==-，所以cos 2α=14．已知向量()1,1a =- ，()1,2b = ，向量c 满足()c b a +⊥ ，()//c a b - ，则c = __________.【正确答案】()2,1【分析】设(),c x y =，由向量垂直和平行的坐标表示可构造方程组求得,x y ，由此可得结果.【详解】设(),c x y = ，则()1,2c b x y +=++ ，()1,1c a x y -=-+ ，由()c b a +⊥ ，()//c a b - 得：()()120211x y x y ⎧+-+=⎪⎨-=+⎪⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，()2,1c ∴= .故答案为.()2,115．判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是__________.①1a =，b =，45B = ；②a =，b =30A = ；③6a =，20b =，30A = ；④5a =，60B = ，45C = .【正确答案】①④【分析】利用正弦定理解三角形即可确定①②③中的三角形的个数；根据三角形全等的判定可知④正确.【详解】对于①，由正弦定理得：sin 12sin 2a B Ab ==，b a > ，B A ∴>，即045A <<o o ，30A ∴= ，则三角形有唯一解，①正确；对于②，由正弦定理得：1sin 2sin b A B a=b a > ，B A ∴>，即30150B << ，60B ∴= 或120 ，则三角形有两解，②错误；对于③，由正弦定理得：120sin 52sin 63b AB a⨯===，B 无解，③错误；对于④，三角形两角和一边确定时，三角形有唯一确定解，④正确.故①④.16．函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图所示，则()OA OB AB +⋅= ____.【正确答案】6【详解】试题分析：由图可知(2,0)A ，(3,1)B ，∴()(5,1)(1,1)6OA OB AB +⋅=⋅=.正切型函数的图象与平面向量的数量积运算.【方法点睛】本题主要考查了正切型函数的图象与平面向量的数量积运算，属于中档题.本题解答的关键观察图象发现,A B 分别是函数tan()42y x ππ=-y轴右侧的第一个零点和函数值为1的点，即可求得,A B 的坐标，进而求得向量(),OA OB AB +的坐标，根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案.三、解答题17．已知复数()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）.试求实数a 分别为什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.【正确答案】(1)6(2)()()(),11,66,-∞--+∞ (3)1a =【分析】（1）根据题意得256010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，再解方程即可；（2）结合题意得256010a a a ⎧--≠⎨+≠⎩，再解不等式即可；（3）结合题意得2256010760a a a a a ⎧--≠⎪+≠⎨⎪-+=⎩，再求解即可.【详解】(1)解：因为()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）为实数，所以256010a a a ⎧--=⎨+≠⎩，解得6a =，所以，当6a =时，z 为实数.(2)解：因为()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）为虚数，所以256010a a a ⎧--≠⎨+≠⎩，解得1a ≠-且6a ≠.所以，当()()(),11,66,a ∈-∞--+∞ 时，z 为虚数.(3)解：因为()227656i 1a a z a a a -+=+--+（R a ∈）为纯虚数，所以，2256010760a a a a a ⎧--≠⎪+≠⎨⎪-+=⎩，解得1a =.所以，当1a =时，z 为纯虚数.18．已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值和最小值.【正确答案】T π=，()f x 的最大值为2，最小值为-1.【分析】先化简函数为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数的性质求解.【详解】解：函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-，cos2=+x x ，2sin 26π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.19．已知向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =--- .(1)若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值；(2)若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)12(2)311,,422∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据向量运算得()3,1AB =uu u r ，()1,BC m m =--- ，进而结合向量共线的坐标表示求解即可；（2）结合题意得0BA BC ⋅>uu r uu u r 且BA 与BC不共线，再根据数量积运算与共线的坐标表示求解即可.【详解】(1)解：因为()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，所以()3,1AB OB OA =-= ，()1,BC OC OB m m =-=---，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB 与BC共线，所以()310m m -++=，解得12m =.所以实数m 的值12(2)解：因为向量()3,4OA =- ，()6,3OB =- ，()5,3OC m m =---，所以()3,1BA OA OB =-=-- ，()1,BC OC OB m m =-=--- ，因为ABC ∠为锐角，所以0BA BC ⋅>uu r uu u r 且BA 与BC 不共线，即()330310m m m m ++>⎧⎨-+≠⎩，解得34m >-且12m ≠，所以，实数m 的取值范围是311,,422∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．ABC 中内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，向量(2sin ,a B = ，2(cos 2,2cos1)2B n B =- ，且a n ．(1)求锐角B 的大小；(2)如果2b =，求ABC 的面积ABC S 的最大值．【正确答案】(1)3B π=；【分析】（1）先由平面向量的坐标运算结合a n得，2sin cos sin 2B B B B ==，求得tan 2B =（2）由（1）及余弦定理可得，2240a c ac +--=，然后由基本不等式得出4ac ≤，进而得出ABC 的面积的最大值．【详解】(1)(2sin ,a B = ，2(cos 2,2cos1)2B n B =- ，且a n ，22sin (2cos 1)22BB B ∴⋅-=，即2sin cos sin 22B B B B ==，tan 2B ∴=，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(0,)B π∴∈，223B π∴=，即3B π=．(2)由（1）得3B π=，2b =，由余弦定理222cos 2a c b B ac+-=得：2240a c ac +--=，又222a c ac +≥，代入上式得：4ac ≤（当且仅当2a c ==时等号成立），1sin 2ABC ac B S ∴==≤ 当2a c ==时等号成立），则ABC S21．如图，要计算西湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两点，现测得AD CD ⊥，10km AD =，14km AB =，60BAD ∠=︒，135BCD ∠=︒，求两景点B 与C 的距离（精确到0.1km ）.1.414=1.732=2.236=.【正确答案】4.2km【分析】在ABD △中，结合余弦定理得BD =，cos ADB ∠=CDB △中，利用正弦定理解三角形即可求得答案.【详解】解：根据题意，在ABD △中，10km AD =，14km AB =，60BAD ∠=︒，所以由余弦定理得：2222cos 156BD AD AB AB AD BAD =+-⋅∠=，即BD =；所以，222cos 226DB DA AB ADB DB DA +-∠==⋅，因为AD CD ⊥，所以2CDB ADB π∠+∠=，所以sin cos CDB ADB ∠=∠=所以，在CDB △中，135BCD ∠=︒，BD =，sin cos CDB ADB ∠=∠=所以，sin sin BC BDCDB BCD =∠∠，即sin 4.2sin 22BD CDB BC BCD∠==∠.所以，景点B 与C 的距离大约为4.2km。
上海金山中学2024届数学高一第二学期期末联考试题含解析
上海金山中学2024届数学高一第二学期期末联考试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =2．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且23AB =，则PA PB +的最小值是（ ）A ．22B ．42C ．222-D ．422-3．一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，4AC BD ==，13AB CD ==则球心O 到平面ABC 的距离是（ ）A ．152B ．153C ．154D ．1564． “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．2B ．3C ．10D ．155．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 0b A a B +=，则B =（ ）A ．135︒B ．60︒C ．45︒D ．90︒6．已知函数()sin()(,0)f x x x R ωϕω=+∈>相邻两个零点之间的距离为2π，将()y =f x 的图象向右平移8π个单位长度，所得的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值可能是（ ） A ．πB ．2π C ．4π D ．4π-7．设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,且6C π=，12a b +=，面积的最大值为（） A ．6B ．8C ．7D ．98．已知函数()()03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()()122f x f x ⋅=-，则12x x -的最小值为（ ）A ．2πB ．3π C ．πD ．4π 9．若变量,x y 满足约束条件20,{0,220,x y x y x y +≥-≤-+≥则2z x y =-的最小值等于 （ ）A ．52-B ．2-C ．32-D ．210．己知向量()1,2OA =-，()3,OB m =.若OA ⊥AB ，则m 的值为( ) A ．32B ．4C ．-32D ．-4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届上海市金山区金山中学数学高一第二学期期末调研模拟试题含解析
2024届上海市金山区金山中学数学高一第二学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）A ．13B ．16C ．32D ．352．已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差2d =,则5a =( ) A ．5B ．7C ．9D ．113．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．44．圆22240x y x y +-+=与直线()2220tx y t t R ---=∈的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能5．若直线过点，则的最小值等于（ ） A ．3B ．4C ．D ．6．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点1A 到平面11AB D 的距离是（ ） A ．23B ．43C ．169D ．497．已知002x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的最小值为（）A ．2B ．0C ．-2D ．-48．已知0a >，且1a ≠，把底数相同的指数函数()xf x a =与对数函数()log a g x x=图象的公共点称为()f x （或()g x ）的“亮点”．当116a =时，在下列四点1(1,1)P ，211,2()2P ，311,2()4P ，411,4()2P 中，能成为()f x 的“亮点”有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9．等差数列{}n a 的首项为1.公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前10项和为（ ） A ．80-B ．80C ．24-D ．2410．已知向量23,4a b ==，且12a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市金山中学高一数学下学期期末考试试题
金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且与的夹角为0120． （1）求在上的投影； （2）求|32|+．解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分.给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈．（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin )sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 2θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
上海金山中学2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题含解析
上海金山中学2024届高一数学第二学期期末考试模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知10a -<< ，则三个数3a 、13a 、3a 由小到大的顺序是（ ） A ．1333a a a << B ．1333a a a << C ．1333aa a <<D ．1333a a a <<2．若实数a 、b 满足条件a b >，则下列不等式一定成立的是( ) A ．11a b< B ．22a b > C ．2ab b > D ．33a b >3．已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C ．若//l m ，m α⊂，则//l α D ．若//l α，m α⊂，则//l m4．已知2()sin(),36f x x x N ππ=+∈，则()f x 的值域为 A ．11,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,,122⎧⎫--⎨⎬⎩⎭5．如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A ．11<a bB ．2ab<bC ．22ac <bcD ．22a ab b >>6．已知直线a b ，，平面α，且a α⊥，下列条件中能推出a b ∥的是（ ） A ．b αB ．b α⊂C ．b α⊥D ．b 与α相交7．若m 是2与8的等比中项，则m 等于( ) A ．12B ．4±C ．4-D ．328．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，46S =，则6S =（） A ．14B ．18C ．36D ．609．若{}n a 是等比数列，下列结论中不正确的是（ ）A ．{}3n a 一定是等比数列；B ．21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；C ．{}1n n a a ++一定是等比数列；D ．{}3n n a a +一定是等比数列10．正项等比数列{}n a 与等差数列{}n b 满足11a b =，77a b =，17a a ≠，则44ab ，的大小关系为（ ） A ．44a b =B ．44<a bC ．44a b >D ．不确定二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
