湖北宜城市第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 PDF版含解析
2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。
2019-2020学年高二下学期期中段考数学试题 Word版含解析
2019-2020学年二师附中高二期中考试数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 1.复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A. 1+i B. 1−iC. −1+iD. −1−i【★答案★】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．2.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=A. 4-B. 2-C. 2D. 4【★答案★】B 【解析】考查函数的奇偶性，求导后导函数为奇函数，所以选择B3.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c =( ) A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】B 【解析】 【详解】2(2,3)N ⇒12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c ="2," 所以选B.4.某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（ ）A.16625B.96625C.192625D.256625【★答案★】B 【解析】【详解】解：根据题意，播下4粒种子恰有2粒发芽即4次独立重复事件恰好发生2次， 由n 次独立重复事件恰好发生k 次的概率的公式可得，()2224441962()()55625P C ==故选B ．5.从6名女生、4名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（ ） A. 3264A A ⋅B. 2364C C ⋅C. 510CD. 3264C C ⋅【★答案★】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的特点得到男女生应该抽取的人数后，再根据分步计数原理可得结果. 【详解】根据分层抽样的特点可知，女生抽3人，男生抽2人， 所以不同的抽取方法种数为3264C C ⋅. 故选：D .【点睛】本题考查了分层抽样，考查了分步计数原理，属于基础题.6.若,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位同学不相邻的概率为（ ） A.45B.35C.25D.15【★答案★】B 【解析】 【分析】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，先求总排列数n ，然后利用插空法得出，A ，B 两位同学不相邻的排列数m ，利用np m=即可求解. 【详解】,A ,B ,C ,D E 五位同学站成一排照相，基本事件总数55120n A ==，A，B 两位同学不相邻包含的基本事件个数323472m A A ==，则A ，B 两位同学不相邻的概率为7231205n p m === 故★答案★选：B【点睛】本题考查排列与组合的综合应用，属于基础题.7.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为 A. 100 B. 200C. 300D. 400【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：设没有发芽的种子数为ξ，则(1000,0.1)B ξ~，2X ξ=，所以()2()210000.1200E X E ξ==⨯⨯=考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X ～B （n ，p ）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E （X ）＝np ）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.8.如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【★答案★】B 【解析】A 1、A 2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A 1、A 2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率.9.如果函数的图象如下图，那么导函数'()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【★答案★】A 【解析】试题分析：()y f x =的单调变化情况为先增后减、再增再减 因此'()y f x =的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零，四个选项只有A 符合，故选A. 考点：1、函数的单调性与导数的关系；2、函数图象的应用.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.10.为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（ ） A. 160 B. 163 C. 166 D. 170【★答案★】C 【解析】【详解】由已知22.5,160x y ==,160422.570,424166ˆ70ay ∴=-⨯==⨯+=， 故选C. 11.若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A. 8B. 15C. 16D. 32【★答案★】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差12.当[2,1]x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. [5,3]-- B. 9[6,]8-- C. [6,2]-- D. [4,3]--【★答案★】C 【解析】试题分析：当x=0时，原式恒成立；当(0,1]x ∈时，原式等价于2max 343()x x a x --≥恒成立； 当[2,0)x ∈-时，原式等价于2min 343()x x a x --≤恒成立；令2343(),[2,0)(0,1]x x f x x x--=∈-⋃，232343143()x x f x x x x x--==--，令1t x =，即3234y t t t =--+，2'981y t t ∴=--+，可知1(1,)9-为y 的增区间，1(,1),(,)9-∞-+∞为y 的减区间，所以当(0,1]x ∈时，即[1,)t ∈+∞时，t=1时max 6y =-，即max ()66f x a =-∴≥-；当[2,0)x ∈-时，即1(,)2t ∈-∞-时，y 在(,1)-∞-上递减，在1(1,]2--上递增，所以t=-1时min 2y =-，即min ()22f x a =-∴≤-；综上，可知a 的取值范围是[6,2]--，故选C.考点：不等式恒成立问题.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.若3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为64，则n =________． 【★答案★】3 【解析】 【分析】取1x =，则各项系数之和464n =，解得★答案★. 【详解】取1x =，则各项系数之和464n =，解得3n =. 故★答案★为：3.【点睛】本题考查了根据二项展开式的系数和求参数，属于简单题.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值 ．【★答案★】3 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.考点：线性规划解法15.如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .【★答案★】84【解析】试题分析：由题分三类：种两种花有A 42种种法；种三种花有2A 43种种法；种四种花有A 44种种法． 共有A 42+2A 43+A 44=84．考点：分类加法及运用排列数计数.16.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________． 【★答案★】0.18 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和*()n N ∈，且335,9.a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T 【★答案★】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】 【分析】⑴根据等差数列的通项公式，求出首项和公差即可得到★答案★⑵由{}n a 的通项公式得到{}n b 的通项公式，然后根据裂项相消法求前n 项和n T【详解】（1）由已知条件得11a 25,3a 69,d d +=⎧⎨+=⎩解得1a 1,d 2,==所以通项公式为；n a 2n 1=-（2）由（1）知，n a 2n 1=-， ∴()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭数列{}n b 的前n 项和n 12n S b b b =+++ =111111111--)1.2335212122121n n n n n ⎛⎫++⋯+-=-= ⎪-+++⎝⎭（【点睛】本题主要考查等差数列通项公式的求法，利用裂项相消法求数列的和，属于基础题，遇到形如11n n n b a a +=形式的表达式时，其和需要用裂项相消法，注意通项的表达形式． 18.已知函数32()f x x ax bx =++在2x =-与12x =处都取得极值． （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在区间[3,2]-的最大值与最小值．【★答案★】（1）329()34f x x x x =+-；（2）max ()11,f x =min 13()16f x =-．【解析】 【分析】（1）求导，根据极值点得到(2)0102f f -=⎧⎪⎨⎛⎫= ⎪⎪⎝''⎭⎩，代入数据解得★答案★.（2）计算极值点和端点比较大小得到★答案★.【详解】（1）因为32()f x x ax bx =++，所以2()32f x x ax b '=++．