江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)
24江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)
最新高中数学奥数竞赛练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA=1． 三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA =1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
江苏省常州市华罗庚中学2023-2024学年高三夏令营学习能力测试数学试题
江苏省常州市华罗庚中学2023-2024学年高三夏令营学习能力测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________(2)求证：平面BED ^平面ABD ；(3)若点M 为线段PO 上的动点．当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.22．若函数()y f x =满足在定义域内的某个集合A 上，对任意x A Î，都有()e e x x f x éù-ëû是一个常数，则称()f x 在A 上具有M 性质.(1)设()y f x =是R 上具有M 性质的奇函数，求()f x 的解析式；(2)设()y g x =是在区间[]1,1-上具有M 性质的偶函数，若关于x 的不等式()()22e 0g x g x n -+>在[]1,1-上恒成立，求实数n 的取值范围.【分析】根据给定等式推理可得()()20f x f x +-=，结合(2)f x +为偶函数，再逐项判断作答.【详解】依题意，R x "Î，()()(2)f x g x g x +=-，即有(2)(2)()f x g x g x -+-=，两式相加整理得()(2)0f x f x +-=，因此()f x 的图象关于点()1,0对称，B 正确；由(2)f x +为偶函数，得(2)(2)f x f x -+=+，于是(2)()f x f x +=-，有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，因此函数()f x 的周期为4，8是函数()f x 的一个周期，D 正确；由()(2)0f x f x +-=，得()(2)0f x f x -++=，而(2)()f x f x +=-，因此()()f x f x -=，()f x 为偶函数，A 正确；由当[)0,1x Î时，()f x x =，得(4)(0)0f f ==，而(1)0f =，(2)(0)0f f =-=，(3)(1)0f f =-=，即有(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，20231(1)(2)(3)(4)](1)(2)(3)0()505[k f f f f f f k f f ==++++++=å，C 错误.故选：ABD【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D "Î，(1)存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=Û++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.(2)存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-Û+=-，则函数()y f x =图象关于直线答案第241页，共22页。
江苏省高中数学竞赛预赛试题
江苏省高中数学竞赛预赛试题本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共36分）一．选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数y=f(x) 的图像按a→=(π4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x+π4)+2，那么y=f(x)的解析式为 ( ) A．y=sin x B．y=cos x C．y=sin x+2 D．y=cos x+4解: y=sin[(x+π4)+π4], 即y=cos x.故选B．2．如果二次方程x2－px－q=0 (p，q∈N*)的正根小于3，那么这样的二次方程有( ) A．5个B．6个C．7个D．8个解：由∆=p2+4q>0，－q<0，知方程的根一正一负．设f(x)=x2－px－q，则f(3)= 32－3p－q＞0，即3p+q＜9.由p，q∈N*，所以p=1，q≤5或p=2，q≤2. 于是共有7组(p，q)符合题意．故选C．3．设a>b>0，那么a2+1b(a－b)的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：由a>b>0，可知0<b(a－b)≤14a2．所以，a2+1b(a－b)≥a2+4a2≥4．故选C．4．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α( ) A．不存在B．只有1个C．恰有4个D．有无数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m，n，直线m、n确定了平面β，作与β平行的平面α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形．这样的平面α有无数多个．故选D．5．设数列{a n}：a0=2, a1=16，a n+2=16 a n+1－63 a n (n∈N)，则a2005被64除的余数为( ) A．0 B．2 C．16 D．48解：数列{ a n}模64周期地为2，16，2，－16，又2005被4除余1，故选C．6．一条走廊宽2m、长8m，用6种颜色的1⨯1m2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多)，要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方案种数有( ) A．308B．30⨯257 C．30⨯207 D．30⨯217解：铺第一列(两块地砖)有30种方法；其次铺第二列，设第一列的两格铺了A、B两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺A色，若铺B色，则有(6－1)种铺法；若不铺B色，则有(6－2)2种方法，于是第二列上共有21种铺法．同理，若前一列铺A B好，则其后一列都有21种铺法. 因此，共有30⨯217种铺法．故选D ．二．填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2π得→OB ，且2→OA +→OB=（7，9），则向量→OB= ． 解：设→OA=（m ，n ），则→OB=（－n ，m ）， 所以 2→OA +→OB=（2m －n ，2n +m ）=（7，9），即 ⎩⎪⎨⎪⎧2m －n=7，m +2n=9． 得 ⎩⎨⎧m=235，n=115．因此， →OA=(235，115），→OB=（－115，235)．故填（－115，235)．8．设无穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项，则该数列的通项公式为 ．解：由题意知a n +22=2S n ， 即S n =(a n +2)28． ①由①式，a 1+22=2a 1，得a 1=2．又由①式得 S n －1=(a n －1+2)28(n ≥2) ② 则有 a n =S n －S n －1=(a n +2)28－(a n －1+2)28(n ≥2)， 整理得 (a n +a n －1)(a n －a n －1－4)=0．又因为a n >0，a n －1>0，所以a n －a n －1=4(n ≥2)，a 1=2.因此, 数列{a n }是以2为首项，4为公差的等差数列，其通项公式为a n =2+4(n －1)， 故填a n =4n －2 (n ∈N*)．9．函数y=|cos x |+|cos2x | (x ∈R ) 的最小值是 ．解：令t=|cos x |∈[0，1]，则y=t +|2t 2－1|． 当22≤t ≤1时，y=2t 2+t －1=2(t +14)2－98，得 22≤y ≤2．当0≤t <22时，y=－2t 2+t +1=－2(t －14)2+98，得22≤y ≤98．又y 可取到22．故填22．10．在长方体中ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=2， AA 1=AD=1，点E 、F 、G 分别是棱AA 1、C 1D 1与BC 的中点，那么四面体B 1－EFG 的体积是 ．解：在D 1A 1的延长线上取一点H ，使AH=14，易证，HE ∥B 1G ，HE ∥平面B 1FG ．故 V B 1－EFG =V E －B 1FG =V H －B 1FG =V G －B 1FH ．而S ∆B 1EF =98，G 到平面B 1FH 的距离为1．故填V B 1－EFG =38．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都至少出现1次，这样的5位数共有 个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C 51(C 41+C 42+C 43)=70个；若1只出现2次，有C 52(C 31+C 32)=60个；若1只出现3次，有C 53C 21=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平面上两个点集：M={(x ，y )| |x +y +1|≥2(x 2+y 2)，x ，y ∈R }，N={(x ，y )| |x －a |+|y －1|≤1，x ，y ∈R }，若M ∩N ≠∅，则a 的取值范围为 ．解：由题意知M 是以原点为焦点，直线x +y +1=0为准线的抛物线及其凹口内侧的点集，N 是以(a ，1)为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察M ∩N=∅时a 的取值范围： 令y=1, 代入方程 |x +y +1|=2(x 2+y 2) 得x 2－4x －2=0，解得 x=2±6．所以，当a <2－6－1=1－6时M ∩N=∅．令y=2，代入方程|x +y +1|=2(x 2+y 2)得x 2－6x －1=0，解得 x=3±10．所以，当a >3+10时，M ∩M=∅．于是，当1－6≤a ≤3+10，即a ∈[1－6，3+10]时，M ∩N ≠∅．故填[1－6，3+10]．三、解答题：13． 已知点M 是∆ABC 的中线AD 上的一点，直线BM 交边AC 于点N ，且AB 是∆NBC的外接圆的切线，设BC BN =λ，试求 BM MN （用λ表示）．(15分)证明：在∆BCN 中，由Menelaus 定理得BM MN ·NA AC ·CD DB =1．因为 BD=DC ，所以BM MN =AC AN ．………………………6分 由∠ABN=∠ACB ，知∆ABN ∽∆ACB ，则 AB AN =AC AB =CB BN ．所以，AB AN ·AC AB =⎝ ⎛⎭⎪⎫CB BN 2，即AC AN =BC 2BN 2．…………………………………………………12分 因此，BM MN =BC 2BN 2．A B C D N M又 BC BN =λ，故 BM MN=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成立的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)解：当n=2时，由x 1+x 2=0，得x 1x 2+x 2x 1=－2x 12≤0．故n =2时命题成立；……3分当n=3时，由x 1+x 2+x 3=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=(x 1+x 2+x 3)2－(x 21 +x 22+x 23)2=－(x 21+x 22+x 23)2≤0．