直线和圆的位置关系 (2)
直线和圆的位置关系2
C O B
• 例2、如图，⊙C的半径是1，∠A=300， AC=2，求证：AB是⊙C的切线.
C
A
B
注：本例也是证明一条直线是圆的切线，但与前面的例子不同 之处在于前面已经知道圆与直线有公共点，连接后证明垂直运 用判定定理可得切线。这里却不知道圆与直线是否有公共点， 我们无法进行连接，因此我们可以作垂直得到d，再证明d=r， 从而得证.
直线和圆的位置关系(2) 切线判定定理
直线与圆的 位置关系
相交
O r d A B l
相切
O r d A
相离
O r d l
图
形
l
公共点个数
公共点名称
直线名称 圆心到直线距 离d与半径r的 关系
2个 交点 割线
1个 切点 切线
没有
d<r
d=r
d>r
切线的性质定理
• 定理 圆的切线垂直于过切点的半径.
思考：定点C在圆的什么位置？
例4 作经过一定点C的圆的切线． A
P
C O B (1)点C在圆上． 作法：连接OC，过 点C作AB⊥OC．则 直线AB就是所要作 的切线． 证明：直线AB经过点 C，并且AB⊥OC．由 切线的判定定理可知， AB就是⊙O的切线， 切点是点C．
P′ O. O1 C
作法：连接OC, 以OC为直径的 圆为⊙O1，与 ⊙O 相交于两点 P和P′.连接CP和 CP′,则CP和CP′ 都是过已知点C 所引⊙O的切 线．
例3 如图，AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D， DE⊥AC. 求证：DE是⊙O的切线．
《直线和圆的位置关系(2)》
A
C
B
1.大演草：课本P37-38 ：随堂练习+习题5.10第 1, 2 , 3 ，4 2.小卷一张。
∵右图是轴对称图形,OA所在
的直线是对称轴,
●O
∴沿直线OA对折图形时,AC与
AD重合,因此,
C
A
D
∠OAC=∠OAD=90°.
小 颖
小亮的理由是:半径OA与直线CD要么垂直,要么不垂直.
假设OA与CD不垂直,过点O作一条半径垂直于 CD,垂足为M,
则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小
于⊙O的半径,因此,CD与⊙O相交.这与
l
（1）如下图它们依次是直线与圆相交，相切，相 离，这三个图形都是轴对称图形吗？如果是，你能 画出它们的对称轴吗？
O
O
O
l
l
l
l 对称轴垂直于直线 吗？如果垂直，垂足在哪里？
（2）如图,直线CD与⊙O相切于点A,连接OA，那么 半径OA与直线CD的位置关系是什么?说说你的理由 .
小颖和小亮都认为半径OA垂直于直线CD.
已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾.
所以OA与CD垂直.
C
●O AM D
切线的性质定理 圆的切线垂直于过 切点的半径(直径).
1.
2.如图，已知以O为圆心的两个圆 中，大圆 的弦AB切小圆于C，大圆的半径为15cm，弦 AB=24cm。求小圆的半径。
。O
A
CB
3. 城市广场上有一个圆形喷水池，如图是它的平面示意 图.图中的圆环部分是喷水池的围墙.为了测量圆环的 面积，小明和小颖取来一个卷尺，拉直后使它与内圆 相切于点C，与外圆相交于点A，B，量得AB的长为12m， 你能由此求出圆环的面积吗？（结果精确到0.1m2）
2.5 直线与圆的位置关系(2)
l 归纳
A
切线的判定定理： （也是判定直线与圆相切的方法三）
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2.5 直线与圆的位置关系（2）
典型例题
例1 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径， ∠CAD＝∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，
并说明理由．
E
拓展：如果AB不是直径，其余条件不变，上面的结
3.切线的定义?你有哪些方法可以判定直线与圆相切？
方法一：定义（唯一公共点） 方法二：数量关系（d=r）
2.5 直线与圆的位置关系（2）
探究活动一
如图，点A在⊙O上，你能经过A点画出⊙O的切线吗？
思考 O
∟
1.你画图的依据是什么？ 依据是“d = r” 2.根据上述画图，你认为直线l具 备什么条件就是⊙O的切线了？ 具备：① 直线l 经过半径的外端点 ②直线l 垂直于半径
论还成立吗？
2.5 直线与圆的位置关系（2）
探究活动二
直线l与⊙O相切于点A，你能得到哪些结论？
性质一：直线与圆唯一公共点； 性质二：数量关系-“d = r”
归纳 切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
猜想：OA ⊥l 反证法： （1）假设直线l与OA不垂直．
O
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
初中数学 九年级(上册)
2.5 直线与圆的位置关系（2）
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2.5 直线与圆的位置关系（2）
复习回顾
1.直线与圆有几种位置关系？可以用哪些方法来判定？ 2.已知⊙O半径r=5厘米，圆心O到直线l的距离是d：
d 4cm 5cm 6cm 直线与圆的公共点个数 2个 1个 0个 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离
2.2.2直线和圆的位置关系(2)
d
（几何方法）
A B
2
2
d>r d=r d<r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
自学指导：
1、在课本的例2中求圆的切线方程的两种方法各 有什么优点？
2、在课本的例3中求直线被圆截得的弦长的两种方法各 有什么优点？在解法一中能否不求出公共点的坐标？
自学检测：P106页练习 第3题
例 2 自点A 1,4 作圆 x 2 y 3
2
2
1的切线l , 求切线的方程.
