2016-2017学年高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.2.3 弦切角定理 含答案 精品
2016-2017学年高中数学人教B版必修四学业分层测评 第一章 基本初等函数Ⅱ 学业分层测评7 含答案 精品
学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( ) A.1－a 2 B.1－a 2 C.－1－a 2D.±1－a 2【解析】 因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2.【答案】 B2.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan α＝－34，则sin(α＋π)＝( )A.35 B.－35 C.45D.－45【解析】 因为sin(α＋π)＝－sin α，且tan α＝－34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以sin α＝35，则sin(α＋π)＝－35.【答案】 B3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝( )A.－13 B.13 C.223D.－223【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.【答案】 A4.设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C.－1D.1【解析】 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ， 所以sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1. 【答案】 A5.若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为( ) A.－32 B.32 C.－12D.12【解析】 因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32. 【答案】 A 二、填空题6.若a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π，b ＝tan 113π，则a ，b 的大小关系是________.【解析】 a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋34π ＝tan 34π ＝－tan π4，b ＝tan 113π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋23π＝tan 23π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－tan π3，∵0<π4<π3<π2，∴tan π4<tan π3， ∴a >b . 【答案】 a >b7.(2016·徐州高一检测)已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.【解析】 由tan(3π＋α)＝2，得tan α＝2， 则原式＝sin (α－π)－cos α＋cos α＋2sin αsin α－cos α＝－sin α＋2sin αsin α－cos α＝sin αsin α－cos α＝tan αtan α－1＝22－1＝2.【答案】 2 三、解答题8.求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°的值.【导学号：72010020】【解】 原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＋tan(2×360°＋225°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＋tan(180°＋45°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2. 9.已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α.【解】 (1)f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (－α－π)＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝45， 则tan α＝sin αcos α＝－43.[能力提升]1.若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin(6π－α)的值为( )A.－23m B.－32m C.23mD.32m【解析】 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ， 从而sin α＝m2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＋2sin (6π－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α ＝－32m . 【答案】 B2.计算：sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A.89 B.90 C.892D.45【解析】 原式＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…sin 244°＋sin 245°＋sin 2(90°－44°)＋…＋sin 2(90°－3°)＋sin 2(90°－2°)＋sin 2(90°－1°)＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋…＋cos 23°＋cos 22°＋cos 21°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋(sin 23°＋cos 23°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＝44＋12＝892. 【答案】 C3.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是________.【解析】 由条件知⎩⎨⎧－2tan α＋3sin β＝－5，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3，又α为锐角，tan α＝sin αcos α＝sin α1－sin 2α＝3，解得sin α＝31010. 【答案】310104.(2016·济宁高一检测)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0(a ∈R )的两个根.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ的值.(2)求tan(π－θ)－1tan θ的值.【解】 由已知原方程判别式Δ≥0， 即(－a )2－4a ≥0，则a ≥4或a ≤0. 又⎩⎨⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a ， (sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去). 则sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝sin θ＋cos θ＝1－ 2.(2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1tan θ ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1.。
2016-2017学年高中数学选修4-1学业分层测评 1.2.1 圆周角定理 含解析
学业分层测评（四)§2。
圆与直线2。
1 圆周角定理(建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
如图1。
2。
14，在⊙O中，∠BOC＝50°，则∠A的大小为（)图1。
2。
14A。
25°B。
50°C.75°D。
100°【解析】由圆周角定理得∠A＝错误!∠BOC＝25°.【答案】A2。
如图1。
2.15，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC于D,∠A＝50°，则∠OCD的度数是( ）A。
40° B。
25°C。
50°D。
60°【解析】连接OB。
因为∠A＝50°，所以弦BC所对的圆心角∠BOC＝100°，∠COD＝错误!∠BOC＝50°,∠OCD＝90°－∠COD＝40°.【答案】A3。
Rt△ABC中,∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2错误!，则此三角形外接圆半径为（）A.错误!B.2C.2错误!D。
4【解析】由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB ＝错误!＝4，故外接圆半径r＝错误!AB＝2.【答案】B4。
如图1。
2.16，已知AB是半圆O的直径,弦AD，BC相交于P，若CD＝3，AB＝4，则tan∠BPD等于( )A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!【解析】连接BD，则∠BDP＝90°.∵△CPD∽△APB，∴错误!＝错误!＝错误!.在Rt△BPD中，cos∠BPD＝PDPB＝错误!,∴tan∠BPD＝错误!.【答案】D5。
如图1。
2。
17所示，圆O上一点C在直线AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于（）图1。
2。
17A.6B.8C。
4 D.5【解析】∵AB为直径,∴∠ACB＝90°。
又∵CD⊥AB,∴由射影定理可知，CD2＝AD·BD.∴42＝8AD,∴AD＝2。
高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.3.1 圆幂定理 Word版含答案
学业分层测评(八)
圆幂定理
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题(每小题分，共分)
切⊙于，割线经过点交⊙于、，若＝，＝，则∠＝( )
【解析】如图所示，连接，根据切割线定理，可得
＝·，
×，即＝
∴＝，
∴＝－＝，
∴＝＝，＝＋＝，
∴∠＝＝.
【答案】
.如图--，已知是⊙的直径，⊥
于，是过点的弦，已知＝，＝，＝，则和分别为( )
图--
和
和
和
和
【解析】∵·＝，
∴＝，＝，∴＝.
∵·＝，∴＝，
∴＝＋＝.
【答案】
.如图--，在△中，∠＝°，＝，＝.以上一点为圆心作⊙与、都相切，又⊙与的另一个交点为，则线
段的长为( )
图--
【解析】观察图形，与⊙切于点，与⊙切于点，
则＝＝.
如图，连接，由切线长定理得＝＝，
故＝－＝－＝.
根据切割线定理得·＝，
即＝，故＝.
【答案】
.如图--所示，四边形内接于⊙，∶
＝∶，＝，＝，则过点的⊙的切线长是( )
图--
【解析】由圆内接四边形的性质定理，
可得△与△相似.∴＝，
即＝，解得＝.
