2019秋九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明练习2无答案新版新人教版
九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明判断两个相似三角形中的错误素材北师大版
判断两个相似三角形中的错误判断两个图形相似,应正确理解相似图形的判断方法,若判断方法把握不准确，判断就有可能出错哟！例1下面各组中的两个三角形一定相似的为______①都有一个角是50°的两个等腰三角形 ② 都有一个角是120°的两个等腰三角形 ③都有一个角是60°的 两个等腰三角形 ④都有一个角90°的等腰三角形错解：①，④.分析：要判断两个三角形相似相似，应根据三角形相似的判断方法，判断已知条件中是否具备两个三角形相似的条件.观察①中的两个等腰三角形，由于50°的角可以是底角,也可以是顶角,当作为顶角时，两个底角分别是65°，65°；当作为底角时，两外两个角分别是50°,80°，当第一个三角形中的50°是顶角度数,第二个三角形的50°是底角度数，则这两个三角形不相似。
观察②可知,120°的角只能是等腰三角形的顶角，这样的两个三角形的底角也相等，所以满足这个条件的两个三角形相似；观察③中的两个三角形一定是等边三角形,两个三角形一定形似；观察④中的两个三角形是等腰直角三角形，两个三角形一定相似.正解：②④③ .例 2 在△ABC 和△A′B′C′中,已知AB=6cm ，AC=8cm .BC=10cm, A′B′=24cm, A′C′=18cm，B′C′=30cm,试判断△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由. 错解：△ABC 与△A′B′C′不相似.理由：41=''B A AB ,94188==''C A AC ，313010==''C B BC ， CB BC C A AC B A AB ''≠''≠''，所以△ABC 与△A′B′C′不相似。
分析:本题已知两个三角形的边长，要判断这两个三角形是否相似,应判断两个三角形的最短边与最短边的比，中等边与中等边的比,最长边与最长边的比是否相等,而不要思维定势把AB 与A′B′,AC 与A′C′，BC 与B′C′是对应边。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
39
在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
9
3
【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习及答案(含解析) (3)
4.5 相似三角形 同步练习课内练习理解相似三角形的意义，会找相似三角形的对应边及对应角；能进行简单的有关相似三角形对应边及对应角的计算. 一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )A.55°B.100°C.25°D.30°2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD== B.BC DEAC AE AB AD == C.BC DE AB AC AEAD == D.BCDEEC AE AB AD ==图1 图23.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶54.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )A.1.5B.3C.2D.15.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( ) A.22B.2C.2D.22二、填空题6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD=________=________.图38. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________. 9. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，A ′B ′=8 cm ，AC =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________，A ′C ′=________，BC =________.10.如果Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∠C =∠C ′=90°，AB =3，BC =2，A ′B ′=12，则A ′C ′=________. 三、解答题11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.(1)△ABC 和△A ′B ′C ′都是等边三角形.(2)△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ；△A ′B ′C ′中，∠C ′=90°，A ′C ′=B ′C ′.12.已知△ABC 中，AB =15 cm ，BC =20 cm ，AC =30 cm ，另一个与它相似的△A ′B ′C ′的最长边为40 cm ，求△A ′B ′C ′的其余两边的长.13.已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长.*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明ECADEF AE吗？图4参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC 7.AC AE BCDE8.全等 9.586.4 cm 3.75 cm 10.45 三、11.(1)相似 (2)相似12.A ′B ′=20 cm ，B ′C ′=2632cm 13.30 cm 14.略课外练习一、请你填一填（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.（3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________.（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.二、认真选一选（1）下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等1C.△ABC与△A′B′C′的相似比为41D.△ABC与△A′B′C′的相似比为3三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.四、好好想一想如图4—5—1：分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF .若△ABC 的边长为a .（1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？ （2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？图4—5—1参考答案 一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm 2 二、（1）B （2）D （3）C （4）C 三、解法1：设△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为x ，根据题意得：BCC B AC C A AB B A ''=''='' =x 将AB =12，BC =18，AC =24代入上式可得： A ′B ′=12x ,B ′C ′=18x ,A ′C ′=24x ∵△A ′B ′C ′的周长为81 cm ∴12x +18x +24x =81,解得：x =23∴A ′B ′=12x =18（cm ）,B ′C ′=18x =27（cm ） A ′C ′=24x =36（cm ）解法2：由已知得△ABC 的周长为12+18+24=54（cm ） 所以△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比等于81∶54即3∶2 则23=''=''=''AC C A BC C B AB B A ， ∴23241812=''=''=''C A C B B A ∴A ′B ′=18（cm ）,B ′C ′=27（cm ）,A ′C ′=36（cm ） 四、（1）根据三角形中位线定理得DE =21a ,EF =DF =21a 所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为21（2）△ABC 的面积为21AB ·A E =21a ·22243)21(a a a =- △DEF 的面积为21·21a ·163)41()21(22=-a a a 2 （3）S △DEF ∶S △ABC =163a 2∶43a 2=41∶1=1∶4 这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.。
九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明习题课件
【点拨】∵BD∥AC，∴∠ADB＝∠OAC＝75°. ∵∠BOD＝∠COA，∴△BOD∽△COA， ∴OODA＝OOBC＝13.又∵AO＝3 3， ∴OD＝13AO＝ 3，∴AD＝AO＋OD＝4 3. ∵∠BAD＝30°，∠ADB＝75°， ∴∠ABD＝180°－∠BAD－∠ADB＝75°＝∠ADB. ∴AB＝AD＝4 3.
(2)如图①，在四边形 ABCD 和四边形 A1B1C1D1 中，∠ABC
＝∠
A1B1C1，
∠BCD
＝∠
B1C1D1，
AB A1B1
＝BB1CC1＝
CD C1D1.
求证：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 相似．
证明：如图，连接 BD，B1D1. ∵∠BCD＝∠B1C1D1，BB1CC1＝CC1DD1， ∴△BCD∽△B1C1D1. ∴∠CBD＝∠C1B1D1，∠CDB＝∠C1D1B1，BB1CC1＝BB1DD1.又∵ ∠ABC＝∠A1B1C1，AA1BB1＝BB1CC1， ∴∠ABD＝∠A1B1D1，AA1BB1＝BB1DD1.
(2)如图②，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE2＝BD2＋CE2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ证明：∵∠DAF＝2α＝∠BAC， ∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAF.又∵AB＝AC，
AD＝AF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF，∠ACF＝∠ABD. ∵∠BAC＝2α＝2×45°＝90°，AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACB＝45°.∴∠ACF＝45°. ∴∠ECF＝∠ACB＋∠ACF＝90°.∴EF2＝CF2＋CE2. ∵点D与点F关于直线AE对称，∴DE＝EF.∴DE2＝BD2＋CE2.