作业： P108 习题5、7
思考题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区 域。已知港口位于台风中心正北40km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影 响？ y
B 港口
.
O
A . 轮船
x
直线和圆的位置关系及判定方法：
位置 关系
相 交
图形
r d
判定方法
几 何特 征 方程特征
几何法 代数法
有两个公共 点
方程组有两 组不同实数 解
d<r
△>0
相 切
பைடு நூலகம்
dr
有且只有 一个公共 点
方程组有 且只有一 组实数解
d=r
△=0
相 离
r
直线与圆的位置关系(2)
O
C
B
例3、如图⊙O的半径为8，弦AB=8 3，以O为 圆心，4为半径作小圆，求证：AB与小圆O相切. 证明： 过O作OC⊥AB于C，连结OA
证明直线和圆相切的类型二：
无交点，作垂直，证等于半径. A C B O
练习1. 如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意 一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D， 判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。
段AB只有一个公共点.
想一想?
d=2.4cm
B 5
4
C 3
D
A
学生练习 选择:
1、设⊙O的半径为r，点O到直线a的距离为d， 若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d与r的 关系是……………………（ C ） A、d≤r B、d＜r C、d≥r D、d＝r 2、设⊙O的半径为r，直线a上一点到圆心的 距离为d，若d=r，则直线a与⊙O的位置关系 是……………………………………………（D ） A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
画⊙O及半径OA，画一条直线L过半径OA的外端点， 且垂直于OA， 这条直线与圆有几个交点？ 直线L一定是圆O的切线吗？
直线与圆相切。
①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； 由此，你知道如何画圆的切线吗？
.O
经过半径的外端且垂直于这条半径的
直线是圆的切线。
L
A
下列语句对吗？
2 2 2
B
2.4cm
5
4
2
D
C
3
A
=2.4（cm）。
讨论
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆。
d=2.4cm
直线与圆的位置关系(2)
解：∵圆的圆心在直线 y＝2x 上，设圆的圆心为(m,2m)， 则因圆过点(3,2)，则半径 r＝ m－32＋2m－22. m－32＋2m－22.
|2m－2m＋5| ∵圆与直线 y＝2x＋5 相切．∴ ＝ 2 2 2 ＋－1 4 解得 m＝2 或5.
当 m＝2 时，圆心为(2,4)，半径 r＝ 4 4 8 当 m＝ 时，圆心为( ， )，半径 r＝ 5 5 5 故所求的圆的方程为：
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的
取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1； (2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1； (3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1； (4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1； (5)圆上恰有四个点到直线l的距离等于1。
数形结合问题
例8.若直线y=x+k与曲线 x 1 y 2 恰有一个公共点,则k的取值 范围是__________________.
当直线与圆相离时，d>r，∴b< 2 2 或b>2 2 .
【规律方法】
本题判定直线与圆的位置关系时，采
用了几何法，几何法判定直线与圆的位置关系的主要步骤
是：
①把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径r.
②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d.
③判断：当d>r时，直线与圆相离；
当d＝r时，直线与圆相切；
求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式） y B
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 1 7 1 7 A , x2 2 2 1 7 1 7 y1 , y2 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A( , ), B( , ) 2 2 2 2 | AB | 14 x1
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系(二)(知识梳理)
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系(二)复习目标学法指导1.直线与圆的位置关系(1)判断直线与圆的位置关系.(2)在已知直线与圆的位置关系的条件下,求直线或圆的方程.2.圆与圆的位置关系(1)判断圆与圆的位置关系.(2)会利用圆与圆的位置关系判断切线情况.3.直线与圆的方程的应用(1)利用坐标法解直线与圆的方程.(2)直线与圆方程的综合应用.4.通过研究圆上任意两1.直线与圆的位置关系是圆的重点内容.由于圆的特殊性,解答直线与圆的位置关系问题的方法多种多样,繁简不一.要注意方法的选择.对于求参数的取值范围问题,一般将直线与圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题,然后根据距离公式列出方程(不等式组),解方程(不等式(组)),得解.2.根据两圆位置关系求参数的值或取值范围时,一般将两圆的位置关系转化为圆心和半径的几何问题,利用距离公式,列出方程(组)或不等式(组),解出所求结果.点之间距离的最值问题,体会数形结合、化归的思想方法;通过两圆关于直线对称问题的研究,进一步体会解析法思想.一、直线与圆的位置关系已知直线l:Ax+By+C=0,圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法:设圆心到直线的距离d=22||Aa Bb CA B+++d<r d=r d>r 代数法:由()()2220,,Ax By Cx a y b r++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0 Δ=0 Δ<01.概念理解过定点A作已知圆的切线,可得到的有关切线的条数: (1)当点A在圆内时,无切线;(2)当点A在圆上时,有且只有一条切线;(3)当点A在圆外时,有两条切线.2.与直线与圆位置关系相关的结论(1)当直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)相交时,经过它们交点的圆都可以用方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示,称这个方程是过直线和圆交点的圆系方程.