上海市金山中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
上海市金山中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷一、填空题1．已知集合{}{}|2,,|0,A x x x B x x x =<∈=>∈Z Z ，则A B =I .2．若扇形的弧长和半径都是3，则扇形的面积为.3．计算123i i +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑．4．设1x >，则函数151y x x =++-的最小值为 5．设3,sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，1cos ,3b α⎛⎫= ⎪⎝⎭v ，且//a b v v ，则cos2=α． 6．设 i 是虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为 7．数列{}n a 是等比数列，4a 和2016a 是方程2310x x ++=的两根，则1010a =.8．已知函数()sin 2cos f x x x =-在x θ=时取得最大值，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 9．已知a r 、b r 满足4a =r ，b r 在a r 方向上的数量投影为2-，则3a b -r r 的最小值为．10．设,x y 为锐角，且3sin 2sin ,3cos 2cos 3x y x y =+=，则()cos x y +=.11．为了研究问题方便，有时候余弦公式会写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：如果三个正实数x y z ､､满足：222225,144x xy y y yz z ++=++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=.12．已知平面向量1e u r 、2e u u r 是不共线的单位向量，记1e u r 、2e u u r 的夹角为θ，若平面向量a r 满足12a =r ，且对于任意的正实数k ，1214a e ke -+≥r u r u u r 恒成立，则cos θ的最大值为.二、单选题13．“sin 0α<”是“α为第三、四象限角”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．下列命题为假命题的是（ ）A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b <<，则22a ab b >>C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b >D ．若a b >且11a b>，则0ab < 15．设ABC V 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3co s c o s 5a B b A c -=，则t a n c o t A B 的值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．以上都不对16．已知()2π12cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，下列结论错误的个数是（ ） ①若()()121,1f x f x ==-，且12x x -的最小值为π，则2ω=；②存在()0,2ω∈，使得()f x 的图像向右平移π6个单位长度后得到的图像关于y 轴对称；③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围是4147,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4三、解答题17．已知集合(){}22log 2log 0A x x x =⋅≤.（1）求集合A ；（2）求函数()2144x x y x A +=+∈的值域.18．已知12,z z 是关于x 的方程20(,R)x mx n m n ++=∈的两个虚根，i 为虚数单位.(1)当12i z =+时，求实数,m n 的值.(2)当2m =，且12z z -=n 的值.19．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知37S =，且1233a a +､､34a +构成等差数列，令231log n n b a +=.(1)求数列{}{}n n a b ､的通项公式；(2)令21n n n c a b -=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ≤）的图象如图所示．（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作()y g x =．①求函数()()2x h x f g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小值； ②若函数()2()()2F x g x mg x m R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在(0,4)π内恰有6个零点，求m 的值． 21．已知[0,)θπ∈，向量(cos ,sin )a θθ=r ，(1,0)b =r ，1P 、2P 、3P 是坐标平面上的三点，使得()1122OP OP a OP a ⎡⎤=-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r r r ，()3222OP OP b OP b ⎡⎤=-⋅⎣⎦u u u r u u u r u u u r r r ． （1）若2πθ=，1P 的坐标为(20,21)，求3OP u u u r ；（2）若23πθ=，16OP =u u u r ，求3OP u u u r 的最大值； （3）若存在[0,)απ∈，使得当1(cos ,sin )OP αα=u u u r时，△123PP P 为等边三角形，求θ的所有可能值．。
┃试卷合集4套┃上海市嘉定区2023届高一数学下学期期末统考试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列{}n a 的通项1(1)n a n n =+，其前n 项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n +++=在y 轴上的截距为（ ） A ．-10B ．-9C ．10D ．92．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n项和.若19418,7a a a +==，则10S =（ ） A ．55B ．81C ．90D ．1003．棱柱的侧面一定是（ ） A ．平行四边形B ．矩形C ．正方形D ．菱形4．已知数列{}n a 满足120n n a a ++=，21a =，则数列{}n a 的前10项和10S 为（ ） A ．()104213- B ．()104213+ C ．()104213-- D ．()104123-- 5．己知ABC ∆的周长为20，内切圆的半径为3，7BC =， 则tan A 的值为（ ） A ．3B ．1C ．3D ．26．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A ．若，，则 B ．若，则C ．若，则D ．若，则7．已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC ，BD 的中点，若2AB =，4CD =，EF 与CD 所成角的度数为30°，则EF 与AB 所成角的度数为（）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°8．若实数x ，y 满足约束条件02030x y x y x -⎧⎪++⎨⎪-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．－3B ．1C ．9D ．109．已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A ∪B= A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）10．已知向量a 是单位向量，b ＝(3，4)，且b 在a 方向上的投影为74-，則2a b -=A ．36B ．21C ．9D ．611．已知2a b +=，则33a b +的最小值是 （ ） A ．23B ．6C ．2D ．2212．已知数列{}n a 的前n 项和1159131721(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，则51S 的值为（）A ．-199B ．199C ．-101D ．101二、填空题：本题共4小题13．设函数()arctan f x x =，则()1f -的值为__________． 14．已知0a >，0b >，111a b+=，则4a b +的最小值为________． 15．某公司租地建仓库，每月土地占用费1y （万元）与仓库到车站的距离（公里）成反比.而每月库存货物的运费2y （万元）与仓库到车站的距离（公里）成正比.如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用1y 和2y 分别为2万元和8万元，由于地理位置原因.仓库距离车站不超过4公里.那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为_____万元. 16．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案
上海市上海中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知复数12z i =+，i 为虚数单位，则Re Im z z −= ．2．已知点()2,3A ，()6,3B −，若点P 满足3AB AP =，则点P 的坐标为 ．3．已知复数z满足(12)34z i i +=+ (i 为虚数单位)，4．若非零向量a 、b ，满足a b = ，()2+⊥ a b b ，则a 与b的夹角为 .5．在正方体1111ABCD A B C D −中，AC 与BD 交于点O ，则直线1BC 与直线1OD 的夹角为 .6．已知复平面上平行四边形ABCD 的顶点()2,1A −−，()7,3B ，()12,9C ，(),D x y 按逆时针方向排列，则向量AD所对应的复数为 ．7．设11()()()()11n ni i f n n i N i+−=+∈−+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是 .8．已知向量(a = ，且a ，b 的夹角为π3，()()234a b a b +⋅−=，则b 在a方向上的投影向量等于 .9．如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PEEC= ．10．已知复数12sin z θ=，()212cos i z θ=+，i 为虚数单位，若π6π5,2θ∈，复数1z ，2z 对应的向量分别为a ，b，存在θ使得等式()()0a b a b λλ−⋅−= 成立，则实数λ的取值范围为 ．11．如图，在ABC ∆中，,,D E F 分别为BC,CA,AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =.设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=−+，则实数λ的取值范围为12．已知ABC ∆的外接圆圆心为O ，||6,||8AB AC ==，(,)AO AB AC R αβαβ=+∈，若21sin ()2A t αβ⋅+−（t 为实数）有最小值，则参数t 的取值范围是 .二、单选题13．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则n α∥B ．若m α ，m β ，n αβ= ，则m n ∥C ．若αβ⊥，n αβ= ，则m n ⊥，则m β⊥D ．若m n ∥，n ⊂α，则m α14．已知O 为ABC 所在平面内一点，D 是AB 的中点，动点P 满足()()1OP OD OC λλλ=−+∈R ，则点P 的轨迹一定过ABC 的（ ）A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AC 边的中点15．如图，在矩形ABCD 中，E F 、分别为边AD BC 、上的点，且3AD AE =，3BC BF =，设P Q 、分别为线段AF CE 、的中点，将四边形ABFE 沿着直线EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，下列关系不能．．成立的是（ ）A ．直线//AB 直线CD B ．直线AB ⊥直线PQC ．直线//PQ 直线EDD ．直线//PQ 平面ADE16．已知2k +个两两互不相等的复数1212,,,,,k z z z w w ，满足12124w w w w −=−，且{}1,3j a w z −∈，其中1,2j =；1,2,,a k = ，则k 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6三、解答题17．已知4a = ，3b =r ，()()23261a b a b −⋅+=． (1)求a 与b的夹角； (2)求2a b + ． 18．如图，P 为平面ABCD 外一点，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1==PA AB ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．(1)当点E 为BC 中点时，求证：//EF 平面PAC ； (2)求证：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥． 19．已知关于x 的实系数一元二次方程290x mx ++=.(1)若复数z是该方程的一个虚根，且4z z +=−，求m 的值；(2)记方程的两根为1x 和2x ，若12x x −=，求m 的值. 20．利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对()12,z z （其中12,z z ∈C ）视为一个向量，记作()12,z z α=．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量()12,z z α=，()''12,z z β=的数量积定义为一个复数，记作a β⋅ ，满足'2'112z z z z αβ⋅=+ ，复向量α的模定义为α=(1)设()1i,i α=−，()3,4β=，i 为虚数单位，求复向量α、β的模；(2)设α、β是两个复向量，�已知对于任意两个平面向量()11,a x y =，()22,b x y = ，（其中1212,,,x x y y ∈R ），a b a b⋅≤ 成立，证明：对于复向量α、β，a αββ⋅≤也成立；�当a αββ⋅= 时，称复向量α与β 平行．若复向量()1i,12i α=+− 与()i,z β= 平行（其中i 为虚数单位，z C ∈），求复数z ． 21．如图，已知O 是边长为1的正ABC 的外心，12,,,n P P P 为BC 边上的1n +等分点，12,,,n Q Q Q 为AC 边上的1n +等分点，12,,,n L L L 为AB 边上的1n +等分点．(1)当2023n =时，求122023OC OP OP OP OB +++++ 的值；(2)当4n =时．�求j k OA AQ OA AL ⋅+⋅的值（用含j ，k 的式子表示）；�若{}|1,,4,,,k i i j j k M m m OP OQ OQ OL OL OP i j k i j k ==⋅+⋅+⋅≤≤∈N，分别求集合M 中最大元素与最小元素的值．参考答案：1．1−【分析】根据i 12z =+，确定其实部和虚部，即可求得答案. 【详解】由复数i 12z =+，可知其实部和虚部分别为1和2 ,故Re Im 121z z −=−=−， 故答案为：1− 2．10,13【分析】设(,)P x y ，根据条件得到(4,6)AB =− ，(2,3)AP x y =−−，再利用向量相等即可求出结果.【详解】设(,)P x y ，因为()2,3A ，()6,3B −，所以(4,6)AB =− ，(2,3)AP x y =−− ，又3AB AP =， 所以3(2)43(3)6x y −= −=− ，解得10,13x y =，所以点P 的坐标为10(,1)3. 故答案为：10(,1)3.3【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：由(12)34z i i +=+，得34(34)(12)11212(12)(12)55i i i z i i i i ++−===−++−，【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．4．