2017年广州市一模理科数学试题答案

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2017年广州市一模理科数学试题及标准答案

2017年广州市一模理科数学试题及标准答案

2017年广州市一模理科数学试题及标准答案2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

(1)复数()221i 1i+++的共轭复数是(A )1i + (B )1i - (C )1i-+ (D )1i --(2)若集合}{1M x x =≤,}{2,1N y y x x ==≤,则(A )M N = (B )M N ⊆ (C )N M ⊆ (D )M N =∅I(3)已知等比数列{}na 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546aa aa ++的值是(A 51- (B 51+(C )35- (D 35+(4)阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为(A )2(B )3 (C )4(D )5(5)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别是双曲线C 的左,右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF=, 则2PF 等于(A )1 (B )13 (C )4或10 (D )1或13 (6)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是(7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为(A )12 (B )1532 (C )1132(D )516(8)已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是(A)2⎛⎫⎪⎪⎝⎭(B )1,12⎛⎫⎪⎝⎭(C)0,2⎛ ⎝⎭(D )10,2⎛⎫⎪⎝⎭(9)已知:0,1xp x eax ∃>-<成立,:q 函数()()1xf x a =--是减函数, 则p 是q 的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==,4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表 面积为(A )8π (B )12π (C )20π(D )24π (11)若直线1y =与函数()2sin 2f x x =的图象相交于点()11,P x y ,()22,Q x y ,且12x x-=23π,则线段PQ 与函数()f x 的图象所围成的图形面积是(A)23π+ (B)3π+ (C )223π+ (D)23π(12)已知函数()32331248f x x x x =-++, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为(A ) 0 (B )504 (C )1008(D )2016第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

年广州市一模理科数学试题及标准答案

年广州市一模理科数学试题及标准答案

2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

(1)复数()221i 1i+++的共轭复数是 (A)1i + (B)1i - (C )1i -+ (D)1i -- (2)若集合}{1M x x =≤,}{2,1N y y x x ==≤,则(A)M N = (B)M N ⊆ (C )N M ⊆ (D )M N =∅(3)已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是(51- (B 51+ (C)35- (35+ (4)阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为(A)2 (B )3 (C)4 (D )5(5)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左,右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 (A)1 (B)13 (C )4或10 (D)1或13(6)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是(7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(A)12(B)1532(C)1132(D)516(8)已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是(A)22⎛⎫⎪⎪⎝⎭(B)1,12⎛⎫⎪⎝⎭(C)20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭(D)10,2⎛⎫⎪⎝⎭(9)已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC,2PA AB==,4AC=,三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为(A)8π(B)12π(C)20π(D)24π(11)若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y,()22,Q x y,且12x x-=23π,则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是(A)233π(B)33π+(C)2323π+(D)323π+(12)已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为(A)0(B)504(C)1008(D)2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 理科数学一模试题及答案

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一) 理科数学一模试题及答案
(Ⅱ) 若 AD = 1 ,二面角 C − AB − D 的平面角的正切值为 6 ,求二面角 B − AD − E
的余弦值.
A
D
A
B
E
图1
D
C
B
图E2
C
(20)(本小题满分 12 分)
过点 P (a, −2) 作抛物线 C : x2 = 4 y 的两条切线, 切点分别为 A( x1, y1 ) , B ( x2, y2 ) .
.(用数字填写答案)
(15)已知函数
f
(x)
=
21−x ,
x 0, 若 f (a) 2 , 则实数 a 的取值范围是
.
1− log2 x, x 0,
(16)设 Sn 为数列an 的前 n 项和, 已知 a1 = 2 , 对任意 p, q N * , 都有 ap+q = ap + aq ,
(3)已知等比数列an 的各项都为正数,

a3
,
1 2
a5
,a4
成等差数列,
则 a3 + a5 的值是 a4 + a6
(A) 5 −1 2
(B) 5 +1 2
(C) 3 − 5 2
(D) 3 +入 n = 5 , 则输出 k 的值为
(A) 2
(B) 3
(C) 4
则球 O 的表面积为
(A) 8
(B)12
(C) 20
(D) 24
(11)若直线 y = 1 与函数 f ( x) = 2sin 2x 的图象相交于点 P ( x1, y1 ) , Q ( x2, y2 ) ,且
x1 − x2
=
2 ,则线段 PQ 与函数 3

