画法几何 第7章 曲线与曲面
计算机图形学第七章自由曲线与曲面PPT
axt3 ayt3
bxt2 byt2
cxt cyt
dx dy
，t∈〔0,1〕；
z(t) azt3 bzt2 czt dz
矢量表示：
p(t)a3tb2tc td
t∈〔0,1〕；
矩阵表示：
a
p(t) t 3
t2
t
1
b
c
t∈〔0,d1〕；
7.1.3 拟合和逼近
曲线曲面的拟合：当用一组型值点（插值点） 来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定 的型值点序列确定，称为曲线曲面的拟合，如 图7-2所示。
曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线 曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点， 称为曲线曲面的逼近，如图所示。
图7-2 拟合曲线
图7-3逼近曲线
7.1.4连续性条件
通常单一的曲线段或曲面片难以表达 复杂的形状，必须将一些曲线段连接成 组合曲线，或将一些曲面片连接成组合 曲面，才能描述复杂的形状。为了保证 在连接点处平滑过渡，需要满足连续性 条件。连续性条件有两种：参数连续性 和几何连续性。
7.1.2 曲线曲面的表示形式
曲线曲面的可以采用显式方程、隐 函数方程和参数方程表示：
首先看一下直线的表示形式：已知 直线的起点坐标P1（x1，y1）和终 点坐标P2（x2，y2）,直线的显式方 程表示为：
yy1yx22 xy11(xx1)
直线的隐函数方程表示为：
f(x)yy1y x2 2 x y1 1(xx1)0
7.1 基本概念
7.1.1 样条曲线曲面 7.1.2 曲线曲面的表示形式 7.1.3 拟合和逼近 7.1.4 连续性条件
7.1.1 样条曲线曲面
在汽车制造厂里，传统上采用样条绘制 曲线的形状。绘图员弯曲样条（如弹性细木条） 通过各型值点，其它地方自然过渡，然后沿样 条画下曲线，即得到样条曲线（Spline Curve)。 在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲 线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特 定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交 样条曲线来描述。
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻
数学知识点归纳曲线与曲面的性质与刻数学知识点归纳：曲线与曲面的性质与刻在数学中，曲线与曲面是常见的几何对象，它们具有许多独特的性质与刻画方法。
本文将对曲线与曲面的性质和刻画方法进行归纳总结。
一、曲线的性质与刻画曲线是二维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲线有直线、圆、椭圆等。
1. 直线直线是最简单的曲线，它具有以下性质：- 无限延伸性：直线没有起点和终点，可以无限延伸。
- 线段性质：直线上的两点可以唯一确定一条直线段。
- 斜率：直线的斜率表示了其倾斜程度，可以通过两点的坐标计算得到。
2. 圆圆是一个平面上距离圆心相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 对称性：圆具有中心对称性，任意点与圆心的距离相等。
- 弧长与扇形面积：圆的弧长与扇形面积可以通过圆心角计算得到。
- 切线：圆上的切线与半径垂直。
3. 椭圆椭圆是平面上离两个固定点距离之和为常数的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心：椭圆有一个中心点，是两个焦点的中点。
- 长短轴：椭圆有两个重要的参数，即长轴和短轴。
- 离心率：椭圆的离心率决定了其形状，范围在0到1之间。
二、曲面的性质与刻画曲面是三维几何对象，它可以用参数方程或者隐函数表示。
常见的曲面有球面、圆柱面、圆锥面等。
1. 球面球面是空间中到定点距离相等的点的轨迹，它具有以下性质：- 中心和半径：球面由一个中心点和半径确定。
- 表面积和体积：球面的表面积和体积可以通过半径计算得到。
- 切平面：球面上的切平面与法线垂直。
2. 圆柱面圆柱面是空间中直线与一个固定曲线平行移动形成的曲面，它具有以下性质：- 直母线：圆柱面上的任意一条直线与轴线平行。
- 侧面积和体积：圆柱面的侧面积和体积可以通过圆柱的高和底面积计算得到。
3. 圆锥面圆锥面是空间中直线与一个固定点旋转形成的曲面，它具有以下性质：- 顶点和母线：圆锥面由一个顶点和沿着一个直线运动的所有点组成。
- 侧面积和体积：圆锥面的侧面积和体积可以通过圆锥的高和底面积计算得到。
7画几—曲线曲面解析
P
P
特殊点
11
§8 －4
平面与曲面立体相交
一、 平面与圆柱相交 根据截平面的不同位置有三种情况：
P P P
椭圆
圆
素线
12
【例1】求正垂面P截割圆柱的截交线。
2 PV
7(8)
3(4) 5(6) 1 4
8
2
7
3
6 5
1
4
6
y
y
8
2 y y
1
5 3
7
13
【例2】求圆柱切割体的投影。
第八章
§8 －1 §8 －2 §8 －3 §8 －4 §8 －5 §8 －6 §8 －7 §8 －8 §8 －9
曲线 曲面
曲线的形成及投影 曲面的形成及表示法 曲面立体的投影 平面和曲面立体相交 直线和曲面立体相交 平面立体和曲面立体相交 两曲面立体相交 有导线导面的直纹曲面 螺旋线和螺旋面
1
§8－2
PV
a' a"
分析： 圆锥的表面没 有积聚性，必须 通过素线法或纬
