小心使用放缩法证明不等式
用“放缩法”证明不等式的基本方法
23、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）na =n ，求证：k=1例3、已知a kn证明：苕1V (k — 1)k(k + 1) _________二［+£莖壬匹^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二学习必备欢迎下载用放缩法”证明不等式的基本方法近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高，,对它的运用往往能体现出创造性。
放缩法”它可以和很而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察， 例谈若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。
由于证明不等式的 需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。
本题在放缩k时就舍去了 2 -2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f (x )=一，求证：f (1)+f (2) + …+f (n )1 +4xf(n)=二=1--^A 1-丄1 +4n1+4 2 *21 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1—2 212 222 2n+1 +1 +…=n + 丄一1(n 迂 N *). 2 4 2n2n'12此题不等式左边不易求和，此时根据不等式右边特征，先将分子变为常数， 再对分母进行放缩，从而对左边可以进行 求和.若分子，分母如果同时存在变量时，要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
女口它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ，有极大的迁移性 多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标,放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
下面结合一些高考试题,1、添加或舍弃一些正项（或负项）放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
全国高考数学复习微专题：放缩法证明数列不等式
放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。
本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧 1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可 ） （2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和： 若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++（3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同 2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点： ① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=⋅，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数） ② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=≠-，n n a k q =⋅（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差⨯等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。
放缩法证明不等式的基本策略
放缩法”证明不等式的基本策略近年来在高考解答题中， 常渗透不等式证明的内容， 而不等式的证明是高中数学中的一个难点,以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。
特别值得一提的是，高考中可以用 证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 能体现出创造性。
放缩法”它可以和很多知识内容结合， 而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度， 些高考试题，例谈 放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。
1、添加或舍弃一些正项（或负项）2、先放缩再求和（或先求和再放缩）子分母均取正值的分式。
如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或 分母放大即可。
3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）nJ k例 3、已知 a n =n ，求证：k=1 a k V 3-它可 放缩法” ,有极大的迁移性，对它的运用往往对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标， 否则就不能同向传递。
下面结合一例1、已知a n 2n 1(nN ).求证:a1a^a 2 a 3丑(n Na n 1).证明：Q皀ak 12k 1 2k1 2(2k11)1 3.2k2k21,2,..., n.a_a2a2 a3a nan 11 （1 1二（二 二1 a_ 3 a2 a2 a 3多项式的值变小。
由于证若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大， 多项式中加上一些负的值， 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。
