数列1
人教版高中数学必修第一册数列(1)
数列〔1〕教学目标：理解数列的概念、表示、分类、通项等基本概念，了解数列和函数之间的关系，了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；培养学生认真观察的习惯，培养学生从特殊到一般的归纳能力，提高观察、抽象的能力.教学重点：1.理解数列概念；2.用通项公式写出数列的任意一项.教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：Ⅰ.复习回顾在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义.如果A、B都是非空的数集，那么A到B的映射f︰A→B就叫做A到B的函数，记作：y ＝f(x)，其中x∈A，y∈B.Ⅱ.讲授新课在学习第二章函数知识的基础上，今天我们一起来学习第三章数列有关知识，首先我们来看一些例子.1，2，3，4，…，50 ①1，2，22，23， (263)15，5，16，16，28 ③0，10，20，30，…，1000 ④23，…⑤请同学们观察上述例子，看它们有何共同特点？它们均是一列数，它们是有一定次序的.引出数列及有关定义.〔1〕数列：按照一定次序排成的一列数.看来上述例子就为我们所学数列.那么一些数为何将其按照一定的次序排列，它有何实际意义呢？也就是说和我们生活有何关系呢？如数列①，它就是我们班学生的学号由小到大排成的一列数.数列②，是引言问题中各个格子里的麦粒数按放置的先后排成的一列数.数列③，好像是我国体育健儿在五次奥运会中所获金牌数排成的一列数.数列④，可看作是在1 km长的路段上，从起点开始，每隔10 m种植一棵树，由近及远各棵树与起点的距离排成的一列数.数列⑤23，….诸如此类，还有很多，举不胜举，我们学习它，掌握它，也是为了使我们的生活更美好，下面我们进一步讨论，好吗？现在，就上述例子，我们来看一下数列的基本知识.比如，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项〔或首项〕，第2项，…，第n项，….那么，数列一般可表示为a1，a2，a3，…，a n，….其中数列的第n项用a n来表示. 数列还可简记作{a n}.数列{a n}的第n项a n与项数n有一定的关系吗？数列①中，每一项的序号与这一项有这样的对应关系：序号 1 2 3 (50)↓↓↓…↓项 1 2 3 (50)即数列的每一项就等于其相对应的序号.也可以用一式子：a n=n(1≤n≤n∈N*)数列②中，每一项的序号与这一项的对应关系为：序号 1 2 3 (64)↓↓↓…↓项 1 2 22 (263)↓↓↓…↓2°21 22 (263)↓↓↓…↓21－1 22－123－1…264－1即：a n＝2n－1(n为正整数，且1≤n≤64)数列④中：序号 1 2 3 (101)↓↓↓…↓项0 10 20 (1000)↓↓↓…↓10×0 10×1 10×2 …10×100↓↓↓…↓10×(1－1) 10×(2－1) 10×(3－1) …10×(101－1)∴a n＝10(n－1)(n∈N*且1≤n≤101).数列⑤中：序号 1 2 3 4 …↓↓↓↓…项 1 2 3 …↓↓↓↓…0 1 2 3 …∴a n n－1(n≥1且n∈N*)数列{a n}的第n项a n与n之间的关系都可以用这样的式子来表示吗？不是，如数列③的项与序号的关系就不可用这样的式子来表示.综上所述，如果数列{a n}的第n项a n与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即：只要依次用1，2，3，…代替公式中的n,就可以求出该数列相应的各项.下面，我们来练习找通项公式.1，12，13，14，…. ①1，0.1，0.01，0.001，…. ②－1，1，－1，1，…. ③2，2，2，2，2，2. ④ 1，3，5，7，9，….⑤得出数列①的通项公式为：a n ＝1n且n ∈N *.数列②可用通项公式：a n ＝110n －1，(n ∈N *，n ≥1)来表示. 数列③的通项公式为：a n ＝(－1)n(n ∈N *)或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1 〔n 为奇数〕1 〔n 为偶数〕数列④的通项公式为：a n ＝2(n ∈N *且1≤n ≤6) 数列⑤的通项公式为：a n ＝2n －1(n ∈N *). 数列与数集的区别和联系.在数列的定义中，要强调数列中的数是按一定次序排列的；而数集中的元素没有次序. 例如，数列4，5，6，7，8，9与数列9，8，7，6，5，4是不同的两个数列.如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列.而数集中的元素假设相同，那么为同一集合，与元素的次序无关.③与④，均有重复出现的数.数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第nn 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }〕的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象.看来，数列也可以根据其通项公式画出其对应图象，下面请同学们练习画数列①、⑤的图象.根据所求通项公式画出数列⑤、①的图象，并总结其特点：特点：它们都是一群弧立的点. ④只有6项，是有穷数列. ①、②、③、⑤都是无穷数列.［例1］根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项：(1)a n ＝n n ＋1； (2)a n ＝(－1)n ·n分析：由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.解：(1)在a n ＝n n ＋1中依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列{n n ＋1}的前5项分别为：12 ，23 ，34 ，45 ，56 .即：a 1＝12 ；a 2＝23 ；a 3＝34 ；a 4＝45 ；a 5＝56. (2)在a n ＝(－1)n ·n 中依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列{－1n ·n }的前5项分别为：－1，2，－3，4，－5.即：a 1＝－1；a 2＝2；a 3＝－3；a 4＝4；a 5＝－5.［例2］写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是以下各数：(1)1，3，5，7； (2)22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15(3)－11×2 ，12×3 ，－13×4 ，14×5.分析：认真观察各数列所给出项，寻求各项与其项数的关系，归纳其规律，抽象出其通项公式.解：(1) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项： 1＝2×1－1 3＝2×2－1 5＝2×3－1 7＝2×4－1规律：这个数列的前4项1，3，5，7都是序号的2倍减去1，所以它的一个通项公式是a n ＝2n －1；(2) 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 项分母： 2＝1＋1 3＝2＋1 4＝3＋1 5＝4＋1↓ ↓ ↓ ↓项分子： 22－1 32－1 42－1 52－1规律：这个数列的前4项22－12 ，32－13 ，42－14 ，52－15的分母都是序号加上1，分子都是分母的平方减去，所以它的一个通项公式是：a n ＝〔n ＋1〕2－1n ＋1；〔3〕 序号： 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓项：－11×2 12×3 －13×4 14×5‖ ‖ ‖ ‖ 〔－1〕1)11(11+⨯ 〔－1〕2)12(21+⨯ 〔－1〕3)13(31+⨯ 〔－1〕4)14(41+⨯规律：这个数列的前4项－11×2，12×3，－13×4，14×5的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是：a n＝(－1)n·1n〔n＋1〕.Ⅲ.课堂练习课本P32练习1，2，3，4，5，6Ⅳ.课时小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的一些项求一些简单数列的通项公式.Ⅴ.课后作业课本P32习题 1，2，3。
数列1
一、等差数列1、等差数列{}n a 中，,3,993==a a 求12a2、等差数列{}n a 中，,122,211+==+n n a a a 则101a 的值3、等差数列{}n a 中，30...,199531=++++=a a a a d ，则=++++100642...a a a a4、等差数列{}n a 中，12031581=++a a a ，则1092a a -的值是5、等差数列{}n a 中，,6,61-==n a a 公差,Z d ∈则n 的最大值是6、数列{}n a 中，),1(2,211≥+==+n a a a n n 则该数列的通项=n a7、数列{}n a 中，满足),2(,2,5,31121≥=+==+-n a a a a a n n n 则=n a8、数列{}n a 中，==+==+-n nn n a a a a a a ,211,52,211121 9.在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n+==++，则n a = A 2ln n + B 2(1)ln n n +- C 2ln n + D 1ln n n ++10.数列{}n a 满足12211,13,226n n n a a a a a n ++==--+=-（1） 设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式（2） 求n 为何值时，n a 最小11.已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为11,a b 且11115,,a b a b N *+=∈， 设()n n b c a n N *=∈，则数列{}n c 的前10项之和等于（ ）12.在数列{}n a 中，111111,222n n n a a a ++==+。
（1）设2nn n b a =，证明：数列{}n b 是等差数列。
（2）求数列{}n a 的前n 项和n s 。
13. 已知正项数列{}n a 满足112a =，且11n n n a a a +=+.(1)求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列（2）求正项数列{}n a 的通项公式；（3）求和12na a a 12n +++ .21.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=∙--n n n a a a（1）求2a ，3a ， 4a ；（2）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求出{}n a 的通项公式。
数列(一)(练习题)
