阿波罗尼斯圆教学案

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阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤领域中,阿波罗尼斯圆是一个引人入胜且具有重要应用价值的概念。

它以古希腊数学家阿波罗尼斯的名字命名,展现了数学的深邃与美妙。

让我们先来了解一下阿波罗尼斯圆的定义。

给定平面内两个定点A、B,平面内一动点 P 满足 PA / PB =λ(λ 为非零常数且λ ≠ 1),则点 P 的轨迹是一个圆,这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。

为了更直观地理解阿波罗尼斯圆,我们可以通过一个简单的例子来感受。

假设 A、B 两点的坐标分别为(-2, 0) 和(2, 0),λ = 2。

设点P 的坐标为(x, y),根据距离公式,PA 的长度为√(x + 2)^2 + y^2,PB 的长度为√(x 2)^2 + y^2。

因为 PA / PB = 2,所以√(x + 2)^2 + y^2 /√(x 2)^2 + y^2 = 2。

对等式两边进行平方并化简,最终可以得到一个圆的方程。

那么,阿波罗尼斯圆有哪些独特的性质呢?首先,圆心一定在线段AB 的中垂线上。

其次,当λ > 1 时,点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 B 点的一侧为优弧的圆;当 0 <λ < 1 时,点 P 的轨迹是一个以线段 AB 靠近 A 点的一侧为优弧的圆。

接下来,让我们探讨一下阿波罗尼斯圆在实际中的应用。

在物理学中,阿波罗尼斯圆可以用来分析带电粒子在电场中的运动轨迹。

例如,当两个等量同种电荷形成的电场中,一个带电粒子在其中运动,其轨迹可能就符合阿波罗尼斯圆的特征。

在工程设计中,阿波罗尼斯圆也有重要的作用。

比如在建筑设计中,要确定一些特定的支撑点位置,使得结构更加稳定,就可以运用阿波罗尼斯圆的原理来进行计算和规划。

在计算机图形学中,阿波罗尼斯圆可以用于生成特定形状的图形。

通过对阿波罗尼斯圆的参数进行调整,可以创造出丰富多样的视觉效果。

在数学竞赛和考试中,阿波罗尼斯圆也是一个常见的考点。

它常常与三角形、圆的相关知识结合,考察学生对几何图形的理解和运用能力。

关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究

关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究

!关于阿波罗尼斯圆的解读与应用探究"江苏省通州高级中学!李欣荣阿波罗尼斯圆在高中数学中十分常见!其是古希腊著名数学家阿波罗尼斯对圆锥曲线深入研究而总结的数学性质规律!探究阿波罗尼斯圆的性质特征有助于深入认识圆的定义!可有效解决相关圆类问题!下面对其加以探究!供读者参考!!问题引出!.!习题回顾在苏教版必修!的教材中有如下一道习题%已知点D)&!%*与两个定点0)"!"*!(),!"*的距离之比为#!!那么点D的坐标应满足什么关系+画出满足条件的点D形成的曲线!解析 对于上述问题!可由题意得&!*%槡!)&",*!*%槡!$#!!化简整理得)&*#*!*%!$&!显然满足条件的点D所形成的曲线是以点)"#!"*为圆心$!为半径的圆!)图略*!."问题一般化将本题进行一般化!思考如下问题%动点D到两定点(和'的距离的比值为一定值!即D($"D'!那么点D的轨迹曲线还是圆吗+基于对上述实例的猜想!显然可知点D的轨迹还是圆!具体证明可采用如下代数几何方法%设('$!B)B&"*!D($"D'!以('的中点为坐标原点!('所在直线为&轴建立平面直角坐标系!则可推知点()"B!"*!')B!"*!再设点D)&!%*!由D($"D'!可得)&*B*!*%槡!$")&"B*!*%槡!!整理可得)"!"#*&!"!B)"!*#*&*)"!"#*%!$B!)#""!*!当"$#时!&$"!此时点D的轨迹为线段('的垂直平分线&当"$#时!有&""!*#"!"#B)*!*%!$&"!B!)"!"#*!!则其轨迹可视为是以点"!*#"!"#B!")*为圆心!以!"B"!"#长为半径的圆!"深入探索".!定义认识实际上!在高中数学中我们将上述所探究的轨迹称之为阿波罗尼斯圆!也称阿氏圆!其是古希腊数学家阿波罗尼斯在著作"圆锥曲线论#中提出的一个著名问题%在平面内给定两点(和'!设点+在同一平面内且满足+(+'$")"&"!"$#*!则点+的轨迹是一个圆!对于上述定义!需要关注阿波罗尼斯圆条件与结论的三个要素%一是两定点&二是线段长之间的定比&三是轨迹为圆的条件!"&"!"$#!对上述证明过程进一步推导!我们可以发现以下几点%)#*阿波罗尼斯圆上的任意一点均满足+(+'$"!)"&"!"$#*&)!*设点)为阿波罗尼斯圆的圆心!则点)始终在直线('上!且半径长为!"B"!"#$""!"#('&),*圆心)虽然在('所在直线上!但不一定位于两点之间!且)(0)'等于半径的平方!"."性质总结阿波罗尼斯圆是一种特殊的几何模型!该圆的一些性质在高中数学解题中十分常用!合理利用可提高解题效率!下面总结三条常用的性质!性质! 设('$7!(+#+#'$(+!+!'$"!则(+#$"7#*"!+#'$7#*"!(+!$"7""#!'+!$7""#!则所作得的阿波罗尼斯圆的直径为+#+!$!7""!"#$!7""#"!圆的面积可表示为'!7""!"#)*!!性质" 当"&#时!点'位于圆0内!点(位于&$备习备考解法探究!"!!年!月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.!圆0外&当"%"%#时!点(位于圆0内!点'位于圆0外!性质# "$0(N $N 0'!"!$0(00'!"越大!则圆越小!上述总结了阿波罗尼斯圆的三条重要性质!其中性质#是关于圆常规属性的描述!可结合问题条件直接构建圆的方程&性质!则是对定义中定点(和'与圆位置关系的描述!显然与线段比值"密切相关!利用该性质可直接确定点(!'与圆轨迹的位置!利于图形绘制&性质,则直接构建了圆半径与线段0(和0'的关系!并基于圆半径7""#"分析了圆大小与"的关系!有利于解析动态圆的大小变化!在实际解题时要充分理解阿波罗尼斯圆的三条性质要点!合理利用性质转化问题条件!构建解题思路!#应用探究阿波罗尼斯圆的性质条件在高中圆锥曲线考题中应用十分广泛!可正向引用圆的性质!也可逆向使用阿波罗尼斯圆的定义!下面结合不同类型考题开展应用探索!例题!如图#所示!在2(')中!已知')$&!@56)$!@56'!则当2(')的面积取得最大值时!')边上的高为!图#图!解析 以')中点为坐标原点0!线段')所在直线为&轴建立平面直角坐标系!如图!所示!由题意可推知点')"!!"*!))!!"*!已知@56)$!@56'!则('$!()!可设点()&!%*!则)&*!*!*%槡!$!)&"!*!*%槡!!整理可得&"#",)*!*%!$+&%!则点(的轨迹是以点>#",!")*为圆心!-,为半径的圆!分析可知!当2(')的面积取得最大值时!高最大!则点(到&轴的距离最远!故点(的坐标为#",!L -,)*!则')边上的高为-,!评析#上述探究三角形取得最大值时')上的高!解析过程分两步进行!第一步!构建坐标系求点(的轨迹方程$第二步!探究2(')面积最大值时点(的坐标!若能把握其中的阿波罗尼斯圆!则可以结合对应公式直接确定圆的方程!本题目中7$&!"$!!则圆的半径为N $7""#"$!!"#!$-,!圆心为"!*#"!"#B !")*!则圆心>的坐标为#",!")*!则圆的方程为&"#",)*!*%!$+&%!$反思总结阿波罗尼斯圆的性质特点在高中数学中十分重要!也是高考的考查重点!掌握阿氏圆的性质特点!对于动点问题的转化求解极为有利!教学中要强化定义!整理性质!引导学生探索问题求解的方向!及阿氏圆知识的利用思路!下面提出两点建议!$.!关注模型题源拓展衍生应用课本并没有将阿波罗尼斯圆作为核心内容进行讲解!但其隐含在教材的习题中!其解析方法和知识背景也是高考模型问题的根本!具有极高的研究价值!教学中要引导学生关注模型题源!深刻理解模型定义!挖掘模型性质!阿氏圆的定义及性质有正向和逆向两种使用思路!教学中笔者建议采用知识拓展的模式!引导学生全面了解其应用思路!提升学生解题的灵活性!$."合理多解探究强化模型认识从上述例题的探究中可发现!对于与阿氏圆相关的圆锥曲线问题!一般有常规和模型两种突破思路!其中常规法的推理过程较为繁复!在推导动点轨迹时计算量大!而利用阿氏圆的定义及性质则可直接求解轨迹方程!有效降低了思维难度!教学中笔者建议对阿波罗尼斯圆相关问题开展一题多解!引导学生采用多种方法解析问题!帮助学生积累简算经验!提升解题能力!同时在多解探究中!可强化学生对模型的认识!培养学生的模型意识!参考文献%#&施德仪!关于+阿氏圆,模型的探究与思考%B &!数学教学通讯!!"!"(!,)!%!&顾旭东!王金忠!探+源,觅+圆,!才能+方圆,***对一道课本习题的再认识%B &!中学数学(上)!!"!"(##)!%,&李慧华!张艳宗!巧用阿氏圆解距离和差的最值问题%B &!高学数学教与学!!"!"(#+)!-'$!"!!年!月上半月解法探究复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