故n=3时命题成立． ……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x 1+x 2+x 3+x 4=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 4+x 4x 1=(x 1+x 3)(x 2+x 4)=－(x 2+x 4)2≤0．故n=4时，命题成立．………………………………………………………………9分 当n ≥5时，令x 1=x 2=1，x 4=－2，x 3=x 5=…=x n =0，则i=1∑n x i =0，但i=1∑nx i x i +1=1>0，故n ≥5时命题不成立．综上可知，使命题成立的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR为正三角形，求离心率e 的取值范围，并用e 表示直线PQ 的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂足分别为点P '，M '，Q '，则|MM '|=12(|PP '|+|QQ '|)=12(|PF |e+|QF |e )=|PQ |2e ．…………………………6分假设存在点R ，则|RM |=32|PQ |，且|MM '|＜|RM | ，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以， e ＞33．………………………………12分于是，cos ∠RMM '=|MM '||RM |=12e ⨯13e ，cot∠RMM'=13e2－1．在图中，|PF| < |QF|，且有k PQ= tan∠QFx= tan∠FMM'=cot∠RMM'=13e2－1．………………………………………………18分当e>33时，过点F作斜率为13e2－1的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=32|PQ|．故∆PQR为正三角形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k PQ=－13e2－1．所以，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e的范围是(33，1)，且直线PQ的斜率为±13e2－1．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n(n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005，求n的最小值，并说明理由；( 12分)⑵若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于20022005，求n的最小值，并说明理由．( 24分)解：⑴因为2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，n min≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最大立方体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全立方数，故n=2不可能；若n=3，设此三个立方体中最大一个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最大立方体的棱长只能为9、10、11或12，而2005<3⨯93，2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x ≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，n min=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个立方体的棱长分别是x1，x2，…，x n，则x31+x32+…+x3n=20022005．①由2002≡4(mod 9)，43≡1(mod 9)，得20022005≡42005≡4668⨯3+1≡(43)668⨯4≡4(mod 9)．②又当x∈N*时，x3≡0，±1(mod 9)，所以x31≡∕4(mod 9)，x31+x32≡∕4(mod 9)，x31+x32+x33≡∕4(mod 9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分而2002=103+103+13+13，则20022005=20022004⨯(103+103+13+13)=(2002668)3⨯(103+103+13+13)=(2002668⨯10)3+(2002668⨯10)3+(2002668)3+(2002668)3．故n=4为所求的最小值．………………………………………………………………24分。
数学竞赛试卷(初赛、决赛及答案)
2．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是 。
3．将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是 。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．右面残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是 。
6．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，两数相加时进位三次，那么A+B 的各位数字之和是 。
7．苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还多4只苹果，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有______只。
8．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。
9．在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是 。
10．高中学生的人数是初中学生的56，高中毕业生的人数是初中毕业生的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高、初中毕业生共有 人。
11．如图，一个长方形的纸盒内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A 和B 的边长分别为4和7，那么长方形(纸盒)的面积是 。
12．甲、乙两地相距100千米，张先骑摩托车从甲出发，1小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。
摩托车开始速度是50千米／d,时，中途减速为40千米／小时。
汽车速度是80千米／小时。
汽车曾在途中停驶10分钟，那么张驾驶的摩托车减速时在他出发后的_________小时。
。
3．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是_________。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，…，⑩＝9×10×11，…如果，那么方框代表的数是________。
江苏数学竞赛试题及答案
江苏数学竞赛试题及答案【试题一】题目：求证：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。
【答案】证明：我们使用数学归纳法来证明这个等式。
1. 当\( n = 1 \)时，左边为\( 1^2 = 1 \)，右边为\( \frac{1\cdot 2 \cdot 3}{6} = 1 \)，等式成立。
2. 假设当\( n = k \)时等式成立，即\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} \)。
3. 当\( n = k + 1 \)时，我们需要证明\( 1^2 + 2^2 + 3^2 +\ldots + k^2 + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)。
4. 根据假设，将\( k \)的和代入，得到\( \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} + (k + 1)^2 \)。
5. 简化上述表达式，我们得到\( \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \)，这正是我们需要证明的等式。
6. 因此，根据数学归纳法，对于任意正整数\( n \)，等式成立。
【试题二】题目：已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求\( f(x) \)的极值。
【答案】解：首先求导得到\( f'(x) = 3x^2 - 6x \)。
令\( f'(x) = 0 \)，解得\( x = 0 \)或\( x = 2 \)。
1. 当\( x < 0 \)或\( x > 2 \)时，\( f'(x) > 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递增。
2. 当\( 0 < x < 2 \)时，\( f'(x) < 0 \)，函数\( f(x) \)在此区间单调递减。
江苏省数学竞赛试题及答案
江苏省数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -12. 如果一个数除以3的余数是2，那么这个数除以5的余数是多少？A. 2B. 3C. 4D. 53. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 240B. 180C. 120D. 1004. 下列哪个表达式等于 \( \frac{1}{2} \)？A. \( \frac{3}{6} \)B. \( \frac{2}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{3}{8} \)5. 一个数的75%是150，那么这个数是多少？B. 300C. 400D. 5006. 一个班级有40名学生，其中3/5是男生，那么这个班级有多少名女生？A. 8B. 12C. 16D. 207. 一个数的1/3加上它的1/4等于这个数的多少？A. 7/12B. 1/2C. 5/12D. 1/38. 下列哪个数是最小的正整数？A. 1B. 2C. 3D. 49. 一个正方形的面积是64平方厘米，它的周长是多少厘米？A. 32B. 48C. 64D. 1610. 一个数的3倍加上15等于这个数的5倍，这个数是多少？B. 10C. 15D. 20二、填空题（每题4分，共40分）11. 一个数的2倍减去8等于36，这个数是_________。
12. 一本书的价格是35元，打8折后的价格是_________元。
13. 一个长方形的长是15厘米，宽是长的2/3，那么宽是_________厘米。
14. 一个数的1/4加上它的1/2等于这个数的_________。
15. 一个数的倒数是1/5，这个数是_________。
16. 一个数的75%加上25等于这个数本身，这个数是_________。
17. 一本书的总页数是360页，小明第一天读了总页数的1/4，第二天读了总页数的1/6，小明两天共读了_________页。
江苏高中数学竞赛试题
江苏高中数学竞赛试题江苏高中数学竞赛是一项旨在选拔和培养具有数学天赋和潜力的高中生的竞赛活动。