120 /23π 【分析】设a 与b 的夹角为θ，根据a b =，()2+⊥ a b b ，由数量积的定义和运算律求解. 【详解】解：设a 与b的夹角为θ， 因为a b = ，()2+⊥a b b ，所以2(2)2cos 0θ+⋅=+= a b b a b b ， 所以1cos 2θ=−，因为0180θ≤≤ ， 所以120θ= ， 故答案为：120 5．30【分析】通过平移，转化所求线线角为1AD O ∠，再根据等边三角形的性质即可求解. 【详解】解：如图所示，连接111,,AD OD CD ,又因为11//,BC AD所以直线1BC 与直线1OD 的夹角即为1AD O ∠,又1AD C 为等边三角形，O 为AC 中点， 所以1OD 平分角1AD O ∠，所以130AD O ∠=. 故答案为：30 .6．56i +/65i +【分析】根据题意，利用向量的对应关系求出点D 的坐标，进一步求出向量AD所对应的复数．【详解】复平面上平行四边形ABCD 的顶点(2,1),(7,3),(12,9),(,)A B C D x y −−按逆时针方向排列，如图，则有AB DC =，而(9,4),(12,9)AB DC x y ==−− ，则有(9,4)(12,9)x y =−−，得12994x y −=−= ，解得35x y = = ，故D 的坐标为(3,5)，则向量(5,6)AD =，所以对应的复数56i z =+． 故答案为：56i +． 7．8【解析】化简得到()()()n ni f n i =+−，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==−，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n nn n n n i i i f n i i i i i i i i i −+−=+=+−+−=+−++−+， ()()00(0)2i f i =+−=，()()11(1)0i f i =+−=，()()22(2)2i f i =+−=−，()()33(3)0i f i =+−=，()()44(4)2i f i =+−=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==−，子集个数为328=.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 8．1(4【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出||b →，再由投影向量的定义求解即可.【详解】(a = ，||2a →∴=，()()222π232||3||82||cos 3||43a b a b a a b b b b →→→→→→+⋅−=−⋅−=−−=， ||1b →∴=，b ∴ 在a方向上的投影向量为π111||cos (3224||a b a →→→⋅=×=.故答案为：1(49．13【分析】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，通过解三角形求得:AF FC 的值，也即求得PEEC的值. 【详解】过B 作BF AC ⊥，交AC 于F ，连接EF ，根据BE AC ⊥，可得AC ⊥平面BEF ，故AC EF ⊥，由于PA AC ⊥，所以//EF PA .由于AD CD =，所以π4DAC BAC ∠=∠=.在直角三角形ABF 中，π1,4AB BAF =∠=，所以AFAB =AC =:1:3AF FC =.根据前面证得//EF PA ，可得::1:3PE EC AF FC ==.【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定，考查线面垂直的证明，考查简单的解特殊角三角形的知识.属于基础题. 10．22【分析】由题得出(2sin ,aθ ，()1,2cos b θ=r ，化简()()0a b a b λλ−⋅−=，得出2π2sin 31λθλ −= + ，要使()()0a b a b λλ−⋅−= 成立，即使2π2sin 31λθλ−=+ 成立，求出πsin 3θ−的范围，即可求出λ的范围.【详解】由题知，(2sin ,a θ，()1,2cos b θ=r ，12sin 4sin 2a b θθθθ ⋅=−=π4sin 3θ−，，由()()0a b a b λλ−⋅−=， 得()22210a b a b λλλ+−+⋅=， 化简得2π2sin 31λθλ−=+， 因为π6π5,2θ∈ ，所以π2π,3π6θ −∈ ，π1sin ,132θ−∈，因为存在θ使得等式()()0a b a b λλ−⋅−=成立，所以存在θ使得2π2sin 31λθλ−=+成立， 所以212121λλ≤≤+，解得22λ≤≤故答案为：22 11．14(,)23【分析】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,则由,,P C E 可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点）,求出端点G,H 对应的λ即可求解. 【详解】取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,如图：则由13DP DC DE DE DM λλ=+=−+可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点） 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE DE t DC λ==−=++−,可知12λ=，当P 与H 重合时,由,,P C E 共线可知113λ−+=，即43λ=，结合图形可知14(,)23λ∈. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题. 12．3315(,)1616−【分析】首先求得,AO AB AO AC ⋅⋅ ，进而用cos A 表示出,αβ，由此化简21sin ()2A t αβ⋅+−，结合二次函数的性质，列不等式，解不等式求得t 的取值范围. 【详解】先求,AO AB AO AC ⋅⋅：如图所示，设D 是线段AB 的中点，由于O 是三角形ABC 外接圆的圆心，故OD AB ⊥，所以211cos ,1822AO AB AB AO AO AB AB AB AB ⋅=⋅⋅=⋅== ，同理可得211cos ,3222AO AC AC AO AO AC AC AC AC ⋅=⋅⋅=⋅== .由于(,)AO AB AC R αβαβ=+∈u u u ru u u ru u u r故221832AO AB AB AB AC AO ACAC AB AC αββα ⋅=+⋅= ⋅=+⋅= ，即43cos 268cos 3A A βααβ+= += ，解得2234cos 6sin 43cos 8sin A AA A αβ− = − =，将上式代入21sin ()2A t αβ⋅+−并化简得2123cos cos 238A t A −+ ，由于1cos 1A −<<，依题意2123cos cos 238A t A−+ 有最小值，结合二次函数的性质可知当233811122t −+−<−<×时，2123cos cos 238A t A−+ 有最小值.由233811122t −+−<−<×解得33151616t −<<.故答案为：3315(,)1616−.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积的运算，考查圆的几何性质，考查方程的思想，考查二次函数在给定区间上有最小值问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，综合性很强，属于难题. 13．B【分析】若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，A 错；由线面平行的性质可判断B 正确；由面面垂直的性质定理判断C 错；由线面平行的判定定理即可得出D 错. 【详解】对于A ，若m α⊥，m n ⊥，则n α∥或n ⊂α，故A 错误； 对于B ，若m α ，m β ，过m 作平面与α，β分别交于直线a ，b ， 由线面平行的性质得m a ，m b ，所以a b ， 又b β⊂，a β⊄，所以a β∥，又n ⊂α，n αβ= ，所以a n ∥，所以m n ∥，故B 正确； 对于C ，由面面垂直的性质定理可得， 当m α⊂时，m β⊥，否则不成立，故C 错误；对于D ，若m n ∥，n ⊂α，则m α 或m α⊂，故D 错误.故选：B14．C【分析】由动点P 满足()1OP OD OC λλ=−+ ，且11λλ−+=，得到,,P C D 三点共线，进而得到答案.【详解】由动点P 满足()()1R OP OD OC λλλ=−+∈ ，且11λλ−+=， 所以,,P C D 三点共线，又因为D 为,A B 的中点，所以CD 为ABC 的边AB 的中线，所以点P 的轨迹一定过ABC 的重心.故选：C.15．C【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.【详解】翻折之后如图所示：�因为3AD AE =，3BC BF =，所以//AB EF 且//EF CD ，因此//AB CD ，故选项A 成立；�连接FD ，因为P Q 、分别为FA FD 、的中点，所以//PQ AD ，又因为AB AD ⊥，所以AB PQ ⊥，故选项B 成立；�因为//PQ AD ，∩=ED AD D ，所以PQ 与ED 不平行，故选项C 不成立；�因为//PQ AD ，且PQ ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以//PQ 平面ADE ，故选项D 成立.故选：C16．C【分析】设12,(,,,),a bi c di a b c d R ωω=+=+∈从而可得22()()4,a c b d −+−=即12,ωω对应平面内距离为2的点，从而利用数学结合求解即可.【详解】设12,(,,,),a bi c di a b c d R ωω=+=+∈ 12124w w w w −=− ,∴1212()()4w w w w −−=, 即[()()][()()]4,a c b d i a c b d i −−−⋅−+−=化为22()()4,a c b d −+−=故12,ωω对应平面内距离为2的点，如下图中F G 、,{}1,3j a w z −∈,a z 与12,ωω对应点的距离为1或3,构成了点A B C D E 、、、、共5个点，故k 的最大值为5.故选：C.【点睛】方法点睛：(1)本题是复数的综合应用，考查的主要是复数的模的几何意义的应用．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，利用复数的模的几何意义进行求解． 17．(1)23π； (2)7.【分析】（1）根据题意先求出a b →→⋅，进而根据平面向量的夹角公式求出答案；（2）将|2|a b →→+1）求出答案.【详解】（1）因为||4a →=，||3b →=，23261a b a b →→→→ −⋅+= 所以22426361a a b a b b →→→→→→+⋅−⋅−=，即41643961a b →→×−⋅−×=，所以6a b →→⋅=−，设,a b →→的夹角为θ，则61cos 432||||a b a b θ→→→→⋅−===−×， 因为[]0,θπ∈，所以23πθ=. （2）由（1）知6a b →→⋅=−，所以|2|a b →→+=7=.18．(1)详见解析.(2)详见解析.【分析】（1）根据中位线平行于底边知，//EF PC ,利用线面平行的判定定理即可证明； （2）先证明出AF ⊥平面PBC ,即可证明出结论.【详解】（1） 点F 是PB 的中点,当点E 为BC 中点时，可得//EF PC ，又EF ⊄平面,PAC PC ⊂平面,PAC∴//EF 平面PAC .（2）,PA AB = 点F 是PB 的中点,,AF PB ∴⊥又PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ,PA BC ∴⊥,又四边形ABCD 是矩形，,BC AB ∴⊥又,PA AB A ∩=BC ∴⊥平面,PAB AF ⊂平面PAB ,BC AF ∴⊥又,PB BC B ∩=AF ∴⊥平面,PBC 又PE ⊂平面PBC ,,AF PE ∴⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥.19．(1)－2 (2)±±【分析】（1）利用2z z z =⋅，结合韦达定理可求解.（2）分讨论方程的两根为实根还是虚数根两种情况讨论，结合韦达定理可求解.【详解】（1）解：因为29z z z =⋅=，所以3z =，因为4z z +=−，所以1z =−，所以1z =+，由韦达定理可得2m z z −=+=，所以2m =−；（2）解：若方程的两根为实数根，则12x x −=解得m =±若方程的两根为虚数根，则设1i x a b =+，2i,,R x a b a b =−∈，可得122x x b −==则1x a =，2x a =，21239x x a +，所以26a =，所以a =由韦达定理可得12m x x −=+=±，所以m =± 此时2360m ∆=−<，满足题意，综上，m =±±20．(1)||α= ，||5β=(2)�证明见解析；�31i 22z =−【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可；（2）�利用模长公式和复数的三角不等式，以及a b a b ⋅≤ 的坐标表示，即可证明结论成立；�根据�中等号成立的条件，结合题意即可求出z 和z 的值．【详解】（1）因为(1i,i)α=− ，所以()(1i)1i i i (1i)(1i)i (i)213αα⋅=−−+⋅=−++⋅−=+= ，可得α 的模为||α=因为(3,4)β= ，所以3344334425ββ⋅=×+×=×+×= ，所以β 的模为||5β=； （2）因为()()''1212,,,z z z z αβ== ，所以''1122z z z z αβ⋅=+ ，由复数的三角不等式''''''112211221122z z z z z z z z z z z z +≤+=+， 由a b a b ⋅≤，得1≤，所以1212x x y y +≤αβ=， 综上所知，||||||.a a ββ⋅≤�考虑�中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数k ，使得''1122kz z z z =， 若复向量()1i,12i α=+− 与()i,z β= 平行，则(1i)i 31i 12i 55k z k +⋅ ==+ −，中等号成立的条件，应有''1221z z z z =， 则|12i ||i ||1i |z −==+ 结合31i 55z k =+ ，得，解得52k =； 所以53131i i 25522z =+=+ ，所以31i 22z =−． 21．； (2)�510j k −−；�最大值为225−，最小值为1350−. 【分析】（1）根据,,i B P C 共线，将i OP u u u r 用OB OC ，u u u r u u u r 表示，求和后再求模长；（2）（i ）根据数量积定义计算；（ii ）将i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 用,,i j k 表示，依次视为,,i j k 的函数讨论单调求最值.【详解】（1）当2023n =时，12023120242024OP OB OC =+ ，22022220242024OP OB OC =+ ，……，20231202320242024OP OB OC =+ ， 122023202320221122023()()202420242024202420242024OP OP OP OB OC ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ 2023202322OB OC +u u u r u u u r 1220232023202322OC OP OP OP OB OB OB OC OC ∴+++⋅⋅⋅++++=+u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r u u u r u r u u u r 20252OB OC +u u u r u u u r 又ABC 为等边三角形，且边长为1，O 为外接圆的圆心，OB ∴,120OB OC =o u u u r u u u r ，222221122()23OB OC OB OC OB OC ∴+++⋅++− ，则OB +12202320252OB OC OP OP OP OB ∴+++⋅⋅⋅+++=u u u r u u u r u u u r u u u u u r u u u r u u r u （2）�ABC 为等边三角形，O 为外接圆的圆心，30OAB OAC ∴∠=∠= ， 则,150j AQ OA =o u u r u u u u r ，,150k AL OA =o u u r u u u r ，又4n =，,j k Q L ∴分别为,AC AB 的5等分点，又1ACAB ==， 55,5jk j k AQ AL −∴==； cos150cos150j k j k OA AQ OA AL OA AQ OA AL ∴⋅+⋅=⋅+⋅ 555((55101010j k j k j k −−−−×+×=−−= �2()()i j i j i j i j OP OQ OC CP OC CQ OC OC CP OC CQ CP CQ ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅ ， 155cos150cos150cos 6035555i j i j i j OP OQ −−∴⋅=+× 155115355552650i j i j i ij −−−=××=−+； 同理可得：15650j k j jk OQ OL −⋅=−+ ；15650k i k ki OL OP −⋅=−+ ； 15()()250i j j k k i i j k ij jk ik OP OQ OQ OL OL OP ++−++∴⋅+⋅+⋅=−+ ； 令()()5515()()1250250j k i j k jk i j k ij jk ik S −−++−++−++=−+=−+ 1）当5j k +≥时，1i =时，()()max 5454411250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 4k ≤ ，4j ∴=时取最大值， 则()max 54441422505025k k S +−+=−+=−=−； 4i =时，()()min 2020111250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 1k ≥ ，4j ∴=时取最小值，则()min 204113125050k k k S +−+−−=−+=， 则当4k =时，min 1350S =−； 2）当5j k +<时，4i =时，()()max 2020111250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 1k ≥ ，1j ∴=时取最大值，则max 1201422505025k k S +−+=−+=−=−； 1i =时，()()min 5454411250250j k jk k j k S ++−+−+=−+=−+， 4k ≤ ，1j ∴=时取最小值，则min 193250k S +=−+， 则当1k =时，min 1121325050S =−+=−； 综上所述：i j j k k i OP OQ OQ OL OL OP ⋅+⋅+⋅ 的最大值为225−，最小值为1350−． 【点睛】关键点点睛：求5()()i j k ij jk ik ++−++的最值利用函数的单调性求最值，先整理为()()55j k i j k jk −−++−的形式，视为关于i 的一次函数， 讨论5j k −−的正负确定单调性，确定在1i =或4i =时取得最值，类似的，下一步再视为关于j 的一次函数求最值，最后再视为关于k 的一次函数求最值.。
