第三章动量和角动量教案

第三章动量和角动量教学要求：* 掌握动量、冲量、质点动量定理，解决质点平面运动问题。

* 理解质点系动量定理、动量守恒定律及适用条件。

掌握用动量守恒定律分析问题的方法，分析简单系统平面运动。

* 理解质点的角动量、力矩、冲量矩概念，质点系角动量定理。

* 理解角动量守恒定律及适用条件,用于分析计算有关问题。

教学内容（学时：4学时）：§3–1 质点的动量定理§3-2 质点系的动量定理§3-3 动量守恒定律§3-4 角动量质点的角动量定理§3-5 角动量守恒定律§3-6 质点系的角动量定理教学重点：* 建立动量、角动量的概念；* 掌握力的冲量与动量的变化量的关系；* 理解力矩的冲量矩与角动量的变化量的关系；* 掌握动量守恒定律以及适用条件；* 理解角动量守恒定律及其适用条件。

教学难点：动量、动量定理、动量守恒定律的矢量性;建立角动量的概念;角动量、角动量定理、角动量守恒定律的矢量性。

作业：3-01), 3-03), 3-07), 3-09), 3-12)，3-15), 3-16), 3-17), 3-18), 3_19）。

-----------------------------------§3–1 质点的动量定理1. 质点的动量P = mv牛顿第二定律：dtd P F =(3-1) P F d dt =(3-2)2． 力的冲量（力对时间的累积dt F ）（1）恒力的冲量：t ∆F I =（2）变力在dt 时间内的微冲量：dt d F I =变力在t 1~t 2的一个过程中的冲量：⎰=21t t dt F I 12P P -=(3-3) 12P P I -=(3-4)式中: P 2为质点在t 2时刻的动量，P 1为质点在t 1时刻的动量。

____动量定理(积分形式)说明:合外力在一段时间内冲量等于质点在同一段时间内动量的增量。

(在一维情况下，冲量是F ~t 曲线图中冲力曲线与横轴间的面积) FF t t 1 O将(3-3)、(3-4)式投影到坐标轴上就是质点动量定理的分量形式。

例如对x 、y 、z 轴就有:⎰-==2112t t x x x x P P dt F I⎰-==2112t t y y y y P P dt F I⎰-==2112t t z z z z P P dt F I力在哪一个坐标轴方向形成冲量，动量在该方向分量就发生变化，动量分量的增量等于同方向上冲量的分量。

动量定理常用于碰撞、冲击一类问题，物体所受力叫做冲力。

冲力的量值往往很大，作用时间则往往很短(图3-2实线)（3）合力的冲量：∑∑⎰⎰∑⎰==⋅==t t i t t i t t 212121dt dt dt F F F I（4）一对力的冲量：I F F I '-='-==⎰⎰2121t t t t dt dt3．质点动量定理的微分形式(即牛顿第二定律)合外力：dtd P F = （即：质点所受的合外力等于质点动量对时间的变化率）或：P F d dt =4．质点的动量定理的积分形式合外力的冲量：121221P P P F P P -==⎰⎰d dt t t （即：在一过程中，质点受到合外力冲量等于质点动量的增量）几何上即I 、P 1、P 2构成闭合三角形：5．质点动量定理的分量形式:⎰-==2112t t x x x x P P dt F Ip 1 p 2 I⎰-==2112t t y y y y P P dt F I ⎰-==2112t t z z z z P P dt F I6．平均冲力：tt t dt12t t 21∆I F F =-=⎰ --------------------------------------------例 3.1 质量m =1.0kg 小球以初速率v 0=20.0m/s 沿水平方向抛出，求：一秒钟之后小球速度的大小和方向(不计空气阻力)。

Ip 1p 2 α解： 此题可用动量定理求解。

小球抛出时的初动量m/s 0kg 201⋅==mv P ，沿水平方向，一秒钟内小球所受重力冲量s N 8.9⋅==t mg I ∆，方向竖直向下。

根据(3-4)矢量关系可作图，则一秒钟后动量P 2的大小为kg 3.22)8.9()20(222212=+=+=I P P 速度大小为：m/s 3.222==mP v 速度方向为===1.26)208.9arctan(arctan P I α例 3.2 质量m =0.15kg 的小球以v 0=10m/s 速度射向光滑地面，入射角︒=301θ，然后沿︒=602θ的反射角方向弹出。

设碰撞时间s 01.0=t ∆，计算：小球对地面的平均冲力。

x ymOv 0 θ1 θ2v解 因为地面光滑，地面对小球冲力沿法线方向竖直向上，水平方向小球不受作用力。

设地面对小球的平均冲力为F ，碰后小球速度为v ，建立坐标如图， 根据质点的动量定理有：102sin sin 0θθmv mv I x -== cos (cos )(102θθmv mv t mg I y --=∆-=F由此得210sin sin θθv v = mg t mv F +⋅+=2210sin )sin(θ∆θθ 代入数据N1758.915.02301.01015.0=⨯+⨯⨯=F 小球对地面的平均冲力就是F 的反作用力。

