1对3暑期-数学-七年级升八年级-第6讲-一元二次方程概念
一元二次方程讲解
一元二次方程讲解
一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它由变量的二次项、一次项和常数项构成。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，且a不等于零。
解一元二次方程的方法主要有两种：公式法和配方法。
公式法是指根据一元二次方程的解的公式，求出方程的根。
一元
二次方程的解公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)。
其中，
√(b^2 - 4ac) 表示开方，若其结果为实数，则方程有两个不相等的
实根；若结果为零，则方程有一个实根；若结果为负数，则方程没有
实数解。
配方法是指通过对一元二次方程进行变形和整理，使其变为可以
进行因式分解的形式，从而求解方程的根。
例如，对于形如ax^2 + bx + c = 0的方程，我们可以尝试将其变形为(a1x + b1)(a2x + b2) = 0的形式。
通过展开式相乘，并与原方程进行比较，可以得到一组关于
a1、b1、a2、b2的方程。
解这组方程后，将所得的值带入原方程中，
即可求得方程的解。
在解一元二次方程时，我们还可以观察方程的系数之间的关系来
判断方程的解的性质。
例如，当方程的判别式b^2 - 4ac为负数时，
方程没有实数解；当判别式为零时，方程有一个实数解；当判别式为
正数时，方程有两个不相等的实数解。
总之，一元二次方程是数学中常见的方程形式，可以通过公式法
或配方法求解。
在解方程时，需要了解公式和判别式的含义，并根据
方程的特点选择适合的解法。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，而x为未知数。
概念介绍一元二次方程是代数学中的重要内容，也是高中数学的基础知识之一。
它的研究对象是只涉及一个未知数的二次方程。
一元二次方程的解是指能够使方程成立的未知数的取值，通常表示为x的取值。
一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，而x是未知数。
这个方程的解可以是实数，也可以是复数。
解的求解过程主要依赖于求根公式以及配方法。
求解一元二次方程的方法求解一元二次方程常用的方法包括因式分解、配方法和求根公式等。
1. 因式分解法：当一元二次方程能够被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过求解两个一次方程来找到方程的解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x +2)(x + 3) = 0，进而得到x = -2和x = -3为方程的解。
2. 配方法：当一元二次方程无法直接因式分解时，我们可以通过配方法进行求解。
配方法的关键是通过添加适当的常数使得方程能够表示成一个完全二次平方的形式。
例如，对于方程x^2 - 6x - 27 = 0，我们可以将其配成(x - 3)^2 - 36 = 0的形式，进而得到(x - 3)^2 = 36，解得x = 9和x = -3为方程的解。
3. 求根公式：求根公式是利用判别式来求解一元二次方程的方式。
判别式Δ = b^2 - 4ac可以帮助我们判断方程的解的情况。
当Δ大于0时，方程有两个不相等的实数解；当Δ等于0时，方程有两个相等的实数解；当Δ小于0时，方程有两个共轭复数解。
求根公式为x = (-b ± √Δ) / 2a。
例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以计算得到Δ = 4^2 - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4，因此有两个不相等的实数解x = (4 ± √4) / 2 = 2 ± 1。
一元二次方程的概念与性质
一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。
在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。
在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。
举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。
举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。
举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在解决实际问题和进一步学习数学知识方面都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下一元二次方程的相关知识点。
一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式为＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝0$（＄a ≠ 0$），其中＄a$ 是二次项系数，＄b$ 是一次项系数，＄c$ 是常数项。
需要注意的是，方程必须是整式方程，也就是说分母中不能含有未知数。
同时，二次项系数＄a$ 不能为 0，如果＄a ＝ 0$，那么就变成了一元一次方程。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法对于形如＄x^2 ＝ p$ 或＄（x ＋ n)＾2 ＝ p$（＄p ≥ 0$）的方程，可以使用直接开平方法。
当＄x^2 ＝ p$ 时，＄x ＝ ±＼sqrt{p}＄；当＄（x ＋ n)＾2 ＝ p$ 时，＄x ＋ n ＝ ±＼sqrt{p}＄，即＄x ＝ n ±＼sqrt{p}＄。
2、配方法配方法是一种将一元二次方程转化为完全平方式的方法。