由(2)124013024f a b f a b -=-+=⎧⎪⎨⎛⎫=++= ⎪⎝⎭''⎪⎩，解得943a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，329()34f x x x x ∴=+-．（2）()291()333222f x x x x x '⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 计算极值点和端点得到：1193132816216f ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，(2)8967f -=-++=，819(3)27944f -=-++=，(2)89611f =+-=．所以max ()11,f x =min 13()16f x =-． 【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19.已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,2cos (cos cos )0.a b c C a C c A b ++=， （1）求角C 的大小；（2）若2,23,b c ==，求ABC ∆的面积. 【★答案★】(1) 120.C =（2） 3. 【解析】试题分析：（1）由()2cos cos cos 0C a C c A b ++=根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos sin sin 0C B B +=，可得1cos 2C =-，即可得解C 的值；（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可得结果. 试题解析：(1)()2cos cos cos 0C a C c A b ++=，由正弦定理可得()()2020,20cosC sinAcosC sinBcosA sinB cosCsin A C cosCsinB sinB ∴++=∴+=∴+=即又10180,sin 0,cos ,120.2B BC C <<∴≠∴=-=即 （2）由余弦定理可得()222223222cos12024a a a a =+-⨯=++又10,2,sin 3,2ABC a a S ab C ∆>=∴== ABC ∴∆的面积为 3. 20.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【★答案★】（1）4960；（2） 分布列见解析，()65E X =． 【解析】【详解】（1）设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A ，则．（2）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3．随机变量X 的分布列为X0 1 2 3X随机变量X 的数学期望．21.已知函数2()(2)ln f x x a x a x =-++，其中a R ∈．（1）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与直线30x y -+=平行，求a 的值； （2）求函数()f x 的单调区间．【★答案★】（1）2a =；（2）当0a ≤时，递减区间为(0,1)，递增区间为(1,)+∞；当02a <<时，递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，递减区间为,12a ⎛⎫⎪⎝⎭；当2a =时，递增区间为(0,)+∞；当2a >时，递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【解析】 【分析】（1）解方程(2)1f '=可得结果；（2）对a 分类讨论，解不等式()0f x '>可得递增区间，解不等式()0f x '<可得递减区间. 【详解】（1）由2()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数定义域为{|0}x x >，且()2(2)a f x x a x'=-++， 依题意，(2)4(2)12a f a '=-++=，解得2a =． （2）依题意，(2)(1)()2(2)(0)a x a x f x x a x x x --'=-++=>， 令()0f x '=，得11x =，22a x =． ①当0a ≤时，02a ≤，由()0f x '>，得1x >；由()0f x '<，得01x <<．则函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． ②当012a <<，即02a <<时，由()0f x '>，得02a x <<或1x >，由()0f x '<，得12a x <<．则函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ③当12a =，即2a =时，()0f x '≥恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ④当12a >，即2a >时，由()0f x '>，得01x <<或2a x >，由()0f x '<，得12a x <<，则函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞； 当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(1,)+∞，函数()f x 的单调递减区间为,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当2a =时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，函数()f x 的单调递减区间为1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了分类讨论思想，属于中档题.22.某网店销售某种商品，为了解该商品的月销量y （单位：千件）与月售价x （单位：元/件）之间的关系，对近几年的月销售量i y和月销售价()1,2,3,,10ix i=⋅⋅⋅数据进行了统计分析，得到了下面的散点图.（1）根据散点图判断，lny c d x=+与y bx a=+哪一个更适宜作为月销量y关于月销售价x的回归方程类型？（给出判断即可，不需说明理由），并根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（2）利用（1）中的结果回答问题：已知该商品的月销售额为Z（单位：千元），当月销售量为何值时，商品的月销售额预报值最大？（月销售额＝月销售量×当月售价）参考公式、参考数据及说明：①对一组数据()11,v w，()22,v w，…，(),n nv w，其回归直线w vαβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()121ni iiniiw w v vv vβ==--=-∑∑，w vαβ=-.②参考数据：x y u()1021iix x=-∑()1021iiu u=-∑()()101i iix x y y=--∑()()101i iiu u y y=--∑6.50 6.60 1.75 82.50 2.70 -143.25 -27.54表中lni iu x=，101110iiu u==∑.③计算时，所有的小数都精确到0.01，如ln4.06 1.40≈.【★答案★】（1）lny c d x=+，24.4510.20lny x=-（2）月销售量10.17y=（千件）时，月销售额预报值最大.【解析】【分析】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型，令ln u x =，根据提供数据求出,d c ，即可求出回归方程；（2）由z xy =，由（1）得到z 关于x 的函数，求导，求出单调区间，进而求出极值最值，即可得出结论.【详解】（1）ln y c d x =+更适宜销量y 关于月销售价x 的回归方程类型.令ln u x =，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于()()()101102127.5410.202.70i ii i i y y u u d u u ==---===--∑∑， 6.610.20 1.7524.45c y du =+⨯==-，所以y 关于u 的线性回归方程为24.4510.20y u =-，因此y 关于x 的回归方程为24.4510.20ln y x =-.（2）依题意得：()24.4510.20ln z xy x x ==-，()'24.4510.20ln '14.2510.20ln z x x x =-=-⎡⎤⎣⎦，令'0z =，即14.2510.20ln 0x -=，解得ln 1.40x ≈，所以 4.06x ≈，当()0,4.06x ∈时，z 递增，当()4.06,x ∈+∞时，z 递减，故当 4.06x =，z 取得极大值，也是最大值即月销售量10.17y =（千件）时，月销售额预报值最大.【点睛】本题考查线性回归方程的知识和应用，通过散点图判断变量之间的关系建立回归模型，通过利用线性回归方程求非线性回归方程，通过建立函数模型利用导数求最大销售额问题.综合考查概率统计知识分析处理数据，解决实际问题的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
2019-2020年高二下学期期中联考数学(理)试题 含答案
2019-2020年高二下学期期中联考数学（理）试题含答案王永杰李好敬一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数满足，则的共轭复数的虚部是（）A、B、C、D、2．若，则a的值是（）A、2B、3C、4D、63．已知随机变量服从正态分布则（）A、0.89B、0.78C、0.22D、0.114．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极值点有（）A、1个B、2个C、3个D、4个5．用数学归纳法证明不等式“”的过程中，由n=k到n=k+1时,不等式的左边（）A．增加了一项 B. 增加了两项C. 增加了一项，又减少了一项D. 增加了两项，又减少了一项6．已知随机变量X的分布列如下表（其中为常数）：则下列计算结果错误的是（）A、B、C、D、7．用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A.12B.24C.30D.368．直线a//b, a上有5个点，b上有4 个点，以这九个点为顶点的三角形个数为（）A、B、 C、D、9．某种玉米种子，如果每一粒发芽的概率为90%，播下5粒种子，则其中恰有两粒未发芽的概率约是（）A．0．07B．0．27 C．0．30 D．0．3310．展开式中的常数项是（ ）A ．B ．18C ．20D ．011．给出下列命题：(1)已知事件是互斥事件，若，则；(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；(3)的二项展开式中，共有4个有理项． 则其中真命题的序号是（ ）A ．(1)、(2)．B ．(1)、(3)．C ．(2)、(3)．D ．(1)、(2)、(3)．12．函数是函数的导函数，且函数在点处的切线为000:()'()()(),()()()l y g x f x x x f x F x f x g x ==-+=-，如果函数在区间上的图像如图所示， 且，那么（ ）A ．是的极大值点B ．=是的极小值点C ．不是极值点D ．是极值点二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2019-2020-2高二期中考试理科数学试卷(含答案)