广东省广州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

广东省广州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

广东省广州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩N B.(∁U M)∩N C.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)2.(5分)已知向量=(3,4),若|λ|=5,则实数λ的值为()A.B.1C.D.±13.(5分)若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图1),其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是()A.91,91.5 B.91,92 C.91.5,91.5 D.91.5,924.(5分)直线x+ay+1=0与圆x2+(y﹣1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定5.(5分)若直线y=3x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的取值范围是()A.(﹣1,+∞)B.[﹣1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣1)6.(5分)已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为,则该椎体的俯视图可以是()A.B.C.D.7.(5分)已知a为实数,则|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)已知i是虚数单位,C是全体复数构成的集合,若映射f:C→R满足:对任意z1,z2∈C,以及任意λ∈R,都有f(λz1+(1﹣λ)z2)=λf(z1)+(1﹣λ)f(z2),则称映射f具有性质P.给出如下映射:①f1:C→R,f1(z)=x﹣y,z=x+yi(x,y∈R);②f2:C→R,f2(z)=x2﹣y,z=x+yi(x,y∈R);③f3:C→R,f3(z)=2x+y,z=x+yi(x,y∈R);其中,具有性质P的映射的序号为()A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)已知tanα=2,则tan2α的值为.10.(5分)已知e为自然对数的底数,则曲线y=xe x在点(1,e)处的切线斜率为.11.(5分)已知随机变量x服从正态分布N(2,1).若P(1≤x≤3)=0.6826,则P(x>3)等于.12.(5分)已知,幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为.13.(5分)已知n,k∈N*,且k≤n,kC=nC,则可推出C+2C+3C+…+kC+…+nC=n(C+C+…+C+…+C)=n•2n﹣1.由此,可推出C+22C+32C+…+k2C+…+n2C=.三、选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)14.(5分)在直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为.四、(几何证明选讲选做题)15.如图,BC是圆O的一条弦,延长BC至点E,使得BC=2CE=2,过E作圆O的切线,A 为切点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,则DE的长为.五、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+,﹣2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)求sin(x0+)的值.17.(12分)袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为x.(1)求袋子中白球的个数;(2)求x的分布列和数学期望.18.(14分)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,EF∩AC=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到五棱锥P﹣ABFED,且PB=.(1)求证:BD⊥平面POA;(2)求二面角B﹣AP﹣O的正切值.19.(14分)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足a1=1,a n+1=2+1,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数k,使a k,S2k﹣1,a4k成等比数列?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由.20.(14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:﹣y2=1的顶点,直线x+y=0与椭圆C1交于A、B两点,且点A的坐标为(﹣,1),点P是椭圆C1上异于点A,B的任意一点,点Q满足=0,=0,且A,B,Q三点不共线.(1)求椭圆C1的方程(2)求点Q的轨迹方程(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.21.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2﹣x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<(1+)(1+)…(1+)<e.广东省广州市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以表示为()A.M∩N B.(∁U M)∩N C.M∩(∁U N)D.(∁U M)∩(∁U N)考点:交、并、补集的混合运算.专题:集合.分析:根据元素之间的关系进行求解即可.解答:解:∵M={3,4,5},N={1,2,5},∴M∩N={5},(∁U M)∩N={1,2},M∩(∁U N)={3,4},(∁U M)∩(∁U N)=∅,故选:B点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)已知向量=(3,4),若|λ|=5,则实数λ的值为()A.B.1C.D.±1考点:向量的模.专题:平面向量及应用.分析:由|λ|==5直接计算即可.解答:解:∵=(3,4),∴λ=(3λ,4λ),∴|λ|==5,解得|λ|=1,从而λ=±1,故选:D.点评:本题考查向量的长度的计算,属基础题.3.(5分)若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图1),其中茎为十位数,叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是()A.91,91.5 B.91,92 C.91.5,91.5 D.91.5,92考点:茎叶图.专题:计算题;概率与统计.分析:根据茎叶图中的数据,计算这组数据的中位数与平均数即可.解答:解:把茎叶图中的数据按大小顺序排列,如下;87、88、90、91、92、93、94、97;∴这组数据的中位数为=91.5,平均数是(87+88+90+91+92+93+94+97)=91.5.故选:C.点评:本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题,是基础题目.4.(5分)直线x+ay+1=0与圆x2+(y﹣1)2=4的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定考点:直线与圆的位置关系.专题:直线与圆.分析:求出直线系恒过的定点与圆的位置关系,判断即可.解答:解:直线x+ay+1=0恒过(﹣1,0),圆x2+(y﹣1)2=4的圆心(0,1),半径为2.因为(﹣1)2+(0﹣1)2=2<4.点(﹣1,0)在圆的内部,所以直线与圆相交.故选:A.点评:本题考查直线与圆的位置关系的应用,考查转化思想以及计算能力.5.(5分)若直线y=3x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的取值范围是()A.(﹣1,+∞)B.[﹣1,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣1)考点:简单线性规划.专题:计算题;作图题;不等式的解法及应用.分析:由题意作出其平面区域,先解出点A的坐标,再结合图象写出实数m的取值范围即可.解答:解:由题意作出其平面区域,结合图象可得,,解得,A(﹣1,﹣3);故m≥﹣1;故选B.点评:本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题.6.(5分)已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为,则该椎体的俯视图可以是()A.B.C.D.考点:简单空间图形的三视图.专题:空间位置关系与距离.分析:由已知中锥体的正视图和侧视图,可得锥体的高为,结合锥体的体积为,可得其底面积为2,进而可得答案.解答:解:∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形,故锥体的高为,又∵锥体的体积为,故锥体的底面面积为2,A中图形的面积为4,不满足要求;B中图形的面积为π,不满足要求;C中图形的面积为2,满足要求;D中图形的面积为,不满足要求;故选:C点评:本题考查的知识点是简单几何体的三视图,难度不大,属于基础题.7.(5分)已知a为实数,则|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题:简易逻辑.分析:解不等式和不等式的几何意义可得各自对应的a的集合,由集合的包含关系可判.解答:解:由|a|≥1可得a≤﹣1或a≥1,又关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解,∴a≥|x|+|x﹣1|的最小值,又∵|x|+|x﹣1|表示数轴上的点到0和1的距离之和,∴|x|+|x﹣1|的最小值为1,即a≥1,∵{a|a≥1}是集合{a|a≤﹣1或a≥1}的真子集,∴|a|≥1是关于x的绝对值不等式|x|+|x﹣1|≤a有解的必要不充分条件,故选:B点评:本题考查充要条件的判定,涉及绝对值不等式的恒成立问题,属基础题.8.