第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
北师大版数学九年级上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明 同步练习题及答案
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题及答案2019-2019 北师大版数学九年级上册第四章图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习题1. 如图，在△ABC中，如果DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE ∽△ACB的是( )A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠BC.ADAB＝DEBCD.ADAC＝AEAB2. 下列命题中是真命题的是( )A．有一个角相等的直角三角形都相似B．有一个角相等的等腰三角形都相似C．有一个角是120°的等腰三角形都相似D．两边成比例且有一角相等的三角形都相似3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F，若AE＝2ED，CD＝3 cm，则AF的长为( )A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△DEF相似的三角形共有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5. 在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题：①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A＝36°，AB ＝AC ，当点P 在AC 的垂直平分线上时，过点P 的△ABC 的相似线最多有____条．14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于点E.求证：△ABD ∽△CBE. 15. 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，点B ，D ，E 在一条直线上．能得到△ABD ∽△ACE 吗？16. 如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ； (3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF的值． 17. 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 边上有一动点P ，连接PD ，线段PD 绕点P 顺时针旋转90°后，得到线段PE ，且PE 交BC 于点F ，连接DF ，过点E 作EQ ⊥AB 的延长线于点Q. (1)求线段PQ 的长；(2)问：点P 在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由． 参考答案： 1---6 CCBBB D7. 两角分别相等 成比例 相等 成比例 8. 一边的直线 成比例9. 2310. 10311. 1.8 12. 55或25513. 314. ∵在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE15. 能．由AB AD ＝BC DE ＝ACAE ，得△ABC ∽△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE.∵AB AD ＝AC AE ，∴AB AC ＝ADAE，∴△ABD ∽△ACE 16. (1)∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠BAC ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AB ＝ADAC，∴AC 2＝AB ·AD(2)∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴CE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠EAC ，又∵∠EAC ＝∠DAC ，∴∠ECA ＝∠DAC ，∴CE ∥AD(3)∵CE ∥AD ，∴△CEF ∽△ADF ，∴CF AF ＝CE AD ，∵AB ＝6，∴CE ＝3，∴CF AF ＝CE AD ＝34，∴AC AF ＝7417. (1)根据题意得：PD ＝PE ，∠DPE ＝90°，∴∠APD ＋∠QPE ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，∴∠ADP ＋∠APD ＝90°，∴∠ADP ＝∠QPE ，∵EQ ⊥AB ，∴∠A ＝∠Q ＝90°，在△ADP 和△QPE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠Q ，∠ADP ＝∠QPE ，PD ＝EP ，∴△ADP≌△QPE(AAS)，∴PQ ＝AD ＝1(2)∵△PFD ∽△BFP ，∴PB BF ＝PDPF ，∵∠ADP ＝∠EPB ，∠CBP ＝∠A ，∴△DAP ∽△PBF ，∴PD PF ＝AP BF ，∴AP BF ＝PB BF ，∴PA ＝PB ，∴PA ＝12AB ＝12，∴当PA ＝12时，△PFD∽△BFP。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明 如何综合应用相似三角形的性质与判
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如何综合应用相似三角形的性质与判定解题?难易度:★★★关键词:相似三角形答案:解决此类题目的一般思路是先运用相似三角形的判定证得两三角形相似,再依据相似三角形的性质证出等积式或比例式成立。
【举一反三】典例：已知:如图,在等腰梯形ABＣD中，AD∥BC，AB＝ＤC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E.求证:（1)△ABＣ≌△DCB;(2）DＥ·DC＝ＡE·BD．思路引导:一般来讲，解决本题般思路是先运用相似三角形的判定证得两三角形相似，再依据相似三角形的性质证出等积式或比例式成立。
标准答案：(１)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝ＤB，∵AB=DC，BＣ=ＣＢ，∴△ABＣ≌△BCＤ,(2)∵△ＡBC≌△BCD，∴∠ACB=∠ＤBＣ,∠AＢC=∠DCB，∵AD∥BＣ，∴∠DAC＝∠AＣB,∠ＥAD=∠ＡＢＣ,∵ED∥AC，∴∠EDA=∠DAＣ,∴∠EＤA=∠DBC,∠ＥAD＝∠DCB,∴△ADＥ∽△CBD,∴DＥ︰BD=AE︰CD,∴DＥ·DC＝AE·ＢＤ．以上就是本文的全部内容,可以编辑修改。
2019年秋九年级数学上册 第四章 图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明习题课件(新版)北师大版
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5 相似三角形判定定理的证明
4. 用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其他两边
相交,所构成的三角形与原三角形相似.
解：已知：如图,在△ABC 中,DE∥BC,并分别交 AB,AC 于点 D,E.
求证：△ADE 与△ABC 相似.
点,F 是 AM 的中点,EF⊥AM,垂足为 F,交 AD
的延长线于点 E,交 DC 于点 N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若 AB＝12,BM＝5,求 DE 的长.
图 4－5－7
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠B＝90°,AD∥BC,∴∠AMB＝∠EAF. 又∵EF⊥AM,∴∠AFE＝90°,∴∠B＝∠AFE,∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°,AB＝12,BM＝5,∴AM＝ 122＋52＝13,AD＝AB＝12. ∵F 是 AM 的中点,∴AF＝12AM＝6. 5. ∵△ABM∽△EFA,∴BFMA ＝AEMA ,即65.5＝E13A,∴EA＝16. 9,∴DE＝EA－AD＝4. 9.
∴∠CDE＋∠ADB＝180°－60°＝120°,∴∠BAD＝∠CDE,
∴△ABD∽△DCE,
∴DABC＝BCDE,即69＝C3E,解得 CE＝2,∴AE＝9－2＝7.
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5 相似三角形判定定理的证明
11. 如 图 4－ 5－ 10, 已知 AB∶AD ＝BC∶DE ＝AC ∶AE,请猜想 ∠ABD 与∠ACE 的关系,并说明理由.