当且仅当 a b 1 6 时等号成立， a b 的最小值为 2 2 6 ． 20．解：（Ⅰ）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为 6 6 36 ， （2 分）
D． 105 1024
13. 高一、高二、高三三个年级共有学生 1800 人，其中高一共有学生 800 人，现
用分层抽样的方法抽取 90 人作为样本，则应抽取高一学生为 人．
14. 已知二进制数1010(2) 化为十进制数为 n ，则 n 为 ．
15. 已知函数 f (x) log2 (| x 1| | x 2 | m) ．若关于 x 的不等式 f (x) 2 的解集
画出图形如图，矩形的面积为 S矩形 25 ，
阴影部分的面积为
S阴影
25
1 2
2
4
21 ， （10
分）
故满足 ab 0 的概率为 21 ． （12 分） 25
21．解：（Ⅰ）证明： f (x) | x a | | x 1 | | x a x 1 || a 1 | 2 ；
a
a
a
一．选择题（共 12 小题）
1． D 2． B 3． C 4． A 5． D 6． D
7． D 8． B 9． C 10． D 11． D 12． C
二．填空题（共 4 小题）
13． 40． 14． 10．
15． m≤− 1
16．
[0,
16 5
]
三．解答题（共 6 小题）
17． 解：（Ⅰ）由题意可得 a 1 [1 (0.01 0.06 0.07 0.04) 5] 0.02 ． 5
2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题 含答案
2019-2020年高二下学期期中联考数学理试题含答案一、选择题（本题12小题，每题5分共60分）1．已知复数的共轭复数(为虚数单位)，则在复平面内对应的点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若命题：，命题：，则是的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件3．几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．设函数，则该函数曲线在处的切线方程是( )A. B.C. D.5．观察按下列顺序排列的等式：，，，，…，猜想第个等式应为( )A．B．C．D．6．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是( )A. B. C. D.7．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为4，则的值为() A．6或－6 B．2或－2 C．4或－4 D．12或－128. 七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙，丙两位同学要站在一起，则不同的排法有( )A .240种 B.192种 C.120种 D.96种9. 若的展开式中的系数为,则的值等于( )A. B. C. D.10．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是() A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值11．已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点记作，,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A．B．C．D．12. 如图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记，截面下面部分的体积为，则函数的图象大致为()二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分）13．已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，则双曲线的渐近线方程为14. 将甲、乙、丙、丁四名学生分配到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为__________.15．如图，由曲线和直线，，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是__________16．我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x 求导数，得 于是()()()[()ln ()()]()x f x y f x x f x x f x ϕϕϕ'''=+， 运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .三解答题（本题6小题，17题10分，18-22题各12分，共70分）17.已知的展开式中前三项的系数成等差数列．设.求：(1)的值； (2)的值；(3) 的值；18．平行四边形中，且以为折线，把折起，使平面平面，连接（1）求证：；（2）求二面角 的余弦值.19．已知关于的不等式对任意恒成立；，不等式成立.若为真，为假，求的取值范围.20.设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围.21．椭圆E: 离心率为,且过.(1)求椭圆E 的方程;(2)已知直线过点,且与开口朝上,顶点在原点的抛物线C 相切于第二象限的一点,直线与椭圆E 交于两点,与轴交与点,若,,且,求抛物线C 的标准方程.22．已知函数在处取得极值2.（1）求的表达式；（2）设函数若对于任意的，总存在唯一的，使得，求实数的取值范围.xx 学年第二学期赣州市十二县（市）期中联考高二年级理科数学试卷答案一．选择题DCCAB DCBAD DA12.解析：选A.“分段”表示函数y ＝V (x )，根据解析式确定图象．y xD B O M NA ••当0＜x ＜12时，截面为五边形，如图所示． 由SC ⊥平面QEPMN ，且几何体为正四棱锥，棱长均为1，可求得正四棱锥的高h ＝22，取MN 的中点O ，易推出OE ∥SA ，MP ∥SA ，NQ ∥SA ，则SQ ＝SP ＝AM ＝AN ＝2x ，四边形OEQN 和OEPM 为全等的直角梯形，则V S -AMN ＝13×12·AM ·AN ·h ＝23x 2， 此时V (x )＝V S -ABCD －V S -AMN －V S -EQNMP ＝26－23x 2－13×(22x －32x 2)x ＝2x 3－2x 2＋26⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12， 非一次函数形式，排除选项C ，D.当E 为SC 中点时，截面为三角形EDB ，且S △EDB ＝24. 当12＜x ＜1时，S 截面24＝(1－x 12)2 ⇒S 截面＝2(1－x )2. 此时V (x )＝23(1－x )3⇒V ′(x)＝－2(1－x )2. 当x →1时，V ′→0，则说明V (x )减小越来越慢，排除选项B.二．填空题13. 14. 30 15. 14 16.16． 试题分析：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．三．解答题17解：(1) 由题设，得C 0n ＋14×C 2n ＝2×12×C 1n， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8，n ＝1(舍)． (3)(2). ，令8－r ＝5r ＝3，所以a 5＝7 (6)(3) 在等式的两边取x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8＝1256…………….10 18．解：（1）在中，2222cos 603,BD AB AD AB AD =+-⋅⋅⋅=所以所以，因为平面平面，所以平面，所以（5分）（2）在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为轴，DC 为轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为轴，建立如图的空间直角坐标系. 则D （0，0，0），B （，0，0），C （0，1，0），A （，0，1）（6分）设平面ABC 的法向量为，而由得：取（8分）再设平面DAC 的法向量为而由得：取 （10分）所以即二面角B-AC-D 的余弦值是 （12分）19．解：关于的不等式对任意恒成立，即在上恒成立。
2019-2020学年湖北宜城市第二中学高二下学期期中考试数学试题 解析
绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上1．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（）A ．66B ．132C ．66-D ．132-2．已知{}n a 是等比数列，11a =，32a =，则51016a a a a +=+（）A ．1B ．2C ．4D ．83．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，22017a =，则100S =（） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20194．已知函数()f x 可导，则()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．不存在C ．()113f ' D ．以上都不对5．设曲线()1ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（） A ．1B ．2C ．3D ．46．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，则不同的排法种数为（） A ．4B ．8C ．12D ．247．已知函数()21x f x x-=，则不等式()()121x x f e f e -->的解集是（）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（） A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个9．等差数列{}n a 中的2a 、4030a 是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则20162log a =（）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤11．已知等比数列{}n a 中，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭13．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+-，则()0f '=______． 14．若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =______． 15．若函数()332f x x x =-+在区间()2,24a a a -++上有极小值，则实数a 的取值范围是______． 16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，．．，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，．．．，999．则（1）4位回文数有______个；（2）()*21N n n +∈位回文数有______个． 17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1)求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值．18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，且11a +，21a +，41a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，*N n ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使319n S <成立的最大的正整数n ． 19．已知函数()ln af x x x=-，其中R a ∈，（1)当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围． 20．设函数()3213f x x ax ax =--，()224g x x x c =++． （Ⅰ）试问函数()f x 能否在1x =-时取得极值?说明理由；（Ⅱ）若1a =-，当[]3,4x ∈-时，()f x 与()g x 的图象恰好有两个公共点，求c 取值范围．21．某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物(精灵“文洛克”）饰品，生产该饰品的全部成本c 与生产的饰品的件数x （单位：万件）满足函数32120075c x =+(单位：万元)； 该饰品单价p （单位：元）的平方与生产的饰品件数x （单位：万件）成反比，现已知生产该饰品100万件时，其单价50p =元．且工厂生产的饰品都可以销售完．设工厂生产该饰品的利润为()f x （万元）（注：利润=销售额-成本）（Ⅰ）求函数()y f x =的表达式．（Ⅱ）当生产该饰品的件数x （万件)为多少时，工厂生产该饰品的利润最大． 22．已知函数()212ln xf x x+=． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()22ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围；（Ⅲ）若存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()1212ln ln f x f x k x x ->-成立，求k 的取值范围．2019-2020学年度宜城二中第二学期期中数学考卷（解析）1．答案：D因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以396242a a a +=-=， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，()1116111111213222a a a S ⨯+⨯===-，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题．2．答案：C设公比为q ，因为11a =，32a =，所以2312a q a ==，所以444251016161624a a a q a q q a a a a ++====++，故选C ．3．答案：A因为12018a =，22017a =，()*11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，所以31a =-，42018a =-，52017a =-，61a =，72018a =，…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++12342016a a a a =+++=．故选A ．4．答案：A()()()()()001111limlim 1x x f x f f x f f x x∆→-∆→-∆--∆-'==-∆-∆．故选A ． 5．答案：D 因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =．故选D ． 6．答案：B按首位同学的性别进行分类：①首位为男生，即按男女男女的顺序排列，有22114⨯⨯⨯=种排法； ②首位为女生，即按女男女男的顺序排列，有22114⨯⨯⨯=种排法． 总计为448+=种排法，故选B ． 7．答案：B函数()211x f x x x x -==-，可得()211f x x'=+，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∵10xe->，210x e ->，故不等式()()121x x f e f e -->的解集等价于不等式121x x e e -->的解集，即121x x ->-，∴23x <．故选B ． 8．答案：B：由题意，万位上的数字只能是4或5．①若万位上的数字是5，则个位上的数字可能是0，2，4中的一个，千位、百位、十位上的数字从剩余的四个数字中选取，此时偶数的个数为1432372⨯⨯⨯⨯=；②若万位上的数字是4，则个位上的数字可能是0，2中的一个，千位、百位、十位上的数字从剩余的四个数字中选取，此时偶数的个数为1432248⨯⨯⨯⨯=．∴比40000大的偶数共有7248120+=（个），故选B ． 9．答案：A()3214613f x x x x =-+-，()286f x x x '=-+，等差数列{}n a 中的2a 、4030a 是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点， 所以240308a a +=，所以()201624030118422a a a =+=⨯=，则201622log log 42a ==．10．答案：D 函数()32114332f x x mx x =-+-， 可得()24f x x mx '=-+，函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 可得240x mx -+≥在区间[]1,2上恒成立，可得4m x x≤+，44x x +≥=，当且仅当2x =时眼等号，所以4m ≤．11． 答案：D设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =，所以112n n a -=， 所以1121111222n n n n n a a +--=⨯=，所以数列{}n a 是首项为12，公比为14的等比数列， 所以12231111212241134314nn n na a a a a a +⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+==-<⎪⎝⎭-，所以23k ≥，故k 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选D ． 12．答案：C当2x ≥时，设()22x x xh x e +=，则()()()2222222x x xx x e x x e x h x e e+-+-'==-，易知当2x >时，()0h x '<，即()h x 是减函数，∴2x =时，()()282h e h x ==最大， 又x →+∞时，()0h x →且()0h x >，而2x ≤时，()2f x x =+是增函数，()24f =．()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，所以280m e <<．故选C ． 13．答案：4-由()()()()221221f x x x f f x x f '''=+⋅⇒=+，令1x =得()()12121f f ''=⨯+，解得()12f '=-，则()24f x x '=-，()04f '=-． 14．答案：()12n n a -=-．当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =， 当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，即12n n a a -=-， ∴{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，∴()12n n a -=-．15．答案：()1,1-对于函数()332f x x x =-+，求导可得()233f x x '=-，令()2330f x x '=-=，可得1x =-或1x =，当()1x ∈-∞-和()1,+∞，()0f x '>，函数是增函数，()1,1x ∈-时，()0f x '<，函数是减函数，1x =是函数的极小值点，由题意可得：21124a a a <⎧⎨<++⎩，解得()1,1a ∈-．16．答案：(1)90(2)4910⨯（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共91090⨯=种填法，即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义，此问题可以转化成填方格，在21n +个方格中，从左至右分别填入1a ，2a ，3a ，…，21n a +，其中1210n a a +=≠，共有9种情况，22n a a =，321n a a -=，…，2n n a a +=，每个各有10种情况，中间项1n a +有10种情况，∴根据分步乘法计数原理可得共有910n ⨯种情况，即回文数有910n⨯个． 