以下是一份模拟的江苏高中数学竞赛试题，包含多种题型，以供参考：一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 有理数集QB. 整数集ZC. 无理数集D. 复数集C2. 如果函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，那么\( f(-1) \)的值是：A. 0B. 4C. 6D. 83. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值：A. 19B. 20C. 21D. 224. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系：A. 相切B. 相交C. 相离D. 无法确定5. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，判断三角形的形状：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形6. 函数\( y = \sin(x) + \cos(x) \)的值域是：A. \( (-1, 1) \)B. \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)C. \( (-2, 2) \)D. \( (-1, \sqrt{2}) \)二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \)，且\( \alpha \)在第一象限，求\( \sin(\alpha) \)的值。
8. 一个等比数列的前三项和为34，第二项是第一项的两倍，求这个等比数列的首项。
9. 将圆心在原点，半径为1的圆，沿x轴正方向平移3个单位，求平移后圆的方程。
10. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x \)，求导数\( f'(x) \)。
三、解答题（每题10分，共50分）11. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 8 \)。
12. 证明：对于任意实数\( x \)，\( e^x \geq x + 1 \)。
江苏省夏令营高中数学竞赛(练习题)
练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA =1．三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA=1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
2022江苏省数学高中竞赛试题及答案
2022江苏省数学高中竞赛试题及答案
1、2022江苏省数学高中竞赛试题：
（1）一元二次方程问题：设a＞0，b＞0，求方程ax2+bx+1=0的解
尽管方程的系数都是正数，但是有可能结果不存在，由于一元二次方
程式有两个解，我们可以将ax2+bx+1=0等式整理成bx2+(a+1)x+1=0，
接着利用判别式b2-4*(a+1)*1来求解。
当b2-4*(a+1)*1<0时，方程
ax2+bx+1=0无解；当b2=4*(a+1)*1时，方程ax2+bx+1=0有两个有界
实根；当b2-4*(a+1)*1>0时，方程ax2+bx+1=0有两个不同实根。
（2）函数图像折线图题：已知函数y=x2＋2x＋1的图像经过点A（2，5），B（4，11），C（6，17）。
求函数的表达式
sd每点坐标的横坐标都相差两个单位，而纵坐标的增加值为六个单位，这一个特点表明，函数的表达式是y=x^2+6x,即y=x^2+2x+1,表示函数
的图像是折线图。
2、2022江苏省数学高中竞赛试题答案：
（1）一元二次方程问题：当b2-4*(a+1)*1<0时，方程ax2+bx+1=0无解；当b2=4*(a+1)*1时，方程ax2+bx+1=0有两个有界实根；当b2-
4*(a+1)*1>0时，方程ax2+bx+1=0有两个不同实根，其解分别为x1=1-(a+1)/b，x2=1+(a+1)/b；
（2）函数图像折线图题：y=x^2+6x,即y=x^2+2x+1，表示函数的图像是折线图。
江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评数学试题
江苏省部分学校2025届新高三暑期效果联合测评数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,2,3,3,4A B ==，则A B ⋃=（ ） A ．{}3 B ．{}3,4 C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,42．若复数21i 2i z =-+，则z =（ ） A ．2B ．3CD3．若cos 21π2cos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则cos sin αα+=（ ）ABC ．14D ．124．设0.1e a -=，2πtan 5b =，0.3log πc =，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．在等差数列{}n a 中，3S 3=，6S 10=，9S =（ ） A ．13B ．17C ．21D ．236．已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A ．()f x 有三个极值点B ．()f x 有三个零点C ．点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D ．直线2y x =是曲线()y f x =的切线7．若()*12nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭N 的展开式中二项式系数和为64，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．已知正三棱锥-P ABC-P ABC 的侧棱与底面所成角的正弦值为（ ） A ．13BCD二、多选题9．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为线段1BD 上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（ ）A ．存在点M ，使得直线AM 与直线1BC 所成的角为30o B ．存在点M ，使得直线AM 与直线1B C 所成的角为60o C ．存在点M ，使得三棱锥11D C DM -的体积为19D ．存在点M ，使得1C M ⊥平面1A DB10．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()4g x f x =+，()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-，()31g -=，则下列说法正确的有（ ）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 的周期为4D ．20261()3k f k ==-∑11．已知圆22:4O x y +=，则（ ）A ．圆O 与直线10mx y m +--=必有两个交点B ．圆O 上存在4个点到直线:0l x y -=的距离都等于1C ．圆O 与圆22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．动点P 在直线40x y +-=上，过点P 向圆O 引两条切线，A B ､为切点，则四边形PAOB面积最小值为2三、填空题12．某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在4道四选一的单选题中，有3道有思路，有1道完全没有思路，有思路的题每道做对的概率均为23，没有思路的题只好任意猜一个答案．若从这4道题中任选2题作答，则该同学2道题都做对的概率为．13．在ABC V 中，AB AC =，点D 在线段BC 上，AB AD ⊥，3BD =，1CD =，点M 是ABCV 外接圆上任意一点，则AB AM ⋅u u u r u u u u r最大值为.14．O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左焦点为1F ，点P 在E 上，直线1PF 与直线0bx ay +=相交于点M ，若12PM MF MO ==，则E 的离心率为．四、解答题15．已知正项数列{}n a 中，113a =，且()22*11320n n n n a a a a n +++-=∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)()*1111n n n n n n n a a b n a a a a +++-=∈+++N ，证明：1214n b b b ++⋅⋅⋅+<.16．已知函数()2ln f x x ax ax =-+.(1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. (2)若函数()()g x f x ax =-有两个零点，求实数a 的取值范围.17．如图，已知四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面11AA D D ⊥平面ABCD，11A A D D =，点P 是棱1DD 的中点，点Q 在棱BC 上．(1)若3BQ QC =u u u r u u u r，证明：//PQ 平面11ABB A ；(2)若二面角P QD A --的正切值为5，求BQ 的长．18．为了研究美国人用餐消费与小费支出的关系，随机抽取了7位用餐顾客进行调查，得样本数据如下：相关公式：()()()1122211nniii i i i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$．参考数据：3254065078696381009133124524⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，2222222324050866310013344178++++++=．(1)求小费y （单位：美元）关于消费x （单位：美元）的线性回归方程y bx a =+$$$（其中b$的值精确到0.001）；(2)试用（1）中的回归方程估计当消费200美元时，要付多少美元的小费（结果精确到整数）？ 19．已知抛物线O ：2x y =，圆C ：()2221x y +-=，O 为坐标原点.(1)若直线l ：()0y kx m k =+≠分别与抛物线O 相交于点A ，B （A 在B 的左侧）、与圆C 相交于点S ，T （S 在T 的左侧），且OAT !与OBS V 的面积相等，求出m 的取值范围； (2)已知1A ，2A ，3A 是抛物线O 上的三个点，且任意两点连线斜率都存在.其中12A A ，13A A 均与圆C 相切，请判断此时圆心C 到直线23A A 的距离是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由.。
江苏省高中数学竞赛试卷含答案
江苏省高中数学竞赛试卷一、选择题（本题满分30分，每小题6分）1．如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny 的最大值为 （ ）A ．2b a +B ．abC ．222b a +D ．222b a +2．设)(x f y =为指数函数x a y =．在P （1,1），Q （1,2），M （2,3），⎪⎭⎫ ⎝⎛41,21N 四点中，函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是 （ ） A ．P B ．Q C ．M D ．N3．在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比 数列，那么z y x ++的值为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是 222C B A ∆的三个内角的正弦值，那么 （ ） A ．111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形B ．111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形 C ．111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形D ．111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形5．设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β（ ）A ．不存在B ．有且只有一对C ．有且只有两对D ．有无数对 二、填空题（本题满分50分，每小题10分）6．设集合[]{}{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B =___________________.7．同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________（结果要求写成既约分数）. 8．已知点O 在ABC ∆内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ∆∆与的面积之比为_________________.9．与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为________________________.10．在ABC ∆中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 222c b a +=______________.三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分）1 20.5 1 xyz11．已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.12．A 、B 为双曲线19422=-y x 上的两个动点，满足0=⋅OB OA 。