图 4－5－2
4
5 相似三角形判定定理的证明
3. (2017·恩施州)如图 4－5－3,在△ABC 中,DE∥BC,∠ADE＝ ∠EFC,AD∶BD＝5∶3,CF＝6,则 DE 的长为( C )
九年级数学(2019秋 北师大版)上册相似三角形判定定理的证明(无答案)
4．5相似三角形判定定理的证明一、选择题1.下列语句正确的是( )A.在 △ABC 和△A ′B ′C ′中,∠B =∠B ′=90°,∠A =30°,∠C ′=60°,则⊿ABC 和⊿A ′B ′C ′不相似;B.在⊿ABC 和⊿A ′B ′C ′中,AB =5,BC =7,AC =8,A ′C ′=16,B ′C ′=14,A ′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（ ）A.△AED ∽△BED B.△AED ∽△CBD C.△AED ∽△ABD D.△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)3．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（ ） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对4.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm ,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm 5.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是 （ ） A.∠A=∠'C =∠'B B.''''C A B A AC AB =，且∠A=∠'C C.''''C A ACB A AB =且∠A=∠'B D.以上条件都不对二、填空题6.已知一个三角形三边长是6cm，7.5cm，9cm，另一个三角形的三边是8cm，10cm，12cm，则这两个三角形（填相似或不相似）7. 如图，平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AM=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_____________8.四边形ABCD∽四边形A,B,C,D,∠A=70度，∠B,=108度，∠C,=92度则∠D=_______9.在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使⊿CBF∽⊿CDE，则BF的长为________三、计算题10.已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：⊿ADQ∽⊿QCP．11.⊿ABC中,AD、CE是中线, ∠BAD=∠BCE,请猜想⊿ABC的形状,并证明.AED CB。
【必备精品】2019九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.4 两个三角形相似的判定(2)练习 (新版)浙教版
4.4 两个三角形相似的判定(2)(见B 本39页)A 练就好基础 基础达标1．如图所示，指出下列四个三角形中相似的三角形，正确的是( B )第1题图A ．①和②B ．①和④C ．③和④D ．①和④，②和③2．如图所示，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC 2＝AD·AB，则( A ) A ．△ADC ∽△ACB B ．△BDC ∽△BCA C ．△ADC ∽△CDB D ．无相似三角形第2题图第3题图3．如图所示，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( B )A ．①与②相似B ．①与③相似C ．①与④相似D ．②与④相似4．如图所示，点M 在BC 上，点N 在AM 上， CM ＝CN ，AM AN ＝BMCM，下列结论中正确的是( B )第4题图A ．△ABM ∽△ACB B ．△ANC ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACMD ．△CMN ∽△BCA5．如图所示，BC 平分∠ABD，AB ＝9，BD ＝25，当BC ＝__15__时，△ABC ∽△CBD.5题图第6题图6．如图所示，零件的外径为25 mm ，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC ＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD ＝10 mm ，则零件的厚度为__2.5__mm.7．在△ABC 中，AB ＝4 cm ，AC ＝2 cm.(1)在AB 上取一点D ，当AD ＝__1__cm 时，△ACD ∽△ABC ；(2)在AC 的延长线上取一点E ，当CE ＝__6__cm 时，△AEB ∽△ABC.第8题图8．2017·铜仁中考如图所示，已知：∠BAC＝∠EAD，AB ＝20.4，AC ＝48，AE ＝17，AD ＝40.求证：△ABC∽△AED.证明：∵AB＝20.4，AC ＝48，AE ＝17，AD ＝40.∴AB AE ＝20.417＝1.2，AC AD ＝4840＝1.2， ∴AB AE ＝ACAD ，∵∠BAC ＝∠EAD， ∴△ABC ∽△AED.第9题图9．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 的延长线上的一点，E 为BC 的延长线上的一点，且满足AB 2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.证明：∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB， ∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB CE ，∴AB CE ＝DB AB ，∴AB CE ＝DB AC ，∴△ADB ∽△EAC.B 更上一层楼 能力提升第10题图10．如图所示，△OPQ 在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A ，B ，C ，D ，E 也是小正方形的顶点，从点A ，B ，C ，D ，E 中选取三个点所构成的三角形与△OPQ 相似，那么这个三角形是__△CDB __．第10题答图解：与△OPQ 相似的是△BCD；理由如下： 连接BC ，BD ，如图所示：则∠BCD＝90°＋45°＝135°＝∠QOP， 由勾股定理，得OP ＝BC ＝2， ∵OQ ＝2，CD ＝1， ∴OP CD ＝QO BC ＝21， ∴△OPQ ∽△CDB.第11题图11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，点P 从点A 出发，沿着AC 边向点C 以1 cm/s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿着CB 边向点B 以2 cm/s 的速度运动，如果P 与Q 同时出发，经过几秒△PQC 和△ABC 相似？解：设经过x(s)，两三角形相似， 则CP ＝AC －AP ＝8－x ，CQ ＝2x ，①当CP 与CA 是对应边时，CP AC ＝CQ BC ，即8－x 8＝2x16， 解得x ＝4；②当CP 与BC 是对应边时，CP BC ＝CQAC ，即8－x 16＝2x 8， 解得x ＝85. 故经过4 s 或85s ，△PQC 和△ABC 相似．第12题图12．福州中考如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝5－12，在AC 边上截取AD ＝BC ，连结BD.(1)通过计算，说明AD 2与AC·CD 的大小关系； (2)求∠ABD 的度数．解：(1)∵AD＝BC ，BC ＝5－12， ∴AD ＝5－12，DC ＝1－5－12＝3－52. ∴AD 2＝5＋1－254＝3－52，AC ·CD ＝1×3－52＝3－52.∴AD 2＝AC·CD.(2)∵AD＝BC ，AD 2＝AC·CD， ∴BC 2＝AC·CD，即BC AC ＝CD BC .又∵∠C＝∠C， ∴△BCD ∽△ACB.∴AB AC ＝BDCB＝1，∠DBC ＝∠A. ∴DB ＝CB ＝AD.∴∠A ＝∠ABD，∠C ＝∠BDC.设∠A＝x ，则∠ABD＝x ，∠DBC ＝x ，∠C ＝2x. ∵∠A ＋∠ABC＋∠C＝180°， ∴x ＋2x ＋2x ＝180°.解得x ＝36°.∴∠ABD ＝36°. C 开拓新思路 拓展创新13．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC. 爱思考的小聪学了本节课进行了如下的推理：第13题图∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△COB ，∴AO CO ＝DOBO，又∵∠AOB＝∠DOC，∴△AOB ∽△DOC.你认为小聪的推理正确吗？写出你的观点．解：不正确．理由是AO CO ＝DOBO 与∠AOB＝∠DOC，不能构成△AOB∽△DOC 的条件，因为边的对应关系错误．第14题图14．如图所示，已知△ABC，△DCE ，△FEG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG 在同一直线上，且AB ＝3，BC ＝1.连结BF ，分别交AC ，DC ，DE 于点P ，Q ，R.(1)求证：△BFG∽△FEG. (2)求出BF 的长．解：(1)证明：∵△ABC≌△DCE≌△FE G ，∴BC ＝CE ＝EG ＝13BG ＝1，即BG ＝3，又∵FE＝AB ＝3，∴FG EG ＝BG FG ＝33＝3，又∵∠BGF＝∠FGE，∴△BFG ∽△FEG.(2)∵△FEG 是等腰三角形，∴△BFG 是等腰三角形， ∴BF ＝BG ＝3.。
北师大版九年级数学上册45相似三角形判定定理的证明 同步练习卷(无答案)