17．（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1)得()228416n S n n n =-=--． 所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．18．（1）设数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，*N n ∈，由11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++，即()()23333d d +=+， 解得0d =（舍去）或3d =．所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈．（2）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以1111111325583132n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1113232233nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 由319n S <即()323219n n <+，得12n <， 所以使319n S <成立的最大的正整数11n =． 19．(1)解：当2a =时，由己知得()2ln f x x x =-，故()212f x x x'=+， 所以()1123f '=+=，又因为()21ln121f =-=-，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()231y x +=-，即350x y --=；（2）解：由()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+，又()1,x ∈+∞， 故2ln 2a x x x x <+-． 设函数()2ln 2g x x x x x =+-，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-． 因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->， 所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递增．所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-． 因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-． 20．解（1）()22f x x ax a '=--，令()10f '-=，1a =-当1a =-时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，函数无极值 所以()f x 在1x =-处无极值 （2）()()f x g x =，32133c x x x =--，令()32133h x x x x =-- ()223h x x x '=--，令()0h x '=，1x =-或3()f x 与()g x 的图象恰好有两个公共点，等价于()y h x =的图象与直线y c =恰好有两个交点，∴20533c -<<或9c =-．21．（Ⅰ）依题意：设2k p x=，代入100x =，50p =得：42510k =⨯，∴p=()()321200075f x x x =-> （Ⅱ）由(1)得()2675f x x '=则()26002575f x x x '>⇔>⇔<< 所以函数()f x 在()0,25上递增，在()25,+∞上递减，所以函数()f x 在25x =处有极大 值：因为()f x 在()0,+∞上只有唯一极值，所以函数()f x 在25x =处有最大值； 故当生产该饰品25万件时，可以获得最大利润． 22．解：（Ⅰ）()34ln xf x x-'=．令()0f x '=得1x =， ()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增： ()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，()f x 单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （Ⅱ）()22g x a x'--①当0a ≤时，()0g x '<，单调递减，故不可能有两个根，含去．②当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，()f x 单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '>，()f x 单调递增．所以1g <得01a <<．综上，01a <<．（Ⅱ）不妨设121x x >>，由（1）知()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减．所以()()1212ln ln f x f x k x x ->-，等价于()()()2112ln ln f x f x k x x ->-即()()2211ln ln f x k x f x k x +>+存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()2211ln ln f x k x f x k x +>+成立． 令()()ln h x f x k x =+，()h x 在()1,+∞存在减区间()234ln 0kx x h x x -'=<有解，即24ln x k x <有解，即2max4ln x k x ⎛⎫< ⎪⎝⎭令()24ln xt x x =，()()3412ln x t x x -'=，(x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，2max 4ln 2x x e⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2k e <．。
湖北宜城市第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含答案
2019-2020学年度宜城二中第二学期期中数学考卷1．在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于（ ）A ．66B ．132C ．66-D ．132-2．已知{}n a 是等比数列，11a =，32a =，则51016a a a a +=+（ ）A ．1B ．2C ．4D ．83．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，22017a =，则100S =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20194．已知函数()f x 可导，则()()11limx f x f x∆→-∆--∆等于（ ）A ．()1f 'B ．不存在C ．()113f ' D ．以上都不对5．设曲线()1ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，则不同的排法种数为（ ） A ．4B ．8C ．12D ．247．已知函数()21x f x x-=，则不等式()()121x x f e f e -->的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ） A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个9．等差数列{}n a 中的2a 、4030a 是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则20162log a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤11．已知等比数列{}n a 中，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（ ） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．已知函数()22,22,2x x xx f x e x x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．28,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．28,4e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．280,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．[)28,4,e ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭13．设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+-，则()0f '=______．14．若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =______． 15．若函数()332f x x x =-+在区间()2,24a a a -++上有极小值，则实数a 的取值范围是______． 16．回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，．．，99；3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，．．．，999．则（1）4位回文数有______个；（2）()*21N n n +∈位回文数有______个． 17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1)求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值．18．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，且11a +，21a +，41a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，*N n ∈，n S 是数列{}n b 的前n 项和，求使319n S <成立的最大的正整数n ． 19．