九年级数学相似三角形--母子型
相似三角形中的“母子”型-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版)(解析版)
【答案】经过 4 秒或 1.6 秒时，△QBC 与△ABC 相似 【分析】由题意可得， AP = 2t，BP = 8 − 2t，BQ = 4t ，根据△QBC 与△ABC 相似，分情况列式计算即可．
∴AF＝FE＝ED＝DA，∴四边形 AFED 菱形．
是 （2）证明：由（1）得：△ABF≌△EBF，∴∠BAG＝∠BEF，
∵四边形 AFED 是菱形，∴AD∥FE，∴∠BEF＝∠C，∴∠BAG＝∠C， AB = BG
∵∠ABG＝∠CBA，∴△ABG∽△CBA，∴ BC AB ，即 AB2＝BG•BC． （3）解：如图，
关知识并灵活运用所学知识求解是解题的关键．
【过关检测】
一、填空题 1．如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC∽△ACB ，那么可添加的条件是 __________．
【答案】 ACD = ABC （答案不唯一，也可以增加条件： ADC = ACB 或 AC2 = AD AB ）．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得 AB=CD，AB∥CD，再证明四边形 BECD 为平行四边形得到 BD∥CE，根 据相似三角形的判定方法，由 CM∥DB 可判断△BND∽△CNM； （2）先利用 AD2=AB•AF 可证明△ADB∽△AFD，则∠1=∠F，再根据平行线的性质得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4， 加上∠NMC=∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以 MC：MD=CN：CD，然后利用 CD=AB 和比例的性质即 可得到结论． 【详解】证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， 而 BE=AB， ∴BE=CD， 而 BE∥CD， ∴四边形 BECD 为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2=AB•AF， ∴AD：AB=AF：AD，
九年级数学相似三角形--母子型
相似三角形之母子三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例:1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．（射影定理） 结论:（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA,△CDA ∽△BCA （2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中,2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC(母子） 结论:△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = 【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1。
如图，ΔABC 中，∠A=∠DBC,BC=，SΔBCD ∶SΔABC=2∶3，则CD=______。
【练】如图,D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4， ∠ACD =∠B 求AC 的长.DCBA【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E,交BC 的延长线于F ，求证:FC FB FD ⋅=2AD CBADCB【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3—1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F,交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =•HGF EDCBA【练】如图5，RtΔABC 中,∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______。
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠B ，AC=5，AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.CBAD类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G,求证:2BC CG CD =•。
相似三角形的基本模型(子母型)(原卷版)(人教版) -九年级数学下册
专题06相似三角形的基本模型（子母型）
【模型说明】
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1图2图3 1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；
【例题精讲】
（1）求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点为C ，PC 交AB 于点D ，求PD BD +的最大值，并求出此时点（3）如图2，将抛物线215:324
L y x x =--向右平移得到抛物线于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．
课后训练
4．如图，在矩形ABCD中，＝45°，则DF的长是。
20 相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)(教师版)-2024年中考数学几何模型归纳讲练
专题20 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图3 图41）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD ； 结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o ，CD ⊥AB ；结论：△ACD ∽△ABC ∽△CBD ；CA 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·BA ，CD 2＝DA ·DB .3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE ，AB=AC ； 结论：△ABD ∽△ECA ；4）共边模型条件:如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC ∠，ADB DCB ∠=∠，结论：2BD BA BC =⋅；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．【答案】（1）见解析；（【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由ACD ABC ~V V 得例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．(1)证明：CABD BA∽△△；(2)【答案】(1)见解析(2)185 BD=【分析】（1）根据三角形高的定义得出例5．（2023.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB⋅＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB ＝BQBC，∴353t t-=，解得t＝98，即98BQ CP==，∴915388BP BC CP=-=-=．在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ===，∴点P的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t -=，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ⋅=，即1581255PE =，∴PE ＝910．在△BPE中，2740BE ===，∴92795408OE OB BE =-=-=，∴点P 的坐标为99(,)810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例6．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．当CD=2，CF=2时，由CD 在Rt△DCG中，CG DG=∵∠ECN =∠DGN，∠ENC=∠DNG∴2222CN CEGN DG===，∴GN∴22( DN GN DG=+=助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键．例7．（2023·浙江·九年级期末）（1）如图1，在ABC V 中，D 为AB 上一点，2AC AD AB =⋅．求证：ACD B ∠=∠．（2）如图2，在ABCD Y 中，E 是AB 上一点，连接AC ，EC ．已知4AE =，6AC =，9CD =．求证：23AD EC =．（3）如图3，四边形ABCD 内接于O ，AC 、BD 相交于点E ．已知O 的半径为2，AE CE =，AB =，BD =ABCD 的面积．（3）解：如图3，连接OA【拓展提高】（3）如图ABC V 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在BE ，CE ，EF ，若DE ，BEC AEF ∠=∠，16BE =，7=，34CE BC =，求【答案】（1）见解析；（254；（3）75【分析】（1）据角平分线的定义及相似三角形的判定可知DBC V ∽，再根据相似三角形的性质即可解【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．课后专项训练1.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于（ ）A．116B．15C．14D．125【解答】解：∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE，4a2＝AE，∴CE AE，∴CEAE=14，∵△CEF∽△AEB，∴S1=（CE）2=1，故选：A．A．36∠=︒BCE【答案】C∵CE平分ACB∠，EG∴1212AECBECAC EH SS BC EG⋅⋅==⋅⋅△△【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．A ．1:2B ．【答案】C 【分析】证明ACD △∽△【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC ===V V 32=，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ∥8．（2022·河北邢台·校考二模）如图1，在ABC V 中，AB AC =，24BC =，5tan 12C =，点P 为BC 边上一点，则点P 与点A 的最短距离为______．如图2，连接AP ，作APQ ∠，使得APQ B ∠=∠，PQ 交AC 于Q ，则当11BP =时，AQ 的长为______．【答案】①③④【分析】根据正五边形的性质得出各角及各边之间的关系，然后由各角之间的关系及相似三角形的判定和性质，菱形的判定依次证明即可．【详解】解：①∵正五边形【答案】16【分析】根据正方形及旋转的性质可以证明【详解】解：在正方形ABCD ∵ABC ∆绕点A 逆时针旋转到11．（2021·四川南充·中考真题）如图，在ABC V 中，D 为BC 上一点，3BC BD ==，则:AD AC 的值为________．12．（2022·四川宜宾·九年级期末）如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD ＝AB ，∠DEC ＝∠B ．（1）求证：△AED ∽△ADC ；（2）若AE ＝1，EC ＝3，求AB 的长．13．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C '''V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．