例如，对于方程＄x^2 ＋ 6x 7 ＝ 0$，可以通过在方程两边加上一次项系数一半的平方来配方，即：＼＼begin{align}x^2 ＋ 6x 7&＝0\＼x^2 ＋ 6x&＝7\＼x^2 ＋ 6x ＋ 9&＝7 ＋ 9\＼（x ＋ 3)＾2&＝16\＼x ＋ 3&＝±4\＼x&＝－3 ± 4＼end{align}＼3、公式法一元二次方程＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ≠ 0$）的求根公式为＄x ＝＼frac{b ±＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
在使用公式法时，需要先计算判别式＄＼Delta ＝ b^2 4ac$：当＄＼Delta ＞ 0$ 时，方程有两个不相等的实数根；当＄＼Delta ＝ 0$ 时，方程有两个相等的实数根；当＄＼Delta ＜ 0$ 时，方程没有实数根。
一元二次方程的基本概念与性质
一元二次方程的基本概念与性质一元二次方程是数学中的重要概念，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，且a ≠ 0。
本文将从基本概念和性质两个方面来探讨一元二次方程的相关内容。
一、基本概念一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程，通常表示为：ax² + bx + c = 0。
其中，a ≠ 0，a、b、c为已知常数，且a、b均不为零。
在解一元二次方程之前，需要了解以下几个基本概念：1. 方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次数为2。
2. 系数：方程中的a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数和常数项。
3. 解：解是指能够使方程成立的未知数值，也就是使方程的左边等于右边的值。
二、性质1. 解的个数：一元二次方程的解的个数与方程的判别式有关。
判别式Δ = b² - 4ac的值决定了解的情况。
a) 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数解；b) 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数解，也称为重根；c) 当Δ < 0时，方程没有实数解，但可以有共轭复数解。
2. 解的表示形式：解可以用根的形式或者用因式分解的形式表示。
a) 用根的形式表示解时，通常表示为x₁、x₂。
例如方程ax² + bx + c = 0的解可以表示为x₁ = (-b + √Δ) / (2a)和x₂ = (-b - √Δ) / (2a)。
b) 用因式分解的形式表示解时，通常表示为(x - α)(x - β) = 0。
例如方程x² - (α + β)x + αβ = 0的解即为α和β。
3. 特殊情况：a) 当a = 0时，方程变为一元一次方程，解是唯一确定的。
b) 当c = 0时，方程成为一元二次齐次方程，解中必定包含0。
4. 图像表示：一元二次方程的图像是一个抛物线，可以通过方程的a值的正负来判断抛物线开口的方向。
a) 当a > 0时，抛物线开口向上；b) 当a < 0时，抛物线开口向下。
一元二次方程七年级知识点
一元二次方程七年级知识点在初中数学中，一元二次方程是一个重要的知识点，也是比较难理解的一部分内容。
下面我们来详细了解一下一元二次方程的相关知识点。
1. 一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。
一元二次方程是关于未知数x的二次方程，也就是说，未知数最高次幂是2，常数项为0。
该方程中a、b、c三个常数可以是任意实数，但是a的系数不能为0。
例如：2x²+4x-3=0就是一元二次方程的一个实例。
2. 一元二次方程的解法一元二次方程的解法有很多种，其中最常用的方法是配方法和因式分解法。
（1）配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，它的主要思想是利用方程两边相等，将一元二次方程变形为(a±b)²的形式，然后利用开平方的方法得到未知数x的值。
例如：对于一元二次方程2x²+4x-3=0，我们可以将其变形为2(x+1)²-5=0的形式，然后再利用开平方的方法求解。
（2）因式分解法因式分解法也是解一元二次方程的常用方法，它的主要思想是将一元二次方程按照某种方式进行因式分解，然后得到未知数x 的值。
例如：对于一元二次方程x²-5x+6=0，我们可以将其因式分解为(x-2)(x-3)=0的形式，进而得到x的值。
3. 一元二次方程在实际问题中的应用一元二次方程在实际问题中有很多应用，比如可以用来描述物体的运动轨迹、求解图形面积和体积等等。
例如：一颗质量为2kg的物体以4m/s的初速度从高度为10m 的位置落下，求它落地时的速度。
我们可以通过一元二次方程来描述该物体的运动轨迹：h=10-4t²/2，其中h表示物体距离地面的高度，t表示物体下落的时间。
当物体落地时，h=0，代入方程中，得到t=1秒。
然后再通过v=gt+v₀（其中v₀表示物体的初速度，g表示重力加速度）的公式求解出物体落地时的速度v，即v=9.8×1+4=13.8（m/s）。
一元二次方程知识点总结
一元二次方程知识点总结一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在实际生活和数学问题中都有广泛的应用。
下面我们来详细总结一下一元二次方程的相关知识点。
一、一元二次方程的定义只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
一般形式为：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其中$a$是二次项系数，＄b$是一次项系数，＄c$是常数项。
需要注意的是，方程必须是整式方程，即分母中不含未知数。
二、一元二次方程的解法1、直接开平方法适用于形如$（x ＋ m)＾2 ＝ n$（＄n ＼geq 0$）的方程。
