2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第11讲 简单空间几何体 Word版含解析
2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(八) 专题八 数学思想方法2
专题综合训练(八)[专题八 数学思想方法](时间：60分钟 分值：100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1．设函数f(x)＝x 3－4x ＋a(0<a<2)有三个零点x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则下列结论正确的是( )A ．x 1>－1 B ．x 2<0 C ．0<x 2<1 D ．x 3>22．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0，则2x －y ＋3的最小值是( )A ．3B ．4C ．6D ．93．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x>0.若函数g(x)＝f(x)－m 有三个不同的零点，则实数m 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎭⎫－12，1C.⎝⎛⎭⎫－14，0 D.⎝⎛⎦⎤－14，05．已知函数f(x)＝3x ＋x －3的零点为x 1，函数g(x)＝log 3x ＋x －3的零点为x 2，则x 1＋x 2＝( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4图Z8－16．阅读程序框图(如图Z8－1)，如果输出的函数值在区间[1，3]上，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．{x ∈R |0≤x ≤log 2 3} B ．{x ∈R |－2≤x ≤2}C ．{x ∈R |0≤x ≤log 2 3或x ＝2}D ．{x ∈R |－2≤x ≤log 2 3或x ＝2}7．已知函数f(x)＝2x ＋1，x ∈N *.若x 0，n ∈N *，使f(x 0)＋f(x 0＋1)＋…＋f(x 0＋n)＝63成立，则称(x 0，n)为函数f(x)的一个“生成点”．函数f(x)的“生成点”共有( )A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．设f(x)是定义在R 上的增函数，且对于任意的x ∈R 都有f(2－x)＋f(x)＝0恒成立．如果实数m ，n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）<0，m>3，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(3，7)B ．(9，25)C ．(13，49)D ．(9，49) 二、填空题(每小题5分，共20分)9．已知cos x ＝23(x ∈R )，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝________．10．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．11．若不等式x 2＋2xy ≤a(x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________．12．已知定义在R 上的函数y ＝f(x)对任意的x 都满足f(x ＋1)＝－f(x)，当－1≤x ＜1时，f(x)＝x 3.若函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点，则a 的取值范围是________．三、解答题(共40分)13．(13分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，c ＝2，cos C ＝34.(1)求sin A 的值； (2)求△ABC 的面积．14．(13分)已知向量p ＝(a n ，2n )，q ＝(2n ＋1，－a n ＋1)，n ∈N *，向量p 与q 垂直，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2 a n ＋1，求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .15．(14分)已知a ∈R ，函数f(x)＝ax＋ln x －1，g(x)＝(ln x －1)·e x ＋x ，(其中e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)在(0，e]上的单调性； (2)是否存在实数x 0∈(0，＋∞)，使曲线y ＝g(x)在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值，若不存在，请说明理由；(3)若实数m ，n 满足m>0，n>0，求证：n n e m ≥m n e n .专题综合训练(八)1．C [解析] f′(x)＝3x 2－4，令f′(x)＝3x 2－4＝0，x ＝±2 33.故如图，由图可知，0<x 2<1.2．B [解析] z ＝2x －y ，则z 为直线2x －y －z ＝0在y 轴上的截距的相反数．结合图形可知，在点A(1，1)处z 最小，所以z 的最小值为1.故2x －y ＋3的最小值是4.3．A [解析] ∵y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z ，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故φ＝π是曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充分不必要条件．4．C [解析] 问题等价于f(x)＝m 有三个不同的解，等价于函数y ＝f(x)与y ＝m 的图像有三个不同的公共点．在同一坐标系中画出函数y ＝f(x)，y ＝m 的图像(如图所示)，观察其交点个数，显然当－14<m<0时，两个函数图像有三个不同的公共点．5．C [解析] 由题意知，x 1x 2为函数y ＝log 3 x 与函数y ＝3－x 交点的横坐标．由于函数y ＝3x ，y ＝log 3 x 互为反函数，点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)在直线y ＝3－x 上且关于直线y ＝x 对称，故x 1＋x 2＝3.6．C [解析] 由条件结构知，当－2<x<2时，f(x)＝2x ∈⎝⎛⎭⎫14，4；当x ≤－2或x ≥2时，f(x)＝x ＋1∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．又∵输出的函数值在区间[1，3]上，∴1≤2x ≤3或x ＋1＝3，解得0≤x ≤log 23或x ＝2.故选C.7．B [解析] 由2[(n ＋1)x 0＋n （n ＋1）2]＋n ＋1＝63，得x 0＝63－（n ＋1）22（n ＋1）.如果x 0为正整数，则(n ＋1)2<63，即n ＝1，2，3，4，5，6.当n ＝1时，x 0＝594，不是整数；当n ＝2时，x 0＝63－96＝9，则点(9，2)为函数f(x)的一个生成点；当n ＝3时，x 0＝478，不是整数；当n ＝4时，x 0＝3810，不是整数；当n ＝5时，x 0＝2712，不是整数；当n ＝6时，x 0＝1414＝1，则(1，6)为函数f(x)的一个生成点．综上所述，y ＝f(x)的“生成点”有2个．8．C [解析] 因为f(n 2－8n)＝－f(2－n 2＋8n)，所以f(m 2－6m ＋23)＋f(n 2－8n)<0，即f(m 2－6m ＋23)<f(2－n 2＋8n)．由于函数f(x)是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23<2－n 2＋8n ，即(m －3)2＋(n －4)2<4.又因为m>3，所以点(m ，n)为平面上以(3，4)为圆心，2为半径的圆的右半部分的内部，故m 2＋n 2∈(13，49)．9.13±156 [解析] 因为cos x ＝23，sin x ＝±53，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos xcos π3＋sin xsin π3＝13±156.10.712[解析] ∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →·()AC →－AB →＝－λAB →2＋AC →2＋()λ－1AC →·AB →＝0，即－λ×9＋4＋()λ－1×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解得λ＝712.11.5＋12 [解析] 令t ＝yx (t>0)，则a ≥x 2＋2xy x 2＋y 2＝1＋2t 1＋t 2.令m ＝1＋2t>1，则t ＝m －12，所以a ≥1＋2t1＋t 2＝4m 4＋（m －1）2＝4m m 2－2m ＋5＝4m ＋5m －2.由于4m ＋5m－2≤42 5－2＝1＋52，故a ≥1＋52.12.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) [解析] 由f(x ＋1)＝－f(x)，得f(x ＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由g(x)＝f(x)－log a |x|＝0，得f(x)＝log a |x|，在同一平面直角坐标系下，分别作出函数y ＝f(x)与y ＝m(x)＝log a |x|的图像．若a>1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点，则满足m(5)＝log a 5<1，此时a>5.若0<a<1，由图像可知要使函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点，则满足m(－5)＝log a 5≥－1，此时0<a ≤15.故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞)．13．解：(1)∵cos C ∵a sin A ＝c sin C ，∴1sin A ＝274，∴sin A ＝148.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ，∴2＝1＋b 2－32b ，∴2b 2－3b －2＝0，解得b ＝2.故S △ABC ＝12absin C ＝12×1×2×74＝74.14．解：(1)∵向量p 与q 垂直，∴2n a n ＋1－2n ＋1a n ＝0，即2n a n ＋1＝2n ＋1a n ，则a n ＋1a n＝2.∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －1.(2)∵b n ＝log 2 a n ＋1，则b n ＝n ，∴a n ·b n ＝n·2n －1.∴S n ＝1＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n·2n －1，① ∴2S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n ，②由①－②，得－S n ＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－n·2n ＝1－2n1－2－n·2n ＝(1－n)2n －1，∴S n ＝1＋(n －1)2n .15．解：(1)∵f(x)＝ax＋ln x －1，x ∈(0，＋∞)，∴f ′(x)＝－a x 2＋1x ＝x －ax2，①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，e]上单调递增；②若0<a<e ，当x ∈(0，a)时，f ′(x)<0，函数f(x)在区间(0，a)上单调递减，当x ∈(a ，e]时，f ′(x)>0，函数f(x)在区间(a ，e]上单调递增；③若a ≥e ，则f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减．(2)∵g(x)＝(ln x －1)e x ＋x ，x ∈(0，＋∞)，∴g ′(x)＝e xx＋(ln x －1)e x ＋1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1.由(1)易知，当a ＝1时，f(x)＝1x＋ln x －1在(0，＋∞)上的最小值f(x)min ＝f(1)＝0，即当x ∈(0，＋∞)时，1x＋ln x －1≥0.又∵e x >0，∴g ′(x)＝⎝⎛⎭⎫1x ＋ln x －1e x ＋1≥1>0.由于曲线y ＝g(x)在点x ＝x 0处的切线与y 轴垂直等价于方程g′(x)＝0有实数解，而g′(x)>0，则方程g′(x)＝0无实数解．故不存在满足条件的x 0.(3)证明：n n e m ≥m n e n ⎝⎛⎭⎫n m n ≥e n －m nln n m ≥n －m ln n m ≥1－m n m n ＋ln n m－1≥0.由(2)知1x ＋ln x －1≥0，令x ＝n m ，则m n ＋ln nm－1≥0，故原不等式成立．。
2014北京高考数学二轮复习备考建议
2014北京高考数学二轮复习备考建议第一轮复习的目的是将我们学过的基础知识梳理和归纳，是一个积累和量变的过程，在这个过程当中主要以两个方面作为参考。
第一个是以教材为基本内容，第二个以教学大纲以及当年的考试说明，作为我们参考的依据，然后做到尽量不遗漏知识，因为这也是作为我们二轮三轮复习的基础。
对于高三数学第二轮复习来说，要达到三个目的：一是从全面基础复习转入重点复习，对各重点、难点进行提炼和把握；二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去，将已经把握的知识转化为实际解题能力；三是要把握各题型的特点和规律，把握解题方法，初步形成应试技巧。
对于二轮复习，更加注重专题性、板块性的复习。
下面按专题来进行分析：专题一：集合与简易逻辑该专题分成两部分，集合部分主要考察内容为子集、交集、补集、并集以及集合的基本概念。
一般在选择题的第1道题出现，如东西城海淀的二模卷第1题均为集合题，比较简单，东城和海淀考察的是将区间与集合结合起来，然后分别考察了交集和并集，这里学生需要注意的是正确求解不等式，并正确表示区间范围，要区分端点的开和闭。
对于这种题目建议使用数轴表示法，西城区则是考察交集与补集，只要明确概念，基本可以快速得出答案。
第二部分简易逻辑部分的知识点主要是逻辑联接词、四种命题和充要条件，这里基本不会单独考题，而是和其他知识点结合起来一起考察，比如西城区选择第6题，考察线面垂直的充分条件，海淀的选择第5题，考察平面向量与充要条件的结合，因此我们不仅要熟知充要条件的判定，何为充分，何为必要，更要对线面垂直的判定定理、平面向量基本性质定理掌握。
这种知识之间的互相穿插考察对于综合能力的提高以及知识的理解都有很大的帮助。
专题二：函数这里也分三部分，第一部分即函数的基本概念和性质，包括映射，区间，单调性，奇偶性，周期性，对称性还有反函数等。
这一块通常会在18题和导数连在一起考察。
东城区的选择第8题和海淀的选择第8题都有涉及奇偶性和周期性的知识，如东8，是考察f（x）=x-[x]的图像，这是一个非基本函数，但是我们通过描点画图像，可知这是一个周期函数，只要了解这些性质，题目就可迎刃而解。
2014高考数学文复习 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第5讲 函数与方程、函数模型及其应用