数列的基础练习题一、数列的概念与简单表示法1、下列说法正确的是 （ ）A. 数列1，3，5，7可表示为{1,3,5,7}B. 数列1，0，-1，-2与数列-2，-1， 0， 1是相同的数列C. 数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的第k 项是11k + D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集N *的函数3、已知数列的通项公式为2815n a n n =−+，则3（ ） A. 不是数列{}n a 中的项 B. 只是数列{}n a 中的第2项C. 只是数列{}n a 中的第6项D. 是数列{}n a 中的第2项或第6项 5、已知数列1,3,5,7,,21,,n −则35是它的 （ ） A. 第22项 B. 第23项 C. 第24项 D. 第28项 6、已知130n n a a +−−=，则数列{}n a 是 （ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列二、等差数列题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1−n n a a 在直03=−−y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=−=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=−，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +−=−=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ）A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a 则（ ）A ．1B ．－1C ．2D ．218、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝519、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a 10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q −−+++=，则其前n 项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2−的前n 项和为 （ ）A. ()4321−n nB. ()7321−n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++−−n n n a a a a a a ，155=n S ，则=n 。
第07课时(数列(1))
1．考察下面的问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（书29页图2-1-1），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，… ① 人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，… ② 某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，一个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，… ③ “一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为321,161,81,41,21 … ④ 某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝（书29页图2-1-2），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8 … ⑤ 从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32 ⑥ 这些问题有什么共同的特点？2．数列的定义：____________________________________________________称为数列；______________________________________________叫这个数列的项．____________________叫有穷数列．__________________叫无穷数列．3．数列的一般形式一般形式为：321,,a a a …，n a ，…简记为{}n a ，其中1a 称为数列{}n a 的第一项（或称为首项），2a 称为第二项，…，n a 称为第n 项．4．数列是特殊的函数：5．数列的通项公式：数列可用图象法、列表法和通项公式来表示：一般地，_________________________________________________叫这个数列的通项公式．例题剖析已知数列的第n 项n a 记为12-n ，写出这个数列的首项，第2项和第3项．已知数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象： （1）1+=n n a n （2）nn n a 2)1(-=巩固练习1．根据数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前5项： （1）n a n31-=； （2）n a n n 2)1(-=．2．根据数列{}n a 的通项公式，写出这个数列的前6项和第10项： （1）n n a n +=2； （2）125--=n n a ．3．37是否为数列{}13+n 中的项？如果是，是第几项？4．数列{}13+n 的第50项是________________．课堂小结数列的概念、表示形式、通项公式及由通项公式写出前几项；数列与集合、函数的异同.例1 例2课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．不是数列{}n n )1(2-+中的一项的是 （ ） Ａ．0 Ｂ．5 Ｃ．24 Ｄ．992．已知数列+∈+=N n n n f 12)(，则函数)(n f 的图象是 （ ） Ａ．一条直线Ｂ．在第一象限的一条射线 Ｃ．一条直线上的任意一点Ｄ．一条直线上间隔相等的一些点 3．通项公式为n n n a )1(2-+=的数列{}n a 的第4项，第5项分别为_______，______．4．已知数列{})2(+n n ．（1）写出这个数列的前8项和第20项；（2）323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？5．写出数列{}n a 的前5项，并作出它的图象： （1）32+=n a n ； （2）3=n a ；（3）)12(31-=n n a ； （4）⎩⎨⎧-=为偶数为奇数n n n a n ,12,1．二 提高题6．数列{}n a 的通项公式232++=n n a n ，56是此数列中的项吗？若是，是第几项？7．已知数列{}n a 的通项公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧=为正偶数为正奇数n n n a n ,2,1， （1）写出这个数列的前6项，并画出图象；（2）判断7是否是该数列的项，若是，是第几项？。
数列(一)
数列（一）数学归纳法：【例1】 证明：对任意的*n N ∈，都有111111223(1)1n n n +++=-⨯⨯⨯++【例2】 设*n N ∈，证明：去掉22n n ⨯的方格表中的任何一个方格后，剩余的部分都可以用“”形状的L 型无重叠的完全覆盖.【例3】 证明：())*11111111,1)4732n N n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>∈≥ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭【例4】 设,x y 是实数，使得223344,,,x y x y x y x y ++++都是整数，证明：对任意的*n N ∈，n n x y +都是整数。
【例5】 记质数列为{}n P ，即n P 为第n 个质数。
求证：22nn P <【例6】 已知数列{}n a 满足：13a =，28a =，且当3n ≥时，有()2124352420n n n a a a n n --+=+-+，求证：22n n a n =+。
【例7】 数列{}n a 满足：对任意两个非负整数m n ≥，都有()2212m n m n m n a a a a +-+=+，且11a =，求{}n a 的通项公式。
【例8】 设n 是给定的正整数，数列012,,,,n a a a a 满足012a =，211k k k a a a n--=+，1,2,,k n = 。
证明:111n a n -<<【例9】 设()()44433311n na n n n =-+++，证明：1299950a a a +++< 。
【例10】 已知关于x 的方程()()21sin 2sin 2sin 3a x a x x -+-=的非负实数解从小到大构成一个无穷等差数列，求a 的取值范围。
由递推公式求数列通项公式的方法：如果数列的第n 项有它的前面若干项确定，则称该数列为一个递推数列，一般的，如果()11,,,n k n n n k a F a a a +++-=即n k a +是关于11,,,n n n k a a a ++- 的函数，并且初始值12,,,k a a a 是确定的，那么称{}n a 为一个k 阶递推数列，上式为该数列的k 阶递推式。
数列1
正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问：这些数有什么规律吗？
4
上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数：
1 ， 2， 2 ， 2 ， 2
2 3
63
三角形数：1，3，6，10，· · · 正方形数：1，4，9，16，· · ·
1，2，3，4……的倒数排列成的一列数：
高一（5）班每次考试的名次由小到大排成的一列数：
项
2 2，5，10，17，26, ( 37 ) , 50 , ... a n = n +1
序号 1
2
3
4
5
6
通 项 7 公 ... 式
n
问题引领4
• 你能从中得到什么启示？ 数列的项
an
是n的函数
通项公式的概念
如果数列{ an }中的第n项an与n之间的关系可以用一 个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式。
1 1 1 1， ， ， ， 2 3 4
1 ， 2， 3， 4， 35
-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
5
1，3，6，10，· · ·
2 3
1，4，9，16，· · ·
63
1 ， 2， 2 ， 2 ， 2
n
1
21
2
… …
5
69
…
12
… …
n 3(3+4n)
an
33
… 153
2.下面对数列的理解有四种： * ① ②数列的项数是无限的； ③数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤 立的点； ④数列的通项公式是唯一的．其中说法正确的 序号是（C ） A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④
第一课数列概念及通项公式1
= n2 n 4 .