上海市金山区高一下学期期末数学试题
上海市金山区高一下学期期末数学试题（满分：100分，完卷时间：90分钟）（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1.若角α的终边经过点（－3，4），则sin α＝ ．2.若sin 0θ<且tan 0θ<，则θ是第 象限角．3.半径为2厘米，圆心角等于25π的扇形面积等于 平方厘米． 4.函数arcsin(1)y x =-）的定义域是 ．5.等差数列{}n a 中，若121,11a a ==，则3a = ．6.已知等比数列{}n a 满足12101112202,10a a a a a a +++=+++=，则212230a a a +++= ． 7.若2sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是 ． 8.将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位后，所得图像对应的函数解析式为 ． 9.设等差数列{}n a 的前n 项和为()Nn S n *∈，若191525,a S S ==，则n ＝ 时，n S 最大． 10.若43cos ,cos()55ααβ=+=，且,αβ均为锐角，则sin β= ． 11.若数列{}n a 的通项公式为cos ,N 2n n a n n π*=∈，前n 项和为n S ，则2020S = ． 12.已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，若关于x 的方程()1f x m -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，则实数m 的取值范围是 ． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，毎题有且只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分．13.已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 分别满足下列各式，基数{}n b 必为等差数列的是（ ）．（A ）n n b a = （B ）2n n b a = （C ）1n n b a = （D ）2n n a b =- 14.在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝a cos B ，则该三角形是（ ）． （A ）锐角三角形 （B ）直角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）等腰三角形 15.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程”由这个描述，请算出这人第4天走的路程是（ ）．（A ）6里 （B ）12里 （C ）24里 （D ）48里16.设数列{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题12.（本题满分8分）本题共有2小题，第1小题3分，第2小题5分． 已知4sin 5x =． （1）若x ∈R ，求方程的解集；（2）若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2x 和cos 2x 的值． 18.（本题满分8分）本题共有2小题，第1小题4分，第2小题4分已知数列{}n a ，n S 为其前n 项和，N n *∈．（1）若{}n a 是等差数列，公差1,37,6293n d n S ===，求1a ； （2）若31n n S =-，求{}n a 的通项公式．19.（本题满分8分）本题共有2小题，第1小题3分，第2小题5分如图，位于A 处的救援中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．救援中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援．（1）求C 、B 两点间的距离；（2）求cos θ的值．20.（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题3分，第2小题6分，第3小题5分已知函数()4tan sin cos 23f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1）求f （x ）的定义域； （2）化简并求f （x ）最小正周期；（3）讨论f （x ）在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性． 21.（本题满分14分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分在数列{}n a 中，110,32,N n n a a a n *+==+∈，数列{}n b 满足()3log 1n n b a =+．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；2）数列{}n c 前n 项和为n S ，且满足11,111,2nn n n n b b +=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，求n S 的表达式； （3）设N ,N k t **∈∈，且3t ≥，记3n n d k n b =++，若12111,td d d 、成等差数列，求所有满足条件的数对(,)k t ．。
上海金山初级中学数学高一下期末经典练习题
一、选择题1．(0分)[ID ：12717]设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥2．(0分)[ID ：12713]若cos(π4−α)=35，则sin2α=（ ） A ．725B ．15C ．−15D ．−7253．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．(0分)[ID ：12630]已知两个正数a ，b 满足321a b +=，则32a b+的最小值是( ) A ．23B ．24C ．25D ．266．(0分)[ID ：12671]函数223()2xx xf x e+=的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：12668]已知1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．58-B ．58C ．78-D ．788．(0分)[ID ：12664]已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则4a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．99．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞10．(0分)[ID ：12654]已知二项式12(*)nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则3x 的系数为（ ） A ．14B ．14-C ．240D ．240-11．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒12．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．1013．(0分)[ID ：12700]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．14．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．6015．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题16．(0分)[ID ：12821]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.17．(0分)[ID ：12818]在ABC ∆中，若3B π=，3AC =2AB BC +的最大值为__________．18．(0分)[ID ：12759]已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=，则角B 的大小是__________．19．(0分)[ID ：12737]函数y =的定义域是 _________.20．(0分)[ID ：12732]在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆的面积为2，则AC =__________．21．(0分)[ID ：12731]若圆x 2＋y 2＝4和圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为____________．22．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.23．(0分)[ID ：12748]已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .24．(0分)[ID ：12747]已知()()2,3,4,3A B -，点P 在直线AB 上，且32AP PB =，则点P 的坐标为________25．(0分)[ID ：12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ．三、解答题26．(0分)[ID ：12885]投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，经营中，第一年支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元，设f (n )表示前n 年的纯利润总和（f (n )=前n 年总收入-前n 年的总支出 -投资额72万元） （Ⅰ）该厂从第几年开始盈利？（Ⅱ）该厂第几年平均纯利润达到最大？并求出年平均纯利润的最大值. 27．(0分)[ID ：12879]已知数列{}n a 满足：()*22,21,n n a S n a n N ==+∈（1）设数列{}n b 满足()11nn b n a =•+，求{}n b 的前n 项和n T ：（2）证明数列{}n a 是等差数列，并求其通项公式；28．(0分)[ID ：12874]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上．（1）求1a 和2a 的值；（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．29．(0分)[ID ：12831]某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）30．(0分)[ID ：12844]在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．D3．A4．B5．C6．B7．C8．D9．A10．C11．B12．C13．B14．B15．A二、填空题16．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥17．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式18．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件19．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出20．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解21．x－y＋2＝0【解析】【分析】设直线l方程为y＝kx+b由题意可得圆心C1和C2关于直线l对称利用得k由C1和C2的中点在直线l上可得b从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的22．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立23．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质24．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意25．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．2．D解析：D 【解析】试题分析：cos[2(π4−α)]=2cos 2(π4−α)−1=2×(35)2−1=−725，且cos[2(π4−α)]=cos[π2−2α]=sin2α，故选D. 【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示： （1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．3．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 5．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，正数a ，b 满足321a b +=，则()32326632131325a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当15a b ==时等号成立.即32a b+的最小值是25． 本题选择C 选项. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．6．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 7．C解析：C 【解析】 由题意可得：1sin sin cos 32664ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则217cos 2cos 22cos 121366168πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择C 选项.8．D解析：D 【解析】 ∵111,,2a b成等差数列， ()111141445529a b a a b a b a b a b b a b ⎛⎫∴+=∴+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，， 当且仅当a =2b 即33,2a b ==时“=“成立， 本题选择D 选项.点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9．