4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD=8，BD=12，AC=6，则△OBC的周长为( )A. 13B. 17C. 20D. 262.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是( )A. 2√3B. 4√3C. 3+√3D. 6+2√33.如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的( )A. 19B. 29C. 13D. 494.如图，在▱ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N，下面结论错误的是( )A. △ABM≌△CDNB. AC=3AMC. DN=2NFD. BM=3ME5.如图，将平行四边形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，点A、B落在点M处，点C、D落在点N处，若EH=7，EF=24.则边AD的长为( )A. 20B. 22C. 24D. 256.如图，在菱形ABCD中，对角线AC长为3cm，∠ABC=60°，则菱形ABCD的周长为( )A. 6√3cmB. 12√3cmC. 12cmD. 24cm7.如图，先将正方形纸片对折，折痕为EF，再把点C折叠到EF上，折痕为DN，点C在EF上的对应点为M，则下列结论中正确的个数有( )(1)AM=AB；(2)∠MCE=15°；(3)△AMD是等边三角形；(4)CN=NEA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，则下列条件能判定四边形ABCD一定是菱形的是( )A. AB=CDB. AB⊥BCC. AC=BDD. AC⊥BD9.如图，ABCD是正方形，G是BC上(除端点外)的任意一点，DE⊥AC于点E，BF//DE，交AG于点F.给出以下结论：①△AED≌△BFA；②DE−BF=EF；③△BGF∽△DAE；④DE−BG=FG.其中正确的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图，点D，E是正△ABC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当AC=5AF时，BDBE 的值是( )A. 23B. 34C. 35D. 57二、填空题（本大题共5小题，共15分）11.如图，在正方形ABCD中，点E为边AB上任一点(与点A，B不重合)，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，连接AF并延长交BC边于点G，连接EG，若正方形边长为4，GC=23AE，则GE=______ ．12.《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步.问句中容方几何.”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为______ ．13.如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在边DC、BC上，AE⊥EF，如果DEEC =53，那么AE：EF的值是______．14.在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，M，C，N都在格点处，AN与CM相交于点P，则cos∠CPN的值等于______．15.如果直角三角形的斜边长是6，那么该直角三角形的重心到直角顶点的距离是______．三、解答题（本大题共5小题，共55分。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习及答案
*4.5相似三角形判定定理的证明同步练习1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）一、情景导入相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似.怎样证明这些结论呢？二、合作探究探究点：相似三角形的判定定理【类型一】根据条件判定三角形相似如图所示，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中能单独判定△ABC∽△ACD的个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：在图中已知两个三角形有一对公共角，只要再找一对角相等，或夹公共角的两组对应边成比例即可判定两个三角形相似.题中有三个条件可以单独判定△ABC∽△ACD，分别是①②④.①②是根据有两组角分别对应相等的两个三角形相似来判定的；④是根据两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定；③虽然两边对应成比例，但不能得到其夹角相等，所以不能判定两个三角形相似.故选C.方法总结：利用两边分别对应成比例且夹角相等的方法判定两个三角形相似时，一定要注意必须是对应成比例的两边的夹角相等，若不是夹角相等，则不能判定这两个三角形相似.【类型二】探索三角形相似的条件如图，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD .（1）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝10，请问在BD 上是否存在点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP 的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝12，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（3）若AB ＝9，CD ＝4，BD ＝15，请问在BD 上存在多少个点P ，使以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP 的长；（4）若AB ＝m ，CD ＝n ，BD ＝l ，请问在m 、n 、l 满足什么关系时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ？两个点P ？三个点P ？解：（1）设BP ＝x ，则DP ＝10－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 10－x ，解得x ＝9013；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即910－x ＝x4，此时方程无解. 综上，存在这样的点P ，此时BP ＝9013；（2）设BP ＝x ，则DP ＝12－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 12－x ，解得x ＝10813；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即912－x ＝x4，解得x ＝6. 综上所述，存在两个这样的点P ，此时BP ＝6或10813；（3）设BP ＝x ，则DP ＝15－x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即94＝x 15－x ，解得x ＝13513；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即915－x ＝x4，解得x ＝3或12. 综上所述，存在三个这样的点，此时BP ＝13513，3或12；（4）设BP ＝x ，则DP ＝l －x .若△ABP ∽△CDP ，则AB CD ＝BP DP ，即m n ＝x l －x ，解得x ＝ml m ＋n ；若△ABP ∽△PDC ，则ABPD ＝BP CD ，即m l －x ＝xn，得方程x 2－lx ＋mn ＝0，Δ＝l 2－4mn . 当Δ＝l 2－4mn ＜0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的一个点P ；当Δ＝l 2－4mn ＝0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的两个点P ；当Δ＝l 2－4mn ＞0时，存在以P 、A 、B 三点为顶点的三角形与以P 、C 、D 三点为顶点的三角形相似的三个点P .方法总结：由于相似情况不明确，因此要分两种情况讨论，注意要找准对应边.三、板书设计相似三角形判定定理的证明⎩⎪⎨⎪⎧判定定理1判定定理2判定定理3本课主要是证明相似三角形判定定理，以学生的自主探究为主，鼓励学生独立思考，多角度分析解决问题，总结常见的辅助线添加方法，使学生的推理能力和几何思维都获得提高，培养学生的探索精神和合作意识.4.5 相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法． 2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理． 【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入 生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研 生成能力知识模块一 相似三角形判定定理的证明先阅读教材P 99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC 和△A 1B 1C 1，∠A ＝∠A 1，AB A 1B 1＝ACA 1C 1，求证：△ABC ∽△A 1B 1C 1.证明的主要思路是，在边AD 上截取AD ＝A 1B 1，作DE ∥BC ，交AC 于E ，在△ABC 中构造△ADE ∽△ABC ，再通过比例式得AE ＝A 1C 1，证△A 1B 1C 1≌△ADE ，从而得到△A 1B 1C 1∽△ABC .1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P 99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P 100－101页． 