2
(所 相2)乘a(方2=得法2aa11一2·,aa)3因3·=…为2a·22aan,n=a=42a=112a2ann33·2a11,22…, ·,…an·2a=nn2a11nn11
,
(所方以法ana二=n=2)1因aa2nan为11(n·a1aa)annnn1=12
352= 495=01225.
2
学例2 (2009·重庆卷)已知
a1=1,a2=4,an+2=4an+1+an,bn= （1）求b1,b2,b3的值；
an1 an
,n∈N*.
（2）设cn=bnbn+1,Sn为数列{cn}的前n项和，
求证Sn＞17n；
（3）求证：|b2n-bn|＜
1 64
·171n2
所以Sn=c1+c2+…+cn>17n.
（3）证明:当n=1时,结论|b2-b1|= 14＜1674 成立.当
n≥2时，有|bn+1-bn|=|4+
1
-4-
bn
1
|
bn 1
=| bn bn1 |≤
bnbn1
117|bn-bn-1|≤
171|b2 n-1-bn-2|
1
≤…≤ 17n|b1 2-b1|=
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
数列1
同步检测训练一、选择题1．(2008·全国Ⅰ)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6.则a 7＝( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案：A解析：∵{a n }是等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝63＝2，又∵a 1＋a 1q ＝3，∴a 1＝1，∴a 7＝a 1q 6＝26＝64.故选A.2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16答案：B解析：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，则(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )，∴(S 2n －2)2＝2×(14－S 2n )．又S 2n >0得S 2n ＝6，又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n －S n )(S 4n －S 3n )，∴(14－6)2＝(6－2)·(S 4n －14)．解得S 4n ＝30，故选B.3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案：B解析：∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ， ∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4，故选B.4．(2009·北京宣武4月)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是( )A ．[12,16]B ．[8，323] C ．[8，323) D ．[163，323] 答案：C解析：{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则q 3＝a 5a 2＝18，q ＝12，a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝a 1a 2(1－q 2n )1－q 2＝323(1－q 2n )∈[8，323)，故选C. 5．(2009·北京西城4月)若数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则数列{log 2a n }是( )A ．公差为2的等差数列B ．公差为lg2的等差数列C ．公比为2的等比数列D ．公比为lg2的等比数列答案：A解析：数列{a n }是公比为4的等比数列，且a 1＝2，则log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2a n ＋1a n＝2，数列{log 2a n }是以1为首项，公差为2的等差数列，故选A.6．(2009·河南实验中学3月)设各项都为正数的等比数列{a n }中，若第五项与第六项的积为81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值是( )A ．5B ．10C ．20D ．40答案：C解析：由题意得a 5a 6＝81，再根据等比数列的性质，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3a 1a 2…a 10＝log 3(a 5a 6)5＝20，故选C.7．(2009·河南六市一模)设各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50答案：A解析：由题意得S 10＝a 1(1－q 10)1－q ，S 30＝a 1(1－q 30)1－q，S 30S 10＝1－q 301－q 10＝1＋q 10＋q 20＝7，q 10＝2，a 11－q ＝－10，S 40＝a 1(1－q 40)1－q＝－10×(－15)＝150，故选A. 8．(2009·郑州二模)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝( ) A.53 B.35C ．－53D ．－35答案：C解析：在等比数列{a n }中，由于a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，且a 1a 4＝－98，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2a 3＝a 1＋a 4a 2a 3＋a 2＋a 3a 2a 3＝a 1＋a 4a 1a 4＋a 2＋a 3a 2a 3＝1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝－53，故选C. 二、填空题9．(2009·江苏)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案：－9解析：本题考查了等比数列的通项与基本量的求解问题，此题利用等比数列构造另一个数列，利用所构造数列的性质去研究等比数列是高考的热点问题．由已知数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则数列{a n }必有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，若公比q 为正则该数列的四项必均为正或均为负值，显然不合题意，所以公比q 必为负值，又由|q |>1知q <－1，按此要求在集合{－54，－24,18,36,81}中取四个数排成数列可得数列－24,36，－54,81或18，－24,36，－54(此数列不成等比数列，故舍去)，∵数列－24,36，－54,81的公比q ＝－32，∴6q ＝－9. 10．(2008·全国联考)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足：b 1＝1，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝________.答案：20解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，2n －1，n ≥2， b 1＝1，b 2＝ab 1＝a 1＝2，当n ≥3时，b n ＝ab n －1＝2b n －1－1，b n －1＝2(b n －1－1)，b n －1＝2n －2(b 2－1)＝2n －2，b n ＝2n －2＋1，则b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －2＋1，n ≥2，T 5＝1＋(20＋1)＋(21＋1)＋(22＋1)＋(23＋1)＝20，故填20.11．(2008·杭州学军中学)已知函数f (x )＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则该数列的通项公式为________．答案：a n ＝2n ＋1－3解析：f (x )＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则a n ＋1＝2a n ＋3，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，2为公比的等比数列，a n ＋3＝4×2n －1，a n ＝2n ＋1－3，故填a n ＝2n ＋1－3.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝13(a n －1)． (1)求a 1，a 2；(2)证明：数列{a n }是等比数列；(3)求a n 及S n .(1)解：∵a 1＝S 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12. 又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，∴a 2＝14. (2)证明：∵S n ＝13(a n －1)， ∴S n ＋1＝13(a n ＋1－1)，两式相减， 得a n ＋1＝13a n ＋1－13a n ，即a n ＋1＝－12a n ， ∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． (3)解：由(2)得a n ＝－12·(－12)n －1＝(－12)n ， S n ＝13[(－12)n －1]． 13．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值；(2)求证：{b n }是等比数列．分析：通过两个数列间的相互关系式，递推出数列{b n }的通项公式．(1)解：∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列，∴a n a n ＋1＝a 1a 2·3n －1＝2·3n ，∴a 3＝2·32a 2＝6，a 4＝2·32a 3＝9， a 5＝2·34a 4＝18，a 6＝2·35a 5＝27. (2)证明：∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列，∴a n a n ＋1＝3a n －1a n ，即a n ＋1＝3a n －1，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…与a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…都是公比为3的等比数列．∴a 2n －1＝2·3n －1，a 2n ＝3·3n －1，∴b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝5·3n －1.∴b n ＋1b n ＝5·3n5·3n －1＝3，故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列． 14．(2009·北京宣武4月)已知数列{a n }中，a 1＝t (t ∈R ，且t ≠0,1)，a 2＝t 2，且当x ＝t 时，函数f (x )＝12(a n －a n －1)x 2－(a n ＋1－a n )x (n ≥2，n ∈N *)取得极值． (1)求证：数列{a n ＋1－a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n ln|a n |(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)当t ＝－710时，数列{b n }中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由．解：(1)证明：由f ′(t )＝0，得(a n －a n －1)t ＝a n ＋1－a n (n ≥2)，又a 2－a 1＝t (t －1)，t ≠0且t ≠1，∴a 2－a 1≠0，∴a n ＋1－a n a n －a n －1＝t ， ∴数列{a n ＋1－a n }是首项为t 2－t ，公比为t 的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝t n ＋1－t n ，∴a n －a n －1＝t n －t n －1，∴a n －1－a n －2＝t n －1－t n －2，…，…a 2－a 1＝t 2－t ，上面n －1个等式相等并整理得a n ＝t n .(t ≠0且t ≠1)b n ＝a n ln|a n |＝t n ·ln|t n |＝nt n ·ln|t |，∴S n ＝(t ＋2·t 2＋3·t 3＋…＋n ·t n )ln|t |，tS n ＝[t 2＋2·t 3＋…＋(n －1)t n ＋n ·t n ＋1]ln|t |，两式相减，并整理得S n ＝[t (1－t n )(1－t )2－nt n ＋11－t]ln|t |. (3)∵t ＝－710，即－1<t <0. ∴当n 为偶数时，b n ＝nt n ln|t |<0；当n 为奇数时，b n ＝nt n ln|t |>0，∴最大项必须为奇数项．