3-1功和能

r g sin cos
r L sin
4. (1)
dv f t m dt

v
v0
dv
t 0
t
m
dt
v v0
(2)

dx 2 v v0 t dt 2m
2m
t 2 30 m/s

x
0
dx (v0
t 0

2m
t 2 )dt
1400 x v0 t t m 466 .7 m 6m 3
3

§3-1 功
§3-2 §3-3 §3-4 §3-5
几种常见力的功 动能定理 势能 机械能守恒定律 能量守恒定律
F
F的空间累积作用 F 的时间累积作用
功和能
冲量和动量
研究力在空间的积累效应--- 功、动能、 势能、动能定理、机械能守恒定律。
万有引力作功特点： 1. 万有引力作功只与质点 的始末位置有关，而与其经过的路径无关；2. 质点 m移近M万有引力做正功，反之做负功。
四、摩擦力作功
A f cos ds
a b
f
a
.
s
v
b
f mg
摩擦力F方向始终与质点 速度方向相反
A mgs
摩擦力作功特点： 1. 摩擦力作功不仅与质点 的始末位置有关，而且与质点所经过的路径有关； 2. 质点沿任意闭合路径运动一周，摩擦力做功不 为零。
dx 3t 2dt
A Fdx F 3t dt 36t 3dt 144J
2
x
t
2
0
0
0
2 P F v 12t 3t 288W
2 该质点的速度为 v 4t i 16 j ,开始时质点位于坐标原点。
求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中，外力做的功。
由动能定理 W2 m v
1 2
2 2 0
s2
2 g
2 v0
m1 m2 s s1 s2 l m1
本次作业： 完成作业 3 下次上课内容：
§3-4 势能 机械能 守恒定律 §3-5 能量守恒定律 §4-1 质点动量定理
第二章
质点系的动能定理：作用于质点系内各质点的 力做功的总和等于该质点系的动能的增量。
※ 关于动能定理的说明
1. 动能Ek是一个状态量,功A是过程量,由状态量 的变化求过程量可以简化计算。
2. 动能定理只适用于惯性系,并且功和动能的计 算必须统一到同一惯性系。 3. 内力和为零, 内力作功总和不一定为零。 f1 f 2 f 0 f1 B f 2 B
重点与难点
一、动能定理、功能原理、机械能守恒定律的 理解及其应用 ； 二、变力作功的计算、势能的概念。
§3-1 功 work 一、恒力的功 work done by constant force A Fs cos F F
矢量式：A F s
单位：焦耳（J）


M
a
s
b
1J 1N m
1 MF
o
x
a
2 1
b
x
kx kx kx kx
2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2

注意：ox轴的坐标原点选在弹簧原长处! 弹性力作功特点：1.弹性力作功只与始末位置 有关，而与弹性形变过程无关；2. 弹簧形变减小时 弹性力做正功，形变增大时做负功。
三、万有引力作功
m1
m1
l
s1
s
s2
解：设摩擦系数为μ ，向右为正方向
F f1 f 2 F m1 m2 g 0
牵引力：F m1 m2 g
机车：脱钩后发觉前合外力 (F－ f1 ),发觉后 (－f1 ),全过程做功
W1 F f1 l f1 s1 l Fl f1s1
bg 0 (l b) g 0
0l b 1 0
(2) 以整个链条为研究对象
1 A ygdy g (l 2 b 2 ) 重力的功 b 2 l 1 摩擦力的功 A' (l y ) gdy g (l b) 2 b 2 1 根据动能定理有 A A lv 2 0 2 1 1 1 2 2 2 g (l b ) g (l b) lv 2 0 2 2 2
元功 dA F dr cos F dr 当 ds 0 dr ds
ds
P
dr

dA Fds cos
A F cos ds a
b
r
b F r

b
a
F dr
a
o
在直角坐标系中： F Fx i Fy j Fz k
A1 f1 L
1
A2 f 2 S
A S
A
A f (L S ) 0
L
4. 内力可以改变系统的动能。 例: 炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做 的功转化为弹片的动能。
例3 长为l 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下垂, 已知链条与水平面间静摩擦系数为0 , 滑动摩擦系数为 求 (1) 满足什么条件时，链条将开始滑动 (2) 若下垂部分长度为b 时，链条自静 止开始滑动，当链条末端刚刚滑离 桌面时，其速度等于多少？ y 解 (1) 当链条下落的重力大于最大静摩擦力时,将开始滑动。 设这时链条下落长度为b ，链条每单位长度的质量为， 取铅垂向下为Oy 轴。 O
例2 质量为10kg的质点，在外力作用下做平面曲线运动，
dx 解： v x 4t 2 dt dy v y 16 dt dv x Fx m 80t dt
2
dx 4t 2dt y 16t y 16时 t 1 y 32时 t 2
dv y Fy m 0 dt
1eV 1.6 10-19 J
0 90 0 A 0 正功 功是标量 0 0 A 0 负功 （代数量） 90 180 0 A 0 不做功 90
注意：上式适用于在恒力下质点作直线运动
二、变力的功 work done by variable force
§3-3 动 能 定 理 一、质点动能定理
dv F ma m dt
元功 dA F dr F cos ds F ds
F
v2
dA mvdv
A mvdv
v1
v1

Ft
v · v2 dr B
1 2 动能：Ek mv 2 质点的动能定理: 合外力对质点作的功，等于 质点动能的增量。
m1 m2 gl m1 gs1
2
设脱钩前速度为v0 ，停止v=0，由动能定理
W1 1 m1v 2 1 m1v0 1 m1v0 2 2 2
2 v0 m1 m2 s1 l m1 2 g
2
车厢：脱钩后受摩擦力 f2 ，做功为
W2 f 2 s2 m2 gs2
作业2 1.
T N ma A: N mg ma
答案
N
f
A
mg
T
a
B : mg T maB地 ma a
T
B a
a
3 T (1 )mg 4
mg
2.
dv dx 2 k a kv k x dt dt
F ma Mk 2 x
dA F dr F dr P F v Fv cos dt
例1: 已知质点 m = 2kg , 在 F = 12t 作用下由静 止做直线运动，求t = 02s内F 作的功及t = 2s 时的 功率。 dx F dv 2 解: a 6t v 3t dt m dt
1 2 1 2 A mv2 mv1 2 2
· A
二、质点系的动能定理
设质点系由n个质点组成，对所有质点应用动能定 理，并把方程相加：
1 1 2 A mi vi mi vi20 E
A内 Ek Ek 0
Ae Ai Ek Ek 0
b
（4）合力的功等于各分力功的代数和. dr A F合 dr F1 dr F2 dr F a F i Ai
b
三、功率 power
力在单位时间内做的功, 单位：瓦（W） A 平均功率: P t A dA 功率: P lim t 0 t dt 功率是功随时间的变化率。
Mm F G 2 er r dA F dr Mm G 2 er dr r r2 Mm A G 2 dr r 1 r
1 1 GMm( ) r2 r1
r1
M
er
a
m dr r F
r dr
dr
b
r2
er dr dr cos dr
a
y1
x
沿adb路径可以得到同样的结果 Aacb Aadb 重力作功特点：1. 重力作功只与质点的始末位置 有关，而与所经过的路径无关；2. 质点上升重力做 负功，反之做正功。
二、弹性力作功
由胡克定律
F kx
x2
A
1 2
b a
x2 F dx kxdx
x1
dr dxi dyj dzk
A
b
a
b F dr Fx dx Fy dy Fz dz