3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P 101－102页． 知识模块二 相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，有下列条件：①AB A′B′＝BC B′C′；②BC B′C′＝ACA′C′；③∠A ＝∠A ′；④∠C ＝∠C ′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A ′B ′C ′的共有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组2．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试证明：△ABF ∽△EAD . 证明：∵矩形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D ＝90°，∴∠BAF ＝∠AED .∵BF ⊥AE ，∴∠AFB ＝90°.∴∠AFB ＝∠D ，∴△ABF ∽△EAD .典例讲解：已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，连接DE .求证：△DBE ∽△ABC .分析：由已知条件∠ABD ＝∠CBE ，∠DBC 公用，所以∠DBE ＝∠ABC ，要证的△DBE 和△ABC ，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE ∽△ABD ，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD ，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BE BD ，即：BC BE ＝AB BD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝ABBD，∴△DBE ∽△ABC .对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°.又∵AE ＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED ≌△CDF ≌△BFE .∴ED ＝DF ＝EF .△EDF 为等边三角形．∴△DEF ∽△ABC .2.教材P 102页习题4.9的第3题． 证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC .又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠ABE＝∠ABD ＋∠DBE ＝∠ABD ＋∠EBC ，∠AEB ＝∠EBC ＋∠C ，∴∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACB .则AB AC ＝AD AB .∵AB ＝AE ，∴AE AC ＝ADAE，即AE 2＝AD ·AC .交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明 知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E .求证：△ABD ∽△CBE . 证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB ＝90°.又∵∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBE .2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD ∽△CBA . 证明：∵AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD ·BC .即AB BC ＝BDBA.而∠ABD ＝∠CBA .∴△ABD ∽△CBA . 3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQBC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ ∽△CBA ，BP BC ＝BQBA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP与△ABC 相似．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
北师大版九年级数学4.5 相似三角形判定定理的证明2(含答案)
4.5 相似三角形判定定理的证明1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A ．ACAE AB AD = B ．FB EA CF CE = C ．BDAD BC DE = D ．CB CF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）A ．②③④B ．③④⑤C ．④⑤⑥D ．②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？。
2019届九年级数学上册 第四章 图形的相似 4.5 相似三角形判定定理的证明知能演练提升 (新版)北师大版
*5.相似三角形判定定理的证明知能演练提升ZHINENG YANLIAN TISHENG能力提升1.如图,点A,B,C,D,E,F,G,H,K都是7×8方格纸中的格点,为使△DEM∽△ABC,则点M应是F,G,H,K 四点中的()A.FB.GC.HD.K2.已知下列说法:①不相似的三角形一定不全等;②不全等的三角形一定不相似;③所有的钝角三角形都相似;④所有的等腰三角形都相似.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.33.如果△ABC∽△A'B'C',且△ABC与△A'B'C'的相似比为k1,△A'B'C'与△ABC的相似比为k2,那么k1与k2的关系是()A.k2=k1B.k1+k2=0C.k1·k2=1D.k1·k2=-14.在△ABC中,P是AB上的动点(P异于A,B),过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC 相似,称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图,∠A=36°,AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时,过点P的△ABC的相似线最多有条.(第4题图)(第5题图)5.如图,AB∥GH∥CD,点H在BC上,AC与BD交于点G,AB=2,BG∶DG=2∶3,则GH的长为.6.在△ABC中,AB=6 cm,AC=4 cm,点D,E分别在AB,AC上,如果△ADE与△ABC相似,且AD=2 cm,试求AE的长.7.(2017·江苏宿迁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足∠DEF=∠B,且点D,F分别在边AB,AC上.(1)求证:△BDE∽△CEF;(2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分∠DFC.创新应用8.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=3,BC=6,点P在AB上滑动,若△DAP与△PBC相似,且AP=,求BP的长.答案:能力提升31.C2.B3.C4.35.6.解设AE=x cm,则有,故x=或x=3.所以AE的长为 cm或3 cm.7.证明 (1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE,∠DEF=∠B,∴∠CEF=∠BDE,∴△BDE∽△CEF.(2)由(1)得.∵E是BC的中点,∴BE=CE,∴,即.∵∠C=∠DEF,∴△EDF∽△CEF,∴∠CFE=∠EFD,即FE平分∠DFC.创新应用8.解情况一,若△DAP∽△PBC,则,则,所以BP=4.情况二,若△DAP∽△CBP,则,则,所以BP=9.。
九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5相似三角形判定定理的证明同步练习新版北师大版
5相似三角形判判断理的证明知识点 1证明相似三角形判判断理图 4－ 5－11．如图 4－ 5－ 1，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝ 1，BD＝DE2，则的值为()BC1111C. 4D.9A.2B.32．如图 4－5－ 2，在 ?ABCD中，AC与BD订交于点O，E 为OD的中点，连接AE并延长交 DC于点 F，则 DF∶ FC＝()A．1∶4 B ． 1∶3 C ．2∶3 D ．1∶ 2图 4－5－ 2图 4－5－33．2017·恩施州如图4－5－ 3，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则 DE的长为()A．6 B ．8 C ．10 D ．124．用相似三角形的定义证明平行于三角形一边的直线和其余两边订交，所构成的三角形与原三角形相似．知识点 2相似三角形判断的综合应用5．如图 4－ 5－4，为了丈量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得 CD＝30 m，在 DC 的延长线上找到一点A，测得 AC＝5 m，过点 A作 AB∥ DE交 EC的延长线于点B，测得 AB＝6 m，则池塘的宽DE为()A． 25 m B ． 30 m C ． 36 m D ．40 m图 4－5－4图 4－5－ 56．如图 4－ 5－ 5，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚 1.6 m，梯上点 D距墙1.4 m，BD长0.55 m，该梯子的长是________．7．如图 4－ 5－6 所示，已知AD⊥BD， AE⊥BE，求证： AD· BC＝ AC· BE.