江苏省南通市如皋中学2024届高三创新实验班夏令营数学试题(含解析)
2024届江苏省如皋中学高三创新实验班夏令营试题数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知集合{}21x A x =>，{}2log 0B x x =<，则AC B =A.()0,1 B.(]0,1 C.()1,+∞ D.[)1,+∞2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则12z z 的共轭复数为（）A.1i +B.1i -+C.1i-- D.1i-3.向量()()1,2,1,0a b ==-，则b 在a上的投影向量是（）A .55-B.C.1255⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D.1255⎛⎫ ⎪⎝⎭，4.声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110xf x -=⨯．火箭发射时，声音的等级约为160dB ；一般噪音时，声音的等级约为90dB ，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（）A.510倍B.610倍C.710倍D.810倍5.已知F 为双曲线22:145x y C -=的左焦点，P 为其右支上一点，点()0,6A -，则APF 周长的最小值为（）A.4+B.4+C.6+D.6+6.已知()00,P x y 是:40l x y -+=上一点，过点P 作圆22:5O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 与l 平行时，AB =（）A.B.2C.2D.47.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知sin sin 12αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则()cos αβ-=A. B.12-C.12D.32二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A .对于圆O ，其“太极函数”有1个B.函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C.函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D.函数())lnf x x =+是圆O 的一个“太极函数”11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（）A.()00f = B.()y f x =是奇函数C.()f x 在[],m n 上有最大值()f n D.()10f x ->的解集为(),1∞-12.已知异面直线a 与直线b 所成角为60 ，平面α与平面β的夹角为80 ，直线a 与平面α所成的角为15 ，点P 为平面αβ、外一定点，则下列结论正确的是（）A.过点P 且与直线a b 、所成角均为30 的直线有3条B.过点P 且与平面αβ、所成角都是30 的直线有4条C.过点P 作与平面α成55 角的直线，可以作无数条D.过点P 作与平面α成55 角，且与直线a 成60 的直线，可以作3条三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有___________种.14.已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________.15.已知函数5π()sin cos(),(0)6f x x x ωωω=++>在[0,π]上的值域为[,1]2-，则ω的取值范围为_________.16.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），且2FB AF =，则椭圆的离心率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()ln ()R f x x a x a =-∈（1）求()f x 的极值；（2）若()1f x ≥，求a 的值，并证明：()2.x f x x e >-18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c B c C a A ++=．（1）求角A ；（2）求22sin sin B C +的最小值．19.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC上任意一点．（1）求证：AM BD ⊥；（2）若M 是棱1CC 的中点，求异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．20.已知数列{}n a 中，11a =，()12N 2nn na a n a ++=∈+.（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.21.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为23；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12.（1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；（2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P .假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.22.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT 面积为1S ，QBT △面积为2S ，求证：12S S 为定值.2024届江苏省如皋中学高三创新实验班夏令营试题数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}21x A x =>，{}2log 0B x x =<，则A CB =A.()0,1 B.(]0,1 C.()1,+∞ D.[)1,+∞【答案】D 【解析】【分析】通过解指数和对数不等式求得集合A,B ，再利用补集的定义直接求解即可.【详解】{}{}{}{}2210log 001x A x x x B x x x x =>=>=<=<<，，则{}1A C Bx x =≥故选D.【点睛】本题主要考查了指数与对数不等式的求解及集合补集的运算，属于基础题.2.已知复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，则12z z 的共轭复数为（）A.1i+ B.1i-+ C.1i-- D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据题意11z i =-，2z i =，121z z i z ==--，再计算共轭复数得到答案.【详解】复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为()1,1-，()0,1，故11zi =-，2z i =，()122111i i z i z i z i i ---====---，故1z i =-+.故选：B .【点睛】本题考查了复数的除法，共轭复数，复数对应的点，意在考查学生对于复数知识的综合应用.3.向量()()1,2,1,0a b ==-，则b 在a上的投影向量是（）A.5-B.5C.1255⎛⎫-- ⎪⎝⎭， D.1255⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】C 【解析】【分析】利用投影向量的定义求解.【详解】解：因为向量()()1,2,1,0a b ==-，所以b 在a 上的投影向量是212，5155a b a a a⎛⎫⋅⋅=--- ⎪=⎝⎭,故选：C 4.声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110xf x -=⨯．火箭发射时，声音的等级约为160dB ；一般噪音时，声音的等级约为90dB ，那么火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的（）A.510倍B.610倍C.710倍D.810倍【答案】C 【解析】【分析】根据声音的等级()f x （单位：Db ）与声音强度x （单位：2W /m ）满足()1210lg110x f x -=⨯．分别求得火箭发射时和一般噪音时的声音强度求解.【详解】解：因为火箭发射时，声音的等级约为160dB ，所以11210lg160110x -=⨯，解得4110x =；因为一般噪音时，声音的等级约为90dB ，所以21210lg 90110x -=⨯，解得3210x -=，；所以火箭发射时的声音强度约为一般噪音时声音强度的71210x x =倍，故选：C 5.已知F 为双曲线22:145x y C -=的左焦点，P 为其右支上一点，点()0,6A -，则APF 周长的最小值为（）A.4+ B.4+ C.6+ D.6+【答案】B 【解析】【分析】设双曲线的右焦点为M ，由双曲线方程可求出a ，b ，c 的值，利用双曲线的定义以及三点共线即可求出APF 的周长的最小值．【详解】设双曲线的右焦点为M ，由双曲线的方程可得：224,5ab ==，则2,3a bc ===，所以(3,0),(3,0)F M -，且||||24PF PM a -==，所以||||4PF PM =+，APF 的周长为||||||||||4|PA PF AF PA PM AF ++=+++∣444PA PM AM =++++++，当且仅当M ，P ，A 三点共线时取等号，则APF 周长的最小值为4+B ．6.已知()00,P x y 是:40l x y -+=上一点，过点P 作圆22:5O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当直线AB 与l 平行时，AB =（）A.B.2C.302D.4【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.【详解】连接,,OA OB OP ，由,PA PB 切圆O 于,A B 知，,,OA PA OB PB OP AB ⊥⊥⊥，因为直线AB 与l 平行，则OP l ⊥，||OP =，而圆O于是||PA ==，由四边形OAPB 面积2OPA S S = ，得11||||2||||22AB OP OA AP =⨯，所以2||||||||2OA AP AB OP ===.故选：C7.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 解析】【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q>”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C8.