已知函数()ln af x x x=-，其中R a ∈， （1)当2a =时，求函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程； （2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+，求a 的取值范围．20．设函数()3213f x x ax ax =--，()224g x x x c =++． （Ⅰ）试问函数()f x 能否在1x =-时取得极值?说明理由；（Ⅱ）若1a =-，当[]3,4x ∈-时，()f x 与()g x 的图象恰好有两个公共点，求c 取值范围．21．某工厂经奥组委授权生产销售伦敦奥运会吉祥物(精灵“文洛克”）饰品，生产该饰品的全部成本c 与生产的饰品的件数x （单位：万件）满足函数32120075c x =+ (单位：万元)； 该饰品单价p （单位：元）的平方与生产的饰品件数x （单位：万件）成反比，现已知生产该饰品100万件时，其单价50p =元．且工厂生产的饰品都可以销售完．设工厂生产该饰品的利润为()f x （万元）（注：利润=销售额-成本）（Ⅰ）求函数()y f x =的表达式．（Ⅱ）当生产该饰品的件数x （万件)为多少时，工厂生产该饰品的利润最大． 22．已知函数()212ln xf x x +=． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()22ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围；（Ⅲ）若存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()1212ln ln f x f x k x x ->-成立，求k 的取值范围．2019-2020学年度宜城二中第二学期期中数学考卷（解析）1．【答案】D【解析】因为3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，所以396242a a a +=-=， 又396242a a a +=-=，所以612a =-，()1116111111213222a a a S ⨯+⨯===-，故选D ．【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题． 2．【答案】C【解析】设公比为q ，因为11a =，32a =，所以2312a q a ==，所以444251016161624a a a q a q q a a a a ++====++，故选C ． 3．【答案】A【解析】因为12018a =，22017a =，()*11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，所以31a =-，42018a =-，52017a =-，61a =，72018a =，…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6，因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++12342016a a a a =+++=．故选A ．4．【答案】A 【解析】()()()()()001111limlim 1x x f x f f x f f x x∆→-∆→-∆--∆-'==-∆-∆．故选A ． 5．【答案】D 【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =．故选D ． 6．【答案】B【解析】按首位同学的性别进行分类：①首位为男生，即按男女男女的顺序排列，有22114⨯⨯⨯=种排法； ②首位为女生，即按女男女男的顺序排列，有22114⨯⨯⨯=种排法． 总计为448+=种排法，故选B ． 7．【答案】B【解析】函数()211x f x x x x -==-，可得()211f x x'=+，()0,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，∵10xe->，210x e ->，故不等式()()121x x f e f e -->的解集等价于不等式121x x e e -->的解集，即121x x ->-，∴23x <．故选B ． 8．【答案】B【解析】：由题意，万位上的数字只能是4或5．①若万位上的数字是5，则个位上的数字可能是0，2，4中的一个，千位、百位、十位上的数字从剩余的四个数字中选取，此时偶数的个数为1432372⨯⨯⨯⨯=；②若万位上的数字是4，则个位上的数字可能是0，2中的一个，千位、百位、十位上的数字从剩余的四个数字中选取，此时偶数的个数为1432248⨯⨯⨯⨯=． ∴比40000大的偶数共有7248120+=（个），故选B ． 9．【答案】A 【解析】()3214613f x x x x =-+-，()286f x x x '=-+， 等差数列{}n a 中的2a 、4030a 是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点， 所以240308a a +=，所以()201624030118422a a a =+=⨯=，则201622log log 42a ==．10．【答案】D 【解析】函数()32114332f x x mx x =-+-， 可得()24f x x mx '=-+，函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数， 可得240x mx -+≥在区间[]1,2上恒成立，可得4m x x≤+，44x x +≥=，当且仅当2x =时眼等号，所以4m ≤．11． 【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则34118a q a ==，解得12q =，所以112n n a -=， 所以1121111222n n n n n a a +--=⨯=，所以数列{}n a 是首项为12，公比为14的等比数列， 所以12231111212241134314nn n na a a a a a +⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭++⋅⋅⋅+==-<⎪⎝⎭-，所以23k ≥，故k 的取值范围是2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选D ． 12．【答案】C【解析】当2x ≥时，设()22x x xh x e +=，则()()()2222222x x xx x e x x e x h x e e+-+-'==-，易知当2x >时，()0h x '<，即()h x 是减函数，∴2x =时，()()282h e h x ==最大， 又x →+∞时，()0h x →且()0h x >，而2x ≤时，()2f x x =+是增函数，()24f =．()()g x f x m =-有两个零点，即()y f x =的图象与直线y m =有两个交点，所以280m e <<．故选C ． 13．【答案】4-【解析】由()()()()221221f x x x f f x x f '''=+⋅⇒=+，令1x =得()()12121f f ''=⨯+，解得()12f '=-，则()24f x x '=-，()04f '=-． 14．【答案】()12n n a -=-．【解析】当1n =时，1112133a S a ==+，解得11a =， 当2n ≥时，111212122333333n n n n n n n a S S a a a a ---⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，即12n n a a -=-， ∴{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，∴()12n n a -=-．15．【答案】()1,1-【解析】对于函数()332f x x x =-+，求导可得()233f x x '=-，令()2330f x x '=-=，可得1x =-或1x =，当()1x ∈-∞-和()1,+∞，()0f x '>，函数是增函数，()1,1x ∈-时，()0f x '<，函数是减函数，1x =是函数的极小值点，由题意可得：21124a a a <⎧⎨<++⎩，解得()1,1a ∈-．16．【答案】(1)90(2)4910⨯【解析】（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法，中间两位一样，有10种填法，共91090⨯=种填法，即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义，此问题可以转化成填方格，在21n +个方格中，从左至右分别填入1a ，2a ，3a ，…，21n a +，其中1210n a a +=≠，共有9种情况，22n a a =，321n a a -=，…，2n n a a +=，每个各有10种情况，中间项1n a +有10种情况，∴根据分步乘法计数原理可得共有910n ⨯种情况，即回文数有910n⨯个． 17．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1)得()228416n S n n n =-=--． 所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．18．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则()21n a n d =+-，*N n ∈，由11a +，21a +，41a +成等比数列，得()()()2214111a a a +=++，即()()23333d d +=+， 解得0d =（舍去）或3d =．所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-，*N n ∈．（2）因为()()111111313233132n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭， 所以1111111325583132n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()1113232233nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 由319n S <即()323219n n <+，得12n <， 所以使319n S <成立的最大的正整数11n =． 19．(1)解：当2a =时，由己知得()2ln f x x x =-，故()212f x x x'=+， 所以()1123f '=+=，又因为()21ln121f =-=-，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()231y x +=-，即350x y --=；（2）解：由()2f x x >-+，得ln 2ax x x->-+，又()1,x ∈+∞， 故2ln 2a x x x x <+-． 