由“阿波罗尼斯圆的认识”的教学设计谈起——例题教学的系统化设计

由“阿波罗尼斯圆的认识”的教学设计谈起——例题教学的系统化设计

1 长为半径 的圆. 类似 于 圆锥 曲线 的第 二定 义 , 我
知识 ; 明确思维 的起点 和方 向, 理 清思维 的顺序 , 目的在
于为学生指 明探 究新 知识 的思 考方 向, 减 缓 思维坡 度.
们将“ 平 面内到两个定 点距离 之 比为正常数 ( ≠1 ) 的 点 的轨迹 为圆” 称 之为圆的第 二定 义 , 学 术界称 之为“ 阿
大小. 也就是 说 , 要根据高 中生相关 阶段 的年龄特 征 、 知 识水平把握 例题 的坡 度 , 必 要时 还应 该设 置环 形 阶梯 , 螺旋上升 , 反复巩 固. 例题设计成 功 的显性 特征 就是 能激 发学 生研 究 例 题 的兴趣 , 学 生在 行动 上能 积极地 参 与. 因此设 计 的例
充分利用例 题 , 营造探 究背 景 , 能激 发 学生 的学 习
形.
通过设点 、 构建等式方程 、 化简 等步骤后 , 最终得 到 动点 M 的轨迹方程 , 并得 出对应 的轨 迹 图形 是 圆. 联 系 圆 的原始 定 义 “ 到定 点 的距离 等 于 定长 的动 点轨 迹 是
圆” 辨析对 比后 提 出 : 此 处 的结论 是偶 然还 是必 然?这 是否是 圆的又一种定 义?在学生 进入思 考状态 时 , 进一
如下设 计.
代 入 兰
、 / — l 1 _
一 , 化 简 得( X - 3 ) z + = = 二 8 , 因 为
能构成AA B C, 所以 y  ̄O . 得 出结论 : 点 C在 以 D( 3 , O )
【 例 l 】 已知 平 面 上 动 点 M 分别 到 点 0( 0 , 0 ) ,

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] 。 +

阿波罗尼斯圆的应用及探究

阿波罗尼斯圆的应用及探究

阿波罗尼斯圆的应用及探究教学目标:(1)回忆求轨迹方程的一般步骤,能根据已知条件,求满足条件动点的轨迹方程及轨迹;(2)能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理、能够运用此定理来解决一些简单问题;(3)在已有经验的基础上,对阿波罗尼斯定理进一步探究得出一些特殊结论,体会探究的经历,渗透数形结合、归纳类比的数学思想.问题 在同一平面内,已知两定点()()2,0,4,0A B -,若动点P 满足12PA PB =,则点P 的轨迹方程是________.其轨迹为_________.变式 如果将题目中“12PA PB =”改为“()01PA PB λλλ=>≠且”呢?练习(2008年江苏高考题)在ABC ∆中,已知2,AB CA =,则ABC ∆面积的最大值是_______例1、已知点()2,0,A P -是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问在平面上是否存在B ,使得12PA PB =?若存在,求出点B 的坐标;若不存在,请说明理由.变式 已知点P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问在x 轴上是否存在两定点,A B ,使得12PA PB =?若存在,求出两定点,A B 的坐标;若不存在,请说明理由.例2、已知()()2,0,4,0A B -,P 是圆()22:416C x y ++=上任意一点,问是否存在这样的常数λ,使得PA PBλ=?若存在,求出常数λ的值;若不存在,请说明理由对以上问题的反思:对于圆222r y x =+上任意一点P ,和定点)0,(0x A ,是否在x 轴上存在不同于A 点的点B ,使得||||PA PB 为常数λ? 变式一 求证: 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点)0,(0x A ),0(00r x x ±≠≠,在x 轴上存在唯一一点B ,使得||||PA PB 为常数λ,且)0,(02x r B ,||0x r =λ变式二 求证: 对于圆222r y x =+上任意一点P ,在x 轴上存在不同的两点)0,(),0,(21x B x A )0,0(21≠≠x x ,使得||||PA PB 为常数λ)1(≠λ,且1221,x x r x λλ=±=变式三 求证: 对于圆222r y x =+上任意一点P 和定点),0(0y A ),0(00r y y ±≠≠,在y 轴上存在唯一一点B ,使得||||PA PB 为常数λ,且),0(02y r B ,||0y r =λ 注 1. 可以由变式二类似地到什么结论,请你把它写下来,并加以证明2. 你还能得到更一般的结论吗?。