(5分)已知i是虚数单位,C是全体复数构成的集合,若映射f:C→R满足:对任意z1,z2∈C,以及任意λ∈R,都有f(λz1+(1﹣λ)z2)=λf(z1)+(1﹣λ)f(z2),则称映射f具有性质P.给出如下映射:①f1:C→R,f1(z)=x﹣y,z=x+yi(x,y∈R);②f2:C→R,f2(z)=x2﹣y,z=x+yi(x,y∈R);③f3:C→R,f3(z)=2x+y,z=x+yi(x,y∈R);其中,具有性质P的映射的序号为()A.①②B.①③C.②③D.①②③考点:映射.专题:新定义;函数的性质及应用.分析:求出两个向量的和的坐标;分别对三个函数求f(λz1+(1﹣λ)z2)、λf(z1)+(1﹣λ)f(z2)的值,判断哪个函数具有f(λz1+(1﹣λ)z2)=λf(z1)+(1﹣λ)f(z2)解答:解:设z1=(x1,y1),z2=(x2,y2),则λ z1+(1﹣λ)z2=(λx1+(1﹣λ)x2,λy1+(1﹣λ)y2),对于①,f[λa+(1﹣λ)z2]=λx1+(1﹣λ)x2+λy1+(1﹣λ)y2+1=λ(x1+y1)+(1﹣λ)(x2+y2)+1而λf(a)+(1﹣λ)f(z2)=λ(x1+y1+1)+(1﹣λ)(x2+y2+1)═λ(x1+y1)+(1﹣λ)(x2+y2)+1,f1满足性质p;f2(λa+(1﹣λz2))=[λx1+(1﹣λ)x2]2+[λy1+(1﹣λ)y2],λf2(z1)+(1﹣λ)f2(b)=λ(x12+y1)+(1﹣λ)(x22+y2)∴f2(λz1+(1﹣λz2))≠λf2(z1)+(1﹣λ)f2(z2),∴映射f2不具备性质P.对于②,对于③,f[λ a+(1﹣λ)z2]=λx1+(1﹣λ)x2﹣λy1﹣(1﹣λ)y2=λ(x1﹣y1)+(1﹣λ)(x2﹣y2)而λf(z1)+(1﹣λ)f(z2)=λ(x1﹣y1)+(1﹣λ)(x2﹣y2),f3满足性质P故选:B.点评:本题考查理解题中的新定义、考查利用映射的法则求出相应的像.二、填空题:本大题共5小题,考生作答6小题,每小题5分,满分25分.(一)必做题(9~13题)9.(5分)已知tanα=2,则tan2α的值为﹣.考点:二倍角的正切.专题:三角函数的求值.分析:由条件利用二倍角的正切公式求得tan2α的值.解答:解:∵tanα=2,∴tan2α===﹣,故答案为:﹣.点评:本题主要考查二倍角的正切公式的应用,属于基础题.10.(5分)已知e为自然对数的底数,则曲线y=xe x在点(1,e)处的切线斜率为2e.考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:导数的概念及应用.分析:利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.解答:解:依题意得y′=e x+xe x,因此曲线y=xe x在x=1处的切线的斜率等于2e,故答案为:2e.点评:本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.11.(5分)已知随机变量x服从正态分布N(2,1).若P(1≤x≤3)=0.6826,则P(x>3)等于0.1587.考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.专题:计算题;概率与统计.分析:根据题目中:“正态分布N(2,1)”,画出其正态密度曲线图:根据对称性,由P(1≤x≤3)=0.6826,可求P(x>3).解答:解:已知随机变量服从正态分布N(2,1),如图.∵P(1≤x≤3)=0.6826,∴P(x>3)=(1﹣0.6826)=0.1587.故答案为:0.1587.点评:本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,注意根据正态曲线的对称性解决问题.12.(5分)已知,幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为16.考点:幂函数的性质.专题:函数的性质及应用.分析:幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则指数是偶数且大于0,由于﹣m2﹣2m+3=﹣(m+1)2+4≤4,即可得出.解答:解:∵幂函数f(x)=x(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则指数是偶数且大于0,∵﹣m2﹣2m+3=﹣(m+1)2+4≤4,∴因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,∴m=﹣1,f(x)=x4,∴f(2)=24=16.点评:本题考查了幂函数的定义及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.13.(5分)已知n,k∈N*,且k≤n,kC=nC,则可推出C+2C+3C+…+kC+…+nC=n(C+C+…+C+…+C)=n•2n﹣1.由此,可推出C+22C+32C+…+k2C+…+n2C=n(n+1)2n﹣2.考点:二项式定理的应用.专题:二项式定理.分析:由(1+x)n=+x+x2+…+x n•,两边求导数,二次求导数,令x=1,即可得出正确的结果.解答:解:∵(1+x)n=+x+x2+…+x n•,∴两边求导数,得n(1+x)n﹣1=+2x+3x2+…+nx n﹣1,两边同乘以x,得nx(1+x)n﹣1=x+2x2+3x3+…+nx n,两边再求导,得n(1+x)n﹣1+n(n﹣1)x(1+x)n﹣2=+22••x+32••x2+…+n2•x n﹣1,令x=1,左边=n•2n﹣1+n(n﹣1)•2n﹣2=n(n+1)2n﹣2,右边=+22+32+…+n2;所以C+22C+32C+…+k2C+…+n2C=n(n+1)2n﹣2.故答案为:n(n+1)2n﹣2.点评:本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应灵活应用求导公式以及特殊值进行计算,是综合性题目.三、选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)(坐标系与参数方程选做题)14.(5分)在直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数).以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为.考点:简单曲线的极坐标方程.专题:坐标系和参数方程.分析:利用sin2θ+cos2θ=1,可把曲线C1的参数方程化为x2+y2=2,由C2(t为参数)化为x+y=2,联立解出交点坐标,化为极坐标即可.解答:解:曲线C1的参数方程分别为(θ为参数),化为x2+y2=2,由C2(t为参数)化为x+y=2,联立,解得x=y=1,∴曲线C1与C2的交点为P(1,1),可得=,tanθ=1,可得.故答案为:.点评:本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系、直角坐标化为极坐标,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.四、(几何证明选讲选做题)15.如图,BC是圆O的一条弦,延长BC至点E,使得BC=2CE=2,过E作圆O的切线,A 为切点,∠BAC的平分线AD交BC于点D,则DE的长为.考点:与圆有关的比例线段.专题:选作题;推理和证明.分析:利用切线的性质、角平分线的性质,证明∠ADE=∠DAE,可得AE=DE,再利用切割线定理,即可求出DE的长.解答:解:∵AE是圆O的切线,∴∠EAC=∠B,又∵AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠DAC.∴∠ADE=∠DAE,∴AE=DE,∵BC=2CE=2,AE是圆O的切线,∴AE2=CE•BE=3,∴AE=.故答案为:.点评:本题考查切线的性质、角平分线的性质,考查切割线定理,考查学生的计算能力,比较基础.五、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+)(A>0,ω>0)的图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+,﹣2).(1)求函数f(x)的解析式;(2)求sin(x0+)的值.考点:两角和与差的正弦函数;由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.专题:三角函数的求值.分析:(1)根据条件求出振幅以及函数的周期,即可求函数f(x)的解析式;(2)根据函数的最值,求出x0的大小,结合两角和差的正弦公式进行求解即可.解答:解:(1)∵图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+,﹣2).∴A=2,=x0+﹣x0=,即函数的周期T=π,即T=,解得ω=2,即f(x)=2sin(2x+).(2)∵函数的最高点的坐标为(x0,2),∴2x0+=,即x0=,则sin(x0+)=sin(+)=sin cos+cos sin=(sin+cos)=()=.点评:本题主要考查三角函数的解析式的求解,以及三角函数值的计算,利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键.17.(12分)袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放回,设在取得红球之前已取出的白球个数为x.(1)求袋子中白球的个数;(2)求x的分布列和数学期望.考点:梅涅劳斯定理;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.专题:概率与统计.分析:(1)设袋子中有n,(n∈N)个白球,,求解n即可.(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球,X的可能取值为0,1,2,3,求出概率得到分布列,然后求解期望即可.解答:(本小题满分12分)(1)解:设袋子中有n,(n∈N)个白球,依题意得,,…(1分)即,化简得,n2﹣n﹣6=0,…(2分)解得,n=3或n=﹣2(舍去).…(3分)∴袋子中有3个白球.…(4分)(2)解:由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.…(5分)X的可能取值为0,1,2,3,…(6分)P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.