专题限时集训(五)[第5讲 函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．函数f(x)＝ln x －1x －1(x>1)的零点所在的区间为( )A.⎝⎛⎭⎫1，32B.⎝⎛⎭⎫32，2 C.⎝⎛⎭⎫2，52 D.⎝⎛⎭⎫52，3 2．如图X5－1所示，图(1)反映的是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 之间关系的图像．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出两种调整建议，如图(2)(3)所示．(图 1给出以下说法：①图(2)的建议是：提高成本，并提高票价； ②图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； ④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中说法正确的序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④3．规定记号“ ”表示一种运算，即a b ＝a 2＋2ab －b 2.设函数f(x)＝x 2，且关于x 的方程f(x)＝lg|x ＋2|(x ≠－2)恰有四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值是( )A ．－4B ．4C ．8D ．－8 4．“m<0”是“函数f(x)＝m ＋log 2x(x ≥1)存在零点”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．函数f(x)＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．函数f(x)＝－|x －5|＋2x －1的零点所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4)7安装这种供电设备的成本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为12，为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)＝120x ＋5(x>0)．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业15年共将消耗的电费之和为F(x)(万元)，则F(40)等于( )A ．80B ．60C ．4023D ．408．若函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x ＋1)＝f(x －1)，且x ∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2，函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x （x>0），－1x（x<0），则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．99．在R 上定义运算 ：x y ＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式(x －a) x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)10．若x 1，x 2是函数f(x)＝x 2＋mx －2(m ∈R )的两个零点，且x 1<x 2，则x 2－x 1的最小值是________．11．函数f(x)＝ln x －1x －1在区间(k ，k ＋1)(k ∈N *)上存在零点，则k 的值为________．12．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤前的废气的污染指数量为P 0 mg/L ，过滤过程中废气的污染指数量P mg/L 与时间t h 间的关系为P ＝P 0e －kt .如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩________%的污染物．13．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨(x 为600的约数)，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元．若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买________吨．14．对于二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，有下列命题： ①若f(p)＝q ，f(q)＝p(p ≠q)，则f(p ＋q)＝－(p ＋q)； ②若f(p)＝f(q)(p ≠q)，则f(p ＋q)＝c ；③若f(p ＋q)＝c(p ≠q)，则p ＋q ＝0或f(p)＝f(q)．其中一定正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．15．某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满足y ＝⎩⎪⎨⎪⎧axx 2＋1（0<x<1），a ·2x －14x －1＋1（x ≥1），其对应曲线(如图X5－2所示)过点⎝⎛⎭⎫12，165.(1)试求药量峰值(y 的最大值)与达峰时间(y 取最大值时对应的x 值)；(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效，那么成人按规定剂量服用该药后一次能维持多长的有效时间(精确到0.01小时)?16．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1，x ≥a ，4x －4×2x －a，x<a. (1)若x<a 时，f(x)<1恒成立，求a 的取值范围；(2)若a ≥－4时，函数f(x)在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围．专题限时集训(五) 1．C [解析] f(2)＝ln 2－1<0，f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－23，由125>8e 2得52>e 23，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－23>0，因此f(2)f ⎝⎛⎭⎫52<0，所以其中的一个零点区间为⎝⎛⎭⎫2，52. 2．C [解析] 设图(1)中函数为y ＝kx －b ，其中k 为票价，b 为付出的成本，则图(2)是降低成本，并保持票价不变；图(3)是提高票价，并保持成本不变．3．D [解析] 函数f(x)＝x 2＋4x －4，由于函数y ＝f(x)，函数y ＝lg|x ＋2|的图像均关于直线x ＝－2对称，故四个根的和为－8.4．A [解析] 函数f(x)存在零点，则m ≤0，是充分不必要条件，故选A.5．C [解析] 分别画出函数y ＝ln x(x>0)和y ＝|x －2|(x>0)的图像，可得2个交点，故f(x)在定义域中零点个数为2.6．C [解析] f(2)·f(3)＝(－3＋2)(－2＋4)<0，所以该函数的零点所在的区间是(2，3)．7．B [解析] F(x)＝12x ＋15×120x ＋5，F(40)＝60.8．C [解析] 因为函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x ＋1)＝f(x －1)，所以函数y ＝f(x)(x ∈R )是周期为2的周期函数，又因为x ∈[－1，1]时，f(x)＝1－x 2，所以作出函数f(x)(x ∈R )和g(x)的图像，如图所示．由图知函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5，5]内的零点的个数为8. 9．C [解析] 由题意得(x －a) x ＝(x －a)(1－x)， 故不等式(x －a) x ≤a ＋2化为(x －a)(1－x)≤a ＋2， 化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0，故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立．由二次函数f(x)＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图像，可知其对称轴为x ＝a ＋12.讨论得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12≤2f （2）≥0或⎩⎨⎧a ＋12>2，f ⎝⎛⎭⎫a ＋12≥0，解得a ≤3或3<a ≤7，综上可得a ≤7.10．2 2 [解析] Δ＝m 2＋8>0(m ∈R )，x 2－x 1＝（x 2＋x 1）2－4x 2x 1＝m 2＋8≥2 2.11．0或2 [解析] 转化为两个函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图像的交点问题．依据图像可以判断零点存在的区间为(0，1)，(2，3)．因此k ＝0或k ＝2.12．81 [解析] P 0e －k ×5＝P 0×(1－10%)，e －5k ＝0.9，所以P 0e －k ×10＝P 0×0.81，即10小时后还剩81%的污染物．13．30 [解析] 设一年的总运费与总存储费用之和为y 万元，则y ＝600x×3＋2x ≥21800x ×2x ＝120，当且仅当1800x＝2x ，x ＝30时，取得等号． 14．②③ [解析] ②③正确，对于①，由f(p)＝q ，f(q)＝p(p ≠q)，得(p －q)[a(p ＋q)＋b ＋1]＝0，所以a(p ＋q)＋b ＋1＝0，a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＋(p ＋q)＝0，f(p ＋q)＝－(p ＋q)＋c.15．解：(1)由曲线过点⎝⎛⎭⎫12，165，可得a ×1214＋1＝165，故a ＝8. 当0<x<1时，y ＝8x x 2＋1<8x2x ＝4，当x ≥1时，设2x －1＝t ，可知t ≥1，y ＝8×2x －14x －1＋1≤8t2t＝4(当且仅当t ＝1，即x ＝1时，等号成立)． 综上可知y max ＝4，且当y 取最大值时，对应的x 值为1. 所以药量峰值为4微克，达峰时间为1小时．(2)当0<x<1时，由8xx 2＋1＝1，可得x 2－8x ＋1＝0，解得x ＝4±15，又4＋15>1，故x ＝4－15.当x ≥1时，设2x －1＝t ，则t ≥1，8×2x －14x －1＋1＝1，可得8tt 2＋1＝1，解得t ＝4±15， 又t ≥1，故t ＝4＋15，所以2x －1＝4＋15， 可得x ＝log 2(4＋15)＋1.由图像知当y ≥1时，对应的x 的取值范围是[4－15，log 2(4＋15)＋1]， log 2(4＋15)＋1－(4－15)≈3.85，所以成人按规定剂量服用该药后一次能维持大约3.85小时的有效时间．16．解：(1)因为x<a 时，f(x)＝4x －4×2x －a ，所以令t ＝2x ，则有0<t<2a .当x<a 时f(x)<1恒成立，转化为t 2－4×t2a <1，即42a >t －1t在t ∈(0，2a )上恒成立． 令p(t)＝t －1t ，t ∈(0，2a )，则p′(t)＝1＋1t 2>0，所以p(t)＝t －1t 在(0，2a )上单调递增，所以42a ≥2a －12a ，所以2a ≤5，解得a ≤log 2 5.(2)当x ≥a 时，f(x)＝x 2－ax ＋1，即f(x)＝⎝⎛⎭⎫x －a 22＋1－a 24，当a2≤a 时，即a ≥0时，f(x)min ＝f(a)＝1； 当a 2>a 时，即－4≤a<0，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a 24.当x<a 时，f(x)＝4x －4×2x －a ，令t ＝2x ，t ∈(0，2a )，则h(t)＝t 2－42a t ＝⎝⎛⎭⎫t －22a 2－44a ，当22a <2a ，即a>12时，h(t)min ＝h ⎝⎛⎭⎫22a ＝－44a ； 当22a ≥2a ，即a ≤12时，h(t)在开区间t ∈(0，2a )上单调递减，h(t)∈(4a －4，0)，无最小值．综合x ≥a 与x<a ，所以当a>12时，1>－44a ，函数f(x)min ＝－44a ；当0≤a ≤12时，4a －4<0<1，函数f(x)无最小值；当－4≤a<0时，4a－4<－3≤1－a 24，函数f(x)无最小值．综上所述，当a>12时，函数f(x)有最小值．。
2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题11 算法、推理与证明、复数(理)(教学案)
一．考场传真1.【2013年高考新课标1卷】设1z 、2z 是复数, 则下列命题中的假命题是 （ ） A.若120z z -=，则12z z = B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =2.【2012年高考上海卷】若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ） A.2b =，3c = B.2b =-，3c = C.2b =-，1c =- D.2b =，1c =-3.【2013年高考浙江卷理】某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ） A.4=a B.5=a C.6=a D.7=a4.【2013年高考重庆卷理】执行如图2所示的程序框图，如果输出3s =，那么判断框内应填入的条件是（ ）A.6k ≤B.7k ≤C.8k ≤D.9k ≤5.【2013年高考新课标1卷】执行如图3所示的程序框图，如果输入的[]1,3t ∈-，则输出的s 属于（ ）A.[]3,4-B.[]5,2-C.[]4,3-D.[]2,5-6.【2012年高考湖北卷】定义在()(),00,-∞+∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞ 上的如下函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③()f x =；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为 （ ）A.①②B.③④C.①③D.②④7.【2013年高考四川卷理】设1P 、2P 、 、n P 为平面α内的n 个点.在平面α内的所有点中，若点P 到点1P 、2P 、 、n P 的距离之和最小，则称点P 为点1P 、2P 、 、n P 的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点.现有下列命题： ①若三个点A 、B 、C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A 、B 、C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A 、B 、C 、D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是_______.（写出所有真命题的序号）8.【2013年高考湖北卷理】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1、3、6、10、 ，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为()(),3N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+， 正方形数 ()2,4N n n =，五边形数 ()231,522N n n n =-， 六边形数 ()2,62N n n n =-，………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算()10,24N =_________.9.【2013年高考江苏卷】设数列{}:1n a 、2-、2-、3、3、3、4-、4-、4-、4-、 、11(1),,(1)k k k k k ---⋅⋅⋅-个、，即当()()()1122k k k k n k N *-+<≤∈时，记()11k n a k-=-.记()12n n S a a a n N *=++⋅⋅⋅+∈.对于l N *∈，定义集合{},,1l n n p n S a n N n l *=∈≤≤是的整数倍且.（1）求集合11p 中元素的个数； （2）求集合2000p 中元素的个数.二．高考研究考纲要求.1.算法初步（1）算法的含义、程序框图①了解算法的含义，了解算法的思想；②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.（2）基本算法语句理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.2.推理与证明（1）合情推理与演绎推理.①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.（2）直接证明与间接证明.①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.3.数系的扩充与复数的引入（1）复数的概念①理解复数的基本概念；②理解复数相等的充要条件；③了解复数的代数表示法及其几何意义.（2）复数的四则运算①会进行复数代数形式的四则运算；②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.命题规律1.题量、题型稳定：复数、算法程序框图都是高考中的基础题型，一般地，复数与算法程序框图在高考试题中出现两个题目，以填空题或选择题的形式出现，两者各占一题，每题5分；推理证明、新定义的题，在高考题中也经常出现，以填空、选择题的形式出现，一般作为选择、填空的最后一题，一般这些题在高考中出现一题或两题，其所占平均分值比例为10%~13%.2.知识点分布均衡、重难点突出：以2013年全国新课标卷数学高考《考试说明》为参考，可理解为有19个知识点，一般考查的知识点在60％左右，其中对复数、算法、推理与证明等知识点的考查比较全面，更注重知识点有机结合以及重难点的分布，对支撑数学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例并保持必要深度.算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础，也是新课标高考中新增加的内容，也是新课标高考中新增加的元素.高考十分注重逻辑思维的考查，以循环结构为主，有的也考查条件结构，注重知识点的有机整合，强调知识点在学科内的综合，在考查中也渗透数列、函数以及统计等方面的内容.推理与证明是新课标中的重要内容.高考中也十分注重逻辑思维能力的考查，在推理部分，主要考查归纳推理、类比推理以及新定义，在考查时结合数列、函数以及几何部分的内容，命题时注重了数学学科重点内容的考查以及新定义的理解，并保持必要的深度；在证明部分，加强了直接证明与间接证明法以及数学归纳法在综合中的应用，考查学生的推理论证能力.复数是高中数学的一个基本组成部分.