(1)证明：CABD BA∽△△；(2)【答案】(1)见解析(2)185 BD=【分析】（1）根据三角形高的定义得出探究发现：如图1，在ABC V（1）操作发现：将V DE ，DB ，则BDE ∠（2）进一步探究发现：512BC AC -=底腰； 拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图黄金三角形．如图2，在菱形【答案】（1）72,1x ︒-（2）证明见解析，拓展应用：【分析】（1）利用等边对等角求出,BDC BDE BC BE ∠=∠=，利用三角形内角和定理求出，∵在菱形ABCD 中，BAD ∠=∴72EDC DAC ACD ∠=∠+∠=∴EDC AEC ∠=∠，∴CE CD =∴512CE AC -=，∴251AC =-【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质．解题的关键是理解(1)如图①，若点D 是ABC V 的边AB 的中点，22AC =，4AB =，试判断点并说明理由；(2)如图②，在Rt ABC V 中，90C ∠=︒，5AB =，4AC =，若点D 是ABC V 【答案】(1)D 为ABC V 的理想点,理由见解析(2)125或94D 是ABC ∆的“理想点”，当ACD B ∠=∠时，ACD ∠ 90CDB ∴∠=︒，即CD 是BCD A ∠=∠D是ABC∆的“理想点”，又C C∠=∠，BDC ABC∴∆∆∽∴CD BCBC AC=，即334CD=(1)求证：ABC AEBV V∽；(2)当【答案】(1)证明见解析；(2)326+(3)5051【分析】（1）先证明C ABD BA ∽△△，再根据相似三角形的性质，即可证明结论；（2）延长BC 至点E ，使得AEB BAC ∠=∠，连接AE ，根据三角函数值，设到221625AB x =+，53BE x =+，8BC =，证明ABC EBA V V ∽，得出3tan 4BAC ∠=，ADAB AC = ，AG BC ⊥，∴::2:5:6BD BA BC = ，∴设BD 3BG CG a ∴==，DG BG ∴=-在Rt ABG V 中，2AG AB =-(1)如图2，在ABC V 中，2BC AB =，求证：ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC V 边BC 的中点，以BD 为直径的经过点A ．①求证：直线CA 与O e 相切；②若O e 的直径为26，求线段AB 的长；(3)已知ABC V 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC V 的面积．∵AD 为ABC V 的中线，∴∵2BC AB =，∴1AB =由题意可知ACD BCA △∽△，∴CAD ∠又∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，又∵OA 为O e 的半径，∴CA 为O e ②ACD BCA △∽△∵ABC V 为关于边BC 的“华益美三角∴122BD CD BC ===，BAD △∽△∵ABCV为关于边BC的“华益美三角∴AC BCCD AC=，即28AC BC CD=⨯=20．（2022·浙江台州·统考一模）已知在▱ABCD，AB＝BC＝10，∠B＝60°，E是边BC上的动点，以AE 为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．（1）如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．①求证：GF＝DF；②若GF⊥CD，求GD的长；（2）如图2，设AE＝x，AG＝y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF＝45°，①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．∵四边形AGFE是平行四边形，∵∠G＝45°，AD＝BC＝10，∴点的运动轨迹的弧，当∠ADG最小时，AG的值最小，当点E与C重合时，∠ADG＝∠DAC最小，AG的值最小，AH＝3，CH＝10﹣3，2BAC B BAD ∠∠∠=∴= ，ACD BCA ACD ∠∠=∴~ V ，设DC x =，则AD BD a ==-AC b BC a AB c === ，，ABD D ∴∠=∠，CAB ∠∴2CAB ABC ∠∠= ，ACB BCD ∠=∠ ，AC BC BC CD ∴=，b a ∴=【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．22．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB ∠=∠，BD 平分ABC ∠．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ⊥交BC 于E ，AF BD ⊥于F ．①求证：ABC EAF ∠=∠；②求BF AC的值．【答案】(1)PCDV是等边三角形，理由见解析【分析】（1）根据相似三角形的性质得出∴3336222 PE CD==⨯=∴ABPV的面积为1AB PE⨯(1)求证：2=⋅AE EF EM【答案】(1)见解析(2)AE【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到义得到MAE F∠=∠，再根据【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25．（2022·江苏苏州·统考中考真题）点D ，DE //AC ，交BC ①若1DE =，32BD =，求【答案】（1）①94BC =；②BE AD DE -是定值，定值为1；（2）cos CBD ∠【分析】（1）①证明CED CDB V V ∽，根据相似三角形的性质求解即可；②由DE AC ∥，可得AB BC AD DE =，由①同理可得CE DE =，计算AB BE AD DE-（2）根据平行线的性质、相似三角形的性质可得12S AC BC S DE BE ==，又32S S∵12BD CD x ==，∴1922BH BC x ==．∴【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求余弦，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．。
人教版九年级数学习题课件 微专题24 相似三角形的基本模型(四)——母子型与旋转型
3．如图，在△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB＝∠ABC． （1）求证：DB2＝DE·DA； （2）求证：∠DCE＝∠DAC．
类型二 旋转型 模型展示：如图，DE∥BC，将△ADE绕点A旋转一定的角度， 连接BD，CE，△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE．
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕 点C顺时针旋转得到△A'B'C，点B'在AB上，A'B'交AC于点F， 则图中与△AB'F相D 似的三角形有（不再添加其他线段） （ A．1个）
微专题24 相似三角形的 基本模型（四）——母子
型与旋转型
类型一 母子型
模型展示：如图，∠A＝∠A，∠ACD＝∠B或∠ADC＝图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，
则线B段AC的长为
（
）
A．4
第1题 C．图6
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若 AD＝1，B2D＝4，则CD的长为 ．
B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC＝ ∠EFC＝90°，在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF． （1）求证：△CAE∽△CBF；
2023年中考数学常见几何模型之相似模型中的母子型与A(X)字型
专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型． 模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。
“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形 斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA .1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:4 【答案】B【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==， ∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===， ∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++， ∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC V 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC 交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF DN 的长．∵DG⊥BC，∠ACB=90°，∠∴∠DGN=∠ECN=90°，∠当CD=2，CF=2时，由CD在Rt△DCG中，CG DG=3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB 的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠． 求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．V互为母子三角形，∴QV与ADCAGE4．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到12AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB⋅＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t −=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =−=−=． 在△BPQ中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402； ②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t −=， 解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===−=−=， 过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB ，∴PE BQ CO AB ⋅=，即1581255PE =，∴PE ＝910． 在△BPE中，2740BE ==， ∴92795408OE OB BE =−=−=，∴点P 的坐标为99(,)810， 综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．模型2. “A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，12DE BC =，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，12DE BC =所以△ADE ∽△ABC ∴21()4ADE ABC S DE S BC ==V V ∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在V ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．(1)若8AB =，求线段AD 的长．