设最大项为b 2k ＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 2k ＋1≥b 2k －1，b 2k ＋1≥b 2k ＋3， 即⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)t 2k ＋1·ln|t |≥(2k －1)t 2k －1·ln|t |，(2k ＋1)t 2k ＋1·ln|t |≥(2k ＋3)t 2k ＋3·ln|t |. 整理得⎩⎪⎨⎪⎧(2k ＋1)t 2≥2k －1，2k ＋1≥(2k ＋3)t 2. 将t 2＝710代入上式，解得116≤k ≤176. ∵k ∈N *，∴k ＝2，即数列{b n }中的最大项是第5项．15．已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，点(a n ＋1，S n ＋1)在直线y ＝4x －2上，其中n ＝1,2,3….(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，且a 1＝1，求证数列{b n }是等比数列；(2)令f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋…＋b n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)并比较f ′(1)与6n 2－3n 的大小．解：(1)由已知点(a n ＋1，S n ＋1)在直线y ＝4x －2上，∴S n ＋1＝4(a n ＋1)－2.即S n ＋1＝4a n ＋2.(n ＝1,2,3，…)∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2.两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n .即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n .a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )．∵b n ＝a n ＋1－2a n ，(n ＝1,2,3，…)∴b n ＋1＝2b n .由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1.解得a 2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知b n ＝3·2n －1，∵f (x )＝b 1x ＋b 2x 2＋……＋b n x n∴f ′(x )＝b 1＋2b 2x ＋…＋nb n x n －1.从而f′(1)＝b1＋2b2＋…＋nb n＝3＋2·3·2＋3·3·22＋…＋n·3·2n－1＝3(1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1)设T n＝1＋2·2＋3·22＋…＋n·2n－1，设2T n＝2＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.两式相减，得－T n＝1＋2＋22＋23＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n.∵T n＝(n－1)·2n＋1.∴f′(1)＝3(n－1)·2n＋3.由于f′(1)－(6n2－3n)＝3[(n－1)·2n＋1－2n2＋n]＝3(n－1)[2n－(2n＋1)]．设g(n)＝f′(1)－(6n2－3n)．当n＝1时，g(1)＝0，∴f′(1)＝6n2－3n；当n＝2时，g(2)＝－3<0，∴f′(1)<6n2－3n；当n≥3时，n－1>0，又2n＝(1＋1)n＝C0n＋C1n＋…＋C n－1n＋C n n≥2n＋2>2n＋1，∴(n－1)[2n－(2n＋1)]>0，即g(n)>0，从而f′(1)>6n2－3n.。
数列之第1讲：数列的概念及简单表示法 (学生版)
第1讲数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n).当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.2.数列的分类3.数列的两种常用的表示方法(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.4.已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的.( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达.( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.( )2.(2016·保定调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( ) A.2n －1B.2n －1＋1C.2n －1D.2(n －1)3.(2016·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝( ) A.2n －1－1B.2n －1C.2n －1D.2n ＋14.(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.5.(人教A 必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…；(4)5，55，555，5 555，….【训练1】 (1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________. (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式a n ＝________. 考点二 由S n 与a n 的关系求a n【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式.【训练2】 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A.2n －1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1D.12n －1(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________. 考点三 由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，求它的一个通项公式为a n . (2)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，求a n . (3)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，求a n .【训练3】 (1)(2016·合肥一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)在数列{a n }中，a 1＝1，S n ＝n ＋23a n ，则a n ＝________. 考点四 数列的单调性及应用【例4】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .【训练4】 已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.[思想方法]1.由数列的前几项求数列通项，通常用观察法(对于交错数列一般有(－1)n 或(－1)n ＋1来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法.2.强调a n 与S n 的关系：a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式. [易错防范]1.数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a n ＝f (n )和函数y ＝f (x )的单调性是不同的.2.数列的通项公式不一定唯一.3.在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式是a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B.cos n π2C.cos n ＋12π D.cos n ＋22π2.设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )A.163B.133C.4D.03.(2016·黄冈模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝2n －3B.a n ＝2n ＋3C.a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2D.a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n ＋3，n ≥24.数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A.7B.6C.5D.45.(2015·石家庄二模)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝( ) A.8 B.6 C.4 D.2二、填空题6.在数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *，都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________.7.(2016·潍坊一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________. 8.(2015·太原二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. 三、解答题9.根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式. (1)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2； (2)a 1＝1，a n ＋1＝(n ＋1)a n ； (3)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n .10.设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( ) A.a 2 014＝－1，S 2 014＝2B.a 2 014＝－3，S 2 014＝5C.a 2 014＝－3，S 2 014＝2D.a 2 014＝－1，S 2 014＝512.(2016·贵阳监测)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015＝________.13.已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________.14.在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(n ∈N *).(1)求证：数列{a 2n }与{a 2n －1}(n ∈N *)都是等比数列；(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，令b n ＝(3－T 2n )·n ·(n ＋1)，求数列{b n }的最大项.。
高中数学第一章 1.1 数列的概念
－1nn＋1 例2 已知数列{an}的通项公式an＝ ，n∈N＋. 2n－12n＋1
(1)写出它的第10项； 解答
－110×11 11 a10＝ ＝399. 19×21
2 (2)判断 33 是不是该数列中的项. 解答
n ＋1 2 令 ＝33，化简得 8n2－33n－35＝0， 2n－12n＋1 7 解得 n＝5(n＝－8，舍去). 2 2 当 n＝5 时，a5＝－33≠33. 2 所以33不是该数列中的项.
(2)可重复性：数列中的数可以重复.
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排
列次序也有关.
2.并非所有的数列都能写出它的通项公式 .例如，π的不同近似值，依据
精确的程度可形成一个数列3,3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式.根
据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面
引申探究
对于例2中的{an}.
(1)求an＋1； 解答
－1 [n＋1＋1] an＋1＝ [2n＋1－1][2n＋1＋1]
n＋1
－1n＋1n＋2 ＝ . 2n＋12n＋3
(2)求a2n.
解答
－12n2n＋1 2n＋1 a2n＝ ＝ . 2×2n－12×2n＋1 4n－14n＋1
第一章 数列
§1.1 数列的概念
学习目标
1.理解数列及其有关概念. 2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项. 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
数列及其有关概念
思考1
数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 答案 不是.顺序不一样.