高考中注重复数概念、运算以及几何意义的考查，以复数的四则运算为基石，综合考查复数的概念以及几何意义的理解.3.设计新颖、形式多样、难易适度：复数、算法都是高考中的基础知识，在高考中的考查一般以容易题出现，考查的形式以选择题、填空题出现，考查学生对于复数相关概念以及几何形式的理解以及分析问题的能力、逻辑思维能力，这部分的难度基本控制在0.05~0.25之间；推理证明、新定义一般处于选择、填空题的最后一题，考查学生逻辑推理能力以及新定义的理解，属于较难题. 试题平均难度为0.29（其中选择、填空难度0.15～0.52，平均难度0.29，解答题难度在0.11～0.30，平均难度0.17）.一．基础知识整合算法与程序框图③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题.④不唯一性：求解某一个问题的解法不一定是唯一的，对于一个问题可以有不同的算法. ⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 2.程序框图（1）程序构图的概念：程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形.一个程序框图包括以下几部分：表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明.（2）构成程序框的图形符号及其作用（3）算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构.①顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构.顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按顺序执行算法步骤.在示意图中，A框和B框是依次执行的，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框所指定的操作.②条件结构：条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行.一个判断结构可以有多个判断框.条件结构主要应用于一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的的求值、数据大小关系等问题中，常常用条件结构来设计算法.③循环结构的两种基本类型：（a）当型循环：当给定的条件成立时，反复执行循环体，直至条件不成立为止；（b）直到型循环：先第一次执行循环体，再判断给定的条件是否成立，若成立，跳出循环体；否则，执行循环体，直至条件第一次不成立为止.循环结构一般用于一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题常常用循环结构来解决.3.算法语句：（1）输入语句②输入语句的作用是实现算法的输入信息功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，变量是指程序在运行时其值是可以变化的量；（4）输入语句要求输入的值只能是具体的常数，不能是函数、变量或表达式；（5）提示内容与变量之间用分号“；”隔开，若输入多个变量，变量与变量之间用逗号“，”隔开.（2）输出语句②输出语句的作用是实现算法的输出结果功能；（3）“提示内容”提示用户输入什么样的信息，表达式是指程序要输出的数据；（4）输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符.（3）赋值语句①赋值语句的一般格式②赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量；③赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的.赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量； ④赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式； ⑤对于一个变量可以多次赋值.注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式.如：2X =是错误的； ②赋值号左右不能对换.如“A B =”“B A =”的含义运行结果是不同的； ③不能利用赋值语句进行代数式的演算.（如化简、因式分解、解方程等）； ④赋值号“=”与数学中的等号意义不同. （3）条件语句分析：在IF —THEN —ELSE 语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行时，首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN 后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE 后面的语句2.注意：“条件”表示判断的条件；“语句”表示满足条件时执行的操作内容，条件不满足时，结束程序；END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断，如果条件符合就执行THEN 后边的语句，若条件不符合则直接结束该条件语句，转而执行其它语句.（4）循环语句循环结构是由循环语句来实现的.对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构.即WHILE语句和UNTIL 语句.（b）当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止.这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND 语句后，接着执行WEND之后的语句.因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环.（b）直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL型循环结构分析，计算机执行该语句时，先执行一次循环体，然后进行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句.分析：当型循环与直到型循环的区别：（先由学生讨论再归纳）（1）当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断；在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环推理与证明1.合情推理：前提为真时，结论可能为真的推理叫做合情推理.（1）归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理叫做归纳推理，它是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：根据两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，它是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理：根据一般性的原理，推出某个特殊情况下的结论叫做演绎推理，它是由一般到特殊的推理.基本形式是三段论：（1）大前提，已知的一般性原理；（2）小前提，所研究的特殊情况；（3）结论.4.反证法：假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.5.数学归纳法：.数学归纳法：（1）当n 取第一个值0n （例如1n =）时，证明命题成立；（2）假设当n k =()0,k Nk n *∈≥时命题成立，并证明当1n k =+时，命题也成立，于是命题对一切n N *∈，0n n ≥，命题都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.运用数学归纳法证明命题分为两步：第一步是递推的基础，第二是递推的依据，这两步缺一不可的.复数1.复数的相关概念：（1）形如a bi +(),a b R ∈的数叫复数，其中i 叫做复数的虚数单位，且21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部.复数集用集合C 表示. （2）复数的分类：对于复数z a bi =+(),a b R ∈① 当0b =时，z 是实数； ② 当0b ≠时，z 是虚数； ③ 当0a =且0b ≠时，z 是纯虚数.（3）复数相等：若1z a bi =+(),a b R ∈，2z c di =+(),c d R ∈，则12z z =的充要条件是a c =且b d =.特别地：若0a bi +=(),a b R ∈的充要条件是0a b ==.2.复数的几何意义：（1）复平面：x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；y 轴叫做虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.（2）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内的点(),Z a b 一 一对应.（3）复数z a bi =+(),a b R ∈与复平面内所有以原点O 为起点的向量OZ一 一对应. （4）复数的模：向量OZ的模叫做复数z a bi =+(),a b R ∈的模，记作z 或a bi +，且||z =3.复数的四则运算：（1）共轭复数：实部相等，虚部互为相反数.若z a bi =+(),a b R ∈，则它的共轭复数z a bi =-.（2）复数的加法、减法、乘法、除法运算：除法法则：()()()()2222a bi c di a bi ac bd bc adi c di c di c di c d c d+-++-==+++-++； 4.重要性质：1i i =，21i =-， 3i i =-，41i =. 41ni=，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.二．高频考点突破考点1 复数的与实系数方程之间的关系【例1】【广东省广州市2013届高三普通毕业班综合测试二】若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方2x +()20,px q p q R +=∈的一个解，则p q +=（ ）A.3-B.1-C.1D.3()2210i p i q -+-+=，化为复数的一般形式得()()2220p q p i ++--=，根据复数相【规律方法】根与实系数方程之间的关系体现在，一是根代入方程，相应的等式成立；二是体现在韦达定理上，即实系数一元二次方程()200,,,ax bx c a a b c R ++=≠∈的两根分别为1x 、2x ，则12b x x a +=-，12cx x a⋅=，不仅对0∆≥的情况成立，对0∆<的情形（即方程的根为虚根）也成立.【举一反三】【湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三三校11月联考】已知复数32z i =-+（i为虚数单位)是关于x 的方程220x px q ++=（p 、q 为实数)的一个根，则p q +的值为 （ ）A.22B.36C.38D.42考点2 复数的概念与运算【例2】【广东省广州市海珠区2013届高三综合测试一】下面是关于复数21z i=-的四个命题：1p :2z =， 2:p 22z i =， 3:p z 的共轭复数为1i -+ 4:p z 的虚部为1，其中真命题为 （ ）A. 2p 、3pB.1p 、2pC.2p 、4pD.3p 、4p【规律方法】对于复数概念、几何意义等相关问题的求解，其核心就是要将复数化为一般形式，即z a bi =+(),a b R ∈，实部为a ，虚部为b .（1）复数的概念：①z 为实数0b ⇔=；②z 为纯虚数0a ⇔≠且0b =；③z 为虚数0b ⇔≠.（2）复数的几何意义：①z a bi z =+⇔在复平面内对应的点(),Z a b z ⇔在复平面对应向量(),OZ a b =；②复数z 的模z a bi =+=.（3）共轭复数：复数z a bi =+与z a bi =-互为共轭复数.【举一反三】【河南省郑州市四中2013届高三第十三次调考】对于任意复数(),z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ）A.2z z a -=B.2z z z⋅= C.1zz= D.20z ≥考点3 算法与数列综合【例3】【2013年高考辽宁卷】执行如图4示的程序框图，若输入10n =，则输出的S = （ ）A.511 B.1011 C.3655D.7255【规律方法】若数列{}n a 为公差为()0d d ≠的等差数列，()1n n k k N a a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭型数列求和一般是利用裂项法，裂项公式为1111n n k n n k a a kd a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，为了方便求出数列()1n n k k N a a *+⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭的前n 项和，可以采用将没数列中裂项后被减项写在一起，减数项写在一起，方便观察哪些项消去了，即1122111111111n k k n n kS kd a a kd a a kd a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12121111111n k k n k kd a a a a a a +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，但是在处理算法与数列求和问题时，一定要确定循环次数，即在数列中有求和的项数.【举一反三】【2013年高考福建卷理】阅读如图5所示的程序框图，若编入的10k =，则该算法的功能是（ ） A.计算数列{}12n -的前10项和 B.计算数列{}12n -的前9项和C.计算数列{}21n-的前10项和 D.计算数列{}21n-的前9项和考点4 判断条件的选择【例4】【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】运行下图框图输出的S 是254，则①应为（ ）.A.5≤nB.6≤nC.7≤nD.8≤n【规律方法】等差数列{}n a 的求和公式：()()11122n n n a a n n dS na +-==+（d 为等差数列{}n a 的公差）；等比数列{}n a 的求和公式：()()1110,111n n n a q a a qS q q qq--==≠≠--（q 为等比数列{}n a 的公比）.在判断条件的选择上，需要注意两方面的问题：一是控制变量是增大还是减小，从而决定判断条件中对控制变量所使用的不等号；二是循环进行的次数，决定判断条件中临界值的选择. 【举一反三】【浙江省金华一中2014届高三10月月考】若框图（图7）所给的程序运行结果为5040S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是___________.考点5 算法与函数综合【例5】【湖北省孝感市2014届高三第一次统一考试】运行如图8所示的算法流程图，当输入的x值为（）时，输出的y值为4.A.1B.1-C.2-D.3-【规律方法】分段函数问题的求解主要在于根据自变量的不同取值确定相应的函数解析式，利用解析式来求解分段函数问题.对于分段函数的问题，一般有以下几种考查形式：①求分段函数值，根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，对于复合函数的求值，计算时遵循由内到外的原则；②由函数值求相应的自变量的取值，即令每个解析式等于相应的值求出自变量的值，并对自变量的取值是否在区间进行取舍；③求解分段函数不等式，对自变量在相应区间的取值下解不等式，并将解集与定义域取交集得到最终答案.【举一反三】【四川省资阳市2014届高三第一次诊断性考试】已知x R∈，根据如图9所示的程序框图，则不等式()12 2f x x≥-+的解集是____________.考点6 归纳推理【例6】【广东省珠海一中等六校2014届高三第一次联考】将石子摆成如图10的梯形形状.称数列5、9、14、a=；第n项20、 为“梯形数”.根据图形的构成，数列第6项6a=.n图10【规律方法】归纳推理主要用于与自然数有关的等式或不等式的问题中，一般在数列的推理中常涉及.即通过前几个等式或不等式出发，找出其规律，即找出一般的项与项数之间的对应关系，一般的有平方关系、立方关系、指数变化关系或两个相邻的自然数或奇数相乘等基本关系，需要对相应的数字的规律进行观察、归纳，一般对于的等式或不等式中的项的结构保持一致. 【举一反三】【山西省山大附中2014届高三9月月考】观察下列算式：113=， 5323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______考点7 类比推理【例7】【陕西省西安市长安区长安一中2014届高三第二次质量检测】对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则0OB OA OA OB ⋅+⋅=；将它类比到平面的情形是：若O 是ABC ∆内一点，有OBC OCA S OA S OB ∆∆⋅+⋅0OBA S OC ∆+⋅=；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________________.