解这类方程的步骤是：先将方程化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式，然后直接开平方，得到$x ＋ m ＝＼pm\sqrt{n}＄，最后解出$x$。
2、配方法将一元二次方程通过配方转化为$（x ＋ m)＾2 ＝ n$的形式，再用直接开平方法求解。
步骤如下：（1）移项：把常数项移到方程右边。
（2）二次项系数化为 1：方程两边同时除以二次项系数。
（3）配方：在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）变形：写成完全平方式。
（5）开方求解。
3、公式法一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（＄a ＼neq 0$），其求根公式为$x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＄。
使用公式法求解的步骤：（1）先确定$a$、＄b$、＄c$的值。
（2）计算判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$。
当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实数根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实数根。
（3）将$a$、＄b$、＄c$和$＼Delta$的值代入求根公式，求出方程的根。
4、因式分解法将方程变形为一边是零，另一边是两个一次因式乘积的形式，然后使每个因式等于零，分别解这两个一元一次方程，得到原方程的解。
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其解法
初中数学知识点总结：一元二次方程的概念及其解法
知识点总结
一．一元二次方程的概念：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程。
二．一元二次方程的解法：
4．分解因式法：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原方程的解，这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。
分解因式法的理论依据是几个数的积为0，那几个数中至少有一个0。
常见考法
一元二次方程概念和解法是中考命题的重点，一般用填空、选择题来考查概念和有关的基础知识，用解答题来考解法。
且一元二次方程的解法灵活多变，涉及的知识面广，在根的判别式、根与系数的关系淡化后，这是考查本知识的较佳出题点之一。
误区提醒
（1）对一元二次方程的概念不清，导致错误；
（2）利用配方法解方程时，弄错常数项；
（3）利用公式法解方程时，在确定各项系数时漏掉“-”号。
一元二次方程的概念
一元二次方程的概念一元二次方程是高中数学中非常基础且重要的一部分，它是由一个未知数的平方和一次项以及常数项组成的方程。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c都是已知实数且a ≠ 0。
在解一元二次方程之前，我们需要先理解一些基本概念和相关性质。
一、一元二次方程的定义和性质1. 一元二次方程的定义：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a≠0，且a、b、c为实数，x为未知数。
2. 一元二次方程的次数：一元二次方程的次数为2，即方程中未知数的最高次幂为2。
3. 一元二次方程的解：一元二次方程的解是使得方程成立的x值。
一元二次方程一般有两个解，分别称为实数根或两个复数根。
实数根是指有理数或无理数的解，而复数根则含有虚数单位i。
4. 一元二次方程的系数：一元二次方程中的a、b、c分别称为二次系数、一次系数和常数项。
其中二次系数a影响方程的开口方向、形状和平移，一次系数b影响方程的对称轴和两个实数根的和或复数根的实部，常数项c影响方程的和与两个实数根的乘积或复数根的虚部。
5. 一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式Δ=b²-4ac可以用来判断方程的解的性质。
若Δ>0，则方程有两个不相等的实数根；若Δ=0，则方程有两个相等的实数根；若Δ<0，则方程没有实数根，而有两个共轭复数根。
二、解一元二次方程的方法解一元二次方程的常用方法有配方法、凑平方法、因式分解法和求根公式法。
下面我将按顺序介绍这些方法的具体步骤和应用场景。
1. 配方法：a. 检查方程是否可以因式分解成两个一次因式的乘积，如果不能，则进入下一步。
b. 将一元二次方程中的x²项系数a乘以一个适当的常数k，使得a·k²与一次项系数b的平方相等。
即a·k² = b²。
c. 将一元二次方程中的x²项和一次项分别代入公式x = (-b±√(b²-4ac)) / 2a，求得方程的解。
一元二次方程总复习知识点梳理
一元二次方程总复习知识点梳理考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）。
注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。
考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a ）2=b （b ≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。
X+a=±b∴1x =-a+b 2x =-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a ）2=b 的形式；⑤如果b ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b ≤0，则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是aac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0)。