A解析：A 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可． 【详解】函数()f x 的图象如图，直线1y =与曲线交点(1,1)A -，()1,1B ，()3,1C ，()4,1D ， 故()1f m <时，实数m 的取值范围是11m -<<或34m <<. 故选A. 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，属于常考题型.10．C解析：C 【解析】 【分析】由二项展开式的通项公式为()12rn rrr n T C x x -+⎛= ⎝及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：6n =，令展开式通项中x 的指数为3，即可求得2r ，问题得解． 【详解】二项展开式的第1r +项的通项公式为()12rn rrr n T C x x -+⎛= ⎝由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：12:2:5n n C C =. 解得：6n =.所以()()366216221rr n rr rr r r n T C x C xx ---+⎛==- ⎝令3632r -=，解得：2r ，所以3x 的系数为()2262621240C --=故选C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题．11．B解析：B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ． 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形． 【详解】 ①PA ⊥平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形； ②90,BAC ABC ︒∠=∴是直角三角形； ③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．13．B解析：B 【解析】 【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案. 【详解】 根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x = 1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B 故答案选B 【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力.14．B解析：B 【解析】 【分析】首先运用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案． 【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩；所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ． 【点睛】本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.15．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=，化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5， 解得λ=﹣3或7 故选A考点：直线与圆的位置关系．二、填空题16．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥解析：112【解析】 【分析】由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积. 【详解】由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为22的正方形，其面积2212EFGH S ==⎝⎭， 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =， 由四棱锥的体积公式可得：111132212M EFGH V -=⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．【解析】【分析】【详解】设最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理三角形内角和将边长用一内角表示转化为三角函数求最值只需将三角函数化简为的形式解析：【解析】 【分析】 【详解】设22sin sin 32AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为考点：解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为()sin cos a b θθθϕ+=+的形式18．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：3π【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=，代入0578a b cGA GB GC ++=可得()()05787a b c b GA GC -+-=，故578a b c==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787ab c b GA GC -+-=，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解． 19．【解析】【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式求解不等式即可确定函数的定义域【详解】函数有意义则：即求解三角不等式可得：则函数的定义域为【点睛】求函数的定义域其实质就是以函数解析式有意义为准则列出解析：()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由函数的解析式得到关于x 的不等式，求解不等式即可确定函数的定义域. 【详解】函数有意义，则：2cos 10x +≥，即1cos 2x ≥-， 求解三角不等式可得：()222233k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 则函数的定义域为()222,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．20．【解析】【分析】根据三角形面积公式得到再由余弦定理得到AC 长【详解】在中且的面积为由正弦定理的面积公式得到：再由余弦定理得到故得到故答案为：【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到11 2.2S AB AB =⨯⨯=⇒=再由余弦定理得到AC 长. 【详解】在ABC ∆中，120B =，1BC =，且ABC ∆到：11 2.222S AB AB =⨯⨯⨯=⇒= 再由余弦定理得到22202cos1207AC AB BC AB BC =+-⨯⨯⨯=故得到AC =.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形面积公式;在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.21．x －y ＋2＝0【解析】【分析】设直线l 方程为y ＝kx+b 由题意可得圆心C1和C2关于直线l 对称利用得k 由C1和C2的中点在直线l 上可得b 从而得到直线方程【详解】由题意可得圆C1圆心为（00）圆C2的解析：x －y ＋2＝0 【解析】 【分析】设直线l 方程为y ＝kx +b ，由题意可得圆心C 1和C 2关于直线l 对称，利用121C C l k k ⨯=-得k,由C 1和C 2的中点在直线l 上可得b ，从而得到直线方程． 【详解】由题意可得圆C 1圆心为（0，0），圆C 2的圆心为（﹣2，2）， ∵圆C 1：x 2+y 2＝4和圆C 2：x 2+y 2+4x ﹣4y +4＝0关于直线l 对称， ∴点（0，0）与（﹣2，2）关于直线l 对称，设直线l 方程为y ＝kx +b ， ∴2020k ---＝﹣1且022+＝k •022-+b ， 解得k ＝1，b ＝2，故直线方程为x ﹣y ＝﹣2， 故答案为：x －y ＋2＝0． 【点睛】本题考查圆与圆关于直线的对称问题，可转为圆心与圆心关于直线对称，属基础题．22．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：92. 【解析】 【分析】把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值． 【详解】由24x y +=，得24x y +=≥，得2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．23．【解析】【分析】【详解】因为函数的图象开口向上的抛物线所以要使对于任意的都有成立解得所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质解析：⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】因为函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上的抛物线， 所以要使对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <成立，()222()10(1)1(1)10f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩，解得0m <<， 所以实数m的取值范围为2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【考点】 二次函数的性质．24．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程从而可得结果【详解】设点因为点在直线且或即或解得或;即点的坐标是【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意解析：(8,-15)， 163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】设点(),P x y ,得出向量33,22AP BP AP BP ==-,代入坐标运算即得P 的坐标，得到关于,x y 的方程，从而可得结果.【详解】 设点(),P x y ,因为点P 在直线,且3||||2AP PB =, 33,22AP BP AP BP ∴==-, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=-+或, 3(2,3)(4,3)2x y x y ∴--=--+，即243122639x x y y -=-⎧⎨-=+⎩或243122639x x y y -=-+⎧⎨-=--⎩,解得815x y =⎧⎨=-⎩或16535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩; 即点P 的坐标是(8,-15)，163,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题,意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题.25．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．三、解答题 26．（I ）从第三年开始盈利；（II ）第6年，投资商年平均纯利润达到最大，年平均纯利润最大值16万元 【解析】 【分析】 【详解】(Ⅰ)依题意f (n )=前n 年总收入- 前n 年的总支出- 投资额72万元,可得f(n)=50n −[12n +n (n −1)2×4]−72=−2n 2+40n −72 由f(n)>0得−2n 2+40n −72>0,解得2<n <18 由于n ∈N ∗,所以从第3年开始盈利. (Ⅱ)年平均利润f(n)n=−2(n +36n)+40≤−4√n ⋅36n+40=16当且仅当n =36n ,即n =6时等号成立即第6年, 投资商平均年平均纯利润最大,最大值为16万元27．（1）()1122n n T n +=-⋅+（2）证明见解析,n a n =【解析】 【分析】（1）令n =1，即可求出11a =，计算出2nn b n =•，利用错位相减求出n T 。
上海市金山区2019-2020学年新高考高一数学下学期期末检测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两条不重合的直线a 和b ，两个不重合的平面α和β，下列四个说法： ①若//a α，b β//，//a b ，则//αβ； ②若//a b ，a α⊂，则//b α；③若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，则//αβ； ④若αβ⊥，a αβ⋂=，b β⊂，a b ⊥，则b α⊥． 其中所有正确的序号为（ ） A ．②④B ．③④C ．④D ．①③2．设A B C D ，，，是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是 A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB =AC DB ，=DC ，则AD BC ⊥ D ．若AB = AC DB ，=DC ，则AD =BC3．已知平面向量a ，b 满足1a =，2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．56πB ．6π C ．23π D ．3π 4．已知向量a =(3，4)，b =(2，1)，则向量a 与b 夹角的余弦值为( )A B ．5-C ．25D ．255．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2 2.5x y ==，，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是A ．0.4.7ˆ1yx =+ B ．2 1.2ˆ-yx = C ．-37.5ˆyx =+ D ．-2 6.5ˆyx =+ 6．数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，若数列{}n a 单调递增，则a 的取值范围为 A ．(,0]-∞B ．[0,)+∞C ．(,2)-∞D ．[1,)+∞7．若数列{}n a 前12项的值各异，且12n n a a +=对任意的*n N ∈都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前12项值的数列为（ ） A ．31{}k a +B ．41{}k a +C ．51{}k a +D ．61{}k a +8． 下列赋值语句正确的是 ( ) A ．S ＝S ＋i 2B ．A ＝－AC ．x ＝2x ＋1D ．P ＝9．已知O ，N ，P 在ABC 所在平面内，且OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O ，N ，P 依次是ABC 的（ ）A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心10．在ABC ∆中，已知30,8,83A a b ===，则ABC S ∆等于( ) A ．323 B ．16 C ．323或163D ．323或1611．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤12．数列{}n a 中，若*11,sin ,2n n a a a a n N π+⎛⎫==∈⎪⎝⎭，则下列命题中真命题个数是（ ） （1）若数列{}n a 为常数数列，则1a =±； （2）若()0,1a ∈，数列{}n a 都是单调递增数列； （3）若a Z ∉，任取{}n a 中的9项()19129,,1k k a a k k k <<<<构成数列{}n a 的子数{}n k a （1,2,,9n =），则{}n k a 都是单调数列.A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个二、填空题：本题共4小题13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且1323n n a S ++=（*n N ∈），记12n S a a a =++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅，则S 的值是________.14．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级，生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03，在该产品中任抽一件，则抽到优质品的概率为__________．15．51()(2)a x x x x+-展开式中，各项系数之和为4，则展开式中的常数项为__________． 16．在ABC 中，两直角边和斜边分别为a ，b ，c ，若a b cx +=则实数x 的取值范围是________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市金山中学高一数学下学期期末考试试题(1)