阿波罗尼斯圆导学案

阿波罗尼斯圆导学案

2019届高三数学专题复习导学案——阿波罗尼斯圆学习目标:1.理解阿波罗尼斯圆的定义,会用坐标法求圆的方程;2.能找出阿波罗尼斯圆的圆心、半径与定点、定值的关系,从而画出圆的位置,求出圆的半径;3.能利用阿波罗尼斯圆的性质解决问题.一、概念形成引例:《普通高中课程标准实验教科书 · 数学2(必修A 版)》第四章《圆与方程》 第124页习题4.1的B 组题第3题:已知点M 与两定点()0,0O ,()3,0A 的距离比是12,求点M 的轨迹方程.第144页复习参考题B 组第2题:已知点M 与两定点1M ,2M 的距离之比是一个正数m ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形.(考虑1m =和1m ≠两种情形)阿波罗尼斯圆:设A ,B 是平面内两个定点,平面内的动点M 到点A 的距离与到点B 的距离的比值为定值λ(0λ>且1λ≠),则点M 的轨迹是圆.二、牛刀小试在ABC ∆中,若2AB =,AC ,则ABC S ∆的最大值是______________三、深入探究寻找圆心、半径与定点、定值的关系四、性质应用例1.如图,在棱长为6的正方体中,M 是BC 的中点,点P 是面11DCC D 内的动点(包含边界),且APD MPC ∠=∠,则三棱锥P BCD -体积的最大值是__________例2.已知向量a 和单位向量e 满足2a e a e +=-,则a e ⋅的取值范围是__________五、逆向探究例3.已知圆O :221x y +=,点M 是圆O 上任意一点,问:在x 轴上是否存在两定点()0,a A ,()0,b B ()b a <使得2MA MB =,若存在,求出b a ,的值;若不存在,请说明理由.思考:已知点M 是圆O :2522=+y x 上的动点,()0,10P ,()3,6C ,则CM PM +21的最小值是_______________六、课后练习1.________________2.已知两定点()2,0A -,()1,0B ,如果动点P 满足2PA PB =,则点P 的轨迹所围成的面积是( )A.πB.4πC.8πD.9π3.在ABC ∆中,点D 在边BC 上,且2DC BD =,::3::1AB AD AC k =,则实数k 的取值范围是_________________4.设点P 是ABC ∆所在平面内动点,满足CP CA CB λμ=+,342u λ+=(,)R λμ∈,PA PB PC ==.若3AB =,则ABC ∆的面积的最大值是___________5.已知OA ,OB 是非零不共线的向量,设111r OC OA OB r r =+++,定义点集KA KC KB KC M K KA KB ⎧⎫⋅⋅⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭,当12,K K M ∈时,若对任意的2r ≥,不等式12K K c AB≤恒成立,则实数c 的最小值为______________6.在正方体1111ABCD A BC D -中,AB =E ,F 在线段1DB 上,且1FB EF DE ==,点M 是正方体表面上的一动点,点P ,Q 是空间两动点.若2PE QE PFQF==,且4PQ =,则MP MQ ⋅的最小值是___________7.已知点()0,1A ,()1,0B ,(),0C t ,点D 是直线AC 上的动点,若2AD BD ≤恒成立,则满足要求的最小正整数_______t =。

高中数学必修二解读阿波罗尼圆导学案设计

高中数学必修二解读阿波罗尼圆导学案设计

解读阿波罗尼圆导学案四川南充白塔中学 杨晓勇(一)问题起源人民教育出版社必修二第124页习题4.1 B 组题第3题:1.已知点M 与两个定点(0,0)O ,(3,0)A 的距离的比为12,先利用信息技术手段,探求点M 的轨迹,然后求出它的方程.(二)几何探究(三)引申触类2.求证:,(0,1)A B P λλλ>≠平面内到两定点的距离之比等于定值的动点的轨迹是圆.(四)历史回顾阿波罗尼(Apollonius ,260-190BC ),出生于古希腊的小亚细亚南岸的佩尔加,青年时代的阿波罗尼曾客居亚历山大城,追随欧几里德(Euclid,330-275BC)的学生学习数学。

阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究,其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。

他与阿基米德(Archimedes,287-212BC ),欧几里德(Euclid ,330-275BC)被称为亚历山大时期的三巨匠。

(五)深入剖析这一环节我首先让学生对问题一进行归纳,得到圆心 ,半径 后,引导学生思考图像,研究阿波罗尼圆性质.(六)理论升华,(0,1)A B P λλλ>≠ 平面内到两定点的距离之比等于定值的动点的轨迹是圆.该圆称为阿波罗尼圆.感悟: 1.=1P AB λ当时,点轨迹为垂直平分线;3.0,1,P AB MN λλλ>≠当时,点轨迹为满足定比内分和外分定线段的两个分点为直径的圆;24.,,11.C A B C AB C A C B C CA CB R λλ><=若为圆心,则三点共线,在的同侧.当时,在外,在内;当0<时,则反之.(七)经典赏析类型一.求轨迹方程(2,0),(1,0),2,A B P PA PB P -=(2006四川高考)已知两定点如果动点满足条件则点的轨迹所包围的图形面积等于( )(八)课堂总结(八)课后作业。