步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a ，b ，c 的值；③求出b 2－4ac 的值，当b 2－4ac ≥0时代入求根公式。
4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。
步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。
5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a ，b ，c 的值；②若b 2－4ac ＜0，则方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去x ＋4。
(八年级数学教案)一元二次方程的定义知识点总结
一元二次方程的定义知识点总结八年级数学教学设计定义：只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：它的特色是：等式左侧是一个对于未知数x 的二次多项式，等式右侧是零，此中 ax2 叫做二次项， a 叫做二次项系数； bx 叫做一次项， b 叫做一次项系数；c叫做常数项。
方程特色；（1）该方程为整式方程。
（2）该方程有且只含有一个未知数。
（3）该方程中未知数的最高次数是 2。
判断方法：要判断一个方程能否为一元二次方程，先看它能否为整式方程。
假如，再对它进行整理。
假如能整理为（ a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程。
点拨：①“ a≠是0”一元二次方程的一般形式的重要构成部分，当a=0，b≠0时，她就成为一元一次方程了。
反之，假如明确了是一元二次方程，就隐含了a≠0这个条件；② 任何一个一元二次方程，经过整理都能化成一般形式，在判断一个方程能否是一元二次方程时，第一化成一般形式，再判断；③ 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，因此咋确立一元二次方程各项的系数时，应第一将方程化为一般形式；④项的系数包含它前面的符号。
如：x2+5x+3=0的一次项系数是5，而不是5x；3x2+4x-1=0的常数项是 -1 而不是 1；⑤ 若一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
1、一元二次方程：含有一个未知数，而且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
求解方法1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法合用于解形如（ x+a）2=b 的一元二次方程。
依据平方根的定义可知， x+a 是 b 的平方根，2、配方法配方法的步骤：先把常数项移到方程的右侧，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完整平方公式3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程概念
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$），可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 进行求解。
使用公式法前需要判断判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值 ，以确定方程的解的情况。
03 一元二次方程的解
判别式
判别式定义
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其判别式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的作用
判别式用于判断一元二次方程的根的情况。当Δ > 0时，方程有两个不相等的实 根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实根（即一个重根）；当Δ < 0时，方程无 实根。
一元二次方程概念
目录
• 引言 • 一元二次方程的一般形式 • 一元二次方程的解 • 一元二次方程的图像与性质 • 一元二次方程的应用 • 一元二次方程的解法探讨
01 引言
方程的定义
方程是指含有未知数 的等式，它表示两个 数学表达式之间的相 等关系。
通过对方程进行求解， 可以找出未知数的值， 从而解决实际问题。
描述曲线的形状
解决几何问题
在解决一些几何问题时，可以通过建 立一元二次方程来求解，例如求解三 角形的边长、角度等。
一元二次方程可以用来描述一些平面 曲线的形状，例如抛物线、双曲线等。
在物理中的应用
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描述物体运动规律
一元二次方程可以用来描述物体在匀加速直线运 动中的位移、速度和时间之间的关系。
计算物体的动能和势能
因式分解法
将一元二次方程通过因式分解转化为 两个一元一次方程，然后分别求解。
第6讲 一元二次方程
知识点三：一元二次方程的应用
4.列一元二次方程解应用题
（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．
运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.
例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.
知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.
例：方程 是关于x的一元二次方程形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
(2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
(3)公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x= （b2-4ac≥0）.