…(10分)∴X的分布列为:X 0 1 2 3P…(11分)∴EX==.…(12分)点评:本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值(数学期望)等知识,考查或然与必然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识.18.(14分)如图所示,在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,EF∩AC=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到五棱锥P﹣ABFED,且PB=.(1)求证:BD⊥平面POA;(2)求二面角B﹣AP﹣O的正切值.考点:二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定.专题:空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)由已知得BD∥EF,BD⊥AC,从而EF⊥AC,EF⊥AO,EF⊥PO,由此能证明BD⊥平面POA.(2)设AO∩BD=H,连结BO,则△ABD是等边三角形,从而BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=,BO=,进而PO⊥BO,PO⊥平面BFED,过H作HG⊥AP,垂足为G,连结BG,∠BGH为二面角B﹣AP﹣O的平面角,由此能求出二面角B﹣AP﹣O的正切值.解答:(1)证明:∵点E,F分别是边CD、CB的中点,∴BD∥EF,∴菱形ABCD的对角线互相垂直,∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO,∵AO⊂平面POA,PO⊂平面POA,AO∩PO=O,∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA.(2)解:设AO∩BD=H,连结BO,∵∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=,在Rt△BHO中,BO==,在PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO,∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF⊂平面BFED,∴PO⊥平面BFED,过H作HG⊥AP,垂足为G,连结BG,由(1)知BH⊥平面POA,且AP⊂平面POA,∴BH⊥AP,∵HG∩BH=H,HG⊂平面BHG,BH⊂平面BHG,∴AP⊥平面BHG,BG⊂平面BHG,∵BG⊂平面BHG,∴AP⊥BG,∴∠BGH为二面角B﹣AP﹣O的平面角,在Rt△POA中,AP==,在Rt中,∠POA=∠HGA=90°,∠APO=∠HAG,∴△POA∽△HGA,∴,∴HG===.在Rt△BHG中,tan==.∴二面角B﹣AP﹣O的正切值为.点评:本题考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.19.(14分)已知数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,且满足a1=1,a n+1=2+1,n∈N*.(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;(3)是否存在正整数k,使a k,S2k﹣1,a4k成等比数列?若存在,求k的值,若不存在,请说明理由.考点:数列递推式;等比关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(1)将n=1代入式子即可求解;(2)由a n+1=2+1得,令n取n﹣1代入上式可得,两个式子相减后进行化简,利用等差数列的定义判断,再由等差数列的通项公式求出a n;(3)先假设存在正整数k满足条件,利用等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程,化简后求出k的值,再由k是正整数进行判断.解答:解:(1)因为a 1=1,a n+1=2+1,所以a 2=2+1=2+1=3;(2)由a n+1=2+1得,,所以当n≥2时,,两个式子相减得,4a n=(a n+1+a n﹣2)(a n+1﹣a n),化简得,(a n+1﹣a n﹣2)(a n+1+a n)=0,因为数列{a n}的各项均为正数,所以a n+1﹣a n﹣2=0,即a n+1﹣a n=2,所以数列{a n}是以1为首项、2为公差的等差数列,则a n=1+(n﹣1)×2=2n﹣1;(3)假设存在正整数k使a k,S2k﹣1,a4k成等比数列,则,所以=(2k﹣1)(8k﹣1),(2k﹣1)3=8k﹣1,化简得4k2﹣6k﹣1=0,解得,,因为k是正整数,所以不存在正整数k满足条件.点评:本题考查等差数列的证明方法:定义法,等比中项的性质、等差数列的前n项和公式、通项公式,以及数列的递推公式的化简及应用,考查化简、变形能力.20.(14分)已知椭圆C1的中心在坐标原点,两焦点分别为双曲线C2:﹣y2=1的顶点,直线x+y=0与椭圆C1交于A、B两点,且点A的坐标为(﹣,1),点P是椭圆C1上异于点A,B的任意一点,点Q满足=0,=0,且A,B,Q三点不共线.(1)求椭圆C1的方程(2)求点Q的轨迹方程(3)求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.考点:轨迹方程;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题.专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)求出椭圆的焦点,利用椭圆的定义,可得椭圆C1的方程(2)设Q(x,y),P(x1,y1),由题意,B(,﹣1),利用点Q满足=0,=0,结合点P是椭圆C1上异于点A,B的任意一点,求点Q的轨迹方程(3)由于|AB|=2,故Q到AB的距离最大时,△ABQ的面积最大,即可求△ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.解答:解:(1)双曲线C2:﹣y2=1的顶点为F1(﹣,0),F2(,0),∴椭圆C1的焦点为F1(﹣,0),F2(,0),∵椭圆过A(﹣,1),∴2a=|AF1|+|AF2|=4,∴a=2,∴b==,∴椭圆C1的方程为;(2)设Q(x,y),P(x1,y1)由题意,B(,﹣1),∴=(x+,y﹣1),=(x1+,y1﹣1),=(x﹣,y+1),=(x1﹣,y1+1),由=0,可得(x+)(x1+)=﹣(y﹣1)(y1﹣1),=0,可得(x﹣)(x1﹣)=﹣(y+1)(y1+1),两式相乘,可得(x2﹣2)(x12﹣2)=(y2﹣1)(y12﹣1),点P是椭圆C1上异于点A,B的任意一点,∴x12=4﹣2y12,∴﹣2(x2﹣2)(y12﹣2)=(y2﹣1)(y12﹣1),y12﹣1≠0时,2x2+y2=5;y12﹣1=0时,则P(﹣,﹣1)或P(,1),Q(,1)或Q(﹣,﹣1),满足2x2+y2=5,P与A重合时,P(﹣,1),y=x﹣3代入2x2+y2=5可得Q(,﹣1)或(,﹣2);同理P与B重合时,Q(﹣,1)或(﹣,2);∴Q的轨迹方程为2x2+y2=5,除去(,﹣1)、(,﹣2)、(﹣,1)、(﹣,2);(3)由于|AB|=2,故Q到AB的距离最大时,△ABQ的面积最大,设与直线AB平行的直线为x+y+m=0与2x2+y2=5联立,可得5y2+4my+2c2﹣5=0△=32m2﹣20(2m2﹣5)=0,可得m=±,m=,y=﹣2,x=﹣;m=﹣,y=2,x=;∴Q(,2)或(﹣,﹣2)时,△ABQ的面积最大,最大为|AB|×=.点评:本题考查椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考查学生分析解决问题的能力,有难度.21.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2﹣x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<(1+)(1+)…(1+)<e.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;不等式的证明.专题:导数的综合应用.分析:(1)f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立⇔f(x)min>0.f′(x)==.(a≥0).对a分类讨论:a=0,a≥1,0<a<1,利用导数研究其单调性即可得出;(2)由(1)可知:当a=0时,ln(1+x)<x,x>0.取x=,(i∈N*,i≤n,n∈N*).可得,利用“累加求和”即可证明不等式的右边部分(1+)(1+)…(1+)<e.由(1)可知:当a=1时,ln(1+x)>x>,1>x>0.取x=,(i∈N*,i≤n,n∈N*).则,利用“累加求和”即可证明不等式的左边部分.解答:(1)解:f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立⇔f(x)min>0.f′(x)==.(a≥0).当a≥1时,f′(x)>0,∴函数f(x)单调递增,∴f(x)>f(0)=0,∴f(x)min>0成立,因此a≥1满足条件.当a=0时,f′(x)=<0,∴函数f(x)单调递减,∴f(x)<f(0),不满足条件,舍去.当0<a<1时,f′(x)=,当时,函数f(x)单调递减,∴f(x)<f(0)=0,不满足条件,舍去.综上可得:只有当a≥1时满足条件.因此a的取值范围是[1,+∞).(2)证明:由(1)可知:当a=0时,ln(1+x)<x,x>0.取x=,(i∈N*,i≤n,n∈N*).∴,∴++…+<+…+==≤1,∴<1,∴(1+)(1+)…(1+)<e.由(1)可知:当a=1时,ln(1+x)>x>,1>x>0.取x=,(i∈N*,i≤n,n∈N*).则,∴++…+=+,∴>,∴(1+)(1+)…(1+).综上可得:∀n∈N*,<(1+)(1+)…(1+)<e.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、“放缩法”、等差数列的前n项和公式,考查了恒成立问题的等价转化方法,考查了利用已经证明的结论证明不等式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.。

