期末检测试卷(二)

期末检测试卷(二)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分. 在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分) 1.以下事件是随机事件的是( ) A.下雨屋顶湿 B.秋后柳叶黄 C.有水就有鱼 D.水结冰体积变大

答案 C

解析 A ，B ，D 是必然事件.

2.在△ABC 中，若A ＝60°，C ＝45°，c ＝3，则a 等于( ) A.1 B.322 C.233 D.2

答案 B

解析 由正弦理得，a ＝c sin A sin C ＝32

2

.

3.设复数z ＝2i

1＋i (其中i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内对应的点位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 答案 A

解析 z ＝2i

1＋i ＝2i (1－i )(1＋i )(1－i )

＝2i (1－i )2＝1＋i ，对应的点为(1,1)，在第一象限.

4.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为( ) A.280 B.320 C.400 D.1 000 答案 C

解析 由题意知这是一个分层随机抽样问题，

∵青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本， ∴要从该单位青年职员中抽取的人数为 10

10＋8＋7

×200＝80，

∵每人被抽取的概率为0.2，

∴该单位青年职员共有80

0.2

＝400(人).

5.已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |等于( ) A.1 B. 2 C. 5 D. 6 答案 D

解析 ∵|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ， ∴a ·b ＝12

，

∵|a ＋b |2＝|a －b |2＋4a ·b ， ∴|a ＋b |2＝6， ∴|a ＋b |＝ 6.

6.已知a ＝(2，－3)，b ＝(1，－2)，且c ⊥a ，b ·c ＝1，则c 的坐标为( ) A.(3，－2) B.(3,2) C.(－3，－2) D.(－3,2)

答案 C

解析 设c ＝(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧

2x －3y ＝0，x －2y ＝1，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＝－3，

y ＝－2.故c ＝(－3，－2).

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸)( ) A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸 答案 A

解析 作出圆台的轴截面如图所示，

由题意知，BF ＝14寸，OC ＝6寸，OF ＝18寸，OG ＝9寸， 即G 是OF 的中点，

∴GE 为梯形OCBF 的中位线， ∴GE ＝14＋62＝10寸，

即积水的上底面半径为10寸， ∴盆中积水的体积为

1

3

π×(100＋36＋10×6)×9＝588π(立方寸)， 又盆口的面积为142π＝196π(平方寸)，

∴平均降雨量是588π

196π＝3(寸)，即平均降雨量是3寸.

8.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则角C 为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.60°

答案 C

解析 由sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，得a 2＋b 2＝2c 2， 即a 2＋b 2－c 2＝c 2>0，

又由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab >0，

所以角C 为锐角.

9.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( ) A.13 B.23 C.14 D.29 答案 A

解析 甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：

因为由表格可知，共有9种等可能情况.

其中平局的有3种(锤，锤)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱). 设事件A 为“甲和乙平局”，则P (A )＝39＝13

.

10.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与平面A 1BC 1所成角的正弦值为( ) A.12 B.32 C.33 D.63 答案 C

解析 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 与B 1C 1平行，则直线AD 与平面A 1BC 1所成角的正弦值即为B 1C 1与平面A 1BC 1所成角的正弦值.因为△A 1BC 1为等边三角形，则B 1在平面A 1BC 1上的投影即为△A 1BC 1的中心O ，则∠B 1C 1O 为B 1C 1与平面A 1BC 1所成角.可设

正方体边长为1，显然BO ＝

33×2＝63

，

因此B 1O ＝

1－⎝⎛

⎭⎫632

＝33

， 则sin ∠B 1C 1O ＝B 1O B 1C 1＝3

3

.

11.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是( ) A.“至少有一个黑球”与“都是黑球” B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” D.“至少有一个黑球”与“都是红球” 答案 AB

解析 “至少有一个黑球”中包含“都是黑球”，A 正确； “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确； “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确； “至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确.

12.在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，如图，则下列等式成立的是( )

A.|AC →|2＝AC →·AB →

B.|BC →|2＝BA →·BC →

C.|AB →|2＝AC →·CD →

D.|CD →|2＝(AC →·

AB →)×(BA →·BC →

)|AB →|2

答案 ABD

解析 AC →·AB →＝|AC →||AB →|cos A ，由|AB →|·cos A ＝|AC →|可得|AC →|2＝AC →·AB →

，即选项A 正确， BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，由|BA →|·cos B ＝|BC →|可得|BC →|2＝BA →·BC →，即选项B 正确， 由AC →·CD →＝|AC →||CD →|cos(π－∠ACD )<0，又|AB →|2>0，知选项C 错误，