【规律方法】类比推理主要是找出两类事物的共性，一般的类比有以下几种：①线段的长度——平面几何中平面图形的面积——立体几何中立体图形的体积的类比；②等差数列与等比数列的类比，等差数列中两数相加类比到等比数列中两数相乘，等差数列中两数的差类比到等比数列中两数相除.在类比的时候还需注意，有些时候不能将式子的结构改变，只需将相应的量进行替换.【举一反三】【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检】在等差数列{}n a 中，若m a p =，n a q =(),,1m n N n m *∈-≥，则m n nq mpa n m+-=-类比上述结论，对于等比数列{}()*0,n n b b n N >∈，若m b r =，()2,,n b s n m m n N*=-≥∈，则可以得到m n b += .考点8 新定义【例8】【福建省厦门市外国语学校2014届高三第一次月考】设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”.若()234f x x x =-+与()2g x x m=+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为 （ ）A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦ B.[]1,0- C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【规律方法】新定义主要应用于函数、解析几何以及数列中，一般先要理解题中的新定义，然后借助相应的方法进行求解.对于函数或数列不等式恒成立问题以及函数零点个数问题，一般采用分类讨论法或参数分离法求解；对于解析几何中的新定义，一般结合图象来量化问题，将问题中涉及的几何量利用图形直观地表示出来，从图形中得到准确解答.【举一反三】【2013年高考福建卷理】设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数()y f x =满足：（i ）(){}T f x x S =∈；（ii ）对任意1x 、2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A.A N *=，B N = B.{}13A x x =-≤≤，{}8010B x x x ==-<≤或C.{}01A x x =<<，B R = D.A Z =，B Q =考点9 数学归纳法【例9】【广东省五校协作体2014届高三第二次联考】已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n 为正整数）.（1）令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）令1n n n c a n +=，12n n T c c c =+++ ，试比较n T 与251nn +的大小，并予以证明.式11122n n n a a --=+，在等式两边同时乘以12n -得到11221n n n n a a --=+，由2n n n b a =，由【规律方法】数学归纳法一般用于与自然数有关的命题、等式或不等式的证明，其解题步骤为：第二数学归纳法的证明步骤是：①归纳奠基：证明当取第一个自然数0n 时命题成立；②归纳递推：假设n k =()0,k Nk n *∈≥时，命题成立，证明当1n k =+时，命题成立；③由①②得出结论.利用数学归纳法来进行证明时，需要注意两个问题：一是验证时n 的初始值不一定为1，要视具体情况而定；二是由n k =到1n k =+时，所需的跨度，即式子两边增加了多少项.【举一反三】【江苏省扬州中学2014届高三开学考试】数列{}21n-的前n 项组成集合n A ={}()1,3,7,,21nn N *-∈ ，从集合n A 中任取()1,2,3,,k k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如：当1n =时，{}11A =，11T =，11S =；当2n =时，{}21,3A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.（1）求3S ；（2）猜想n S ，并用数学归纳法证明.三．错混辨析1.忽视判别式∆适用的前提【例1】求实数m 的取值范围，使方程()()24120x m i x mi ++++=至少有一个实根.2.忽视对循环结构的合理分析【例2】如果执行如图11所示的程序框图，那么输出的S =（ ）A.1275B.2550C.5050D.25003.忽视数学归纳法中证题时的跨度 【例3】用数学归纳法证明：()111122234212n n n -++++>≥- .1.（原创题）在复数集C 上定义运算“⊗”：当12z z ≥时，1122z z z z ⊗=；当12z z <时，1212z z z z ⊗=，若113z i =+，21z i =+，33z i =-，则复数()123z z z ⊗⊗在复平面内所对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（原创题）执行如图12所示的算法程序框图，若输出的y值满足12y ，则输入的x值的取值范围是.【解析】3.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考】将全体正奇数排成一个三角形数阵：135791113151719按照以上排列的规律，第n 行()3n ≥从左向右的第3个数为.4.（原创题）已知平面坐标系内两点()11,A x y 、()22,B x y ，定义直角距离()1212,d A B x x y y =-+-.已知点()1,3P ，点Q 为直线20x y ++=上一点，则(),d P Q 的最小值是.12315x x x x =-+---=-++，利用绝对值的几何意义可知，5.【湖北省武汉市部分学校2014届高三11月联考】已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意0x >，都有()()f x f x x'>.（1）判断函数()()f x F x x=在()0,+∞上的单调性；（2）设1x 、()20,x ∈+∞，证明：()()()1212f x f x f x x +<+； （3）请将（2）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论.（3）推广：对任意2n ≥且n N *∈，若1x 、2x 、 、()0,n x ∈+∞，。
(通用版)(新课标)2014高考数学二轮复习作业手册 第2B讲 平面向量、算法初步、推理与证明 理
专题限时集训(二)B[第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明](时间：30分钟)1．若执行如图X2－7所示的框图，12x 3＝3，x ＝2，则输出的S 等于( ) A.23 B ．1 C.13 D.12X2－7X2－82．某程序框图如图X2－8所示，若输出S ＝57，则判断框内为( ) A ．k >4? B ．k >5? C ．k >6? D ．k >7?3．已知不共线的向量a ，b ，|a |＝2，|b |＝3，a·(b －a )＝1，则|b －a |＝( ) A. 3 B ．2 2 C.7 D.234．若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝|2a －b |的最大值为________．5．若AB →·BC →＋AB →2<0，则△ABC 必定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形6．△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－327．已知a 为执行如图X2－9所示的程序框图输出的结果，则二项式a x －1x6的展开式中含x 2项的系数是( )图X2－9A ．192B ．32C ．96D ．－1928．已知△ABC 的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足PA →＋PC →＝0，QA →＝2BQ →，则△APQ 的面积为( )A.12B.23C ．1D ．2 9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( )A ．2 2B ．2 3C ．4 2D ．4 310．已知2＋23＝2 23，3＋38＝3 38，4＋415＝4 415，…，若6＋at＝6at(a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________． 11．在Rt △ABC 中，两直角边分别为a ，b ，设h 为斜边上的高，则1h 2＝1a 2＋1b2.由此类比：三棱锥S －ABC 中的三条侧棱SA ，SB ，SC 两两垂直，且长度分别为a ，b ，c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则________________________________________________________________________．12．如图X2－10所示，表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列．记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N )，则a 99＝________；表中数82共出现________次．专题限时集训(二)B1．A [解析] 输出的结果是（1－2）2＋（2－2）2＋（3－2）23＝23.2．A [解析] 逐次运行的结果是k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57.当k ＝5时输出结果，故选A.3．A [解析] 由a ·(b －a )＝1，得a·b －a 2＝1，则a·b ＝5.所以|b －a |＝b 2＋a 2－2ab ＝9＋4－10＝ 3.4．4 [解析] 因为向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，所以|a |＝1，|b |＝2，a·b ＝3cos θ－sin θ.又因为|2a －b |2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝8－4(3cos θ－sin θ)＝8－8cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6，所以|2a －b |2的最大值为16，因此|2a －b |的最大值为4.5．B [解析] AB →·BC →＋AB →2<0，即AB →·(BC →＋AB →)＝AB →(BC →－BA →)＝AB →·AC →<0，故角A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．6．A [解析] 由AB →＋AC →＝2AO → 知，点O 在BC 上且为BC 的中点，如图所示，由于|OA →|＝|AC →|，故△AOC 为正三角形，则∠ABC ＝30°.故BA →在向量BC →方向的投影为|BA →|cos 30°＝3×32＝32. 7．D [解析] 由程序框图可知，第一次循环，a ＝1－a＝－1，i ＝i ＋1＝2，不满足条件i <2 011，再次循环；第二次循环，a ＝11－a ＝12，i ＝i ＋1＝3，不满足条件i <2 011，再次循环；第三次循环，a ＝11－a＝2，i ＝i ＋1＝4，不满足条件i <2 011，再次循环；第四次循环，a ＝11－a ＝－1，i ＝i ＋1＝5，不满足条件i <2 011，再次循环；…….由此可知a 的值为－1，12，2，三个数循环，所以输出的a 的值为2. 又因为二项式的通项T r ＋1＝C r6(a x )6－r⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 6a 6－r x 3－r，令3－r ＝2，解得r ＝1，所以二项式⎝⎛⎭⎪⎫a x －1x 6的展开式中含x 2项的系数是(－1)C 1625＝－192.8．B [解析] P ，Q 的位置如图所示，根据三角形面积公式则S △APQ S △ABC ＝12|AP ||AQ |sin A12|AB ||AC |sin A ＝23×12＝13，所以△APQ 的面积为23.9．D [解析] 由|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，可得点A ，B 在圆x 2＋y 2＝4上且∠AOB ＝60°.在平面直角坐标系中，设A (2，0)，B (1，3)，P (x ，y )，则(x ，y )＝λ(2，0)＋μ(1，3)，所以x ＝2λ＋μ，y ＝3μ，解得μ＝y 3，λ＝12x －12 3y .由于|λ|＋|μ|≤1，则12x －12 3y ＋13y ≤1，即|3x －y |＋|2y |≤23，所以①⎩⎨⎧3x －y ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤2 3或②⎩⎨⎧3x －y ≥0，y <0，3x －3y ≤23或③⎩⎨⎧3x －y <0，y ≥0，－3x ＋3y ≤2 3或 ④⎩⎨⎧3x －y <0，y <0，－3x －y ≤2 3.上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图所示阴影10．41 [解析] 4 415，… 照此规律，第511.1h2＝1a 2＋1b 2＋1c2 [解析] 方法一：过S 作△ABC 所在平面的垂线，垂足为O ，联结CO并延长交AB 于D ，联结SD .∵SO ⊥平面ABC ，∴SO ⊥AB .∵SC ⊥SA ，SC ⊥SB ，∴SC ⊥平面ABC .∴SC ⊥AB ，SC ⊥SD ，∴AB ⊥平面SCD .则AB ⊥SD .∴在Rt △ABS 中，有1SD 2＝1a 2＋1b2，在Rt△CDS 中，有1h 2＝1SD 2＋1c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.方法二：根据等体积关系16abc ＝13S △ABC h ，则1h 2＝4（S △ABC ）2a 2b 2c2.∵4(S △ABC )2＝|AB |2|AC |2sin 2A ＝|AB |2|AC |2(1－cos 2A )＝|AB |2|AC |2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－（|AB |2＋|AC |2－|BC |2）24|AB |2|AC |2＝|AB |2|AC |2－（|AB |2＋|AC |2－|BC |2）24＝(a 2＋b 2)(a 2＋c 2)－（a 2＋b 2＋a 2＋c 2－b 2－c 2）24＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2，∴1h 2＝4（S △ABC ）2a 2b 2c 2＝b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2a 2b 2c 2＝1a 2＋1b 2＋1c2.12．82 5 [解析] 第9行的第一个数为10，该行的公差为9，故第9个数是10＋(9－1)×9＝82.因为第n行的通项公式是a nk＝(n＋1)＋(k－1)n＝kn＋1，所以kn＋1＝82，解得kn＝81.所以n＝1，k＝81；n＝3，k＝27；n＝9，k＝9；n＝27，k＝3；n＝81，k＝1.。
2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题六 第二讲
第二讲圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义｜PF1｜＋|PF2｜＝2a(2a＞｜F1F2｜)｜｜PF1｜－|PF2|｜＝2a(2a＜｜F1F2｜)|PF｜＝｜PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M标准方程错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）y2＝2px(p＞0）图形几何性质范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥a x≥0顶点(±a，0）（0，±b）(±a，0)（0，0）对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点（±c，0)(错误!，0）轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e＝错误!＝1－b2a2（0＜e＜1）e＝ca＝错误!（e＞1）e＝1准线x＝－错误!渐近线y＝±错误!x1．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px（p〉0）的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5,若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ）A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x答案C解析由题意知：F错误!，抛物线的准线方程为x＝－错误!，则由抛物线的定义知，x M＝5－错误!，设以MF为直径的圆的圆心为错误!，所以圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!，又因为圆过点(0，2),所以y M＝4，又因为点M在C上,所以16＝2p错误!，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C。