2017年广州市高考模拟考试(理科)第一学期期末试卷及答案

2017年广州市高考模拟考试(理科)第一学期期末试卷及答案

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试理科数学2016.12 本试卷共4页,23小题, 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3.第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合{}2A x x =≤,{}2230B x x x =--≤,则AB =(A) []2,3- (B) []1,2- (C) []2,1- (D) []1,2 (2)设(1i)(i)x y ++2=,其中,x y 是实数,则2i x y +=(A )1 (B (C (D (3)等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若230a S +=,则公比q =(A) 1- (B) 1 (C) 2- 错误!未找到引用源。

(D) 2(4)已知双曲线:C 12222=-bx a y (0,0>>b a )的渐近线方程为x y 21±=, 则双曲线C的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6(5)若将函数()sin 2cos 2f x x x =+的图象向左平移ϕ个单位,所得图象关于y 轴对称,则ϕ的最小正值是 (A )8π (B )4π(C )38π (D )34π(6)GZ 新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C 三期播出, A 期播出两间学校, B 期,C 期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有OyOxO (A )140种 (B )420种 (C )840种 (D )1680种(7)已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--,则函数()g x 的图象是(A) (B) (C) (D)(8)设0.40.7a =,0.70.4b =,0.40.4c = ,则,,a b c 的大小关系为(A) b a c << (B) a c b << (C) b c a << (D) c b a << (9)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(A) 7 (10)已知抛物线:C y 交于M ,N (A)221 (11)如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f =(A) (],1-∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2017年广东省广州市番禺区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年广东省广州市番禺区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x≥﹣1},B={x|y=ln(x﹣2},则A∩∁R B=()A.[﹣1,2)B.[2,+∞)C.[﹣1,2]D.[﹣1,+∞)2.(5分)设f(x)=,则f(f(2))的值为()A.0B.1C.2D.33.(5分)若实数x,y满足,则z=的最小值为()A.3B.C.D.4.(5分)在区间[0,1]上随机选取两个数x和y,则y>2x的概率为()A.B.C.D.5.(5分)已知命题p:∀x∈R,x2﹣2x sinθ+1≥0;命题q:∀α,β∈R,sin(α+β)≤sinα+sinβ,则下列命题中的真命题为()A.(¬p)∧q B.p∧(¬q)C.(¬p)∨q D.¬(p∨q)6.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.48πB.32πC.12πD.8π7.(5分)已知向量,,满足=+,||=2,||=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若•=﹣,则向量与的夹角为()A.B.C.D.8.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,且F2为抛物线y2=24x的焦点,设点P为两曲线的一个公共点,若△PF1F2的面积为36,则双曲线的方程为()A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=19.(5分)执行如图所示的程序框图,若x∈[a,b],y∈[0,4],则b﹣a的最小值为()A.2B.3C.4D.510.(5分)若(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0+a1+a2+…+a7的值为()A.﹣2B.﹣3C.253D.12611.(5分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M,N 两点,若=4,则直线l的斜率为()A.±B.±C.±D.±12.(5分)函数f(x)=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π,当x∈[m,n]时,f(x)至少有12个零点,则n﹣m的最小值为()A.12πB.C.6πD.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)复数z在复平面内对应的点是(1,﹣1),则=.14.(5分)定积分(+x)dx的值为.15.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(37.5)等于.16.(5分)将一块边长为6cm的正方形纸片,先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥),将该四棱锥如图2放置,若其正视图为正三角形,则其体积为cm3.三、解答题:解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17.(10分)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知A=60°,b=5,c=4.(1)求a;(2)求sin B sin C的值.18.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,且2a1=d,2a n=a2n﹣1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.19.(12分)某市为了解各校《国学》课程的教学效果,组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试,测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级,随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩,得到如图所示分布图:(Ⅰ)试确定图中实数a与b的值;(Ⅱ)规定等级D为“不合格”,其他等级为“合格”,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生,求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.20.(12分)如图,三棱锥P﹣ABC中,P A=PC,底面ABC为正三角形.(Ⅰ)证明:AC⊥PB;(Ⅱ)若平面P AC⊥平面ABC,AC=PC=2,求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.21.(12分)椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.(Ⅰ)若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,求椭圆E的离心率;(Ⅱ)若椭圆E过点A(0,﹣2),直线AF1,AF2与椭圆的另一个交点分别为点B,C,且△ABC的面积为,求椭圆E的方程.22.(12分)已知函数f(x)=alnx+x2﹣x,其中a∈R.(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.2017年广东省广州市番禺区高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={x|x≥﹣1},B={x|y=ln(x﹣2},则A∩∁R B=()A.[﹣1,2)B.[2,+∞)C.[﹣1,2]D.[﹣1,+∞)【解答】解:集合A={x|x≥﹣1},B={x|y=ln(x﹣2}={x|x﹣2>0}={x|x>2},∴∁R B={x|x≤2},∴A∩∁R B={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1,2].故选:C.2.(5分)设f(x)=,则f(f(2))的值为()A.0B.1C.2D.3【解答】解:f(f(2))=f(log3(22﹣1))=f(1)=2e1﹣1=2,故选C.3.(5分)若实数x,y满足,则z=的最小值为()A.3B.C.D.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域,则z的几何意义为区域内的点到原点距离,则由图象可知,当圆心O到点A的离最小,由可得A(1,1),此时d==,故选:D.4.(5分)在区间[0,1]上随机选取两个数x和y,则y>2x的概率为()A.B.C.D.【解答】解:在区间[0,1]上随机选取两个数x和y,对应的区间为边长为1 的正方形,面积为1,在此条件下满足y>2x的区域面积为,所以y>2x的概率为,故选:A.5.(5分)已知命题p:∀x∈R,x2﹣2x sinθ+1≥0;命题q:∀α,β∈R,sin(α+β)≤sinα+sinβ,则下列命题中的真命题为()A.(¬p)∧q B.p∧(¬q)C.(¬p)∨q D.¬(p∨q)【解答】解:关于命题p:∀x∈R,x2﹣2x sinθ+1≥0,△=4sin2θ﹣4≤0,故p是真命题,关于命题q:∀α,β∈R,sin(α+β)≤sinα+sinβ,是真命题,∴(¬p)∨q是真命题,故选:C.6.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.48πB.32πC.12πD.8π【解答】解:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且AB⊥BC,AB=BC =AA1=2,∴以AB,BC,AA1为棱构造一个正方体,则该三棱柱的所有顶点都在该正方体的外接球上,该球的半径R==,∴该球的表面积为S=4πR2=4π×3=12π.故选:C.7.(5分)已知向量,,满足=+,||=2,||=1,E,F分别是线段BC,CD的中点,若•=﹣,则向量与的夹角为()A.B.C.D.【解答】解:如图所示,•=(﹣)•(﹣)=•﹣﹣=﹣;由||=||=2,||=||=1,可得•=1,∴cos<,>=,∴<,>=,即向量与的夹角为.故选:B.8.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,且F2为抛物线y2=24x的焦点,设点P为两曲线的一个公共点,若△PF1F2的面积为36,则双曲线的方程为()A.﹣=1B.﹣=1C.﹣=1D.﹣=1【解答】解:由题意,F2(6,0),设P(m,n),则∵△PF1F2的面积为36,∴=36,∴|n|=6,∴m=9,取P(9,6),则2a=﹣=6,∴a=3,b=3,∴双曲线的方程为﹣=1,故选:A.9.(5分)执行如图所示的程序框图,若x∈[a,b],y∈[0,4],则b﹣a的最小值为()A.2B.3C.4D.5【解答】解:由题意,y=,x∈[a,b],y∈[0,4],则b﹣a的最小值为2,此时区间为[0,2]或[2,4],故选:A.10.(5分)若(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a0+a1+a2+…+a7的值为()A.﹣2B.﹣3C.253D.126【解答】解:∵(1+2x)(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,∴a8=2•C77•(﹣2)7=﹣256.令x=1得:(1+2)(1﹣2)7=a0+a1+a2+…+a7+a8=﹣3,∴a1+a2+…+a7=﹣3﹣a8=﹣3+256=253.故选:C.11.(5分)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线交于M,N 两点,若=4,则直线l的斜率为()A.±B.±C.±D.±【解答】解:如图,作MB垂直准线于B,作NC垂直准线于C,根据抛物线定义,可得MB=MF,NC=NF作NA垂直MB于A,设FN=m,则MN=5m,NA=MF﹣NF=3m在直角三角形AMN中tan∠NMA=,∴直线l的斜率为±,故选:D.12.(5分)函数f(x)=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π,当x∈[m,n]时,f(x)至少有12个零点,则n﹣m的最小值为()A.12πB.C.6πD.【解答】解:由题意得,f(x)=sinωx+cosωx+1=,因为函数f(x)的最小正周期为π,所以,解得ω=2,则,由得,,则或(k∈Z),解得x=kπ﹣,或x=kπ﹣,所以一个周期内相邻的零点之间的间隔为,因为当x∈[m,n]时,f(x)至少有12个零点,所以n﹣m的最小值为=,故选:D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)复数z在复平面内对应的点是(1,﹣1),则=1+i.【解答】解:∵复数z在复平面内对应的点是(1,﹣1),∴z=1﹣i,则.故答案为:1+i.14.(5分)定积分(+x)dx的值为+.【解答】解:根据定积分的几何意义可知dx表示以1为半径的圆面积的,∴dx=,又xdx=|=,∴(+x)dx=dx+xdx=.故答案为:.15.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(37.5)等于﹣0.5.【解答】解:根据题意,由于f(x+2)=﹣f(x),则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)的周期为4,则有f(37.5)=f(1.5+4×9)=f(1.5),又由f(x+2)=﹣f(x),则有f(1.5)=f[2+(﹣0.5)]=﹣f(﹣0.5),又由函数为奇函数,则f(0.5)=﹣f(﹣0.5),又由当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(0.5)=0.5;则有f(37.5)=f(1.5)=﹣f(﹣0.5)=f(0.5)=0.5,故f(37.5)=0.5;故答案为:0.5.16.(5分)将一块边长为6cm的正方形纸片,先按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形,然后将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个正四棱锥模型(底面是正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面中心的四棱锥),将该四棱锥如图2放置,若其正视图为正三角形,则其体积为cm3.【解答】解:∵正四棱锥的正视图是正三角形,正视图的底面边长为a,高为a,∴正四棱锥的斜高为a,∵图1得出:∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=a+,a=2∴正四棱锥的体积是a2×a=cm3,故答案为.三、解答题:解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17.(10分)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,已知A=60°,b=5,c=4.(1)求a;(2)求sin B sin C的值.【解答】解:(1)因为A=60°,b=5,c=4,所以由余弦定理得,a2=b2+c2﹣2bc cos A=25+16﹣=21,则a=;(2)由正弦定理得,==,所以sin B==,sin C==所以sin B sin C=×=.18.(12分)设等差数列{a n}的公差为d,且2a1=d,2a n=a2n﹣1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.【解答】解:(1)∵等差数列{a n}的公差为d,且2a1=d,2a n=a2n﹣1,n=1时,2a1=a2﹣1,可得2a1=a1+2a1﹣1,解得a1=1.∴d=2.∴a n=1+2(n﹣1)=2n﹣1.(2)b n==,∴数列{b n}的前n项和S n=++…+,∴=+…++,∴=2﹣=+2×﹣,∴S n=3﹣.19.(12分)某市为了解各校《国学》课程的教学效果,组织全市各学校高二年级全体学生参加了国学知识水平测试,测试成绩从高到低依次分为A、B、C、D四个等级,随机调阅了甲、乙两所学校各60名学生的成绩,得到如图所示分布图:(Ⅰ)试确定图中实数a与b的值;(Ⅱ)规定等级D为“不合格”,其他等级为“合格”,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若从甲、乙两校“合格”的学生中各选1名学生,求甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率.【解答】解:(Ⅰ)由题意,6+a+33+6=60,∴a=15.0.15+b+0.2+0.15=1,∴b=0.5;(Ⅱ)设E1表示“甲校学生成绩等级为A”,则P(E1)=,E2表示“甲校学生成绩等级为B”,则P(E2)=,F1表示“乙校学生成绩等级为B或C”,则P(F1)=,F2表示“乙校学生成绩等级为C”,则P(F2)=,∴甲校学生成绩高于乙校学生成绩的概率为+=.20.(12分)如图,三棱锥P﹣ABC中,P A=PC,底面ABC为正三角形.(Ⅰ)证明:AC⊥PB;(Ⅱ)若平面P AC⊥平面ABC,AC=PC=2,求二面角A﹣PC﹣B的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明:如图,取AC中点O,连接PO,BO,∵P A=PC,∴PO⊥AC,又∵底面ABC为正三角形,∴BO⊥AC,∵PO∩OB=O,∴AC⊥平面POB,则AC⊥PB;(Ⅱ)解:∵平面P AC⊥平面ABC,且平面P AC∩平面ABC=AC,PO⊥AC,∴PO⊥平面ABC,以O为原点,分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,∵AC=PC=2,∴P(0,0,),B(0,,0),C(﹣1,0,0),,,设平面PBC的一个法向量为,由,取y=﹣1,得,又是平面P AC的一个法向量,∴cos<>=.∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为.21.(12分)椭圆E:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2.(Ⅰ)若椭圆E的长轴长、短轴长、焦距成等差数列,求椭圆E的离心率;(Ⅱ)若椭圆E过点A(0,﹣2),直线AF1,AF2与椭圆的另一个交点分别为点B,C,且△ABC的面积为,求椭圆E的方程.【解答】解:(Ⅰ)由长轴长、短轴长、焦距成等差数列,则2b=a+c,则4b2=a2+2ac+c2,由b2=a2﹣c2,则4(a2﹣c2)=a2+2ac+c2,∴3a2﹣5c2﹣2ac=0,两边同除以a2,5e2+2e﹣3=0,由0<e<1,解得e=,(2)由已知可得b=2,把直线AF2:y=x﹣2,代入椭圆方程,整理得:(a2+c2)x2﹣2a2cx=0,∴x==,∴C(,y),由椭圆的对称性及平面几何知识可知,△ABC的面积为S=×2x×(y+2)==[]2,∴[]2=,解得:c2=1,a2=b2+c2=5,故所求椭圆的方程为.22.(12分)已知函数f(x)=alnx+x2﹣x,其中a∈R.(Ⅰ)若a>0,讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=+2x﹣1=,(x>0),令g(x)=2x2﹣x+a=2+a﹣,(x>0),a≥时,g(x)≥0,即f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)递增,0<a<时,令g′(x)>0,解得:x>或0<x<,令g′(x)<0,解得:<x<,故f(x)在(0,)递增,在(,)递减,在(,+∞)递增;(Ⅱ)x=1时,显然成立,x>1时,问题转化为a≥在(1,+∞)恒成立,令h(x)=,则h′(x)=,令m(x)=(﹣2x+1)lnx+x﹣1,(x>1),则m′(x)=﹣2lnx+<0,故m(x)<m(1)=0,故h′(x)在(1,+∞)递减,而==﹣1,故a≥﹣1.。

