上海市金山中学2016_2017学年高一数学下学期期中试题
上海中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析
2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ．2．若，则= ．3．函数的最小正周期为．4．在△ABC中，若，则△ABC为三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．若，，则tanαtanβ= ．6．已知，则x= （用反正弦表示）7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为．8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m 的最小值为．9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有个．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= （写出一个即可）二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C．D．y=|cot|15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ﹣．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义，直接求出sinθ和cosθ【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），∴r==，∴sinθ==，cosθ==，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．2．若，则=sin．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．【解答】解：若，则===|sin|=，故答案为：sin．3．函数的最小正周期为 ．【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin （ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．4．在△ABC中，若，则△ABC为 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】诱导公式、两角和的正弦公式求得sin （A+B ）=sinC=1，C 为直角，从而得出结论． 【解答】解：△ABC中，∵，即sinAcosB=1﹣sinBcosA ，∴sin （A+B ）=sinC=1，∴C=，故△ABC 为直角三角形， 故答案为：直角．5．若，，则tan αtan β=．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，联立解得cos αcos β，sin αsin β，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，∴联立，解得：cos αcos β=，sin αsin β=，∴tan αtan β==．故答案为：．6．已知，则x=（用反正弦表示）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案【解答】解：由于arcsin 表示上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．7．函数y=2sin 2x ﹣3sinx+1，的值域为 ．【考点】HW ：三角函数的最值．【分析】令sinx=t ，求出t 的范围，得出关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．【解答】解：令sinx=t ，则y=2t 2﹣3t+1=2（t ﹣）2﹣，∵x ∈[，]，∴t ∈[，1]，∴当t=时，y 取得最小值﹣，当t=或1时，y 取得最大值0．故答案为：．8．将函数y=cos2x ﹣sin2x 的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=cos（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，即m=+，则m的最小值为，故答案为：9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ﹣．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再利用sinφ=﹣得出a的值．【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，cosφ=，∵函数图象关于x=﹣对称，∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．∵cosφ=＞0，∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，∴=﹣，解得a=﹣．故答案为：．10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在 2 个点关于y轴对称．【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，根据函数图象即可得出结论．【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈，如图所示；则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）与（，0）．故答案为：2．11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有11 个．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=s in1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数．【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= sin（x﹣）+（写出一个即可）【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，∴ω=，k∈Z，取ω=；∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；∴①﹣②得A=3∴A（cosφ﹣sinφ）=3∴A（cos cosφ﹣sin sinφ）=∴Acos（φ+）=令A=，则φ=﹣；∴写出满足条件的一个函数为f （x ）=sin （x ﹣）+；故答案为：．二.选择题13．若﹣＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】GC ：三角函数值的符号． 【分析】根据三角函数值的符号判断即可．【解答】解：∵﹣＜α＜0，∴cos α＞0 tan α＜0 tan α•cot α=1 ∴cot α＜0∴点（cot α，cos α）在第一象限． 故选：D ．14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）A ．y=tan|x|B ．y=cos （﹣x ）C ．D ．y=|cot|【考点】3J ：偶函数；3E ：函数单调性的判断与证明． 【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．【解答】解：y=sin （x ﹣）=﹣sin （﹣x ）=﹣cosx 故选C ．15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2【考点】3L：函数奇偶性的性质；H5：正弦函数的单调性．【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．【解答】解：y=sinx是单调递增的偶函数．∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα=sin﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．∴原式得证18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由，．利用二倍角公式即可出tanθ的值；（2）根据tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和与差的公式化简可求出的值．【解答】解：（1）由tan2θ=，．可得： tan2θ﹣tanθ﹣=0，∵．∴tanθ=．（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，可得：sinθ=，cosθ=．那么===2．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先化简f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论．【解答】解：y=﹣（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴函数的值域：；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函数的递增区间：，k∈Z；令2x﹣=，解得x=+，∴函数的对称轴：x=+，k∈Z；令2x﹣=kπ得x=+，∴函数的对称中心：（+，0），k∈Z；作图如下：（1）列表：作出图象如下：20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】（1）利用三角恒等变换化简g（x）+g（x+2），判断与g（x+1）的关系即可；（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），两式相减即可得出f （x+3）=﹣f（x），从而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期为6；（3）以f（x）=cos（）为例即可得出结论．【解答】解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（）+sin（+）=sin（）﹣sin（）+cos（）=sin（）+cos（）=sin（+）=sin（）=g（x+1），∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），∴g（x）∈A．（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）﹣f（x）=f（x+2），∴f（x+3）=﹣f（x），∴f（x﹣3+3）=﹣f（x﹣3），即f（x）=﹣f（x﹣3），∴f（x+3）=f（x﹣3），即f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数．（3）A中的元素不一定是奇函数，令，则f（x）+f（x+2）=cos（）+cos（+）=cos（）﹣cos（）﹣sin（）=cos（）﹣sin（）=cos（+）=f（x+1）．∴f（x）=cos（x）∈A，而f（x）=cos（x）是偶函数，故A中的元素不一定是奇函数．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x ∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，分析即可求得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，∴f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，∵sinx≠0，∴a=﹣，令h（x）=﹣=2sinx﹣，h′（x）=2cosx+=，令h′（x）=0得x=或，∴h（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，当a＜﹣1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．2017年6月6日。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题(含答案)
O 15
x
_____________ 三角形 .
36
6． 已知函数 f ( x) Asin( x 图像（部分）如图所示，则
)( x R，A 0， 0， ) 的 2
f ( x) 的解析式是 _____________ ．
－2
第 6题
7．已知函数 f ( x) 2sin( x )( 3
0) 的最小正周期为 ，则
) 个单位后得到函数 g( x) 的图像．若 2
对满足 | f ( x1 ) g (x2 ) | 2 的 x1、 x2 ，有 |x1 x2 |min
()
，则
3
………………
A. 5
B.
C.
D.
12
3
4
6
三、解答题（本大题共 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内
写出必要的步骤 .
金山中学 2015 学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷
（考试时间： 90 分钟 满分： 100 分 ）
一、填空题（本大题共 12 小题，满分 36 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果，每个空格填对得 3 分，否则一律得零分 .
1． 若 2016 ，则 在第 __________象限．
-1-
的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得
3 分，否则一律得零分 .