已知sin sin 12αβ-=-，1cos cos 2αβ-=，则()cos αβ-=A.B.12-C.12D.2【答案】D 【解析】【详解】由已知可得22227sin sin -2sin sin 4{2sin sin +2cos cos 1cos cos 2cos cos 4αβαβαβαβαβαβ+=-⇒=+-=()cos -=2αβ⇒，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A.样本12,,,n x x x 的标准差B.样本12,,,n x x x 的中位数C.样本12,,,n x x x 的极差D.样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC 【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.10.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O 的圆心在原点，若函数的图像将圆O 的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O 的一个“太极函数”，则（）A.对于圆O ，其“太极函数”有1个B.函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩是圆O 的一个“太极函数”C.函数()33f x x x =-不是圆O 的“太极函数”D.函数())lnf x x=是圆O 的一个“太极函数”【答案】BD 【解析】【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案.【详解】解：对于A 选项，圆O ，其“太极函数”不止1个，故错误；对于B 选项，由于函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，当0x ≥时，()()2f x x x f x -=-+=-，当0x <时，()()2f x x x f x +-==-，故()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为奇函数，故根据对称性可知函数()()()2200x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩为圆O 的一个“太极函数”，故正确；对于C 选项，函数定义域为R ，()()33f x x x f x -=-+=-，也是奇函数，故为圆O 的一个“太极函数”，故错误；对于D 选项，函数定义域为R ，()))()lnln ln x x f x f x ⎛⎫=-==-=--，故为奇函数，故函数())lnf x x=+是圆O 的一个“太极函数”，故正确.故选：BD11.定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，则()f x 满足（）A.()00f = B.()y f x =是奇函数C.()f x 在[],m n 上有最大值()f n D.()10f x ->的解集为(),1∞-【答案】ABD 【解析】【分析】利用赋值法可判断A 选项的正误；利用函数奇偶性的定义可判断B 选项的正误；利用函数单调性的定义可判断C 选项的正误；利用函数()f x 的单调性解不等式()10f x ->，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，令0x y ==，可得()()020f f =，解得()00f =，A 对；对于B 选项，函数()y f x =的定义域为R ，令y x =-，可得()()()00f x f x f +-==，则()()f x f x -=-，故函数()y f x =是奇函数，B 对；对于C 选项，任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()120f x x ->，即()()()()()1212120f x x f x f x f x f x -=+-=->，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，所以，()f x 在[],m n 上有最大值()f m ，C 错；对于D 选项，由于()f x 为R 上的减函数，由()()100f x f ->=，可得10x -<，解得1x <，D 对.故选：ABD.12.已知异面直线a 与直线b 所成角为60 ，平面α与平面β的夹角为80 ，直线a 与平面α所成的角为15 ，点P 为平面αβ、外一定点，则下列结论正确的是（）A.过点P 且与直线a b 、所成角均为30 的直线有3条B.过点P 且与平面αβ、所成角都是30 的直线有4条C.过点P 作与平面α成55 角的直线，可以作无数条D.过点P 作与平面α成55 角，且与直线a 成60 的直线，可以作3条【答案】BC 【解析】【分析】利用异面直线所成角的定义判断A ；利用线面角的意义判断B ；利用圆锥母线与底面所成角的意义判断BD 作答.【详解】因为异面直线a 与直线b 所成角为60 ，显然过点P 分别与直线,a b 平行的直线,a b ''的夹角为60 ，在直线,a b ''确定的平面内过点P 与,a b ''都成30 角的直线只有1条，所以过点P 与直线,a b 所成角均为30 的直线只有1条，A 错误；因为平面α与平面β的夹角为80，则过点P 与平面,αβ所成角都是80402=和18080502-= 的直线各有一条,m n ，若过点P 与平面,αβ所成角都是30 ，则在直线m 的两侧各有一条，在直线n 的两侧各有一条，因此共224⨯=条，B 正确；以P 为顶点，母线与底面成55 角的圆锥底面所在平面为α，满足点P 在α外，且过点P 的直线与平面α成55 角，如图，圆锥每条母线与平面α都成55 角，因此可以作无数条，C 正确；过点P 作//PZ a ，交平面α于点Z ，过点Z 及圆锥底面圆心O 的直线与圆锥底面圆交于点12,Q Q ，显然121270,40,110Q PQ ZPQ ZPQ ∠=∠=∠= ，设Q 为圆锥底面圆周上任意一点，于是40110ZPQ ≤∠≤，因此圆锥母线中与直线PZ 成60 的直线有2条，即与直线a 成60 的直线有2条，D 错误.故选：BC【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：（1）异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所成角；（2）线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段所成角即为线面角；（3）面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面角.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，，恰有1个空盒子，则放法有___________种.【答案】40【解析】【分析】放置方法：6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3），第一步选空盒子，然后把放入三个盒子．【详解】第一步选空盒子，第二步6个球放入3个盒子，按球的个数分成三种情况：（1，2，3），（2，2，2），（1，1，3）进行放置，方法数为：131433C (A 1C )40++=．故答案为：40．14.已知棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则棱台的体积为________.【答案】28【解析】【分析】直接利用棱台的体积公式，求出棱台的体积．【详解】11()(416)32833VS S h '=++=⨯+⨯=故答案为：28．【点睛】本题考查棱台的体积，考查计算能力，是基础题．15.已知函数5π()sin cos(),(0)6f x x x ωωω=++>在[0,π]上的值域为[,1]2-，则ω的取值范围为_________.【答案】55[,]63【解析】【分析】根据给定条件，化简函数()f x ，再利用正弦函数性质结合已知值域，列式求解作答.【详解】依题意，1π()sin cos sin()223f x x x x ωωω=-=-，由[0,π],0x ω∈>，得ππππ333x ωω-≤-≤-，函数sin y x =在ππ[,32-上单调递增，函数值集合为[,1]2-，在π4π[,]23上单调递减，函数值集合为[,1]2-，因为函数()f x 在[0,π]上的值域为[,1]2-，则有ππ4ππ233ω≤-≤，解得5563ω≤≤，所以ω的取值范围为55[,63.故答案为：55[,]6316.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆交于A ，B 两点（点B 在x 轴上方），且2FB AF = ，则椭圆的离心率为___________.【答案】23【解析】【分析】利用椭圆焦点坐标，求解直线方程，利用且112F B AF =转化求解椭圆的离心率即可．【详解】解：设(),0,0Fc c ->，由题意知，l 的斜率为tan 451︒=，则直线方程为y x c =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线和椭圆的方程得22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22222222()20a b y cb y c b a b +-+-=，则212222cb y y a b +=+，22221222c b a b y y a b -=+，且112F B AF = ，可得212y y =-，则21222cb y a b -=+，222221222c b a b y a b --=+，所以222222222222()cb c b a b a b a b --=++，可得2292c a =，所以3c e a==故答案为：23．【点睛】关键点睛:本题的关键是由向量的关系得两点的纵坐标的关系，结合韦达定理进行求解．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()ln ()R f x x a x a =-∈（1）求()f x 的极值；（2）若()1f x ≥，求a 的值，并证明：()2.x f x x e >-【答案】（1）当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值；（2）1，证明见解析.【解析】【分析】(1)先求导函数,再对参数进行分类讨论,即可求出极值.(2)由(1)得,()ln 1f x x x =-≥,即ln 1x x ≤-，故要证()2x f x x e >-，只要证21xx e -<，构造函数，求导即可求解.【详解】解：（1）()1(0)a x af x x x x-∴=-=>'①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增.()f x ∴在()0,∞+上无极值.②当0a >时，令()0f x '>得x a >；令()0f x '<得0x a <<.()f x ∴在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.()f x ∴的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.综上，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 的极小值为()ln f a a a a =-，无极大值.（2）由（1）可知，①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，而(1)1f =，∴当(0,1)x ∈时，()1f x <，即()1f x ≥不恒成立.②当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增.min ()()ln 1.f x f a a a a ∴==-≥令()ln (0)g a a a a a =->，则()1(ln 1)ln .g a a a '=-+=-当(0,1)a ∈时，()0g a '>，()g a 在(0,1)上单调递增；当(1,)∈+∞a 时，()0g a '<，()g a 在(1,)+∞上单调递减.