2020年高中数学竞赛阿波罗尼斯圆(Apollonius)在解题中的运用与启示

2020年高中数学竞赛阿波罗尼斯圆(Apollonius)在解题中的运用与启示

如图:不妨设 O→A =→a,O→B =→b,B→C =→c,则→b +→c = O→C =2 O→A ,OC =2OA =6,|→b -→c|=|B→C -O→B|=2|B→A|=|O→B
阿波罗尼斯圆我们还是有迹可循的.
课本上有这样一道习题:已 知 点 M 与 两 定
点O(0,0),A(3,0)的 距 离 之 比 为
科学素养教学设计
中华少年
2017年 10月中 第29期
阿波罗尼斯圆(Apollonius)在解题中的运用与启示
徐尚飞 (浙 江 省 严 州 中 学 新 安 江 校 区 浙 江 杭 州 311607)
摘 要 :本 文 结 合 具 体 例 题 ,谈 阿 波 罗 尼 斯 圆 (Apollonius)在 解 题 中 的 运 用 与 启 示 。 仅 供 交 流 。 关 键 词 :阿 波 罗 尼 斯 圆 ;解 题 ;运 用 ;启 示




,若
|PE| |PF|

|QE| |QF|




PQ|=4,则 M→P·M→Q 的最小值为

则点 P的轨迹是一个圆. 探 究 动 点 的 轨 迹 比 较 简 单 ,直 接 建 系 化 简 即 可 . 课本上虽然没 有 给 出 阿 波 罗 尼 斯 圆 的 定 义 ,但 在 高 考 中 的
考 查 却 并 非 一 次 .比 如 :
2 MO ,求圆心 C 的横坐标a 的范围.
记|→b-t→a|的最小值为dmin ,则当 →b 变 化 时 , dmin 的 最 大 值

此题第 (2)小 题 中 点 M 的 轨 迹 为 圆,
[解 析 ]
此圆即是阿 波 罗 尼 斯 圆.如 果 清 楚 这 个 定 义,此 题 也 就 找 到 了 最 重 要 的 解 题 方 向 ——— 两 个 圆 之 间 的 位 置 关 系 .

阿波罗尼斯圆及其逆用

阿波罗尼斯圆及其逆用

有关阿圆的那点事
教学重点:圆与圆的位置关系
教学难点:阿波罗尼斯圆及其逆用
引例:(2008 江苏13)满足AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是▲
__________例题1.
练习:1
练习2
例题2 如图所示,有一块扇形区域的空地,其中∠AOB=90°,OA=120 m.现要对该区域绿化升级改造.设计要求建造三座凉亭供市民休息,其中凉亭C位于OA上,且AC =40 m,凉亭D位于OB的中点,凉亭E位于弧AB上.
(1)现要在四边形OCED内种植花卉,其余部分种植草坪,试确定E点的位置,使种植花卉的面积最大;
(2)为了便于市民观赏花卉,现修建两条小道EC和ED,其中EC小道铺设塑胶,造价为每米a元,ED为离开地面高1 m的木质栈道,造价为每米2a元,试确定E点的位置,使两条小道总造价最小.
思考。

第2课时《圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)》(无答案)-江苏省淮安市洪泽区苏教版高一数学必修二导学案

第2课时《圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)》(无答案)-江苏省淮安市洪泽区苏教版高一数学必修二导学案

第2课时 圆的第二定义(阿波罗尼斯圆)学习目标:1.能根据条件,求满足条件动点的轨迹方程及轨迹2.能够探索归纳得出阿波罗尼斯轨迹定理,能够运用此定理来解决一些简单问题3.让学生在探究中学会提出问题,分析问题,解决问题,渗透数形结合、归纳类比、转化化归的思想.一、自主学习1.(必修2112P 第12题)已知平面内两个定点(00)(30)A B ,,,,若动点P 满足12PA PB =,求点P 的轨迹方程. 变式1:题目中12PA PB =改为1PA PB=呢? 变式2:题目中12PA PB =改为2PA PB=呢? 变式3:PB PA λ=(01λλ≠>,且)呢? 结论: ,P 点的轨迹是个圆. 变式4:如何求ABP ∆面积的最大值?2.(2008江苏高考13题)满足条件2AB =,AC =的三角形ABC 面积的最大值是3. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点(0,2),(0,1),(,0)(0),A B D t t >M 为线段AD 上的动点。

若2AM BM ≤恒成立,则正实数t 的最小值为二、问题探究探究1点M 的轨迹是一个阿波罗尼斯圆,运用交轨法可将问题转化为两圆位置关系问题来解决.①.两定点A 和B ②.P 点满足PA PBλ=(0λ>且1λ≠)③.P 点的轨迹是个圆. 命题①②⇒③ ,①③⇒②是否成立,②③⇒①呢?探究2已知平面内两点(00)(30)A B ,,,,若点P 是圆M :22(1)4x y ++=上任意一点,PA PB是否是定值?探究3已知圆M :22(1)4x y ++=,点(30)B ,,在x 轴上是否存在定点A (不同于点B ),满足:对于圆M 上任意一点P ,都有PA PB是定值?如果存在,试求所有满足条件的点A 的坐标;如果不存在,请说明理由.三、课堂小结四、课堂检测(2013高考江苏17题)如图,在平面直角坐标系xoy 中,点(0,3)A ,直线:24l y x =-,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.。

_阿波罗尼斯圆的应用及探究_教学实录及点评

_阿波罗尼斯圆的应用及探究_教学实录及点评
2 0 1 3 年第 4 期 中学数学月刊 · 3 5·
“ 阿波罗尼斯江苏省 怀仁 中学 2 1 4 1 9 6 1 基本情况 本课是2 0 1 1年1 2月2 7日在无锡市锡山区第 二届 “ 呼唤名师 ”推介会上的一 节 示 范 课 , 授课班 )班 . 级是江苏省天一中学高三 ( 8 ( ) 教学目标 : 回忆求 轨 迹方程的一般步骤, 1 能根据已知条件 , 求满足条件动点的轨迹方程及 ( ) 轨迹 ; 能够 探 索 归纳得出阿波罗尼斯轨迹定 2 ( )在 理、 能够运用此定理来解决 一 些 简 单 问 题 ; 3 已有经验的基础上 , 对阿波罗尼斯轨迹定理进一 步探究得出一些特殊结论 , 体会探究的经历 , 渗透 数形结合 、 归纳类比的数学思想 . 教学重点和难点 :感受阿波罗尼斯轨迹定 理 及一些结论得出的 基 本 过 程 是 本 课 的 重 点 , 难点 是有关结论探究的思维过程 . 教学中主要采用启发诱导和自主探究相结合 的教学方法 . 2 教学实录 片段 1 问题情 境 师: 我们知道 : 平面内到两定点的距离之和为 大于两定点的距离 )的点 的 轨 迹 是 椭 圆 ; 到 定值 ( ( 两定点的距离之差 的 绝 对 值 为 定 值 小 于 两 定 点 那 么, 同学们有没 的距离 )的点的轨迹是双曲 线 . : 商 )为 定 有思考或研究过 到两定点的距离 之 比 ( 值的点的轨迹是什么呢? 片段 2 学生 活动 师: 请同学们解决下面的 问题 在同一平 面 内 , 已 知 两 定 点 A( -2,