13．已知函数 f ( x) cos2 x sin2 x ，下列结论错误的是…………………………
()
A． f (x) cos 2x
B
．函数 f ( x) 的图像关于直线 x 0 对称
C． f (x) 的最小正周期为
D
．
的对称中心为 (k ,0), k Z
2016-2017年上海中学高一下学期期中数学试卷及参考答案
8． （3 分）将函数 y=cos2x﹣sin2x 的图象向左平移 m 个单位后，所得图象关于原 点对称，则实数 m 的最小值为 【解答】解：把函数 f（x）=cos2x﹣sin2x= 个单位， 可得 y= cos（2x+2m+ ）的图象， =kπ+ ，k∈Z， ． cos（2x+ ）象向左平移 m（m＞0）
]，且 αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是
A．α＞β 三.简答题 17．求证： 18．已知 （1）求 tanθ 的值； （2）求
D．α2＞β2
﹣2cos（α+β）= ， ．
．
的值．
19．写出函数
的值域、单调递增区间、对称轴
方程、对称中心坐标（只需写出答案即可） ，并用五点法作出该函数在一个周 期内的图象． 20．已知集合 A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}， （1）求证：g（x）∈A； （2）g（x）是周期函数，据此猜想 A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是 否正确，并证明你的结论； （3）g（x）是奇函数，据此猜想 A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正 确，并证明你的结论． 21．已知函数 f（x）=sin（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为 π，其图 象的一个对称中心为 ，将函数 f（x）图象上的所有点的横坐标伸长 个单位长度后得到 ．
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2016-2017 学年上海中学高一下学期期中数学试卷
(精品)2016-2017学年上海中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ=．2．（3分）若，则=．3．（3分）函数的最小正周期为．4．（3分）在△ABC中，若，则△ABC为三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）5．（3分）若，，则tanαtanβ=．6．（3分）已知，则x=（用反正弦表示）7．（3分）函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为．8．（3分）将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．9．（3分）若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a=．10．（3分）若函数f（x）=sinx和定义域均是[﹣π，π]，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．11．（3分）已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有个．12．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）=（写出一个即可）二.选择题13．（3分）若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（3分）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x|B．y=cos（﹣x）C．D．y=|cot|15．（3分）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为16．（3分）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2三.简答题17．求证：﹣2cos（α+β）=．18．已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19．写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），∴r==，∴sinθ==，cosθ==，∴sinθ+cosθ=﹣，故答案为：．2．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）若，则=sin．【解答】解：若，则===|sin|=，故答案为：sin．3．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）函数的最小正周期为．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．4．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）在△ABC中，若，则△ABC 为直角三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）【解答】解：△ABC中，∵，即sinAcosB=1﹣sinBcosA，∴sin（A+B）=sinC=1，∴C=，故△ABC为直角三角形，故答案为：直角．5．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）若，，则tanαtanβ=．【解答】解：∵，，∴cosαcosβ﹣sinαsinβ=，cosαcosβ+sinαsinβ=，∴联立，解得：cosαcosβ=，sinαsinβ=，∴tanαtanβ==．故答案为：．6．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）已知，则x=（用反正弦表示）【解答】解：由于arcsin表示[﹣，]上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．7．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为[﹣，0] ．【解答】解：令sinx=t，则y=2t2﹣3t+1=2（t﹣）2﹣，∵x∈[，]，∴t∈[，1]，∴当t=时，y取得最小值﹣，当t=或1时，y取得最大值0．故答案为：．8．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m的最小值为．【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，可得y=cos（2x+2m+）的图象，根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，即m=+，则m的最小值为，故答案为：9．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a=﹣．【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，s inφ=，cosφ=，∵函数图象关于x=﹣对称，∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．∵cosφ=＞0，∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，∴=﹣，解得a=﹣．故答案为：．10．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）若函数f（x）=sinx和定义域均是[﹣π，π]，则它们的图象上存在2个点关于y轴对称．【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和的图象，其中x∈[﹣π，π]，如图所示；则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）与（，0）．故答案为：2．11．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有11个．【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，满足条件的正整数k有11个．故答案为：11．12．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）=sin（x﹣）+（写出一个即可）【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，∴ω=，k∈Z，取ω=；∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；∴①﹣②得A[sin（+φ）﹣sinφ]=3∴A（cosφ﹣sinφ）=3∴A（cos cosφ﹣sin sinφ）=∴Acos（φ+）=令A=，则φ=﹣；∴写出满足条件的一个函数为f（x）=sin（x﹣）+；故答案为：．二.选择题13．（3分）（2017春•徐汇区校级期中）若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵﹣＜α＜0，∴cosα＞0 tanα＜0tanα•cotα=1∴cotα＜0∴点（cotα，cosα）在第一象限．故选：D．14．（3分）（2003•上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）A．y=tan|x|B．y=cos（﹣x）C．D．y=|cot|【解答】解：y=sin（x﹣）=﹣sin（﹣x）=﹣cosx故选C．15．（3分）（2016•北京）将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为【解答】解：将x=代入得：t=sin=，将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，得到P′（+s，）点，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则sin（+2s）=cos2s=，则2s=+2kπ，k∈Z，则s=+kπ，k∈Z，由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，故选：A．16．（3分）（2014•上海二模）若α、β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2【解答】解：y=sinx是单调递增的偶函数．∵，∴αsinα，βsinβ皆为非负数∵αsinα﹣βsinβ＞0，∴αsinα＞βsinβ∴|α|＞|β|，∴α2＞β2故选：D三.简答题17．（2016春•林芝地区期末）求证：﹣2cos（α+β）=．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα=sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin[（α+β）﹣α]=sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．∴原式得证18．（2017春•徐汇区校级期中）已知，．（1）求tanθ的值；（2）求的值．【解答】解：（1）由tan2θ=，．可得：tan2θ﹣tanθ﹣=0，∵．∴tanθ=．（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，可得：sinθ=，cosθ=．那么===2．19．（2017春•徐汇区校级期中）写出函数的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．【解答】解：y=﹣（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴函数的值域：[﹣2，2]；令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴函数的递增区间：，k∈Z；令2x﹣=，解得x=+，∴函数的对称轴：x=+，k∈Z；令2x﹣=kπ得x=+，∴函数的对称中心：（+，0），k∈Z；作图如下：（1）列表：2x﹣0π2πxy020﹣20作出图象如下：20．（2017春•徐汇区校级期中）已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．【解答】解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（）+sin（+）=sin（）﹣sin（）+cos（）=sin（）+cos（）=sin（+）=sin（）=g（x+1），∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），∴g（x）∈A．（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）﹣f（x）=f（x+2），∴f（x+3）=﹣f（x），∴f（x﹣3+3）=﹣f（x﹣3），即f（x）=﹣f（x﹣3），∴f（x+3）=f（x﹣3），即f（x+6）=f（x），∴f（x）是以6为周期的函数．（3）A中的元素不一定是奇函数，令，则f（x）+f（x+2）=cos（）+cos（+）=cos（）﹣cos（）﹣sin（）=cos（）﹣sin（）=cos（+）=f（x+1）．∴f（x）=cos（x）∈A，而f（x）=cos（x）是偶函数，故A中的元素不一定是奇函数．21．（2017春•徐汇区校级期中）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，∴ω==2，又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，∴f（x）=cos2x．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，∴g（x）=sinx．（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，∵sinx≠0，∴a=﹣，令h（x）=﹣=2sinx﹣，h′（x）=2cosx+=，令h′（x）=0得x=或，∴h（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，当a＜﹣1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；当﹣1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．:whgcn；caoqz；w3239003；zhczcb；742048；sxs123；wubh2011；杨南；豫汝王世崇；xintrl；涨停；左杰（排名不分先后）2017年6月6日。
2016-2017年上海市金山中学高一(下)期中数学试卷和答案
． ． ． ． = ，
11． （5 分）已知 θ 是第三象限角，且 sinθ﹣2cosθ=﹣ ，则 sinθ+cosθ= 12． （5 分） 在△ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c． 若 则 A= ． =
二.选择题（每小题 5 分，共 20 分） 13． （5 分）已知点 P（tanα，cosα）在第三象限，则角 α 的终边在（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 ）
A．充分必要条件 C．必要不充分条件
三.解答题（14 分+14 分+14 分+16 分+18 分，共 76 分） 17． （14 分）已知 f（x）=log2（2x﹣1） ． （1）求 f（x）的反函数 f﹣1（x） ； （2）解方程 f（2x）=f﹣1（x） ． 18． （14 分） 已知 sin （2α﹣β） = ， sin 求 sinα 的值． 19． （14 分）设 （1）若 （2）设 g （x）= 实数 m 的取值范围． 20． （16 分）如图所示，扇形 AOB，圆心角∠AOB 的大小等于 半径 OA 上有一动点 C，过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 （1）若 C 是半径 OA 的中点，求线段 PC 的大小；
） ， ，k∈Z， ，k∈Z； ，2kπ+ ） ，k∈Z． ，π） ，则 tan2α 的值是 ，π） ， ． ） ，k∈Z．
解得 2kπ﹣
＜x＜2kπ+
∴函数 y 的单调增区间为（2kπ﹣ 故答案为： （2kπ﹣ ，2kπ+
7． （5 分）设 sin2α=﹣sinα，α∈（
【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（ ∴cosα=﹣ ，sinα= ∴tanα=﹣ 则 tan2α= 故答案为： 8． （5 分）已知 tan（π﹣α）=﹣ ，则 【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣ ， ∴tan ， ， = = ． = ，
上海市金山中学高一数学下学期期中试题[2]
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金山中学2017学年第二学期高一年级数学学科期中考试试卷（考试时间：120分钟 满分:150分)一、填空题（本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________. 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π,则扇形半径长为 ． 3．方程2cos 10x +=的解集是__________． 4。
设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<<⎪⎝⎭的值域为___________． 6．设函数()f x 是R 上的奇函数,当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+,则r =___________． 8。
如图所示,在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，。
将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B 。
上海市金山中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
（考试时间：120 分钟 满分：150 分） 一、填空题：本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．
1.已知 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，若 a4 = 3 ，则 S7 = __________.