本题考虑重力作用，重力N 47.18.915.0=⨯=mg ，不到F 1%，可忽略不计。

-----------------------------------------§3-2 质点系的动量定理1.概念: 质点系；外力；内力2．质点系的动量定理(微分形式)：对i 质点应用质点的动量定理：dtd i i i i P F F F =+=内外 对质点系中n 个质点求和：∑∑∑=+i i i i ii dt d P F F内外(3-5) 由于内力总是成对出现:0i i =∑内F故：dtd P F =外(3-6) 或:P F d dt =外3．质点系的动量定理(积分形式)在一个过程中1221P P P F P P -==⎰⎰∆d dt t 外(3-7)或：P P P I ∆=-=12外(3-8)-----------------------------例3.3 木板B 静止置于水平台面上，小木块A 放在B 板的一端上。

已知m A =0.25kg ，m B =0.75kg ，A与B 间的摩擦因数5.01=μ，木板B 与台面间的摩擦因数1.02=μ。

现在给小木块A 一向右的水平初速度v 0=40m/s ，问: 经过多长时间A 、B 恰好具有相同速度？(B 板足够长)解:根据质点系的动量定理有：0v m v )m m (t F A B A kr -+=-∆ 以及g )m m (F B A k r +=2μA B v 0得：21021)(μμμμ-⋅-+=v m m m v B A A 对小木块A 应用质点的动量定理0v m v m t F A A kr -='-∆ 以及g m F Ak r 1μ=' 解得：gv v t 10μ∆-= 代入有关数据得：m/s 5.2=v ，s 65.7=t ∆ --------------------------------§3-3 动量守恒定律一 动量守恒定律如果质点系所受的合外力为零，质点系的动量将保持不变，即：0=外F恒矢量==∑i v P i im (3-9) 注意：1． 动量守恒是指质点系总动量不变！恒矢量=∑i vi i m （各质点的动量是可以变化的）2．当质点系内部的作用远远大于外力（F 内>>F 外），或外力不太大而作用时间很短促，可忽略外力效果，近似应用。

3 动量守恒定律的分量形式为：若：0=x F ，则：常量=∑i ix iv m若：0=y F ，则：常量=∑i iy iv m若：0=z F ，则：常量=∑i iz iv m合外力在哪一坐标轴上分量为零，该方向上质点系总动量分量守恒。

二 碰撞过程中的动量守恒现象碰撞—强烈而短暂，内力作用强，通常外内F F >>，且作用时间短暂，因此动量守恒，碰撞可分为三类：1) 完全弹性碰撞:碰撞后二体分开，系统动量守恒，机械能守恒（表现为系统的总动能前后相等）。

2) 非完全弹性碰撞：碰撞后二体分开，系统动量守恒（机械能不守恒）。

3) 完全非弹性碰撞：碰撞后二体合一，系统动量守恒（机械能不守恒）。

---------------------------------------例3.4 质量为m 1的小球A 以速度0v 沿x轴正方向运动，与另一质量为m2的静止小球B 在水平面内碰撞，碰后A沿y轴正方向运动，B 运动方向与x轴成θ角。

(1) 求: 碰撞后A的速率v1和B的速率v2；(2) 设碰撞的接触时间为t∆，求: A受到的平均冲力。

A v0v1v2 xyBθ解 (1) 以A、B两球构成系统，合外力为零，系统的动量守恒。

建立坐标如图，应用动量守恒定律的分量形式：x方向0122c os v m v m =θy 方向0sin 2211=-θv m v m联解，得：θta n 01v v =θcos 2012m v m v =(2) 以小球A 为研究对象，由质点的动量定理x 方向tv m t v m v m F x x x ∆-=∆-=010111 y 方向tv m t v m v m F yy y ∆-=∆-=110111 所以：F 的大小为：2120121120122)()()()(v v tm tv m t v m F F F y x +∆=∆+∆-=+= F与x 轴的夹角为：)arctan(arctan 01v v F F x y-==α 三 动量守恒定律与牛顿运动定律牛顿运动定律导出——动量定理——动量守恒定律。

动量守恒定律远比牛顿定律更广泛，更深刻揭示物质世界一般规律。

其适用范围，大到宇宙，小到微观粒子。

可得宇宙中动量总量不变的结论，动量守恒定律为自然界普遍遵从定律。

下面从动量守恒定律出发导出牛顿第二、三定律设有质点1和质点2构成一个封闭系统，两个质点不受外界作用，只有彼此间相互作用。

根据动量守恒定律，系统总动量保持不变：恒矢量=+=21P P P但两质点通过彼此间相互作用交换动量，因此：21P P ∆∆-=即：质点1获得：1011P P P -=∆质点2失去：)(2022P P P --=-∆有：tT ∆∆∆∆21P P -= 令0→t ∆，则有：dtd dt d 21P P -=(3-10) 表明：两物体相互作用彼此施加“力”，使动量发生变化，因此定义：质点1对质点2的作用力：dtd 221P F =(3-11) 质点2对质点1的作用力：dtd 112P F =(3-11') 得：2112F F -=——牛顿第三定律 由此可知：“作用力与反作用力大小相等，方向相反”与“动量守恒”对质点系等价！考虑一质点，所受力都是外力，由(3-11)或(3-11')：dtd P F =外 再考虑到：v P m =及低速时质量m 是常量，则：a v v F m dtd m dt m d ===)(外——牛顿第二定律 注意* 从历史上看，动量守恒定律从实验研究得到，迄今，尚未发现与动量守恒定律相悖的现象。