2．（2013·课标全国Ⅰ)已知双曲线C:x2a2－错误!＝1（a〉0,b〉0)的离心率为错误!，则C的渐近线方程为( ）A．y＝±错误!x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±x答案C解析由e＝错误!＝错误!知，a＝2k，c＝错误!k(k∈R＋)，由b2＝c2－a2＝k2知b＝k.所以错误!＝错误!.即渐近线方程为y＝±错误!x。
2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第10讲 数列求和及数列的简单应用
专题限时集训(十)[第10讲 数列求和及数列的简单应用](时间：45分钟)1．若数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 7n }的前9项和S 9等于( ) A ．9 B ．18 C ．36 D ．722．已知数列{b n }是首项为12，公比为12的等比数列，则数列{nb n }的前n 项和T n ＝( )A ．2－⎝⎛⎭⎫12n －1B ．2－⎝⎛⎭⎫12nC ．2－n ＋22nD ．2－n ＋12n3．若数列{c n }的通项c n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫13n，则数列{c n }的前n 项和R n ＝( ) A ．1－n ＋13n B ．1－n3nC ．1＋n3n D ．1＋n ＋13n4．已知等差数列{a n }，a 1＝3，d ＝2，前n 项和为S n ，设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，则T n ＝( )A.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋1－n 2（n ＋2）B.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1－12（n ＋2） C.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ＋1＋12（n ＋2） D.12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋1＋n 2（n ＋2） 5．数列{c n }的通项为c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1），则其前n 项和S n ＝________．6．数列{2n·3n }的前n 项和T n ＝________．7．已知数列{a n }的前n 项和为S n n H n 来表示．对于a n ＝3n ，其“和谐和”H n ＝( )A.3n ＋2－6n －94B.3n ＋1－6n －94C.3n ＋1＋6n －94D.3n ＋6n －948．设两数列{a n }和{b n }，a n ＝⎝⎛⎭⎫－13n －1，b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1），则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为( )A.1－（4n －1）（－3）n 16B.1＋3n （4n ＋1）16C.1－3n （4n ＋1）16D.1－（4n ＋1）（－3）n169．已知数列{a n }，a n ＋1＝a n ＋2，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为1837，则n ＝________． 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝5，S 9＝99，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫4a 2n －1的前n 项和T n ＝________．11．已知数列{a n }是首项为1，公差为20的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n ·b n }的前n 项和为________．12．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3 000元，以后逐年递增3 000元，则这辆汽车报废的最佳年限(即使用多少年的年平均费用最少)是________．13．等差数列{a n }中，a 3＝3，a 1＋a 4＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n －1＋2a n a n －1＝0(n ∈N *，n>1)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <12.15．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝2，S n 为其前n 项和，若5S 1，S 3，3S 2成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和T n .若对 n ∈N *，T n ≤k(n ＋4)恒成立，求实数k 的取值范围．专题限时集训(十)1．B [解析] S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 3＋a 7）2＝18.2．C [解析] 因为b n ＝(12)n ，nb n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋424＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①2T n ＝1＋22＋322＋423＋…＋n －12n －2＋n2n －1，②②－①得T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n ，即T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n .故选C. 3．A [解析] R n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ，R n ＝1×⎝⎛⎭⎫131＋3×⎝⎛⎭⎫132＋5×⎝⎛⎭⎫133＋…＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ，① 13R n＝1×⎝⎛⎭⎫132＋3×⎝⎛⎭⎫133＋5×⎝⎛⎭⎫134＋…＋(2n －3)×⎝⎛⎭⎫13n ＋(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，②①式减②式得23R n ＝13＋2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋⎝⎛⎭⎫134＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，则23R n ＝13＋2×⎝⎛⎭⎫132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13－(2n －1)×⎝⎛⎫13n ＋1＝23－2（n ＋1）3×⎝⎛⎭⎫13n ，故R n ＝1－n ＋13n ，故选A.4．D [解析] ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n(n ＋2)， ∴1S n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝12(11－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2)＝12(11＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝12[n n ＋1＋n 2（n ＋2）]．故选D. 5.2n ＋1－22n ＋1－1 [解析] c n ＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， 则S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(12－1－122－1)＋(122－1－123－1)＋…＋(12n －1－12n ＋1－1)＝1－12n ＋1－1＝2n ＋1－22n ＋1－1.6.⎝⎛⎭⎫n －12·3n ＋1＋32[解析] T n ＝2·31＋4·32＋6·33＋…＋2n·3n ，① 3T n ＝2·32＋4·33＋6·34＋…＋2n·3n ＋1，②①－②得－2T n ＝2·31＋2·32＋2·33＋…＋2·3n －2n·3n ＋1，则T n ＝⎝⎛⎭⎫n －12.3n ＋1＋32. 7．A [解析] S n ＝32(3n －1)，H n ＝32(31＋32＋ (3)－1×n)＝3n ＋2－6n －94.故选A.8．D [解析] b n ＝n ＋11×2＋n ＋12×3＋…＋n ＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(n ＋1)[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]＝n.记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项的和为S n ，则S n ＝1＋2×(－3)＋3×(－3)2＋…＋n ×(－3)n －1，－3S n ＝－3＋2×(－3)2＋3×(－3)3＋…＋n ×(－3)n ， 两式相减，得4S n ＝1＋(－3)＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ×(－3)n＝1－（－3）n4－n ×(－3)n ，故S n ＝1－（4n ＋1）（－3）n16.9．18 [解析] 因为a n ＋1＝a n ＋2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1.又因为1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，所以S n ＝12(1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝1837，解得n ＝18. 10.n n ＋1[解析] 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. ∵a 2＝5，S 9＝99，∴a 1＋d ＝5，9（2a 1＋8d ）2＝99，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝2n ＋1.设b n ＝4a 2n －1(n ∈N ＋)．∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n －1＝4n(n ＋1)，∴b n ＝44n （n ＋1）＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.11.（20n －29）·3n ＋292 [解析] a n ＝1＋20(n －1)＝20n －19，b n ＝3n －1，令S n ＝1×1＋21×3＋41×32＋…＋(20n －19)·3n －1，①则3S n ＝1×3＋21×32＋…＋(20n －39)·3n －1＋(20n －19)·3n ，② ①－②得，－2S n ＝1＋20×(3＋32＋…＋3n －1)－(20n －19)·3n＝1＋20×3（1－3n －1）1－3－(20n－19)·3n ＝(29－20n)·3n －29，所以S n ＝（20n －29）·3n ＋292.12．10 [解析] 设最佳使用年限为x 年，年平均费用为y 万元，则y ＝15＋1.5x ＋x （x ＋1）2×0.3x ＝15x＋0.15x ＋1.65≥4.65，此时x ＝10.13．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋（a 1＋3d ）＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·1＝n.(2)因为a n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋1，b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 14．证明：(1)已知a n －a n －1＋2a n a n －1＝0，两边同除以a n a n －1得1a n －1a n －1＝2.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，于是1a n ＝2n －1，a n ＝12n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1），则b 1＋b 2＋…＋b n ＝11×3＋13×5＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)<12. 15．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，∵5S 1，S 3，3S 2成等差数列，∴2S 3＝5S 1＋3S 2，即2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)＝5a 1＋3(a 1＋a 1q)， 化简得2q 2－q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－32.因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝－32不合题意，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)由b n ＝log 2a n 得b n ＝log 22n ＝n ，则c n ＝1b n b n －1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，T n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.∵n n ＋1≤k(n ＋4)， ∴k ≥n （n ＋1）（n ＋4）＝n n 2＋5n ＋4＝1n ＋4n＋5.∵n ＋4n ＋5≥2 n·4n ＋5＝9，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立，∴1n ＋4n＋5≤19，因此k ≥19，故实数k 的取值范围为⎣⎡⎭⎫19，＋∞.。
2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题一 第二讲
第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面:（1）“以形助数"，把某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,揭示数学问题的本质;（2）“以数定形",把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;（3）以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念，如复数、三角函数等;(4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式（x －2）2＋（y－1）2＝4，表示坐标平面内以（2，1)为圆心，以2为半径的圆．1． (2013·重庆）已知圆C1：（x－2)2＋(y－3)2＝1,圆C2:(x－3)2＋(y －4)2＝9,M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM｜＋｜PN|的最小值为（）A．5错误!－4 B.错误!－1C．6－2错误!D。
错误!答案A解析设P(x,0)，设C1（2,3）关于x轴的对称点为C1′（2，－3),那么|PC1｜＋｜PC2｜＝｜PC1′｜＋|PC2｜≥｜C1′C2｜＝错误!＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，｜PN|＝｜PC2|－3，∴|PM|＋｜PN｜＝｜PC1|＋|PC2｜－4≥5错误!－4。
2．（2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2 C.错误! D.错误!答案C解析如图，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，则错误!＝a －c，错误!＝b－c。
2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第16讲 概 率含解析
专题限时集训(十六）［第16讲 概 率］(时间：45分钟）1m ，n ，则复数(m ＋ni ）2是纯虚数的概率是（ )A.13B 。
错误! C.错误! D 。