【详解】当 x 0 时， −x 0 ，由已知得 f (−x) = cos(−x) = cosx ，
因为 f ( x) 是 R 上的奇函数，所以 （f x）= − （f − x）= −cosx ．
故答案为 f ( x) = −cosx ( x 0) ．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，解决本题的关键在于：当 x 0 时，求出 f (−x) ，再寻求 f ( x) 与
f (−x) 的关系．
7.若等比数列an 的前 n 项和 Sn = 2 3n + r ，则 r = ___________．
【答案】 −2 【解析】 【分析】
根据 an = Sn − Sn−1 求得数列的通项公式，进而求得 a1 ，根据 a1 = S1 求得 r ．
【详解】 Sn = 2 3n + r，Sn−1 = 2 3n−1 + r，（n 2，n N +），∴ an = Sn − Sn−1 = 4 3n−1 ， 又 a1 = S1 = 6 + r ，由通项得： a2 = 8 ，公比为 3，
【详解】设 A（x1，y1），B（x2，y2）．由三角函数定义，得
x1
=
cos
=
1 3
，
x2＝cos
+
上海市高一数学下学期期中试题
2016学年第二学期高一数学期中测试卷(完卷时间：90分钟,满分：100分）一．填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1。
已知角的终边经过点，则__ __.2.若在扇形中，圆心角所对弧长等于半径，则这个圆心角的弧度数为。
3。
若则．4.不等式的解集为．5。
已知，，则．6.行列式中元素3的余子式的值是________________.7.函数的单调减区间为________________。
8。
关于x的不等式的解是 ___________.9.计算：10。
已知有意义，实数x的取值范围是 ___________。
11。
已知，则12.关于函数，有下列命题：（1）函数的图像关于轴对称（2）当时，为增函数；当时,函数为减函数(3）没有最小值,也没有最大值（4)当或时，为增函数其中正确命题的序号是二、选择题（本大题满分16分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，选对得4分,否则一律得零分.13．“”是“”成立的………（）．充分非必要条件必要非充分条件充要条件既非充分又非必要条件14．设，则化简的结果是………（）．15．行列式中，元素的代数余子式的值为___________.……（ )16．给出下列函数：（1）（2）（3）（4）其中为奇函数的是………（）.(1）与(2）（2)与（3）（3）与（4）（1）与（3）三、解答题（本大题满分48分）本大题共5题，解答下列各题，写出必要的步骤。
17．(本题满分8分,第(1）小题满分4分，第(2）小题满分4分)已知函数．(1)求函数的定义域；(2）判断的关系，并说明函数图像的特点;解：18．(本题满分10分，第（1)小题满分4分,第(2）小题满分6分）已知（1）求（2)求。
解：19．（本题10分，第(1)小题5分,第(2）小题2分，第（3)小题3分）判断实数m为何值时，二元一次方程组．(1）有唯一解,并求出该解；（2)无解；（3)无穷多解．解：20．（本题10分,第（1)小题4分，第（2)小题6分）(1)把写成形式（2）若有意义，求的取值范围解:21。
上海市2016_2017学年高一数学下学期期中试题(含解析)
－2cos(α＋β)＝ .
在证明三角恒等式时，可先从两边的角入手——变角，将表达式中的角朝着我们选定的目标 转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中的函数种类尽量减少，这是三角恒等 变换的基本策略．
18. 已知
，
. （1）求 的值；（2）求
的值.
【答案】（1） ； （2） 【解析】试题分析：（1）由
对称，则 ________
【答案】
【解析】
，其中，
，
，∵函数图象
关于
对称，∴
，即
， ．∵
，
∴
，∴
，∴
，解得
，故答案为 .
10. 若函数
和
________个点关于 轴对称 【答案】2
【解析】在同一坐标系中画出函数
，如图所示；
定义域均是
，则它们的图像上存在
和
的图象，其中
3
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试题解析：
，
值域：
；递增区间：
，
；对称轴：
，
；
对称中心：
，
；作图：
20. 已知集合
，
.
（1）求证：
；
（2） 是周期函数，据此猜想 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证
明你的结论；
（3） 是奇函数，据此猜想 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你
的结论.
【答案】（1）见解析 （2）是； （3）不是，反例：
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
满足既是偶函数又在 上单调递增，故
选 C．
15. 将函数
图像上的点 向左平移
上海市2016_2017学年高一数学下学期期中试卷(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！上海市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第象限．2． = ．3．若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a= ．4．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8= ．5．在△ABC中，，，则= ．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．7．方程3sinx=1+cos2x的解集为．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．9．无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{1，3}，则k的最大值为．10．在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是．二.选择题11．已知，，，则β=（）A． B．C．D．12．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B． C． D．13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．2016-2017学年上海市华东师大二附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．弧度数为3的角的终边落在第二象限．【考点】G3：象限角、轴线角．【分析】判断角的范围，即可得到结果．【解答】解：因为＜3＜π，所以3弧度的角终边在第二象限．故答案为：二2． = ﹣．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】利用二倍角公式、诱导公式，求得所给式子的值．【解答】解： =cos=﹣cos=﹣，故答案为：．3．若函数f（x）=asinx+3cosx的最大值为5，则常数a= ±4 ．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，可得最大值．【解答】解：函数f（x）=asinx+3cosx=sin（x+θ），其中tanθ=．∵sin（x+θ）的最大值为1．∴函数f（x）的最大值为，即=5可得：a=±4．故答案为：±4．4．已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=8，a4+a6=0，则S8= 8 ．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=8，a4+a6=0，∴2×8+8d=0，解得d=﹣2．则S8=8×8﹣2×=8．故答案为：8．5．在△ABC中，，，则= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由正弦定理可求sinC的值，结合C的范围可求C，利用三角形内角和定理可求B，由正弦定理及比例的性质即可计算得解．【解答】解：∵，，∴由正弦定理，可得： =，解得：sinC=，C为锐角，可得C=，∴由A+B+C=π，可得：B=，∴===．故答案为：．6．函数的图象可由函数的图象至少向右平移个单位长度得到．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】令f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），则f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ），依题意可得2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．7．方程3sinx=1+cos2x的解集为．【考点】GI：三角函数的化简求值．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinx=，由此求得x的取值范围．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，即3sinx=1+1﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，∴x∈，故答案为：．8．已知θ是第四象限角，且，则= ．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（﹣θ）及cos（﹣θ），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴﹣+2kπ＜θ＜2kπ，则﹣+2kπ＜θ+＜+2kπ，k∈Z，又sin（θ+）=﹣，∴cos（θ+）==．∴cos（﹣θ）=sin（θ+）=﹣，sin（﹣θ）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（﹣θ）=﹣=．故答案为：．9．无穷数列{a n}由k个不同的数组成，S n为{a n}的前n项和，若对任意n∈N*，S n∈{1，3}，则k的最大值为 4 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】根据a1∈{1，3}，a n=S n﹣S n﹣1（n≥2），即可得出结论．【解答】解：∵对任意n∈N*，S n∈{1，3}，∴a1=S1∈{1，3}，∴a1=1或a1=3，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，∴a n可能的值只有0，2，﹣2，三种情况，故数列{a n}最多有1，0，2，﹣2，或3，0，2，﹣2四个数字组成，故答案为4．10．在锐角△ABC中，若sinA=3sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是12 ．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】结合三角形关系和式子sinA=2sinBsinC可推出sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，进而得到tanB+tanC=3tanBtanC，结合函数特性可求得最小值．【解答】解：由sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=3sinBsinC，可得sinBcosC+cosBsinC=3sinBsinC，①由三角形ABC为锐角三角形，则cosB＞0，cosC＞0，在①式两侧同时除以cosBcosC可得tanB+tanC=3tanBtanC，又tanA=﹣tan（π﹣A）=﹣tan（B+C）=﹣②，则tanAtanBtanC=﹣•tanBtanC，由tanB+tanC=3tanBtanC，可得tanAtanBtanC=﹣，令tanBtanC=t，由A，B，C为锐角可得tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，由②式得1﹣tanBtanC＜0，解得t＞1，tanAtanBtanC=﹣=﹣，﹣=（﹣）2﹣，由t ＞1得，﹣≤﹣＜0，因此tanAtanBtanC的最小值为12．故答案为：12．二.选择题11．已知，，，则β=（）A． B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos（α﹣β），cosα，进而由sinβ=﹣sin，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，，∴α﹣β∈（﹣，），cos（α﹣β）==，又∵，可得：cos=，∴sinβ=﹣sin=﹣sin（α﹣β）cosα+cos（α﹣β）sinα=﹣（﹣）×+=，∴．