(2)若ADE V 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB=即可求出； （2）利用平行条件证明ADE EFC ∽V V ，分别求出ADE EFC V V 与、ADE ABC V V 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S、ABC S V ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S =−−Y V V V 求出． (1)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，∴ADE ABC △△∽，∴DE AD BC AB =， ∵DE 1BC 4=，∴AD 1AB 4=，∴118244AD AB ==⨯=； (2)∵四边形BFED 是平行四边形，∴∥DE BC ，EF AB ∥，DE =BF ，∴,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，∴ADE EFC ∽V V ∴2ADE EFC S DE S FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭V V ， ∵DE 1BC 4=，DE =BF ，∴43FC BC DE DE DE DE =−=−=， ∴133DE DE FC DE ==，∴221139ADE EFC S DE S FC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， ∵ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=，∴2211416ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭V V ， ∵1ADE S =△，∴9,16EFC ABC S S ==V V ，∴16916BFED ABC EFC ADE S S S S =−−=−−=Y V V V ．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC V 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD Y 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5+【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△::，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE V 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 DE BC的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE BC ∥，∴,ADG ABF AEG ACF △△△△::， ∴,==DG AG EG AG BF AF CF AF ，∴DG EG BF CF=． ∵BF CF =，∴DG EG =．(2)解：由（1）得DG EG =，∵CG DE ⊥，∴6CE CD ==．∵3AE =，∴9AC AE CE =+=．∵DE BC ∥，∴ADE ABC V :V ． ∴13DE AE BC AC ==． (3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．在ABCD Y 中，,45=∠=∠=︒BO DO ABC ADC ．∵EG BD ∥，∴由（1）得=ME GE ，∵⊥EF EG ，∴10==FM FG ，∴∠=∠EFM EFG ．∵40∠︒=EGF ，∴40EMF ∠=︒，∴50EFG ∠=︒．∵FG 平分EFC ∠，∴50∠=∠=︒EFG CFG ，∴18030∠=︒−∠−∠−∠=︒BFM EFM EFG CFG ．∴．在Rt FMN V 中，sin 305,cos30=︒==︒=MN FM FN FM∵45,∠=︒⊥MBN MN BN ，∴5==BN MN ，∴5=+=+BF BN FN【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC V 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：2DF DE =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．【答案】(1)见解析(2)FN EM =，理由见解析(3)103 【分析】（1）连接AF ，可得AF BC ⊥，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12DF AC ==122DE BC ==，即可得证；（2）证明DNF DME V V ∽，根据（1）的结论即可得FN ；（3）连接AF ，过点C 作CH AB ⊥于H ，证明AGD AHC V V ∽，可得12GD HC ==，勾股定理求得,GE AG ，根据3tan 4AG ADG GD ∠==，EMG ADG ∠=∠，可得3tan 4EG EMG MG ∠==，进而求得MG ，根据MD MG GD =+求得MD ，根据（2）的结论2DN DM =，即可求解． (1)证明：如图，连接AF ，Q 4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，122DE BC ∴==，AF BC ⊥，∴12DF AC ==∴2DF DE =，(2)FN =，理由如下，连接AF ，如图，Q 4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，1,2EF AC CD EF DC ∴==∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，DEF C ∴∠=∠， Q 12DF AC DC ==，DFC C ∴∠=∠，DEF DFC ∴∠=∠， 180180DEF DFC ∴︒−∠=︒−∠，∴DEM DFN ∠=∠，Q 将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，∴EDF ∠=PDQ ∠，FDN NDE EDM NDE ∠+∠=∠+∠Q ，FDN EDM ∴∠=∠，DNF DME ∴V V ∽，NF DF EM DE ∴==，∴FN =， (3)如图，连接AF ，过点C 作CH AB ⊥于H ，Rt AFC △中，122FC BC ==,∴4AF ==， 1122ABC S BC AF AB CH =⋅=⋅V Q，BC AF HC AB ⋅∴== Q DP AB ⊥，AGD AHC ∴V V ∽，12GD AD HC AC ∴==，12GD HC ∴== Rt GED V中，5GE ===， Rt AGD V中，5AG ==，35tan 44AG ADG GD ∴∠===，EF AD ∥Q ，EMG ADG ∴∠=∠，3tan 4EG EMG MG ∴∠==，4433515MG GE ∴==⨯=，1553MD MG GD ∴=+=+=，Q DNF DME V V ∽，DN DF DM DE ∴==，103DN ∴==． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，求角的正确，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．模型3. “X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X ”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A ，B 的连线与钉点C ，D 的连线交于点E ，则（1）AB 与CD 是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE ＝______．【答案】 是 【分析】（1）证明△ACG ≌△CFD ，推出∠CAG =∠FCD ，证明∠CEA =90°，即可得到结论；（2）利用勾股定理求得AB 的长，证明△AEC ∽△BED ，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：（1）如图：AC =CF =2，CG =DF =1，∠ACG =∠CFD =90°，∴△ACG ≌△CFD ， ∴∠CAG =∠FCD ，∵∠ACE +∠FCD =90°，∴∠ACE +∠CAG =90°，∴∠CEA =90°，∴AB 与CD 是垂直的，故答案为：是；（2）AB =AC ∥BD ，∴△AEC ∽△BED ，∴AC AE BD BE =，即23AE BE =，∴25AE BE =，∴AE =25BE【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．(1)当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；(2)若EF BF＝2，求AN ND 的值；(3)若MN ∥BE ，求AN ND 的值． 【答案】(1)见解析(2)2737(3)27 【分析】(1)根据矩形的性质，证明△BMF ≌ △ECF ，得BM ＝CE ，再利用点E 为CD 的 中点，即可证明结论； (2)利用△BMF ∽△ECF ，得12BM B EF CE F ==，从而求出BM 的长，再利用△ANM ∽△BMC ，得AN AM BM BC= ，求出AN 的长，可得答案； (3)首先利用同角的余角相等得 ∠CBF ＝ ∠CMB ，则tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，得CE BC BC BM= ，可得BM 的长，由（2）同理可得答案． (1)证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ， ∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝12CD ，∵AB ＝CD ，∴12BM CE AB ==， ∴AM BM =，∴AM ＝CE ；(2)∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴12BM B EF CE F ==， ∵CE ＝3，∴BM ＝32，∴AM ＝92，∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴AN AM BM BC =，∴92342AN =，∴7162AN =， ∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣2716＝3716，∴272716373716AN DN ==； (3)∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ， ∴CE BC BC BM =，∴344BM =，∴163BM =，∴162633AM AB BM =−=−=， 由（2）同理得，AN AM BM BC=，∴231643AN =，解得：AN ＝89， ∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣89＝289，∴8292879AN ND ==． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键． 3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE V ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．【答案】(1)等腰三角形，13(2)①OE =②见解析 【分析】（1）过点C 作CH ⊥BD 于H ，可得四边形ABHC 是矩形，即可求得AC =BH ，进而可判断△BCD 的形状，AC 、BD 都垂直于l ，可得△AOC ∽△BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．（2）①过点E 作EF AD ⊥于点H ，AC ，BD 均是直线l 的垂线段，可得//AC BD ，根据等边三角形的性质可得30BAD ∠=︒，再利用勾股定理即可求解．