若设过点的⊙的切线长为，。
高中数学人教B版选修4-4学业分层测评 第2章 Word版含答案
章末综合测评(二)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) .圆的参数方程为(\\(＝θ＝θ)) (θ为参数，≤θ<π)，若(－)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )πππ【解析】∵点(－)在圆上，∴(\\(－＝θ()＝θ))且≤θ<π，∴θ＝π.【答案】.直线(\\(＝＋＝－))(为参数)的斜率为( ).－ .－【解析】直线的普通方程为＋－＝，∴斜率＝－.【答案】.方程(\\(＝( θθ)＝( θθ)))(θ为参数)的曲线关于( ).原点对称轴对称.以上都不对轴对称【解析】消去参数θ，得＝，∴曲线关于原点()对称.【答案】.已知为原点，当θ＝－时，参数方程(\\(＝θ＝θ))(θ为参数)上的点为，则直线的倾斜角为( )【解析】当θ＝－时，＝，＝－，∴＝α＝＝－，且≤α<π，因此α＝π.【答案】.已知( θ，θ)，(－θ，θ)，当θ为一切实数时，线段的中点轨迹为( ).直线.圆.双曲线.椭圆【解析】设线段的中点为(，)，则(\\(＝θ－θ＝θ＋θ))(θ为参数)，∴(\\(＋＝θ－＝－θ))，∴(＋)＋(－)＝，整理得＋＝，表示椭圆.【答案】.将参数方程(\\(＝＋θ＝θ))(θ为参数)化为普通方程为( )＝－＝＋＝－(≤≤)＝＋(≤≤)【解析】将θ＝代入＝＋θ，得－－＝，即＝－，又≤θ≤，∴≤≤，因此普通方程为＝－(≤≤).【答案】.点()到曲线(\\(＝＝))(∈)上的点的最短距离为( )【解析】将参数方程化为普通方程＝，则点()是其焦点.根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点()，故最小距离为.【答案】。
2016-2017学年高中数学选修4-4学业分层测评 1.2.1 极坐标系的概念 含解析
学业分层测评（二）（建议用时:45分钟）[学业达标］一、选择题1.在极坐标系中，点M错误!的位置，可按如下规则确定（)A。
作射线OP,使∠xOP＝错误!，再在射线OP上取点M，使｜OM｜＝2B。
作射线OP，使∠xOP＝错误!，再在射线OP上取点M，使｜OM|＝2C。
作射线OP，使∠xOP＝错误!，再在射线OP的反向延长线上取点M,使｜OM｜＝2D。
作射线OP，使∠xOP＝－错误!，再在射线OP上取点M,使｜OM|＝2【解析】当ρ＜0时，点M（ρ，θ）的位置按下列规定确定:作射线OP,使∠xOP＝θ,在OP的反向延长线上取|OM｜＝｜ρ|，则点M就是坐标(ρ,θ）的点，故选B。
【答案】B2.若ρ1＋ρ2＝0,θ1＋θ2＝π，则点M1（ρ1，θ1)与点M2(ρ2，θ2）的位置关系是（）A.关于极轴所在直线对称B。
关于极点对称C.关于过极点垂直于极轴的直线对称D.关于过极点与极轴成错误!角的直线对称【解析】因为点（ρ,θ）关于极轴所在直线对称的点为（－ρ,π－θ），由此可知点(ρ1,θ1）和(ρ2，θ2）满足ρ1＋ρ2＝0,θ1＋θ2＝π,是关于极轴所在直线对称，故选A。
【答案】A3。
在极坐标系中，已知点P错误!,若P的极角满足－π〈θ〈π，ρ∈R，则下列点中与点P重合的是（）A。
错误!，错误!,错误!B.错误!,错误!，错误!C。
错误!，错误!,错误!D。
错误!【解析】因为－π〈θ〈π,故只有错误!与P点重合。
【答案】D4.在极坐标系中，已知A错误!，B错误!,则OA,OB的夹角为（)A.错误!B。
0C.错误!D.错误!【解析】如图所示，夹角为错误!。
【答案】C5。
在极坐标系中与点A错误!关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是（）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!【解析】点错误!关于极轴的对称点为错误!。
【答案】B二、填空题6.点M错误!到极轴所在直线的距离为________.【解析】依题意,点M错误!到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin错误!＝3.【答案】37.已知两点的极坐标是A错误!，B错误!，则AB中点的一个极坐标是________。
高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.2.3 弦切角定理 Word版含答案
又∵∠＝∠，
∴∠＝∠，
∴∥.
()如图，连接，
∵⊙切于，
∴∠＝∠，
由()可得∠＝∠，
又∵⊙内接四边形，
∴∠＝∠，∴△∽△，
∴＝.
又∵∠＝∠，
∴＝，∴＝·.
[能力提升]
.如图，△内接于圆，＝，直线切圆于点，弦∥，与相交于点.
图
()求证：△≌△；
()若＝，＝，求.
【解】()证明：由已知得∠＝∠，∠＝∠，
∠＝∠，∴△∽△，
∴＝，
∴＝·＝×＝，
∴＝，故选.
【答案】
.如图，与⊙相切于点，割线过圆心，∠＝°，则∠等于()
图
°°
°°
【解析】如图，连接，
∵切⊙于点，
∴⊥，∵∠＝°，
∴∠＝°，
连接，∵＝，
∴∠＝∠＝°，
∴∠＝∠＝°.
【答案】
.如图所示，已知、与⊙相切于、，∠＝°，点是⊙上异于、的一动点，则∠的度数是()
又∵∥，∴∠＝∠，
∴∠＝∠.
又直线切圆于点，
∴∠＝∠.
∴∠＝∠.
又＝，∴△≌△.
()由于△≌△，则＝，
由()得∠＝∠，
∴＝.∴＝＝.
在△和△中，
∠＝∠，∠＝∠，
∴△∽△.∴＝.
∴＝.
∴＝，解得＝.
∴∠＝°，
∴所对圆心角的度数为°.
【答案】°
.(广东高考)如图，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于，，且＝，是圆上一点使得＝，∠＝∠，则＝.
图
【解析】由弦切角定理得∠＝∠，又因为∠＝∠，所以△∽△，可得＝，将＝，＝代入得＝.
【答案】
三、解答题(每小题分，共分)
.如图所示，△内接于⊙，过点的切线交的延长线于点，∠的平分线交、于、.