故选：C．12．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A． B．C． D．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】首先，根据图形，得到振幅A=2，然后，根据周期公式，得到ω=2，从而得到f（x）=2sin（2x+φ），然后，将点（，2）代入，解得φ，最后，得到f（x）．【解答】解：据图，A=2，，∴T=π，∵T=，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ），将点（，2）代入上式，得φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；故选A．13．“sinα＜0”是“α为第三、四象限角”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：由α为第三、四象限角，可得sinα＜0．反之不成立，例如．故选：B．14．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B三.简答题15．在△ABC中，a2+c2=b2+ac．（1）求∠B 的大小；（2）求cosA+cosC的最大值．【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）根据已知和余弦定理，可得cosB=，进而得到答案；（2）由（1）得：C=﹣A，结合正弦型函数的图象和性质，可得cosA+cosC的最大值．【解答】解：（1）∵a2+c2=b2+ac，可得：a2+c2﹣b2=ac．∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．（2）由（1）得：C=﹣A，∴cosA+cosC=cosA+cos（﹣A）=cosA﹣cosA+sinA=sinA．∵A∈（0，），∴故当A=时，sinA取最大值1，即cosA+cosC的最大值为1．16．已知{a n}是等比数列，前n项和为S n（n∈N*），且﹣=，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{（﹣1）n b}的前2n项和．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1，得出通项公式；（2）利用对数的运算性质求出b n，使用分项求和法和平方差公式计算．【解答】解：（1）设{a n}的公比为q，则﹣=，即1﹣=，解得q=2或q=﹣1．若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符合题意．∴q=2，∴S6==63，∴a1=1．∴a n=2n﹣1．（2）∵b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，∴b n=（log2a n+log2a n+1）=（log22n﹣1+log22n）=n﹣．∴b n+1﹣b n=1．∴{b n}是以为首项，以1为公差的等差数列．设{（﹣1）n b n2}的前2n项和为T n，则T n=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n===2n2．17．已知函数；（1）求f（x）的定义域与最小正周期；（2）求f（x）在区间上的单调性与最值．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．【分析】（1）根据tanx有意义得出定义域；利用三角恒等变换化简f（x），得出f（x）的周期；（2）根据正弦函数的单调性求出f（x）的单调区间，根据单调性计算最值．【解答】解：（1）由tanx有意义得x≠+kπ，k∈Z．∴f（x）的定义域是，f（x）=4tanxcosxcos（x﹣）﹣=4sinxcos（x﹣）﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣=sin2x+（1﹣cos2x）﹣=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）．∴f（x）的最小正周期T==π．（2）令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z．∩=，[+kπ， +kπ]∩=，∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴f（x）的最小值为f（﹣）=﹣2，又f（﹣）=﹣1，f（）=1，∴f（x）的最大值为f（）=1．18．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有实数解，求实数a的取值范围；（3）若方程在区间上有两个相异的解α、β，求α+β的最大值．【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】（1）两边取正切列方程解出x，从而可求出arccos的值；（2）两边取正切得出tana关于x的函数，利用不等式得出tana的范围，从而得出a的范围；（3）根据二次函数的性质列不等式组得出tana的范围，利用根与系数的关系得出α+β的最值．【解答】解：（1）当时，arctan+arctan（2﹣x）=，∴，解得x=﹣1或x=2，∴当x=﹣1时， =arccos（﹣）=π﹣arccos=；当x=2时，arccos=arccos1=0，（2）∵，∴tana==当x=4时，tana=0，当x≠4时，tana=，∵4﹣x+≥2或4﹣x+≤﹣2，∴0＜tana≤或≤tana＜0，综上，≤tana≤，∴a∈．（3）由（2）知=tana在上有两解α，β，即tana•x2+（1﹣2tana）x+2tana﹣4=0在有两解α，β，∴α+β==2﹣，∴△=（1﹣2tana）2﹣8tana（tana﹣2）=﹣4tan2a+12tana+1＞0，解得﹣＜tana＜且tana≠0．①若tana＞0，则对称轴=1﹣＜2，方程在上不可能有两解，不符合题意，舍去；②若tana＜0，令5＜1﹣＜15，解得﹣＜tana＜﹣，又，解得tana≤﹣，综上，﹣＜tana≤﹣，∴当tana=﹣时，α+β取得最大值2+17=19．。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题
金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第__________象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________．3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ___________．5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____________三角形.6． 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是_____________． 7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．8． 设锐角βα、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+=__________．9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 10． 设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是____________． 11． 某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为___________．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸－2xyO 231 65 第6题第11题的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( ) 197 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x……………………………… ( ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ= ………………( ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，2cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积．第20题C第19题21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．第21题金山中学2015学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：刘雪孝 审核人：龚伟杰）一、填空题（本大题共12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1． 若2016α=︒，则α在第_____三_____象限．2． 已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为____2_____． 3． 已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+______41______．4． 已知54cos ),,2(-=∈θππθ，则=2sin θ____10103_______． 5． 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是_____等腰_____三角形.6．已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图像（部分）如图所示，则()f x 的解析式是___()2sin()6f x x π=π+_________．7．已知函数()2sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___11{,}412ππ_____．8．设锐角βα、满足5310sin ,cos 510αβ==，则αβ+=_____4π_____． 9. 函数cos2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___89_____．10．设cos x α=,且3[,]44ππα∈-，则arcsin x 的取值范围是_____]2,4[ππ-_______．11．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为______sin αα+______．12．对于函数)(x f ，在使M x f ≥)(成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数)(x f 的“下确界”，则函数x x x x x f csc csc sin sin )(22-+-=的“下确界”为____0____．－2xyO 231 65第6题第11题二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．已知函数22()cos sin f x x x =-，下列结论错误的是………………………… ( D )A ．()cos 2f x x =B ．函数()f x 的图像关于直线0x =对称C ．()f x 的最小正周期为πD ．的对称中心为(,0),k k Z π∈14．在ABC ∆中，3,2,3a c B π===，则=b …………………………………… ( D ) 197 15．已知m x =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x ……………………………… ( C ) A.m 2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±16．将函数x x f 2sin )(=的图像向右平移(0)2πφφ<<个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12|()()|2f x g x -=的12x x 、，有12min ||3x x π-=，则φ=………………( D ) A.512π B. 3π C. 4π D. 6π 三、解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分8分）已知2)2tan(=+απ，求)2cos(απ+的值．解：54)2cos(-=+απ18．