设函数()2ln 2g x x x x x =+-，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-． 因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->， 所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->， 故函数()g x 在()1,+∞上单调递增．所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-． 因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x x >-+成立， 所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-． 20．解（1）()22f x x ax a '=--，令()10f '-=，1a =-当1a =-时，()0f x '≥，()f x 在R 上单调递增，函数无极值 所以()f x 在1x =-处无极值 （2）()()f x g x =，32133c x x x =--，令()32133h x x x x =-- ()223h x x x '=--，令()0h x '=，1x =-或3()f x 与()g x 的图象恰好有两个公共点，等价于()y h x =的图象与直线y c =恰好有两个交点，∴20533c -<<或9c =-．21．（Ⅰ）依题意：设2k p x=，代入100x =，50p =得：42510k =⨯，∴p=()()321200075f x x x =-> （Ⅱ）由(1)得()2675f x x '=则()26002575f x x x '>⇔>⇔<< 所以函数()f x 在()0,25上递增，在()25,+∞上递减，所以函数()f x 在25x =处有极大 值：因为()f x 在()0,+∞上只有唯一极值，所以函数()f x 在25x =处有最大值； 故当生产该饰品25万件时，可以获得最大利润． 22．解：（Ⅰ）()34ln xf x x-'=．令()0f x '=得1x =， ()0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增： ()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．综上，()f x 单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （Ⅱ）()22g x a x'--①当0a ≤时，()0g x '<，单调递减，故不可能有两个根，含去．②当0a >时，x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，()f x 单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0g x '>，()f x 单调递增．所以1g <得01a <<．综上，01a <<．（Ⅱ）不妨设121x x >>，由（1）知()1,x ∈+∞时，()f x 单调递减．所以()()1212ln ln f x f x k x x ->-，等价于()()()2112ln ln f x f x k x x ->-即()()2211ln ln f x k x f x k x +>+存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()2211ln ln f x k x f x k x +>+成立． 令()()ln h x f x k x =+，()h x 在()1,+∞存在减区间()234ln 0kx x h x x -'=<有解，即24ln x k x <有解，即2max4ln x k x ⎛⎫< ⎪⎝⎭令()24ln xt x x =，()()3412ln x t x x -'=，(x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，2max 4ln 2x x e⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2k e <．。
湖北省宜城市高二数学下学期期中试题 理 新人教A版
数学期中考试试卷（理科）一､选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是( ) ①所有的质数（素数）都是奇数; ②∀x ∈R,(x-1)2+1≥1; ③有的无理数的平方还是无理数.A.0B.1C.2D.3 2．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（ ） A ．x –y= 0 B. x +y=0 C.|x|=|y| D.y=|x|3．已知椭圆192522=+y x 上的一点M 到焦点F1的距离为2，N 是MF1的中点，O 为原点，则|ON|等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 234．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于X 轴对称的点的坐标为（ ）A ．)4,1,3(--B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--5.若n ＝(1，－2,2)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是()A ．(1，－2,0)B ．(0，－2,2)C ．(2，－4,4)D ．(2,4, 4)6.已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c|=( ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2 7．抛物线y2＝8x 的焦点到准线的距离是( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．88．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 9．条件p ：1>x ，1>y ，条件q ：2>+y x ，1>xy ，则条件p 是条件q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件10已知F 是椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的左焦点, P 原点), 则该椭圆的离心率是 ( )A.22B.42C.21D. 23二､填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.抛物线2=x y 的焦点坐标是12. 若向量,94,2k j i b k j i a++=+-=，则这两个向量的位置关系是______13．已知|a|＝22，|b|＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉=__14.椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k15.已知命题p:∀x ∈R,ax2+2x+3>0,如果命题¬p 是真命题,那么实数a 的取值范围是________. 三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)16.已知命题p:“∀x ∈[1,2],x2-a ≥0”,命题q:“∃x0∈R, x20+2ax0+2-a=0”,若命题“p 且q ”是真命题,求实数a 的取值范围.17．已知△ABC 中，A 、B 的坐标分别是(–5, 0)、(5, 0)，边AC 、BC 所在直线的斜率之积为–12，求顶点C 的轨迹方程.18．已知3a b +与75a b -垂直，且4a b -与72a b -垂直，求〈,a b〉19.已知命题p:“对m ∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥28m +恒成立”;命题q:“不等式x2+ax+2<0有解”.若p 是真命题,q 是假命题,求a 的取值范围.20．在棱长AB ＝AD ＝2，AA1＝3的长方体ABCD －A1B1C1D1中，点E 是平面BCC1B1上的动点，点F 是CD 的中点．试确定点E 的位置，使D1E ⊥平面AB1F.21.已知，椭圆C 过点A ⎝⎛⎭⎫1，32，两个焦点为(－1,0)，(1,0)． (1)求椭圆C 的方程；(2) E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值2012--2013高二下学期期中考试11.1(,0)4 12. 垂直 13. 3π414. 1 15. a ≤1316.解:由“p 且q ”是真命题,则p 为真命题,q 也为真命题. （2分） 若p 为真命题,a ≤x2恒成立,∵x ∈[1,2],∴a ≤1. （4分） 若q 为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即a ≥1或a ≤-2, （8分） 综上所求实数a 的取值范围为 a ≤-2或a=1. （12分）17．解：设C(x, y), 则（x ≠±5） （4分）由11,2552AC BCy y k k x x =-=-+-得 （8分）所以动点C 的轨迹方程为x225 + y2252= 1 (x ≠±5） （12分）18. (a ＋3b)·(7a －5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a ·b ＝0， （3分） (a －4b)(7a －2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a ·b ＝0， （6分） 解得：|b|2＝2a ·b ＝|a|2， （8分） ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a|·|b|＝12， （10分）∴〈a ，b 〉＝60°. （12分）19.解:∵m ∈[-1,1],∈ （2分）∵对m ∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立,可得a2-5a-3≥3,（4分）∴a ≥6或a ≤-1.故命题p 为真命题时,a ≥6或a ≤-1. （6分） 又命题q:不等式x2+ax+2<0有解,∴Δ=a 2-8>0,∴或. （8分）从而命题q 为假命题时≤a ≤,∴命题p 为真命题,q 为假命题时,a 的取值范围（10分）为≤a ≤-1. （12分）20. 