高中数学学业分层测评2弧度制和弧度制与角度制的换算(含解析)新人教B版必修4(2021学年)
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学业分层测评（二）弧度制和弧度制与角度制的换算(建议用时：４５分钟)[学业达标]一、选择题1。
－＼f（25π,６)的角是（)A.第一象限的角ﻩB.第二象限的角C.第三象限的角ﻩD.第四象限的角【解析】因为-＼f(25π,6)=－错误!－4π，所以－错误!与-错误!的终边相同，为第四象限的角.【答案】D２．若2 rａd的圆心角所对的弧长为４ｃm,则这个圆心角所对的扇形面积是( ) A。
４cｍ2B。
2 cm2C。
4π ｃm2ﻩＤ。
2πcm2【解析】r＝错误!=错误!=2(ｃm），S＝错误!lr＝错误!×4×2=4(ｃm2)。
【答案】 A3.圆的半径是6 cｍ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（)A.＼f(π,2） cm2B.错误! cｍ2C.π cm２ﻩD.３πcm2【解析】 1５°＝错误!，则Ｓ＝错误!|α｜r2=错误!×错误!×62＝＼f(3π，2)(cm2)。
【答案】 B4。
下列说法不正确的是( )A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B。
1°的角是周角的＼f(１,360），1弧度的角是周角的错误!C．1 rad的角比１°的角要大Ｄ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关【解析】用角度制和弧度制度量角,都与圆的半径无关。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-1学业分层测评：
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－2)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2x B．y2＝2xC．x2＝2y D．x2＝－2y【解析】由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－2)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.【答案】 B2．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x【解析】因为双曲线x216－y29＝1的右顶点为(4，0)，即抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以抛物线的标准方程为y2＝16x.【答案】 A3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y2＝43x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A. 2B. 3 C ．2D ．2 3【解析】 抛物线的焦点为(3，0)，即c ＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝b a x ，由ba ＝2，即b ＝2a ，所以b 2＝2a 2＝c 2－a 2，所以c 2＝3a 2，即e 2＝3，e ＝3，即离心率为 3.【答案】 B4．抛物线y 2＝12x 的准线与双曲线y 23－x29＝－1的两条渐近线所围成的三角形的面积为( )A ．3 3B ．2 3C ．2D. 3【解析】 抛物线y 2＝12x 的准线为x ＝－3，双曲线的两条渐近线为y ＝±33x ，它们所围成的三角形为边长等于23的正三角形，所以面积为33，故选A.【答案】 A5．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8【解析】 由y 2＝2px ＝8x 知p ＝4，又焦点到准线的距离就是p .故选C.【答案】 C 二、填空题6．抛物线y 2＝2x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是________．【解析】 抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，准线方程为x ＝－12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＋|BF |＝x 1＋12＋x 2＋12＝5，解得x 1＋x 2＝4，故线段AB 的中点横坐标为2.故线段AB 的中点到y 轴的距离是2.【答案】 27．对标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)【解析】 抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上的一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝72≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2，1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．【答案】 ②④8．抛物线y ＝2x 2的准线方程为________．【解析】 化方程为标准方程为x 2＝12y ，故p 2＝18，开口向上， ∴准线方程为y ＝－18. 【答案】 y ＝－18 三、解答题9．求焦点在x 轴上，且焦点在双曲线x 24－y 22＝1上的抛物线的标准方程．【解】 由题意可设抛物线方程为y 2＝2mx (m ≠0)，则焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，0. ∵焦点在双曲线x 24－y 22＝1上， ∴m 24×4＝1，求得m ＝±4， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或y 2＝－8x .10．已知平面上动点P 到定点F (1，0)的距离比点P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程. 【导学号：18490069】【解】 法一 设点P 的坐标为(x ，y )， 则有（x －1）2＋y 2＝|x |＋1. 两边平方并化简，得y 2＝2x ＋2|x |.∴y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （x ≥0），0（x ＜0），即点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．法二 由题意知，动点P 到定点F (1，0)的距离比到y 轴的距离大1，由于点F (1，0)到y 轴的距离为1，故当x ＜0时，直线y ＝0上的点符合条件；当x ≥0时，原命题等价于点P 到点F (1，0)与到直线x ＝－1的距离相等，故点P 的轨迹是以F 为焦点，x ＝－1为准线的抛物线，方程为y 2＝4x .故所求动点P 的轨迹方程为y 2＝4x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0)．[能力提升]1．已知P 为抛物线y 2＝4x 上的一个动点，直线l 1：x ＝－1，l 2：x ＋y ＋3＝0，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为( )A ．2 2B ．4 C. 2D.322＋1【解析】 将P 点到直线l 1：x ＝－1的距离转化为点P 到焦点F (1，0)的距离，过点F 作直线l 2的垂线，交抛物线于点P ，此即为所求最小值点，∴P 到两直线的距离之和的最小值为|1＋0＋3|12＋12＝22，故选A.【答案】 A2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 为原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2【解析】 根据题意画出简图(图略)，设∠AFO ＝θ(0<θ<π)，|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ，得cosθ＝13，又m ＝2＋m cos(π－θ)，得m ＝21＋cos θ＝32，△AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |·sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322，故选C. 【答案】 C3．如图2-4-1是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．水位下降1 m 后，水面宽________m.图2-4-1【解析】 以拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p >0)． 则A (2，－2)，代入方程得p ＝1， ∴抛物线的方程为x 2＝－2y ，设B (x 0，－3)(x 0<0)代入方程得x 0＝－ 6. ∴此时的水面宽度为2 6 m. 【答案】 2 64．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263是两条曲线的一个公共点. 【导学号：18490070】(1)求抛物线的方程； (2)求双曲线的方程．【解】 (1)把M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－263代入方程y 2＝2px ， 得p ＝2，因此抛物线的方程为y 2＝4x .(2)抛物线的准线方程为x ＝－1，所以F 1(－1，0)，设双曲线的右焦点为F ，则F (1，0)，于是2a ＝||MF 1|－|MF ||＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪73－53＝23，因此a ＝13.又因为c ＝1，所以b 2＝c 2－a 2＝89，于是，双曲线的方程为x 219－y 289＝1.。
2016-2017学年高中数学人教B版选修2-2学业测评：1.4.1 曲边梯形面积与定积分