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分5分，第二小题满分5分.已知函数x x x x f 2cos 3cos sin 2)(-=． （1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）当]2,0[π∈x 时，求函数)(x f 的最大值和最小值．解：)32sin(2)(π-=x x f（1）π=T ，单调递增区间Z k k k ∈+-],125,12[ππππ ………………5分 （2）当125π=x 时，2)(max =x f ；当0=x 时，3)(m in -=x f ………………5分 19．（本题满分10分）本题有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分.如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=． （1）当点A 的坐标为)54,53(时，求αα2cos 12sin +的值；（2）若30πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC 的取值范围．解：（1）34tan 2cos 12sin ==+ααα ………………4分 （2）∵B （cos （α+），sin （α+）），C （1，0），∴|BC|2=[cos （α+）﹣1]2+sin 2（α+）=2﹣2cos （α+），∵0≤α≤，∴≤α+≤，∴﹣≤cos（α+）≤， ∴1≤2﹣2cos （α+）≤3，∴1≤|BC|≤． ………………10分20．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，2cos 10ADB ∠=-．（1）求sin C 的值；（2）若5BD =,求ABD ∆的面积． 解：（1）因为2cos 10ADB ∠=-，所以72sin ADB ∠=． 第20题C第19题又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅7222245=⋅+⋅=． ………………………6分 （2）在ACD ∆中，由ADCAC C AD ∠=∠sin sin ，得74sin 2522sin 72AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠． 所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=． …………………12分 21．（本题满分12分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分6分.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道(,Rt FHE H ∆是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E F 、分别落在线段BC AD 、上．已知20AB =米，103AD =米，记BHE θ∠=．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 解：（1）由题意可得EH=，FH=，EF=，由于 BE=10tan θ≤10，AF=≤10，而且≤tanθ≤，θ∈[，]，∴L=++，θ∈[，]． 即L=10×，θ∈[，]． ………………………6分（2）设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ=，由于θ∈[，]，∴sinθ+cosθ=t=sin （θ+）∈[，]．由于L=在[，]上是单调减函数，∴当t=时，即 θ=或θ=时，L取得最大值为 20（+1）米． ………………………6分第21题。
2016-2017年上海市金山中学高一(下)期中数学试卷含解析
2016-2017学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）函数y=2sin（3x+）的最小正周期为．2．（4分）已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为．3．（4分）（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是4．（4分）已知角α的终边经过点P（m，﹣3），且，则m=．5．（4分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．6．（4分）函数y=2tan（）的单调增区间为．7．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．8．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣，则的值是．9．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．10．（5分）已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=．11．（5分）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2co sθ=﹣，则sinθ+cosθ=．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若==，则A=．二.选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．（5分）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=14，b=16，A=45°D．a=12，c=15，A=120°15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度16．（5分）已知α，β∈[﹣π，π]，则“|α|＞|β|”是“|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．（14分）已知f（x）=log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．18．（14分）已知sin（2α﹣β）=，sin，且α∈（），β∈（），求sinα的值．19．（14分）设（1）若，求f（x）的最小值；（2）设g （x）=，若g （x）有两个零点，求实数m的取值范围．20．（16分）如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值．21．（18分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为ab，c．若=cosB+cosC．（1）求A的值；（2）令f（B）=2cos2+2cos2，写出f（B）的解析式；（3）求f（B）的值域．2016-2017学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题4分，共54分）1．（4分）函数y=2sin（3x+）的最小正周期为．【解答】解：函数y=2sin（3x+）的最小正周期为T==．故答案为：．2．（4分）已知扇形半径为1，圆心角为2，则扇形的面积为1．【解答】解：∵扇形的半径为1，圆心角为2，∴扇形的面积为•2•1=1．故答案为：1．3．（4分）（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f（x）=log a（x+3）的反函数的图象都经过点P，则点P的坐标是（0，﹣2）【解答】解：函数f（x）=log a x恒过（1，0），将函数f（x）=log a x向左平移3个单位后，得到f（x）=log a（x+3）的图象故f（x）=log a（x+3）的图象过定点（﹣2，0），又由互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，所以其反函数的图象过定点（0，﹣2）故答案为：（0，﹣2）4．（4分）已知角α的终边经过点P（m，﹣3），且，则m=﹣4．【解答】解：由题意，解得m=﹣4故答案为：﹣45．（4分）在△ABC中，a=15，b=10，A=60°，则cosB=．【解答】解：由正弦定理可得=，∴sinB=，再由b＜a，可得B为锐角，∴cosB==，故答案为：．6．（4分）函数y=2tan（）的单调增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k ∈Z．【解答】解：函数y=2tan（），令kπ﹣＜﹣＜kπ+，k∈Z，解得2kπ﹣＜x＜2kπ+，k∈Z；∴函数y的单调增区间为（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．故答案为：（2kπ﹣，2kπ+），k∈Z．7．（5分）设sin2α=﹣sinα，α∈（，π），则tan2α的值是．【解答】解：∵sin2α=2sinαcosα=﹣sinα，α∈（，π），∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα=﹣，则tan2α===．故答案为：8．（5分）已知tan（π﹣α）=﹣，则的值是．【解答】解：∵tan（π﹣α）=﹣tanα=﹣，∴tan，则==．故答案为：．9．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．【解答】解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：10．（5分）已知arcsin（a2+1）﹣arcsin（b﹣1）≥，则arccos（a2﹣b2）=π．【解答】解：由题意，sinα=a2+1，sinβ=b﹣1，α﹣β≥，∴a=0，b=1，∴a2﹣b2=﹣1，∴arccos（a2﹣b2）=π，故答案为：π．11．（5分）已知θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，则sinθ+cosθ=﹣．【解答】解：∵θ是第三象限角，且sinθ﹣2cosθ=﹣，∴sin2θ+cos2θ=（2cosθ﹣）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣或cosθ=，（舍）∴sinθ=﹣=﹣，∴sinθ+cosθ=﹣．故答案为：﹣．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若==，则A=．【解答】解：由正弦定理可得==，可得tanB=2tanA，tanC=3tanA，由﹣tanA=tan（B+C）==，解得tanA=0（舍去）或tanA=1，（﹣1舍去），由0＜A＜π，可得A=．故答案为：．二.选择题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（tanα，cosα）在第三象限，∴，则角α的终边在第二象限，故选：B．14．（5分）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A．b=20，A=45°，C=80°B．a=30，c=28，B=60°C．a=14，b=16，A=45°D．a=12，c=15，A=120°【解答】解：A项中B=180°﹣45°﹣80°=55°，由正弦定理可求得c=•sinC，进而可推断出三角形只有一解；B项中b=为定值，故可知三角形有一解．C项中由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=．因而B有两值．D项中c＞a，进而可知C＞A=120°，则C+A＞180°不符合题意，故三角形无解．15．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选：B．16．（5分）已知α，β∈[﹣π，π]，则“|α|＞|β|”是“|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：不等式|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ等价为|α|﹣cosα＞|β|﹣cosβ，设f（x）=|x|﹣cosx，则函数f（x）是偶函数，当0≤x≤π时，f（x）=x﹣cosx，f′（x）=1+sinx≥0，则函数f（x）在[0，π]上是增函数，则若|α|＞|β|，则f（|α|）＞f（β|），即|α|﹣cosα＞|β|﹣cosβ，则|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ，则“|α|＞|β|”是“|α|﹣|β|＞cosα﹣cosβ”的充要条件，三.解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．（14分）已知f（x）=log2（2x﹣1）．（1）求f（x）的反函数f﹣1（x）；（2）解方程f（2x）=f﹣1（x）．