曲线的凹凸性和渐近线

图形上任意弧段位 于所张弦的上方
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(1 ) f ( x1 ) f ( x2 )
y

y
f [(1 ) x1 x2 ]
f [(1 ) x1 x2 ]

(1 ) f ( x1 ) f ( x2 )
(1 ) x1 x2
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二、曲线的拐点
1、定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意: 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线。
2、拐点的求法
定理 2： 设 f ( x )连续。若 f ( x )经过 x0 时变 号，则点 x0 , f ( x0 ) 是 f ( x )的拐点。反之也成立。
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2
那么称 f ( x ) 在 I 上的图形是凹的（或凹 弧） ; 如果恒有
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2
那么称 f ( x ) 在 I 上的图形是凸 的（或凸弧） ．
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则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号 ,
f ( x )在x0取得极值 ,
由可导函数取得极值的 条件 , f ( x0 ) 0 .
说明：由此定理可知，求 f ( x )的拐点时，应先求出 二阶导数 f ( x ) ，解出 f ( x ) 0 的零点，最后考察
(0,1) ，总有
f [(1 ) x1 x2 ] (1 ) f ( x1 ) f ( x2 )，
则称函数 f ( x ) 在 I 上的图形是凸的，或曲线 y f ( x ) 在 I 上是凸弧。
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定义1*:
设 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 如果对 I 上任意两点 x1 , x2 , 恒有
(5) 在 I 内 ，除个别点外 ，f ( x ) 0 （ f ( x ) 0 ） 。
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。 例1： 讨论曲线 y x 3 的凹凸性并求凹凸区间
解： y 3 x 2 , y 6 x ,
当x 0时， y 0,
曲线 在( ,0]为凸的， ( ,0] 为曲线的凸区间；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的， [0,) 为曲线的凹区间。
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
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例2 （1）讨论函数 y ln x 的图形的凹凸性；
（2）设 a, b是任意两个正数， 0 1，证明
a1 b (1 )a b 1 1 解：(1) y , y 2 0 , y ln x 的图形是凸的， x x 对任意的 a , b 0 , a b , 有 (2) 由定义1 ，
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定理 3
如果 f ( x )在 ( x0 , x0 )内存在二阶导数,
点 x0 , f ( x0 ) 是 f ( x )的拐点，则 f ( x0 ) 0 .
证 f ( x ) 二阶可导 , f ( x ) 存在且连续 ,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点 ,
(0,1) ，总有
f [(1 ) x1 x2 ] (1 ) f ( x1 ) f ( x2 )，
则称函数 f ( x ) 在 I 上的图形是凹的，或曲线 y f ( x ) 在 I 上是凹弧； 2 ． 如 果 对 任 意 的 x1 , x2 I ( x1 x2 ) ， 对 任 一
f ( x ) 经过这些点时是否变号。
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例3：求曲线 y 3 x 4 4 x 3 1 的拐点及凹凸的区间 。
2 解 D : ( , ) y 12 x 12 x , y 36 x( x ). 3 2 令 y 0 , 得 x1 0, x2 . 3
第三章 第五节 曲线的凹凸性、渐近线 和函数作图
一、曲线的凹凸性 二、曲线的拐点及求法 三、渐近线
四、函数作图
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一、曲线的凹凸性
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
y f ( x)
y
C
B
A
o
y f ( x)
x
y
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
的泰勒公式：
由定义2，(1)成立。同理可以证明(2)。
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推论：设 f ( x ) 在 区间 I 内有二阶导数 。
则下列条件等价： （1）f ( x ) 在 I 内的图形是凹（凸）的 ; （2）f ( x ) 在 I 内的任一条弦位于曲线 的上方（下方）; （3）f ( x ) 在 I 内的任一点的切线位于 曲线 的下方（上方）; （4）在 I 内 f ( x ) 单调递增（单调递减）;
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ) ，
则称函数 f ( x )在 I 上的图形是凹的（或凹弧） ； 2．如果对任意的 x1 , x2 I ( x1 x2 )，都有
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ) ，
把 x (1 ) x1 x2 代入上式，得 y (1 ) f ( x1 ) f ( x2 )
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定义 1：设函数 f ( x )在区间 I 内有定义。 1 ． 如 果 对 任 意 的 x1 , x2 I ( x1 x2 ) ， 对 任 一
B
( x2 , f ( x2 ))
( x2 , f ( x2 ))
A
x1
x2 b
o
a
x
o
（1）
a x1
（2）
x2 b
x
设曲线方程为 y f ( x ) ，那么点( x1 , f ( x1 )) 的切线方程 为： y f ( x1 ) f ( x1 )( x x1 )，则在点 x2 处
(1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f [(1 ) x1 x2 ]
由 的任意性，证明了（1） 。
同理可以证明（2） 。
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证明2：用定义2证 证 （ 1） ： 任取 x1 , x2 I ， 在 x1 处有带拉格朗日余项
(1 ) x1 x2
o
x1
x2 x
o
x1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
x
设曲线方程为 y f ( x ) ， 那么介于 x1 , x2 之间的任意点 x 可以表示为： x (1 ) x1 x2 ，(0 1)
f ( x2 ) f ( x1 ) 又弦的方程为 y ( x x2 ) f ( x2 )， x2 x1
对图(1) ， f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 ) 对图( 2) ， f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 )( x2 x1 )
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定义 2：设函数 f ( x )在区间 I 内可导。 1．如果对任意的 x1 , x2 I ( x1 x2 )，都有
(1 ) ln a ln b ln[(1 )a b]
等号成立， 即 a1 b (1 )a b ，当 a b 时 ， 所以对任意的a , b 0 , 有 a1 b (1 )a b ， 当且仅当 a b 时 ， 等号成立，
对于曲线的弯曲方向，我们换一个角度来看
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线上任一点的切线 位于曲线的下方
曲线上任一点的切线 位于曲线的上方
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y
y f ( x)
A
( x1 , f ( x1 ))
B
y
y f ( x)
( x1 , f ( x1 ))
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注意: 若 f ( x0 ) 不存在 , 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是 连续曲线 y f ( x ) 的拐点. 例4： 求曲线 y 3 x 的拐点.
5 1 4 3 y x , 解 当x 0时, y x , 3 9
则 (1 ) f ( x1 ) f ( x2 )
f ( x0 ) f (1 )(1 )( x1 x0 ) f ( 2 ) ( x2 x0 ) (*)
由 x0 (1 ) x1 x2 ，可推出
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x1 x0 ( x2 x1 ) ， x2 x0 (1 )( x2 x1 )
则称函数 f ( x )在 I 上的图形是凸的（或凸弧） ；
我们可以证明：定义1和定义2是等价的。
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y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B