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．关于定积分m ＝⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫－13d x ，下列说法正确的是( )A ．被积函数为y ＝－13x B ．被积函数为y ＝－13 C ．被积函数为y ＝－13x ＋C D ．被积函数为y ＝－13x 3 【解析】 被积函数为y ＝－13. 【答案】 B2．(2016·菏泽高二检测)已知定积分⎠⎛06f (x )d x ＝8，且f (x )为偶函数，则⎠⎛-66f (x )d x＝( )A ．0B ．16C ．12D ．8【解析】 偶函数图象关于y 轴对称，故⎠⎛-66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16，故选B.【答案】 B3．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用下列哪个值近似代替( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i nD ．f (0)【解析】 当n 很大时，f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．【答案】 Cb[f(x)－g(x)]d x求出的是() 4．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝⎠⎛ab[f(x)－g(x)]d x的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间【解析】定积分S＝⎠⎛a的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方，对照各选项，知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方．【答案】 Db f(x)d x的大小()5．定积分⎠⎛aA．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关D．与f(x)，积分区间[a，b]和ξi的取法都有关【解析】定积分的大小与被积函数以及区间有关，与ξi的取法无关．【答案】 A二、填空题3(－3)d x＝__________.6．(2016·长春高二检测)定积分⎠⎛1【解析】由定积分的几何意义知，定积分3(－3)d x表示由x＝1，x＝3与y＝－3，y＝0⎠⎛13(－3)d x所围成图形面积的相反数．所以⎠⎛1＝－(2×3)＝－6.【答案】－67．定积分⎠⎛-12|x |d x ＝__________. 【导学号：05410030】【解析】 如图，⎠⎛-12|x |d x ＝12＋2＝52.【答案】 528．曲线y ＝1x 与直线y ＝x ，x ＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________．【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛12x d x －⎠⎛121x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x d x .【答案】 ⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x d x三、解答题9．(2016·济南高二检测)已知⎠⎛01x 3d x ＝14，⎠⎛12x 3d x ＝154，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛24x 2d x ＝563，求：(1)⎠⎛023x 3d x ；(2)⎠⎛146x 2d x ；(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x . 【解】 (1)⎠⎛023x 3d x ＝3⎠⎛02x 3d x＝3⎝⎛⎭⎫⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 3d x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋154＝12.(2)⎠⎛146x 2d x ＝6⎠⎛14x 2d x ＝6⎝⎛⎭⎫⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛24x 2d x ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋563＝126.(3)⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154＝－12. 10．利用定积分的几何意义，求⎠⎛-111－x 2d x 的值．【解】 y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知⎠⎛-111－x 2d x 表示由曲线y ＝1－x 2与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以⎠⎛-111－x 2d x ＝S 半圆＝12π.[能力提升]1．(2016·黄冈高二检测)设曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭区域的面积为S ，则下列等式成立的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d yD ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y【解析】 作出图形如图，由定积分的几何意义知，S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ，选B.【答案】 B2．已知和式S ＝1p ＋2p ＋3p ＋…＋n pn p ＋1(p >0)，当n 趋向于∞时，S 无限趋向于一个常数A ，则A 可用定积分表示为( )A.⎠⎛011xd x B.⎠⎛01x p d xC.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫1x p d x D.⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x n p d x 【解析】 S ＝1n ⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n p ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n p ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n p ＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n n p ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n， ∴lim n →∞∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n p ·1n ＝⎠⎛01x pd x . 【答案】 B3．(2016·深圳高二检测)定积分⎠⎛2 0162 0172 017 d x ＝________________.【导学号：05410031】【解析】 由定积分的几何意义知，定积分表示由直线x ＝2 016，x ＝2 017与y ＝2 017，y ＝0所围成矩形的面积，所以⎠⎛2 0162 0172 017d x ＝(2 017－2 016)×2 017＝2 017.【答案】 2 0174．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )＝kx (k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功．【解】 将物体用常力F 沿力的方向拖动距离x ，则所做的功W ＝F ·x . (1)分割在区间[0，b ]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤b n ，2b n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)b n ，b ，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)b n ，i ·b n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i ·b n －(i －1)b n ＝b n .把在分段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤b n ，2b n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤(n －1)b n ，b 上所做的功分别记作：ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高，由条件知：ΔW i ≈F ⎝⎛⎭⎪⎫(i －1)b n ·Δx ＝k ·(i －1)b n ·b n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和W n ＝∑i ＝1nΔW i ≈∑i ＝1nk ·(i －1)b n ·bn＝kb 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝kb 2n 2×n (n －1)2＝kb 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n .从而得到W 的近似值 W ≈W n ＝kb 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n .(4)取极限W ＝lim n →∞W n ＝lim n →∞∑i ＝1nΔW i＝lim n →∞kb 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝kb 22.所以将弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为kb 22.。
2019-2020学年高中数学人教B版选修4-1学业分层测评1.2.2 圆周角定理 Word版含答案