图 4－ 5－68．如图 4－5－ 7，在正方形ABCD中， M为 BC上一点， F 是 AM的中点， EF⊥AM，垂足为 F，交 AD的延长线于点 E，交 DC于点 N.(1)求证：△ ABM∽△ EFA；(2) 若AB＝ 12，BM＝ 5，求DE的长．图 4－ 5－79．如图 4－ 5－ 8，△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，假如D E∥ BC，EF∥CD，那么必定有()22A．DE＝AD·AE B ．AD＝AF·AB22C．AE＝AF·AD D ．AD＝AE·AC图 4－5－ 8图 4－ 5－910．如图 4－5－ 9，在边长为 9 的等边三角形ABC中，BD＝ 3，∠ADE＝ 60°，则AE的长为 ________．11．如图 4－ 5－ 10，已知AB∶AD＝BC∶DE＝AC∶AE，请猜想∠ABD与∠ACE的关系，并说明原由．图 4－5－1012．教材习题 4.9 第 3 题变式题如图4－ 5－ 11，在△ABC中，AC＝BC，点E，F在直线AB上，∠ ECF＝∠ A.2(1) 如图 4－ 5－11①，点E，F在AB上时，求证：AC＝ AF· BE；(2) 如图 4－ 5－11②，点E，F 在 AB及其延长线上，∠A＝60°， AB＝4， BE＝3，求 BF 的长．图 4－5－1113．如图 4－ 5－12，已知AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB＝6，CD＝4，BD＝14，问：在 DB上能否存在点P，使得△ PCD与△ PAB相似？假如存在，央求出PD的长；假如不存在，请说明原由．图 4－5－12414．如图 4－ 5－ 13，已知直线l 的函数表达式为y＝－3x＋8，且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，动点 Q从点 B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A 挪动，同时动点 P 从点 A 开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O挪动，设点 Q，P挪动的时间为 t 秒．(1)求点 A， B 的坐标；(2)当 t 为什么值时，以 A，P， Q为极点的三角形与△ AOB相似？(3)求出 (2) 中当以A，P，Q为极点的三角形与△AOB相似时线段PQ的长度．图 4－5－13详解1． B3． C [ 解析 ]由DE∥BC可得出∠ ADE＝∠ B，联合∠ ADE＝∠ EFC可得出∠ B＝∠ EFC，从而可得出BD∥ EF，联合 DE∥ BC可证出四边形BDEF为平行四边形，依据平行四边形的性8质可得出 DE＝ BF，由 DE∥BC可得出△ ADE∽△ ABC，依据相似三角形的性质可得出BC＝5DE，3再依据 CF＝ BC－ BF＝5DE＝6，因此 DE＝10.4．解：已知：如图，在△ABC中， DE∥ BC，并分别交AB， AC于点 D， E.求证：△ ADE与△ ABC相似．证明：∵ DE∥ BC，∴∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C.过点 D作 DF∥ AC交 BC于点 F，又∵ DE∥ BC，∴四边形 DFCE是平行四边形，∴DE＝FC，FC DE AD∴＝＝，BC BC ABAD AE DE∴＝＝.AB AC BC而∠ A＝∠ A，∠ ADE＝∠ B，∠ AED＝∠ C，∴△ ADE∽△ ABC.5． C.7．证明：∵AD⊥BD，AE⊥BE，∴∠ ADC＝90°，∠ BEC＝90°.在△ ACD和△ BCE中，∵∠ ACD＝∠ BCE，∠ ADC＝∠ BEC，AD AC∴△ ACD∽△ BCE，∴＝，BE BC∴AD·BC＝ AC·BE.8．解： (1) 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ B＝90°， AD∥ BC，∴∠ AMB＝∠ EAF.又∵ EF⊥ AM，∴∠ AFE＝90°，∴∠ B＝∠ AFE，∴△ ABM∽△ EFA.(2)∵∠ B＝90°， AB＝12， BM＝5，∴ AM＝122＋52＝13， AD＝ AB＝12.1∵ F 是 AM的中点，∴ AF＝2AM＝6.5.∵△ ABM∽△ EFA，∴BM AM＝，FA EA513即＝，∴ EA＝，6.5 EA∴DE＝EA－ AD＝4.9.9． B10． 7.11．解：∠ABD＝∠ACE.原由以下：∵ AB∶AD＝ BC∶DE＝ AC∶AE，∴△ ABC∽△ ADE，∴∠ BAC＝∠ DAE，∴∠ BAD＝∠ CAE.又∵ AB∶ AD＝ AC∶ AE，即 AB∶ AC＝ AD∶ AE，∴△ BAD∽△ CAE，∴∠ ABD＝∠ ACE.12．解： (1) 证明：∵AC＝BC，∴∠ A＝∠ B.∵∠ BEC＝∠ ACE＋∠ A，∠ ACF＝∠ ACE＋∠ ECF，∠ ECF＝∠ A，∴∠ ACF＝∠ BEC，AC AF∴△ ACF∽△ BEC，∴＝，BE BC2∴ AC＝ AF· BE.(2)∵∠ A＝60°， AC＝ BC，∴△ ABC是等边三角形，∴∠ A＝∠ ABC＝∠ ACB＝60°＝∠ ECF，∴∠ ACE＝∠ FCB.又∵∠ ECB＝∠ ACB－∠ ACE，∠ F＝∠ ABC－∠ FCB，∴∠ ECB＝∠ F.又∵∠ ABC＝∠ A，∴△ ACF∽△ BEC，AC AF16，∴ ＝，∴ AF＝3BE BC∴ ＝－4＝ .BF AF AB 3 13．解：存在．①若△ PCD∽△ APB，则CD PD4PD＝，即＝，解得 PD＝2或 PD＝12；PB AB14－PD6②若△ PCD∽△ PAB，则CD PD4PD，解得 PD＝5.6.＝，即＝AB PB614－PD414．解： (1) 在y＝－x＋8中，当 x＝0时， y＝8；当 y＝0时， x＝6.故点 A的坐标为(6，0)，点 B 的坐标为(0，8)．(2) 在△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝ 6，OB＝8，由勾股定理，得AB＝10.由题意易知BQ＝2t ， AQ＝10－2t ，AP＝ t .在△ AOB和△ AQP中，∠ BAO＝∠ PAQ，第一种状况：AQ AP当＝时，△ APQ∽△ AOB，AB AO10－ 2t t30即＝，解得 t ＝；10611第二种状况：AQ AP当＝时，△ AQP∽△ AOB，AO AB10－ 2t50即6＝10，解得 t ＝13.30 50故当 t 为11或13时，以 A，P， Q为极点的三角形与△AOB相似．(3)∵以 A， P，Q为极点的三角形与△ AOB相似，3030PQ 1140∴当 t ＝11时，8＝6，解得 PQ＝11；50当t ＝50PQ1340时，＝，解得＝ .13810PQ 134040故当以 A， P， Q为极点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是11或13.9。
2019秋北师大版九年级数学上册拓展训练：4.5相似三角形判定定理的证明含答案
4 探索三角形相似的条件*5 相似三角形判定定理的证明基础闯关全练拓展训练1.在△ABC中,BC=54,CA=45,AB=63,另一个和它相似的三角形的最短边的长是15,则最长边的长一定是( )A.18B.21C.24D.19.5答案 B 设最长边的长为x,则=,解得x=21.故选B.2.如图,==,则下列结论不成立的是( )A.△ABE∽△ACDB.△BOD∽△COEC.△BOD∽△BAED.DC∶EB=1∶2答案C因为==,∠A=∠A,所以△ADC∽△AEB,因此DC∶EB=1∶2,∠B=∠C,又因为∠BOD=∠COE,所以△BOD∽△COE.3.如图,矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、CD上,且∠BEF=90°,则三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ中一定相似的是( )A.Ⅰ和ⅢB.Ⅲ和ⅣC.Ⅰ和ⅣD.Ⅱ和Ⅳ答案 A ∵∠BEF=90°,∴∠AEB+∠DEF=90°,又∵∠AEB+∠ABE=90°,∠DEF+∠DFE=90°,∴∠AEB=∠DFE,∠ABE=∠DEF,∴△AEB∽△DFE.故选A.4.如图,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB.其中能够判定△ABC∽△ACD的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C ①∵∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.②∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴△ABC∽△ACD.③不能判定△ABC∽△ACD.④∵AC2=AD·AB,即=,又∠A=∠A,∴△ABC∽△ACD.故选C.5.在一张复印出来的纸上,一个等腰三角形的底边长由原图中的3cm变成了6cm,则腰长由原图中的2cm变成了cm.答案4解析复印前后的两个三角形相似,它们的对应边的比是1∶2,所以得到的腰长为4cm.6.已知△ABC的三边长分别为4、2、5,△DEF的两边长分别为6、3,当△DEF的第三边长为时,△ABC∽△DEF.答案7.5解析根据相似三角形三边对应成比例,可得第三边长应该是5的1.5倍,即第三边长为7.5.7.如图,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.写出图中的两对相似三角形(不得添加辅助线),并分别说明两对三角形相似的理由.解析△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE.理由:∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE.又∵∠ABC=∠ADE,∴△ABC∽△ADE.∵△ABC∽△ADE,∴=,即=.又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.8.