_学年高中数学第3章不等式3.3_3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域练习苏教版必修5

3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域
A 级 基础巩固
一、选择题
1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0，0) B ．(1，1) C ．(0，2)
D ．(2，0)
解析：特殊点代入法验证． 答案：D
2．不等式2x －y －6＞0表示的平面区域在直线2x －y －6＝0的( ) A ．左上方 B ．右上方 C ．左下方
D ．右下方 解析：可作直线2x －y －6＝0，将原点(0，0)代入检验． 答案：D
3．在平面直角坐标系中，可表示满足不等式x 2
－y 2
≤0的点(x ，y )的集合(用阴影部分来表示)的是( )
解析：原不等式等价于(x ＋y )(x －y )≤0， 即⎩⎪⎨
⎪⎧x ＋y ≥0，
x －y ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，
x －y ≥0
故D 选项正确．
答案：D
4．如图所示，其中的阴影部分的坐标(x ，y )满足( )
A.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ≤1
B.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，
x ≤1 C.⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1>0，x ≤1 D.⎩
⎪⎨⎪⎧x －y ＋1<0，x ≥1
解析：取点(0，0)验证，注意边界线虚实，易知答案为C. 答案：C
5．已知点(－3，1)和(0，－2)在直线x －y －a ＝0的同一侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－2，4)
B ．(－4，2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞) 解析：分两种情况讨论，分x －y －a ＞0，x －y －a ＜0. 答案：D 二、填空题
6．点P (m ，n )不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，则m ，n 满足的条件是________．
解析：由题意知点P 不在不等式5x ＋4y －1>0表示的平面区域内，即为点P 在不等式5x ＋4y －1≤0表示的平面区域内，则5m ＋4n －1≤0.
答案：5m ＋4n －1≤0
7．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x >0，y >0，4x ＋3y －8<0表示的平面区域内的整点坐标为________．
解析：法一(网格法)：在不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x >0，y >0，4x ＋3y －8<0
表示的平面区域上分别画直线(用虚
线)x ＝1，x ＝2，…，y ＝1，y ＝2，…
落在阴影区域内的上述直线交点的坐标就是不等式组的整数解．
由图可知⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝1是不等式组的整数解．
法二(分类求解法)：令x ＝1，则y ＝1.令x ＝2，则不存在y 值．故不等式组的整数解
为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝1.即满足条件的整点坐标为(1，1)． 答案：(1，1)
8．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0，4)，B (－2，0)，C (2，0)，则△ABC 内任意一点(x ，y )所满足的条件为________．
解析：分别求三边的直线方程，易得y ＝0，2x －y ＋4＝0，2x ＋y －4＝0.在三角形内找
一点(0，1)以确定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式分别为：
y >0，2x －y ＋4>0，2x ＋y －4<0. 答案：⎩⎪⎨⎪
⎧y >0，2x －y ＋4>0，2x ＋y －4<0
三、解答题
9．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，
2x ＋y ≤6，
x ≥0，y ≥0
确定的平面区域的面积S
阴影部分
和周长C 阴影部分．
解：由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分)，如下图所示，其四个顶点为O (0，0)，B (3，0)，A (0，5)，P (1，4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C
.
则AC ＝|5－4|＝1，PC ＝|1－0|＝1，OC ＝4，OB ＝3，
AP ＝2，PB ＝（4－0）2＋（1－3）2＝25，
得S △ACP ＝12AC ·PC ＝1
2
，
S 梯形COBP ＝12
(CP ＋OB )·OC ＝8，
所以S 阴影部分＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝17
2
，
C 阴影部分＝OA ＋AP ＋PB ＋OB ＝8＋2＋2 5.
10．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.若投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，列出投资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式，并画出相应的平面区域．
解：设投资人分别为x 万元、y 万元投资甲、乙两个项，
由题意得关系式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，
0.3x ＋0.1y ≤1.8，
x ≥0，y ≥0.
上述不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．
B 级 能力提升
一、选择题
11．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧（x －y ＋1）（x ＋y ＋1）≥0，
－1≤x ≤2表示的平面区域是( )
A ．两个三角形
B ．一个三角形
C ．梯形
D ．等腰梯形
解析：如图所示，(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如 图①所示的对角形区域，且两直线交于点A (－1，0)． 故添加条件－1≤x ≤2后表示的区域如图②.
图① 图②
答案：B
12．二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －4≤0，x ≥0，y ≥0
表示的平面区域为A ，
二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧0≤x ≤4，0≤y ≤52表示的平面区域为B ，则A 与B 的关系是( )
A ．A ⊆
B B ．B ⊆A
C ． B
A D ．A
B
解析：二元一次不等式组表示的平面区域A 为如图①阴影部分，而平面区域B 为矩形，
如图②，显然B A .
图① 图②
答案：C
13．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －y ＋5≥0，y ≥a ，0≤x ≤2
表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范
围是( )
A ．a ≤5
B ．a ≥7
C ．5≤a <7
D ．a ≥7或a <5
解析：不等式x －y ＋5≥0和0≤x ≤2表示的平面区域如图所示．因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5≤a <7.
答案：C 二、填空题
14．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a
(a 为常数)表示的平面区域的面积
是9，那么实数a 的值为________．
解析：区域如图所示，
易求得A (－2，2)，B (a ，a ＋4)，C (a ，－a )．S △ABC ＝12|BC |·|a ＋2|＝(a ＋2)2
＝9，
由题意得a ＝1. 答案：1
15．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4
所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，
则a 的取值范围是________．
解析：满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4
的平面区域如图所示．
因为y ＝a (x ＋1)过定点(－1，0)，
所以当y ＝a (x ＋1)过点B (0，4)时，对应a ＝4，
当y ＝a (x ＋1)过点A (1，1)时，对应a ＝1
2.又因为直线y ＝a (x ＋1)与平面区域D 有公共
点．所以1
2
≤a ≤4.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，4 三、解答题
16．求不等式|x －2 013|＋|y ＋2 014|≤2所表示的平面区域的面积．
解：将|x |＋|y |≤2表示的区域向右平移2 013个单位，再向下平移2 014个单位， 即得|x －2 013|＋|y ＋2 014|≤2所表示的区域，
因此|x |＋|y |≤2和|x －2 013|＋|y ＋2 014|≤2表示的区域面积相等， 而|x |＋|y |≤2表示的区域是一个边长为22的正方形，其面积为(22)2
＝8.。