d'(e') c" e" d"
圆法求解截交线
b"
b'(c') c e a d
上的各点。
PHb
17
【例5】求圆锥切割体的投影。
10 8(9) 4(5) 1 6(7) 10 7 5 3 9 8
6 4
2
2(3)
1' 4'5' 7'8' 6' 8"5" 3"
1" 6"
4" 7" 2"
曲面与曲线知识点总结
曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。
在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。
1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。
我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。
曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。
1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。
我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。
曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。
1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。
不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。
二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。
2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。
常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。
这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。
2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。
常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。
通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。
2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。
通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。
三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。
3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。
计算机图形学第7章(3)PPT课件
1
0 0
R Rk
k
1
M
h
Gh
▪ Mh是Hermite矩阵。Gh是Hermite几何矢量。
*
曲线和曲面
三次Hermite样条
▪ 三次Hermite样条曲线的方程为：
p(t)TM hG h
t[0,1]
2 2 1 1
TMh t3
t2
t 13 0
3 0
2 1 1 0
1
0
0
0
*
曲线和曲面
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段 在交点处的一阶和二阶导数的比值都是常量。
*
曲线和曲面
7.1.4 样条描述
n次样条参数多项式曲线的方程：
xy((tt))abnnttnn
a2t2a1t1a0 b2t2b1t1b0
z(t)cntn c2t2c1t1c0
t[0,1]
*
曲线和曲面
x(t)
p(t) y(t) tn
*
曲线和曲面
三次Hermite样条
H(t) 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-0.2
H0(t)
H1(t)
*
曲线和曲面
7.1.2 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
*
曲线和曲面
▪ 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲
线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。P(1)Pk1 Nhomakorabea1
1
1
1C
P'(0)
画法几何之曲线曲面
2″ 1″
在圆柱 体表面 的线和 点，可 利用圆 柱面的 积聚性 求解。
二、圆锥
（1） 圆锥体的组成
两条相交直线，以一条为母线另 一条为轴线回转，即得圆锥面。
由圆锥面和底面组成的回转体就 是圆锥体。
（2） 圆锥的三面投影图
水平投影是一个圆（即圆锥 底圆的水平投影），圆心即轴和锥 顶的水平投影，半径等于底圆的半 径；正面和侧面投影是相同的等腰 三角形，此等腰三角形的高等于圆 锥的高，底等于圆锥底圆的直径。
3、当＝45°截交线椭圆的长轴投影后，与短 轴相等，椭圆的投影成为圆；
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体截切后的侧面投影。
完成圆柱体穿三棱柱孔后的侧面投影。
2、圆锥体的截交线
依据截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，截交线 的形状有以下五种：