高中数学专题复习1数列定义
第三章 数列课题：数列（1）——数列的通项表示教学目标：1.理解数列的概念，数列的通项公式的概念；2.能由通项公式求项，并能判断某个数是否为数列中的项；3.能根据数列的前几项写出它的一个通项公式。
教学重、难点：理解数列的概念，数列的通项公式的概念，并会求数列的通项公式。
教学过程：一、引入：1.关于国际象棋的传说：棋盘第1格放1粒麦粒，第2格放2粒，第3格放4粒，依次类推，每格放的麦粒数都是前一格放的麦粒数的2倍，直到第64格子……从第一格开始麦粒数依次为1，2，22，32，……，6322.堆放7层的钢管，自上而下各层的钢管数排列成一列数： 4，5，6，7，8，9，10.①3．正整数1，2，3，4，……的倒数排列成一列数：1，12，13，14，……41，0.1，0.01，0.001，……排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，……5．1-，1，1-，1，……6． 3，3，3，3，……二、新课讲解：1．数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ．数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a ．2．通项公式的定义：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n（n N +∈） 说明：（1）{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； （2） 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；（3）不是每个数列都有通项公式。
§1-1.1 数列的概念
栏目 导引
第一章 数 列
数列 2，3，4，5，…的一个通项公式为( A．an＝n C．an＝n＋2 B．an＝n＋1 D．an＝2n
)
答案：B
已知数列{an}的通项公式是 an＝n2＋1，则 122 是该数列的 ( ) B．第 10 项 D．第 12 项
A．第 9 项 C．第 11 项
答案：C
栏目 导引
所以 68 不是该数列的项．
栏目 导引
多少个负数项？
解：an＝3n2－28n＝n(3n－28)， 28 令 an<0，则 0<n< ， 3 又 n∈N＋，所以 n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9. 即数列{an}中共有 9 个负数项．
栏目 导引
第一章 数 列
n
项．
栏目 导引
第一章 数 列
解：(1)选 C.由数列的概念可知 C 正确． (2)在通项公式中依次取 n＝1，2，3，4，5，得到数列{an}的前 2 2 2 5 项为：－ ，1，－ ，0， . 2 2 2
栏目 导引
第一章 数 列
用观察法求数列的通项公式 (1)用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去， 则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是________．
栏目 导引
第一章 数 列
【解】
(1)a4＝3×42－28×4＝－64，
a6＝3×62－28×6＝－60. (2)由 3n2－28n＝－49 7 解得 n＝7 或 n＝ (舍去)， 3 所以－49 是该数列的第 7 项； 34 由 3n －28n＝68 解得 n＝－2 或 n＝ ，均不合题意， 3
2
(1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第 n 项 an 与它的位置序号 n 之间的关系， 只要用序号代替公式中的 n，就可以求出数列的相应项． (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第 n 项，然后列出关于 n 的方程．若方程 解为正整数则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则 不是该数列的一项．
第一章数列
即
解得 （2）因为q＝2，a5＝48，n＝5，所以
解得 因此，这个数列的通项公式是
1.3 等比数列
例5 培育一种稻谷新品种，第1代得种子100粒，如果以后 由每粒新种又可得100粒下一代种子，到第5代可以得到新品种种 子多少粒？
解 依题意，逐代的种子数是一个等比数列，且a1＝100， q＝100，由此可得
1＋100＝101（首项与末项的和） 2＋99＝101（第2项与倒数第2项的和） 3＋98＝101（第3项与倒数第3项的和）
…… 50＋51＝101（第50项与倒数第50项的和） 于是所求的和是
1.2 等差数列
1，2，3，…，100是一个首项为1，公差为1的等差数列，它
的前100项和表示为
S100＝1＋2＋3 ＋… ＋98 ＋99 ＋100
1.2 等差数列
梯子自上而下各级宽度排成的数列： （单位：厘米） 25，28，31，34，37，40，43，46 ①
1.2 等差数列
奥运会女子举重较轻的四个级别体重组成的数列：（单位：公斤）
48，53，58，63
②
1.2 等差数列
偶数 比5小的偶数从大到小排成的数列：
4，2，0，－2，－4，…
③
常数 由无穷多个常数a组成的常数列：
a，a，a，a，a，…
④
1.2 等差数列
一、等差数列基本知识
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都 等于同一个常数，这样的数列就称为等差数列，这个常数称 为等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
如果a，A，b，成等差数列，则
A－a＝b－A
ab
即
A＝
2
数列：第1讲数列的概念及表示
数列的概念及表示1．数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 ．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做 )，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．所以，数列的一般形式可以写成 ，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{a n }．(2)通项公式：如果数列{a n }的 与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．(5)数列的表示方法有 、 、 、 . 2．数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为 、 . (2)按项的增减规律分为 、 、和 ．递增数列⇔a n ＋1 a n ；递减数列⇔a n ＋1 a n ；常数列⇔a n ＋1 a n .递增数列与递减数列统称为 ． 3．数列前n 项和S n 与a n 的关系 已知S n ，则a n ＝⎩⎨⎧≥=）.2（），1（n n4．常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________； (2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________； (3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________； (4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________； (5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n ＝____________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________； (7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________； (8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝ .注：据此，很易获得数列1，11，111，…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n－1)，29(10n －1)，…，89(10n －1)．【答案】1．(1)项 首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式(解析法) 列表法 图象法 递推公式 2．(1)有穷数列 无穷数列 (2)递增数列 递减数列摆动数列常数列 ＞ ＜ ＝ 单调数列 3．S 1 S n －S n －14．(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n (5)(－1)n (6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n －1 【基础自测】1 数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)nn （n ＋1）2n －1B ．a n ＝(－1)nn 22n －1C ．a n ＝(－1)nn 22n ＋1D ．a n ＝(－1)n n3－2n2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n .故选B . 2 下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列． 其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：易知①③正确，②④不正确．故选B .3 若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，则a 5－a 4＝( )A.110B ．－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝⎛⎭⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C . 4 数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________．5 数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝________. 解法一：由a 1a 2a 3＝22a 3＝32，得a 3＝94，由a 1a 2a 3a 4a 5＝42a 5＝52，得a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.解法二：当n ≥1时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2. 当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2. 两式相除得a n ＝⎝⎛⎭⎫nn －12，n ≥2.∴a 3＝94，a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.故填6116.【典例】类型一 数列的通项公式例一 已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项．【评析】①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等．②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等．③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解． 变式 写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)a n ＝(－1)n ·1n ；(2)a n ＝2n ＋1； (3)a n ＝13(10n －1)；(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}．符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1. 类型二 由前n 项和公式求通项公式例二 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________． (2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1，则此数列的通项公式为a n ＝______________． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n－1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n≥2）.【评析】任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）. 若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用．变式 已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n . (1)S n ＝2n 2＋3n; (2)S n ＝3n ＋1.类型三 由递推公式求通项公式例三 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＋1＝2n ·a n (n ≥1)； (2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)．解法二：a n ＋1＝2n ·a n ＝2n ·2n －1a n －1＝…＝2n ·2n －1·…·22·21a 1＝21＋2＋…＋n －1＋na 1＝2n （n ＋1）2.∴a n ＝2n （n －1）2.(2)由递推关系a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，有a n －a n －1＝1n －1－1n(n ≥2)．于是有a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n .将上述n －1个式子累加，得a n ＝2－1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足，故a n ＝2－1n(n ∈N *)．【评析】已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项．还须注意检验n ＝1时，是否适合所求．变式 写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n.解：(1)由a 1＝1，a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，得a 1＝1，a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…， a n －1－a n －2＝3n －2，a n －a n －1＝3n －1，以上等式两边分别相加得a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n －12，n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.