()(1) 1.g a g ∴≤=1.a ∴=设()()2ln (0)x x h x f x x e x x e x =-+=--+>，下面证明()0.h x > 当1a =时，()ln 1f x x x =-≥，即ln 1.x x ≤-ln 21,x x x ∴+≤-∴只要证21(*).x x e -<令()21,0x q x e x x =-+>，则'() 2.x q x e =-∴当(0,ln 2)x ∈时，'()0q x <，()q x 在(0,ln 2)上单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，'()0q x >，()q x 在(ln 2,)+∞上单调递增.3()(ln 2)3ln 4ln ln 40.q x q e ∴≥=-=->(*)∴式成立，即()2x f x x e >-成立.18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin b c B c C a A ++=．（1）求角A ；（2）求22sin sin B C+的最小值．【答案】（1）2π3A =；（2）12.【解析】【分析】（1）根据()sin sin sin b c B c C a A ++=，利用正弦定理得到222b c a bc +-=-，再利用余弦定理求解；（2）根据π3B C+=，利用三角恒等变换，将问题转化为221πsin sin 1sin 226B C B ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解.【详解】（1）因为()sin sin sin b c B c C a A ++=，由正弦定理得()22b c b c a ++=，即222b c a bc +-=-，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，因为()0,πA ∈，所以2π3A =．（2）因为π3B C +=，所以2221cos π21cos 23sin sin 32π2B B B B ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭+-⎛⎫ ⎝+⎪⎭=111π1cos2sin21sin 222226B B B ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π52,666Bππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则π1sin 2(,1]62B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1π11sin 2262B ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当π6B =时等号成立，所以22sin sin B C +的最小值为12．19.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，M 是棱1CC 上任意一点．（1）求证：AM BD ⊥；（2）若M 是棱1CC 的中点，求异面直线AM 与BC 所成角的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【小问1详解】证明：以A 为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，因为1222AA AB BC ===，所以()()()()0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,1,A B D M m ，02m ≤≤，()()1,1,,1,1,0AM m BD ==-，()()1,1,1,1,0110AM BD m ⋅=⋅-=-+=，所以AM BD ⊥；【小问2详解】M 是棱1CC 的中点，故()()1,1,0,1,1,1C M ，则()()1,1,1,0,1,0AM BC ==，设异面直线AM 与BC 所成角的大小为θ，则cos cos ,3AM BC AM BC AM BCθ⋅====⋅，故异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为3.20.已知数列{}n a 中，11a =，()12N 2nn na a n a ++=∈+.（1）求234,,a a a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.【答案】（1）234212,,325aa a ===，21n a n =+；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，分别令1,2,3n=，即可求解234,,a a a 的值，猜想得出数列的通项公式.（2）将给定的递推公式两边取倒数，再利用等差数列的定义推理作答.【小问1详解】在数列{}n a 中，11a =，122nn na a a +=+，令1n=，得1212222213a a a ===++；令2n =，得2322122a a a ==+；令3n =，得3432225a a a ==+；所以234212,,325aa a ===，猜想数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.【小问2详解】由12()N 2n n na a n a ++=∈+，11a =，得0n a ≠，1211122n n n n a a a a ++==+，即11112n n a a +-=，所以数列1{}n a 是以111a =为首项，12为公差的是等差数列.21.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为23；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为12.（1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；（2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P.假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.【答案】（1）1027（2）1514331556P =-⨯，甲队开球的概率大于乙队开球的概率．【解析】【分析】（1）甲队在前3个回合中恰好获得2分，分为3种情况，依次求出对应的概率，即可求解；（2）根据已知条件，结合等比数列的性质，以及全概率公式，即可求解．【小问1详解】在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：胜胜负，胜负胜，负胜胜，共3种情况，对应的概率分别为1221433327P =⨯⨯=，221113329P =⨯⨯=，311213239P =⨯⨯=，所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率41110279927P =++=；【小问2详解】根据全概率公式得12111(1)3262i i i i P P P P +=+-=+，即1313565i i P P +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，易知10P =，所以35i P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以35-为首项，16为公比的等比数列，所以1331556i i P -=-⨯，故1514331556P =-⨯，因为14151414113166021056106P --=-⨯=>⨯，所以1512P >，而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．【点睛】方法点睛：甲队在第i 个回合拥有发球权的概率为i P，由全概率公式得12111(1)3262i i i i P P P P +=+-=+，问题转化为数列的递推公式，通过构造等比数列，求出通项.22.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的虚轴长为4，直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左､右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点()2,0T ，交双曲线C 于点M ，N (点M 在第一象限)，直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记PAT 面积为1S ，QBT △面积为2S ，求证：12S S 为定值.【答案】（1）2214y x -=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据渐近线方程以及虚轴长度可知,a b ，然后可知方程（2）假设直线方程2x ny =+，并与双曲线方程联立，可得关于y 的二次方程，紧接着使用韦达定理，分别求得,P Q 坐标并表示出12S S ，简单计算即可.【详解】解：（1）由题意可得，因为一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，解得1a =，则双曲线的方程为2214y x -=；（2）证明：可得()1,0A -，()10B ,，设直线l ：2x ny =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立22142y x x ny ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得()224116120n y ny -++=，可得1221641n y y n +=--，1221241y y n =-，即有()121234nyy y y =-+，设直线MA ：11(1)1y y x x =++，可得110,1y P x ⎛⎫⎪+⎝⎭，设直线NB：22(1)1y y x x =--，可得220,1y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭，又3AT =，1BT =，所以()()1121122122311331y y ny x S S y ny y x ++==+-()()12112112212234333334y y y ny y y ny y y y y y -+++==+-++12123339y y y y -=-+1=.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线的一般方法（1）假设直线方程；（2）联立方程：（3）使用韦达定理；（4）根据条件计算.。
2019年江苏省中学生数学夏令营测试试题及参考答案
2019年江苏省中学生数学夏令营测试卷考试时间：2019年7月20日8:30至11:00一．填空题：本答题共8小题，每小题5分，共40分．1．2．若虚数满足，则．3．设为坐标原点，点为直线上一动点，过点作直线的垂线，与以为直径的相交于两点．若线段长为，的方程为．4．设，．若面积的最大值为．5．设非零实数满足，则的最小值为．6．，是线段，，当取到最大值时，．7的最小值为．8．一个圆桌有十二个座位，编号为1至12．现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有种．【答案】1．；2．；3．；4．；5．；6；7．；8．．二．解答题：本答题共4小题，每小题20分，共80分． 9．设数列（）满足：②．试比较的大小．【析】由①得2b n =a n+1−a n ，代入②×2得a n+2−a n+1=2a n +a n+1−a n ，即：a n+2=2a n+1+a n ，且a 1=1,a 2=3． 另一方面由②得到a n =b n+1−b n ，代入①得b n+2−b n+1=b n+1−b n +2b n ，即：b n+2=2b n+1+b n ，且b 1=1,b 2=2．令α=1+√2,β=1−√2，注意到α+β=2,α−β=2√2,αβ=−1， 于是a n =αn +βn α+β，b n =αn −βn α−β．进而可以得到a n2−2b n 2=(αβ)n =(−1)n ． 根据上述{a n },{b n }的递推关系及初始条件，我们知道{a n },{b n }均为递增的正整数数列，且|a n+12−2b n+12|=|a n2−2b n 2|， ③ <，④ 1b n+1<1b n．⑤把上述③④⑤式相乘得|a n+1b n+1−√2|<|a n b n −√2|． 取，整理即得．。