【解答】（本题共14分）解：（1）∵y=f（x）=log2（2x﹣1）．∴2x﹣1=2y，∴2x=2y+1，解得x=，互换x，y，得f（x）的反函数f﹣1（x）=，x∈R．（2）∵f（x）=log2（2x﹣1），f﹣1（x）=，f（2x）=f﹣1（x）．∴，∴，解得x=1．18．（14分）已知sin（2α﹣β）=，sin，且α∈（），β∈（），求sinα的值．【解答】解：∵α∈（），β∈（），∴2α﹣β∈（π，），又∵sin（2α﹣β）=，∴2α﹣β∈（2π，），∴cos（2α﹣β）==，∵sinβ=﹣，β∈（﹣，0），∴cosβ==，∴cos2α=cos[（2α﹣β）+β]=cos（2α﹣β）cosβ﹣sin（2α﹣β）sinβ=，又cos2α=1﹣2sin2α，∴1﹣2sin2α=，又α∈（，π），∴sinα＞0，∴sinα=．19．（14分）设（1）若，求f（x）的最小值；（2）设g （x）=，若g （x）有两个零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵=﹣2cos sin+∴（3分）∵∴x=（5分）（2）设g（x）=（7分）∵函数g（x）有两个零点∴方程时有两个解（9分）∴y=2m与y=图象有两个交点则∴（12分）20．（16分）如图所示，扇形AOB，圆心角∠AOB 的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB 的直线交弧于点P．（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设∠COP=θ，求△COP面积的最大值及此时θ的值．【解答】解（1）在△POC中，，OP=2，OC=1由得PC2+PC﹣3=0，解得；（2）∵CP∥OB，∴，在△POC中，由正弦定理得，即∴，又∴．解法一：记△POC的面积为S（θ），则=，=，第11页（共13页）=∴时，S（θ）取得最大值为．解法二：即OC2+PC2+OC•PC=4，又OC2+PC2+OC•PC≥3OC•PC，即3OC•PC≤4当且仅当OC=PC时等号成立．所以∵OC=PC，∴时，S（θ）取得最大值为．21．（18分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为ab，c ．若=cosB+cosC．（1）求A的值；（2）令f（B）=2cos 2+2cos 2，写出f（B）的解析式；（3）求f（B）的值域．【解答】解：（1）△ABC 中，=cosB+cosC，∴b+c=acosB+acosC，∴sinB+sinC=sinAcosB+sinAcosC，∴sin（A+C）+sin（A+B）=sinAcosB+sinAcosC，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+sinAcosC，∴cosAsinC+cosAsinB=0，即cosA（sinC+sinB）=0，∴cosA=0，∴A=；（2）f（B）=2cos 2+2cos 2=2•+2•=cosB+cosC ++1第12页（共13页）=sinC +cosC ++1=2sin（B +）++1，B∈（0，）；（3）∵B∈（0，），∴＜B +＜，∴＜sin（B +）≤1，∴+2＜2sin（B +）++1≤+3，∴f（B ）的值域为（+2，+3]．第13页（共13页）。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题
金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1. 函数)63sin(2π+=x y 的最小正周期为__________.2. 已知扇形的半径为1，圆心角为2弧度，则它的面积为_______．3．对任意不等于1的正数a ，函数=)(x f log (3)a x +的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 ．4. 若角α的终边经过点(,3)P m -，且54cos -=α，则m 的值为 ． 5. 在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =，则=B cos ________.6. 函数)62tan(2π-=x y 的单调增区间为___________. 7. 设sin 2sin αα=-,(,)2παπ∈,则tan 2α的值是_________.8．已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα+-的值是______. 9．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=______． 10. 已知2)1arcsin()1arcsin(22π≥--+b a ，则()22arccos ____a b -=. 11．已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin .. 12. 在ABC ∆中，角A B 、、C 的对边分别为a b c 、、.若cos 2cos 3cos a b c A B C==，则=A ______. 二.选择题（每小题5分，共20分）13. 已知点)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限14. 在ABC ∆中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）A ．0080,45,20===C A bB ．060,28,30===B c aC ．045,16,14===A b aD ．0120,15,12===A c a。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题(含解析)
2012-2013学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 1 cm2．考点：扇形面积公式．专题：三角函数的求值．分析：利用扇形的面积S==，即可求得结论．解答：解：∵扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，∴扇形的面积S===1cm2，故答案为：1点评：本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．解答：解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为 r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用．3．（3分）已知，则sin2α=﹣．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：由sin（π﹣α）=求得sinα，根据同角三角函数的平方关系及求得cosα，再用二倍角的正弦公式可得答案．解答：解：由sin（π﹣α）=得，sinα=，因为，所以cosα=﹣=﹣=﹣，所以sin2α=2sinαcosα=2×=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查二倍角的正弦、同角三角函数间的关系及诱导公式的应用，考查学生的运算能力，属中档题．4．（3分）已知α是锐角，则= ﹣2 ．考点：对数的运算性质；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先利用同角三角函数的基本关系化简，然后由对数的运算性质得出结果．解答：解：=log cosα（1+）=log cosα（）=log cosα（）=﹣2故答案为：﹣2．点评：此题考查了对数的运算性质以及同角三角函数的基本关系，属于基础题．5．（3分）化简：= ﹣1 ．诱导公式的作用．考点：计算题；三角函数的求值．专题：由题意，直接利用诱导公式化简，即可得到代数的化简结果分析：解：由题意解答：=故答案为﹣1点本题考查利用诱导公式化简求值，解答的关键是熟练记忆诱导公式并能准确利用诱导公评：式化简6．（3分）若α是第三象限角，且，则= ．考点：两角和与差的正弦函数；半角的三角函数．专题：三角函数的求值．分析：由，可求得sinα，进而可得tan，根据α是第三象限角，可得的范围，由此可求答案．解答：解：由，得sin[（α+β）﹣β]=sinα=﹣，则sinα=2sin cos==﹣，解得tan=﹣或﹣，由α是第三象限角，所以，则，所以tan=﹣，故答案为：﹣．点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力．7．（3分）（2012•浦东新区二模）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC= ．考点：正弦定理的应用．专题：计算题．分析：由正弦定理求出sinB的值，可得B的值，再由三角形的内角和公式求出C的值，再由S△ABC=运算求得结果．解答：解：由于在△ABC中，若b=1，，，由正弦定理可得=，∴sinB=．再由大边对大角可得 B=＜A，∴C=π﹣A﹣B=．∴则S△ABC==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题．8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用正弦定理可求得AD，BD，再利用余弦定理即可求得AB．解答：解：作图如下：∵CD=200m，∠ADC=105°，∠ACD=30°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∠BDA=90°；∴在△ACD中，由正弦定理=，即=，∴AD=100；在△BCD中，同理可求BD=100．在直角三角形BDA中，由勾股定理得AB===．故A，B间的距离为200m．故答案为200．点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得AD，BD是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域．专题：新定义；三角函数的图像与性质．分析：利用新定义，展开f（x）利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可．解答：解：由题意=sin2x+4cosx=﹣cos2x+4cosx+1=﹣（cosx﹣2）2+5∈[﹣4，4]．故答案为：[﹣4，4]．点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力．10．（3分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．考点：余弦函数的图象；正切函数的图象．专题：计算题．分析：先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．解答：解：线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=．线段P1P2的长为故答案为．点评：考查三角函数的图象、数形结合思想．11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：利用条件化简可得2（sinφ+cosφ）=a，利用辅助角公式及角的范围，即可求实数a 的取值范围．解答：解：根据题意：2sin2φ﹣asinφ+1=2cos2φ﹣acosφ+1，即：2（sin2φ﹣cos2φ）=a （sinφ﹣cosφ）即：2（sinφ+cosφ）（sinφ﹣cosφ）=a（sinφ﹣cosφ），因为：φ∈（），所以sinφ﹣cosφ≠0故：2（sinφ+cosφ）=a，即：a=2sin（）由φ∈（）得：∈（π/2，3π/4），也就是：sin（）∈（，1）所以：a=2sin （）∈（2，2）故答案为：点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m= 4 ．考点：函数最值的应用．专题：函数的性质及应用．分析：将函数化简，构造新函数g（x）=（x∈[﹣π，π]），判断其为奇函数，可得g（x）max+g（x）min=0，从而可得结论．解答：解：==2+令g（x）=（x∈[﹣π，π]），则g（﹣x）=﹣g（x），∴函数g（x）是奇函数∴g（x）max+g（x）min=0∴M+m=4+g（x）max+g（x）min=4故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、选择题（每小题4分，共16分）13．（4分）已知k∈Z，下列各组角的集合中，终边相同的角是（）A．与B．2kπ+π与4kπ±πC．与D．与考点：终边相同的角．专题：计算题．分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断．解答：解：由于表示的整数倍，而kπ±=（2k±1）表示的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故A不满足条件．