本题在放缩时就舍去了2k 2，从而是使和式得到化简例2、函数f (x ) =±-1 4x，求证:（1）+f （ 2）+…+f (n ) 证明：由f(n)=羊7=1--1 4n1得 f (1) +f (2) + …+f (n ) n 2(141 1丄2 212 221 1 *芦>1此题不等式左边不易求和 ,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对 左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分1证明：£a k1< 1+ 兰肩 紀寸(k- 1)k(k +1)------------------------------ =1 V (k- 1)(k+1) ( )=nk ^A k 1)(k 1)5(k-1)—寸(k+ 1)=1 +1 +T n A/(n+1)V2+¥ <3.本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项,最后又放缩,有的放矢，直达目标4、放大或缩小因式” 例4、已知数列｛a n ｝满足a n证明Q0 1 a 1 2，a2 a n , a 2 n (a k k 1a k 1)a k 2 16 n (a k k 1 a 1 - ,求证： (a k ak 1)ak2k 11—,a 3丄L.当k1时,0 4 1611—(a 1 a n 1 ) — 16 32'n12a k 1) a k n(a k 2a3a ；,。
用放缩法证明方法与技巧
二、常见的放缩法技巧 １、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩
b bm (m 0, a b) . 2、糖水不等式放缩： a am
3、添（减）项放缩 4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） 5、逐项放大或缩小：
三、常用公式
1 1 1 1． 2 k (k 1) k k (k 1)
0, a t a, a t a
n 1 n ， 2 n n n 1 ， n 1 1 n 1 ， n(n 1) n 2 n 1 1 1 1 1 1 1 （3） 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 （4） 2( n 1 n ) 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1 a a a am , （5）若 a, b, m R ，则 b bm b b 1 1 1 1 1 1 1 2 n 1 （6） 1 2! 3! n! 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) （7） （因为 ） 22 32 n2 2 2 3 n 1 n n 2 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 n 1 （7） n 1 n 2 n 3 2n n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 或 n 1 n 2 n 3 2n 2n 2n 2n 2n 2 1 1 1 1 1 1 n n 等等。 （8） 1 2 3 n n n n n
一、放缩法原理 为了证明不等式 A B ， 我们可以找一个或多个中间变量 C 作比较， 即若能判定 A C, C B 同时成立， 那么 A B 显然正确。 所谓 “放” 即把 A 放大到 C,再把 C 放大到 B；反之，由 B 缩小经过 C 而变到 A, 则称为“缩” ，统称为放缩法。放缩是一种技巧性较强的不等变形，必 须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及” 。
小心使用放缩法证明不等式
）
故 １
一
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ｋ＝ １ ５ ／
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主 （
一
一 ）
２＋ ｓ ・
代 入 （ ） 并进 行 第 二 次 放 大 ： 式
１ １ １
＝ ・＋ ・ ＋ ２ 一 １
丽
用数 学 归 纳法 证 明递 推 不等 式的 几 点技 巧
聂 文喜
（ 北 省 广 水 市 第一 中 学 湖
由① 、 ②
≤
＿ ． ．， ３ ４ ５ …・
例 ２ （９ ７年 加 拿 大 奥 林 匹 克 试 题 ） ０＜。 １９ 设 ＜ ， 义 口 ＝１ ， ｔ １定 ｔ ＋口 口 ＋ 口 求 证 ： 一 切 非零 ， 对
分析
＝
直 接 用 数 学 归 纳 法 证 明 很 困 难 ， ｆ ｎ 记 （）
例３ 设 ０ ａ Ｊ＜ ０ ０ ÷， ＜ ＜ ｝， ＜ ＜ 求证 Ｂ
ｓ ０＋ａ）、ｓｎｔ ｉ ｎ（ ｉｏ ｓｎ ０＋Ｂ ｓ ｉ （ Ｊ） ｉ
＝丁 （ 一 １）＋（１ 一丁 １［ １ 了 丁 １）＋． ． ・ ＋（ ＝丁 １ １（
一
～ １ ） ］
解 析
＞
＝ 篙
分母要缩小． 左式 ＝１ ＋ １ ＋ １
１ １ １
。
（ 彩证法 ） 精
ｌｇ ３ ＝ ｌｇ ２７ ＞ ｌｇ １ ＞ ｌｇ １ ｏ２ ｏ８ ｏ８６ ｏ ９ ６： ｌ ｇ４． ｏ３
＋
３ 要 多次 放 （ 缩 ） 切 莫 急 于 求成 或 ，
１
‘
…
—ｉｉ 二＿ 而 ＿； －
题 ， 可 以顺 利 地 完 成 归 纳 过 渡 ， 面举 例 说 明． 就 下
用放缩法证明数列中的不等式 (1)
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
分析 不等式左边可用等比数列前n项和公式求和.
1 1 (1 ) 1 2 2 左边 1 n 1 1 2 1 2
n
表面是证数列不等式， 实质是数列求和
1 2 3 n 变式1 求证： 2 3 n 2 (n N ) 2 2 2 2
1 1 1 2 (n 2) n
当n = 1时，不等式显然也成立.
变式2 (2013广东理19第(3)问) 1 1 1 7 求证： 1 2 2 2 ( n N ) 2 3 n 4
分析 变式2的结论比变式1强，要达目的，须将
变式1放缩的“度”进行修正，如何修正？
保留前两项， 1 1 1 1 1 2 ( ) (n 3) 从第三项开 2 n n 1 2 n 1 n 1 始放缩
1 1 1 1 1 1 1 1 ) 左边 1 2 ( ) ( ) ( 2 2 2 4 3 5 n 1 n 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) (n 3) 4 2 2 3 3 4 2 2 3 n n 1
模型
2n 2 n 1 2 n 1 奇偶型： ； 2n 2n 1 2n 1
2n 1 2n 1
奇偶型放缩为可求积
指数型可放缩 为等比模型
一. 放缩目标模型——可求和
（一）形如 a k (k为常数）
i i 1 n
1 1 1 1 例1 求证： 2 3 n 1 (n N ) 2 2 2 2
当n = 1时，不等式显然也成立.