也可直接利用递推公式，逐项代替等式右边出现的a n －1，直至a 1： 由a n ＝3n －1＋a n －1＝3n －1＋3n －2＋a n －2＝…＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋a 1＝3n －12.当n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n －12.(2)由递推关系a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2n a n ，有a n ＋1a n ＝n ＋2n ，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝n n －2，a na n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n （n ＋1）2，即当n ≥2时，a n ＝n （n ＋1）2a 1＝2n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝4也满足．所以a n ＝2n (n ＋1)． 类型四 数列通项的性质例四 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．解：因a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小． (1)证明：令a n a n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n n ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10.令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝⎛⎭⎫1011n（n ＋2）⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减． (2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．【评析】要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明．注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法．变式 设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足()na f 2＝2n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性．【名师点睛】1．已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n 或(－1)n＋1来调节．(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决．此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决．2．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），务必注意a n ＝S n －S n －1是在n ≥2的条件下，还需注意验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式． 3．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等．(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得：a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n )． (2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得：a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n )． 4．数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期．(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1， 则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1， 则a n 最小．针对训练1．数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( ) A ．1＋⎝⎛⎭⎫110nB ．－1＋⎝⎛⎭⎫110nC ．1－⎝⎛⎭⎫110nD ．1－⎝⎛⎭⎫110n ＋12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512B.133C ．4D ．5解：令n ＝3，4，即可求得a 4＝133.故选B .3．对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)，则由|a n |≥a n ，知a n ＋1＞a n ，即{a n }为递增数列，充分性成立．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2，0，1，…，则a 2＞|a 1|不成立，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)不一定成立，亦即必要性不成立．故选B .4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( ) A ．a 19>0，a 21<0 B ．a 20>0，a 21<0 C ．a 19<0，a 21>0D ．a 19<0，a 20>05．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 的值为( ) A ．2＋lg n B ．2＋(n －1)lg n C ．2＋n lg nD ．1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝lgn n －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2＝lg n ＋2.解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n .故选A . 6．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足x 1＝2，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( ) A ．9394 B ．9380 C ．9396D ．94007．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________．解：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故填15.8．根据下面的图形及相应的点数，在空格和括号中分别填上适当的图形和点数，并写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________.解：五个方向上点的个数每次多一个，因此第四项和第五项图形和点数为：由此得a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，故a n ＝5n －4，n ∈N *.故填5n －4，n ∈N *.9．根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式．(1)7，77，777，7777，…；(2)4，－52，2，－74，85，…； (3)3，5，3，5，…；(4)1，2，2，4，3，8，4，16，….解：(1)将各项改写如下79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知a n ＝79(10n －1)． (2)将各项绝对值改写如下41，52，63，74，85，… 综合考查分子、分母，以及各项符号可知a n ＝(－1)n－1n ＋3n. (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n 为奇数），5（n 为偶数）， 或 a n ＝（3＋5）＋（－1）n －1（3－5）2＝4＋(－1)n . (4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n＝⎩⎨⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）. 10．数列{a n }中，a n ＝n －n 2＋2，求数列{a n }的最大项和最小项．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，并且满足a 1＝2，na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝S n 2n ，当n ≥3时，求证：T n ＞T n ＋1. 解：(1)∵na n ＋1＝S n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)， 当n ＝1时，a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝4； 当n ≥2时，(n －1)a n ＝S n －1＋(n －1)n . ∴na n ＋1－(n －1)a n ＝S n －S n －1＋2n . ∴n (a n ＋1－a n )＝2n .∴a n ＋1＝a n ＋2(n ≥2)． 又∵a 2－a 1＝2，a 1＝2，∴a n ＋1＝a n ＋2＝a n －1＋2×2＝…＝a 1＋2n ＝2(n ＋1)．从而有a n ＝2n .(2)证明：由(1)可求得S n ＝n （2＋2n ）2＝n 2＋n . ∴T n ＝n 2＋n 2n . ∴T n －T n ＋1＝n 2＋n 2n －（n ＋1）2＋（n ＋1）2n ＋1＝2n 2＋2n －n 2－2n －1－n －12n ＋1＝n 2－n －22n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1. ∴当n ≥3时，有T n －T n ＋1＞0，即T n >T n ＋1.12 已知数列{a n }的通项a n ＝n －98n －99(n ∈N *)，求{a n }的最大项及最小项． 解：设a n ＝f (n )＝n －98n －99，则a n ＝1＋99－98n －99. 如图(方便起见，画成连续曲线进行研究)．当1≤n ≤9时，a n ＜1，且此时{a n }递减， 即a 1＞a 2＞…＞a 9；当n ≥10时，a n ＞1，并且此时{a n }仍递减， 即有a 10＞a 11＞…＞a n ＞….综上有(a n )max ＝a 10＝10－9810－99， (a n )min ＝a 9＝9－989－99.。
高考复习文科数学之数列(1)
各地解析分类汇编:数列（1）1.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若29a =-，376a a +=-，则当n S 取最小值时，n ＝A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】D【解析】375526,3a a a a +==-∴=- ， 2,92(2)21n d a n n ∴==-+-=-， 671,1,a a ∴=-=6S ∴最小. 故选D ．2 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】数列{a n }的通项公式是a n，若前n 项和为10，则项数n 为( )A ．120B ．99C ．11D ．121 【答案】A 【解析】由n a ===，所以121)10n a a a +++=+++= ，即110-=，即11=，解得1121,120n n +==.选A. 3 【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考文】已知定义在R 上的函数()()f x g x 、满足()()x f x a g x =，且'()()()'(f x g x f x g x <，25)1()1()1()1(=--+g f g f ，若有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭（n N *∈）的前n 项和等于3231，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7 【答案】B 【解析】2()'()()()'()[]'()()f x f xg x f x g x g x g x -=，因为'()()()f x g x f x g x <，所以2()'()()()'()[]'0()()f x f xg x f x g x g x g x -=<，即函数()()x f x a g x =单调递减，所以01a <<.又25)1()1()1()1(=--+g f g f ，即152a a -+=，即152a a +=，解得2a =（舍去）或12a =.所以()1()()2x f x g x =，即数列()1()()2n f n g n =为首项为112a =，公比12q =的等比数列，所以111()(1)1121()112212n nnn a q S q --==⨯=---，由1311()232n -=得11()232n =，解得5n =，选B. 4 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】在等比数列{}375,2,8,n a a a a ===则A.4±B.4C.4-D.5【答案】B【解析】因为，因为225320a a q q ==>，又253716a a a ==，所以54a =，选B. 5 【山东省师大附中2013届高三上学期期中考试数学文】首项为20-的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是 A.209d >B.52d ≤C.20592d <≤ D.20592d ≤< 【答案】C【解析】由题意知数列{}n a 满足10900a a >⎧⎨≤⎩，即20902080d d -+>⎧⎨-+≤⎩，所以20952d d ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，即20592d <≤，选C.6 【山东省实验中学2013届高三第三次诊断性测试文】已知各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比数列中项为22，则1172a a +的最小值 A.16 B.8 C. 22 D.4 【答案】B【解析】由题意知224149a a a ==，即9a =。
数列1
（1）证明 {an } 是等比数列，并求其通项公式；（2）若
S5
31 32
，求 ．
8.【2015 高考新课标 1，理 17】 Sn 为数列an 的前 n 项和，已知 an 0 ， an2 2an 4Sn 3 .