P A 1 使得 求出两定点 A , B 的坐标 ; = ?若存在 , P B 2 若不存在 , 请说明理由 . ( 由生 9 板演 , 教 师 巡 视; 生1 教师板 0 纠 错, ) 书讲解 . ) , 解 ( 解 答 过 程 略 )存 在 定 点 A ( 0 - 6, , ) ( , ) , ( , ) 或 B( 1 2 0 A 2 0 B 4 0 . - - 结论 1 设 P 是某圆上的点 , 则平面内一定 P A 存 在两定点 A , 使得 为常数 B, λ( λ >0且λ ≠ P B ) 1 . ( 教师让学 生 进 行 猜 想 与 归 纳 出 结 论 ,引 导 ) 学生继续深入探究 . 问题 2 如 果 将 本 定 理 中 的 题 设 中 “ ②P 点 P A 与 点A , 且满足 B 在同一平面内 , = λ( λ >0且 P B ) ” , 与结论 “ 那 λ ≠1 ③P 点的轨迹是个圆 ”互换 , 么命题是否成立呢? ( 鼓励学生继续自己编题 ) ) , ) , 例2 已知点 A ( 0 B( 4, 0 P 是圆C: -2, 2 2 ( ) , 上任意一点 问是否存在这样 x +4 +y =1 6 P A 的常数λ, 使得 求 出 常 数λ 的 =λ? 若 存 在 , P B 值; 若不存在 , 说明理由 . 2 , ) 生1 设 P( 则P 1: x0 , A2 = ( x0 +2 + y0)

聚焦核心素养 实施问题导学——以“阿波罗尼斯圆的探究与应用”教学为例

聚焦核心素养 实施问题导学——以“阿波罗尼斯圆的探究与应用”教学为例
2 教学过程设计
2.1 源头 第1题 (苏教版必修2习题2.2(1)探究思
本文是江苏省中小学教学研究室第十二期教研立项课题“HPM 视角下高中数学教学设计的实 践 研 究”(项 目 号:2017JK12L210) 的阶段性成果.
·16· 中学数学月刊 2018年第6期
第3 题 (江 苏 省 2008 年 高 考 试 题 )已 知
犃犅 =2,犃犆 =槡2犅犆,求犛△犃犅犆 面积的最大值.
设计意图 追 本 溯 源,寻 根 究 底.从 课 本 上 两个习题出发,引 出 本 节 课 的 探 究 内 容 以 及 探 究
考 10)已 知 点 犕 (狓,狔)与 两 个 定 点 犗(0,0),
犃(3,0)的距离 之 比 为 1,那 么 点 犕 的 坐 标 应 满 2
足什么关系? 画出满足条件的点 犕 所形成的 曲线.
第2题 (苏教版选修21习题2.2(2)思考 运 用12)已知点 犕 到椭圆1狓629+1狔424=1的左焦点 和右焦点的距离之比为2∶3 ,求点 犕 的坐标(狓, 狔)满 足 的 方 程 .
本节课的核 心 任 务 是 解 决“什 么 是 阿 波 罗 尼 斯 圆 ? ”“为 什 么 探 究 阿 波 罗 尼 斯 圆 ? ”“怎 样 探 究 阿波罗 尼 斯 圆?”“探 究 阿 波 罗 尼 斯 圆 有 什 么 作 用 ? ”“有 了 阿 波 罗 尼 斯 圆 的 探 究 思 路 以 后 可 以 怎 么探究其他问题?”以问题 为 动 力、学 生 为 主 体、 探 究 为 主 线 、数 学 核 心 素 养 为 主 位 ,充 分 展 开 自 主 学习和合作讨论,让 学 生 亲 身 体 验 数 学 发 现 和 创 造 的 过 程 ,培 养 和 提 高 学 生 的 创 新 能 力 ,体 验 探 究 的乐趣.波利亚说 过:“学 习 任 何 知 识 的 最 佳 途 径 都 是 自 己 去 发 现 ,因 为 这 种 发 现 理 解 最 深 刻 ,也 最 容 易 掌 握 其 内 在 规 律 、性 质 和 联 系 .”

阿波罗尼斯圆的应用

阿波罗尼斯圆的应用

—科教导刊(电子版)·2020年第02期/1月(中)—210阿波罗尼斯圆的应用汪欣晏(武汉市第二中学高三(2)班湖北·武汉430000)摘要阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在高考中的几何问题中能得到很好的应用,尤其是在点与圆的转化中能有很好的效果,在应用中,可从两个方面来解决问题:(1)由点求圆;(2)由圆求点。

在此,向大家介绍阿波罗尼斯圆的应用方法,供参考。

关键词阿波罗尼斯圆阿氏圆由点求圆由圆求点中图分类号:O123.1文献标识码:A 【背景】:如图,在中,为的角平分线,的外角平分线,根据角平分线定理,根据内角平分线定理,在以为直径的圆上【背景】:在直线上有四点、则、调和分直线上两点、,则所1的点的轨迹是一个以定比内分、外分定线段的两个分点的连线为直径的圆【方法】如何寻找阿波罗尼斯圆?(1)确定三点;(2)找的共扼点,再以、为直径作圆。

【应用】例1:如图所示,是平行四边形,是的重心,点、在直线上,使得,,证明:平分(2014数学联赛)。

解:四点共圆在上又为该阿氏圆的原始三角形,亦可认为为原始三角形又评述:本题巧妙而合理地使用了阿波罗尼斯圆,基本思路是先通过特殊的边的关系找到阿波罗尼斯圆,再通过阿氏圆推出角平分线,因此,在遇到与“圆、角平分线”相关的题目时,可考虑使用阿氏圆。

例2:已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为点在的面积为?法一:(常规法)可联想到阿氏圆的几何性质,则有以下评述,本题由线的长度之比联想到阿波罗尼斯圆,并由此衍生出在圆中解决问题的想法,相比于第一种方法,该一直线交于,下列三个结论正确的是:(下转第217页)数|学|研|究实小孩子的思维能力是很强的,他们完全可以把所有的填法都写出来,只是大多数孩子在写的过程中都是无序的,我们只要给予正确的引导,大部分学生应该都能解决问题。

因此,在教学前,笔者先让学生独立思考,+=8自己尝试。

发现有以下几种填法:生1:4+4=8,3+5=8。

阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)(K12教育文档)

阿波罗尼斯圆专题汇编(史上最全原创)(K12教育文档)