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数小题解析)

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数小题解析)

2017届广州市普通高中毕业班综合测试(一)(理数小题解析)D(8)已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y aba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是(A )2,12⎛⎫⎪⎪⎝⎭(B )1,12⎛⎫⎪⎝⎭(C )20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(D )10,2⎛⎫⎪⎝⎭答案:A解析:如图,当P 为上端点时,∠F 1PF 2最大,此时,c >b(9)已知:0,1xp x eax ∃>-<成立,:q 函数()()1xf x a =--是减函数, 则p 是q 的(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 答案:B 解析:min (),()1设则命题x f x e ax p f x =-⇔<(),1,()0,(),()(0)1,,当时为增函数不合题意舍去x f x e a a f x f x f x f ''=-≤>∴>=min 1,()0,ln ,0ln ,()0ln ,()0,(),()(ln )ln 1当时令得当时当时单调递增a f x x a x a f x x a f x f x f x f a a a ''>==<<<'>>∴==-<()ln ,()ln 0,(),(1)1,()1,(1,)设则单调递减又恒成立故的范围是g a a a g a a g a g g a a '=-=-<=∴<+∞211:0,,(),1(),()(1)1,(0)0()0,(),0,()0,()0,()(0,).命题设则设则则为增函数即在上单调递增x x x x xx e e p x a f x x xe x ef xg x e x g xg x e x g x x g x f x f x --∃>>=-+'==-+='=>∴>∴>'>∴+∞001lim lim 1,()1,1x x x x e e f x a x→→-==∴>∴>:()(1),11,2函数是减函数是的必要不充分条件x q f x a a a p q =--∴->>∴(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==,4AC =,三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表 面积为(A )8π (B )12π (C )20π(D )24π答案:C解析:该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P-ABC ,如下图所示,其外接球的直径为对角线PC ,PC =2225PA AC +=,所以,R =5,球的表面积为:20π(11)若直线1y =与函数()2sin 2f x x =的图象相交于点()11,P x y ,()22,Q x y ,且12x x-=23π,则线段PQ 与函数()f x 的图象所围成的图形面积是(A )233π+ (B )33π+ (C )2323π+-(D )323π+-答案:A解析:如下图,可得面积:13125121312512(12sin 2)2(cos 2)33S x dxx x πππππ=-=+=+⎰(12)已知函数()32331248f x x x x =-++, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为(A ) 0 (B )504 (C )1008(D )2016答案:B 解析:3223313(),()33,24841()63,()0,,211(),24令则的对称中心为f x x x x f x x x f x x f x x f x '=-++∴=-+''''∴=-==⎛⎫∴ ⎪⎝⎭2016112100850420174k k f =⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭∑解析二:1201620161011()lim()120162016()201720162017120165044nb i an i k k b af x dx f n k k f f f x dx ξ→+∞===-=⎛⎫⎛⎫∴=≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯=∑⎰∑∑⎰第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

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绝密 ★ 启用前2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。

