分式的运算技巧讲义

内容基本要求

略高要求

较高要求

分式的概念了解分式的概念，能确定分式有意义

的条件

能确定使分式的值为零的条件

分式的性质理解分式的基本性质，并能进行简单

的变型

能用分式的性质进行通分和约分

分式的运算理解分式的加、减、乘、除运算法则

会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题

一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：

a c

ad bc b d

=?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b

c d a c d c

b d b a d b

c a ?=??

?=?=??

?=??交换内项交换外项同时交换内外项

⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d

b d a c

=?=

⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd

b d b d

±±=?=

（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a

b d n b

+++=+++（...0b d n +++≠）

二、基本运算

分式的乘法：a c a c

b d b d

??=?

分式的除法：a c a d a d

b d b

c b c

?÷=?=?

乘方：()n n

n n

n a a a

a a a

a a

b b b

b b ?=?

=?个

个

n 个

＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)

知识点睛

中考要求

分式的运算技巧

⑶()n n n ab a b =(n 为整数)

⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1

n n a a

-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数分式的加减法法则：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，

a b a b

c c c

+±=

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，

a c ad bc ad bc

b d bd bd bd

±±=±=

分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．

结果以最简形式存在.

一、分式的换元化简

【例1】化简：222233223322

23()2b a b a a b a b b a b a b a a b a b a b +++÷---+-

二、利用乘法公式或因式分解法化简

【例2】计算：221111

[]()()()a b a b a b a b

-÷-+-+-

三、分式的递推通分

【例3】计算：37

224488

11248x x x a x a x a x a x x a ---+

-+++-

【例4】计算：2482

112482111111n

x x x x x x ++++++-+++++(n 为自然数)

【巩固】已知24816

124816

()11111f x x x x x x =++++

+++++，求(2)f .

例题精讲

四、分式的裂项

【例5】化简：111

.....(1)(1)(2)(99)(100)

x x x x x x +++

+++++.

【巩固】化简：2222211111

3256712920

x x x x x x x x x x ++++

+++++++++

【巩固】设n 为正整数，求证：1111

...1335(21)(21)2

n n +++

【例6】若21(2)a x b xy -=--，且0ab >，求111

...(1)(1)(2007)(2007)

xy x y x y +++

++++的值．

【例7】化简：

222

b c c a a b a ab ac bc b ab bc ac c bc ac ab a b b c c a

---++-----+--+--+---.

【例8】化简：222()()()()()()

a bc

b a

c c ab

a b a c b c b a c a c b ---++++++++.

【巩固】化简：222

222a b c b c a c a b

a a

b a

c bc b ab bc ac c ac bc ab

------++--+--+--+.

五、分式配对

【例9】已知：1ax by cz ===，求

444444

111111

111111a b c x y z +++++++++++的值.

【例10】有理数0a ，1a ，2a ，…，n a 满足1i n l a a -=，0i =，1，2，…，n ．

求代数式

1010

1010012

111

1111n

a a a a ++++

++++的值．

1. 计算：()()()b a a b b a a b b a a b

22222222222

211-+-++

2. 化简：代数式3

2411241111

x x x x x x +++

-+++. 3. 化简：

[]111

()()(2)(2)(3)

(1)()

x x m x m x m x m x m x n m x nm +++

++++++-+

4. 化简：()()()()()()

a b b c c a

c a c b b a a c b c b a ---++

------

课后作业