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阿波罗尼斯圆性质及其应用背景展示 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一(人教A 版124页B 组第3题)已知点M 与两个定点O (0,0),A (3,0)点距离的比为,求点M 的轨迹方程.(人教A 版144页B 组第2题)已知点M 与两个定点距离的比是一个正数m ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形(考虑m=1和m )。

公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中,曾研究了众多的平面轨迹问题,其中有如下著名结果:到平面上两定点距离比等于定值的动点轨迹为直线或圆.(定值为1时是直线,定值不是1时为圆)定义:一般的平面内到两顶点A ,B 距离之比为常数()的点的轨迹为圆,此圆称为阿波罗尼斯圆类型一:求轨迹方程1。

已知点M 与两个定点()0,0O ,()0,3A 的距离的比为21,求点M 的轨迹方程2。

已知()02>=a a AB ,()0≥=λλMBMA ,试分析M 点的轨迹3.(2006年高考四川卷第6题)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件,则点P的轨迹所包围的图形面积等于( )A. B。

立足课堂培养学生数学核心素养——“阿波罗尼斯圆”教学实录与反思

立足课堂培养学生数学核心素养——“阿波罗尼斯圆”教学实录与反思

作者: 赵睿英
作者机构: 江苏省苏州高新区第一中学,215011
出版物刊名: 上海中学数学
页码: 1-2页
年卷期: 2016年 第12期
主题词: 基本素养 学习数学 《全日制义务教育数学课程标准》 教学实录 学生 阿波罗 反思尼斯
摘要:数学核心素养可以理解为学生学习数学应当达成的有特定意义的综合性能力,是数学的教与学过程应当特别关注的基本素养.《全日制义务教育数学课程标准》(2011)(以下简称《标准》)明确提出10个核心素养,即数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识.为进一步跟进和落实对数学学科核心素养、教师核心素养、学生核心素养的研究。

经典几何模型之阿氏圆教学设计 (2)精选全文

经典几何模型之阿氏圆教学设计 (2)精选全文

可编辑修改精选全文完整版《经典几何模型之阿氏圆》教学设计一.教学目标根据课程标准与教学内容并结合学生实际,确定本节课的教学目标为: 1.知识与技能了解阿波罗尼斯圆及其文化背景,掌握阿波罗尼斯圆的简单性质并能应用性质解决问题. 2.过程与方法通过具体例子引导学生自主合作、探究、抽象概括,对阿波罗尼斯圆由感性认识上升到理性认识的过程,体会从特殊到一般的数学研究方法,渗透数形结合的思想. 3.情感、态度与价值观通过学生对问题的自主探究,培养学生的独立思考能力和抓主要矛盾解决问题的能力.在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理,乐于创新的情感需求,引发学生渴求知识的强烈愿望,树立科学的人生观、价值观.二.重难点分析重点:阿波罗尼斯圆及其性质的理解和应用.难点:阿波罗尼斯圆性质的推导及其应用.三.教学过程(一)课题引入 提出问题:(2008年高考)已知在ABC ∆中,2AB AC ==,,求ABC S ∆的最大值. 解法一:(以下是大部分学生给出的解法)222424,cos 44x x x BC x AC B x x+--====,1=2sin 2ABCSx B ∆∴⋅⋅⋅=222x xx ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩22x ∴<<故当x =ABC S ∆大解法二:(也有小部分学生给出了这样的解法)设()()1,0,1,0A B -,动点C满足AC =,求点C 的轨迹,=即:()2238x y -+=11=222ABC y S AB C ∆∴⋅⋅≤⨯⨯=从以上两种解析过程可以看出,第二种解法简洁,又避免复杂计算,但是学生对于“AC =,点C 的轨迹是圆”这个知识点没有概念,其实这涉及到了数学的一个经典几何模型“阿氏圆”. 教材原题再现及推广:人教版必修2教材习题4.1B 组第3题:已知点M 与两个定点 (0,0),B(3,0)A 的距离之比为12,求动点M 的轨迹方程. 解:设(),M x y ,由已知得:1.2=即()2214x y ++=.探究:平面内到两个定点的距离的比值为常数λ(λ>0)的点的轨迹是圆? 证明:两个定点不妨设(,0),B(,0)A a a -,动点,)C x y (,由题意可得||||CA CB λ=,λ=得:()()()()2222222112110x y a x a λλλλ-+--++-= 当=λ1时,0x =;当λ≠1时, 2222221211a x a y λλλλ⎛⎫+⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 圆心:221,01a λλ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭,221a r λλ=-概念形成:阿氏圆:平面内到两个定点的距离的比值为常数()0,1λλλ>≠的点的轨迹.设计意图:先以高考真题为例暴露学生存在的问题,再以课本练习题引入,说明问题源于课本,但又高于课本,提醒学生重视课本,用好课本,发掘课本的潜在价值.(二)阿氏圆背景介绍阿波罗尼斯 (Apollonius of Perga ,也有文献上将其名字翻译为“阿波罗尼奥斯”)约公元前262~前190,古希腊人.阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德合称为亚历山大时期的“数学三杰”.在其巨著《圆锥曲线论》给出了一个著名的几何问题:“在平面上给定相异两点A 、B ,设点P 在同一平面内且满足,P 点的轨迹是个圆”,这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”,又称阿氏圆.这个结论称作“阿波罗尼斯轨迹定理”.以阿波罗尼斯圆为背景的考题在历年高考中频频出现,备受青睐.《普通高中数学课程标准(实验)》在不同部分对数学文化的内涵和价值做了阐述,首次明确提出数学课程要“体现数学的文化价值”.设计意图:抽象概括,形成概念,渗透数学文化,体现课程标准. (三)阿氏圆定义的应用例1(2020年全国卷) 已知12030F ,,F ,(-3)()为双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:的左右焦点,若双曲线C 的渐近线上存在点P 满足: 122PF PF =,求b 的最大值. 解:122PF PF =()()2222343x y x y ⎡⎤∴++=-+⎣⎦即()22516x y -+= 即圆与渐近线有交点55 4.3b bc ==≤ 125b ∴≤变式训练:已知向量2a =,且2b a b =-,求cos a,b 的最小值. 解:设()()20a ,,b x,y ==2b a b =- 224b a b ∴=-()222242x y x y ⎡⎤∴+=-+⎣⎦ 2281639x y =⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭当OB与圆相切时,cos a,b 有最小值为2设计意图:解题思路一般有两种,一是以边长(或角)为自变量建立函数关系式,转化为函数最值问题来处理,但计算繁琐,浪费时间.二是建系,转化为阿氏圆的问题进行处理. (四) 探究阿氏圆性质1.阿氏圆的圆心D 与两个定点的位置有什么关系?2.|||___,||AE AF|=____.EB |BF|= 3. 若PAPBλ=,圆心到定点的距离(DA 、DB )与半径(r )之间有什么等量关系?2r DA DB =⋅, 1DB r λ=⋅, DA r λ=⋅, 1||ABr λλ=-. (五)灵活应用例3 P 为圆O :2236x y +=上任意一点, M,N 为定点,其中点M(3,0),若PNPMλ=则=λ ,定点N 的坐标________.解析:此题若用常规思路先求点P 的轨迹方程,再求半径和面积自然可以求解.但对于填空题大可不必“小题大做”,若应用性质可以很快确定点P 的轨迹.也可以直接代入上述结论计算半径和面积.例4 若3,5OA OB ==,P 为圆O :2236x y +=上任意一点,则2AP BP +的最小值为 ;解:6,3,5r OA OB === 12OA=r ∴设2PH AP =∴ 圆O 是以A,H 为定点的阿氏圆212,OH r ∴=⨯= ()0,12H ∴ 213AP BP PH BP HB ∴+=+==小变式:求56AP BP +的最小值 .解:6,3,5r OA OB === 55666OB=r ∴⨯=⨯设65BG BP =∴ 圆O 是以B,G 为定点的阿氏圆636,55OG r ∴=⨯=36,05G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭()656555395AP BP PA BP AP BG AG ⎛⎫∴+=+=+== ⎪⎝⎭小(六)模拟试卷链接1. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个单位向量,若a b ⊥,求232a c a b c +++-的最小值.2. 已知a,b,c 是同一个平面内的三个向量,若44a =,b =,且0a b=⋅,若c 满足:220c a c+15=-⋅求4c a b c ++-的最小值设计意图:巩固提升,突出重点,突破难点,进一步提高学生分析问题和解决问题的能力. (七)课堂总结(1)在这节课中,你有什么收获? (2)你最感兴趣的是什么? (3)你想继续探究些什么? (八)再思考1. 平面内到两定点的距离之积(平方和、平方差)为定值的点的轨迹是什么?3. 平面内到一定点和一定直线(两直线)的距离之和(差、积、商)为定值的点的轨迹是什么?设计意图:由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法,在此基础上提出可以继续探究的问题,使本节的总结成为学生凝练提高的平台.四.教学反思本堂课我就解析几何中有关圆的定点、定值类问题中涉及阿波罗尼斯圆的一些问题,结合高考中以阿波罗尼斯圆为背景的考题.对阿波罗尼斯圆及其性质进行了一个简单的探究. 教学过程中我按照“创设情境---组织探索---知识应用1、教学思路清晰,学生思维活跃,求知欲强,对问题的解法能够提出自己的想法,总结也非常到位.2、大部分同学能够利用阿波罗尼斯圆巧妙解决定点、定值问题.3、充分运用多媒体及几何画板,化抽象为形象,突出了重点,化解了难点. 不足之处:1、由于学生尚未具有良好的思维水平和学习习惯,因而灵活运用知识的能力欠缺.2、学生的计算能力还有待提高.3、少数同学没有跟上上课的节奏,听起来有点吃力.在今后的教学中,我会加强对学生灵活运用知识能力和计算能力的培养,同时适当照顾后进生.。