错误! 2．任意画一个正方形，再将这个正方体各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形,如图X16－1所示．若向图形中随机投一点,则所投点落在第四个正方形的概率是（ ）A 。
错误! B.错误! C 。
错误! D.错误!X16－1X16－23．如图X16－2所示，把一个单位圆八等分，某人向圆内投镖,则他投中阴影区域的概率为( )A.错误!B.错误!C.错误! D 。
错误!4．如图X16－3所示，矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，由此我们可估计出阴影部分的面积约为( )A。
错误!B。
错误! C.错误!D。
错误!5．若实数a,b满足a2＋b2≤1，则关于x的方程x2－2x＋a＋b＝0无实数根的概率为（)A。
错误!B。
错误!C.错误!D.错误!6．在［－2，3]上随机取一个数x，则(x＋1）(x－3）≤0的概率为( )A。
错误!B。
错误! C.错误! D.错误!7．在区域错误!内任取一点x2＋y2＝1内的概率为( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D.错误!8．将一个质点随机投放在关于x，y的不等式组错误!所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是（)A.错误!B.错误!C．1－错误!D．1－错误!9．从1,3,5,7这四个数中随机地取出两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为________．10．设a,b随机取自集合{1，2,3}，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1有公共点的概率是________．11．6名外语翻译者中有4人会英语，另外2人会俄语．现从中抽出2人，则抽到英语,俄语翻译者各1人的概率等于________．12．从边长为1的正方形的中心和四个顶点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离是错误!的概率为________．13．已知f（x）＝错误!，在区间[2，3］上任取一点x0，使得f′(x0）〉0的概率为________．14．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，若记向量a＝(m，n)与向量b＝（1，－2）的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．15．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三个小球．现从这个盒子中，有放回地先后抽得两个小球的标号分别为x，y，设O为坐标原点，M的坐标为(x－2,x－y)．（1)求|错误!｜2的所有取值之和；（2)求事件“|错误!｜2取得最大值”的概率．16．公安部交管局修改后的酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车"和“醉酒驾车”,其判断标准是驾驶人员每100毫升血液中的酒精含量X毫克，当20≤X<80时，认定为酒后驾车；当X≥80时,认定为醉酒驾车，重庆市公安局交通管理部门在对G42高速路我市路段的一次随机拦查行动中，依法检测了200辆机动车驾驶员的每100毫升血液中的酒精含量，酒精含量X（单位：毫克）的统计结果如下表：（1)求t的值；（2)从酒后违法驾车的司机中随机抽取2人，求这2人中含有醉酒驾车司机的概率．专题限时集训（十六）1．C ［解析] 当m＝n时，(m＋ni)2是纯虚数，所以其概率为错误!.2．C ［解析] 后一个正方形的面积是前一个的12，故第四个正方形的面积是第一个正方形面积的错误!。
2014年高考总复习方案
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智能暑期辅导班内部资料
2014年高考总复习方案
首先，关注基础知识。
高考试题无论如何选材，落脚点还是教材主干基础知识，即“题目在书外，答案在书中”。
因此，在高考的一轮复习中，要认真阅读教材，听老师的讲解，作好课堂笔记，结合复习资料，对基础知识加深理解，掌握知识的内涵和外延。
其次，建立知识体系。
同学们应在建立起本章节知识网络结构的基础上，形成跨越章节的内容之间的联系，建立学科内某些板块知识的网络结构，从不同的角度建立贯穿全部内容的规律、技巧和方法上的联系。
最后，或预？或废？凡事预则立不预则废。
古希腊哲学大师亚里士多德写道：“首先，要有一个明确可行的构想，也就是一个目标；其次，用任何可行的方式来达成目标；第三，调整所用的一切方法，以达到成功。
”只有明确而具体的目标才可衡量，而只有可衡量的目标才可能达到。
时间不由分说地把我们带到了求学路上的分水岭，快节奏的学习生活将填满我们今后一年中的每个日夜，当课桌上的书本、习题越摞越高，大大小小的考试已成为家常便饭时，高三，已悄无声息地拉开了帷幕，我们唯有向着目标扬帆起航。
2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(四) 专题四 数列含解析
专题综合训练(四）[专题四数列］(时间:60分钟分值:100分）一、选择题(每小题5分，共40分)1．等差数列{a n}中，a2＝3，a3＋a4＝9，则a1a6的值为( ）A．14 B．18C．21 D．272．设S n为等比数列｛a n｝的前n项和，2a3＋a4＝0,则错误!＝( ）A．2 B．3C．4 D．53．已知数列{a n}中，a n＝－4n＋5,等比数列｛b n｝的公比q满足q＝a n－a n－1（n≥2）且b1＝a2，则｜b1｜＋|b2｜＋…＋｜b n｜＝（）A．1－4n B．4n－1C。
错误! D.错误!4．已知数列{a n｝是等差数列,a n≠0,若2lg a2＝lg a1＋lg a4，则错误!的值是（)A。
错误!B．1或错误!C。
错误!D．1或错误!5．设等比数列｛a n}的公比为q，前n项和为S n,且a1〉0。
若S2>2a3，则q的取值范围是（)A．(－1，0）∪错误!B.错误!∪（0,1）C．（－∞，－1)∪错误!D.错误!∪(1，＋∞）6．等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝（）A．27 B．81C．243 D．7297．公差不为零的等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a4是a3与a7的等比中项，且S10＝60，则S20＝（)A．80 B．160C．320 D．6408．已知数列｛a n｝的首项为3,数列｛b n｝为等差数列，b1＝2,b3＝6，b n＝a n＋1－a n(n∈N*），则a6＝( ）A．30 B．33C．35 D．38二、填空题（每小题5分，共20分）9．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝5,S5＝15，则数列错误!的前100项和为________．10．已知数列{a n}是等比数列,且a1·a3＝4，a4＝8,则a5的值为________．11．在等差数列｛a n｝中，a1＝－2013，其前n项和为S n，若错误!－错误!＝2,则S2013的值等于________．12．已知数列1，a1,a2，9是等差数列，数列1，b1,b2，b3，9是等比数列，则错误!的值为________．三、解答题(共40分)13．（13分)已知等比数列{a n｝的各项均为正数,a2＝8，a3＋a4＝48。
2014高考二轮复习方法
2014高考倒计时100天：如何创造奇迹在高考中要取得优异成绩，在数十万名考生中要脱颖而出，靠的是实力，不是运气，而实力来自拼搏，来自勤奋，来自刻苦。
只要高考试卷还没有收上去，机会就掌握在自己的手中。
100天的时间不长也不短，但不要以自己的现状为标准，每个人都应迎着晨风想一想，今天该怎样努力，踏着星星问一问，今天有多少长进，要跟自己的潜力对话，向自己的极限挑战，用100天创造一个奇迹，用100天给自己一个惊喜，不到最后绝不轻言放弃。
一、克服不良心理，树立必胜信心良好心理是高考制胜的法宝，不良心理是高考的大敌。
我们在冲刺阶段必须想办法克服以下6种不良心理：1、骄傲自满心理。
表现在上课不认真听讲，回答问题不积极，喜欢做难题偏题，不注重基础训练。
2、消极厌学心理。
上课打不起精神，甚至不来上课，来上课也是看小说杂志，做小动作，说闲话。
3、依赖懒惰心理。
没有自己的学习计划，完全依赖老师，很少主动看课本，做练习。
4、虚荣漂浮心理。
有些同学对知识一知半解，不懂装懂，表面看似接受，实际没有掌握。
5、悲观紧张心理。
有些同学一方面总感觉智力不如其他人，考大学无望;另一方面又很想踏入大学之门，因而长时间处于一种十分紧张的状态中，表现为：上课时昏昏欲睡，加班时这本资料看看，那本资料瞧瞧，看得多，消化吸收少。
6、贪多求快心理。
对基础性的“短平快”试题不屑一顾，尽找知识点多的综合性的难题来做，只求速度和数量，不加总结提高。
除此之外，还有最致命的不良心理，就是有些同学们整天想着万一高考考不上怎么办?这样的同学也不太明智，预支了他的担忧。
只有100天了，考好考不好是100天以后的事，现在担忧有什么作用呢?作用就是浪费你现在宝贵的复习时间。
所以同学们就应该把握住现在这个很短的时间查漏补缺，而不是担心未来的事情。
冲刺阶段能不能挑战极限，很大程度上取决于一个人是否有信心。
克服不良心理的过程，其实就是树立必胜信心的过程。
如何树立必胜信心?一是学会自我微笑，挺胸抬头走路，挺直脊梁做人，助于增强信心。
2014高考数学文复习方案-二轮作业手册专题综合训练(三)-专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形
2014高考数学文复习方案-二轮作业手册专题综合训练(三)-专题三-三角函数、三角恒等变换与解三角形-(1)第九章平面解析几何第5课时直线与圆的位置关系考情分析考点新知掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．①能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定的两个圆的方程，判断两圆的位置关系.②②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.1. 已知圆O：x2＋y2＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为________________．答案：3x－4y＋10＝0或x＝2解析：∵点P(2，4)不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d＝r，∴|－2k＋4|1＋k2＝2，解得k＝34，所以y＝34(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x＝2.解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，此圆与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x ＋1)2＋(y－2)2＝4相外切，所以（2＋1）2＋（－2－2）2＝2＋r，解得r＝3.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9.1. 直线与圆的位置关系(1) 直线与圆相交，有两个公共点；(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；(3) 直线与圆相离，无公共点．2. 直线与圆的位置关系的判断方法直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，d<r直线与圆相交；d＝r直线与圆相切；d>r直线与圆相离．(2) 代数方法：由Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则Δ>0直线与圆相交；Δ＝0直线与圆相切；Δ<0直线与圆相离．3. 圆与圆的位置关系及判断方法(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2) 判断两圆位置关系的方法两圆(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 12(r 1>0)与(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)的圆心距为d ，则d>r 1＋r 2两圆外离；d ＝r 1＋r 2两圆外切；|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2两圆相交；d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 两圆内切；0≤d<|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 两圆内含(d ＝0时为同心圆).题型1 直线与圆的位置关系例1 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1) 求证：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2) 求直线被圆C 截得的弦长最小时直线l 的方程．(1) 证明：直线l 的方程整理得(x ＋y －4)＋m(2x ＋y －7)＝0，∵ m ∈R ，∴ ⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，也就是直线l 恒过定点A(3，1)．由于|AC|＝5<5(半径)，∴ 点A(3，1)在圆C 内，故直线l 与圆C 恒交于两点．(2) 解：弦长最小时，直线l ⊥AC ，而k AC ＝－12，故此时直线l 的方程为2x －y －5＝0. 变式训练已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R)．(1) 求证：不论m 取什么值，圆心在同一直线l 上；(2) 与l 平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离．(1) 证明：配方得(x －3m)2＋[y －(m －1)]2＝25.设圆心为(x ，y)，则⎩⎨⎧x ＝3m ，y ＝m －1，消去m ，得x －3y －3＝0.故不论m 取什么值，圆心在同一直线l ：x －3y －3＝0上．(2) 解：设与l 平行的直线为n ：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 的距离d ＝|3m －3（m －1）＋b|10＝|3＋b|10，由于圆的半径r ＝5，∴ 当d<r ，即－510－3<b<510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d>r ，即b<－510－3或b>510－3时，直线与圆相离．题型2 直线与圆相交的弦的问题例2 已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过A(－1，0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探索AM→·AN →是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．(1) 证明：∵ l 与m 垂直，且k m ＝－13， ∴ k l ＝3.又k AC ＝3，所以当l 与m 垂直时，l 的方程为y ＝3(x ＋1)，l 必过圆心C.(2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时， 易知x ＝－1符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.因为PQ ＝2 3，所以CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，得k ＝43，∴ 直线l ：4x －3y ＋4＝0. 从而所求的直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN ，∴ AM→·AN →＝(AC →＋CM →)·AN→＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN → . ①当l 与x 轴垂直时，易得N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1，－53，则AN →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－53.又AC →＝(1，3)，∴ AM →·AN →＝AC→·AN →＝－5；②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋1），x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －61＋3k，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k . ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－51＋3k ＋－15k 1＋3k＝－5.综上，AM→·AN →与直线l 的斜率无关，且AM→·AN →＝－5. 