学业分层测评(六)1.2.2 圆周角定理(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°【解析】弦所对的圆心角为60°，又弦所对的圆周角有两个且互补，故选B.【答案】B2.如图1-2-28，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD AB 等于( )图1-2-28A.sin ∠BPDB.cos ∠BPDC.tan ∠BPDD.以上都不对【解析】由题意可知，∠C ＝∠A ，∠D ＝∠B ，连接BD ，∠BDP ＝90°，∴△CPD ∽△APB ，∴CD AB ＝PD PB ＝cos ∠BPD ，故选B.【答案】B3.如图1-2-29所示，等腰△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠A ＝40°，D 是BC ︵的中点，E 是AC ︵的中点，分别连接BD 、DE 、BE ，则△BDE 的三内角的度数分别是()图1-2-29A.50°，30°，100°B.55°，20°，105°C.60°，10°，110°D.40°，20°，120°【解析】如图所示，连接AD .∵AB ＝AC ，D 是BC ︵的中点，∴AD 过圆心O .∵∠A ＝40°，∴∠BED ＝∠BAD ＝20 °，∠CBD ＝∠CAD ＝20°.∵E 是AC ︵的中点，∴∠CBE ＝12∠CBA ＝35°，∴∠EBD ＝∠CBE ＋∠CBD ＝55°.∴∠BDE ＝180°－20°－55°＝105°， 故选B.【答案】B4.如图1-2-30，点A 、B 、C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于( )图1-2-30A.4πB.8πC.12πD.16π【解析】连接OA ，OB .∵∠ACB ＝30°，。
北师版数学选修4-1; 学业分层测评 第1章 §2 2.3 弦切角定理
学业分层测评(六)2.3 弦切角定理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，P AB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠P AC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠P AC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2.如图1-2-64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE 等于()图1-2-64A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝12∠BOC＝38°.【答案】 B3.如图1-2-65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1-2-65A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】 B4.如图1-2-66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1-2-66A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝12(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】 A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝()A. 3B.2 3C.23－1D.23＋1。
人B版数学选修4-1： 学业分层测评 第1章 1.1.2 相似三角形的性质
学业分层测评(二)1.1.2 相似三角形的性质(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1-1-28，D 、E 、F 是△ABC 的三边中点，设△DEF 的面积为14，△ABC的周长为9，则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )图1-1-28A.92，1B.9，4C.92，8D.94，16【解析】 ∵D 、E 、F 分别为△ABC 三边的中点，∴EF ═∥12BC ，DE ═∥12AC ， DF ═∥12AB .∴△DFE ∽△ABC ，且EF BC ＝12.∴l △DEF l △ABC ＝EF BC ＝12. 又∵l △ABC ＝9，∴l △DEF ＝92.又∵S △DEF S △ABC ＝EF 2BC 2＝14，S △DEF ＝14， ∴S △ABC ＝1，故选A.【答案】 A2.如图1-1-29，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )图1-1-29A.5B.8.2C.6.4D.1.8【解析】 由△CBF ∽△CDE ，得BF DE ＝CB CD ，又点E 是AD 的中点，AB ＝CD ＝10，AD ＝BC ＝6，∴DE ＝3，即BF 3＝610，∴BF ＝1.8.【答案】 D3.下列图形中，图(1)是面积为1的阴影三角形，连结它的各边中点，挖去中间的三角形得到图(2)，再分别连结剩下的每个阴影三角形各边中点，挖去中间的三角形得到图(3)，再用同样的方法得到图(4)，则图(4)中，阴影部分的面积为( )A.34B.916C.964D.2764【解析】 利用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”的性质，图(2)中空白部分与原三角形的相似比为1∶2，因此其面积比为1∶4，所以阴影部分面积为34；同理图(3)中阴影部分面积为(34)2＝916，图(4)中阴影部分面积为(34)3＝2764.。
高中数学人教B版选修4-4学业分层测评 第2章 2.3 圆锥曲线的参数方程 Word版含答案
学业分层测评(七)一、选择题(每小题分，共分).曲线：(\\(＝φ＝() φ))(φ为参数)的离心率为( )【解析】由题设，得＋＝，∴＝，＝，＝，因此＝＝.【答案】.参数方程(\\(＝(α)＋(α)＝(＋α)))(α为参数)的普通方程是( )－＝－＝－＝(≤)－＝(≤)【解析】因为＝＋α，所以α＝－.又因为＝＋α＝＋(－)，所以－＝.∵＝＋＝，故∈[－，].∴普通方程为－＝，∈[－，].【答案】.点()到曲线(\\(＝＝))(参数∈)上的点的最短距离为()【解析】＝(－)＋＝(－)＋＝(＋)，∴≥，≥，＝.【答案】.已知曲线(\\(＝θ＝θ)) (θ为参数，≤θ≤π)上的一点，原点为，直线的倾斜角为，则点的坐标是() .() .(，).(－，－) .(，)【解析】由题意知，θ＝θ，∴θ＝，则θ＝，θ＝，∴＝×θ＝×＝，＝θ＝×＝，因此点的坐标为(，).【答案】二、填空题(每小题分，共分).已知椭圆的参数方程(\\(＝＝ )) (为参数)，点在椭圆上，对应参数＝，点为原点，则直线的斜率为.【解析】点的坐标为错误!直线的斜率＝＝.【答案】.抛物线方程为(\\(＝－＋＝))(为参数)，则它在轴正半轴上的截距是.【导学号：】【解析】当＝时，－＋＝，＝±，∴在轴的正半轴上的截距是×＝.【答案】三、解答题(每小题分，共分).如图--所示，连接原点和抛物线＝上的动点，延长到点，使＝，求点的轨迹方程，并说明是什么曲线？图--【解】抛物线标准方程为＝，其参数方程为(\\(＝，＝.))得().。
2016-2017学年高中数学选修4-1学业分层测评4 相似三角形的性质 含解析
学业分层测评（四）（建议用时：45分钟）［学业达标］一、选择题1．如图1.3。
32，D,E,F是△ABC的三边中点，设△DEF的面积为错误!,△ABC的周长为9,则△DEF的周长与△ABC的面积分别是（）图1。
3.32A。
错误!，1 B．9，4C。
错误!，8 D。
错误!，16【解析】∵D,E，F分别为△ABC三边的中点,∴EF綊错误!BC，DE綊错误!AC，DF綊错误!AB。
∴△DFE∽△ABC，且错误!＝错误!,∴错误!＝错误!＝错误!.又∵l△ABC＝9,∴l△DEF＝错误!。
又∵错误!＝错误!＝错误!，S△DEF＝错误!，∴S△ABC＝1，故选A.【答案】A2．如图1。
3。
33，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6,E是AD 的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（)图1.3.33A．5 B．8。
2C．6。
4 D．1。
8【解析】由△CBF∽△CDE,得错误!＝错误!,又点E是AD的中点，AB＝CD＝10,AD＝BC＝6，∴DE＝3，即错误!＝错误!,∴BF＝1。
8。
【答案】D3．如图1.3.34所示，D是△ABC的AB边上一点，过D作DE ∥BC交AC于E。
已知AD∶DB＝1∶3，则△ADE与四边形BCED 的面积比为（）图1。
3。
34A．1∶3 B．1∶9C．1∶15 D．1∶16【解析】因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC。
又因为AD∶DB＝1∶3.所以AD∶AB＝1∶4，其面积比为1∶16,则所求两部分面积比为1∶15。
【答案】C4．某同学自制了一个简易的幻灯机,其工作情况如图1。
3。
35所示,幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m,幻灯片上小树的高度是10 cm,则屏幕上小树的高度是（) 【导学号:07370017】图1。
3。
35A．50 cm B．500 cmC．60 cm D．600 cm【解析】设屏幕上小树的高度为x cm，则错误!＝错误!，解得x ＝60（cm）．【答案】C5．如图1。
2016-2017学年高中数学选修4-1学业分层测评 1.1.4 平行线分线段成比例定理 含解析
学业分层测评(二）1。
4 平行线分线段成比例定理(建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
如图1。
1。
43,AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80,BC＝100,那么EF的值是( ）图1。
1。
43A.10B.12C.16 D。
18【解析】因为AB∥EF∥CD，所以错误!＝错误!，错误!＝错误!,故错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＝1，即错误!＋错误!＝1，EF＝16。
【答案】C2。
如图1.1。
44,AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为（）图1。