（4k±1）π 也表示π的奇数倍，故（2k+1）π与（4k±1）（2k+1）π 表示π的奇数倍，π（k∈Z）是终边相同的角，故B满足条件．kπ+=（k+）π表示π的（k+）倍，而2kπ±=（2k±）π表示π的（2k±）倍，故两个角不是终边相同的角，故C不满足条件．由于表示整数倍，而kπ+=（3k+1）表示非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D不满足条件．故选：B．点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义．14．（4分）在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．形状不确定考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断．解答：解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB∴cos（A+B）＞0∴cosC＜0∴C为钝角故选A．点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C为钝角．15．（4分）（2007•山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f （y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）A．f（x）=3x B．f（x）=sinx C．f（x）=log2x D．f（x）=tanx考点：指数函数与对数函数的关系．分析：依据指、对数函数的性质可以发现A，C满足其中的一个等式，而D满足，B不满足其中任何一个等式解答：解：f（x）=3x是指数函数满足f（xy）=f（x）+f（y），排除A．f（x）=log2x是对数函数满足f（x+y）=f（x）f（y），排除Cf（x）=tanx满足，排除D．故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质．16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，则下列不等式关系中正确的是（）A．f（sinα）＞f （cosβ）B．f（cosα）＜f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（sinα）＜f（cosβ）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据偶函数的性质和条件判断出在[2，3]上是增函数，再由f（2﹣x）=f（x）和偶函数的定义得f（x）=f（x+2），求出函数的周期，再判断出在[0，1]上是增函数，根据α和β的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数f（x）的单调性进行判断．解答：解：∵偶函数f（x）在[﹣3，﹣2]上是减函数，∴f（x）在[2，3]上是增函数，又∵偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），∴f（x）=f（x﹣2），即f（x+2）=f（x），函数的周期T=2，∴f（x）在[0，1]上是增函数，∵α，β是钝角三角形的两个锐角，且α＜β，∴根据余弦函数在（0，π）上递减得，0＜cosβ＜cosα＜1，则f（cosα）＞f（cosβ）．故选C．点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想．三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用，可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论．解答：解：∵，∴tanA=﹣∴===∴=2．点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．18．（8分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；（II）根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c 及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．解答：解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4，∴c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．（II）∵cosC=，∴sinC===．∴sinA===．∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则cosA==，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=×+×=．点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f（x）=2sinxcosx+2cos2x ﹣1化为：f（x）=2sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+）=，可求得sin（2x0+）=，继而可求得cos（2x0+）=﹣，而2x0=（2x0+）﹣，利用两角差的余弦即可求得cos2x0．解答：解：（1）由数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，得f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），所以函数f（x）的最小正周期为π；∵2kπ﹣＜2x+＜2kπ+，k∈Z∴x∈（kπ﹣，kπ+），k∈Z又x∈[0，]，f（x）=2sin（2x+）在[0，]上的单调递增区间为（0，）；（2）由（1）知，f（x0）=2sin（2x0+），∵f（x0）=，∴sin（2x0+）=，由x0∈[，]，得2x0+∈[，]．从而cos（2x0+）=﹣=﹣∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=cos（2x0+）cos+sin（2x0+）sin=．点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题．20．（10分）（2011•福建模拟）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用．考点：综合题．专题：分（1）作出图形，结合图形由，能求出．析：（2）由，r=1，得=．由此能求出点B（x B，y B）的坐标；（3）【法一】，由此能求出x B﹣y B的最小值．【法二】由α为钝角，知x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，由此能求出x B﹣y B的最小值．解解：（1）如图，∵，答：∴．4分（2）由，又r=1，得=．7分由钝角α，知，∴.9分（3）【法一】，又，，∴x B﹣y B的最小值为13分【法二】α为钝角，∴x B＜0，y B＞0，x B2+y B2=1，x B﹣y B=﹣（﹣x B+y B），（﹣x B+y B）2≤2（x B2+y B2）=2，∴，∴x B﹣y B的最小值为．13分点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是高考的常见题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用．21．（14分）（2011•黄浦区二模）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b 的值．考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的值域与最值．专题：综合题；转化思想．分析：（1）由奇函数的性质，可得f（x）+f（﹣x）=0，代入函数的解析式，转化为方程f （x）+f（﹣x）=0在区间D上恒成立，进而求解；（2）令，先求出该函数在定义域D内的单调性，然后利用复合函数的单调性，求出f（x）的单调性．（3）首先由A⊆D，求出a、b的范围，进而结合（2）中的结论，确定函数f（x）的单调性，然后利用函数的单调性确定函数的最值，结合已知，解方程求出a，排除b ＜1的情况，最终确定b的值．解答：解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）化简此式，得（m2﹣1）x2﹣（2m﹣1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），必有，解得m=1．（4分）∴．（5分）（2）当a＞1时，函数上是单调减函数．理由：令．易知1+x在D=（﹣1，1）上是随x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小，（6分）故在D=（﹣1，1）上是随x增大而减小．（8分）于是，当a＞1时，函数上是单调减函数．（10分）（3）∵A=[a，b）⊆D，∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）∴依据（2）的道理，当0＜a＜1时，函数上是增函数，（12分）即，解得．（14分）若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1）∴必有b=1．（16分）因此，所求实数a、b的值是．点评：本题主要考查对数函数的单调性和奇偶性、求函数值域、恒成立等知识，以及运算求解能力．在解答过程当中，分析问题的能力、运算的能力、问题转换的能力以及分类讨论的能力都得到了充分的体现，值得同学们体会反思．。
上海市金山中学2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题
金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x 的解=x __________． 5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若2=⋅+⋅+⋅c b a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n +=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ） A ．m 恒为负数 B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数 三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=，4||=，且与的夹角为0120． （1）求在上的投影； （2）求|32|+．解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=B f ， 3,5==c b ，求a 的值． 解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分.给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）36 18． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=； 当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， 311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin )sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得)612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB（2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 2θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
上海市金山中学2016-2017学年高一下学期3月段考数学试题(解析版)
【解析】
4
，
是第二象限角，则
cos
3
______________ .
sin tan
cos
4 ,sin 2
cos2
1 25 cos2
1
3
9
3 因为 是第二象限角，所以 cos
5
π
3.扇形的圆心角为 ，它所对的弧长是
cm ，则此扇形的面积为 __________ cm 2 ．
3
3
【答案】 6
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的
.