上海市金山中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题一．填空题（本大题总分值36分，每题3分）1．计算=++∞→212lim n n n 。
2．在等差数列{}n a 中，假设10154=+a a ，那么前18项的和=18S _________。
3．已知tan 2θ=，θ是第三象限角，那么sec θ= 。
4. 在等比数列}{n a 中，121=+a a ，854=+a a ，那么=+1110a a ____________。
5. 已知32)tan(=+βα，71)4tan(=-πβ，那么=+)4tan(πα___________。
6．函数()3tan log 21-=x y 概念域为_____________________。
7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，假设11a =，公差2d =，236n n S S +-=，那么=n _____。
8．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，那么它的前m 3项和为________。
9．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin 2n n n a a π++-=，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，那么2014S =__________。
10．假设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q )1(-≠q ，那么==∞→}lim|{2n n n S S x x _________。
11．有以下四个命题：① 在ABC ∆中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件；② “ac b =”是“c b a ,,成等比数列”的必要非充分条件；③ 在n 无穷增大的转变进程中，若是无穷数列}{n a 中的项n a 愈来愈接近于某个常数c ，那么称c 是数列}{n a 的极限；④函数],0[,cos π∈=x x y 的反函数叫做反余弦函数，记作]1,1[,arccos -∈=x x y 。
上海市金山区2023届新高考高一数学下学期期末检测试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()2sin(2)6f x x π=-,则()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间是（ ） A ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(0,)2πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a=2，，则C= A ．π12B ．π6C ．π4D ．π33．已知两条不重合的直线a 和b ，两个不重合的平面α和β，下列四个说法： ①若//a α，b β//，//a b ，则//αβ； ②若//a b ，a α⊂，则//b α；③若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，则//αβ； ④若αβ⊥，a αβ⋂=，b β⊂，a b ⊥，则b α⊥． 其中所有正确的序号为（ ） A ．②④B ．③④C ．④D ．①③4．数列{}n a 中，12a =，且112(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2019项和为（ ） A ．40362019 B ．20191010 C ．40372019 D ．403920205． 数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋2)910n⎛⎫ ⎪⎝⎭，那么在此数列中( )A ．a 7＝a 8最大B ．a 8＝a 9最大C ．有唯一项a 8最大D ．有唯一项a 7最大6．若,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则tan 21α>的概率为（ ） A ．14 B ．13C ．12D ．237．已知()f x 的定义域为D ，若对于a ∀，b ，c D ∈，()f a ，()f b ，()f c 分别为某个三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”，下例四个函数为“三角形函数”的是（ ） A ．()ln(1)(0)f x x x =+>； B ．()4cos 2f x x =-； C．()16)f x x =≤≤；D ．()(01)xf x e x =≤≤8．如图所示：在正方体1111ABCD A B C D﹣中，设直线1A B与平面11A DCB所成角为1θ，二面角1A DC A﹣﹣的大小为2θ，则12θθ，为（）A．3045o o，B．4530o o，C．3060o o，D．6045o o，9．下列四个函数中，与函数()tanf x x=完全相同的是（）A．22tan21tan2xyx=-B．1cotyx=C．sin21cos2xyx=+D．1cos2sin2xyx-=10．设偶函数()f x定义在0022ππ⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，上，其导数为()f x'，当02xπ<<时，()cos()sin0f x x f x x'+<，则不等式()2cos3f x f xπ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为（）A．0233πππ⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，B．0332πππ⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，C．0033，，ππ⎛⎫⎛⎫-⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D．2332ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，11．读下面的程序框图，若输入的值为-5，则输出的结果是（）A．-1 B．0 C．1 D．212．已知直线l经过()()1,1,2,3A B两点，则l的斜率为（）A．2B．23C．43D．12二、填空题：本题共4小题13．已知函数，，若直线与函数的图象有四个不同的交点，则实数k 的取值范围是_____.14．已知一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，则该几何体的体积为__________．15．若数列{}n a 满足111n nd a a +-=（*n N ∈，d 为常数），则称数列{}n a 为“调和数列”，已知正项数列1{}n b 为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b 的最大值是__________．16．不等式121x x +<-的解集为_________________； 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
上海市金山中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年上海市金山中学高一年级下学期5月月考数学试卷2024.5一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.1.已知集合，则______.2.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______.3.不等式的解集为______.4.函数的最小正周期为______.5.在平行四边形中，为边上靠近点的三等分点，，则的值为______.6.已知复数为虚数单位，若的模为20，实数的值为______.7.方程的解______.8.已知复数满足，为虚数单位，则的最小值为______.9.若函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围是______.10.已知点，将绕坐标原点逆时针方向旋转至，再将延长至，使，则点的坐标为______.11.已知正的边长为2，所在平面内有一动点，满足，则的最小值为______.12.函数的最大值为______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为 A ．B ．10C ．6D ．814.已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（ ）A.B. C.D.[]()3,4,0,5A B =-=A B = 302x x+-…tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ABCD E BC B AE AB AD λμ=+λμ()()()3213,12mi i z i i +-=-z m 3log (94)1x x -=+x =z |12|1z i -+=i ||z 231xy m =---m ()3,4A OA O 3πOB OB OC 2OC OB =C ABC ∆ABC ∆P 1CP =AP BP ⋅ 22sin y x x x =++260x x a -+=3x i =+i a ()10-()y f x =R (),0x ∈-∞()21xf x x e =-+()0,x ∈+∞()f x =21xx e -+21xx e-++21xx e--+21xx e--+-15.已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则 A．B ．C ．D ．16.已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）B.C.2三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知向量与的夹角为，且（1）求的值（2）若，求实数的值18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知复数为虚数单位，其中是实数（1）若是实数，求的值（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围。
2023-2024学年上海市金山区高一下册3月统考数学试题(含解析)
2023-2024学年上海市金山区高一下册3月统考数学试题一、填空题1．已知集合{}2,21A a =-，且1A ∈，则实数a 的值为__________．【正确答案】1【分析】根据元素与集合的关系列式计算即得.【详解】由题意可得：211a -=，解得1a =.故1.2．已知角α的终边经过点()1,2P -，则sin α=__________．【正确答案】5-【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值．【详解】设坐标原点为O ，由题意可得：1,2,x y OP ==-=故siny OP α==故答案为.5-3．函数()ln 1y x =-的定义域为__________．【正确答案】(1,)+∞【分析】根据对数函数的性质求该对数型函数的定义域即可.【详解】要使该函数有意义，则需10x ->，解得：1x >∴函数()ln 1y x =-的定义域为(1,)+∞故(1,)+∞4．将a __________．【正确答案】85a 【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解.【详解】由题意可得.3381555a a a a a +=⋅==故答案为.85a 5．已知角α是第四象限角，且cos α=，则sin cos αα+的值为__________．【正确答案】【分析】利用同角三角关系运算求解，注意符号看象限.【详解】∵角α是第四象限角，且cos α=sin 5α==-，∴sin cos 5αα+=-.故答案为.5-6．已知函数21y x ax =++，[],2x b ∈（,a b ∈R 且2b <）是偶函数，则a b +的值为__________．【正确答案】2-【分析】根据奇偶函数的性质结合二次函数的对称性分析运算.【详解】由题意可得：函数21y x ax =++的对称轴为y 轴，且定义域关于原点对称，则2002b a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得20b a =-⎧⎨=⎩，故2a b +=-.故答案为.2-7．已知36m =，用m 表示3log 54为__________．【正确答案】2m +##2m+【分析】先根据指对互化可得3log 6m =，再结合对数运算求解.【详解】∵36m =，则3log 6m =，∴()223333log 54log 63log 6log 32m =⨯=+=+.故答案为.2m +8．设a 、b 为正数，且1a b +=，则11a b+的最小值为_____________.【正确答案】4基本不等式中“1的代换”求最值.【详解】因为a 、b 为正数，且1a b +=，所以111111111224a b a b a b a b a b b a +=+⨯=+⨯+=+++≥+()()(),当且仅当a =b =1时取等号即11a b+的最小值为4.故4利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．如果等号成立的条件满足不了，说明函数在对应区间单调，可以利用单调性求最值或值域．9．已知常数0a >且1a ≠，无论a 取何值，函数()log 354a y x =--的图像恒过一个定点，则此定点为__________．【正确答案】(2,4)-【分析】利用对数函数性质可知，只需令351x -=即可求出()log 354a y x =--的图像恒过的定点的坐标.【详解】因为log a y x =的图像必过(1,0)，即log 10a =，当351x -=，即2x =时，()log 3544a y x =--=-，从而()log 354a y x =--图像必过定点(2,4)-.故答案为.(2,4)-10．已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数=a __________.【正确答案】1或18-【分析】结合已知条件，求出2(1)320a x x -+-=的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【详解】若A 恰有两个子集，所以关于x 的方程恰有一个实数解，①当1a =时，23x =，满足题意；②当0a ≠时，810a ∆=+=，所以18a =-，综上所述，1a =或18a =-.故1或18-.11．设()()211f x ax a x =-++，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，若函数()y f x =在定义域上满足：①是非奇非偶函数；②既不是增函数也不是减函数；③有最大值，则实数a 的取值范围是__________．【正确答案】()1,11,2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ 【分析】对①：根据奇偶函数的定义可得1a ≠-；对②：分类讨论可得二次项系数小于零，且对称轴为111,222a x a +⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，求出a 的取值范围；对③：结合②中所求的范围验证即可.【详解】对①：∵()()()()()()()2221121011f x a x a x ax f x ax a x ⎡⎤⎡⎤+-+--+-+=+≠⎣⎦++⎦-⎣=，即()()f x f x ≠--，故()f x 不是奇函数；若()f x 是偶函数，则()()()()()()()221121011f x a x a x a f x ax a x x ⎡⎤⎡⎤-----+-+=-+=⎣⎦⎣⎦=-++，可得10a +=，即1a =-；故若()f x 是非奇非偶函数，则1a ≠-；对③：若()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值，则有：当0a =时，则()1f x x =-+在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，无最值，不合题意；当0a ≠时，则()()211f x ax a x =-++为二次函数且对称轴为12a x a+=，由题意可得0111222a a a <⎧⎪+⎨-<<⎪⎩，解得12a <-，故若()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最大值，则12a <-；对②：若12a <-，则()()211f x ax a x =-++开口向下，且对称轴为111,222a x a +⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，故()f x 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上既不是增函数也不是减函数；综上所述：实数a 的取值范围为()1,11,2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ .故答案为.()1,11,2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭ 12．已知t ∈R ，集合[][],14,9A t t t t =+⋃++，0A ∉，若存在正数λ，对任意a A ∈，都有A a λ∈，则t 的所有可能的取值组成的集合为________．【正确答案】{}1,3-##{}3,1-【分析】根据题意按照0t >，9t <-，41t -<<-分类讨论，利用集合的包含关系即可列出不等式组，解出即得解．【详解】0A ∉ ，则只需考虑下列三种情况：（1）当0t >时，[][],14,9a t t t t ∈+++ ，11111,,941a t t t t ⎡⎤⎡⎤∴∈⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦，又0λ>，则,,941a t t t t λλλλλ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦，A a λ∈ ，所以[],,94,11t t t t t t λλλλ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦+ 或[]4+4,9,,91t t t t t t λλλλ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦+ 或[][],1+4,9,,941t t t t t t t t λλλλ⎢+⎡⎤⎡⎤⊆⊆⎢⎥⎥+++⎣⎦⎣⎦+，，①当[],94,11t t t t t t λλλλ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦+ 时，91t t t tλλ⎧≥⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩，即()()91t t t t λ+≤≤+，而易知，()()91t t t t +>+，所以这样的λ不存在；②当[]4+4,9,91t t t t t t λλλλ⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦+ 时，499t t t tλλ⎧≥+⎪⎪+⎨⎪≤+⎪⎩，即()()()499t t t t λ++≤≤+，显然这样的λ不存在；③当[][],1+4,9,,941t t t t t t t t λλλλ⎢+⎡⎤⎡⎤⊆⊆⎢⎥⎥+++⎣⎦⎣⎦+,时，914419tt t t t t t tλλλλ⎧≥⎪+⎪⎪≤+⎪+∴⎨⎪≥+⎪+⎪⎪≤+⎩，可得：()()()()()()991414t t t t t t t t λλ⎧+≤≤+⎪⎨++≤≤++⎪⎩，()()()914t t t t λ∴=+=++，解得1t =；（2）当90t +<时，即当9t <-时，与（1）同理，解得1t =，不合题意，舍去；（3）当1040t t +<⎧⎨+>⎩时，即当41t -<<-时，只有[][]4,9,1,,941t t t t t t t t λλλλ+⎡⎤⎡+⎤⊆⊆⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦+，，所以可得：114994tt t t t t t t λλλλ⎧≥⎪+⎪⎪≤+⎪⎨⎪≥+⎪+⎪⎪≤++⎩，()()()149t t t t λ∴=+=++，解得3t =-.综上所述：1t =或3-.故答案为.{}1,3-关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过t 的不同取值范围，得到a 与aλ所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于λ的等量关系，从而构造出关于t 的方程；难点在于能够准确地对t 的范围进行分类，对于学生的分析和归纳能力有较高的要求.二、单选题13．已知a b >，其中a b ∈R 、，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．a b ->-CD ．a b>【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断B ，C ；举例说明判断A ，D 作答.【详解】对于A ，取1,2a b ==-，满足a b >，而2214a b =<=，故A 错误；对于B ，因a b >，则a b -<-，故B 错误；对于C ，由不等式的性质知，若a b >，故C 正确；对于D ，取1,2a b ==-，满足a b >，而||12||a b =<=，故D 错误.故选：C14．设x ∈R ，则“|1|2x -<”是“15x -<<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A 【分析】解不等式12x -<得13x -<<，然后判断充分性和必要性即可.【详解】解不等式12x -<得13x -<<，当13x -<<时15x -<<一定成立，但是当15x -<<时，13x -<<不一定成立，所以“12x -<”是15x -<<的充分不必要条件.故选：A.15．设集合A 、B 、C 均为非空集合，下列命题中为真命题的是（）A ．若A B B C ⋂=⋂，则A C=B ．若A B B C ⋃=⋃，则A C =C ．若A B B C ⋃=⋂，则C B⊆D ．若A B B C = ，则C B⊆【正确答案】D【分析】取特例，根据由集合的运算关系可判断ABC ，根据集合的交、并运算，子集的概念可判断D.【详解】对于A ，A B B C ⋂=⋂，当{}{}{}1,2,1,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则A 错误；对于B,A B B C ⋃=⋃，当{}{}{}1,2,3,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则B 错误；对于C ，A B B C ⋃=⋂，当{}{}{}1,1,2,1,2,3A B C ===时，结论不成立，则C 错误；对于D ，因为A B B ⊆ ，A B B C = ，所以B C B ⋃⊆，又B B C ⊆ ，所以B B C = ，则C B ⊆，则D 正确.故选：D16．已知()21x f x =-，若关于x 的方程()()11f x a f x a -+--=有且仅有两个不同的整数解，则实数a 的取值范围是（）．A ．11,24⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．[]0,1D ．{}0【正确答案】A【分析】根据方程()()11f x a f x a -+--=，等价于()f x a ≥且()1f x a ≤+，将问题转化为()f x 的图象夹在直线y a =和1y a =+之间的部分有且仅有两个整数解求解.【详解】解：要使方程()()11f x a f x a -+--=，当且仅当()f x a ≥且()1f x a ≤+，即方程等价于()f x a ≥且()1f x a ≤+，即()1a f x a ≤≤+，所以方程()()11f x a f x a -+--=有且仅有两个不同的整数解，即()f x 的图象夹在直线y a =和1y a =+之间的部分有且仅有两个整数解，函数()f x的图象如图所示：因为()()()()1300,1,2,1124f f f f =-=-==，所以要使()1a f x a ≤≤+的整数解有且仅有两个解，则其中一个整数解为0和-1，即013124a a ≤⎧⎪⎨≤+<⎪⎩，解得1124a -≤<-，故选：A三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-<<+，102x B x x ⎧⎫+=>⎨⎬-⎩⎭．(1)求集合B ；(2)若A B ⊆，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){2B x x =或}1x <-(2)(][),34,-∞-⋃+∞【分析】（1）根据分式不等式求解集合B ；（2）根据集合的包含关系运算求解.【详解】（1）∵102x x +>-，则()()120x x +->，解得2x >或1x <-，故{2B x x =或}1x <-.（2）若A B ⊆，则22a -≥或21a +≤-，即4a ≥或3a ≤-，故实数a 的取值范围为(][),34,-∞-⋃+∞.18．已知()2f x x ax a =++．(1)若函数()y f x =有零点，求实数a 的取值范围；(2)若方程()0f x =有两个实根12,x x ，求2212x x +的最小值．【正确答案】(1)(][),04,-∞+∞U (2)0【分析】（1）根据题意集合二次函数的∆判别式运算求解；（2）利用韦达定理整理可得221222a x x a =-+，结合二次函数的性质求最值.【详解】（1）由题意可得：240a a ∆=-≥，解得4a ≥或0a ≤，故实数a 的取值范围为(][),04,-∞+∞U .（2）由()20f x x ax a =++=，可得1212,x x a x x a +=-=，则()222212121222x a a x x x x x =+=-+-，∵22y a a =-的对称轴为1a =，注意到(][),04,a ∈-∞⋃+∞，则当0a =时，22a a -取到最小值0，即2212x x +的最小值为0.19．某城市2023年1月1日的空气质量指数（简称AQI ））与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足下图连续曲线，并测得当天AQI 的最大值为103．当[]0,14x ∈时，曲线是二次函数图像的部分；当(]14,24x ∈时，曲线是函数()2102log 13y x =--图像的一部分．根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求当[]0,14x ∈时，函数()y f x =的表达式；(2)该城市2023年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．【正确答案】(1)()()[]2112103,0,144f x x x =--+∈(2)12⎡⎤-⎣⎦，理由见详解【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()()[]()(]22112103,0,144102log 13,14,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪--∈⎩，分类讨论解不等式()100f x ≥即可得结果.【详解】（1）当[]0,14x ∈时，有图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为()12,103，且过()()10,102,14,102，可设()()212103,0f x a x a =-+<，代入点()10,102可得()21012103102a -+=，解得14a =-，故当[]0,14x ∈时，()()21121034f x x =--+.（2）由（1）可得：()()[]()(]22112103,0,144102log 13,14,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪--∈⎩，当[]0,14x ∈时，令()()21121031004f x x =--+≥，解得1214x -≤；当(]14,24x ∈时，令()()2102log 11003f x x =-≥-，解得1417x <≤；综上所述：当12x ⎡⎤∈-⎣⎦时，空气属于污染状态.20．已知()214f x x =-．(1)判断并证明函数()y f x =的奇偶性；(2)判断并证明函数()y f x =在区间()2,+∞上的单调性；(3)根据函数()y f x =的性质，画出函数()y f x =的大致图像．【正确答案】(1)偶函数；(2)单调递增；(3)详见解析.【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义判断；（2）利用函数的单调性的定义判断；（3）根据函数的定义域，单调性和奇偶性画出.【详解】（1）解：因为函数()f x 的定义域为()()(),22,22,-∞--+∞ 关于原点对称，又因为()()()221144f x f x x x -===---，所以()f x 是偶函数；（2）任取12,[2,)∈+∞x x ，且12x x <，则()()1222121144f x f x x x =----，()()()()()()22121212222212124444x x x x x x x x x x -+-==----，因为12,[2,)∈+∞x x ，所以()()2212440x x -->，120x x +>，又因为12x x <，所以120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间()2,+∞上单调递增；（3）由（2）同理可得()f x 在区间[0,2)上单调递增，由（1）知()f x 是偶函数，则()f x 在(),2-∞-和(2,0]-上单调递减，所以其图象如图所示：21．已知函数()y f x =的定义域为D ，区间M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()y f x =为M 上的t -增长函数．(1)已知()f x x =，判断函数()y f x =是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知0n >，设()2g x x =，且函数()y g x =是区间[]4,2--上的n -增长函数，求实数n 的取值范围；(3)如果函数()y h x =是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22h x x a a =--，且函数()y h x =为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)是，理由见详解(2)()8,+∞(3)()1,1-【分析】（1）根据题意结合函数单调性分析运算；（2）根据题意整理可得220nx n +>对[]4,2x ∀∈--恒成立，根据恒成立问题结合一次函数分析运算；（3）根据函数的单调性，先取特值2x a =-，可求得11a -<<，再证明当11a -<<时，对任意x ∈R ，均有()()4h x h x <+.【详解】（1）数()y f x =为区间[]1,0-上的32-增长函数，理由如下：由题意可知：()f x x =在R 上单调递增，对[]1,0x ∀∈-，则32x x +>，可得()32f x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，故函数()y f x =为区间[]1,0-上的32-增长函数.（2）若函数()2g x x =是区间[]4,2--上的n -增长函数，可得对[]4,2x ∀∈--，则()()g x n g x +>，即()22x n x +>，可得220nx n +>对[]4,2x ∀∈--恒成立，则2280400n n n n n ⎧-+>⎪-+>⎨⎪>⎩，解得8n >，故实数n 的取值范围为()8,+∞.（3）由题意可得：()22222,02,x x a h x x a a x a x a ⎧-≤<=--=⎨-≥⎩，∵函数()y h x =是定义域为R 的奇函数，当0x <时，则()()()2222222,02,x a x h x h x x a a x a a x a x a ⎧--<<=--=----=++=⎨+≤-⎩，故()2222222,,2,x a x a h x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，可得()h x 在()22,,,a a ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣上单调递增，在()22,a a -上单调递减，注意到()()2223h a h a a -==，故当(2,3x a ⎤∈-∞⎦时，()()2h x h a ≤-，当()23,x a ∈+∞时，()()2h x h a >-，若函数()y h x =为R 上的4-增长函数，则对x ∀∈R ，均有()()4h x h x +>，取2x a =-，即()()224h a h a -+>-，故2243a a -+>，则21a <，即11a -<<，若21a <，即11a -<<时，则有：①当(2,4x a ⎤∈-∞--⎦时，则(24,x a ⎤+∈-∞-⎦，且()h x 在(2,a ⎤-∞-⎦上单调递增，故()()4h x h x +>；②当()224,3x a a ∈---时，则()224,34x a a +∈--+，且2234a a -+>，∵()h x 在()22,a a -上单调递减，在)22,34a a ⎡-+⎣上单调递增，则()()()2243h x h a h a +≥=-，且()h x 在()224,3a a ---上单调递增，则()()23h x h a <-，故()()4h x h x +>；③当)223,x a a ⎡∈--⎣时，则2244x x a a +>+≥，可得()()()22222424h x x a x a a h x a =+=+-=+，注意到()h x 在)2,a ⎡+∞⎣上单调递增，故()()()244h x h x a h x =+<+；④当)22,x a a ⎡∈-⎣时，则22443x a a +≥-+>，注意到()h x 在)22,a a ⎡-⎣上单调递减，在()2,a +∞上单调递增，可得()()()()2234h x h a h a h x ≤-=<+；⑤当)2,x a ⎡∈+∞⎣时，则24x x a +>≥，且()h x 在)2,a ⎡+∞⎣上单调递增，可得()()4h x h x <+；综上所述：当()1,1a ∈-时，对x ∀∈R ，均有()()4h x h x <+.故实数a 的取值范围为()1,1-.关键点点睛：根据()h x 的单调性，取特值2x a =-，先求出实数a 的取值范围，再证明其充分性.。