(2)过圆上一点的切线方程①与圆x2+y2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是x1x+y1y=r2,②与圆(x-a)2+(y-b)2=r2相切于点(x1,y1)的切线方程是(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2.二、圆与圆的位置关系1.几何法:设圆C1:(x-a)2+(y-b)2=22r,圆C2:(x-m)2+(y-n)2=22r(r1>0,r2>0),圆心距用d表示,则两圆的位置关系如下:位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系d>r1+r2d=r1+r2|r1-r2|<d<r1+r2d=|r2-r1|d<|r2-r1|2.代数法:联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系相交外切或内切 外离或内含1.概念理解两圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切和内含,判断两圆的位置关系一般用几何法,因代数法判断时,有时得不到确切的位置关系,如两圆组成的方程组仅有一解时有内切和外切两种关系,具体是哪一种,用代数法是无法判断的. 2.相关结论(1)两圆相切时常用的性质有:①设两圆的圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,则两圆相切12121212||||||.O O r r O O r r ⇔=-⎧⎪⎨⇔=+⎪⎩内切，外切 ②两圆相切时,两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦).在解题过程中应用这些性质,能大大简化运算.(2)求两圆公共弦方程的前提条件是两圆相交,只要使x 2,y 2的系数对应相等,两圆方程作差即得到公共弦所在的直线方程.(3)一般地,过圆C 1:x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1=0与圆C 2:x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2=0交点的圆的方程可设为:λ1(x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1)+λ2(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0,λ1+λ2≠0.(4)直线与圆的方程的应用涉及两方面①实际应用问题,多通过建系利用坐标法来解决.②与圆有关的最值问题,可借助图形性质,利用数形结合求解,一般地:a.形如u=y bx a--形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; b.形如t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题; c.形如t=(x-m)2+(y-n)2的最值问题,可转化为动点(x,y)与定点(m,n)距离平方的最值问题.1.直线3x+4y=5与圆x 2+y 2=16的位置关系是( A ) (A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)相切或相交 解析:圆心到直线的距离2234+所以相交.故选A.2.圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=03的点共有(C )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析:因为圆x 2+2x+y 2+4y-3=0的圆心为(-1,-2),半径为2圆心到22因此圆上到直线x+y+1=03共有2个.故选C.3.半径为1的圆C 与(x+1)2+(y-2)2=9相切,则圆C 的圆心轨迹为( A )(A)两个圆 (B)一个圆 (C)两个点 (D)一个点解析:若两圆外切,则C 与(-1,2)的距离为4,在一个圆上;若两圆内切,则C 与(-1,2)的距离为2,在一个圆上. 故选A.4.若直线y=mx+1与圆C:x 2+y 2+2x+2y=0相交于A,B 两点,且AC ⊥BC,则m 等于( A ) (A)34(B)-1 (C)-12(D)32解析:圆C:(x+1)2+(y+1)2=2,因为AC ⊥BC,所以圆心C 到直线的距离为1, 则221m m -+=1,解得m=34.故选A. 5.如果圆C:x 2+y 2-2ax-2ay+2a 2-4=0与圆O:x 2+y 2=4总相交,那么实数a 的取值范围是 .解析:圆C 的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2. 依题意得0<22a a +<2+2,所以0<|a|<22.所以a ∈(-22,0)∪(0,22).答案:(-22,0)∪(0,22)考点一 直线与圆的位置关系[例1] 已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2则圆C 的标准方程为 .解析:由题意,设圆心坐标为(a,0),则由直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为22,得(|1|2a -)2+2=(a-1)2,解得a=3或-1.又因为圆心在x 轴的正半轴上,a>0, 所以a=3,故圆心坐标为(3,0),又已知圆C 过点(1,0),所以所求圆的半径为2, 故圆C 的标准方程为(x-3)2+y 2=4. 答案:(x-3)2+y 2=4(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r,弦心距为d,弦长为l,则(2l )2=r 2-d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无切线;若点在圆上,有一条切线;若点在圆外,有两条切线.在平面直角坐标系xOy 中,若直线3)上存在一点P,圆x 2+(y-1)2=1上存在一点Q,满足OP u u u r=3OQ u u u r,则实数k 的最小值为 .解析:设P(x,y),所以Q(3x ,3y ),所以(3x )2+(3y -1)2=1,x 2+(y-3)2=9,23331k k --+3,所以3≤k ≤0,即实数k 的最小值为3.答案3考点二 圆与圆的位置关系[例2] 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知以M 为圆心的圆M:x 2+y 2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N 与x 轴相切,与圆M 外切,且圆心N 在直线x=6上,求圆N 的标准方程;(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B,C 两点,且BC=OA,求直线l 的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA u u r+TP u u r=TQ u u u r,求实数t 的取值范围.解:圆M 的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25, 所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N 在直线x=6上,可设N(6,y 0).