另解：连结CA 并延长交m 于点B ，连结CM ，CN ，由题意知AC ⊥m ，又CM ⊥l ，∴ 四点M 、C 、N 、B 都在以CN 为直径的圆上，由相交弦定理，得AM→·AN →＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.备选变式（教师专享）已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，直线l 1过定点A(1，0)．(1) 若l 1与圆相切，求l 1的方程；(2) 若l 1与圆相交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，判断AM ·AN 是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．解：(1) ①若直线l 1的斜率不存在，即直线是x ＝1，符合题意．②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y ＝k(x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l 1的距离等于半径2，即⎪⎪⎪⎪3k －4－k k 2＋1＝2，解得k ＝34. ∴所求直线方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 又直线CM 与l 1垂直， 由⎩⎨⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k （x －3），得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2. ∴ AM ·AN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 21＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6为定值． 故AM·AN 是定值，且为6.(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx －y －k ＝0.由⎩⎨⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1. 再由⎩⎨⎧y ＝kx －k ，（x －3）2＋（y －4）2＝4，得(1＋k 2)x 2－(2k 2＋8k ＋6)x ＋k 2＋8k ＋21＝0.∴x 1＋x 2＝2k 2 ＋ 8k ＋ 61 ＋ k2，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k2，4k 2＋2k 1＋k 2. 以下同解法1.(解法3)用几何法连结CA 并延长交l 2于点B ，k AC ＝2，kl 2＝－12， ∴CB ⊥l 2.如图所示，△AMC ∽△ABN ，则AM AB ＝AC AN， 可得AM·AN ＝AC·AB ＝25·35＝6，是定值．题型3 圆的切线问题例3 求半径为4，与圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0相切，且和直线y ＝0相切的圆的方程．解：由题意，设所求圆的方程为圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.圆C 与直线y ＝0相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为C 1(a ，4)或C 2(a ，－4)．又已知圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的圆心A 的坐标为(2，1)，半径为 3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.① 当C 1(a ，4)时，有(a －2)2＋(4－1)2＝72或(a －2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210.∴ 所求圆方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝42或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝42.② 当C 2(a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a ＝2±2 6.∴ 所求圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝42或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝42.备选变式（教师专享）自点A(－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，反射光线所在的直线与圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切．求：(1) 光线l 和反射光线所在的直线方程；(2) 光线自A 到切点所经过的路程．解：根据对称关系，首先求出点A 的对称点A′的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－3，其次设过A′的圆C 的切线方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋3－3.根据d ＝r ，即求出圆C 的切线的斜率为k ＝43或k ＝34， 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0.最后根据入射光与反射光关于x 轴对称，求出入射光所在直线方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.光路的距离为⎪⎪⎪⎪A′M ，可由勾股定理求得 ⎪⎪⎪⎪A′M 2＝⎪⎪⎪⎪A′C 2－⎪⎪⎪⎪CM 2＝7.【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)直线l 过点(－4，0)且与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝25交于A ，B 两点，如果AB ＝8，求直线l 的方程．学生错解：解：设直线l 的方程为y ＝k(x ＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0.审题引导：(1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？规范解答：解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即|3k－2|1＋k2＝3，解得k＝－512，(10分)此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解．1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是____________．答案：43解析：∵ 圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴ 圆C 的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y ＝kx －2上至少存在一点A(x 0，kx 0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴ 存在x 0∈R ，使得AC ≤1＋1成立，即AC min ≤2.∵ AC min 即为点C 到直线y ＝kx －2的距离|4k －2|k 2＋1， ∴ |4k －2|k 2＋1≤2，解得0≤k ≤43.∴ k 的最大值是43. 2. 已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24 解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l 的方程是y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，根据点到直线的距离公式得|k ＋2k|k 2＋1＜1，即k 2＜18，解得－24＜k ＜24. 3. 直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若MN ≥23，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：设圆心C(2，3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若MN ≥23，则d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12MN 2≤4－3＝1，即|2k|21＋k2≤1， 解得－33≤k ≤33. 4. 若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m)2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是________．答案：4解析：依题意得OO 1＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·AB 2·OO 1＝12·OA ·AO 1，因此AB ＝2·OA·AO 1OO 1＝2×5×255＝4.5. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，右焦点为F.若C 的右准线l 的方程为x ＝4，离心率e ＝22. (1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 设点P 为准线l 上一动点，且在x 轴上方．圆M 经过O 、F 、P 三点，求当圆心M 到x 轴的距离最小时圆M 的方程．解：(1) 由题意，设椭圆C 的标准方程为x 2a2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4，c a ＝22，解得a ＝22，c ＝2.从而b 2＝a 2－c 2＝4.所以所求椭圆C 的标准方程为x 28＋y 24＝1. (2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.线段OF 的垂直平分线方程为x ＝1.①因为线段FP 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，t 2，斜率为t 2， 所以FP 的垂直平分线方程为y －t 2＝－2t(x －3)，即y ＝－2t x ＋6t ＋t 2.②联立①②，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝t 2＋4t ，即圆心M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，t 2＋4t . 因为t>0，所以t 2＋4t ≥2t 2·4t＝22，当且仅当t 2＝4t，即t ＝22时，圆心M 到x 轴的距离最小，此时圆心为M(1，22)，半径为OM ＝3.故所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －22)2＝9.(解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M 过原点O ，故可设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.将点F 、P 的坐标代入得⎩⎨⎧4＋2D ＝0，16＋t 2＋4D ＋tE ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝－⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ＋8t . 所以圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－D 2，－E 2，即(1，t 2＋4t )．因为t>0，所以t 2＋4t ≥2t 2·4t＝22，当且仅当t 2＝4t，即t ＝22时，圆心M 到x 轴的距离最小，此时E ＝－4 2.故所求圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －42y ＝0.6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为r 1＝13；圆弧C 2过点A(29，0)．(1) 求圆弧C 2所在圆的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 由题意得，圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169.令x ＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C 2过点A(29，0)，设圆弧C 2所在圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧52＋122＋5D ＋12E ＋F ＝0，52＋122＋5D －12E ＋F ＝0，292＋29D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－28，E ＝0，F ＝－29.所以圆弧C 2所在圆的方程为x 2＋y 2－28x －29＝0.(2) 假设存在这样的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得(x －29)2＋y 2＝30(x 2＋y 2)，即x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169（－13≤x ≤5），解得x ＝－70(舍去)；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2－28x －29＝0（5≤x ≤29），解得x ＝0(舍去)．所以这样的点P 不存在．(3) 因为圆弧C 1、C 2所在圆的半径分别为r 1＝13，r 2＝15，因为EF>2r 1，EF>2r 2，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14，0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154. 1. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA→·PB →的最小值为________．答案：－3＋22解析：设∠APB ＝2θ，|PO→|＝x ，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|·cos2θ＝|PA →|2cos2θ＝(|PO →|2－1)·(1－2sin 2θ)＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 2＝x 2－2－1＋2x 2≥－3＋22，当且仅当x 2＝2x2，即x ＝42时取等号． 2. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是________．答案：[1－22，3]解析：y ＝3－4x －x 2变形为(x －2)2＋(y －3)2＝4(0≤x ≤4，1≤y ≤3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，只需直线y ＝x ＋b 在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y ＝x ＋b 与下半圆相切时，圆心到直线y ＝x ＋b 的距离为2，即|2－3＋b|2＝2，解得b ＝1－22或b ＝1＋22(舍去)，∴b 的取值范围为1－22≤b ≤3.3. 已知圆C 过点P(1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1) 求圆C 的方程；(2) 过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A 、B ，且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．解：(1) 设圆心C(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1， 解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2) 由题意知，直线PA 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设PA ：y －1＝k(x －1)，PB ：y －1＝－k(x －1)，由⎩⎨⎧y －1＝k （x －1），x 2＋y 2＝2得(1＋k 2)x 2＋2k(1－k)x ＋(1－k)2－2＝0.因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解，故可得x A ＝k 2－2k －11＋k 2.同理可得x B ＝k 2＋2k －11＋k 2，所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k （x B －1）－k （x A －1）x B －x A ＝2k －k （x B ＋x A ）x B －x A ＝1＝k OP ，所以，直线AB 和OP 一定平行．