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用

阿波罗尼斯圆及其应用在数学的广袤天地中,阿波罗尼斯圆宛如一颗璀璨的明珠,闪耀着独特的光芒。

它不仅是一个富有魅力的几何概念,更在众多领域有着广泛而重要的应用。

要理解阿波罗尼斯圆,首先得从它的定义说起。

阿波罗尼斯圆是指平面内到两个定点的距离之比为常数(不为 1)的点的轨迹所形成的圆。

不妨假设平面内有两个定点 A 和 B,点 P 满足|PA| /|PB| = k (k 为非 1 常数),那么点 P 的轨迹就是一个圆。

这个圆就被称为阿波罗尼斯圆。

为了更直观地感受阿波罗尼斯圆,我们可以通过一个简单的作图来描绘它。

以 A、B 两点所在直线为 x 轴,AB 中点为原点建立直角坐标系。

设 A(a,0),B(a,0),点 P(x,y),则根据距离公式和已知条件可以得到一个方程,经过一系列的推导和化简,就能得出阿波罗尼斯圆的方程。

阿波罗尼斯圆具有许多有趣的性质。

比如,圆心一定在线段 AB 的中垂线上;当两个定点 A、B 固定,比值 k 变化时,阿波罗尼斯圆的大小和位置也会相应改变。

那么,阿波罗尼斯圆在实际中有哪些应用呢?在物理学中,它可以用来解决带电粒子在电场中的运动问题。

例如,当存在两个等量异种电荷时,电场线的分布就与阿波罗尼斯圆有着密切的关系。

通过分析电场中某点到两个电荷的距离之比,结合阿波罗尼斯圆的性质,能够更加清晰地了解电场的分布情况,从而预测带电粒子的运动轨迹。

在工程设计中,阿波罗尼斯圆也大有用武之地。

比如在道路规划中,如果要设计一条公路,使得从两个固定地点出发的车辆到达公路上某一点的距离之比保持恒定,就可以利用阿波罗尼斯圆来确定公路的最佳位置,以实现资源的最优分配和效率的最大化。

在数学竞赛中,阿波罗尼斯圆更是常常成为解题的关键工具。

许多看似复杂的几何问题,一旦引入阿波罗尼斯圆的概念,往往就能迎刃而解。

例如,对于一些涉及到三角形边长比例关系、点到定点距离关系的问题,通过构造阿波罗尼斯圆,可以找到隐藏的几何关系,从而简化计算和推理过程。

化隐为显 圆形毕露教学设计1

化隐为显 圆形毕露教学设计1

《化隐为显,圆形毕露》教学设计一、教材分析:本节课的教学内容是由人教A 版必修二第四章复习参考题P144 B 组第二题所扩展的内容,是对阿波罗尼斯圆的了解和认识,既是对圆的定义性质的知识巩固,也是为以后学习解析几何打下基础。

因此本节课的学习是在解析几何的学习中起到了承上启下的作用。

本节课是以书中的习题为例,介绍了阿波罗尼斯以及阿波罗尼斯圆,通过让学生了解数学文化背景,从而培养学生的兴趣,引发对知识的渴望。

再通过对隐圆的学习,让学生感受到解析几何为几何图形创造出的便捷,让学生体会到用代数思想去解决几何问题的解析数学思想,减少他们对解析几何的恐惧。

二、学情分析:从学生现有的知识水平来看,在学习本节课之前,学生已学习了轨迹方程的求法,以及圆的概念和方程,绝大部分同学已经掌握了求轨迹方程的直接法、定义法和相关代入法,并理解了圆相关概念和性质,也能比较熟练的对等式进行化简,找到轨迹所对应的图形。