因为圆N 与x 轴相切、与圆M 外切,所以0<y 0<7,于是圆N 的半径为y 0,从而7-y 0=5+y 0,解得y 0=1. 因此,圆N 的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1. 解:(2)因为直线l ∥OA,所以直线l 的斜率为4020--=2. 设直线l 的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.则圆心M 到直线l 的距离 d=5=5.因为BC=OA=2224+=25,而MC 2=d 2+(2BC )2, 所以25=()255m ++5,解得m=5或m=-15, 故直线l 的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. 解:(3)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 因为A(2,4),T(t,0),TA u u r +TP u u r =TQ u u u r,所以21212,4,xx t y y =+-⎧⎨=+⎩①因为点Q 在圆M 上, 所以(x 2-6)2+(y 2-7)2=25.②将①代入②,得(x 1-t-4)2+(y 1-3)2=25.于是点P(x 1,y 1)既在圆M 上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤()()224637t ⎡+-⎤+-⎣⎦≤5+5,解得2-221≤t ≤2+221.因此,实数t 的取值范围是[2-221,2+221].判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2,y 2项得到.已知圆O:x 2+y 2=4与圆B:(x+2)2+(y-2)2=4.(1)求两圆的公共弦长;(2)过平面上一点Q(x 0,y 0)向圆O 和圆B 各引一条切线,切点分别为C,D,设QD QC=2,求证:平面上存在一定点M 使得Q 到M 的距离为定值,并求出该定值.(1)解:由2224440,4,x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+=⎪⎩相减得两圆的公共弦所在直线方程为l:x-y+2=0, 设(0,0)到l 的距离为d,则所以公共弦长为2所以公共弦长为(2)证明:=2,化简得:20x +20y -43x 0+43y 0-203=0配方得2023x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+(y 0+23)2=689. 所以存在定点M(23,-23)使得Q 到M 的距离为定值,. 考点三 利用圆系的方程解题[例3] 已知圆C 1:x 2+y 2+2x+2y-8=0与圆C 2:x 2+y 2-2x+10y-24=0相交于A,B 两点,(1)求公共弦AB 所在的直线方程;(2)求圆心在直线y=-x 上,且经过A,B 两点的圆的方程. 解:(1)由题圆C 1,圆C 2相交,由22222280,210240,x y x y x y x y ⎧+++-=⎪⎨+-+-=⎪⎩两式作差可得直线AB 的方程为x-2y+4=0.解:(2)设所求圆的方程为x 2+y 2+2x+2y-8+λ(x 2+y 2-2x+10y-24)=0,即x 2+y 2+221λλ-+x+2101λλ++y-8241λλ++=0, 圆心坐标为(11λλ-+,-151λλ++),其在直线y=-x 上, 所以11λλ-+-151λλ++=0,解得λ=-12, 代入可得所求圆的方程为x 2+y 2+6x-6y+8=0.具有某种共同性质的圆的集合,称为圆系.(1)同心圆系的方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=r 2,x 0,y 0为常数,r 为参数. (2)过两个已知圆f i (x,y)=x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)的交点的圆系方程为x 2+y 2+D 1x+E 1y+F 1+λ(x 2+y 2+D 2x+E 2y+F 2)=0, 即f 1(x,y)+λf 2(x,y)=0(λ≠-1). (3)过直线与圆交点的圆系方程.设直线l:Ax+By+C=0与圆C:x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交,则方程x 2+y 2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示过直线l 与圆C 的两个交点的圆系方程.已知直线l:4x-3y+1=0与圆C:x 2+y 2-3x+3y+2=0,求过l 与C 的交点且圆心在直线x-2y+3=0上的圆的方程.解:设所求圆的方程为x 2+y 2-3x+3y+2+t(4x-3y+1)=0, 即x 2+y 2+(4t-3)x+3(1-t)y+2+t=0,则其圆心为(342t -,332t -)在直线x-2y+3=0上, 所以342t --2×332t -+3=0,得t=32, 所以所求圆的方程为2x 2+2y 2+6x-3y+7=0.考点四易错辨析[例4] 求半径为4,与圆A:x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.解:由题意,设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=16,因为圆C与直线y=0相切,且半径为4,故b=±4,所以圆心坐标为C(a,4)或C(a,-4).又已知圆A的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=9,圆心坐标为A(2,1),半径为3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.(1)当取C(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72解得a=2±210,或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16.(2)当取C(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72解得a=2±26,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),此时圆的方程为(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.综上,所求圆的方程为(x-2-210)2+(y-4)2=16或(x-2+210)2+(y-4)2=16或(x-2-26)2+(y+4)2=16或(x-2+26)2+(y+4)2=16.本例的一种常见错误是由于思维定势,想当然地认为两圆外切只考虑|CA|=4+3=7,遗漏了|CA|=4-3=1的情况,本例另一种常见错误是忽略圆心在x轴下方的情况从而导致所求方程个数丢失一半. 防范措施:(1)涉及两圆相切的情况,要分清是内切还是外切,切莫将外切等同于相切,以免出现知识性错误.(2)可通过作图观察有哪些情况,以避免遗漏某些情形.。
第二十四章 第2节 点,直线,圆和圆的位置关系(二)
解：连结OC，则OA＝OC.