例3 (2009珠海二模理20第(2)问) 1 1 1 求S 1 的整数部分. 2 3 100 1 分析 不能直接求和式 S ，须将通项 放缩为裂项相消模型后求和. n
放缩法在证明不等式中的应用
放缩法在证明不等式中的应用放缩法（also known as阿贝尔不等式法）是证明不等式的一种常见方法。
它利用不等式两边的关系进行比较，然后不断地缩小这种差距，最终得到原问题的解。
该方法非常简便，灵活性也很大，适用于各种形式的不等式问题。
在本文中，我们将具体介绍如何使用放缩法来解决不等式问题。
1.南辕北辙法南辕北辙法也是一个基于放缩法的思想。
这种方法的基本思路是从等式入手，然后在等式两边加上（或减去）相同的数量，无限逼近目标值。
以证明a+b≥ 2√ab为例。
首先我们注意到这是一个“大于等于”符号。
正确的方向是将不等式转化为等式，然后再使用缩放法逼近所求答案的根。
因此，我们可以构造新的表达式：(√a−√b)²≥0。
展开这个式子得：a+b−2√ab≥0。
原不等式成立。
2.杨桃不等式杨桃不等式本质上也是一种变形方式，它比南辕北辙法更易于使用。
在证明a²+b²+1≥ 2a+2b时，我们可以考虑如下表达式：a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥0。
此时，我们发现前三项中有两个可以化为1，于是得到了a²+b²+1−2a−2b+2a+2b≥(a−1)²+(b−1)²。
此时我们已经利用了放缩法，因为这个式子的右边显然大于等于0。
于是我们只需要证明左侧大于等于0即可。
而这个结论可以由a−1和b−1是正数、其平方和大于0来证明。
3.洛谷P5470 (PAM)与以上两种方法不同，这个例子更多地关注了算法实现的问题。
题目可以形式化表示为：设x[i]为正整数数组，设S1=Σx[i]，S2=∑i<j|x[i]−x[j]|，则S1≥S2。
我们可以将绝对值分成两部分来讨论，最后在放缩过程中应用这一点。
设P=∑i<x[i]，Q=∑i>x[i]，则可推导出|P−Q|=P−Q。
又因为P+Q=S1，所以我们有S1=2P(S1−P)≥2∑|xi−xj|。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
恰当运用放缩法证明导数不等式
恰当运用放缩法证明导数不等式
放缩法是一种常用的证明技巧，它依赖于转换（或放缩）函数、几何形状或是实数的对称性来推断出一个初始问题的结果。
放缩法可以用来证明导数不等式。
接下来，我们将使用放缩法来证明一个导数不等式：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
首先我们观察该导数不等式：
如果f′(x)≤g′(x),
那么积分得到f(x)≤g(x)。
因此，在这里，我们需要证明f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
我们选择一个放缩函数：
φ(x)=f(ax+b)
其中a,b∈R，a>0，0≤b<1
接下来，我们需要证明φ′(x)≤g′(x)，x∈[0,1]。
首先，记f(x)=y
那么φ′(x) =ayf′(ax+b)。
又因为f′(x)≤g′(x),
所以ayf′(ax+b)≤ayg′(ax+b)。
接下来，我们将ayf′(ax+b) 替换为g′(x) ayg′(ax+b) = g′(x)
因此ayf′(ax+b)≤g′(x)。
同样的，我们可以将ayg′(ax+b) 替换为f′(x) ayf′(ax+b) = f′(x)
因此φ′(x)≤f′(x)，x∈[0,1]。
最后，因为φ(x) = f(ax+b)
我们可以得出f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
经过以上推导，我们已经证明了原式的正确性：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。
放缩法证明不等式例题
放缩法证明不等式一、放缩法原理为了证明不等式B A ≤，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B C ,C A ≤≤同时成立，那么B A ≤显然正确。
所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：)b a ,0m (ma mb a b >≥++≤. 3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：)1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+ 21n 2)1n (n n +<+<)12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )22(21)12(12+<+n n n三、例题讲解例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3例2：设a 、b 、c ≥0，且3=++c b a ，求证abc c b a 23222+++≥29例3：已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.例5：已知a n =n ，求证：∑nk=1 ka 2k＜3．例6： 已知数列{}n a ，，132a =，113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对一切正整数n ，不等式123!n a a a a n λ⋅⋅<⋅恒成立，试求正整数的最小值。
谈谈如何运用放缩法证明不等式
谈谈如何运用放缩法证明不等式（许兴华数学/选编）放缩法是指在证明不等式时，根据需要证明不等式的值适当的放大或缩小，使它化繁为简，化难为易，从而达到证明的重要方法。
它是利用不等式的传递性，对照所证目标进行合情合理的放大或缩小的过程。
放缩法的合理运用，往往能收到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递了，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。
笔者通过多年的教学实践证明，若能坚持以下“四个有利于的原则”进行合理的放缩，则容易直达解题目标。