如图,已知OA⊥OB,以AB为边作矩形ABCD,过点D作DE垂直于OA,交其延长线于点E.证明:△OAB∽△EDA.证明∵OA⊥OB,∴∠1+∠2=90°.又∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3.∵OA⊥OB,DE⊥OA,∴∠BOA=∠AED=90°,∴△OAB∽△EDA.能力提升全练拓展训练1.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=2,BC=6,AB=7,点P是线段BA上的一个动点,连接PC、PD.若△PAD 与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P有( )A.5个B.4个C.3个D.2个答案 C ∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠PAD=90°,设AP=x,则BP=7-x,分两种情况:①当=时,=,解得x=;②当=时,=,解得x=3或x=4,经检验,x=3和x=4均符合题意.综上所述,当AP=或3或4时,△PAD与△PBC是相似三角形,即满足条件的点P有3个.故选C.2.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B',折痕为EF,已知AB=AC=3,BC=4,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度是( )A. B.2 C.或2 D.或2答案 D 设BF=x,则FC=4-x,∵△ABC按题图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,∴B'F=BF=x,当∠B'FC=∠B 时,∵∠C=∠C,∴△B'FC∽△ABC,∴=,即=,解得x=;当∠FB'C=∠B时,△FB'C∽△ABC,所以=,∵AB=AC,∴FB'=FC,即x=4-x,解得x=2,故若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似,那么BF的长度为2或.故选D.3.如图,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,直线l经过C,且l∥AB,P为l上一个动点,若△ABC与△PAC相似,则PC= .答案 6.4或10解析∵在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∴AB==10,∵l∥AB,∴∠PCA=∠CAB.当PA⊥AC 时,△ABC∽△CPA,∴AB∶PC=AC∶AC,即10∶PC=8∶8,解得PC=10.当AP⊥PC时,△ABC∽△CAP,∴AB∶AC=AC∶PC,即10∶8=8∶PC,解得PC=6.4.综上可知,若△ABC与△PAC相似,则PC=6.4或10.4.如图,在4×4的正方形网格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= ,BC= ;(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.解析(1)135°;2.(2)相似.证明:△DEF中,∠DEF=135°,易知AB=2,BC=2;EF=2,DE=.因为==,==,所以=,又∠ABC=∠DEF=135°,所以△ABC∽△DEF.5.如图,已知△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,△ABE和△ACF都是等边三角形.求证:△EBD∽△FAD.证明∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠ABD+∠ACD=∠DAC+∠ACD=90°,∴∠ABD=∠DAC.∵∠ADC=∠ADB=90°,∴△ABD∽△CAD.∴=.∵△ABE和△ACF都是等边三角形,∴AB=BE,AF=AC,∴=.又∵∠EBA=∠CAF=60°,∴∠EBA+∠ABD=∠CAF+∠DAC,即∠EBD=∠FAD,∴△EBD∽△FAD.6.如图所示,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC、BE,∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中两对相似的三角形(注意:不得添加字母和线);(2)请你在所找出的相似三角形中选取一对,说明它们相似的理由.解析(1)△ADE∽△ACB,△CEF∽△DBF.(2)下面证明△ADE∽△ACB.∵∠ADE+∠BDE=180°,∠BDE+∠BCE=180°,∴∠ADE=∠BCE.又∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.三年模拟全练拓展训练1.(2017甘肃兰州二十七中模拟,5,★★☆)如图,∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,则下列结论成立的是( )A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDAC.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA答案 C ∵∠APD=90°,而∠ABP=∠PAB≠∠PAC,∴无法判定△PAB与△PCA相似,故A错误;同理,无法判定△PAB与△PDA,△ABC与△DCA相似,故B、D错误;∵∠APD=90°,AP=PB=BC=CD,∴AB=PA,AC=PA,AD=PA,BD=2PA,∴==,==,==,∴==,∴△ABC∽△DBA,故C正确.故选C.2.(2017上海黄浦一模,17,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D是边AB的中点,现有一点P位于边AC 上,使得△ADP与△ABC相似,则线段AP的长为.答案4或解析∵在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,∴AB==10,∵D是边AB的中点,∴AD=5.当△ADP∽△ABC时,=,即=,解得AP=4;当△ADP∽△ACB时,=,即=,解得AP=.3.(2017安徽合肥文博中学模拟,14,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从点B出发,沿BC 以2cm/s的速度向点C移动,点Q从点C出发,以1cm/s的速度向点A移动,点P、Q分别从点B、C同时出发,设运动时间为t s,当t= 时,△CPQ与△CBA相似.答案 4.8或解析△CPQ∽△CBA时,=,即=,解得t=4.8;△CPQ∽△CAB时,=,即=,解得t=.综上所述,当t=4.8或时,△CPQ与△CBA相似.4.(2017上海普陀一模,22,★★☆)已知,如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠CDA,AB=CD=,CE=a,AC=b.(12分)求证:(1)△DEC∽△ADC;(2)AE·AB=BC·DE.证明(1)DC=,CE=a,AC=b,∴CD2=CE·CA,即=,又∵∠ECD=∠DCA,∴△DEC∽△ADC.(2)∵△DEC∽△ADC,∴∠DAE=∠CDE,=,∵∠BAD=∠CDA,∴∠BAC=∠EDA,又∵DC=AB,∴=,即=,∴△ADE∽△CAB,∴=,即AE·AB=BC·DE.五年中考全练拓展训练1.(2016内蒙古包头中考,12,★★☆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E是AB上一点,且DE⊥CE.若AD=1,BC=2,CD=3,则CE与DE的数量关系正确的是( )A.CE=DEB.CE=DEC.CE=3DED.CE=2DE答案 B 过点D作DH⊥BC于H,∵AD=1,BC=2,∴CH=1,DH=AB===2,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠A=90°,∵DE⊥CE,∴∠AED+∠BEC=90°,∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠BEC,∴△ADE∽△BEC,∴==,设BE=x,则AE=2-x,所以=,解得x=,∴==,∴CE=DE,故选B.2.(2016湖北黄冈中考,14,★★☆)如图,已知△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是四个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,且AB=2,BC=1,连接AI,交FG于点Q,则QI= .答案解析∵△ABC,△DCE,△FEG,△HGI是四个全等的等腰三角形,∴GI=EG=CE=BC=1,∴BI=4,∵AB=2,∴=,∵∠ABC=∠IBA,∴△ABC∽△IBA,∴=,∴AI=4.∵∠ACB=∠FGE,∴GQ∥AC.∴=,∴QI=.3.(2016浙江杭州中考,19,★★☆)如图,在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B.射线AG分别交线段DE、BC于点F、G,且=.(8分)(1)求证:△ADF∽△ACG;(2)若=,求的值.解析(1)证明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠CAB,∴△ADE∽△ACB.∴∠ADE=∠C.又∵=,∴△ADF∽△ACG.(2)∵△ADF∽△ACG,∴==,∴=1.核心素养全练拓展训练1.如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB.(1)图①中共有对相似三角形,写出来分别为(不需证明);(2)已知AB=10,AC=8,请你求出CD的长;(3)在(2)的情况下,如果以AB为x轴,CD为y轴,点D与坐标原点O重合,建立直角坐标系(如图②),若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿线段CB运动,点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿线段BA运动,其中一点最先到达线段的端点时,两点即刻同时停止运动.