（1）求an 的通项公式；（2）设 bn
1 an an 1
，求数列bn 的前
n
项和．
17
12 分
2013 7,12
14
15 分
2012 5
16
10 分
2011
17
17
10 分
（1） （2）
合计 30 分
16 分 21 分 12 分 79 分
三、考点分析
第一方面：数列的基本运算
1.【2015 高考新课标 2 理科】等比数列｛an｝满足 a1=3， a1 a3 a5 =21，则 a3 a5 a7 ( )
为
．
4.【2015 高考新课标 2，理 16】设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， an1 SnSn1 ，则 Sn
________．
5．设公差为－2 的等差数列{an}，如果 a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么 a3＋a6＋a9＋…＋a99 等于( )
A．－182
6.答案：Sm＝92m＋1＋1－9m.(考查等差数列的基本量运算，等比数列求和)
80
8
7.解析
：（1）由题意得 a1 S1 1 a1 ，故
1
，
a1
1
1
， a1 0 .
由 Sn 1 an ， Sn1 1 an1 ，得 an1 an1 an ，即 an1 1 an .
由 a1
A．9
等差数列1
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称 。 这是数学中的常用思想方法之一。
练一练
在等差数列{an}中，
(1) 已知a4=10, a7=19,求a1与d. (2) 已知a3=9, a9=3,求d与a12. 解： (1)由题意知， a4=10＝a1+3d 解得: a1=1 a7=19＝a1+6d 即等差数列的首项为1,公差为3 (2)由题意知， a3=9＝a1+2d a9=3＝a1+8d d=3
四 个 实 例 从第二项起，后一项与前一项的差是5。
我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，5， 10 ，15 ，20 ，… ① 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比 从第二项起，后一项与 赛项目。该项目共设置了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 5。 （单位：kg）： 48 ，53，58，63. 前一项的差是 ② 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清 库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为 18m，自然放水每天 从第二项起，后一项与 水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工 前一项的差是-2.5。 作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）： 18，15.5，13， 10.5，8，5.5. ③
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d
例题 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项； （2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项? 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。 分析（1）由给出的等 解：(1)由题意得： 差数列前三项，先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20 到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d=-3n+11 写出通项公式，就可 以求出第20项a20. ∴a20=11-3×20=-49
高中数学第1章数列111数列的概念课件北师大版必修5
3．是否所有的数列都有通项公式？若有，通项公式是否唯 一？
答：①不是，如π的不足近似值组成的数列 1，1.4，1.41， 1.414，……就没有通项公式．
②若一个数列有通项公式，也不一定唯一，如数列：－1，1， －1，1，……的通项公式可以写成 an＝(－1)n，也可以写成 an＝(－ 1)n＋2，也可以写成 an＝－ 1（1n为（偶n为数奇）.数），
(5)将数列各项写为93，939，9399，….
第17页
【解析】 所给五个数列的通项公式分别为 (1)an＝2n2－n 1； (2)an＝n22； (3)an＝1＋（2－1）n； (4)an＝－ 3n 1n（（nn＝＝22kk－）1，）其，中k∈N*
第18页
由于 1＝2－1，3＝2＋1，所以数列的通项公式可合写成 an ＝(－1)n·2＋（n－1）n；
第24页
【解析】 (1)an＝n(n＋1)＝600＝24×25，所以 n＝24. (2)①a4＝3×42－28×4＝－64， a6＝3×62－28×6＝－60. ②由 3n2－28n＝－49，解得 n＝7 或 n＝37(舍)．所以－49 是 该数列的第 7 项；由 3n2－28n＝68 解得 n＝－2 或 n＝334，均不 合题意，所以 68 不是该数列的项．
B．9
C．6
D．20
答案 C
第32页
3．数列 2， 5，2 2， 11，…，则 2 5是该数列的( )
A．第 6 项
B．第 7 项
C．第 10 项
D．第 11 项
答案 B
第33页
4．数列{n2＋n}中的项不能是( )
A．56
B．72
C．60
D．132
答案 C
第34页
数列的概念(1)
第三章“数列”教材分析本章是数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数)，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力本章教学约需17课时，具体分配如下：3.1 数列约2课时3.2 等差数列约2课时3.3 等差数列前n项和约2课时3.4 等比数列约2课时3.5 等比数列前n项和约2课时研究性课题：分期付款中的有关计算约3课时小结与复习约4课时一、内容与要求本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：“从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值”这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是“递推”在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)n 项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握二、本章的特点(一)在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的“前言”里用了一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子它用一个涉及求等比数列的前n项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用例如在讲等差数列前n项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：1+2+3+...+100 = ?，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第k项与倒数第k项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问a=pn十q，其中p、q是题的启发成分如3.3 例4：“已知数列的通项公式为n常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么?”又如:“如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？”这样就增加了题目的研究性在讲有些例题时，加了一小段“分析”，通过不多的几句话点明解题的思路如对于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差数列定义，要判定 {n a }是不是等差数列，只要看 n n a a -+1是不是一个与n 无关的常数就行了”话虽不多，但突出了 “从定义出发”这种最基本的证明方法(二)加强了知识的应用除了上面提到的“研究性课题”多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题如在“阅读材料”里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等(三)呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了“简易逻辑”，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章“函数”里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强(四)注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如“复习参考题B 组第2题”便是一个典型例子方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件三、教学中应注意的几个问题(一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考” 的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担事实上，学习是一个不断深化的过程作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.(二)有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力(三)适当加强本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面1．数列概念与函数概念的联系相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n 个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围应函数的一系列函数值基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n ，就可以通过递推公式确定相应的f(n)一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式 2．等差数列与一次函数、二次函数的联系 从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a n 是关于项数n 的一次函数式于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列 此外，首项为1a 、公差为d 的等差数列前n 项和的公式可以写为： d n n na S n 2)1(1-+= 即当0≠d 时，n S 是n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n 项和的问题如可以根据二次函数的图象了解n S 的增减变化、极值等情况3．等比数列与指数型函数的联系 由于首项为1a 、公比为q 的等比数列的通项公式可以写成qq a S n n --=1)1(1 )1(≠q 它与指数函数y=x a 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列(四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n 项和的公式、两个数的等差(等比)中项具体问题里成等差(等比)数列的三个数的设法等因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列教学中应强调，等差数列的基本性质是“等差”，等比数列的基本性质是“等比”，这是我们研究有关两类数列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比)数列和解决其他问题的一种基本方法的“等差”(“等比”)，是对任意相邻两项来说的上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项“等距离”的两项之和(之积)等于该项的2倍(平方).利用上述性质，常使一些问题变得简便对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在(五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力 综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过(六)在符号使用上与国家标准一致为便于与国际交流，关于量和单位的新国家标准中规定自然数集N ＝{0， l ，2．3，……}，即自然数从O 开始这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1，2，3，…}为正整数集.。