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
1、空间与投影分析
曲面立体的投影
学习内容：
➢ 曲面立体的形成（圆柱、圆锥、球、环、单
学 习
叶回转双曲面）
内 容
➢ 曲面立体的投影（圆柱、圆锥、球、环、单
及
叶回转双曲面）
学
习 重
学习重点：
点
➢ 曲面立体的投影
➢ 曲面立体表面取点方法（素线法、纬圆法）
曲面立体的投影
由曲面包围或者由曲面和平面包围 而成的立体，叫做曲面立体。
截交线为椭圆，截交 线的正面投影落在截平 面的积聚性投影上，要 作出椭圆的水平投影和 侧面投影。
2、投影作图
运用锥面取点方法 作出椭圆长短轴端点、 转向轮廓线上点和一般 点，用曲线光滑连接各 点。
3、整理轮廓线
完成圆锥截切后的水平投影和侧面投影。
第七章 曲线与曲面
4.2.3 双曲抛物
一直母线沿着两条相错的直导线运动， 一直母线沿着两条相错的直导线运动，并 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 始终与一导平面平行，即形成了双曲抛物面 。 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 双曲抛物面的相邻两素线为相错直线， 所以是不可展曲面 所以是不可展曲面 。 双曲抛物面上有两个直素线族， 双曲抛物面上有两个直素线族，而且相应 地有两个导平面 这两个导平面的交线（ 轴 两个导平面。 地有两个导平面。这两个导平面的交线（OZ轴） 轴线。 即为该曲面的轴线 若两个导平面相互垂直， 即为该曲面的轴线。若两个导平面相互垂直， 则称为正双曲抛物面 否则称为斜双曲抛物面 正双曲抛物面， 斜双曲抛物面。 则称为正双曲抛物面，否则称为斜双曲抛物面。
§4 直线面
4.1 可展直线面 4.1.1 柱 面 一直母线沿曲导线运动且始终平行 于另一直导线而形成的曲面称为柱面 柱面。 于另一直导线而形成的曲面称为柱面。 柱面的相邻两素线为平行直线， 柱面的相邻两素线为平行直线，位 可展曲面。 于同一平面内，所以是可展曲面 于同一平面内，所以是可展曲面。
作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 作图时，一般应画出导线和曲面的轮廓线， 导线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线。 若干素线及其曲面的H面迹线 必要时还要画出若干素线及其曲面的 面迹线
方法一： 方法一：利用平面上投影面平行线及最大 斜度线，确定长、 斜度线，确定长、短轴的方向与大小 。
方法二：利用投影变换法求椭圆长、 方法二：利用投影变换法求椭圆长、短轴
§３ 曲面概述
3.1 曲面的形成
曲面可以看作是一条线 直线或曲线） 可以看作是一条线（ 曲面可以看作是一条线（直线或曲线）在空 连续运动所形成的轨迹， 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹 间作有规律或无规律的连续运动所形成的轨迹， 或者说曲面是运动线所有位置的集合 。 如图所示曲面， 如图所示曲面， 是由AA 沿着曲线 是由 １沿着曲线 运动且在运动 ABC运动且在运动 中始终平行于直线 中始终平行于直线 MN所形成的。 所形成的。 所形成的 AA１称为母线。 称为母线。
解析几何中的曲线与曲面参数化求解
解析几何中的曲线与曲面参数化求解在解析几何中，曲线和曲面是两个重要的概念，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
曲线和曲面的参数化求解是解析几何中的一项重要技巧，可以帮助我们更好地理解和描述几何图形的性质和特点。
本文将详细介绍曲线和曲面的参数化求解方法及其应用。
一、曲线的参数化求解1. 曲线的定义和性质曲线是平面上点的有序集合，它可以用数学方程或者参数方程来表示。
在解析几何中，我们通常使用参数方程来描述曲线。
一个曲线的参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别是曲线上一点的坐标，f(t)、g(t)、h(t)是关于参数t的函数。
通过给定参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的一系列点。
2. 参数化求解的步骤要进行曲线的参数化求解，通常需要以下几个步骤：（1）确定参数范围：首先需要确定参数t的取值范围，这取决于曲线的形状和需要研究的区域。
（2）选择参数方程：根据曲线的性质，选择合适的参数方程，使得方程能够准确地描述曲线。
（3）确定参数方程中的函数：根据曲线在坐标系中的位置和形状，确定参数方程中的函数。
（4）解参数方程：将参数方程代入原始方程中，解出参数t的值，并进行相应的计算和处理。
（5）绘制曲线：根据求解得到的参数值，绘制曲线在坐标系中的图形。
3. 曲线的参数化求解实例以圆为例，我们可以通过参数化求解的方法来表示圆上的点。
圆的参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，r为圆的半径，t为参数，取值范围通常为0到2π。
通过求解参数方程，我们可以得到圆上一系列点的坐标，然后将这些点连成一条平滑的曲线，即可绘制出圆形。
二、曲面的参数化求解1. 曲面的定义和性质曲面是三维空间中点的有序集合，可以用方程或者参数方程来表示。
在解析几何中，我们通常使用参数方程来描述曲面。
一个曲面的参数方程可以表示为：x = f(u, v)y = g(u, v)z = h(u, v)其中，x、y、z分别是曲面上一点的坐标，f(u, v)、g(u, v)、h(u, v)是关于参数u和v的函数。