高中数学竞赛复赛试题
2023年陈省身全国高中数学夏令营（陈杯赛）试题 第一天(2023年7月23日18:00-21:00)(每题50分，共200分)1.设数列x 1=21，x n+1=x n —x n 3，n=1,2，...试求正整数m 使得11 m <x 2023≤m 1.2.已知⊙O 为定圆，A,B,C 为⊙O 上的三个动点，使得△ABC 为锐角三角形，且AB< AC ，AD 为△ABC 的一条高线，I 为△A BC 的内心，过点I 作△ADI 的外接圆的切线，与直线AD 交于点P.设AA'为⊙O 的直径,过点A'作直线AA'的垂线与直线AB 交于点E,过点P 作直线A'P 的垂线与直线AB 交于点H ，过点E 作直线A'H 的垂线与直线A'B 交于点F.证明:(1) AP 为定长:(2) A'P 平分线段EF.3.给定点集M={(x,y)|x,y ∈[1,2023]∩Z}，如果线段AB 的两个端点都在M 中，|AB|=13，且直线AB 的斜率不为23，则称AB 为“好线段”.证明:对于M 中任意不同两点P 、Q,存在正整数n 和M 中的一列点A 0,A 1，……，A n+1，使得A 0=P,A n+1=Q ，且A i A i+1都是“好线段”(0≤i ≤n).4.若集合X ∈{1,2,……，n}满足:在X 的任意五元子集A 中都可以找到两个元素a,b(a<b)使得a|b.记|x|的最大可能值为f(n)(这里|X|表示集合X 中的元素个数)，求f(2023)+ f(3000)+ f(10000).2023年陈省身全国高中数学夏令营第二天(2023年7月24日18:00-21:00)(每题50分，共200分)5.已知锐角三角形△ABC 满足AB>AC ，M 为边BC 的中点，△ABC 的内心为I ，∠A 内的旁切圆⊙I 1与边BC 切于点D, DD 1为⊙I 1的直径，直线AM 与DD 1交于点K ，若∠ABC=β,∠BCA=γ，试证明: (1)1MI MI =1AD AD >tan 2βtan 2γ; (2)KD K I 1=21(cot 2βcot 2γ—1).6.已知多项式f(x)=x 7 +a 6x 6 +……+a 1x+a 0有7个互不相同的实根，求系数a 0,a 1,……，a 6中的零的个数的最大可能值.7.已知集合{1,2,……,n 的子集A 1,A 2,……,A m 满足|A i |=r i ≤2n ，且当i ≠j 时，有A i ⊄A j , A i ∩A j ≠Ø.试证明: ∑=--mi r n i C 1111≤1.8.设m ≥2为正整数，用白色或黑色将1,2,……,m 染色，对于任意的正整数i,j (这里1≤i< j ≤m),若{x ∈N +|i ≤x ≤j}中被染为黑色的个数为奇数，则称数对(i, j)是“好的”，求“好的”数对个数的最大可能值f(m).。
江苏省南京市第一中学2025届高三暑期阶段性测试数学试卷
江苏省南京市第一中学2025届高三暑期阶段性测试数学试卷一、单选题1．若集合C A B =U 且A B =∅I ，则称,A B 构成C 的一个二次划分.任意给定一个正整数2n ≥，可以给出整数集Z 的一个n 次划分[[0],1],,[1]n n n n -L ，其中()[]01n i i n ≤≤-表示除以n 余数为i 的所有整数构成的集合.这样我们得到集合[[{}/0],1],,[1]n n n Z nZ n =-L ，称作模n的剩余类集.模n 的剩余类集可定义加减乘三种运算，如[2][1][2(1)][1],[0][2][0(2)][2],[][][][]n n n n n n n n n n n n n n n n k l k l j +-=+-=--=--=⨯=⨯=，（其中j 为k l ⨯除以n 的余数）.根据实数中除法运算可以根据倒数的概念转化为乘法，因此要定义除法运算只需通过[1]n 定义倒数就可以了，但不是所有/Z nZ 中都可以定义除法运算.如果该集合还能定义除法运算，则称它能构成素域.那么下面说法错误的是（ ） A ．/Z nZ 能构成素域当且仅当n 是素数 B ．[][]55534[2]÷= C ．/2Z Z 是最小的素域（元素个数最少） D ．[][]77726[3]÷=2．“ππ()4k k α=+∈Z ”是1=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知复数z满足112z =，则232020,,,,z z z z L 中不同的数有（ ） A ．4个B ．6个C ．2019个D ．以上答案都不正确4．若单位向量,a b r r 满足,120a b 〈〉=︒r r ，向量c r满足()()a b c c -⊥-r r r r ，则m ax ||a b c c ⋅+⋅=r r r r （ ）.ABCD5．17到19世纪间，数学家们研究了用连分式求解代数方程的根，并得到连分式的一个重要功能：用其逼近实数求近似值．例如，把方程210x x --=改写成11x x=+①，将x 再代入等式右边得到1111x x=++，继续利用①式将x 再代入等式右边得到111111x x=+++……反复进行，取1x =时，由此得到数列1，111+，11111++，1111111+++，L ，记作{}n a ，则当n 足够大时，n a．数列{}n a 的前2024项中，满足0.005n a <的n a 的个数1.618≈） A ．1007B ．1009C ．2014D ．20186．如图，已知正三棱台111ABC A B C -的上、下底面边长分别为4和6，侧棱长为2，点P 在侧面11BCC B 内运动（包含边界），且AP 与平面11BCC B，则所有满足条件的动点P 形成的轨迹长度为（ ）A ．4π3BCD ．2π37．某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为1p ，2p ，且满足1243p p +=，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若()16E X =，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为（ ） A ．27B ．24C ．32D ．288．已知函数()sin ln f x x x =+，将()f x 的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列{}n x ，对于n +∀∈N，则下列说法中正确的是（ ）A ．()π1πn n x n <<+B ．1πn n x x +-<C ．数列()21π2n n x ⎧⎫-⎪⎪-⎨⎬⎪⎪⎩⎭是递增数列D ．()()241π1ln2n n f x -<-+二、多选题9．如图所示，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，ABF △和DCE △均是等边三角形，且AB =(0)EF x x =>，则（ ）A ．//EF 平面ABCDB ．二面角A EF B --随着x 的减小而减小C ．当2BC =时，五面体ABCDEF 的体积(x)V 最大值为272D ．当32BC =时，存在xABCDEF 10．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>，双曲线2222222:1x y C a b -=（20a >，20b >），椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点，离心率分别为1e ，2e ，椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点为P 且12π3F PF ∠=，则（ ） A．若1e =2e B ．2212e e +的最小值为1C ．12F PF V 的内心为I ，I 到y 轴的距离为2aD ．12F PF V 的内心为I ，过右焦点2F 做直线PI 的垂线，垂足为D ，点D 的轨迹为圆 11．已知函数()f x 定义域为R ，满足()()122f x f x +=，当1<1x ≤-时，()f x x =.若函数()y f x =的图象与函数()()121202320232xg x x +⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），则（ ）A ．()g x 是偶函数B．2024n =C ．10ni i x ==∑D ．10121011122ni i y -==-∑三、填空题12．221x y axy x y +-++=是双曲线，则a 的范围为．13．若数列{}n a 满足对任意n *∈N ，数列{}n a 的前2n 项至少有n 项大于n ，且0n a ≥，则称数列{}n a 具有性质2M ．若存在具有性质2M 的数列{}n a ，使得其前n 项和n S n λ≤恒成立，则整数．．λ的最小值是．14．黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数1111()123s s s sn n n ξ∞-===+++∑L ，我们经常从无穷级数的部分和1111123ss s s n++++L 入手.请你回答以下问题 （1）2222111112310⎡⎤++++=⎢⎥⎣⎦L ；（其中[]x 表示不超过x 的最大整数，][3.54,22⎡⎤-==⎣⎦.） （2）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则122023111S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦L .四、解答题15．已知函数 ()1e 1.xf x a x -=--(1)讨论 f x 的单调性.(2)证明:当a ≥1时, ()22ln .1a f x x x a -+-≥+ (3)证明:()11eln 1.nii n n =>++∑16．有n 个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k 类，这k 类元素中每类分别中12,,,k r r r L 个，12k r r r n +++≤L ，将这n 个元素全部取出的排列叫做n 个不尽相异元素的全排列． (1)求上述n 个不尽相异的元素的全排列数．(2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”17．如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E 是线段AB上的一点，BE CD CE ==2BC =，将ADE V 沿DE 翻折到PDE △的位置.(1)如图2，若二面角P ED B --为直二面角，M ，N 分别是BC ，PE 的中点，若直线MN 与平面PBC 所成角为θ，sin θ，求平面PBC 与平面PEC 所成锐二面角的余弦值的取值范围；(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点K 为线段CE 的中点，G ，H 分别在线段PK ，CD 上（不包含端点），且GH 为PK ，CD 的公垂线，如图3所示，记四面体CKGH 的内切球半径为r ，证明：1112r KG CH⎛⎫>+⎪⎝⎭. 18．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN P ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ V 的周长均为定值； ②当m n >时，记ABQ V 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．19．对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m （旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．