(3) 给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
.
7.方程 lg 2 x2 2 x lg x2 5x 4 的解为 _____________．
【答案】 4
【解析】
ππ
1
lr
r , r 1 S rl
33
2
1 ππ 1
2 36
4 4.已知 sin = ， cos
5 63
【答案】
65
5
，且
、
是同一象限的角，则 cos
13
【解析】
由题意得
cos
、 是第二象限角 , 所以 cos cos cos sin sin
3 ,sin 12
5
13
3 5 4 12 63 ()
5 13 5 13 65
__________ .
5.若 sin cos
【答案】 24 25
【解析】
1 ，则 sin2
5
1
sin cos
2016-2017年上海市金山中学高一下5月月考试卷及答案
金山中学2016学年第二学期高一数学学习水平考试 2017年5月（考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈繁球 审核人：鲁丹）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1.方程的解为=x __________。
2.已知为等差数列，若，05=a ，则=3a ___________。
3.在数列{}n a 中，已知121a a ==，()21n n na a a n ++=+∈*N ，则5a=_________。
4.等比数列}{n a 的前三项分别为33,22,++a a a ，且2113-=n a ，则=n ________。
5.点P 从点)0,1(-出发，沿单位圆122=+y x 顺时针方向运动3π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________________。
6.函数x a x y cos 3sin +⎪⎭⎫⎝⎛-=π是奇函数，则实数=a _____________。
7.等腰三角形ABC 中，AC AB =，若54sin =B ，则=A cos __________。
8.ABC ∆中，已知三个内角A 、B 、C成等差数列，则tan tan tan 2222A C A C + 的值为________。
9.已知αsin =x ，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,4ππα，则x arccos 的取值范围是_____________。
10.在ABC ∆中，三边长分别为2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AB=_____________。
11.给出下列命题：（1）存在实数x ，使23cos sin =+x x ； （2）若α、β都是第一象限角，且βα>，则βαcos cos <； （3）函数)2732sin(π+=x y 是偶函数； （4）若1cos cos =βα，则0sin sin =βα； （5）函数x y 2sin =的图像向左平移4π个单位，得到函数)4sin(2π+=x y 的图像。
上海市金山中学高一数学下学期期中试题(含解析)
2012-2013学年上海市金山中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每小题3分，共36分）1．（3分）扇形的半径为1cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 1 cm2．S=S=2．（3分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα= ．=故答案为﹣．3．（3分）已知，则sin2α= ﹣．=根据同角三角函数的平方关系及得，，===，．4．（3分）已知α是锐角，则= ﹣2 ．解：=log（5．（3分）化简：= ﹣1 ．答：6．（3分）若α是第三象限角，且，则= ．，根据的范围，由此可求答案．，得，cos=﹣tan或，是第三象限角，所以tan﹣．7．（3分）（2012•浦东新区二模）在△ABC中，若b=1，，，则S△ABC= ．=，，=∴sinB=＜．=8．（3分）隔河测算A，B两目标的距离，在岸边取C，D两点，测得CD=200m，∠ADC=105°，∠BDC=15°，∠BCD=120°，∠ACD=30°，则A，B间的距离m．中，由正弦定理，即，∴AD=100BD=100．=m．9．（3分）定义，则函数（x∈R）的值域为[﹣4，4] ．解：由题意10．（3分）（2010•江苏）定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为．sinx=的长为故答案为11．（3分）已知函数f（x）=2x2﹣ax+1，存在，使得f（sinϕ）=f（cosϕ），则实数a的取值范围是．a=2（∈（）得：）∈（a=2故答案为：12．（3分）设函数（x∈[﹣π，π]）的最大值为M，最小值为m，则M+m= 4 ．（答：=2+ =二、选择题（每小题4分，共16分）与与与解：由于表示的整数倍，而±（2k±1）表示=））=（2k±（2k±表示整数倍，而=）表示15．（4分）（2007•山东）给出下列三个等式：f（xy）=f（x）+f（y），f（x+y）=f（x）f （y），．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（）满足16．（4分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）=f（x），且在[﹣3，﹣2]上是减函三、解答题（本大题共48分）17．（6分）若，求的值．，可求，∴tanA=﹣==18．（8分）（2011•湖北）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（I）求△ABC的周长；（II）求cos（A﹣C）的值．=4，∴sinC===∴sinA==cosA===cosAcosC+sinAsinC=×+=19．（10分）已知函数f（x）=2．（1）求函数f（x）的最小正周期及在上的单调递增区间；（2）若f（x0）=，x0∈，求cos2x0的值．sinxcosx+2cos2x++，可求得）=），+﹣sinxcosx+2cos=2x+﹣＜+，+]2x+）在，）+=）[]，]）=﹣+）﹣+cos+sin sin20．（10分）（2011•福建模拟）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交与点A，与钝角α的终边OB交于点B（x B，y B），设∠BAO=β．（1）用β表示α；（2）如果，求点B（x B，y B）的坐标；（3）求x B﹣y B的最小值．）作出图形，结合图形由，能求出）由=【法一】）由，.9【法一】，，的最小值为的最小值为21．（14分）（2011•黄浦区二模）已知函数是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；（2）若底数a＞1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b 的值．令即，解得．时，函数上是单调减函数．理由：令增大而增大，在函数上是单调减函数．上是增函数，，解得上的函数值组成的集合为，不满足函数值的值是。
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如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 金山中学2016学年度第二学期高一年级数学学科期中考试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）
1. 函数)63sin(2π
+=x y 的最小正周期为__________.
2. 已知扇形的半径为1，圆心角为2弧度，则它的面积为_______．
3．对任意不等于1的正数a ，函数=)(x f log (3)a x +的图像都经过点P ，则点P 的坐标是 ．
4. 若角α的终边经过点(,3)P m -，且5
4cos -=α，则m 的值为 ． 5. 在ABC ∆中，15a =，10b =，60A =，则=B cos ________.
6. 函数)62tan(2π-=x
y 的单调增区间为___________.
7. 设sin 2sin αα=-,(,)2π
απ∈,则tan 2α的值是_________.
8．已知1tan()2πα-=-，则cos()+cos 22cos sin παααα
+-的值是______. 9．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3
x y =，则x y -=______． 10. 已知2
)1arcsin()1arcsin(22π≥--+b a ，则()
22arccos ____a b -=. 11．已知θ是第三象限角，且5
2cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin .. 12. 在ABC ∆中，角A B 、、C 的对边分别为a b c 、、.若cos 2cos 3cos a b c A B C
==，则=A ______. 二.选择题（每小题5分，共20分）
13. 已知点)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在 （ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
14. 在ABC ∆中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 （ ）
A ．0080,45,20===C A b
B ．0
60,28,30===B c a
C ．045,16,14===A b a
D ．0
120,15,12===A c a。