所以∠OCA＝∠A＝30°，
∠COB＝∠A＋∠OCA＝60°.
因为CA＝CD，所以∠A＝∠D＝30°.
解：（1）5（2）D
评析：（1）本题在考查直线与圆的位置关系的同时，也考查了图形平移的特征.（2）本题考查了利用直线与圆的公共点的个数来判断直线与圆的位置关系，从而得出d与r的关系.
例2.如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，分别交BC于E，交AD于F.问以点B为圆心，长为半径的圆与直线AC、EF、CD的位置关系分别是什么？
例5.如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.试说明：（1）∠APB＝2∠ABC；（2）AC∥OP.
分析：此图是基本图形结构，图形中隐含着丰富的“内容”.要说明∠APB＝2∠ABC，也即是∠ABC＝∠APB，由PA、PB为⊙O的切线知，∠BPO＝∠APB.所以问题转化为研究∠ABC＝∠BPO.由BC是⊙O的直径，得AB⊥AC.只要OP⊥AB，就有AC∥OP.
（2）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
3.切线长定理
（1）定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
4.三角形的内切圆
与三角形三条边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
直线和圆的位置关系(2)
范例提炼
如图，AB为⊙ O 的直径 ， C为⊙O上一点 ， AD 和 过 C 点 切 线 互 相 垂 直 ， 垂 足 为 D. 求证:AC平分∠DAB
D 证明: 证明
1
ห้องสมุดไป่ตู้
C A
2 3
O
B
小提示：连结圆心与切点是作辅 助线常用的方法之一.
变式导练 已 知 : 如 图 , AB 是 ⊙ O 的 直 的中点C,CD⊥AE. 径 ,⊙O过 BE的中点 ⊙ 过 的中点 ⊥ 求证:DC是⊙O的切线 是 的切线. 求证 的切线
O
●
●
●
O
●
P
A
2.已知⊙O外有一点P,你还能过点P点作出⊙O的切线吗? 已知⊙ 外有一点P,你还能过点P点作出⊙ 的切线吗? P,你还能过点 已知
老师提示: 老师提示:
根据“经过半径的外端, 根据“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是 A,过点 过点A 的垂线即可. 圆的切线” 圆的切线”只要连接OA,过点A作OA的垂线即可.
B A D
●
O C
我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: 我们可以证明圆外切四边的一个重要性质: 圆外切四边的一个重要性质 1.圆外切四边形两组对边的和相等 圆外切四边形两组对边的和相等. 1.圆外切四边形两组对边的和相等.
随堂练习P 随堂练习 120 11
三角形与圆 三角形与圆的“切”关系
1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心, 1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别 以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心 作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?. 作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?.
A
C
高中数学选修一直线与圆的位置关系 (2)
直线与圆的位置关系层级一 学业水平达标1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9的位置关系是( ) A ．相交并且直线过圆心 B ．相交但直线不过圆心 C ．相切D ．相离解析：选D 圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|3×1＋4×1＋12|32＋42＝195，圆C 的半径r ＝3，则d ＞r ，所以直线与圆相离．2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A.6 B.62C ．1D ．5解析：选A 圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝2，则圆的半径r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以直线被圆截得的弦长为2r2－d2＝2 2－12＝6.3．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝9D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9解析：选D 圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离d ＝|6＋4＋5|5＝3，即圆的半径为3，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.4．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．0或3 C ．－2或6D ．－1或3解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22，所以圆心到直线的距离d ＝ 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.故选A.5．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 解析：选D 圆心到直线的距离d ＝|c|a2＋b2＝12，设弦长为l ，圆的半径为r ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋d 2＝r 2，即l ＝2r2－d2＝2.6．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析：根据“半径、弦长AB 的一半、圆心到直线的距离”满足勾股定理可建立关于a 的方程，解方程求a .圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案：4±157．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线x ＋y ＋3＝0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即r ＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的半径是________．解析：由题知，直线x －y ＋1＝0过圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，－1， 即－k2＋1＋1＝0，∴k ＝4.∴r ＝16＋4－162＝1. 答案：19．一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．解：因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上， 故设圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2. 又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27，则有⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b|22＋(7)2＝9b 2，解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解：设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r .∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，① 且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22， ∴r 2－d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③解由方程①②③组成的方程组， 得{ a ＝6，b ＝－3，r2＝52或{ a ＝14，b ＝－7，r2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(x ＋7)2＝244.层级二 应试能力达标1．直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．无法确定，与m 的取值有关解析：选A 圆心到直线的距离d ＝|－1－m ＋1|m2＋1＝|m|m2＋1＜1＝r ，故选A.2．直线x ＋7y －5＝0截圆x 2＋y 2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( ) A.π4 B.π2 C ．πD.3π2解析：选C 圆心到直线的距离d ＝|0＋0－5|1＋49＝22.又圆的半径r ＝1，∴直线x ＋7y －5＝0被圆x 2＋y 2＝1截得的弦长为2，∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，∴劣弧是整个圆周的14，∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即12×2πr ＝π. 3．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为C (－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋5＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －5＝0D ．x ＋y －3＝0解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M (－1,2)．由圆的性质易知M (－1,2)与C (－2,3)的连线与弦AB 垂直，故有k AB ×k MC ＝－1⇒k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －3＝x ＋2，整理得x －y ＋5＝0.4．与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0相切，且在x ，y 轴上的截距相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选C 圆C 的方程可化为(x －2)2＋y 2＝2.可分为两种情况讨论：(1)直线在x ，y 轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y ＝kx ，则|2k|1＋k2＝2，解得k ＝±1；(2)直线在x ，y 轴上的截距均不为0，则可设直线方程为x a ＋ya ＝1(a ≠0)，即x ＋y －a ＝0(a ≠0)，则|2－a|2＝2，解得a ＝4(a ＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．5．过直线x ＋y ＋4＝0与圆x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0的交点且与y ＝x 相切的圆的方程为________________．解析：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －2y －4＋λ(x ＋y ＋4)＝0.联立方程组错误!得x 2＋(1＋λ)x ＋2(λ－1)＝0.因为圆与y ＝x 相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝0.答案：x 2＋y 2＋7x ＋y ＋8＝06．过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O ′(3,4)，r ＝5.切线长|OP |＝|OO′|2－|O′P|2＝25. ∴|PQ |＝2·|OP|·|O′P||OO′|＝2×25×55＝4.答案：47．已知点A (1，a )，圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)若过点A 的圆O 的切线只有一条，求实数a 的值及切线方程；(2)若过点A 且在两坐标轴上截距相等的直线被圆O 截得的弦长为23，求实数a 的值． 解：(1)由于过点A 的圆O 的切线只有一条，则点A 在圆上，故12＋a 2＝4，∴a ＝±3. 当a ＝3时，A (1，3)，切线方程为x ＋3y －4＝0；当a ＝－3时，A (1，－3)，切线方程为x －3y －4＝0. (2)设直线方程为x ＋y ＝b .∵直线过点A ，∴1＋a ＝b ，即a ＝b －1.① 又圆心到直线的距离d ＝|b|2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|b|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，② 由①②，得{ a ＝2－1，b ＝2或{ a ＝－2－1，b ＝－ 2.8．已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． 解：(1)证明：直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交．(2)圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝错误!＝3， 所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt △APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC|2－|PC|2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.。
直线和圆的位置关系(第2课时)同步课件
∵O__A_⊥__A_B__，__O_A 是⊙O的半径
∴_A_B_是__⊙__O_的__切_线__
，
，
∴_A__B_⊥__O_A___. .
∴A__B_是_⊙__O_的__切__线_.
有切线，圆心连 切点，得垂直
证切线，圆心连 准切点，证垂直
作垂直，证半径
自主合作，探究新知
核心知识点二： 三角形的内切圆及内心
②三角形的内心是三个角平分线的交点；
③三角形的外心到三边的距离相等；
④三角形的外心是三边中垂线的交点．
A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④
随堂练习
2.下列说法错误的是( C ) A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切 B．一个三角形一定有唯一一个内切圆 C．一个圆一定有唯一一个外切三角形 D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
r
●O
┐d
l
相交
r ●O
d
┐
l
相切
r ●O d
┐l
相离
d< r
d= r
d> r
创设情境，引入新知
问题：一辆急速行驶的火车的车轮与铁轨之间存在 着什么样的位置关系?
车轮可以看成什么图形?铁轨可以看成什么图形? 你有没有判定两者位置关系的方法?
自主合作，探究新知
核心知识点一： 圆的切线的判定
如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则 圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？
随堂练习
3.如图，AB是⊙O的直径，线段BC与⊙O的交点D是
BC的中点，DE⊥AC于点E，连接AD，则下列结论中
正确的个数是( D )
直线和圆的位置关系(2)
3
鸡西市第十九中学初四数学组
12．已知：如图，△ABC 的三边 BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆 O 的半径长为 r．求 △ABC 的面积 S．
O 由此可得
☆ 切线的判定定理：
.
A
反过来：如图，在⊙O 中，直线 l 与⊙O 相切， A 为切点，直线 l 与半径 OA 有什么位置
关系？为什么？
O
l A
1
由此可得
鸡西市第十九中学初四数学组
☆ 切线的性质定理：
.