3.根的判别式
(1)当Δ＝ >0时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当Δ＝ =0时，原方程有两个相等的实数根．
初中一元二次方程的概念
初中一元二次方程的概念
一、初中一元二次方程的概念
1、什么是一元二次方程
一元二次方程（quadratic equation）是指只有一个未知数的二次多项式方程。
一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0)
比如：2x2+3x-1=0
2、初中一元二次方程求解方法
（1）因式分解法
把一元二次方程ax2+bx+c=0化为(ax+p)(ax+q)=0的形式，然后将其分解，得出x1和x2，即可求得一元二次方程的根。
（2）因式移项法
把一元二次方程ax2+bx+c=0化为ax2+bx-c=0的形式，根据因式移项法，将bx和-c都移到一边，则有ax2+bx-c=0->a(x2+b/a
x)-c/a=0，再进行分解，得出x1和x2，即可求得一元二次方程的根。
（3）求根公式法
利用求根公式，可以轻松求出一元二次方程的根，即x1=(-b+√(b2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b2-4ac))/2a。
3、初中一元二次方程的意义
一元二次方程具有重要的实际意义，它可以模拟实际生活中出现的问题。
比如：投掷小球问题，可以把投掷小球的问题转化为一元二次方程，通过联立两条一元二次方程求解，就可以得到小球到达的高
度。
此外，一元二次方程还可以用来模拟电子设备参数的研究，可以把某一特定设备的参数研究也可以转化为一元二次方程，通过求解一元二次方程，可以得出电子设备参数的最优解。
一元二次方程基础知识
一元二次方程基础知识
一元二次方程基础知识
一元二次方程是一种关于一个未知量的二次多项式方程。
它的表达式形式为：
ax^2 + bx + c = 0
其中，a 不等于 0，x 是一个未知量。
通过求解一元二次方程，可以求出 x 的值。
一元二次方程的求解一般采用'判别式法'，即根据一元二次方程的系数，计算出一元二次方程的判别式 D=b^2-4ac，以有不同的求解方法：
当 D=0 时，一元二次方程有且仅有一个实数根，可由 x =-b/2a 求得；
当 D>0 时，一元二次方程有两个不同实数根，可由 x = [-b ±√D]/2a 求得；
当 D<0 时，一元二次方程没有实数根，没有任何解。
- 1 -。
一元二次方程知识点
方程两边都除以二次项系数
★移项：二次项，一次项移到等号左边，
常数项移到等号的未知数的代数式）2=非负数
★利用直接开平方法求解。
★公式法：一元二次方程 a x²+ b x + c=0
（a、b、c为常数且a≠0）
注：用公式解一元二次方程时，一定先
将 方程化为一般形式，在确定a、b、c
C 叫做常数项。
利用平方根定义直接
★直接开平方法：
开平方求一元二 次 方程的解的方法，叫
形式:（含有未知数的做代直数接式开）平2=方非法负. 数
解的形式
★配方法：
通过完配全成平完方全式平：方式的方
法得a²到±2了a一b+元b²二=(次a±方b程)²的
★将二次项系数化为根 的1，方：这法叫种做解配一方元法二。次方程
=0 含有未知 含有未知
令 每个数因代式数等式于零数，代得数到式两个一元一次
=0 =0 方程，含分有别未解知这两个一元含一有次未方知程，
得到的数解代是数原式方程的解数，代数式 这种解一元二次方程的方法称为 因式分解法。
★一元二次方程 a x²+b x+c=0（a≠ 0） x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
的值。
先计算△=b²-4ac，再带入公式。
★△=b²-4ac＞0 ★△=b²-4ac＝0 ★△=b²-4ac≥0
★△=b²-4ac＜0
△=b²-4ac
一元二次方程有两 个不相等的实数根
一元二次方程有两个 相等的实数根
一元二次方程有实数 根
一元二次方程没有实 数根
★因式分解法： 一元二次方程的一边为0，而另一边 易于分一解元成二两次个方一程次a因x²式+ 积b x的+形c=式0，
初中资料初三数学一元二次方程重点知
初三数学一元二次方程重点知算术数学的一元二次方程是很重要的，下面网就大家整理一下初三数学一元二次方程重点知识点总结，仅供参考。
定义：就算含有一个未知数，并且未知数差的比较高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般为形式：它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数;bx叫做一次项，b叫做一次项系数;c叫做常数项。
方程特点;(1)该方程为整式方程。
(2)该方程有且只混有一个未知数。
(3)该中才方程中未知数的比较高秒数是2。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程。
若是，再对它进行整理。
如果能整理为(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
1.一元二次方程及其它有关的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题。
2.判定紫菊一个数是否是方程的根;3.用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程。
4.运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程，领会降次──转化的数学思想。
