机械波3

2k +1 u 2k +1 k = 1,2,3 x= = λ 4 f 4
波节
x sin 2 f = 0 π u
x 2 f = kπ π u
k u k x= = λ 2 f 2
k = 0,1,2,3
§13.7 多普勒效应
由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对媒质运动， 由于观察者（接收器）或波源、或二者同时相对媒质运动， 而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象， 而使观察者接收到的频率与波源发出的频率不同的现象，称 为多普勒效应。 为多普勒效应。
I = I1 + I2 + 2 I1I2 cos r2 r 1 = (2 1) 2 π
λ
]
λ
空间点振动的情况分析 当 = (2 1) 2 π
r2 r 1
Amax = A + A2 1
Imax = I1 + I2 + 2 I1I2
r2 r 1
λ
= ±2kπ
k = 0,1,2,
干涉相长
v1
v2
y = y1 + y2
注意 波的叠加原理仅适用于线性波的问题
二. 相干波与相干条件
干涉现象 当两列（或多列）相干波叠加的结果， 当两列（或多列）相干波叠加的结果，其合振幅 A 和合强 将在空间形成一种稳定的分布， 度 I 将在空间形成一种稳定的分布，即某些点上的振动始 终加强，某些点上的振动始终减弱。 终加强，某些点上的振动始终减弱。 —— 波的干涉
当 = (2 1) 2 π
λ
= ±(2k +1)π
k = 0,1,2,
Amin =| A A2 | 1
Imin = I1 + I2 2 I1I2
干涉相消
讨论
(1) 若 1 = 2
δ = r r2 = ±(2k +1) , 1
(2) 若 A = A = A 1 2
δ = r r2 = ±kλ, 1 λ
相干条件
频率相同、 频率相同、振动方向 相同、相位差恒定。 相同、相位差恒定。
相干波 满足相干条件的波 相干波源 产生相干波的波源
三. 干涉规律 S2 y02 = A cos(ωt + 2 ) S1 y01 = A cos(ωt + 1) 2 1 r π 1 +1) P y1 = A cos(ωt 2 r 1 1
三、半波反射和全波反射
1、绳的一段为“固定端”或波从波疏媒质射向波密媒质 、绳的一段为“固定端”
(n1 < n2 )
反射波和入射波反相位
δ=
λ
2
=π =
2 π
λ
δ
有半波损失
例：入射波形如图，已知 入射波形如图，
n1 < n2
求反射波形。 求反射波形。 u
确定反射波形的方法： 确定反射波形的方法： （1）确定入射波在反射点 A 的 ） 振动及位移
§13.6 驻波
两列等振幅相干波相向传播时叠加形成驻波
一. 弦线上的驻波实验
(a) A D1 (b) A D1 (c) A C1 C1 D2 C2 D2 C2 D3 C3 D4 D3
B
波腹
波节
驻波条件： L = n 驻波条件：
λ
2
B
n =1 2,3 ,
B
二. 驻波波函数
y1 = Acos 2π (νt )
靠近 远离
vo ν = (1 )ν0 u
2
k = 0,1,2,
k = 0,1,2,
干涉相长 干涉相消
Amax = 2A
Imax = 4I0
干涉相长 干涉相消
Amin = 0
Imin = 0
从能量上看，当两相干波发生干涉时， 从能量上看，当两相干波发生干涉时，在两波交叠的区 域，合成波在空间各处的强度并不等于两个分波强度之 而是发生重新分布。 和，而是发生重新分布。这种新的强度分布是时间上稳 定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。 定的、空间上强弱相间具有周期性的一种分布。
x
L=λ
λ
2
y2 = Acos 2π (νt + )
x
L=λ
L = 3λ 2
λ
y = y1 + y2 = A [cos 2 (νt ) + cos 2 (νt + )] π π λ λ x = (2Acos 2 ) cos 2 ν t = A′(x)cosω t π π
讨论
x
x
λ
(1) A′(x) = 2Acos 2 π 的特殊谐振动 ；
vs
v0
u
波源相对媒质的速度 观察者相对媒质的速度 波传播的速度 波源的频率 观察者接收到的频率 波源静止时的波长
ν0
ν
λ
λ = u ν0 = uT
一. 波源静止，观察者运动 波源静止，
ν=
u +vo
λ
u +vo = u /ν0
S
v0 观察者
λ
vo ν = (1+ )ν0 u
u
λ
u
v0
u
v0
λ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v0