1.44A。
2∶1 B.3∶1C。
4∶1D。
5∶1【解析】过D作DG∥AC交BE于G,如图，因为D是BC的中点，所以DG＝错误!EC，又AE＝2EC，故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶错误!EC＝4∶1.【答案】C3。
如图1。
1.45所示，梯形ABCD中，E是DC延长线上一点，AE交BD于G，交BC于F,下列结论：图1.1。
45①错误!＝错误!;②错误!＝错误!；③错误!＝错误!;④错误!＝错误!，其中正确的个数是( ）A.1个B。
2个C。
3个D。
4个【解析】∵BC∥AD,∴错误!＝错误!，错误!＝错误!，∴①，②正确.由BC∥AD得错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.即错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴④正确。
【答案】C4.如图11。
46，已知DE∥BC,EF∥AB,AD∶DB＝2∶3，BC＝20 cm,则BF＝（)图1。
1.46A.4 cm B。
6 cmC。
8 cm D。
12 cm【解析】∵DE∥BC，∴错误!＝错误!。
又∵EF∥AB,∴错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＝错误!.设BF＝2x，则FC＝3x,∴5x＝20，x＝4，∴BF＝2x＝8（cm)。
【答案】C5。
如图1.147，已知P,Q分别在BC和AC上,错误!＝错误!，错误!＝错误!，则错误!＝（)图1。
1.47A.3∶14B。
2016-2017学年高中数学 模块综合测评 新人教B版选修4-1
模块综合测评(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线，设该图中共有x 个三角形与△ABC 相似，则x 为( )A.0B.1C.2D.3【解析】 共两个：△ACD 和△CBD . 【答案】 C2.如图1，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 是⊙O 的割线，且PB ＝12BC ，则PAPB等于( )图1A.2B.12 C. 3D.1【解析】 设PB ＝x ，则PC ＝PB ＋BC ＝x ＋2x ＝3x ，∴PA 2＝PB ·PC ＝3x 2. ∴PA ＝3x .∴PAPB＝3xx＝ 3.【答案】 C3.如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AC ∶BC ＝1∶2，则AD 的值是( )【导学号：61650027】图2A.6 cmB.3 2 cmC.18 cmD.3 6 cm【解析】 ∵AC ∶BC ＝1∶2，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ∶DB ＝1∶2，∴可设AD ＝t ，DB ＝2t ，又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝32cm. 【答案】 B4.如图3，⊙O 内切于△ABC ，切点分别为D 、E 、F .已知∠B ＝50°，∠C ＝60°，连接OE 、OF 、DE 、DF ，那么∠EDF 等于( )图3A.40°B.55°C.65°D.70°【解析】 ∵∠B ＝50°，∠C ＝60°，∴∠A ＝70°，∴∠EOF ＝110°，∴∠EDF ＝55°. 【答案】 B5.如图4，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB ＝1∶2，若△AEF 的面积等于2 cm 2，则△CDF 的面积等于( )图4A.16 cm 2B.18 cm 2C.20 cm 2D.22 cm 2【解析】 ∵AE EB ＝12，∴AE AB ＝AE CD ＝13，∵DC ∥AE ，∴△DCF ∽△EAF ， ∴S △DCF S △EAF ＝(CD AE )2＝(31)2，即S △DCF2＝9， ∴S △DCF ＝18(cm 2). 【答案】 B6.如图5，⊙O 的直径为AB ，弦CD 垂直平分OA ，垂足是E 点，则圆弧CAD ︵的度数为( )图5A.150°B.120°C.90°D.60°【解析】 如题图，连接CO ，DO 由题意知EO ＝12CO ＝12DO ，∴∠ECO ＝∠EDO ＝30°， ∴∠COD ＝120°， 故圆弧CAD ︵的度数为120°. 【答案】 B7.如图6，用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( )图6A.12 B.33C.32D.非上述结论【解析】 用平面截圆柱，椭圆截线的短轴长为圆柱截面圆的直径，且椭圆所在平面与底面成30°角，则离心率e ＝sin 30°＝12.【答案】 A8.如图7，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan ∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( )图7A.252π B.252π－24 C.24D.25π2＋24 【解析】 ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°. ∵tan ∠BAC ＝34，∴sin ∠BAC ＝35.又∵sin ∠BAC ＝BC AB，AB ＝10， ∴BC ＝35×10＝6，AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6＝252π－24.【答案】 B9.如图8，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB ＝6，CD ＝25，则线段AC 的长度为( )图8A.5B.35C.30D.3 5【解析】 如题图，连接BC ，∵AB 垂直平分CD ， ∴CP 2＝AP ·PB . 设PB ＝x ，则AP ＝6－x .∴x (6－x )＝5，∴x 1＝1，x 2＝5(由题图可知，不合题意，舍去).即AP ＝5， 又CP ＝252＝5，∴AC ＝25＋5＝30. 【答案】 C10.如图9，E ，C 分别是∠A 两边上的点，以CE 为直径的⊙O 交∠A 的两边于点D ，点B ，若∠A ＝45°，则△AEC 与△ADB 的面积比为( )图9A.2∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶1【解析】 如题图，连接BE ，求△AEC 与△ABD 的面积比即求AE 2∶AB 2的值，设AB ＝a ，∵∠A ＝45°，又∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CBE ＝∠ABE ＝90°，∴BE ＝AB ＝a ，∴AE ＝2a ， ∴AE 2∶AB 2＝2a 2∶a 2，即AE 2∶AB 2＝2∶1，∴S △AEC ∶S △ABD ＝2∶1. 【答案】 A11.如图10，△ABC 的底边BC ＝a ，高AD ＝h ，矩形EFGH 内接于△ABC ，其中E 、F 分别在边AC 、AB 上，G 、H 都在BC 上，且EF ＝2FG ，则矩形EFGH 的周长是( )图10A.ah2h ＋a B.6ah2h ＋aC.ah2h －aD.6h 2h ＋a【解析】 设FG ＝x ，因为EF ＝2FG ， 所以EF ＝2x .因为EF ∥BC ，所以△AFE ∽△ABC . 又AD ⊥BC ，设AD 交EF 于M ，则AM ⊥EF . 所以AM AD ＝EF BC ，即AD －DM AD ＝2xa. 所以h －x h ＝2xa解之，得x ＝ah2h ＋a.所以矩形EFGH 的周长为6x ＝6ah2h ＋a .【答案】 B12.如图11，已知△ABC 中，BD DC ＝23，AE EC ＝34，AD 、BE 交于F ，则AF FD ·BFFE的值为( )图11A.73 B.149C.3512D.5613【解析】 过D 作DG ∥BE 交AC 于G .∵BD DC ＝23，∴DC BC ＝35. ∴DG BE ＝DC BC ＝35. ∴DG ＝35BE .又EG EC ＝BD BC ＝25， ∴EG ＝25EC .又AE EC ＝34，∴EC ＝43AE . ∴FE DG ＝AE AG＝AEAE ＋25EC ＝AEAE ＋25×43AE＝1523. ∴FE ＝1523DG ＝1523×35BE ＝923BE .∴BF FE ＝149，AF FD ＝AE EG ＝158. ∴AF FD ·BF FE ＝158×149＝3512.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上)13.如图12，点E 、F 分别在AD 、BC 上，已知CD ＝2，EF ＝3，AB ＝5，若EF ∥CD ∥AB, 则CFFB等于________.图12【解析】 如图，过C 作CH ∥DA 交EF 于G ，交AB 于H .则EG ＝AH ＝DC ＝2，GF ＝1，BH ＝3.∵GF ∥HB ，∴CF CB ＝GF HB ＝13.∴CF FB ＝12. 【答案】 1214.如图13，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D .CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝________.【导学号：61650028】图13【解析】 ∵AD ·BD ＝CD ·DT ， ∴DT ＝9，∴PT 2＝(PB ＋6)2－81.又∵PT 2＝PB ·(PB ＋9)，∴PB ＝15. 【答案】 1515.如图14，已知F 为抛物线的焦点，l 为其准线，过F 引PQ ⊥轴AB ，交抛物线于P 、Q 两点，A 在l 上，以PQ 为直径作圆，C 为l 上一点，CF 交⊙F 于D .若CA ＝4，CD ＝2，则PQ ＝________.图14【解析】 过P 作PE ⊥l 交l 于E ，延长CF 交⊙F 于G ，如图所示，∵PF ＝PE ，又PE ＝AF ， ∴PF ＝AF . ∴l 是⊙F 的切线. ∴CA 2＝CD ·CG ， 即16＝2(2＋DG ). ∴DG ＝6，∴PQ ＝6. 【答案】 616.已知如图15，△ABC 中，边AC 上一点F 分AC 为AF FC ＝23，BF 上一点G 分BF 为BG GF ＝32，AG 的延长线与BC 交于点E ，则BE ∶EC ＝________.