例如，正三角形R 在1m （绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1图2所示），所以1m 是R 的一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记1123312m ⎛⎫= ⎪⎝⎭；又如，R 在1l （关于对称轴1r 所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1图3所示），所以1l 也是R 的一个对称变换，类似地，记1123132l ⎛⎫= ⎪⎝⎭．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S ．一个非空集合G 对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足：I ．,a b G ∀∈，a b G ∈o ；II ．,,a b c G ∀∈，()()a b c a b c =o o o o ； Ⅲ．e G ∃∈，a G ∀∈，a e e a a ==o o ； Ⅳ．a G ∀∈，1a G -∃∈，11a a a a e --==o o ．对于一个群G ，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的1a -为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算o 来说作成一个群．(1)直接写出集合S （用符号语言表示S 中的元素）； (2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如1123132213231312321312321132123231213m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：123123123123123123*a a a b b b a a a b b b c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，{}{}{}{}123123123,,,,,,1,2,3a a a b b b c c c ===．①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；②已知H 是群G 的一个子群，e ，e '分别是G ，H 的单位元，a H ∈，1a -，a '分别是a 在群G ，群H 中的逆元．猜想e ，e '之间的关系以及1a -，a '之间的关系，并给出证明； ③写出群S 的所有子群．。
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练习题1.在ABC ∆中，∠C =90°，AD 和BE 是它的两条内角平分线，设L 、M 、N 分别为AD 、AB 、BE 的中点，X =LM ∩BE ，Y =MN ∩AD ，Z =NL ∩DE ．求证：X 、Y 、Z 三点共线．(2000年江苏省数学冬令营)证明：作ΔABC 的外接圆，则M 为圆心． ∵ MN ∥AE ， ∴ MN ⊥BC ．∵ AD 平分∠A ，∴ 点Y 在⊙M 上，同理点X 也在⊙M 上．∴ MX =MY ．记NE ∩AD =F ，由于直线DEZ 与ΔLNF 的三边相交，直线AEC 与ΔBDF 三边相交，直线BFE 与ΔADC 三边相交，由梅氏定理，可得：LZ ZN ·NE EF ·FD DL =1．⇒NZ ZL =NE EF ·FD DL =BE EF ·FD DA ；FE EB ·BC CD ·DA AF =1，AF FD ·DB BC ·CEEA =1．三式相乘得NZ ZL =BD DC ·CE AE =AB AC ·BC AB =BCAC ． 另一方面，连结BY 、AX ，并记MY ∩BC =G ，AC ∩MX =H ， 于是有∠NBY =∠LAX ，∠MYA =∠MAY =∠LAC ， ∴∠BYN =∠ALX ． ∴ ΔBYN ∽ΔALX ．∴ LX NY =AF BG =AC BC ， ∴ NZ ZL ·LX XM ·MY YN =NZ ZL ·LX NY =1．由梅氏定理可得，X 、Y 、Z 三点共线．2．如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：AK ⊥BC ； 证明：作高AH ．则由∆BDP ∽∆BAH ，⇒BH PB =BA BD ，由∆CDQ ∽∆CAH ，⇒CQ HC =DCCA ．由AD 平分∠BAC ，⇒DC BD =ACAB ，由DP ⊥AB ，DQ ⊥AC ，⇒AP=AQ ．∴ AP PB ·BH HC ·CQ QA =AP QA ·BH PB ·CQ HC =BA BD ·DC CA =DC BD ·BA CA=1，据塞瓦定理，AH 、BQ 、CP 交于一点，故AH 过CP 、BQ 的交点K ，∴ AK 与AH 重合，即AK ⊥BC ．3.设P 是△ABC 内任一点，在形内作射线AL ，BM ，CN ，使得∠CAL ＝∠PAB ，∠MBC ＝∠PBA ，∠NCA ＝∠BCP ，求证：AL 、BM 、CN 三线共点。
证明：设AL 交BC 于L ，BM 交CA 于M ，CN 交AB 于N ，则由正弦定理得：CAL AC BAL AB LC BL ∠∠=sin sin PABAC PACAB ∠∠=sin sinPBC AB PBA BC MA CM ∠∠=sin sin ，PCABC PCBAC NB AN ∠∠=sin sin 将上述三式相乘得：HKQ PD CB AA CB Y XZ M N L EDF G H1sin sin sin sin sin sin =⋅⋅=∠⋅∠⋅∠∠⋅∠⋅∠=⋅⋅PC PB PB PA PA PC PCA PBC PAB PCB PBA PAC NB AN MA CM LC BL 由塞瓦定理逆定理知：AL 、BM 、CN 三线共点。
4.圆心为O 的一个圆经过△ABC 的顶点A 和C ，并与AB ，BC 分别交于不同的两点K 、N ，△ABC 的外接圆和△KBN 的外接圆相交于两个不同的点B 、M ，求证：∠OMB 是直角。
（26届IMO 试题）证明：如图，设AC 与KN 相交于点P ，连结PB 与弧BNK 相交于点M ’， 则由圆幂定理知：PA PC ⋅=PK PN ⋅=PB PM ⋅'又PA PC ⋅=PB PM ⋅ 所以PB PM ⋅'=PB PM ⋅ 从而知点M 与M ’重合。
因为A ，K ，N ，C 四点共圆，所以∠BNK =∠A 又∠BNK =∠BMK ， 所以∠BMK =∠A又由外心的性质可知：∠A+∠KCO=090 下证：∠KCO=∠KMO 又∠BMN =∠AKN =∠NCP 所以M ，N ，C ，P 四点公圆又∠CMK =∠KMN+∠NMC=∠KBN+∠NPC=0360-2∠A-∠ACB-∠AKN=0180-2∠A=0180-∠KOC所以K ，O ，C ，M 四点共圆，从而结论成立。
5．锐角△ABC ，H 为自A 向边BC 所引高的垂足，以AH 为直径的圆分别交边AB ，AC 于M ，N （不同于A ），过点A 作直线L A 垂直于MN ，类似地作出L B ，L C ，求证：L A ，L B ，L C 三线共点。
证明：连结HN ，则HN ⊥AC ，过点B 作BG ⊥AB ，交L A 于G 由AG ⊥MN ，因为∠AMN=∠AHN=∠C 所以∠BAG=090-∠AMN=090-∠C=∠HAC 又∠ABG=090=∠AHC所以ABG ∆∽AHC ∆⇒∠AGB=∠ACB ⇒A ，B ，G ，C 四点共圆， 即点G 在△ABC 的外接圆上。
因为∠ABG=090，故AG 是△ABC 外接圆的直径，就是说L A 经过△ABC 的外心A同理可证：L B ，L C 经过△ABC 的外心。
故结论成立。
6．如图，△ABC 为锐角三角形，且BC>AC ，O 是它的外心，H 是它的垂心，F 是高CH 的垂足，过F 作OF 的垂线交边CA 于P ，证明：∠FHP=∠BAC证明：延长CF 交圆O 于D ，连结BD ，BH ，由垂心性质可知F 为HD 的中点。
设FP 所在直线交圆O 于M ，N ，交BD 于点T ，由OF ⊥MN ，知F 为MN 中点，由蝴蝶定理知：F 为PT 中点；又F 为HD 中点，故HP//TD ，于是∠FHP=∠BDC=∠BAC 7．如图，在⊿ABC 中，AB≠AC ，I 是它的内心，过I 作一圆与边AB 切于B ，与直线AC 交于D 、E ，求证：IC 平分∠DIE.【分析】I 是⊿ABC 的内心→∠ICD=∠ICB ，要证∠CID=∠CIE ，只需证∠IDC=∠IFC ，即证∠IDA=∠B 、I 、D 、E 共圆→∠IDA=∠IBE ， AB 是圆的切线→∠IBA=∠IEB ， I 是⊿ABC 的内心→∠IBA=∠IBF ，∴∠IEB=∠IBF ，∴∠IFB=∠IBE=∠IDA ，得证.8．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr.(IMO -12) 分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ∠·2'sin A =A ′B ′·2''sin2'sin2'sin B A B A +⋅， A ...'B 'C 'OO 'EDO ′E = A ′B ′·2''sin2'cos 2'cosB A B A + ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tgA tg ∠∠=22B tg A tg =q r. 9.如图，从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作⊙O 1切︿BC ，CD ，DB 分别于点E ，F ，G ，求证：AC=AGB证明：设半圆的圆心为O ，则O ，O 1，E 共线，连O 1F ，知O 1F ⊥CD ，得O 1F//AB ，连结EF ，AE ，由∠FEO 1=21∠FO 1O=21∠EOB=∠OEA ，知E ，F ，A 三点共线。
又因为∠ACB=090，CD ⊥AB ，有∠ACF=∠ABC=∠AEC ，从而AC 是⊙CEF 的切线，故点A 对⊙CEF 的幂AC 2等于点A 对⊙O 1的幂AG 2，即有AC=AGB10.如图，PAB 、PCD 为圆O 割线，AD 交BC 于E ，AC 交BD 于F ，则EF 为P 的极线。
（1997年CMO 试题等价表述）证法一：作AEB 外接圆交PE 于M ，则PE*PM=PA*PB=PC*PD ，故CDME 共圆（其实P 为三圆根心且M 为PAECBD 密克点），从而∠BMD=∠BAE+∠BCD=∠BOD ， BOMD 共圆。
∠OMT=∠OMB+∠BMT=∠ODB+∠BAE=90°故M 为ST 中点，PS*PT= PA*PB=PE*PM ，由定理2（3）知E 在P 极线上，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
证法二：如图，设PS 、PT 为圆O 切线。
在△ABT 中，可以得到**AU BV TWUB VT WA =sin sin sin sin sin sin AS AST BD BDA TC TCB BS BST DT TDA AC ACB∠∠∠⋅⋅=∠∠∠1AS BD TC PS PB PC BS AC DT PB PC PT ⋅⋅=⋅⋅= 由塞瓦定理逆定理知ST 、AD 、BC 三线共点于E ，同理F 亦然，故EF 为P 的极线。
至此，点P 在圆O 外时，我们得到了P 点极线的四种常见的等价定义： 1、过P 反演点做的OP 的垂线。
2、过P 任意作割线PAB ，AB 上与PAB 构成调和点列的点的轨迹所在的直线。
3、P 对圆O 的切点弦。
4、过P 任意做两条割线PAB 、PCD ，AD 、BC 交点与AC 、BD 交点的连线。
(注：切线为割线特殊情形，故 3、4是统一的)11. △ABC 内切圆I 分别切BC 、AB 于D 、F ，AD 、CF 分别交I 于G 、H 。
求证：3DF GHFG DH⨯=⨯(2010年东南数学奥林匹克)证明：如图，由定理13知GFDE 为调和四边形，据托勒密定理有GD*EF=2FG*DE ，同理HF*DE=2DH*EF 相乘得 GD*FH= 4DH*FG 又由托勒密定理GD*FH= DH*FG+FD*GH ，代入即得3DF GHFG DH⨯=⨯12.已知：如图，△ABC 内切圆切BC 于D ，AD 交圆于E ，作CF=CD ，CF 交BE 于G 。