工学画法几何及土木工程制图曲线和曲面
四、双曲抛物面
第29页/共51页
§6-3 直纹面
双曲抛物面在工程上有广泛的用途。
水渠边坡渐变段
道路边坡过渡段
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§6-3 直纹面
对于同一个双曲抛物面，也可以把它看作是以AD、BC为交叉直导线，以平行于端点连线AB、CD 的平面P 为导平面所形成的。也就是说，双曲抛物面上有两族素线，其中每一条素线与同族的所有素线都不相交，而与另一族的所有素线都相交。
第17页/共51页
§6-2 曲面概述
二、曲面的投影
外形轮廓线外形线
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§6-2 曲面概述
第19页/共51页
§6-2 曲面概述
三、曲面上点的投影
素线法纬圆法
素线法动画
纬圆法动画
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解：2r
（点击鼠标看过程）
第10页/共51页
§6-1 曲线
其次，求出水平投影中长短轴在正面投影中的投影，它们是一对共轭直径1’2’、3’4’。根据共轭直径可求出椭圆上的其余四个点5’、6’、7’、8’，用八点法画出正面投影椭圆。
第11页/共51页
§6-1 曲线
第34页/共51页
§6-3 直纹面
七、旋转单叶双曲面
OO旋转单叶双曲面OO旋转轴
第35页/共51页
§6-3 直纹面
第36页/共51页
§6-3 直纹面
旋转中母线上的每个点都在作圆周运动，其轨迹是纬圆。母线上距轴线最近的点，其轨迹是最小的纬圆，叫喉圆。 过旋转单叶双曲面上的每个点，还可以画出另外一条素线，也就是说，同一个旋转单叶双曲面上存在着两族素线，同族的素线间均不相交，而每一条素线都与另一族的所有素线相交。
第七章 曲线、曲面
1．单叶双曲回转面的形成
2．单叶双 曲回转面 的画法
9' 7'
5' 11'
1' 3'
3' 5'
1' 7' 7
9' 117
3
5 11
3
1
§7-4 柱状面
1．柱状面的形成 一直母线沿两条曲导线连续运动，同时始终平行于一导平 面，这样形成的曲面称为柱状面 2．柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。
1．锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
2．锥状面的画法
§7-6
双曲抛物面
1．双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导 平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2．双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影及素线的包络线。
2 ） 空间曲线：任意连续四点不属于同一平 面
二、曲线的投影
1.投影的形成：所有点的投影光滑连接。 2 .投影特性：
1） 曲线的投影一般仍是曲线
2） 点∈曲线----- 点投影∈曲线投影（反之）
3） 直线与曲线相切，投影后保持不变
4） 平面曲线的实形性、积聚性
三、圆的投影
机械工程中圆的普遍性、规则运动。 1、圆的投影特性： 1） 一般情况下：圆的投影为椭圆 2） 圆平面平行于投影面时，反映实形
§7-1 螺旋线
1．圆柱螺旋线的形成 当一个动点沿着一直线等速移动，而该直线同时绕与它平 行的一轴线等速旋转时，动点的轨迹就是一根圆柱螺旋线。 2．圆柱螺旋线的画法
第七章 曲线与曲面
X1 0.5Y1 0.5Y2
O1
Y1
整理描深，擦 去不可见图线 和共面分界线
6.4 组合体的尺寸标注
1.尺寸标注要完整 定形、定位、总体，不少。 （1）定形尺寸 确定各基本体大小的尺寸 （2）定位尺寸 确定各基本体的相对位置尺寸 （3）总体尺寸 组合体总长、总宽、总高
20 610 20 520 10 10 620 120
挡土墙 三投影
直墙
拆分 基础
撑墙
整体结构
6.2.3 线面 分析法
1′ （2′）
1″ 2″
1.分析 立面图一个线 框，不能分解，形 体分析法不适合。 由于V面投影是一 个封闭的五边形线 框，说明翼墙是由 4′ 七个平面。 2.确定各表面 5′ 的形状和空间位置。 3.综合想象整 4 体形状 分步“组 装”，综合想象出 桥台的空间形状。
620 800 20 10 650 140 180
80 160
380
90 90
330
30 140
120
6.4.2 尺寸的标注方法与步骤
在标注尺寸时要注意形体分析，先标注定形尺寸，其 次是定位尺寸，最后是总体尺寸。 1. 形体分析，选定基准。
长度 基准 缘石 墙身
高向 基准
宽向 基准
基础
2. 标注三类尺寸 定形、定位、总体尺寸 3. 检查复核：
D1 O1 O2 C1
（5）整理描深， 完成作图
A1
O1
B1 O2
（4）向下平移圆 心H距离再画弧
5. 组合体的正等测作图方法 组合体的组合方式有切割法、叠加法及综合法的等 方式。 （1）叠加法：由几个基本体组合的方法； （2）切割法：在基本体的基础上，利用切面进行切割 的方法； （3）综合法：是叠加法和切割法的综合方法。
第七章~《画法几何》
投影图特征：一面投影为圆，另外两面投影为相同的矩形框。
（a）
（b）
（c）
图7-9 圆柱及其表面上点的投影
13
画法几何
7.2.1 圆柱及其表面上点的投影
1．圆柱的投影
17
画法几何
7.2.2 圆锥及其表面上点的投影
2．圆锥表面上点的投影