②连接CD ，根据//AC BD ，得60CBD ACB ∠=∠=︒，即BCD △是等边三角形，把ABD △旋转得90ECD ABD ∠=∠=︒，根据30°角所对的直角边等于斜边的一般得到13AF AO AB AD ==，则可得AOF ADB △∽△，根据三角形相似的性质即可求证结论． (1)解：过点C 作CH ⊥BD 于H ，如图所示：∵AC ⊥l ，DB ⊥l ，CH ⊥BD ，∴∠CAB =∠ABD =∠CHB =90°，∴四边形ABHC 是矩形，∴AC =BH ，又∵BD =2AC ，∴AC=BH=DH ，且CH ⊥BD ，∴BCD △的形状为等腰三角形，∵AC 、BD 都垂直于l ，∴△AOC ∽△BOD ，122AO AC AC DO DB AC ∴===，即2DO AO =， 133AO AO AD AO DO A AO O ∴===+，故答案为：等腰三角形，13． (2)①过点E 作EF AD ⊥于点H ，如图所示：∵AC ，BD 均是直线l 的垂线段，∴//AC BD ，∵ADE V 是等边三角形，且AE 与AC 重合，∴∠EAD =60°，∴60ADB EAD ∠=∠=︒，∴30BAD ∠=︒，∴在Rt ADB V 中，2AD BD =，AB ，又∵2BD AC =，32AC =，∴6,AD AB ==132AH DH AD ===，又Rt ADB V ，∴EH ==又由（1）知13AO AD ，∴123AO AD ==，则1OH =，∴在Rt EOH △中，由勾股定理得：OE =②连接CD ，如图3所示：∵//AC BD ，∴60CBD ACB ∠=∠=︒，∵BCD △是等腰三角形，∴BCD △是等边三角形，又∵ADE V 是等边三角形， ∴ABD △绕点D 顺时针旋转60︒后与ECD V 重合，∴90ECD ABD ∠=∠=︒，又∵60BCD ACB ∠=∠=︒，∴30ACF FCB FBC ∠=∠=∠=︒，∴2FC FB AF ==，∴13AF AO AB AD ==，又OAF DAB ∠=∠，∴AOF ADB △∽△， ∴90AFO ABD ∠=∠=︒，∴OF AB ⊥．【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∴1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），△CDE∽△CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此△CDE和△CAB互为顺相似；如图（2），△CDE∽△CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此△CDE和△CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∥CD，则△AOB∽△COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则△ABC∽，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD⊥CE于点F，则△ABD∽，它们互为相似；（2）如图（6），若△AOB∽△COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在△ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC相似，则满足的截线共有条．【答案】（1）①逆；②△ACD或△CBD，逆；③△BCE，顺；（答案不唯一）；（2）△AOC∽△BOD，理由见解析；△AOC和△BOD互为顺相似；（3）3．【分析】（1）①根据新定义直接判断，即可得出结论；②先判断出∠ADC=∠BDC=90°=∠ACB，进而分两种情况，判断出两三角形相似，最后根据新定义判断，即可得出结论；③先判断出∠ABD=∠C，进而得出△ABD∽△BCE，最后用新定义判断，即可得出结论；（2）先由△AOB∽△COD，判断出AO OBCO OD=，∠AOB=∠COD，进而得出∠AOC=∠BOD，即可得出结论；（3）先求出BP=9，分三种情况，过点P作AB，AC，BC的垂线，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）①∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴△AOB和△COD互为逆相似，故答案为：逆；②∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°＝∠ACB，Ⅰ、∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴△ABC和△ACD互为逆相似；Ⅱ、∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD，∴△ABC和△CBD互为逆相似；故答案为：△ACD或△CBD，逆；③∵BD⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBD+∠C＝90°，∵∠EBC＝90°，∴∠CBD+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△BCE，∴△ABD和△BCE互为顺相似；故答案为：△BCE，顺；（2）△AOC∽△BOD，△AOC和△BOD互为顺相似；理由：∵△AOB∽△COD，∴AOCO＝OBOD，∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∵AOCO＝OBOD，∴OAOB＝OCOD，∴△AOC∽△BOD，∴△AOC和△BOD互为顺相似；（3）在Rt△ABC中，AC＝20，BC＝15，根据勾股定理得，AB ＝25，∵AP＝16，∴BP＝AB﹣AP＝9，如图1，①过点P 作PG ⊥BC 于G ，∴∠BGP ＝90°＝∠ACB ，∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△PBG ，∴AB BC BP BG =，∴25159BG =， ∴BG ＝15925⨯＝275＜BC ，∴点G 在线段BC （不包括端点）上， ②过点P 作PG ''⊥AC 于G ''，∴∠AG ''P ＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△APG ''，∴AB AC AP AG =''，∴252016AG =''， ∴AG ''＝201625⨯＝645＜AC ，∴点G ''在线段AC （不包括端点）上， ③过点P 作PG '⊥AB ，交直线BC 与G '，交直线AC 于H ，∵∠APG '＝∠APH ＝90°＝∠ACB ，∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△G 'BP ，∴AB BC BG BP ='，∴25159BG ='，∴BG '＝25915⨯＝15＝BC ， ∴点G '和点H 都和点C 重合（注：为了说明问题，有意将点G '和点H 没画在点C 处），故答案为：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，新定义的理解和应用，理解新定义、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC V 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∴ABC DBC S S =V V ．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∵ABC S V(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，∴AE ∥ ．∴AEM △∽ ． ∴AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∴ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)73【分析】（1）根据三角形的面积公式可得11,22ABC DBC S S BC h BC h '=⋅=⋅V V ，由此即可得证； （2）过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，先根据平行线的判定可得AE DF P，再根据相似三角形的判定可证AEM DFM ~V V ，根据相似三角形的性质可得AE AM DF DM=，然后结合【探究】（1）的结论即可得证； （3）过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，先根据相似三角形的判定证出AME DNE ~，再根据相似三角形的性质可得73AM AE DN DE ==，然后根据三角形的面积公式可得12ABC S BC AM =⋅V ，12DBC S BC DN =⋅V ，由此即可得出答案． (1)证明：12ABC S BC h =⋅V Q ，12DBC BC h S '=⋅V ，ABC DBC S h S h ∴='V V ． (2)证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒，AE DF ∴∥．AEM DFM ~∴V V ．AE AM DF DM ∴=． 由【探究】（1）可知ABC DBC SAE S DF=，ABC DBC S AM S DM ∴=． (3)解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，过点D 作DN BC ⊥于点N ，则90AMEDNE ∠=∠=︒，AM DN ∴，AME DNE ∴~，AM AE DN DE∴=， Q 点,,A E D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，5 1.5 3.5AE ∴=−=， 1.5DE =， 3.571.53AM DN ∴==， 又12ABC S BC AM =⋅V Q ，12DBC S BC DN =⋅V ， 73ABC DBC SAM S DN =∴=，故答案为：73． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的面积等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ．（1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值． 【答案】（1）4；（2）23【分析】（1）分别求出CD ，BC ，BD ，证明BDE BCA V V ∽，根据相似性质即可求解； （2）先证明DF AG =，再证明BEF BAG △∽△，根据相似三角形性质求解即可．【详解】解：（1）∵AD 平分BAC ∠，60BAC ∠=︒，∴30DAC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，30DAC ∠=︒，6AC =，∴CD =在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，∴BC =∴BD BC CD =−=//DE CA ，∴BDE BCA V V ∽∴23DE BD CA BC ==．∴4DE =．（2）∵点M 是线段AD 的中点，∴DM AM =．∵//DE CA ，∴DFM AGM △∽△∴DF DM AG AM =．∴DF AG =． ∵//DE CA ，∴BEF BAG △∽△∴23EF BE BD AG BA BC ===∴23EF DF =． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质，相似的判定与性质，解题的关键是能根据题意确定相似三角形，并根据相似性质解题．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，在边AB 的延长线上截取BE ＝AB ，点F 在AE 的延长线上，CE 和DF 交于点M ，BC 和DF 交于点N ，联结BD ．（1）求证：△BND ∽△CNM ；（2）如果AD 2＝AB •AF ，求证：CM •AB ＝DM •CN ．【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB =CD ，AB ∥CD ，再证明四边形BECD 为平行四边形得到BD ∥CE ，根据相似三角形的判定方法，由CM ∥DB 可判断△BND ∽△CNM ； （2）先利用AD 2=AB •AF 可证明△ADB ∽△AFD ，则∠1=∠F ，再根据平行线的性质得∠F =∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC =∠CMD ，于是可判断△MNC ∽△MCD ，所以MC ：MD =CN ：CD ，然后利用CD =AB 和比例的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，而BE =AB ， ∴BE =CD ，而BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠F AD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN ∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得结论；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；（3）作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，从而得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE＝；（2）证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D、E分别在△ABC的边AB、AC上，连接DE，已知线段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，则S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d =++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABC S a S a b =+V V ．