由切线的定义还可得：①
；②
。
例 1 如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA=OB,CA=CB,求证：直线 AB 是⊙O 的切线。
2
的弦 AD 切小圆于 E 点． 求证：(1)AB=AD； (2)DE=BC．
鸡西市第十九中学初四数学组
8．已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点．求证：OP 垂直平分线段 AB．
9．已知：如图，△ABC．求作：△ABC 的内切圆⊙O．
10．已知：如图，PA，PB，DC 分别切⊙O 于 A，B，E 点． (1)若∠P=40°，求∠COD； (2)若 PA=10cm，求△PCD 的周长．
（一）温故知新 1.直线和圆的位置关系：
⑴ 直线与圆
；
⑵ 直线与圆 相切
； ⑶ 直线与圆
.
2.已知⊙O 的直径是 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离是 3cm，则⊙O 与直线 l 的位置关系
直线和圆的位置关系(2)
∠BAD=∠DAE
AD=AD ∴△ABD≌△AED. ∴DE=BD ∴AC是⊙D的切线.
F
E
归纳
证明直线与圆相切有如下三种途径：
1.定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2.数量法(d=r):到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
3.判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆 的切线. 即：若直线与圆的一个公共点已指明，则连接这点和圆心， 说明直线垂直于经过这点的半径；若直线与圆的公共点未
C D
●
E A
B O
4、如图，CA、CB分别切⊙O于B、A，
∠C=76°，求∠D。
B C O
●
D
A
5.(2013·重庆中考）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l
的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是__________. 【解析】∵d=4＞r=3,∴直线l与⊙O的位置关系是相离. 答案：相离 6.(2013·潼南中考）在矩形ABCD中，AB=6 ，BC=4， ⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是 .
【解析】由题意知该圆的半径为3，而直线DC到圆心
的距离即直线DC到AB的距离为４，所以相离. 答案：相离
B
E
· O
C
∴ AC与⊙O相切.
• 4、如图， ⊙M与X轴相交于点A（2，0）
B(8,0)与Y轴相切于点C，则圆心M的坐标 是多少？
Y
C O
。
M
A D
B
X
课堂小结
切线的判定定理： 过半径的外端点 必具两个条件：＿＿＿＿＿＿＿， 垂直于这条半径 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 连半径，证垂直 常添的辅助线是＿＿＿＿＿＿＿＿＿， 作垂直，证半径 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 圆的切线垂直于过切点的半径 切线的性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 遇切点，连半径，得直角 常添辅助线：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
直线和圆的位置关系(2)
拓展与延伸
1、已知：如图，⊙O为 ABC 的外接圆， BC 为⊙O 的直径，作射线 BF，使得BA 平分CBF ，过点 作 AD BF 于点 D . 求证： DA 为⊙O的切线；
A
A F D B O C
2.如图，在矩形ABCD中，点0在对角线AC上， 以 OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点 E、F.∠ACB=∠DCE． 判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
B
O
因此，我们有切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径． C
A
D
综合运用
1．圆的切线________________过切点的半径. 2．下列说法正确的是（ ） A．与圆有公共点的直线是圆的切线. B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线. C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线. D.过圆的半径的外端的直线是圆的切线. 3．一条直线到半径为3的圆的圆心的距离为方程 2 x 4x 3 0 的一根，则这条直线与圆 的位置关系是_________.
4．在射线OA上取一点P，使OP=4，以P为圆心， 作直径为4的圆，若⊙P与射线OB相交，则锐角 ∠AOB的取值范围是_________________. 5．在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°AD∥BC， E是AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以 AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
3．如图， 铁路MN和公路PQ在点O处交汇， ∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240m， 如果火车行驶时，周围200m以内会受到噪音的 影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以每小 时72千米的速度行驶时，A处受噪音影响的时 间为____________秒.
N
P M
O
直线和圆的位置关系2
6、如图 AB 、 AC 是 ⊙O 的两条弦， A ＝30°，过点
C 的切线与 OB
的延长线交于点 D ，求 D 的度数．
连半径，证垂直。
8、如图， MP 切⊙O 于点 M ，直线 PO 交⊙O 于点 A、 B，弦 AC∥MP，求证： MO ∥BC．
9、如图，⊙O 的直径 AB＝4，C 为圆周上一点，AC＝2， 过点 C 作⊙O 的切线 l ，过点 B 作 l 的垂线 BD，垂足为 D，BD 与⊙O 交于点 E． (1)求∠AEC 的度数； （2）求证：四边形 OBEC 是菱形．
关系如何变化? 2.当∠α等于多少度时,点O到 CD的距离等于半径?此时,直线 CD与⊙O有怎样的位置关系? C 为什么? 你能写出一个命题来表述这个事实吗?
D
切线的判定定理
• 经过半径的一端,并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线. 1:必须满足两个条件：
B
●
①经过半径外端； ②垂直于这条半径． 2:几何表示：
∵AB是⊙O的直径,直线CD经过A点, 且CD⊥AB, ∴ CD是⊙O的切线.