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数列的求和(1) 已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ ） A 0B 3-C3D23(2) 已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且S 4=3，S 8=7，则S 12的值是 ( )A 8B 11C 12D 15(3) 数列1,(1+2),(1+2+22),…,( 1+2+22+…+2n-1+…)的前n 项和是 ( )A 2nB 2n -2C 2n+1- n -2D n·2n(4) 从集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任选三个不同的数，如果这三个数经过适当的排列成等差数列，则这样的等差数列一共有 ( )A 20个B 40个C 10个D 120个 (5) limn →∞2123nn ++++ ＝( )A 2B 4 C21D 0 (6) 如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 ( )A 5481a a a a >B 5481a a a a <C 1845a a a a +>+D 5481a a a a = (7)已知等差数列｛a n ｝与｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与T n , 若1223+-=n n T S n n , 则lim ∞→n b n b a 的值是( )A 32B 26C 23D 49 (8)lim ∞→n nn nn n n C C C C 22212210++++++++ 的值是( )A51 B 41 C 21 D 31 (9) 已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则)111(12312lim nn n a a a a a a -++-+-+∞→ =( )A 2B 23C 1D 21(10) 已知数列{}n x 满足122x x =,()1212n n n x x x --=+,3,4,n =….若lim 2n n x →∞=,则( )Ａ32Ｂ３ Ｃ４ Ｄ５二.填空题(11) 在等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，a 5=3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n = . (12) 在等差数列｛a n ｝中，前n 项和为S n ，若S 19=31，S 31=19，则S 50的值是______ (13)在等比数列｛a n ｝中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_______(14)若a>0,且a ≠1, 则lim n →∞nna a +-123的值是 .三.解答题(15) 设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11为偶数21为奇数4n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩,记2114n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·． （I ）求a 2，a 3；（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； （III ）求123lim()n n b b b b →∞++++(16) 数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式； （II ）2462n a a a a ++++ 的值.(17) 已知{n a }是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列. （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）设{n b }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由..(18) 已知定义在R 上的函数)(x f 和数列}{n a 满足下列条件：1211),...,4,3,2)((,a a n a f a a a n n ≠===-，)...,4,3,2)(()()(11=-=---n a a k a f a f n n n n ，其中a 为常数，k 为非零常数.（Ⅰ）令n n n a a b -=+1*)(N n ∈，证明数列}{n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）当1||<k 时，求n n a ∞→lim .参考答案一选择题: 1.C[解析]：∵｛a n ｝等差数列，∴2(S 8 －S 4)= S 4＋(S 12－S 8)，且S 4=3，S 8=7，则S 12=122.B[解析]：已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则,0,3,3432==-=a a a 有规律的重复了，故20a =3-。
3.C[解析]：∵( 1+2+22+…+2n-1)=2n －1∴数列1,(1+2),(1+2+22),…,( 1+2+22+…+2n-1+…)的前n 项和为： （2－1）+(22－1)+…+(2n －1)= 2n+1- n -24.B[解析]：当公差d 为正时，若d=1，则这样的等差数列有8个若d=2，则这样的等差数列有6个若d=3，则这样的等差数列有4个若d=4，则这样的等差数列有2个共有20个 当公差d 为负时，也有20个。
5.C[解析]：2123n n ++++ =22)1(n n n +=222121n nn + 6. B[解析]：因为128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠ 故2121115412111817)4)(3(,7)7(dd a a d a d a a a d a a d a a a a ++=++=+=+=故5481a a a a <7.C[解析]：因为等差数列｛a n ｝与｛b n ｝的前n 项和分别为S n 与T n ,则nn n n n n n n b a b n a n b b n a a n T S =--=+-+-=--2)2)(12(2)2)(12(2))(12(2))(12(121121 若1223+-=n n T S n n , 则lim ∞→n b n b a =lim ∞→n 1223+-n n =23 8.C[解析]：nn nn nn n n n C C C C )21(21122222112210-=-=+++++++++ 9.C[解析]：因为数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，∴故设log 2(a n+1－1)－log 2(a n －1)=d 又a 1＝3，a 2＝5，故d=1∴2111=--+n n a a ,故{a n －1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n －1=2n ，∴a n =2n ＋1，∴a n+1－a n =2n)111(12312n n a a a a a a -++-+-+ =n n 2112121212-=+++则)111(12312limnn n a a a a a a -++-+-+∞→ =110.B[解析]：因为数列{}n x 满足122x x =,()1212n n n x x x --=+,3,4,n =….则12113)2121()2(21x x x x +=+=134)2121(x x +=，1345)212121(x x ++=，1356)212121(x x ++= 13567)21212121(x x +++=……故∞→n lim 113241121x x x n =-= 又lim 2n n x →∞=，故31=x二填空题:11.7或8[解析]：在等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，∵a 5=3a 7，∴a 1＋4d= 3(a 1＋6d)∴a 1=d 7-∴S n =n (d 7-)＋2)1(-n n d =)15(22n n d -， ∴n =7或8时， S n 取得最大值。
12.－50[解析]：在等差数列｛a n ｝中，前n 项和为S n ，S 19=19a 1＋19×9d S 31=31a 1＋31×15d S 31－S 19=12 a 1＋12×d 249 又S 19=31，S 31=19， 故a 1＋d 249=－1 S 50=－5013.－19[解析]：由题意a n >0,且a 1·a 19 =a 2·a 18 =…=a 9·a 11=210a 又a 9·a 11=4 ，故1921a a a =192故+121log a 221log a +…+1921log a =19)(log 192121-=a a a14. -2 (a>1时); 3 (0< a<1时).[解析]：当0< a<1时，lim n →∞a n=0,此时，lim n →∞nna a +-123=3，：当 a>1时, lim n →∞n a )1(=0，此时lim n →∞n n a a +-123=lim n →∞21)1(2)1(3-=+-nnaa 三解答题 (15)解（I ）a 2＝a 1+41=a +41，a 3=21a 2=21a +81； （II ）∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21a 4=41a +316,所以b 1=a 1－41=a －41, b 2=a 3－41=21(a －41), b 3=a 5－41=41(a －41),猜想：{b n }是公比为21的等比数列·证明如下：因为b n +1＝a 2n +1－41=21a 2n －41=21(a 2n －1－41)=21b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a －41, 公比为21的等比数列·（III ）11121(1)12lim()lim2()1141122n n n n b b b b b a →∞→∞-+++===---(16) 解（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2), ∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥；（II ）由（I ）可知242,,,n a a a 是首项为31，公比为24()3项数为n 的等比数列，∴ 2462n a a a a ++++ =22241()1343[()1]43731()3n n -⋅=-- (17)解（Ⅰ）由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,021=--∴≠q q a.211-=∴或q（Ⅱ）若.2312)1(2,12nn n n n S q n +=⋅-+==则 当.02)2)(1(,21>+-==-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S >若.49)21(2)1(2,212nn n n n S q n +-=--+=-=则 当,4)10)(1(,21---==-≥-n n S b S n n n n 时故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当(18)（Ⅰ）证明：由0121≠-=a a b ，可得0)()()(1212232≠-=-=-=a a k a f a f a a b .由数学归纳法可证 01≠-=+n n n a a b *)(N n ∈.由题设条件，当2≥n 时111-+---=n n n n n n a a a a b b 11)()(----=n n n n a a a f a f k a a a a k n n n n =--=--11)(因此，数列}{n b 是一个公比为k 的等比数列.（Ⅱ）解：由（1）知，*))((12111n n a a k b k b n n n ∈-==--当1≠k 时，)2(11)( (1)12121≥---=+++--n kka ab b b n n 当1=k 时，))(1(...12121a a n b b b n --=+++- )2(≥n .而112312121)(...)()(...a a a a a a a a b b b n n n n -=-++-+-=+++-- )2(≥n所以，当1≠k 时, kk a a a a n n ---=--11)(1121 )2(≥n .上式对1=n 也成立.所以，数列}{n a 的通项公式为*)(11))((1N n kk a a f a a n n ∈---+=-. 当1=k 时 ))(1(121a a n a a n --=- )2(≥n 。