2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

(1)复数()221i 1i+++的共轭复数是 (A )1i + (B )1i - (C )1i -+ (D )1i -- (2)若集合}{1M x x =≤,}{2,1N y y x x ==≤,则(A )M N = (B )M N ⊆ (C )N M ⊆ (D )M N =∅(3)已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是(A 51- (B 51+ (C )352 (D )352+ (4)阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为(A )2 (B )3 (C )4 (D )5(5)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左,右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 (A )1 (B )13 (C )4或10 (D )1或13(6)如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图, 且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是(7)五个人围坐在一张圆桌旁,每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 (A )12 (B )1532 (C )1132 (D )516(8)已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是 (A )22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ (B )1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ (C )20,2⎛ ⎝⎭(D )10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (9)已知:0,1xp x e ax ∃>-<成立, :q 函数()()1xf x a =--是减函数, 则p 是q 的 (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充要条件 (D )既不充分也不必要条件 (10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC , 2PA AB ==,4AC =, 三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表 面积为(A )8π (B )12π (C )20π (D )24π (11)若直线1y =与函数()2sin 2f x x =的图象相交于点()11,P x y ,()22,Q x y , 且12x x -=23π,则线段PQ 与函数()f x 的图象所围成的图形面积是 (A )233π (B )33π+ (C ) 2323π (D )323π+ (12)已知函数()32331248f x x x x =-++, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 (A ) 0 (B )504 (C )1008 (D )2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题,每个考生都必须作答。