x
λ
，即驻波是各质点振幅按余弦分布
当cos
2πx πx
λ
=1时
：
2π = kπ
x=k , k = 0,±1,±2, 2 x π 2π = (2k +1) λ 2
x = (2k +1) , 4
x
波腹(A 波腹 ′=
A′max)
λ
λ
当cos
2πx
λ
= 0时
：
波节(A 波节 ′=
A′min)
λ
k = 0,±1,±2,
u λ = =4m f
r1
P
r2
30m A B
右侧） π 2 π 16 （P 在B 右侧） =π δ =π ± ×30 = 左侧） λ 4 π 14 （P 在A 左侧）
2 π
I = Imax
P 在A、B 中间
(即在两侧干涉相长，不会出现静止点) 即在两侧干涉相长，不会出现静止点) 两侧干涉相长
西安交通大学理学院 王瑞敏
§13.5 波的干涉
一. 叠加原理
1. 波传播的独立性 当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开， 当几列波在传播过程中在某一区域相遇后再行分开，各波 的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、 的传播情况与未相遇一样，仍保持它们各自的频率、波长、 振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。 振动方向等特性继续沿原来的传播方向前进。 2. 叠加原理 在波相遇区域内， 在波相遇区域内，任一质 点的振动， 点的振动，为各波单独存在 时所引起的振动的合振动。 时所引起的振动的合振动。
λ
λ λ
(3) 没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间，进 没有能量的定向传播。能量只是在波节和波腹之间， 行动能和势能的转化。 行动能和势能的转化。
t =0
势能
T t= 4
动能
T t= 2
(4) 存在相位和能量传播的波称为行波。 存在相位和能量传播的波称为行波。
势能
(5) 半波损失。反射点为波节，表明入射波与反射波是反相 半波损失。反射点为波节， 的。
δ = r2 r = r + r2 2r = 30 2r 1 1 1 1
=π
2 π
λ
π δ = 14 +π r = ±(2k +1)π 1
干涉相消
r =14 ± (2k +1) 1
k = 0,1,2,7
之间距离A 处出现静止点) (在 A，B 之间距离 点为 r1 =1,3,5,…,29 m 处出现静止点)
相邻两波腹之间的距离： 相邻两波腹之间的距离：
xk+1 xk = (k +1) k = 2 2 2
相邻两波节之间的距离： 相邻两波节之间的距离：
λ
λ λ
xk+1 xk = [2(k +1) +1] (2k +1) = 4 4 2
(2) 所有波节点将媒质划分为长 的许多段， λ / 2 的许多段，每段中各 质点的振动振幅不同，但相位皆相同； 质点的振动振幅不同，但相位皆相同；而相邻段间各质 点的振动相位相反; 即驻波中不存在相位的传播。 点的振动相位相反; 即驻波中不存在相位的传播。
n1 n2
A
反射波
时刻的波形如图， 例 平面简谐波 t 时刻的波形如图，此波波速为 u ，沿x 方向传 振幅为A， 播，振幅为 ，频率为 f 。 为原点，写出波函数； 求 (1) 以D 为原点，写出波函数； (2) 以 B 为反射点，且为波节，若以 B 为 x 轴坐标原点， 为反射点，且为波节， 轴坐标原点， 写出入射波，反射波方程； 写出入射波，反射波方程； (3) 以B 为反射点求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。 为反射点求合成波，并分析波节，波腹的位置坐标。 合成波
x π 解 (1) y(x,t) = Acos[2 f (t ) +π ] u x π (2) y入(x,t) = Acos[2 f (t ) ] π u 2 x π y反(x,t) = Acos[2 f (t + ) + ] π u 2
.
u
D
B
.
x
x π (3) y(x,t) = y入 y反 2Acos 2 f ＋ )cos 2 ft ＋ ＝ （π π u 2 x ＝ 2Asin 2 f cos 2 ft π π u x x 2k +1 sin 2 f =1 π 2 f = π π 波腹 u u 2
为两相干波源， 振幅相同 相同， 相同， 例 A、B 为两相干波源，距离为 30 m ，振幅相同，ω 相同， 初相差为π 初相差为π ,u = 400 m/s, f =100 Hz 。 , 连线上因干涉而静止的各点位置。 求 A、B 连线上因干涉而静止的各点位置。 解