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++V V ． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABC S ac S a b c d =++V V 方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABDADC BD AH S BD S DC DC AH ⋅==⋅V V ．借用这个结论，请你解决最初的问题． 延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCS S =V V ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCS S =V V ． 结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是 ．【答案】探究一：（2）见解析；延伸探究：（1）ac bd ;（2）ac bd ；结论应用： 32【分析】问题解决：探究一（2）：参照（1）中证明方法解答即可；探究二，过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；（2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，然后按照探究一中方法证明即可；结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，可得15ADG S =V ,根据题意，进而得出152ADE S =V ,根据AM =DM ,MN AF ∥,可得FN =DN ，根据AE =2，AG =4，GN AF ∥，可得FN =2EF ，进而可得ED =5EF ，即可得出1352AEF ADE S S ==V V ． 【详解】解：问题解决：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴ADE ACB V V ∽,∴a c c d a b =++， ∴()22()()ADE ABC S b a S c a c ac c d a b c d a d =+=++++=V V g ； 探究二：过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN a b==+,121()()2ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN c d a b a b c d AC BN ⨯==⨯=⨯=++++⨯V V ；延伸探究：（1）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b==,1212ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ⨯==⨯=⨯=⨯V V ； （2）过D 、B 点分别作,DM AC BN AC ⊥⊥,垂足分别为M 、N ，∵,DM AC BN AC ⊥⊥，∴//DM BN ,∴AD DM a AB BN b==,1212ADEABC AE DM S AE DM c a ac S AC BN d b bd AC BN ⨯==⨯=⨯=⨯V V ; 结论应用：取AD 的中点M ，连接GM 并延长交DE 于点N ，连接DG ，∴AM =DM ，1152ADG ABCD S S ==V 平行四边形，∵AE =2，AG =4，∴11522ADE ADG S S ==V V , ∵AM =DM ,MN AF P ,∴FN =DN ，∵AE =2，AG =4，GN AF ∥,∴12EF AE FN AG ==,即：FN =2EF ,∴ED =5EF ，∴1352AEF ADE S S ==V V ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练运用相似三角形的性质是解题的关键．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB V 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析：（3）2554【分析】（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）同（1）求解即可；（3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD =OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到5==6OF OE OM OA ，设55OE OC m OF OD n ====，，则66OA m OM n ==，，证明△OGF ∽△OHN ，推出31522n ON OF ==，32n BN MN ON OM ==−=，则9OB ON BN n =+=，由（2）结论求解即可．【详解】解：（1）如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ， ∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠，∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE ⋅⋅⋅△∠， 211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF ⋅=⋅⋅△∠， ∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ∠=∠； ∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OBOA OB BOF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠∠；（2）（1）中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴sin sin DE OD DOE BF OB BOF =⋅=⋅∠，∠， ∴111===sin 22OCD S S OC DE OC OD DOE ⋅⋅⋅△∠， 211==sin 22AOB S S OA BF OA OB BOF ⋅=⋅⋅△∠， ∵∠DOE =∠BOF ，∴sin sin DOE BOF ∠=∠； ∴121sin 2==1sin 2OC OD DOE S OC OD S OA OBOA OB BOF ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∠∠； （3）如图所示，过点A 作AM EF ∥交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF CD ∥，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD （AAS ），∴OD =OF ，∵EF AM ∥，∴△OEF ∽△OAM ，∴5==6OF OE OM OA ， 设55OE OC m OF OD n ====，，则66OA m OM n ==，，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN AM EF ∥∥，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OF OH ON=，。
母子型相似三角形模型 典型
母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,S ΔBCD ∶S ΔABC=2∶3,则CD=______.【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2DCBA【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙【练】如图5,Rt ΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。
母子型相似三角形
母子型相似三角形(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22母子型相似三角形（三）母子型ABCDCAD例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，BE ∥CD 交CA 延长线于E ．求证：OE OA OC ⋅=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ⋅=2； （2）DAC DCE ∠=∠．例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ⋅=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2．2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。
求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2=NC ·NBACDEB333、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，CF ⊥BE 于F 。
求证：EB ·DF=AE ·DB4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M是AH 的中点。
求证：∠=︒GBM 905．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．AB P（第25题图）GMF EH DCBA。
子母型相似
27、（本题 14 分）类比等腰三角形的定义，定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）概念理解： 如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件__________，使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形”． （2）问题探究： 如图 2，小红画了一个 Rt△ ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将 Rt△ ABC 沿∠ABC 的平分线 BB′ 方向平移得到△ A′B′C′，连结 AA′，BC′，小红要使平移后的四边形 ABC′A′是“等邻边四边形”，则平移的距 离是（即线段 BB′的长）__________．（直接写出答案） （3）拓展应用： 如图 3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD 为对角线，AC= AB，试探 究 BC，CD，BD 的数量关系．
如图③，小华同学在研究上述问题的过程中得到了一个等边三角形和一个圆，并进一步求出了∠BCD 的 度数为 30°，过程如下： 解：如图③，坐线段 CA 的垂直平分线 m，将△ABC 沿直线 m 翻折至△CB′A，
连接 B′D，BB′. ∴B′C=BA=BD=B′D,∠ACB′=∠CAB ∵B 和 B′，A 和 C 是两组关于直线 m 的对称点。 ∴m⊥BB′，m⊥AC，则 BB′∥AC 。。。。。 根据小华的解题过程， （1）请接着证明△BB′D 是等边三角形： （2）请接着说明∠BCD=30°