第22~23题为选考题,考生根据要求作答。

二、填空题:本小题共4题,每小题5分。

(13)已知1,==a b a ()⊥-a b ,则向量a 与向量b 的夹角是 . (14)()3nx -的展开式中各项系数和为64,则3x 的系数为 .(用数字填写答案)(15)已知函数()122,0,1log ,0,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩ 若()2≥f a , 则实数a 的取值范围是 .(16)设n S 为数列{}n a 的前n 项和, 已知12a =, 对任意,p q ∈N *, 都有p q p q a a a +=+, 则()60(1n S f n n n +=∈+N *)的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分12分)如图, 在△ABC 中, 点P 在BC 边上, 60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=. (Ⅰ) 求ACP ∠; (Ⅱ) 若△APB的面积是2, 求sin ∠BAP . (18)(本小题满分12分)近年来,我国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间,某网购平台的销售业绩高达516 亿元人民币,与此同时,相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,网购者对商品的满意率为 0.6,对服务的满意率为0.75,其中对商品和服务都满意的交易为80次.(Ⅰ) 根据已知条件完成下面的22⨯列联表,并回答能否有99%的把握认为“网购者对 商品满意与对服务满意之间有关系”?(Ⅱ) 若将频率视为概率,某人在该网购平台上进行的3次购物中,设对商品和服务都满 意的次数为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望EX .A E D CB A 附:2K ()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)(19)(本小题满分12分)如图1,在直角梯形ABCD 中,AD //BC ,AB ⊥BC ,BD ⊥DC , 点E 是BC 边的 中点, 将△ABD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BCD ,连接AE ,AC ,DE , 得到如 图2所示的几何体.(Ⅰ) 求证:AB ⊥平面ADC ;(Ⅱ) 若1AD =,二面角C AB D --的平面角的正切值为6,求二面角B AD E -- 的余弦值.图1 图2(20)(本小题满分12分)过点(),2P a -作抛物线2:4C x y =的两条切线, 切点分别为()11,A x y , ()22,B x y .(Ⅰ) 证明: 1212x x y y +为定值;(Ⅱ) 记△PAB 的外接圆的圆心为点M , 点F 是抛物线C 的焦点, 对任意实数a , 试 判断以PM 为直径的圆是否恒过点F ? 并说明理由.(21)(本小题满分12分) 已知函数()()ln 0af x x a x=+>. (Ⅰ) 若函数()f x 有零点, 求实数a 的取值范围; (Ⅱ) 证明:当a ≥2e ,1>b 时, ()1ln >f b b.请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为3,(1,=-⎧⎨=+⎩x t t y t 为参数). 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线:.4⎛⎫=- ⎪⎝⎭πρθC (Ⅰ) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(Ⅱ) 求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()12=+-+-f x x a x a .(Ⅰ) 若()13<f ,求实数a 的取值范围; (Ⅱ) 若1,≥∈a x R , 求证:()2≥f x .P CBA2017年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明:1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数.选择题不给中间分.一、选择题(1)B (2)C (3)A (4)B (5)D (6)D(7)C (8)A (9)B (10)C (11)A (12)B 二、填空题 (13)4π (14)540- (15)[)1,8,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ (16)292三、解答题 (17) 解:(Ⅰ) 在△APC 中, 因为60,2,4PAC PC AP AC ︒∠==+=,由余弦定理得2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅⋅∠, ………………………1分 所以()()2222424cos60AP AP AP AP ︒=+--⋅⋅-⋅,整理得2440AP AP -+=, ………………………2分 解得2AP =. ………………………3分 所以2AC =. ………………………4分 所以△APC 是等边三角形. ………………………5分 所以60.ACP ︒∠=………………………6分(Ⅱ) 法1: 由于APB ∠是△APC 的外角, 所以120APB ︒∠=. ………………………7分 因为△APB所以1sin 2⋅⋅⋅∠=AP PB APB .…………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分 在△APB 中, 2222cos AB AP PB AP PB APB=+-⋅⋅⋅∠D P CBA2223223cos120︒=+-⨯⨯⨯19=,所以AB =………………………………………………………………………10分 在△APB 中, 由正弦定理得sin sin =∠∠AB PBAPB BAP, ………………………11分 所以sin ∠BAP ︒=38=.………………………………………………12分法2: 作AD BC ⊥, 垂足为D ,因为△APC 是边长为2的等边三角形,所以1,30PD AD PAD ︒==∠=. ……………7分因为△APB所以12AD PB ⋅⋅=. ………………………8分 所以3PB =. ………………………………………………………………………9分所以4BD =. 在Rt △ADB 中, AB = ……………………………………10分所以sin BD BAD AB ∠==, cos AD BAD AB ∠==. 所以()sin sin 30BAP BAD ︒∠=∠-sin cos30cos sin30BAD BAD ︒︒=∠-∠………………………11分122=38=. ……………………………………………………………12分(18)解: (Ⅰ) 22⨯列联表:………………………………………………………………………2分()222008010407011.111,1505012080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ………………………………………3分 因为11.111 6.635>,所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. …………4分 (Ⅱ) 每次购物时,对商品和服务都满意的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3. …………………………………………………………6分()()321332723540;1;512555125P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=====⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()212323362= 55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;()3332383=55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ……………10分 X 的分布列为:………………………………11分所以2754368601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ………………………………12分 或者:由于23,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭,则26355=⨯=EX . ………………………………12分(19) 解:(Ⅰ) 因为平面ABD ⊥平面BCD ,平面ABD 平面BCD BD =, 又BD ⊥DC ,所以DC ⊥平面ABD . …………………………………1分 因为AB ⊂平面ABD ,所以DC ⊥AB . …………………………………2分 又因为折叠前后均有AD ⊥AB ,DC ∩AD D =, …………………………………3分所以AB ⊥平面ADC . …………………………………………………………………4分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知AB ⊥平面ADC ,所以二面角C AB D --的平面角为∠CAD . ……5分又DC ⊥平面ABD ,AD ⊂平面ABD ,所以DC ⊥AD .依题意6tan ==∠ADCDCAD . ……………………………………………………6分 因为1AD =,所以6=CD .设()0AB x x =>,则12+=x BD .依题意△ABD ~△BDC ,所以AB CDAD BD=,即1612+=x x . (7)分解得x =3AB BD BC ==. ………………8分法1:如图所示,建立空间直角坐标系D xyz -,则)0,0,0(D ,)0,0,3(B ,)0,6,0(C ,G F EDCBAE ⎫⎪⎪⎝⎭,A ⎝⎭, 所以3,022DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,333DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.由(Ⅰ)知平面BAD 的法向量)0,1,0(=n .……………………………………………9分 设平面ADE 的法向量),,(z y x m =由0,0,m DE m DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,220.33x y x z +=⎪+=⎩令6=x ,得y z ==所以)3,3,6(--=m . ………………………………………………10分 所以21||||,cos -=⋅>=<m n m n . ………………………………………………11分由图可知二面角B AD E --的平面角为锐角, 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ……………………………………………12分 法2 :因为DC ⊥平面ABD , 过点E 作EF //DC 交BD 于F , 则EF ⊥平面ABD . 因为AD ⊂平面ABD ,所以EF ⊥AD . ………………………………………………………………… 9分 过点F 作FG ⊥AD 于G ,连接GE ,所以AD ⊥平面EFG ,因此AD ⊥GE .所以二面角B AD E --的平面角为EGF ∠. ………………………………………10分由平面几何知识求得2621==CD EF ,2221==AB FG ,所以EG ==所以cos ∠EGF =21=EG FG . ………………………………………………11分 所以二面角B AD E --的余弦值为12. ………………………………………………12分(20)解:(Ⅰ) 法1:由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为112x .因为点()11,A x y 和()22,B x y 在抛物线C 上, 所以21114y x =,22214y x =. 所以直线PA 的方程为()21111142y x x x x -=-. …………………………………1分 因为点(),2P a -在直线PA 上, 所以()211111242x x a x --=-,即211280x ax --=. ………………………………2分 同理, 222280x ax --=. …………………………………………3分 所以12,x x 是方程2280x ax --=的两个根.所以128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 法2:设过点(),2P a -且与抛物线C 相切的切线方程为()2y k x a +=-, ………………1分由()22,4,y k x a x y ⎧+=-⎨=⎩消去y 得24480x kx ka -++=,由()2164480k ak ∆=-+=, 化简得220k ak --=. ……………………………2分 所以122k k =-. …………………………………………………………………3分 由24x y =,得214y x =,所以12y x '=. 所以直线PA 的斜率为1112k x =,直线PB 的斜率为2212k x =. 所以12124x x =-, 即128x x =-. …………………………………………4分 又()22212121211144416y y x x x x =⋅==, …………………………………………5分 所以12124x x y y +=-为定值. …………………………………………6分 (Ⅱ) 法1:直线PA 的垂直平分线方程为1112222y x a y x x -+⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, ……………7分 由于21114y x =,21182x ax -=, 所以直线PA 的垂直平分线方程为111242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ①……………8分同理直线PB 的垂直平分线方程为222242ax x a y x x +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭. ② ……………9分 由①②解得32x a =, 212a y =+,所以点23,122a M a ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………………………………………………10分 抛物线C 的焦点为()0,1,F 则()23,,,3.22a MF a PF a ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 由于2233022a a MF PF ⋅=-=,……………………………………………………11分 所以.MF PF ⊥所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分另法: 以PM 为直径的圆的方程为()()23210.22a x a x a y y ⎛⎫⎛⎫--++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……11分把点()0,1F 代入上方程,知点F 的坐标是方程的解.所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分 法2:设点M 的坐标为(),m n ,则△PAB 的外接圆方程为()()()()22222x m y n m a n -+-=-++, 由于点()()1122,,,A x y B x y 在该圆上, 则()()()()2222112x m y n m a n -+-=-++, ()()()()2222222x m y n m a n -+-=-++.两式相减得()()()()12121212220x x x x m y y y y n -+-+-+-=, ① …………7分 由(Ⅰ)知2212121122112,8,,44x x a x x y x y x +==-==,代入上式得 ()()31244420x x a m a a an --++-=, ……………………………………8分当12x x ≠时, 得38420a m a an -+-=, ②假设以PM 为直径的圆恒过点F ,则,MF PF ⊥即()(),1,30m n a ----=, 得()310ma n --=, ③ ……………………………………………………9分 由②③解得231,122m a n a ==+, …………………………………………………10分 所以点231,122M a a ⎛⎫+⎪⎝⎭. ……………………………………………………11分当12x x =时, 则0a =,点()0,1M .所以以PM 为直径的圆恒过点.F …………………………………………………12分 (21)解:(Ⅰ)法1: 函数()ln af x x x =+的定义域为()0,+∞. 由()ln a f x x x =+, 得()221a x af x x x x-'=-=. ……………………………………1分因为0a >,则()0,x a ∈时, ()0f x '<;(),x a ∈+∞时,()0f x '>.所以函数()f x 在()0,a 上单调递减, 在(),a +∞上单调递增. ………………………2分 当x a =时, ()min ln 1f x a =+⎡⎤⎣⎦. …………………………………………………3分当ln 10+≤a , 即0<≤a 1e时, 又()1ln10=+=>f a a , 则函数()f x 有零点. …4分 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. ……………………………………………………5分法2:函数()ln af x x x=+的定义域为()0,+∞. 由()ln 0af x x x=+=, 得ln a x x =-. …………………………………………………1分 令()ln g x x x =-,则()()ln 1g x x '=-+.当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()0g x '>; 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0g x '<.所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………………2分故1x e =时, 函数()g x 取得最大值1111ln g e e e e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. …………………………3分因而函数()ln af x x x=+有零点, 则10a e <≤. ………………………………………4分所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦. …………………………………………………5分(Ⅱ) 令()ln h x x x a =+, 则()ln 1h x x '=+. 当10x e <<时, ()0f x '<;当1x e >时,()0f x '>.所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1x e =时, ()min 1h x a e =-+⎡⎤⎣⎦. ………………………………………6分 于是,当a ≥2e 时, ()11.h x a e e ≥-+≥① ………………………………………7分令()x x xe ϕ-=, 则()()1x x x x e xe e x ϕ---'=-=-. 当01x <<时, ()0f x '>;当1x >时,()0f x '<. 所以函数()x ϕ在()0,1上单调递增, 在()1,+∞上单调递减.当1x =时, ()max1x e ϕ=⎡⎤⎣⎦. ……………………………………………………………8分于是, 当0x >时, ()1.x e ϕ≤② ………………………………………………9分显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立. 故当0,x >2a e≥时, ln -+>x x x a xe . ……………………………………………10分 因为1,>b 所以ln 0>b .所以()ln ln ln ln ln -⋅+>⋅b b b a b e . …………………………………………11分 所以()1ln ln ln +>a b b b , 即()1ln >f b b. ………………………………………12分 (22)解: (Ⅰ) 由3,1,=-⎧⎨=+⎩x t y t消去t 得40+-=x y , ………………………………………1分所以直线l 的普通方程为40+-=x y . ………………………………………2分由4⎛⎫=-⎪⎝⎭πρθcos cos sin sin 2cos 2sin 44⎫=+=+⎪⎭ππθθθθ, ……3分得22cos 2sin =+ρρθρθ. ………………………………………4分 将222,cos ,sin =+==ρρθρθx y x y 代入上式,得曲线C 的直角坐标方程为2222+=+x y x y , 即()()22112-+-=x y . ………5分 (Ⅱ) 法1:设曲线C上的点为()1,1+ααP , ………………………………6分则点P 到直线l的距离为=d 7分==………………………………………8分当sin 14⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα时, max =d , ………………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为10分 法2: 设与直线l 平行的直线为:0l x y b '++=, ………………………………………6分当直线l '与圆C相切时,= ………………………………………7分解得0b =或4b =-(舍去),所以直线l '的方程为0x y +=. ………………………………………8分 所以直线l 与直线l'的距离为d ==. …………………………………9分所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为. ………………………………10分 (23)解:(Ⅰ) 因为()13<f ,所以123+-<a a . ………………………………………1分① 当0≤a 时,得()123-+-<a a ,解得23>-a ,所以203-<≤a ; ……………2分 ② 当102<<a 时,得()123+-<a a ,解得2>-a ,所以102<<a ; ……………3分③ 当12a ≥时,得()123--<a a ,解得43<a ,所以1423a ≤<; ……………4分综上所述,实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………5分 (Ⅱ) 因为1,≥∈a x R ,所以()()()1212=+-+-≥+---f x x a x a x a x a ……………………………7分31=-a ……………………………………………………………………8分31=-a ……………………………………………………………………9分2≥. ……………………………………………………………………10分。

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