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共3套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y -=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则aa a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32s i n (π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=，4||=，且与的夹角为0120． （1）求在上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin )sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 2θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
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一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC2．设等比数列{}的前n 项和为，若=3，则=A ．B ．2C ．D ．33．在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，且满足4ab =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．2D ．34．过曲线的左焦点1F 且和双曲线实轴垂直的直线与双曲线交于点A,B,若在双曲线的虚轴所在的直线上存在—点C,使得90ACB ︒∠=,则双曲线离心率e 的最小值为（ ） A ．312+ B ．31+C ．512+ D ．51+5．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A 14B ．27C ．28D ．326．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C += A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒7．已知向量1a b ==，12a b ⋅=-，则3a b +=（ ） A 2B 3C 5D 78．已知函数210()210x x x f x x x ⎧++≥=⎨+<⎩，若(sin sin sin361)1f αβ++︒-=-，(cos cos cos361)3f αβ++︒+=，则cos()αβ-=（ ）A ．12B ．2C ．12-D ．2-9．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A 的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2+a 4+a 6＝12，则S 7＝（ ） A ．20 B ．28 C ．36 D ．411．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）A ．B ．C ．D ．12．向量()1,4a =-，(),8b x =，若a b a b ⋅=，则a b -=（ ） A ．5B 13C 17D 145二、填空题：本题共4小题13．已知函数()2()4cos 22f x x x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，，，该函数零点的个数为_____________ 14．已知a ，b 为单位向量，且3a b ⋅=，若向量c 满足()()20c a c a -⋅-=，则c b λ-()λ∈R 的最小值为_____.15．在数列{}n a 中，11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈ ，则2018a =_____________．16．在等比数列{}n a 中，若1238a a a =-，则2a 等于__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知向量m =3cosx+sinx ，1），n =（sinx ，32），函数()f x n m =⋅． （1）若f （θ）＝3且θ∈（0，π），求θ；（2）求函数f （x ）的最小正周期T 及单调递增区间． 18．已知向量a 与b 不共线，且1a =，4b =.（1）若a与b的夹角为120，求()()2a b a b-⋅+；（2）若向量ka b+与ka b-互相垂直，求k的值.19．（6分）某体育老师随机调查了100名同学，询问他们最喜欢的球类运动，统计数据如表所示.已知最喜欢足球的人数等于最喜欢排球和最喜欢羽毛球的人数之和.最喜欢的球类运动足球篮球排球乒乓球羽毛球网球人数 a 20 10 15 b 5（1）求,a b的值；（2）将足球、篮球、排球统称为“大球”，将乒乓球、羽毛球、网球统称为“小球”.现按照喜欢大、小球的人数用分层抽样的方式从调查的同学中抽取5人，再从这5人中任选2人，求这2人中至少有一人喜欢小球的概率.20．（6分）如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA AB=，AC 与BD交于点O，E，F分别为AB，PC的中点.（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅲ）求证：AF⊥平面POD.21．（6分）设二次函数f(x)＝ax2＋bx.(1)若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；(2)当b＝1时，若对任意x∈[0,1]，－1≤f(x)≤1恒成立，求实数a的取值范围．22．（8分）已知数列{}n a满足11a=，()*12n na a n N+-=∈．（1）若3nnab=，求证：数列{}n b为等比数列．（2）若3nnab=，求1lim(0)nnnnnb rrr b+→∞+>-．参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A 【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.详解：根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-，故选A.点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 2．A 【解析】解：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n 成等比，（S n ≠0） 所以，选A3．D 【解析】 【分析】根据正弦定理先进行化简，然后根据余弦定理求出C 的大小，结合三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】在ABC ∆中，已知222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，∴由正弦定理得222a b ab c +-=，即222a b c ab +-=，∴cos C ＝2222a b c ab+-＝122ab ab =，即C ＝3π. ∵4ab = ，∴ABC ∆的面积11sin 422S ab C ==⨯=． 故选D ． 【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，结合正弦定理余弦定理进行化简是解决本题的关键,属于基础题． 4．C 【解析】 【分析】设双曲线的方程为：22221x y a b-=，（a ＞0，b ＞0），依题意知当点C 在坐标原点时，∠ACB 最大，∠AOF 1≥45°，利用tan ∠AOF 11≥，即可求得双曲线离心率e 的取值范围．求出最小值． 【详解】设双曲线的方程为：22221x y a b-=，（a ＞0，b ＞0），∵双曲线关于x 轴对称，且直线AB ⊥x 轴，设左焦点F 1（﹣c ，0），则A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，2b a-），∵△ABC 为直角三角形，依题意知，当点C 在坐标原点时，∠ACB 最大， ∴∠AOF 1≥45°，∴tan ∠AOF 12222b FA bc a a OF c ac ac-====≥1，整理得：（c a ）2ca --1≥0，即e 2﹣e ﹣1≥0， 解得：e ≥即双曲线离心率e的最小值为：12+． 故选：C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，分析得到当点C 在坐标原点时，∠ACB 最大是关键，得到∠AOF 1≥45°是突破口，属于中档题． 5．A 【解析】 【分析】由长方体的三个面对面积先求出同一点出发的三条棱长，即可求出结果. 【详解】设长方体1111ABCD A B C D -从一个顶点出发的三条棱的长分别为,,a b c ，且2ab =，3ac =，6bc =，则1a =，2b =，3c =，所以长方体1111ABCD A B C D -中线段1BD 22212314++【点睛】本题主要考查简单几何体的结构特征，属于基础题型. 6．B 【解析】 【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求AC +的值． 【详解】 在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯，b c <，故B 为锐角，可得60B =︒， 18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用． 7．D 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积,计算模长即可. 【详解】因为向量||||1a b ==,12a b ⋅=-, 则2221(3)6916()9172a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+⨯=,|3|7a b ∴+=,故选:D. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题,是基础题. 8．C 【解析】 【分析】由函数()f x 的解析式，求得()11f -=-，()13f =，进而得到sin sin sin36αβ+=-︒，cos cos cos36αβ+=-︒，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由题意，函数2213()010()2421021x x x x x f x x x x x ⎧⎧++≥++≥⎪==⎨⎨+<⎩⎪+<⎩，令()1f x =-，即211x +=-，即1x =-，所以()11f -=-， 令()3f x =，即213x x ++=，即1x =，所以()13f =，又因为(sin sin sin361)1f αβ++︒-=-，(cos cos cos361)3f αβ++︒+=， 即(sin sin sin361)(1)f f αβ++︒-=-，(cos cos cos361)(1)f f αβ++︒+=， 所以sin sin sin3611αβ++︒-=-，cos cos cos3611αβ++︒+=， 即sin sin sin36αβ+=-︒，cos cos cos36αβ+=-︒，平方可得222sin sin 2sin sin sin 36αβαβ++=︒，222cos cos 2cos cos cos 36αβαβ++=︒， 两式相加可得22(cos cos sin sin )22cos()1αβαβαβ++=+-=， 所以cos()αβ-=12-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 9．B 【解析】 【分析】由几何概型中的角度型得：，得解．【详解】设固定弦的一个端点为， 则另一个端点在圆周上劣弧上随机选取即可满足题意，则（A ），故选：．【点睛】本题考查了几何概型中的角度型，属于基础题． 10．B 【解析】 【分析】由等差数列的性质计算． 【详解】由题意2464312a a a a ++==，44a =，∴74728S a ==． 故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的性质，灵活运用等差数列的性质可以很快速地求解等差数列的问题．在等差数列{}n a 中，正整数,,,m n l k 满足m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+，特别地若2m n k +=，则2m n k a a a +=；21(21)n n S n a -=-．11．B【解析】试题分析：由余弦定理得，又面积，因为成等差数列，所以，代入上式可得，整理得，解得，故选B ．考点：余弦定理；三角形的面积公式． 12．A 【解析】 【分析】由已知等式求出x ，再根据模的坐标运算计算出模． 【详解】由a b a b ⋅=得2321764x x -+=+，解得2x =-． ∴(4,8)b =-，(3,4)a b -=-，223(4)5a b -=+-=．故选：A ． 【点睛】本题考查求向量的模，考查向量的数量积，及模的坐标运算．掌握数量积和模的坐标表示是解题基础． 二、填空题：本题共4小题 13．3 【解析】 【分析】令()0f x =，可得240x x -=或cos 0x =；当240x x -=时，可解得0x =为函数一个零点；当cos 0x =时，可知2x k ππ=-+，根据x 的范围可求得零点；综合两种情况可得零点总个数.【详解】令()24cos 0x x x -=，可得：240x x -=或cos 0x =当240x x -=时，0x =或4x =（舍） 0x ∴=为函数的一个零点 当cos 0x =时，2x k ππ=-+，k Z ∈,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦2x π∴=-，2x π=为函数的零点综上所述，该函数的零点个数为：3个本题正确结果：3 【点睛】本题考查函数零点个数的求解，关键是能够将问题转化为方程根的个数的求解，涉及到余弦函数零点的求解. 14．14. 【解析】 【分析】由题意设()1,0a =，31,2b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=，(),c x y =，由()()20c a c a -⋅-=得出 223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，它表示圆C ，由31,22c b x y λλλ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，利用向量的模的几何意义从而得到最小值. 【详解】由题意设()1,0a =，31,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭=，(),c x y =，因()()20c a c a -⋅-=，即()()2120x x y --+=，所以223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，它表示圆心为3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r =的圆，又31,2c b x y λλ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以c b x λ⎛-=-22122x y λ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示圆C 上的点(),x y 与点1,22D λ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的距离的平方，由222223199902241616CD λλλ⎫⎛⎛⎫=-+-=-+=+≥⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以34CD ≥，故c b λ-的最小值为311424-=. 故答案为：14.【点睛】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，也考查了圆的方程与应用问题，属于中档题. 15．5 【解析】。