(1) 将▱ABCD 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG,则操作形成的折痕分别是线段___,___;S 矩形 AEFG:S ▱ABCD=___. (2) ▱ABCD 纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 EFGH，若 EF=5,EH=12,求 AD 得长。 (2)如图 4,四边形 ABCD 纸片满足 AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正 方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出 AD、BC 的长。
北师大版九年级数学上册_奇妙的“母子相似”
奇妙的“母子相似”常言道：“一母生两子，两子皆似母.”此话谈的是人类在发展过程中变化情况,无独有偶,在相似三角形中也有类似的情况,这不得不引起我们的反思.1.母子相似——容易证明!如图1，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D.请问△ABC 、△CBD 和△ACD 是否相似，为什么？ 回答是肯定的，△ABC ∽△CBD ∽△ACD. ∵∠ABC=∠CBD ，∠ACB=∠CDB=90°， ∴△ABC ∽△CBD.同理: △ABC ∽△ACD.通常把这种△ABC ∽△CBD,△ABC ∽△ACD 称之为 “母子相似”非常形象,由母子相似带来了△CBD ∽△ACD,称之为姊妹相似.同时由△ABC ∽△CBD 得到BC 2=BD·AB,由△ABC ∽△ACD 得到AC 2=AD·AB,由△CAD ∽△BCD 得到CD 2=AD·BD.2.母子相似——结论重要!上述结论在证明和计算中都有着广泛的应用.因此,通常把这三个等积式称之为“射影定理”，由此可见一斑.勾股定理是平面几何中重要定理,学习此定理时,曾用面积割补的方法对定理进行验证.为此,许多同学对如此的证明,心存疑虑.经常思考有没有其它方法证明勾股定理呢?现在用上述的“母子相似三角形”证明之.已知:如图2,∠ACB=90°求证:AC 2+BC 2=AB 2 证明:作CD ⊥AB 于D ∵∠ACB=90° CD ⊥AB 于D ∴△ABC ∽△ACD ∴ACABAD AC∴AC 2=AD·AB 同理BC 2=BD·AB∴AC 2+BC 2=AD·AB+BD·AB=AB(AD+BD)=AB 2. 即:AC 2+BC 2=AB 2. 3.母子相似——反之成立?上述是说满足了“条件”就有“母子相似”，进一步可得等积式的线段；现在反ADBC图1ADBC图2过来看，有了等积式的线段，有没有“母子相似”？曾经有这样一题,已知:图3,AD ⊥BC 垂足为D,且AD 是BD 、DC 的比例中项. 求证:△ABC 是直角三角形简证:∵AD 2=BD·DC ∴ADDC BD AD. ∵∠BDA=∠ADC=90° ∴△ABD ∽△CAD ∴∠1=∠B∵∠2+∠B=90° ∴∠1+∠2=90° 即△ABC 为直角三角形.此时,若问上述的结论的反面是否存在,大部分同学都认为成立,其实不一定成立.请看下面两例.反例1,如图4,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有CD 2=AD·DB ′在AD 上取B ／使BD=B ′D,显然CD 2=AD·BD,但∠ACB≠90°.反例2,如图5,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有AC 2=AD·AB ′,在DA 延长线上取一点B,使BA=AB ′虽然满足 AC 2=AD·AB ′=AD·AB 、但∠ACB≠90°.所以, “母子相似”反之不一定成立.诗人常说的“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”是很有道理的.我们也可以认为“年年岁岁学相似，岁岁年年题不同”.B DCA 图32 1A D BC图4B /BDB ′C图5A。
相似三角形模型分析之母子型
相似三角形模型分析之母子型第五讲：相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）B（不平行）（二）8字型、反8字型BCBC（平行）（不平行）（三）母子型B（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（六）双垂型：ADC 二、相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。
8字型拓展CBEDA共享性GABE F一线三等角的变形一线三直角的变形母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．求证：OEOAOC?=2．例2：已知：如图，△ABC 中，点E 在中线AD 上, ABC DEB ∠=∠．求证：（1）DA DE DB ?=2；（2）DAC DCE ∠=∠．DEB例3：已知：如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：EG EF BE ?=2．相关练习：1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ?=2．2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。
求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB⊥，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是4.在?ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EF BCAH的中点。
GBM90求证：∠=?5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD ⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．。
母子型相似三角形模型 典型
母子型相似三角形【知识要点】一、直角三角形相似1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB =△CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB =2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB =【例题解析】类型一：三角形中的母子型【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.DCBA【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长.【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽类型二：直角三角形中的母子型【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙HGF EDCBA【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.A【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.类型三：四边形中的母子型【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。
人教版九年级下册母子型相似模型汇总
母子型相似
E
2 B
A
1
4
E
D
C
2
B
A
1D C
D 1
E A
B
2
C
类型一：一般三角形中的母子型相似
1.（2019•淄博）如图，在△ABC 中，AC=2，BC=4，D 为 BC 边上的一点，且∠CAD=∠B．若 △ADC 的面积为 a，则△ABD 的面积为
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知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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3.如图，⊙O 与△ABC 的 AC 边相切于点 C，与 AB、BC 边分别交于点 D、E，DE∥OA，CE 是 ⊙O 的直径． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 BD＝4，EC＝6，求 AC 的长．
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5.如图，P、Q 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 BP=BQ，BH⊥PC 于 H，求证： QH⊥DH．
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类型三：圆中的母子型
1.如图，⊙O 外接△ABD，点 C 在直径 AB 的延长线上，∠CAD＝∠BDC． 13 / 24
(1)求证：点 E 是边 BC 的中点；
(2)求证：BC2＝BD·BA.
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6.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 F，弦 AD 平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为 E． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 2，∠BAC＝60°，求证：DE2=EF·EA.
相似三角形模型三射影定理母子型
相似专题三：射影定理-母子型学号：______ 姓名：__________一、自主探究在ABC Rt ∆中， 90=∠ACB ，CD 是斜边AB 上的高，你能得到哪些结论？二、合作探究例1 如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，（1）若AD=2，BD=8，求AC 的长；（2）若AC=12，BC=16，求CD 、AD 的长；（3）BD=6，AC=4，求AC 的长.例2 如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且AB CD ⊥，垂足为P ，（1）求证：PB PA PC ⋅=2.（2）连接BD ，若CD=8，AB=10，求BD 的长.例3 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是AC边上的一点，且AE=AB，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．若AB=8，BC=6，求DE的长．三、思考：（2014年长沙中考题）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E,(1) 求证：DE⊥AC；(2) 若AB=3DE,求tan∠ACB的值；四、课后作业学号：______ 姓名：__________1.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm 2和cm 8，则斜边上的高为 .2.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，若AD ：BD=9：4，则AC ：BC 的值为 .第2题 第3题3.如图，在△ABC 中，90BCA ∠=，CD BC ⊥于点D ，若34AC CB =，则BD AD= . 4.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AM 是BC 边的中线，CN ⊥AM 于N 点，连接BN ，求证：BM 2=MN ·AM.5.如图，AB 为⊙O 的直径，AB=4，点C 在⊙O 上，CF ⊥OC ，且CF=BF ．（1）证明BF 是⊙O 的切线；（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC=6，求∠MCF 的大小．6.（2016年长沙中考题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB,DC,DF.（1）求CDE∠的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若25∠的值.AC DE=，求tan ABD。
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)-2024年中考数学常见几何模型及参考答案
