新高考数学一轮教师用书：第7章 第7节 立体几何中的翻折、探究性、最值问题

2
则 Q(6，3，0)，∴Q→B＝(－6，3，0)，B→C＝(0，－3，6).
设平面 CBQ 的法向量为 n1＝(x，y，z)，
n1·Q→B＝0， 由 n1·B→C＝0，
得
－6x＋3y＝0， －3y＋6z＝0，
令 z＝1，则 y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1).
易得平面 ABQ 的一个法向量为 n2＝(0，0，1).
|HP||DP|
3
4＝ 3
3. 4
所以 DP 与平面 ABFD 所成⻆的正弦值为 3. 4
平面图形翻折为空间图形问题重点考查平行、垂直关系，解题关键是 看翻折前后线面位置关系的变化，根据翻折的过程找到翻折前后线线位置关系中 没有变化的量和发生变化的量，这些不变的和变化的量反映了翻折后的空间图形 的结构特征．
[教师备选例题] (2019·贵阳模拟)如图所示，在梯形 CDEF 中，四边形 ABCD 为正方形，且 AE ＝BF＝AB＝1，将△ADE 沿着线段 AD 折起，同时将△BCF 沿着线段 BC 折起，使 得 E，F 两点重合为点 P.
(1)求证：平面 PAB⊥ 平面 ABCD； (2)求直线 PB 与平面 PCD 的所成⻆的正弦值． [解] (1)证明：∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴AD⊥AB，AD⊥AE，
第七节 立体几何中的翻折、探究性、最值问 题
(对应学生用书第 136 ⻚) 考点 1 平面图形的翻折问题
3 步解决平面图形翻折问题
(2018·全国卷Ⅰ )如图，四边形 ABCD 为正方形，E， F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥ BF.
(1)求证：CE⊥ 平面 ADF； (2)已知 P 为棱 BC 上的点，试确定点 P 的位置，使二面⻆ P DF A 的大小为 60
设二面⻆ C BQ A 的大小为θ，由图可知，θ为锐⻆，
| | n1·n2
则 cos θ＝ |n1|·|n2| ＝ 6， 6
即二面⻆ C BQ A 的余弦值为 6. 6
考点 2 立体几何中的探究性问题
(1)解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这 个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立， 即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．
(1)证明：平面 PEF⊥ 平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成⻆的正弦值． [解] (1)证明：由已知可得 BF⊥ PF，BF⊥EF， PF∩EF＝F，PF，EF㱬平面 PEF， 所以 BF⊥ 平面 PEF. 又 BF㱬平面 ABFD， 所以平面 PEF⊥ 平面 ABFD. (2)如图，作 PH⊥ EF，垂足为 H. 由(1)得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，H→F的方向为 y 轴正方向，|B→F|为单位 ⻓，建立如图所示的空间直⻆坐标系 H xyz. 由(1)可得，DE⊥PE. 又 DP＝2，DE＝1，所以 PE＝ 3.
∴AD⊥ AP, ∴AD⊥平面 PAB， 又∵ AD㱬平面 ABCD， ∴平面 ABCD⊥ 平面 PAB. (2)以 AB 中点 O 为原点，建立空间坐标系如图， ∵AE＝BF＝AB＝1， ∴AP＝AB＝BP＝1，
∴B
1，0，0 2
，P(0，0，
3)，C
1，1，0 2
，D
－1，1，0 2
，
2
∴P→B＝
又 PF＝1，EF＝2， 所以 PE⊥ PF.
所以 PH＝ 3，EH＝3.
2
2
则
H(0，0，0)，P
0，0，
3 2
，D
－1，－3，0 2
，
D→P＝
1，3， 2
3 2
，H→P＝
0，0，
3 2
.
又H→P为平面 ABFD 的法向量， 设 DP 与平面 ABFD 所成的⻆为θ，
则 sin θ＝|cos
→→ 〈H→P，D→P〉|＝|H→P·D→P|＝
1，0，－ 2
3 2
，D→C＝(1，0，0)，C→P＝
－1，－1， 2
3 2
，
设 n＝(x，y，z)是平面 PCD 的一个法向量，
n·D→C＝0， x＝0，
则
n·C→P＝0，即
－1x－y＋ 2
3z＝0， 2
取 z＝2，则 n＝(0， 3，2)，
设直线 PB 与平面 PCD 的所成⻆为θ，
→
则 sin θ＝|cos
图1
图2
(1)证明：OD⊥ 平面 PAQ；
(2)若 BE＝2AE，求二面⻆ C BQ A 的余弦值．
[解] (1)证明：由题设知 OA，OB，OO1 两两垂直， ∴以 O 为坐标原点，OA，OB，OO1 所在直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立如图所示的空间直⻆坐标系，
设 AQ 的⻓为 m，则 O(0，0，0)，A(6，0，0)，B(0，6，0)，
〈n，P→B〉|＝|n·P→B|＝ |n||PB|
3＝ 7×1
ห้องสมุดไป่ตู้
21， 7
故直线 PB 与平面 PCD 的所成⻆的正弦值为 21. 7
(2019·广州模拟)如图 1，在高为 6 的等腰梯形 ABCD 中，AB∥ CD，且 CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴 OO1 折起，使平面 ADO1O⊥ 平面 BCO1O，如图 2， 点 P 为 BC 的中点，点 E 在线段 AB 上(不同于 A，B 两点)，连接 OE 并延⻓至点 Q， 使 AQ∥ OB.
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量 定理 a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的 范围．
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解 的问题进行处理．
如图，在五面体 ABCDEF 中，AB∥ CD∥ EF，AD⊥ CD，∠ DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面 CDEF⊥ 平面 ABCD.
C(0，3，6)，D(3，0，6)，Q(6，m，0).
∵点 P 为 BC 的中点，
∴P
0，9，3 2
，
∴O→D＝(3，0，6)，A→Q＝(0，m，0)，P→Q＝
6，m－9，－3 2
.
∵O→D·A→Q＝0，O→D·P→Q＝0，
∴O→D⊥ A→Q，O→D⊥ P→Q， 即 OD⊥ AQ，OD⊥PQ，又 AQ∩PQ＝Q， ∴OD⊥平面 PAQ. (2)∵ BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝1OB＝3，