1坚持放缩后有利于求出其和的原则当所证明不等式的其中一边是某一数列的前n项和，但其和不易求出时，则可以对其通项作合理的分析，通过适当的放大或缩小得到一个易于求出其和的新数列，再注意放大或缩小后的数列的前n项和与不等式的另一边相衔接，从而使问题得到解决。
问题反思这两题是关于自然数的不等式，较常规的解法是选择数学归纳法证明；若用数学归纳法证明本题，其过程会是个“马拉松”式的工程。
而上述证法的基本思路是通过放缩后能有利于用“拆项消去法”、“同分母相加”来求出其和。
就把无限和复杂的问题转化为有限和简单的问题了，自然比常规常规方法便捷了许多。
比如说例1，本来运算复杂的问题,通过把每一项作恰当的放大，把一项拆成了两项之差，再求解。
2坚持放缩后有利于求出其积的原则如证明不等式的其中一边是某一数列的前n项乘积，但其积不易求出，则可对各项作适当的放大或缩小，使其积易于求出，并注意和不等式的另一边的对话，往往能使问题得到解决。
问题反思在上述证明中，通过引进Ａ的“对偶式”Ｂ,使其过程更加简捷，把复杂的问题简单化。
当然本题也可用数学归纳法加以证明，若用归纳法证明，其复杂的程度可想而知。
3坚持放缩后有利于减少变量的原则若不等式的一边为常数，另一边是含有多个字母的代数式，则可把这个代数式看成是关于这些字母的多元函数，通过对多元函数的合理放缩，逐步减少变量，最终得到那个常数即可。
用放缩法证明不等式初探
用放缩法证明不等式初探
放缩法是一种很有效的数学推理方法，用来证明不等式的正确性。
放缩法的基本原理是，可以把被证明的不等式表示为一个“放缩因子”的平方。
放缩法的应用，可以从古代中国传统的“天卦”算术过程中追溯。
通过放缩法的推理，古代中国的数学家们发现，十二个不同的“天卦”可以通过同一种运算法则来表示不同的不等式。
这种推理手段有助于数学家们更好地理解和证明有关不等式的真相。
放缩法是基于一个简单又实用的不等式，即：x2-y2=（x+y）(x-y)，证明不等式的正确性。
放缩法的思想是，若x+y的绝对值大于x-y的绝对值，则x2-y2>0，即不等式成立；反之，则x2-y2<0，即不等式
不成立。
放缩法的核心思想是，一个数字可以被放大或缩小，而不改变它的关系，从而改变不等式成立的条件。
放缩法还可以用来证明许多类似的不等式，例如：（x+y）2 < x2 + y2，x - y）2 < x2 - y2，x
＋y）2 > x2 - y2等等。
放缩法不仅可以用于证明不等式，而且可以用于证明其他一些数学命题，例如提出引理的无限性，以及涉及几何形状的证明等。
放缩法的最主要优点是，它可以迅速而有效地证明一个不等式的正确性，并且只需要最少的运算就能得出结论。
放缩法的一个重要缺点是它可能会使推理过程出现倾斜偏差，而无法得出精确的结论，这也是它在被应用于证明其他数学命题时存在的不足之处。
总而言之，放缩法是一种有效的证明不等式正确性的方法，同时也可以用于证明其他数学命题。
尽管它有一些限制，但有助于推动数学理论的发展，从而促进我们对数学真理的深入理解与应用。
浅析如何用放缩法证明不等式
浅析如何用放缩法证明不等式在数学中，放缩法是一种常用的证明不等式的方法。
它通过将不等式中的一方进行放缩处理，使得证明过程更加简洁、直观。
下面我们将从两个方面对放缩法进行浅析，包括扩大法和缩小法。
一、扩大法扩大法就是通过扩大不等式中的其中一项或几项，使得不等式成立。
其中一个常用的方法是通过平方或开方来进行扩大。
1.平方扩大法：如果我们发现在不等式中有一个含有平方项的部分，我们可以将其进行平方扩大，这样可以使得不等式更加紧凑。
举个例子：证明当$a>0, b>0$时，有$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$分析：我们可以观察到$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2\geq 0$将上述不等式改写，得到$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$进一步得到 $(a+b)^2 \geq 4ab$通过开根号得到$a+b \geq 2\sqrt{ab}$所以，我们证明了$ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$2.开方扩大法：类似于平方扩大法，如果我们发现在不等式中有一个含有开方项的部分，我们可以将其进行开方扩大，这样也可以使得不等式更加紧凑。
举个例子：证明当$a>0, b>0$时，有$a + b \geq 2\sqrt{ab}$分析：我们可以观察到$2\sqrt{ab} \leq a + b$通过平方得到$4ab \leq (a + b)^2$所以，我们证明了$a + b \geq 2\sqrt{ab}$二、缩小法缩小法是指通过缩小不等式的其中一项或几项，使得不等式成立。
其中一个常用的方法是通过使用约束条件进行缩小。
1.约束条件缩小法：有时候在不等式的约束条件中，我们可以根据不等式的性质，将一些项进行缩小，从而得到一个更简洁的不等式。
举个例子：证明当$x>0, y>0, z> 0$时，有$\frac{x}{y+z} +\frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$分析：根据柯西-施瓦茨不等式，我们有$(y+z)(z+x) \geq(\sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2 = (y + z)(x + z)$通过约束条件$x>0, y>0, z> 0$，我们可以得到$\frac{1}{y+z}\geq \frac{1}{x+y}$，$\frac{1}{z+x} \geq \frac{1}{y+z}$，$\frac{1}{x+y} \geq \frac{1}{z+x}$将上述不等式应用于原不等式中，可以得到$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y} \geq(\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} + \frac{z}{x+y}) (\frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x} + \frac{1}{x+y})$$\geq (\sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{z+x}} +\sqrt{\frac{z}{x+y}})^2 \geq \frac{3}{2}$所以，我们证明了$\frac{x}{y+z} + \frac{y}{z+x} +\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2}$以上是浅析如何用放缩法证明不等式的两个方面，通过扩大法和缩小法，我们可以将复杂的不等式变得更加简洁明了。