相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形(通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀)，也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“母子”模型(斜射影模型)条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2=AD·AC.2)双垂直模型(射影模型)条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2=AD·AB，BC2=BD·BA，CD2=DA·DB.3)“母子”模型(变形)条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；4)共边模型条件:如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，结论：BD2=BA⋅BC；1(2022·贵州贵阳·中考真题)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，则△ADC与△ACB的周长比是()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:42(2022春·江苏·九年级专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且ADAC=ACAB．(1)求证△ACD∽△ABC；(2)若AD=3，BD=2，求CD的长．3(2022.山西九年级期中)如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB=120°，求证：(1)△ACP∽△PDB，(2)CD2=AC•BD．证明：(1)∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，∴∠ACP=∠PDB=120°，∵∠APB=120°，∴∠APC+∠BPD=60°，∵∠CAP+∠APC=60°∴∠BPD=∠CAP，∴△ACP∽△PDB；(2)由(1)得△ACP∽△PDB，∴ACPD =PC BD，∵△PCD是等边三角形，∴PC=PD=CD，∴ACCD =CDBD，∴CD2=AC•BD．4(2023·湖南·统考中考真题)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．5(2023.浙江中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB．(1)图1中共有对相似三角形，写出来分别为(不需证明)：(2)已知AB=5，AC=4，请你求出CD的长：(3)在(2)的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系(如图2)，若点P 从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2022·陕西汉中·九年级期末)如图，CD是等腰直角△ABC斜边AB的中线，以点D为顶点的∠EDF绕点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC 交于点N，且∠EDF=45°．(1)如图1，若CE=CF，求证：DE=DF；(2)如图2，若CE≠CF，求证：CD2 =CE⋅CF；(3)如图2，过D作DG⊥BC于点G，若CD=2，CF=2，求DN的长．7(2023·浙江·九年级期末)(1)如图1，在△ABC中，D为AB上一点，AC2=AD⋅AB．求证：∠ACD=∠B．(2)如图2，在▱ABCD中，E是AB上一点，连接AC，EC．已知AE=4，AC=6，CD=9．求证：2AD =3EC．(3)如图3，四边形ABCD内接于O，AC、BD相交于点E．已知O的半径为2，AE=CE，AB=2AE，BD=23，求四边形ABCD的面积．8(2022春·广东深圳·九年级校考期中)【基础巩固】(1)如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB，求证：BD2=BA⋅BC；【尝试应用】(2)如图2，四边形ABCD为平行四边形，F在AD边上，AB=AF，点E在BA延长线上，连结EF，BF，CF，若∠EFB=∠DFC，BE=4，BF=5，求AD的长；【拓展提高】(3)如图3，在△ABC 中，D 是BC 上一点，连结AD ，点E ，F 分别在AD ，AC 上，连结BE ，CE ，EF ，若DE =DC ，∠BEC =∠AEF ，BE =16，EF =7，CE BC =34，求AF FC的值．课后专项训练1(2023成都市九年级期中)如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于()A.116B.15C.14D.1252(2022·浙江衢州·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =AC ,∠B =36°．分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，E ，作直线DE 分别交AC ，BC 于点F ，G ．以G 为圆心，GC 长为半径画弧，交BC 于点H ，连结AG ,AH ．则下列说法错误的是()A.AG =CGB.∠B =2∠HABC.△CAH ≅△BAGD.BG 2=CG ⋅CB3(2023·湖北恩施·校考模拟预测)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D 点，下列关系中不正确的是()A.BC 2=BD ⋅ABB.CD 2=AD ⋅BDC.AC 2=CD ⋅ABD.AC 2-BC 2=AD 2-BD 24(2023·山东济南·统考中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是()A.∠BCE=36°B.BC=AEC.BEAC =5-12D.S△AECS△BEC=5+125(2023·云南临沧·统考三模)如图，在△ABC中，D是AB上的点，∠B=∠ACD，AC=1，AB=2，则△ACD与△BCD的面积比为()A.1:2B.1:2C.1:3D.1:46(2023·山东东营·统考中考真题)如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于点F；作射线CF交AB于点G，若AC=9，BC=6，△BCG的面积为8，则△ACG的面积为．7(2020·山西·统考中考真题)如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为．8(2022·河北邢台·校考二模)如图1，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tan C=512，点P为BC边上一点，则点P与点A的最短距离为．如图2，连接AP，作∠APQ，使得∠APQ=∠B，PQ交AC于Q，则当BP=11时，AQ的长为．9(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD； ②AF=2DF； ③四边形ABCF是菱形； ④AB2=AD⋅EF 其中正确的结论是．(填写所有正确结论的序号)10(2020·广东广州·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，ΔABC绕点A逆时针旋转到ΔAB C ，AB ，AC 分别交对角线BD于点E,F，若AE=4，则EF⋅ED的值为．11(2021·四川南充·中考真题)如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC=3AB=3BD，则AD:AC的值为．12(2022·四川宜宾·九年级期末)如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB，∠DEC=∠B．(1)求证：△AED∽△ADC；(2)若AE=1，EC=3，求AB的长．13(2022·江苏盐城·中考真题)如图，在△ABC与△A B C 中，点D、D 分别在边BC、B C 上，且△ACD∽△A C D ，若，则△ABD∽△A B D ．请从①BDCD =B DC D；②ABCD=A BC D；③∠BAD=∠B A D 这三个选项中选择一个作为条件(写序号)，并加以证明．14(2023·湖南·统考中考真题)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．(1)证明：△ABD∽△CBA；(2)若AB=6，BC=10，求BD的长．15(2023·宁夏·统考中考真题)综合与实践问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现：如图1，在△ABC 中，∠A =36°，AB =AC ．(1)操作发现：将△ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，点C 的对应点是点E ，折痕交AC 于点D ，连接DE ，DB ，则∠BDE =°，设AC =1，BC =x ，那么AE =(用含x 的式子表示)；(2)进一步探究发现：底BC 腰AC =5-12，这个比值被称为黄金比．在(1)的条件下试证明：底BC 腰AC=5-12；拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1中的△ABC 是黄金三角形．如图2，在菱形ABCD 中，∠BAD =72°，AB =1．求这个菱形较长对角线的长．16(2023·广东·九年级专题练习)定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P 为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC =22，AB =4，试判断点D 是不是△ABC 的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5，AC =4，若点D 是△ABC 的“理想点”，求CD 的长．17(2022·江西·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为菱形，点E 在AC 的延长线上，∠ACD =∠ABE ．(1)求证：△ABC∽△AEB；(2)当AB=6,AC=4时，求AE的长．18(2022·湖北武汉·校考模拟预测)已知，点D在△ABC的边BC上，连接AD．(1)如图1，若∠BAD =∠C．求证：BA2=BD⋅BC；(2)如图2，若AD⊥BC，BD=5，CD=3，tan∠BAC=43．求线段AD的长；(3)如图3，M、N分别是AC、AB上的两点，连接MN交AD于点P，当AB=AC，BD:BA:BC=2:5:6时，若∠APN=∠C，直接写出MPMN的值．19(2022·湖南长沙·校考三模)约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在△ABC中，AD为边BC上的中线，△ABD与△ABC相似，那么称△ABC为关于边BC的“华益美三角”．(1)如图2，在△ABC中，BC=2AB，求证：△ABC为关于边BC的“华益美三角”；(2)如图3，已知△ABC为关于边BC的“华益美三角”，点D是△ABC边BC的中点，以BD为直径的⊙O 恰好经过点A．①求证：直线CA与⊙O相切；②若⊙O的直径为26，求线段AB的长；(3)已知△ABC为关于边BC的“华益美三角”，BC=4，∠B=30°，求△ABC的面积．20(2022·浙江台州·统考一模)已知在▱ABCD，AB=23，BC=10，∠B=60°，E是边BC上的动点，以AE为一边作▱AEFG，且使得直线FG经过点D．(1)如图1，EF与AD相交于H，若H是EF的中点．①求证：GF=DF；②若GF⊥CD，求GD的长；(2)如图2，设AE=x，AG=y，当点E在边BC上移动时，始终保持∠AEF=45°，①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接ED，当△AED是直角三角形时，求DF的值．21(2023·山西临汾·统考二模)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当n=1时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当n=2时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．如图，在△ABC中，∠BAC，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠BAC=2∠B，则a2-b2=bc．