设运动时间为t秒,是否存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.图①图②解析(1)3;△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ACD∽△CBD.(2)解法一:在△ABC中,∠ACB=90°,BC==6,∵S△ABC=AC·BC=AB·CD,∴6×8=10·CD,∴CD=4.8.解法二:在△ABC中,∠ACB=90°,BC==6,由(1)可知△ABC∽△ACD,∴=,∴=,∴CD=4.8.(3)存在点P,使△BPQ与△ABC相似,理由如下:在△BOC中,∠BOC=90°,OB==3.6.(i)当∠BQP=90°时(如图),易得△PQB∽△ACB,∴=,∴=.解得t=2.25,此时BQ=CP=2.25,∴OQ=1.35,BP=3.75.在△BPQ中,PQ==3,∴点P的坐标为(1.35,3).(ii)当∠BP1Q1=90°时(如图),易得△Q1P1B∽△ACB,∴=,∴=,解得t=3.75,此时BQ1=CP1=3.75,则BP1=2.25,过点P1作P1E⊥x轴于点E,∵△QP1B∽△ACB,∴=,∴=,∴P1E=1.8.在△BP1E中,BE==1.35,∴OE=2.25,∴点P1的坐标为(2.25,1.8).综上可得,点P的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8).2.如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD.(1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由;(2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;(3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长;(4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问m,n,l满足什么关系时,存在以P,A,B三点为顶点的三角形与以P,C,D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点?解析(1)假设在BD上存在P点,使△PBA与△PDC相似.设BP=x,则PD=10-x,若△ABP∽△CDP,可得=,则有=,即4x=90-9x,∴x=,此时BP的长为;若△ABP∽△PDC,可得=,则有=,即x2-10x+36=0,∵Δ=(-10)2-4×36<0,∴方程无解.故当BD=10时,存在使△PAB与△PCD相似的一个P点,此时BP=.(2)当BD=12时,设BP=x,则PD=12-x.若△ABP∽△CDP,可得=,则有=,解得x=,若△ABP∽△PDC,可得=,则有=,即x2-12x+36=0.解得x1=x2=6,故当BD=12时,在BD上存在两个P点,可使△PAB与△PCD相似.此时,BP的长为或6.(3)当BD=15时,设BP=x,则PD=15-x,若△ABP∽△CDP,可得=,则有=,解得x=,若△ABP∽△PDC,可得=,则有=,即x2-15x+36=0,解得x1=3,x2=12,故当BD=15时,在BD上存在三个P点,可使△PAB与△PCD相似.此时,BP的长为或3或12.(4)由(1)(2)(3)可知l2-4mn<0时,BD上存在一点P使△PAB与△PCD相似.当l2-4mn=0时,BD上有两个点P使△PAB与△PCD相似.当l2-4mn>0时,BD上有三个点P使△PAB与△PCD相似.。
北师大版数学九年级 上册 第四章 4.5相似三角形判定定理的证明 同步练习(及答案)
北师大版九年级上册第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明同步练习1.分别相等的两个三角形相似.2. 对应成比例且相等的两个三角形相似.3. 成比例的两个三角形相似.4.下列语句正确的是( )A.在△ABC和△A’B’C’中,∠B=∠B’=90°,∠A=30°,∠C’=60°,则△ABC和△A’B’C’不相似B.在△ABC和△A’B’C’中,AB=5,BC=7,AC=8,A’C’=16,B’C’=14,A’B’=10,则△ABC∽△A’B’C’C.两个全等三角形不一定相似D.所有的菱形都相似5.如图4-5-1所示,在正三角形ABC中,D、E分别在AC、AB上,且ADAC=13,AE=BE,则有( )图4-5-1A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD6.如图4-5-2所示,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.图4-5-27.如图4-5-3所示,AD⊥BC,垂足为D,且AB2=BD·BC,求证：△ABC是直角三角形.图4-5-38.如图4-5-4所示,△ABC是等边三角形,点D,E分别在CB,AC的延长线上,∠ADE=60°.求证：△ABD∽△DCE.图4-5-49.如图4-5-5所示,AD ,A’D’分别是△ABC 和△A’B’C’的角平分线,且’’AB A B =’’BD B D =’’AD A D ,你认为△ABC 和△A’B’C’相似吗?请说明理由.图4-5-510.已知一个三角形三边长是6 cm ,7.5 cm ,9 cm ,另一个三角形的三边长是8 cm ,10 cm ,12 cm ,则这两个三角形 .(填“相似”或“不相似”)11.如图4-5-6所示,平行四边形ABCD 中,M 是BC 的中点,且AM=9,BD=12,AD=10,则该平行四边形的面积是 .图4-5-612.如图4-5-7所示,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证：△ADE∽△EFC.图4-5-713.如图4-5-8所示,在直角梯形BACD中,AC⊥CD,AC=CD=4AB,E是AC的中点,求证：△ABE∽△CED.图4-5-814.如图4-5-9所示,在△ABC中,∠BAC=90°,M是BC的中点,DM⊥BC交AC于点E,交BA的延长线于点D,求证：MA2=MD·ME.图4-5-9参考答案1.两角2.两边夹角3.三边4.B5.B6.证明：在△ABC中,AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∵CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°.又∵∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.7.证明：∵AB2=BD·BC,∴AB BD =BC AB. 又∵∠B=∠B ,∴△ABC ∽△DBA.∵AD⊥BC ,∴∠BAC=∠BDA=90°.∴△ABC 是直角三角形.8.证明：在等边三角形ABC 中,∠ABC=∠ACB=60°,∴∠ABD=∠DCE=120°.又∵∠ADB+∠DAB=∠ABC=60°,∠ADB+∠EDC=60°,∴∠DAB=∠EDC ,∴△ABD ∽△DCE.9.解：△ABC ∽△A’B’C’.理由如下： ∵’’AB A B =’’BD B D =’’AD A D , ∴△ABD ∽△A’B’D’.∴∠B=∠B’,∠BAD=∠B’A’D’.∵∠BAC=2∠BAD ,∠B’A’C’=2∠B’A’D’,∴∠BAC=∠B’A’C’.∴△ABC ∽△A’B’C’.10.相似11.7212.证明：∵DE∥BC ,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB ,∴∠A=∠FEC.∴△ADE ∽△EFC.13.证明：在直角梯形BACD 中,AC ⊥CD ,AB ∥CD , ∴AC⊥AB ,即∠BAE=∠ECD=90°.∵AC=CD=4AB ,E 是AC 的中点,∴AE=2,CD =2, ∴AE AB =CD CE, ∴△ABE ∽△CED.14.证明：∵DM⊥BC ,∴∠BMD=∠BAC=90°.又∵∠B=∠B ,∴△BMD ∽△BAC ,∴∠D=∠C.∵M 是BC 的中点,∴AM=MC=BC ,∴∠MAE=∠C ,∴∠MAE=∠D.又∵∠AME=∠DMA ,∴△EMA ∽△AMD ,∴MAMD=MEMA,∴MA2=MD·ME.。
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4.5 相似三角形判定定理的证明
1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件， 使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).
2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）
A ．AC
AE AB AD = B ．FB EA CF CE = C ．BD
AD BC DE = D ．CB CF AB EF =
3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，
连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形
（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
① ② ③ ④
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）
A ．②③④
B ．③④⑤
C ．④⑤⑥
D ．②③⑥
6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A1B1C1，使ΔA1B1C1与格点三角形ABC相似(相似比不为1).
7、如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角形相似，求AD的长.
8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出
所有不同的截法？。