典型例题：用放缩法证明不等式
用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143＜＋＜a b 。
证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43。
例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证： 证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222234222++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222+++＞，c ac a c a 222+++＞。
所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++＞（） 二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。
例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。
证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c+++＞，所以a b c b a c c a ba abc b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c+++＜2，故a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c+++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。
放缩法技巧证明数列不等式总结
放缩法技巧证明数列不等式总结！精辟！是解决高考数学难点的精华
高中数学中有一类难点就是：证明数列不等式！！证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，所以，通常都是高考数学的压轴难题！
要巧解这类数列不等式的高考数学难点！就要用到放缩法！
高考数学考纲明确要求学生要:
1、掌握放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质
2、掌握放缩的技巧与方法.
所以在针对高中数学热点难点大全中，针对放缩法技巧进行了独立的升华总结。
非常精辟！整个高中数学各个考点热点难点都有在大全中进行一一梳理，是各位高中生提升数学解题、解决热点难点的好资料。
缩法技巧的基础知识要点
类型一：与前n项和相关的不等式经典题型
类型二、与通项运算相关的不等式的经典题型。
用放缩法证不等式
用放缩法证明不等式放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法；所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程；在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了。
此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。
使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
下面举几个例子说明这个问题。
下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。
一. “添舍”放缩：通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。
例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且3322a b a b -=-，求证：413a b <+<。
例2. 已知a 、b 、c 3()2a b c >++例3.求证：1111(1)(1)(1)(1)13521n ++++≥-n N ∈）二．分式放缩法：一个分式若分子变大，则分式值变大，若分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、 分母同时加上同一个正数则分式值变大。
例4. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12a b c b c c a a b<++<+++。
三. 裂项放缩：若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例5. 已知n ∈N*，求证：21n<++<例6. 已知(,1)n N n ∈≥，设(n a n n =+⨯求证：2(1)(1)22n n n n a ++<<对所有正整数n 都成立。
四. 公式放缩：利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。
例7. 已知函数21()21x x f x -=+，证明：对于,3n N n ∀∈≥都有()1>+n f n n 。
例8. 已知()f x =a b ≠时，()()f a f b a b -<-。
例9. 已知,,a b R n N +∈∈ ,求证：1()2()n n n n a b a b -+≥+五.换元放缩：对不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。
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（ 接第 １ 上 ０页 ）
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中 学 生 数 学 ・ ０ １ １ 上 ・ ４ ７期 （ 中 ） ２ １ 年 Ｏ月 第 ２ 高
Ｉ Ｊ 省 内 江 市 第 六 中 学 （ ４ ０ ０ 黄 勇 ￣ ｌ ｔＩ ６ １０ ）
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