5.利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题.平方与平方根1.1面积与平方(1)任意两个正数的和的万平方，等于这两个数的乘方(2)任意九个正数的差的平方，等于这两个数的平方和，而要减去这两个数乘积的2倍任意两个有理数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，再加上(或减去)这两个数乘积的2倍1.2平方根1正数有两个平方根，这两个乘积互为相反数;2至多只有一个平方根，它就是零本身;3负数没有平方根1.4实数无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称为实数2平方根的运算2.1算术平方根的性质性质1平方根一个非负数的算术次方的平方等于这个数本身性质2一个数的万方平方的算术平方根等于这个数的一定值2.2算术平方根的乘、除运算1算术无理数的乘法sqrt(a)?sqrt(b)=sqrt(ab)(a;=0，b;=0) 2解法平方根的除法sqrt(a)/sqrt(b)=sqrt(a/b)(a;=0，b;0)。
2020-2021学年七年级数学梳理知识点：一元二次方程的定义
⑵已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0有一个根是0，则m的值为_____。
⑶已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，求代数式5m2－5m＋2006的值。
2
【例6】 设a、b是方程x2＋x－2014＝0的两个实数根(a b)，求a2＋2a＋b的值。
知识框架重现 一元二次方程定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程。 一元二次方程的一般式为 ax2＋bx＋c＝0(a 0)。 与一元二次方程定义有关的参数问题： 处理方法：对照方程的一般形式。
⑴当m＝_____时，关于x的方程 (m 2)xm2 (m 3)x 4m 是一元二次方程。
⑵关于x的方程(m2－9) x2＋(m＋3) x＋5m－1＝0，当m＝ _____时，方程为一元二次方程； 当m＝_____时，方程为一元一次方程。
⑶若 m 1x2 mx 4 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____。
你念，或者不念我 课就在那里 不来不去
你爱，或者不爱我 有效期就在那里
不增不减 你跟，或者不跟我 我的手就在你手里
不舍不弃
3
来我的班里 或者
让我住进你的心里 大海，思思 寒假与你 再相聚
4
【例4】 已知方程2xa－xb－x2＋4＝0是关于x的一元二次方程，求a、b的值。
与一元二次方程的根有关的参数问题 如果x0满足ax02＋bx0＋c＝0(a 0)，则x0就是方程ax2＋bx＋c＝0(a 0)的一个根。 条件中出现方程的根，处理方法： 将根带入方程。 【例5】 ⑴如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a 0)有两个根1和-1，那么a＋b＋c＝_____，
【例2】 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 ⑴2x2－1＝6x ⑵(3x－2)(x＋1)＝x－3
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精锐教育1对3辅导教案
1．理解一元二次方程的概念；
2．掌握一元二次方程的一般式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项；
3．会用开平方法求解简单的一元二次方程．
（此环节设计时间在40－50分钟）
案例1：一元二次方程的概念
问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分析：我们已经知道可以运用方程解决实际问题．现设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程x(x＋10)＝900 整理可得，x2＋10x－900=0. (1)
问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册．求这两年的年平均增长率．分析：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册．
可列得方程5（1＋x）2=7.2，整理可得，5x2＋10x－2.2=0. (2)
问题3：观察问题1和问题2所列方程有何特征：
以上两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
他们有什么共同点呢？
归纳总结：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
一元二次方程通常写成如下一般形式：
ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)，其中ax 2叫做二次项， a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数； c 叫做常数项．
1．下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2+
－5=0 （2）x 2－3xy+7=0
（3）x+=4 （4）m 3－2m+3=0 （5）
x 2
－5=0 （6）ax 2－bx=4
2．已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是 ． 3．将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．
(1)4x -3=5x 2； (2)2(x +2)+8=3x (x -1)．
