江苏省镇江市2019届高三上学期期末考试数学试题(精编)

江苏省镇江市2018～2019学年第一学期期末试卷高三数学一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．已知集合0,{}1,2A =，集合{1,0,2,3}B =-，则A B ⋂=．2．函数()f x3．从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为6的概率是． 4．根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为．5．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为．6．抛物线28y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为．7．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-，则63S S =．8．已知函数1()22x x f x =-，则满足2(5)(6)0f x x f -+>的实数x 的取值范围是． 9．若2cos 2sin()4παα=-，(,)2παπ∈，则sin 2α=． 10．已知ABC 是边长为2的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得3DE EF =，则AF BC ⋅的值为．11．已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，前n 项和为n S，且数列也为公差为d 的等差数列，则d =．12．已知0x >，0y >，14x y x y+=+，则x y +的最小值为． 13．已知圆O ：221x y +=，圆M ：22()(2)2x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为．14．设函数32()f x ax bx cx =++(,,a b c R ∈，0a ≠)．若不等式()()2xf x af x '-≤对一切x R ∈恒成立，则b ca+的取值范围为． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos cos 3cos c B b C a B +=． （1）求cos B 的值；（2）若2CA CB -=，ABC 的面积为b ．16．如图，在四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是矩形，VD ⊥平面ABCD ，过AD 的平面分别与VB ，VC 交于点M ，N ．（1）求证：BC ⊥平面VCD ； （2）求证：ADMN ．17．某房地产商建有三栋楼宇,,A B C ，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域ABC 外建第四栋楼宇D ，规划要求楼宇D 对楼宇B ，C 的视角为120︒，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计．（1）求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 面积的最大值；（2）当楼宇D 与楼宇B ，C 间距离相等时，拟在楼宇A ，B 间建休息亭E ，在休息亭E 和楼宇A ，D 间分别铺设鹅卵石路EA 和防腐木路ED ，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a ，2a （单位：元千米，a 为常数）．记BDE θ∠＝，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值．18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，两准线间距离为A 为椭圆C 的左顶点，直线l 过点()1,0D ，且与椭圆C 相交于E ，F 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若AEFl 的方程；（3）已知直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ，N ，线段MN 的中点为Q ，设直线l 和QD 的斜率分别为()0k k ≠，k '，求证：·k k '为定值． 19．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，2464a a =．数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有11122(1)22n n n a b a b a b n ++++=-⋅+．（1）分别求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若不等式12111(1)(1)(1)222n b b b λ---<对一切正整数n 都成立，求实数λ的取值范围； （3）已知N k *∈，对于数列{}n b ，若在k b 与1k b +之间插入k a 个2，得到一个新数列{}n c ．设数列{}n c 的前m 项的和为m T ，试问：是否存在正整数m ，使得2019m T =？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．20．已知函数()ln f x a x bx =-(,a b R ∈)．（1）若1a =，1b =，求函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程； （2）若1a =，求函数()y f x =的单调区间；（3）若1b =，已知函数()y f x =在其定义域内有两个不同的零点1x ，2x ，且12x x <．不等式12(1)(0)a m x mx m <-+>恒成立，求实数m 的取值范围．试卷答案一、填空题1-5: {0,2}；(,2]-∞；15；8； 6-10: 65；12；(2,3)；78-；13 11.12 12. 3 13.[2,2]- 14.1[,)6-+∞ 二、解答题15.解：（1）由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得：2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac+-+-+-+= 整理得：22223ac a c b =+- 所以由余弦定理得：222213cos 223aca cb B ac ac +-===（2）因为在ABC ∆中，(0,)B π∈，又∵1cos 3B =所以sin 3B ===由||2CA CB -=得：||2BA =，即2c =则由1sin 2S ac B ==3a = 由余弦定理得：2222212cos 3223293b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯= 所以3b =16. （1）ABCD 是矩形，所以，BC CD ⊥，VD ⊥平面ABCD ，所以，VD BC ⊥，又VD 交CD 于D 所以，BC ⊥平面VCD （2）ADBC ，得AD 平面VBC ，平面ADMN 交平面VBC 于MN 所以，ADMN17.当且仅当：3BC CD ==时，取得等号，所以BCD S ∆的最大值为3又因为四边形ABDC 的面积ABC BCD S S S ∆∆=+所以四边形ABDC .