图15【解析】 过F 作FD ∥AE 交BC 于D ，如图所示，则CD DE ＝CF AF ＝32， DE EB ＝FG GB ＝23，故CD ＝32DE ，BE ＝32DE ， EC ＝CD ＋DE ＝32DE ＋DE ＝52DE ， 从而BE EC ＝35.【答案】 3∶5三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知如图16，DE ∥BC ，四边形DEFG 是平行四边形.求证：AH ∥DG .图16【证明】 ∵DE ∥BC ，∴DE BC ＝ADAB. ∵GF ∥DE ，∴GF ∥BC ， ∴GF BC ＝HG HB. ∵GF ＝DE ，∴DE BC ＝GF BC ，∴AD AB ＝HGHB.∴AH ∥DG .18.(本小题满分12分)如图17，AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的切线，DC 切⊙O 于E ，并与AD 、BC 分别交于D 、C 两点，BD 与AC 交于点F ，求证：FE ∥AD .图17【证明】 ∵AB 为⊙O 的直径，AD 、BC 是⊙O 的切线， ∴AD ⊥AB ，BC ⊥AB . ∴AD ∥BC .∴AD BC ＝AFFC.∵DC 与⊙O 切于E ，并与AD 、BC 分别交于D 、C 两点， ∴AD ＝DE ，BC ＝CE . ∴DE CE ＝AF FC.∴FE ∥AD .19.(本小题满分12分)(全国卷Ⅱ)如图18，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点.图18(1)证明：EF ∥BC ；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积.【导学号：61650029】【解】 (1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD ⊥BC ， 所以AD 是∠CAB 的平分线.又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ， 故AD ⊥EF ，从而EF ∥BC .(2)解：由(1)知，AE ＝AF ，AD ⊥EF ， 故AD 是EF 的垂直平分线. 又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上. 连接OE ，OM ，则OE ⊥AE .由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE ＝30°. 因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形.因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 20.(本小题满分12分)如图19所示，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1，⊙O 2于点D ，E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：AD ∥EC ；(2)若AD 是⊙O 2的切线，且PA ＝6，PC ＝2，BD ＝9，求AD 的长.图19【解】 (1)证明：连接AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D ，又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E .∴AD ∥EC .(2)设BP ＝x ，PE ＝y ，∵PA ＝6，PC ＝2，∴xy ＝12 ①∵AD ∥EC ，∴DP PE ＝AP PC ⇒9＋x y ＝62 ② 由①②得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12y ＝－1.(舍去) ∴DE ＝9＋x ＋y ＝16，∵AD 是⊙O 2的切线，∴AD 2＝DB ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.21.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图20，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . 【导学号：61650030】图20(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；(2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.【解】 (1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB .在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE .连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB .又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED＝90°，即DE是⊙O的切线.(2)解：设CE＝1，AE＝x.由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得AE2＝CE·BE，即x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.解得x＝3，所以∠ACB＝60°.22.(本小题满分12分)如图21，PA、PB为圆O的两条切线，切点分别为A、B，过点P 的直线交圆O于C、D两点，交弦AB于点Q.求证：PQ2＝PC·PD－QC·QD.图21【证明】如图，连接OA、OB、OP，设OP与AB的交点为H，CD的中点为M.连接OM，则OM⊥CD，OH⊥AB.所以，O、H、Q、M四点共圆.于是，PQ·PM＝PH·PO.又Rt△PHA∽Rt△PAO，所以PA2＝PH·PO.所以PQ·PM＝PA2.由切割线定理，得PA2＝PC·PD，所以PQ·PM＝PC·PD，即PQ·(PQ＋QM)＝PC·PD.所以PQ2＝PC·PD－PQ·QM.又P、A、O、M四点共圆，P、B、M、O四点共圆，所以，P、B、M、O、A五点共圆.由相交弦定理，得PQ·QM＝AQ·QB＝QC·QD.故PQ2＝PC·PD－QC·QD.。
2016-2017学年高中数学 第2章 圆柱、圆锥与圆锥曲线学业分层测评 新人教B版选修4-1
第2章 圆柱、圆锥与圆锥曲线学业分层测评 新人教B 版选修4-1(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.梯形ABCD 中，AB ∥CD ，若梯形不在平面α内，则它在α内的正射影是( )A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形【解析】 当梯形所在的平面平行于投影线时，梯形在α上的正射影是一条线段.当梯形所在的平面与投影线不平行时，梯形在α上的正射影是一个梯形.【答案】 D2.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是( )A.内心的平行射影还是内心B.重心的平行射影还是重心C.垂心的平行射影还是垂心D.外心的平行射影还是外心【解析】 三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形状通常会发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，其中重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，射影前后相对的位置关系不变.【答案】 A3.圆锥的顶角为50°，圆锥的截面与轴线所成的角为30°，则截线是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】 由已知α＝50°2＝25°，β＝30°，∴β>α.故截线是椭圆，故选B. 【答案】 B4.设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin 双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin 双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为( )A.12B.22C.33D.32【解析】 Dandelin 双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长，由题意知，2b ＝2c .∴e ＝ca ＝cb 2＋c 2＝c 2c ＝22.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形，用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时，所截得的截线的离心率为________.【导学号：61650026】【解析】 ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以母线与轴线的夹角α＝45°；又截面与轴线的夹角β＝30°，即β<α，∴截线是双曲线，其离心率e ＝cos βcos α＝cos 30°cos 45°＝32＝62. 【答案】 626.一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6，则圆柱面内切球的半径为________.【解析】 由2a ＝6，得a ＝3，又e ＝cos 45°＝22， ∴c ＝e ·a ＝22×3＝322. ∴b ＝a 2－c 2＝32－92＝322. ∴圆柱面内切球的半径r ＝322. 【答案】 322三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图217，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、D 1C 1的中点，G 是正方形BCC 1B 1的中心，画出空间四边形AEFG 在该正方体的面DCC 1D 1上的正投影.图217【解】 如图(1)，点A 落在D 点上，点G 落在CC 1的中点G ′上，点F 在面DCC 1D 1上的正射影仍为点F ，点E 落在DD 1的中点E ′上，擦去命名点，其图形如图(2)所示.8.已知点A (1，2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P ，使|PA |＋2|PF |最小.