如图7-12所示，已知柱面上点M的V面投影m'，试求该点的其他两面投影，其作图步骤如下。
（a）圆锥及其投影
（b）辅助素线法 图7-12 圆锥及其表面上点的投影
（c）辅助圆法
18
画法几何
7.2.2 圆锥及其表面上点的投影
2．圆锥表面上点的投影
图7-11 圆锥体的形成
（a）圆锥及其投影
（b）辅助素线法
（c）辅助圆法
图7-12 圆锥及其表面上点的投影
16
7.2.2 圆锥及其表面上点的投影
2．圆锥表面上点的投影
画法几何
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出；圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法 才能求出。按照辅助线作用不同，辅助线法可分为辅助素线法和辅助圆法两种。其中，利用辅助素 线法所作的辅助线是过该点的素线，利用辅助圆法所作的辅助线是过该点且与底面平行的圆。
◆俯视图：反映顶面和底面实形，即为正六边形，该六边形的六个顶
点是六条棱边（铅垂线）的积聚投影。
◆主视图：为三个矩形。中间矩形为前、后棱面的重合投影；左侧矩
形为左侧前、后棱面的重合投影，右侧矩形为右侧前、后棱面的重合投影。
◆左视图：为两个矩形，分别是左、右四个铅垂棱面的重合投影。
画法几何之曲线曲面共132页
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
画法几何之曲线曲面4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
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4
1．正螺旋柱状面的形成
5
2. 正 螺 旋 柱 状 面 的 画 法
6
3. 正螺旋柱状面应用的例子
螺旋扶手 螺旋楼梯
7
7.3
单叶双曲回转面
1. 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面的形成 单叶双曲回转面是由直母线绕与它交叉的轴线旋转而形成。 单叶双曲回转面的画法 2. 单叶双曲回转面的画法 （1） 画出回转轴及直导线的两面投影； （2） 作出轮廓线顶圆和底圆的两面投影： （3） 作出若干素线及外视转向线的投影。
2
2. 螺旋线的画法
3
7.2
正螺旋柱状面
1. 正螺旋柱状面的形成 正螺旋柱状面的两条曲导线皆为圆柱螺旋线，连续运动的 直母线始终垂直于圆柱轴线。 2. 正螺旋柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线（圆柱螺旋线）； （2） 作出直母线的两面投影； （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3. 正螺旋柱状面的应用的例子
1．锥状面的形成
直导线
导平面
曲导线
14
2. 锥状面的画法
15
7.6
双曲抛物面
1. 双曲抛物面的形成 一直母线沿两交叉直导线连续运动，同时始终平行于一导 平面，其运动轨迹称为双曲抛物面。 2. 双曲抛物面的画法 （1） 画出两条直导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。 3. 双曲抛物面的截交线
曲导线
导平面
曲导线
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2. 柱状面的画法
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7.5
锥状面
1. 锥状面的形成 一直母线沿一直导线和曲导线连续运动，同时始终平行于 一导平面，这样形成的曲面称为锥状面。 2. 锥状面的画法 （1） 画出一直导线和曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
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2. 单 叶 双 曲 回 转 面 的 画 法
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两条曲导线连续运 动，同时始终平行于一导平面，这 样形成的曲面称为柱状面 2. 柱状面的画法 （1） 画出两条曲导线的两面投影； （2） 作出直母线的两面投影： （3） 作出该曲面上各素线的投影。
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1．柱状面的形成
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1.双曲抛物面的形成 1.双曲抛物面的形成
直母线
直导线
直导线 导平面
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2.双曲抛物面的画法 2.双曲抛物面的画法
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3.双曲抛物面的截交线 3.双曲抛物面的截交线
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本 章 结 束
第7章 常见曲线曲面的画法
7.1 螺旋线 7.2 螺旋面 7.3 单叶双曲回转面 7.4 柱状面 7.5 锥状面 7.6 双曲抛物面
1
7.1
螺旋线
1. 圆柱螺旋线的形成
当一个动点沿着一直线等速 移动， 移动，而该直线同时绕与它平行 的一轴线等速旋转时 的一轴线等速旋转时，动点的轨 迹就是一根圆柱螺旋线 圆柱螺旋线。 迹就是一根圆柱螺旋线。