因此本节课教学要借助这些已有的知识,通过观察、分析、类比、归纳帮助学生理解隐圆的概念;从能力的角度上来看,学生已经具备了一定的思考辨析的能力、计算的能力、数学语言表达的能力以及归纳总结的能力,在本次教学中,借助学生这些能力,引发学生思考,向学生提供探究的题目材料,培养学生自主探究,合作学习以及数学表达能力。

三、设计思想:本节课是一道习题所引发的微专题课,是对圆的定义的延续引申,本节课我的设计理念是:以问题为载体,学生为主体,创设有效的问题情境,营造和谐积极的课堂氛围,从而充分调到学生的积极性,培养数学学习兴趣。

在学生经历了自主探究和归纳总结的过程中,教师引导学生自主建构数学知识,渗透从特殊到一般,分类讨论以及数形结合的数学思想,让学生掌握知识的同时又能提升数学素养与思维品质。

四、教学目标:1. 知识与技能:了解阿波罗尼斯圆的文化背景,通过掌握阿波罗尼斯圆的应用从而从圆的几何意义出发理解隐圆的含义,理解用代数方法解决几何问题,掌握将隐圆化为显圆的应用。

阿氏圆问题教案

阿氏圆问题教案

阿氏圆问题教案教案标题:阿氏圆问题教案教案目标:1. 理解阿氏圆的概念和性质。

2. 掌握绘制阿氏圆的方法。

3. 运用阿氏圆解决几何问题。

教案步骤:引入活动:1. 启发学生对圆的了解,引导他们思考圆的定义和性质。

2. 引入阿氏圆的概念,解释阿氏圆与圆的关系。

知识讲解:1. 介绍阿氏圆的定义:阿氏圆是指在一个三角形ABC的三边上分别作等腰三角形ABD、ACE,其中D和E分别是AB和AC的中点,那么ADE的外接圆称为阿氏圆。

2. 解释阿氏圆的性质:阿氏圆经过三角形ABC的顶点A,并且与BC平行。

示范演练:1. 指导学生绘制阿氏圆的步骤:首先,找到三角形ABC的两边的中点D和E;然后,以D为圆心,DA为半径画圆;最后,以E为圆心,EA为半径画圆。

2. 给学生提供几个练习题,要求他们根据阿氏圆的性质解决问题,如求证阿氏圆与BC平行等。

巩固练习:1. 提供一些应用题,要求学生利用阿氏圆解决几何问题,如求证三角形的相似性等。

2. 组织学生分组讨论并解答问题,鼓励他们互相交流和合作。

拓展活动:1. 引导学生思考阿氏圆的拓展应用,如在平行线和三角形的问题中的应用等。

2. 鼓励学生自主探究和发现更多有关阿氏圆的性质和应用。

总结回顾:1. 总结阿氏圆的定义和性质,强调其在解决几何问题中的重要性。

2. 回顾本节课所学内容,检查学生的掌握程度。

教案评估:1. 观察学生在课堂上的参与度和表现。

2. 收集学生完成的练习和应用题,检查他们对阿氏圆的理解和应用能力。

教学资源:1. 教材:包含有关圆和三角形的知识。

2. 白板、黑板或投影仪:用于展示示范演练和解题过程。

3. 练习题和应用题:用于巩固学生的理解和应用能力。

教案扩展:1. 可以引入更复杂的阿氏圆问题,如求证阿氏圆与三角形的外接圆相切等。

2. 可以组织学生进行小组研究,探究阿氏圆在其他几何形状中的应用。

例谈阿波罗尼斯圆的应用

例谈阿波罗尼斯圆的应用

例谈阿波罗尼斯圆的应用
李奇伟
【期刊名称】《数理天地(初中版)》
【年(卷),期】2024()11
【摘要】纵观近几年的中考题,数形结合问题是一大热门考点.阿波罗尼斯圆就是数形结合类问题中的一个典型问题,它主要用于求某些“极限值”.通过对阿波罗尼斯圆的考查,可以强化学生的数形结合思想,让学生体会到数学的美感.为此,笔者将结合几道例题谈谈常考的两类阿波罗尼斯圆模型应用题型.
【总页数】2页(P22-23)
【作者】李奇伟
【作者单位】浙江省瑞安市安阳实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.追踪热点,剖析难点——谈阿波罗尼斯圆定理及其应用
2.聚焦核心素养实施问题导学r——以"阿波罗尼斯圆的探究与应用"教学为例
3.善辟蹊径深化复习——以阿波罗尼斯圆教学设计为例谈微专题教学
4.以一道课本习题为例谈阿波罗尼斯圆
5.例说阿波罗尼斯圆的应用
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课题:阿波罗尼斯圆
苏州市三中 唐庆明
一.课本题再现:
1.(苏教版必修二P100,10)已知两个定点(2,0),(4,0)A B -,若动点P 满足12
PA PB =,则点P 的轨迹是 2.(苏教版选修2-1P34,7)已知点M 与椭圆22
1169144
x y +=的左焦点和右焦点的距离之比为2:3,则点M 的轨迹方程 .
λ=, 当0,λ>且1λ≠时,
二.阿波罗尼斯圆内容:
λ=, 当0,λ>且1λ≠时,P 点的轨迹是个圆,这个圆我们称作阿波罗尼斯圆.
M 、N 分别为线段AB 按定比λ分割的内分点和外分点,则MN 为阿波罗尼斯圆的直径.
三.例题呈现:
1.(08年江苏)若BC AC AB 2,2=
=,则ABC S ∆的最大值 .
2.已知点(2,0),(4,0)A B -,圆()22:416,C x y ++=P 是圆C 上任意一点,问:是否存在常数,λ使得
PA PB λ=?若存在,求出常数λ;若不存在,请说明理由.
3.已知(2,0),A -圆()22:416,C x y ++= P 是圆C上任意一点,问:是否存在定点B ,使得
12PA PB =若存在,求出点B ;若不存在,请说明理由.
4.已知P 是圆()22:416C x y ++=任意一点,问:在x 12
=?若存在,求出点A 、B ;若不存在,请说明理由.
5. (13年江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点()03A ,,直线24l y x =-:.设圆的半径为1,圆心在l 上.
(1) 若圆心C 也在直线1y x =-上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;
(2) 若圆C 上存在点M ,使2MA MO =,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.。

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