O D
C
A
切线的判定：
1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
2、和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线； 3、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是 圆的切线。
思考：如图，如果直线 AB是⊙O的切线，
切点为C，那么半径OC与直线AB是不是一定垂 直呢？
1、从交点情况看直线和圆的位置关系
(1)相交 (2)相切 (3)相离
两个公共点 一个公共点 没有公共点
2、从直线与圆心的距离和半径的大小情况看直线和 圆的位置关系：
细心想想
直线何时变为切线
如图,AB是⊙如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过 点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时, O 的直径 , 直线 CD 经过点 A,CD 与 AB 的夹角为∠α, 1.随着∠α的变化,点O到CD的距 当 CD 绕点 A 旋转时 , 离如何变化?直线CD与⊙O的位置
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2.5.1直线与圆的位置关系教学设计
教学过程：
一、情境导入，初步认识
活动1学生口答，点与圆的位置关系三个对应等价关系是什么？
学生回答或展示：
【教学说明】设⊙O的半径为r，点P到圆心距离OP=d,则有：
点P在⊙O外⇔d＞r，点P在⊙O上⇔d=r，
点P在⊙O内⇔d＜r.
二、思考探究，获取新知
探究1直线与圆的位置关系
活动2前面讲了点和圆的位置关系，如果把这个点改为直线l呢？它是否和圆还有这三种关系呢？
学生操作：固定一个圆，按三角尺的边缘运动.如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？
【教学说明】如图所示：如上图（1）所示，直线l和圆有两个公共点，叫直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线.
如上图（2）所示，直线l和圆只有一个公共点,叫直线与圆相切,这条直线叫圆的切线,这个点叫做切点.
如上图（3）所示，直线l和圆没有公共点,叫这条直线与圆相离.
注:以上是从直线与圆的公共点的个数来说明直线和圆的位置关系的,还有其它的方法来说明直线与圆的位置关系吗?看探究二.
探究2直线与圆的位置关系的判定和性质
活动3设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d 与r具有怎样的大小关系？反过来，根据d与r的大小关系，你能确定直线与圆的位置关系吗？同学们分组讨论下：
学生代表回答：
【教学说明】直线与⊙O相交⇔d＜r
直线与⊙O相切⇔d=r 直线与⊙O相离⇔d＞r
注：1.这是从圆心到直线的距离大小来说明直线与圆的三种位置关系的.
2.以上两种不同的角度来说明直线与圆的位置关系中,在今后的证明中以第二种居多.
三、典例精析，掌握新知
例1见教材P65例1
【分析】过O作OD⊥CA于D点，在Rt△COD中，∠C=30°.
∴OD=1
2
OC=3.
∴圆心到直线CA的距离d=3cm,再分别对（1）（2）（3）中的r与d进行比较,即可判定⊙O与CA的关系.
例2如图,Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4.若以点C为圆心，r为半径的圆与
斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围？
【分析】此题中以r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，此时要注意相切和相交两种情形，由于相交有两个交点但受线段AB的限制，也有可能只有一个交点，提示后让学生自主解答.
答案:r=2.4或3＜r≤4.
四、运用新知，深化理解
1.已知⊙O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与⊙O 的位置关系是（）
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法确定
2.设⊙O 的半径为3,点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 只有一个公共点，则d 应满足的条件是（）
A.d=3
B.d≤3
C.d ＜3
D.d ＞3
3.已知⊙O 的直径为6，P 为直线l 上一点，OP=3，则直线l 与⊙O 的位置关系是_____ .
4.在Rt △ABC 中，∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C 为圆心，r 为半径作圆.若直线AB 与⊙C:(1)
相交，则相切，则;(3)相离，则____＜r ＜_____.
5.如图，已知Rt △ABC 的斜边AB=8cm,AC=4cm.
(1)以点C 为圆心作圆，当半径为多长时，AB 所在直线与⊙C 相切？
(2)以点C 为圆心，分别以2cm 和4cm 为半径作两个圆，这两个圆与AB 所在直线分别
有怎样的位置关系？
【教学说明】要判断直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离d ，再与圆的半径进行比较，要熟练掌握三个对应等式.
【答案】1.A 2.A 3.相交或相切 4.＞ = 0
5.解：（1）过点C 作AB 的垂线段CD.∵AC=4,AB=8,∠C=90°,∴BC=4
,又1
2CD·AB=12
AC·BC ，∴，∴当半径长为时，AB 与⊙C 相切.
cm,当r=2cm 时d ＞r,⊙C 与AB 相离；当r=4cm 时，d ＜r,⊙C 与AB 相交.
五、师生互动，课堂小结
1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
2.在学生回答基础上，教师强调：
①直线和圆相交、割线、直线和圆相切、切点、直线和圆相离等概念.
②设⊙O半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：
直线l与⊙O相交⇔d＜r
直线l与⊙O相切⇔d=r
直线l与⊙O相离⇔d＞r
课堂作业：
教材P65第1题. P75第1题.
教学反思：
本节课由前面学过的点和圆的三种位置关系引入,让学生动手操作直尺和固定的圆之间有何关系,用类比的思路导入新课、学生易接受且容易操作和容易得到结论.最后用所得到的结论去解决一些实际问题.培养学生动手、动脑和解决问题的能力,激发他们求知的欲望.。