4. 已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1) 求证：△AOB 的面积为定值；(2) 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M 、N ，若|OM|＝|ON|，求圆C 的方程；(3) 在(2)的条件下，设P 、Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P 的坐标．解：(1) 由题设知，圆C 的方程为(x －t)2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A(2t ，0)；当x ＝0时，y＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，4t ， ∴ S ΔAOB ＝12|OA|·|OB|＝12|2t|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值．(2) ∵ |OM|＝|ON|，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴ C 、H 、O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴ t ＝2或t ＝－2，∴ 圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d>r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去.∴ 圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5(3) 点B(0，2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C|－r ＝（－6）2＋32－5＝35－5＝2 5.所以|PB|＋|PQ|的最小值25，直线B′C 的方程为y ＝12x ，则直线B′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－43，－23.1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．2. 圆的弦长的常用求法：(1) 几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12l 2＝r 2－d 2； (2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 请使用课时训练(B)第5课时(见活页)．。
2014高考数学文复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题综合训练(五) 专题五 立体几何 Word版含解析-推
14．(13 分)如图 Z5－11 所示，在多面体 ABCDE 中，AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，AB＝CD＝1，AC＝ 3，AD＝DE＝2，G 为 AD 的中点．
(1)在线段 CE 上找一点 F，使得 BF∥平面 ACD，并加以证明；
(2)求三棱锥 G－BCE 的体积．
图 Z5－10
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014高考数学理复习方案 二轮作业手册(新课标·通用版)专题限时集：第16讲 统计与统计案例含解析
专题限时集训(十六）[第16讲统计与统计案例]（时间：45分钟）1．某学生在一门功课的X16－1所示，则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为（）A．117 B．118C．118。
5 D．119.52．已知回归直线斜率的估计值为1。
23，样本点的中心为点（4，5)，则回归直线的方程为（）A。
y，^＝1.23x＋4 B.错误!＝1。
23x＋5C。
错误!＝1.23x＋0。
08 D。
错误!＝0。
08x＋1。
233．根据一组样本数据(x1，y1）,(x2，y2)，…,（x n，y n)的散点图分析两变量存在线性相关关系,求得其回归方程为错误!＝0.85x－85。
7,则在样本点（165，57)处的残差为（）A．54。
55 B．2。
45C．3。
45 D．111.554．甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表:( )A．甲B．乙C．丙D．丁5．总体由编号为01，0220的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A。
08 BC．02 D．016．某社区对该区所辖的老年人是否需要特殊照顾进行了一项分性别的抽样调查，对男性老年人和女性老年人需要特殊照顾和不需要特殊照顾得出了一个2×2的列联表，并计算得出K2的观测值k ＝4。
350，则下列结论正确的是( )A．有95％的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别有关B．有95%的把握认为该社区的老年人是否需要特殊照顾与性别无关C．该社区需要特殊照顾的老年人中有95%的是男性D．该社区每100名老年人中有5个需要特殊照顾7．一个样本容量为20的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n}，若a3＝8且前4项和S4＝28，则此样本的平均数和中位数分别是（)A．22，23 B．23，22C．23，23 D．23,248．样本（x1，x2,…，x n）的平均数为x，样本(y1,y2,…,y m)的平均数为y（x≠y)．若样本(x1，x2,…,x n，y1，y2，…，y m)的平均数z＝αx ＋（1－α）y，其中0<α〈错误!,则n，m的大小关系为（）A．n<m B．n〉m C．n＝m D．不能确定9．某地区高中分三类,A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人,则A类学校中应抽学生________人．10．某产品的广告费用x（单位:万元）与销售额y(单位:万元）的统计数据如下表：错误!错误!错误!错误!为7。
2014年高考数学(文)二轮配套教案：第一部分 专题复习篇 专题一 第四讲
第四讲转化与化归思想1．转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归思想是实现具有相互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据，如函数与不等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、实际问题与数学问题的互化等，消去法、换元法、数形结合法等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化，在复习过程中应注意相近主干知识之间的互化，注重知识的综合性．3．转化与化归思想的原则（1)熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2）简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题转化为二维平面问题,通过简单问题的解决思路和方法，获得对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的．(3）具体化原则:化归方向应由抽象到具体．（4)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面；或问题的正面较复杂时,其反面一般是简单的；设法从问题的反面去探求，使问题获得解决．1． (2012·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝错误!，S 2＝a 3，则a 2＝________。
答案 1解析 设出等差数列的公差，列方程求解．设｛a n }的公差为d ,由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12,所以d ＝错误!，故a 2＝a 1＋d ＝1。
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专题限时集训(十一)
[第11讲简单空间几何体]
(时间：45分钟)
1．一个锥体的正视图和侧视图如图
图的是()
－
X11－
2．一个几何体的三视图如图X11－3所示，则该几何体的表面积是()
A．28 B．27 C．24
图X11－3
图X11－4
3．已知某几何体的三视图如图X11－4所示，则该几何体的表面积为()
A．24 B．20＋4 2 C．28 D．24＋4 2
4．已知一个三棱锥的三视图如图X11－5所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为()
－5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．某几何体的正视图与俯视图如图X11－6所示，侧视图与正视图相同，且图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )
A.203
B.43 C ．6 D ．4
图X11－6
图X11－7
6．某四棱锥的三视图如图X11－7所示，则该四棱锥的体积是( ) A ．5 3 B ．2 3 C.5 33 D.2 33
7．某四棱锥的底面为正方形，所示，则该四棱锥的体积等于( ) A ．1 B ．2
C ．3 D.2
3
图X11－8
图X11－9
8．某师傅需用合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如图X11－9所示(单位长度：cm), 则按图中尺寸，做成的工作台用去的合板的面积为(制作过程合板的损耗和合板厚度忽略不计)()
A．40 000 cm2B．40 800 cm2
C．1600(22＋17) cm2D．41 600 cm2
9．已知四棱锥P－ABCD的三视图如图X11－10所示，则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是()
X11－10
A．2 B．3
C.13 D．3 2
10．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图X11－11所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
图X11－11
图X11－12
11．某几何体的三视图如图X11－12所示，则它的体积为________．
12．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③x，y是平面，z是直线；④x，y，z均为平面．其中使“x∥z且y∥z x∥y”为真命题的是________．
X11－13
图X11－14
13．如图X11－14________．
14．如图X11－15所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
15．如图X11－16所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，F为AB上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图X11－17所示，则四面体P－BFC的体积是________．
X11－16
X11－17
16．如图X11－8所示，在四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，PA⊥底面ABCD，其三视图如图X11－19所示，俯视图是直角梯形．
(1)求正视图的面积；
(2)求四棱锥P－ABCD
X11－18
图X11－19
专题限时集训(十一)
1．C [解析] 若俯视图为C ，则与侧视图矛盾，其他三者均有可能． 2．C
3．B [解析] 由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为2高为1的正四棱锥，
该几何体的下部是边长为2的正方体，所以该几何体的表面积为S ＝5×22＋4×1
2
×2×2＝20
＋4 2.
4．D [解析] 由题意可知，几何体是三棱锥，其放置在长方体中形状如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面都是直角三角形．
5．A [解析] 由三视图知，该几何体为一个正方体挖掉一个正四棱锥，其中正方体的棱
长为2，正四棱锥的底面为正方体的上底面，高为1，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－1
3
×
2×2×1＝20
3
.
6．C [解析] 该四棱锥的底面为一直角梯形，高为2，所以V ＝13×12×(2＋3)×3×2＝5
3
3
7．D [解析] 由三视图可知该四棱锥有一侧棱与底面垂直，底面面积为2，高为1，所以V ＝13×2×1＝23
.
8．D [解析] 此题中应抓住“主体部分全封闭．．．”和“附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙．．．．
”，即主体部分是全封闭的正方体，附属部分是由三个面围成的护墙．这种题要抓住开放和封闭，以免出现错误．工作台包括两部分：全封闭的正方体(一个)＋三面护墙．全封闭正方体的表面积：80×80×6＝38 400，三面护墙面积20×80＋20×80＝3200，因此做成的工作台用去的合板的面积为41 600，故选D.
9．D [解析] 由三视图可知该是四棱锥顶点在底面的射影是底面矩形的一个顶点，底面
边长分别为3，2，后面是直角三角形，直角边分别为3，2，所以后面的三角形的面积为1
2
×2
×3＝3.左面三角形是直角三角形，直角边长分别为2，2，三角形的面积为1
2
×2×2＝2.前面三
角形是直角三角形，直角边长分别为3，2 2，其面积为1
2
×3×2 2＝3 2.右面也是直角三
角形，直角边长为2，13，三角形的面积为1
2
×2×13＝13.所以四棱锥P －ABCD 的四个
侧面中面积最大的是前面的三角形，面积为3 2，选D.
10．29π [解析] 借助长方体画出直观图，该三棱锥的外接球即是长方体的外接球，所
以该球的半径为R ＝12 22＋32＋42＝29
2
，其表面积为29π.
11．16 [解析] 由三视图可知该几何体的底面是下底为4，上底为2，高为4的直角梯形，该几何体是高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为V ＝13×2＋42×4×4＝16.
12．①④ [解析] 本题可以利用正方体(如图)为载体进行位置关系的判定(特别是举反例时). 对于②，AB ∥面A 1B 1C 1D 1，BC ∥面A 1B 1C 1D 1，但AB 与BC 不平行；对于③，面A 1B 1C 1D 1∥AB ，面A 1B 1CD ∥AB ，但面A 1B 1C 1D 1与面A 1B 1CD 不平行；对于①x ，y ，z 均为直线，平行于同一直线的两直线平行，为真命题；对于④x ，y ，z 均为平面，平行于同一平面的两平面平行，所以选①④.
13.5
6
[解析] 由三视图可知该几何体是一个正方体去掉一角，其直观图如图所示，其中正方体的棱长为1，所以正方体的体积为1.去掉的三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝1
6
，所以该几
何体的体积为1－16＝5
6
.
14.16 [解析] 因为E 点在线段AA 1上，所以S △DED 1＝12×1×1＝1
2
，又因为F 点在线段B 1C 上，所以点F 到平面DED 1的距离为1，即h ＝1，所以VD 1－EDF ＝VF －DED 1＝1
3
·S △
DED 1·h ＝13×12×1＝1
6.
15.23 [解析] 由侧视图可得F 为AB 的中点，所以△BFC 的面积为S ＝1
2
×1×2＝1.因为PA ⊥平面ABCD ，所以四面体P －BFC 的体积为V 四面体P －BFC ＝13S △BFC ·PA ＝13×1×2＝2
3
.
16．解：(1)如图所示，过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，联结PE.根据三视图可知，E 是BC 的中点，
且BE ＝CE ＝1，AE ＝CD ＝1， 又∵△PBC 为正三角形，
∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC. ∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.
∵PA ⊥平面ABCD ，AE 平面ABCD ，∴PA ⊥AE ， ∴PA 2＝PE 2－AE 2＝2，即PA ＝2，
∴正视图的面积为S ＝1
2
×2×2＝ 2.
(2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高PA ＝2，
底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝3
2
.
∴四棱锥P －ABCD 的体积V 四棱锥P －ABCD ＝13S ·PA ＝13×32×2＝2
2
.。