解 (1)整理得，5x 2-4x +3=0．二次项是5x 2，二次项系数是5；一次项是-4x ，一次项系数是-4；常数项是3． (2)整理得，3x 2-5x -12=0．二次项是3x 2，二次项系数是3；一次项是-5x ，一次项系数是-5；常数项是-12． 4．判断2、5、-4是不是一元二次方程x 2+x =8-x 的根． 解：把x =2分别代入方程x 2+x =8-x 的两边，得 左边的值为22+2=6； 右边的值为8-2=6．
因为方程左右两边的值相等，所以x =2 是这个一元二次方程的根． 把x =5分别代入方程x 2+x =8-x 的两边，得 左边的值为52+5=30； 右边的值为8-5=3．
因为方程左右两边的值不相等，所以x =5不是这个一元二次方程的根． 同样，把x = -4分别代入方程x 2+x =8-x 的两边，得
左右两边的值相等，可知x = -4 是这个一元二次方程的根．
案例2：开平方法解方程
问题1：回忆平方根的概念，若25x =，则x 为5的__平方根__，可得x = 5± ． 问题2：根据问题1带给你的启示，请你解一元二次方程2
(21)5x -=．
归纳总结：一般地,对于形如2
(0)x a a =≥的方程，根据平方根的定义，可解得 12,x x =
=
这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．
练习x
1
12-x 2
2
练习讨论
))()(5(0)2)(15)(4(0)6)(7)(3(0)3)(4)(2(0
)8()1(=+-=-+=++=--=+b x a x x x x x x x x x
归纳总结：当0A B ⋅=时，必有0=A 或0=B ；当0=A 或0=B 时，必有0A B ⋅=。
问题2：探究方法，如何解下列方程：
222(1)80
(2)7120(3)421x x x x x x +=-+=+=
归纳总结：通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于零的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的的问题，像这样解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
（此环节设计时间在20－30分钟）
例题1：若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2015的值.
参考答案： m 3+2m 2+2015＝m 3+ m 2+m 2+2015＝m （m 2+ m ）+ m 2+2015＝m+m 2+2009＝1+2009＝2010．
试一试：已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2+3x+（m 2－4）=0有一个解是0，求m 的值．
参考答案：m=－2
例题2：解下列方程
(1) (2x – 5) 2 = 9 (2) 2 (x + 3) 2 – 49 = 0
试一试：解下列方程
(1) 2x (x – 2) = x 2 + 5 (2) 2x (2x + 5) – (x – 1) (2x + 5) = 0
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
1．一元二次方程()x x x 533+=+的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 2．已知方程()0232
2
=+-+-m x m x m
，当m = 时，为一元二次方程．
3．已知方程已知关于x 的一元二次方程()04322
2
=-++-m x x m 有一个根是0，则m = ． 4．若关于x 的方程1322+=+x x kx 是一元二次方程，则k 的取值范围是 ． 5．已知关于x 的方程()()13222
++=+-x x x k kx ．
（1）当k 取何值时，这个方程是一元二次方程． （2）当k 取何值时，这个方程是一元一次方程． （3）1-是不是这个方程的根？为什么？
6．用直接开平方法解下列方程：
（1）2
3(3)147y -= （2）21
(31)802
x --=
（3）25(3)35x -= (4) 2225(23)9(1)x x +=-
7．用因式分解法解下列方程
(1) x 2 – x – 2 = 0 (2) x 2 – 8x + 12 = 0
(3) 3x (2x – 5) – 4 (5 – 2x ) = 0 (4) x 2 – 6x + 9 = 0
参考答案：1．1， ﹣2， ﹣3； 2．2±； 3．－3； 4．3k ≠； 5．（1）2k ≠， （2）2k =， （3）是，带入方程左右相等； 6．（1）1210,4x x ==-；（2）125
,13
x x ==-；
（3）120,23x x ==；（4）121812
,713
x x =-=-；
（此环节设计时间在5－10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
【巩固练习】
1．已知一元二次方程有一个根为1，这个方程可以是 （只需写出一个方程） 2．若关于x 的一元二次方程()2
2
1210k x x k k -++-+=有一个根为0，则k 的值为
3．如果m 是方程012=--x x 的一个根，那么()1-m m 的值是 4．当m ＝ 时，关于x 的方程mx 2 – 3x = x 2 – mx + 2是一元二次方程？ 5．用开平方法解下列方程： （1）(
)
6222
=-x
（2）()()
2055=-+x x
（3）()()
2
2
2112+=-x （4）2
(2)4x -=
6．用因式分解法解下列方程：
2(1)540x x -= 2(2)3180x x --=
2(3)2(2)5x x x -=+ (4)2(25)(1)(25)0x x x x +--+=。