下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：证法1：如图1，作∠BAC的平分线AD，∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC．∵∠BAC=2∠B，∴∠BAD=∠CAD=∠B∵∠ACD=∠BCA，∴△ACD∼△BCA∴ACBC =DCAC=ADAB设DC=x，则AD=BD=a-x．∵AC=b，BC=a，AB=c∴ba =xb=a-xc∴b2=ax，a2-ax=bc∴a2-b2=bc证法2：如图2，延长CA到点D，使得AD=AB=c，连接BD，⋯⋯任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出三角形来加以证明的(填“全等”或“相似”)．(2)请补全证法2剩余的部分．22(2022·安徽·校联考三模)在△ABC中，∠ABC=2∠ACB，BD平分∠ABC．(1)如图1，若AB=3，AC=5，求AD的长．(2)如图2，过A分别作AE⊥AC交BC于E，AF⊥BD于F．①求证：∠ABC=∠EAF；②求BFAC的值．23(2023春·山东淄博·八年级统考期末)如图，已知△ABP，点C，D在边AB上，连接PC，PD，使∠ADP=60°，且△ACP∽△PDB．(1)请判定△PCD的形状，并说明理由；(2)若AC=2，BD=3，求△ABP的面积．24(2023·湖南娄底·统考中考真题)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．(1)求证：AE2=EF⋅EM．(2)若AF=1，求AE的长．(3)求S正五边形ABCDES△AEF的值．25(2022·江苏苏州·统考中考真题)(1)如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE⎳AC，交BC于点E．①若DE=1，BD=32，求BC的长；②试探究ABAD-BEDE是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．(2)如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE⎳AC，交CB的延长线于点E．记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为S3．若S1⋅S3=916S22，求cos∠CBD的值．相似三角形重要模型之母子型(共边共角模型)相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
九年级数学上册第4章奇妙的“母子相似”(北师大版)
奇妙的“母子相似”常言道：“一母生两子，两子皆似母.”此话谈的是人类在发展过程中变化情况,无独有偶,在相似三角形中也有类似的情况,这不得不引起我们的反思.1.母子相似——容易证明!如图1，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D.请问△ABC 、△CBD 和△ACD 是否相似，为什么？ 回答是肯定的，△ABC ∽△CBD ∽△ACD. ∵∠ABC=∠CBD ，∠ACB=∠CDB=90°， ∴△ABC ∽△CBD.同理: △ABC ∽△ACD.通常把这种△ABC ∽△CBD,△ABC ∽△ACD 称之为 “母子相似”非常形象,由母子相似带来了△CBD ∽△ACD,称之为姊妹相似.同时由△ABC ∽△CBD 得到BC 2=BD·AB,由△ABC ∽△ACD 得到AC 2=AD·AB,由△CAD ∽△BCD 得到CD 2=AD·BD.2.母子相似——结论重要!上述结论在证明和计算中都有着广泛的应用.因此,通常把这三个等积式称之为“射影定理”，由此可见一斑.勾股定理是平面几何中重要定理,学习此定理时,曾用面积割补的方法对定理进行验证.为此,许多同学对如此的证明,心存疑虑.经常思考有没有其它方法证明勾股定理呢?现在用上述的“母子相似三角形”证明之.已知:如图2,∠ACB=90°求证:AC 2+BC 2=AB 2 证明:作CD ⊥AB 于D ∵∠ACB=90° CD ⊥AB 于D ∴△ABC ∽△ACD ∴ACABAD AC∴AC 2=AD·AB 同理BC 2=BD·AB∴AC 2+BC 2=AD·AB+BD·AB=AB(AD+BD)=AB 2. 即:AC 2+BC 2=AB 2. 3.母子相似——反之成立?上述是说满足了“条件”就有“母子相似”，进一步可得等积式的线段；现在反ADBC图1ADBC图2过来看，有了等积式的线段，有没有“母子相似”？曾经有这样一题,已知:图3,AD ⊥BC 垂足为D,且AD 是BD 、DC 的比例中项. 求证:△ABC 是直角三角形简证:∵AD 2=BD·DC ∴ADDC BD AD. ∵∠BDA=∠ADC=90° ∴△ABD ∽△CAD ∴∠1=∠B∵∠2+∠B=90° ∴∠1+∠2=90° 即△ABC 为直角三角形.此时,若问上述的结论的反面是否存在,大部分同学都认为成立,其实不一定成立.请看下面两例.反例1,如图4,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有CD 2=AD·DB ′在AD 上取B ／使BD=B ′D,显然CD 2=AD·BD,但∠ACB≠90°.反例2,如图5,当∠ACB ′=90°,CD ⊥AB ′于D,有AC 2=AD·AB ′,在DA 延长线上取一点B,使BA=AB ′虽然满足 AC 2=AD·AB ′=AD·AB 、但∠ACB≠90°.所以, “母子相似”反之不一定成立.诗人常说的“年年岁岁花相似，岁岁年年人不同”是很有道理的.我们也可以认为“年年岁岁学相似，岁岁年年题不同”.B DCA 图32 1A D BC图4B /BDB ′C图5A。
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相似三角形（2）
教学目标：
1．知识目标：能识别基本图形母子三角形并能熟练应用
2．能力目标：在复杂的图形中，能够在二次相似或多次相似识别基本图形及其应用
3．情感目标：通过对基本图形的应用与拓展，培养学生独立思考的习惯，发展学生的探究意识，提高学生的总结、归纳能力、阅读理解能力和创新能力。
教学重难点
重点：让学生能识别基本图形母子三角形并能熟练应用。
难点：在二次相似或多次相似能够识别基本图形及其应用。
【知识要点】
一、直角三角形相似
1、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
2、如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
基本图形（母子三角形）举例：
1、条件：如图，已知△ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 结论：（1）△ACD ∽△CBD ，△BDC ∽△BCA ，△CDA ∽△BCA
（2）△ACD ∽△CBD 中，2CD AD BD = △BDC ∽△BCA 中，2BC BD AB = △CDA ∽△BCA 中，2AC AD AB = 2、条件：如图，已知∠ACD=∠ABC
结论：△ACD ∽△ABC 中，2AC AD AB = 【例题解析】
类型一：三角形中的母子型
【例1】1.如图,ΔABC 中,∠A=∠DBC,BC=
,SΔBCD ∶SΔABC=2∶3,则CD=______.
【练】如图，D 是 △ABC 的边AB 上一点,连结CD.若AD= 2，BD = 4, ∠ACD =∠B 求AC 的长
.
【例2】如图，在△ABC 中，AD 为∠A 的平分线，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FC FB FD ⋅=2
【练】已知CD 是ABC ∆的高，,DE CA DF CB ⊥⊥，如图3-1，求证：CEF CBA ∆∆∽
类型二：直角三角形中的母子型
【例1】.如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别为BC 、AC 边上的高，过D 作AB 的垂线交AB 于F ，交BE 于G ，交AC 的延长于H ，求证：2DF FG FH =∙
【练】如图5,RtΔABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB,AC=8,BC=6,则AD=____,CD=_______.
C
B
A
H
G
F E
D
C
B
A
【例2】如图1,∠ADC=∠ACB=90°,∠1=∠B,AC=5,AB=6,则AD=______.
【练】如图，CD 是 Rt △ABC 斜边上的高.若AD= 2，BD = 4, 求CD 的长.
类型三：四边形中的母子型
【例1】1.如图，矩形ABCD 中，BH ⊥AC 于H ，交CD 于G ，求证：2BC CG CD =∙。
2.如图，菱形ABCD 中，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，求证：2
1
2
AD DE DB =
∙。
【练】如图，P 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BP=BQ ，BH ⊥PC 于H ，求证：QH ⊥DH ．
A
A
C
A
C
B
类型四：圆中的母子型
【例1】1.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ， 求证：2EB DE AE =∙。
2.如图，PA 切⊙O 于A ，AB 为⊙O 的直径，M 为PA 的中点，连BM 交⊙O 于C ， 求证：（1）2AM MC MB =∙ （2）∠MPC=∠MBP 。
【练】1.如图，AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB 于D ，弧AC=弧CE ，AE 交CD 于F ，求证：
2CE AF AE =∙。
B
C
E
P B
B
A
2.如图，点A 是⊙O 上一点，以A 为圆心的圆交⊙O 于B 、C 两点，E 为⊙O 上一点，AE 与BC 相交于点D ，求证：2AB AD AE =∙
3.如图11，点O 是四边形AEBC 外接圆的圆心，点O 在AB 上，点P 在BA 的延长线上，且∠PEA ＝∠ADE ，CD ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点D 。
（1）求证：PE 是⊙O 的切线；
（2）若D 为劣弧BE 的中点，且AH ＝16，BH ＝9，求EG 的长．
【家庭作业】
1、已知直角三角形ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ，D 为AC 上的一点，DE AB ⊥交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE= （ ）
A 、1.24cm
B 、1.26cm
C 、1.28cm
D 、1.3cm
2、如图1-1，在Rt ABC 中，CD 是斜别AB 上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（ ）条线段的长，就可以求其他线段的长.
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
3、在Rt ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，若34AC AB =，则BD
CD
=（ ） A 、34 B 、43 C 、169 D 、916
E
图11
P
B
4、如图1-2，在矩形ABCD 中，1
,3
DE AC ADE CDE ⊥∠=
∠，则EDB ∠=（ ） A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60
5、ABC ∆中，90A ∠=，
AD BC ⊥于点D ，AD=6，BD=12，则CD= ，AC= ，22:AB AC = 。
6、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，CD AB ⊥， AC=6，AD=3.6，则BC= ．
7、已知90CAB ∠=，AD CB ⊥，ACE ∆，ABF ∆是正三角形，求证：DE DF ⊥
8、如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，点E 是弧CB 的中点，EF ⊥AC 于F. （1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）连接CE 、AE 、CO ，AE 交CO 于N ，若CE=6，AE=8，求
的值.
AN
NE。