【解】 如图所示，∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2.∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12. 设P 到右准线的距离为d ，则|PF |＝12d ，d ＝2|PF |. ∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋d .由几何性质可知，当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小.把y ＝2代入x 216＋y 212＝1， 得x ＝463(x ＝－463舍去). 即点P (463，2)为所求. [能力提升]9.在空间中，取直线l 为轴.直线l ′与l 相交于O 点，夹角为α.l ′绕l 旋转得到以O 为顶点，l ′为母线的圆锥面.任取平面π，若它与轴l 的交角为β.试用Dandelin 双球证明：当β＝α时，平面π与圆锥的交线为抛物线.【证明】 如图：设Dandelin 球与圆锥面的交线为圆S .记圆所在的平面为π′，π与π′的交线为m .在平面π与圆锥面的交线上任取一点P ，设平面π与Dandelin 球的切点为F ，连PF .在平面π中过P 作m 的垂线，垂足为A ，过P 作π′的垂线，垂足为B ，连AB ，则AB 为PA 在平面π′上的射影.显然，m ⊥AB ，故∠PAB 是平面π与平面π′所成的二面角的平面角.在Rt △APB 中，∠APB ＝β.则PB ＝PA ·cos β① 又设过点P 的母线交圆S 于点Q ，则PQ ＝PF .在Rt △PBQ 中，PB ＝PQ ·cos α∴PB ＝PF ·cos α② 由①，②得PF PA ＝PB cos α×cos βPB ＝cos βcos α. 因为α＝β，所以PF PA ＝1.即曲线任一点P 到定点F 的距离恒等于P 到定直线m 的距离.故点P 的轨迹为抛物线.。
高中数学 第2章 参数方程 2.3 圆锥曲线的参数方程学业分层测评 新人教B版选修4-4(2021
2016-2017学年高中数学第2章参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程学业分层测评新人教B版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程学业分层测评新人教B版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2章参数方程 2.3 圆锥曲线的参数方程学业分层测评新人教B版选修4—4一、选择题（每小题5分,共20分)1.曲线C:错误!(φ为参数)的离心率为( ）A。
错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!【解析】由题设，得错误!＋错误!＝1,∴a2＝9,b2＝5，c2＝4，因此e＝错误!＝错误!.【答案】A2.参数方程错误!(α为参数)的普通方程是( ）A.y2－x2＝1B.x2－y2＝1C.y2－x2＝1（|x｜≤错误!）D。
x2－y2＝1(｜x｜≤错误!)【解析】因为x2＝1＋sin α，所以sin α＝x2－1.又因为y2＝2＋sin α＝2＋(x2－1），所以y2－x2＝1.∵x＝sin错误!＋cos错误!＝错误!sin错误!，故x∈［－错误!,错误!］.∴普通方程为y2－x2＝1,x∈[－错误!，错误!].【答案】C3。
点P（1,0）到曲线{x＝t2，y＝2t（参数t∈R)上的点的最短距离为( )A.0 B。
1C.错误!D。
2【解析】d2＝（x－1)2＋y2＝(t2－1）2＋4t2＝(t2＋1)2，∴t2≥0，d2≥1，d min＝1。
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学业分层测评(七) 1.2.3 弦切角定理
(建议用时：40分钟)
[学业达标]
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.如图1-2-46所示，AB 是⊙O 的直径，MN 与⊙O 切于点C ，AC ＝1
2BC ，则sin ∠MCA ＝( )
图1-2-46
A.1
2 B.2
2 C.32
D.55
【解析】 由弦切角定理，得 ∠MCA ＝∠ABC .∵sin ∠ABC ＝AC
AB ＝AC AC 2＋BC 2＝AC 5AC ＝5
5，故选D. 【答案】 D
2.如图1-2-47所示，AB 是⊙O 的直径，EF 切⊙O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 的长为( )
图1-2-47
A.2
B.3
C.2 3
D.4
【解析】 连接BC .∵AB 是⊙O 的直径，
∴AC ⊥BC ，由弦切角定理可知， ∠ACD ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△ACD ， ∴AC AD ＝AB AC ，
∴AC 2＝AB ·AD ＝6×2＝12， ∴AC ＝23，故选C. 【答案】 C
3.如图1-2-48，PC 与⊙O 相切于C 点，割线P AB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( )
图1-2-48
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
【解析】 如图，连接OC ，
∵PC 切⊙O 于C 点， ∴OC ⊥PC ，∵∠P ＝40°， ∴∠POC ＝50°， 连接BC ，∵OC ＝OB ， ∴∠B ＝1
2∠POC ＝25°， ∴∠ACP ＝∠B ＝25°. 【答案】 B
4.如图1-2-49所示，已知AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A ＝50°，点P 是⊙O 上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )
图1-2-49
A.65°
B.115°
C.65°或115°
D.130°或50°
【解析】 当点P 在优弧BC ︵
上时， 由∠A ＝50°，得∠ABC ＝∠ACB ＝65°. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴∠ABC ＝∠BPC ＝65°.
当P 点在劣弧BC ︵
上时，∠BPC ＝115°. 故选C. 【答案】 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图1-2-50，BC 为⊙O 直径，DE 切⊙O 于A 点，BD ⊥DE 于D ，若∠ABD ＝50°，则劣弧AC ︵
所对圆心角的度数为________.
图1-2-50
【解析】 ∵BD ⊥DE ，∠ABD ＝50°， ∴∠BAD ＝40°.
∵AD 为⊙O 的切线，∴∠C ＝40°， 又∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB ＝90°， ∴∠CBA ＝50°，
∴AC ︵
所对圆心角的度数为100°. 【答案】 100°
6.(广东高考)如图1-2-51，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，
B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝________.
图1-2-51
【解析】由弦切角定理得∠P AB＝∠ACB，又因为∠BAC＝∠APB，所以
△P AB∽△ACB，可得AB
BC＝
PB
AB，将PB＝7，BC＝5代入得AB＝35.
【答案】35
三、解答题(每小题10分，共30分)
7.如图1-2-52所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT、AT于C、D.
图1-2-52
求证：△CTD为等腰三角形. 【导学号：61650016】【证明】∵PD是∠APT的平分线，
∴∠APD＝∠DPT.
又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.
又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，
∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，
∴∠TDC＝∠TCD，
∴△CTD为等腰三角形.
8.如图1-2-53，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF.
图1-2-53
(1)求证：EF∥BC；
(2)求证：DF2＝AF·BE.
【证明】(1)∵⊙O切BC于D，
∴∠CAD＝∠CDF.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵∠BAD＝∠EFD，
∴∠EFD＝∠CDF，
∴EF∥BC.
(2)如图，连接DE，
∵⊙O切BC于D，
∴∠BAD＝∠BDE，
由(1)可得∠BDE＝∠F AD，
又∵⊙O内接四边形AEDF，
∴∠BED＝∠DF A，∴△BED∽△DF A，
∴DE
AF＝
BE
DF.
又∵∠BAD＝∠CAD，
∴DE＝DF，∴DF2＝AF·BE.
[能力提升]
9.如图1-2-54，△ABC内接于圆O，AB＝AC，直线MN切圆O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E.
图1-2-54
(1)求证：△ABE≌△ACD；
(2)若AB＝6，BC＝4，求AE.
【解】(1)证明：由已知得∠ABE＝∠ACD，∠BAE＝∠EDC，
又∵BD∥MN，∴∠DCN＝∠EDC，∴∠BAE＝∠DCN.
又直线MN切圆O于点C，
∴∠CAD＝∠DCN.
∴∠CAD＝∠BAE.
又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD.
(2)由于△ABE≌△ACD，则BE＝CD，由(1)得∠CAD＝∠BAE，
∴BC＝CD.∴BE＝CD＝4.
在△ABE和△CDE中，
∠BAE＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，
∴△ABE∽△DCE.∴BE
CE＝
AB
CD.
∴
BE
AC－AE
＝
AB
CD.
∴
4
6－AE
＝
6
4，解得AE＝
10
3.。