答：四栋楼宇围成的四边形区域ABDC 平方千米. （2）当楼宇D 与楼宇,B C 间距离相等时由（1）得：3BD DC ==则DBC DCB =∠∠，又因为120BDC =∠，所以30DBC =∠，因为等边三角形ABC 所以60ABC =∠，所以2ABD ABC DBC π=+=∠∠∠在Rt EBD ∆中，BDE θ=∠，所以cos BD DE BDE ==∠tan BE BD BDE θ==∠，则2AE AB BE θ=-= 所以铺设鹅卵石路和防腐木路的总费用()2f a EA a ED θ=⋅+⋅=(2tan )2a 33cos a θθ-+⋅sin 2([0,])3cos 3θθπθθ-+=∈2(sin cos )cos (cos sin 2)sin ()3cos f θθθθθθθθ--+-+'==令1()0sin 2f θθ'=⇒=因为[0,]3πθ∈，所以6πθ=所以当6πθ=时，()()46cos6f f a πθ===极小值即：()f θ的最小值为4a答：铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值4a 元.18.解：（1）由题意可知，24a =，2ac=2a =，c =因为222a b c =+，解得b =所以椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）因为3AD =，所以3||2AEF ADE ADF E F SS S y y ∆∆∆=+=-= 所以||3E F y y -=， 设直线l ：1x my =+，代入椭圆C ，整理得，22(2)230m y my ++-=， 所以,E Fy =，即||E Fy y-==，解得21m =，即1m =±，所以直线l 的方程为10x y ±-=；（3）设直线l ：(1)y k x =-，代入椭圆C ，整理得，2222(21)4240k x k x k +-+-=，设11(,(1))E x k x -，22(,(1))F x k x -，所以1,2x =，所以2122421k x x k +=+，21222421k x x k -⋅=+，直线AE 的方程为11(1)(2)2k x y x x -=++，令3x =，解得M 点坐标为115(1)(3,)2k x x -+，同理可得N 点坐标为225(1)(3,)2k x x -+，因为Q 为M ，N 中点，所以1212115()222Q x x k y x x --=+=++12121241552224x x kk x x x x ++-⋅+++， 将2122421k x x k +=+，21222421k x x k -⋅=+代入上式子，整理得53Q y k -=， 所以553316k k k--'==-，所以56k k '⋅=-.19.解：（1）因为{}n a 是等比数列，且各项均为正数，所以224364a a a ==，解得38a =，公比2q ===，所以1222n n n a -=⋅=， 因为11122(1)22n n n a b a b a b n +++=-+，所以112211(2)22(2)n n n a b a b a b n n --++=-+≥，两式相减，得2(2)nn n a b n n =⋅≥，所以当2n ≥时，n b n =，因为当1n =时，112a b =，所以11b =，符合n b n =，所以*()n b n n N =∈；（2）因为1111022n b n-=->，所以当0λ≤时，原不等式成立， 当0λ>时，原不等式可化为1111)(1)(1)242nλ>---， 设111)(1)(1)242n t n=---，则0n t >， 则11111)(1)(1)(1)24222n tn n +=----+， 所以11n n t t+==，即数列{}n t 单调递减， 所以11t λ>=，解得0λ<<综上，(λ∈-∞； （3）由题意可知，设k b 在数列{}n c 中的项为t c ，则由题意可知，2122222k k t k k -=++++=+-，所以当22k m k =+-时，212(22)12242kk m k k T k ++=-++++=+-，设212420192k k k +++->，易解得10k >，当9k =时，9929227m =+-=+，210992410652m T +=+-=，因为201910659542477-==⨯，且927477996++=， 所以当996m =时，2019m T =.20.解：（1）当1a =，1b =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，所以(1)1f =-，(1)0f '=， 即函数()y f x =的图像在1x =处的切线方程为1y =-； （2）当1a =时，()ln f x x bx =-，11()bx f x b x x-'=-=， ①当0b ≤时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，即()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0b >时，()0f x '>的解集为1(0,)b ，()0f x '<的解集为1(,)b+∞， 即()f x 的单调增区间为1(0,)b ，单调减区间为1(,)b+∞； （3）当1b =时，()ln f x a x x =-，()a xf x x-'=， ①当0a ≤时，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，则()f x 单调递减， 函数()f x 最多有一个零点，所以0a ≤不符题意； ②当0a >时，令()0f x '=，解得x a =，列表如下：由表可知，max ，因为函数()f x 有两个零点，所以ln (ln 1)0a a a a a -=->，解得a e >， 此时，(1)10f =-<，所以存在1(1,)x a ∈，使得1()0f x =，222()ln (2ln )f a a a a a a a =-=-，设()2ln g a a a =-，令2()10g a a'=-=，解得2a =， 列表可知，max ()(2)2ln 220g a g ==-<，所以2()0f a <，故存在22(,)x a a ∈，使得2()0f x =，所以a e >，设21x tx =，因为210x x >>，所以1t >， 因为121121ln ln ln ln x x tx a x x x t ===+，解得1ln ln 1tx t =-，且1111ln ln a t x x t -==， 因为12(1)(0)a m x mx m <-+>，所以2111x a m m x x <-+，即11(1)ln t m t t-<+-， 整理得(1)ln ln 10m t t t t -+-+>，设()(1)ln ln 1h t m t t t t =-+-+， 则11()(ln 1)1h t m t t t '=-++-，2221111()()mt m h t m t t t t+-''=+-=， ①当12m ≥时，()0h t ''>在(1,)+∞上恒成立，所以()h t '单调递增， 所以()(1)0h t h ''>=，即()h t 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)0h t h >=，即12m ≥符合题意； ②当12m <时，()0h t ''<的解集为1(1,)m m -，即()h t '在1(1,)mm-上单调递减， 因为(1)0h '=，所以()0h t '<在1(1,)m m -上恒成立，即()h t 在1(1,)mm-上单调递减， 因为(1)0h =，所以()0h t <在1(1,)m m -上恒成立，即12m <不符合题意； 综上，12m ≥.。