解:建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)， 设E(2，y ，z)⇒D1E →＝(2，y －2，z －3)，AF →＝(1,2,0)，AB1→＝(2,0,3)， （4分） ∵D1E ⊥平面AB1F ，∴⎩⎪⎨⎪⎧D1E →·AF →＝0，D1E →·AB1→＝0.（8分）即⎩⎪⎨⎪⎧2＋2(y －2)＝04＋3(z －3)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝53.（11分）∴E(2,1，53)即为所求． （13分）21. 解:(1)由题意c ＝1， （2分） 由定义|F1A|＋|F2A| ＝4＋94＋94＝4＝2a ，∴a ＝2，∴b ＝3， （4分）∴椭圆方程为x24＋y23＝1. （6分）(2)设直线AE 方程为：y ＝k(x －1)＋32，代入x24＋y23＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2－12＝0 （8分）设E(xE ，yE)，F(xF ，yF)，因为点A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上， 所以xE ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2－123＋4k2，yE ＝kxE ＋32－k （10分）又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以－k 代k ，可得xF ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k2，yF ＝－kxF ＋32＋k. （12分） 所以直线EF 的斜率kEF ＝yF －yE xF －xE ＝－k(xF ＋xE)＋2k xF －xE＝12，即直线EF 的斜率为定值，其值为12. （14分）。
2019年湖北省襄阳市宜城第二高级中学高二数学理模拟试卷含解析
2019年湖北省襄阳市宜城第二高级中学高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数在区间上的值域是，则点的轨迹是图中的( )A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CDC．线段AD和线段BC D．线段AC和线段BD参考答案：A2. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个公共点，且，若椭圆离心率，则双曲线的离心率（）A. B. C. 3 D. 4参考答案：B【分析】设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得，，再由余弦定理，可得，与的关系，结合离心率公式，可得，的关系，计算可得所求值．【详解】设，，为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即为，由，可得，故选：．【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．3. 如图所示为一平面图形的斜二测画法的直观图，则此平面图形可能是下图中的（）参考答案：C4. 点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0参考答案：C【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C5. 抛物线y2﹣8x=0的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，﹣2）C．（2，0）D．（﹣2，0）参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．【解答】解：整理抛物线方程得抛物线y2=8x，所以焦点在x轴上，p=4，所以焦点（2，0）.6. sin15°cos15°=（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】由正弦的倍角公式变形即可解之．【解答】解：因为sin2α=2sinαcosα，所以sin15°cos15°=sin30°=．故选A．7. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为( )A． B． C．D．参考答案：A8. 曲线与曲线的（）A.长轴长相等B. 短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等参考答案：D略9. △ABC中三个内角为A、B、C，若关于x的方程有一根为1，则△ABC一定是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形参考答案：B10. 函数的单调递减区间为()A．(－∞,1) B．(1，＋∞) C．(0，1) D．（0，＋∞）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数的实部为，虚部为．参考答案：1，－1略12. 已知实数x、y满足方程x2+y2+4y﹣96=0，有下列结论：①x+y的最小值为；②对任意实数m，方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）与题中方程必有两组不同的实数解；③过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为y=3；④若x，y∈N*，则xy的值为36或32．以上结论正确的有（用序号表示）参考答案：①③④【考点】圆的一般方程．【分析】根据圆的标准方程得到圆的参数方程，由x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，判断①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0表示过点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故直线和圆可能相切、相交，判断②不正确；由圆的对称性、切线的对称性知，A，B 关于y轴对称，求出点M到AB的距离为15，故AB的方程为y=18﹣15=3，判断③正确；利用圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），从而得到x，y∈N*时xy的值，判断④正确．【解答】解：方程x2+y2+4y﹣96=0 即 x2+（y+2）2=100，表示以（0，﹣2）为圆心，以10为半径的圆．令x=10cosθ，y=﹣2+10sinθ，有x+y=﹣2+10sin（θ+45°）≥﹣2﹣10，故①正确；方程（m﹣2）x﹣（2m+1）y+16m+8=0（m∈R）即 m（x﹣2y+16）﹣（2x+y﹣8）=0，表示过x﹣2y+16=0 与2x+y﹣8=0交点（0，8）的直线系，而点（0，8）在圆上，故有的直线和圆有两个交点，有的直线和圆有一个交点，故②不正确；过点M（0，18）向题中方程所表示曲线作切线，切点分别为A，B，由圆的对称性、切线的对称性知，A，B关于y轴对称．而切线MA=，MA 与y轴的夹角为30°，点M到AB的距离为MA?cos30°=15，故AB的方程为y=18﹣15=3，故③正确；圆x2+（y+2）2=100上的坐标为正整数点有（6，6），（8，4），若x，y∈N*，则xy的值为36或32，故④正确．综上，①③④正确，故答案为：①③④．13. 某种树苗成活的概率都为，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X，则X的方差为．参考答案：90【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】直接利用独立重复试验的方差公式求解即可．【解答】解：由题意可得X∽B，则X的方差为：1000×=90．故答案为：90．14. 在等比数列中，已知，则该数列的前15项的和。
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1.在等差数列{an} 中，a3 ，a9 是方程 x2 24x 12 0 的两根，则数列{an} 的前 11 项和等
于（ ）
A．66
C． 66
【答案】D
B．132
D． 132
【解析】因为 a3 ， a9 是方程 x2 24x 12 0 的两根，
∵ e1x 0，e2x1 0 ，故不等式 f (e1x )＞f (e2x1 ) 的解集等价于不等式 e1﹣x e2x﹣1 的解
集，即1 x 2x 1，∴ x 2 ．故选 B． 3
8.用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的偶数共有( )
A．144 个
他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，则不同的排法种数为( )
A．4
B．8
C．12
D．24
【答案】：B
【解析】：按首位同学的性别进行分类：
①首位为男生，即按男女男女的顺序排列，有 2×2×1×1＝4 种排法；
②首位为女生，即按女男女男的顺序排列，有 2×2×1×1＝4 种排法．
总计为 4＋4＝8 种排法．故选 B.
x
x
x
11.已知等比数列{an} 中，a1
1 ，a4
1 8
，且 a1a2
a2a3
a na n 1
k
，则
k
的取值范
围是 （ ）
A. [1 , 2] 23
B.[1 , ) 2
C. [1 , 2) 23
D. [ 2 , ) 3
【答案】.D【解析】设等比数列{an} 的公比为 q ，则 q3
a4 a1
1 2
8
4
，则
log a2016 2
log 2 4 2 .
10.已知函数 f (x) 1 x3 1 mx 2 4x 3 在区间[1,2] 上是增函数，则实数 m 的取值范围 32
为（ ）
A． 4 m 5
B． 2 m 4
C． m 2
D． m 4
【答案】D【解析】函数 f (x) 1 x3 1 mx 2 4x 3 ， 32
x0
x
x0
x
故选 A.
5.设曲线 y a(x 1) ln x 在点 1, 0 处的切线方程为 y 3x 3 ，则 a （ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因为 y a 1 ，且在点 1, 0 处的切线的斜率为 3，所以 a 1 3 ，即 a 4 .
x
故选 D.
6.某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出 2 位男生和 2 位女生为校园“孝”之星，现将
千位、百位、十位上的数字从剩余的四个数字中选取，此时偶数的个数为 1×4×3×2×2＝48.
∴比 40000 大的偶数共有 72＋48＝120(个)，故选 B.
9.等差数列{an} 中的
a2
、
a4030 是函数
f
(x)
1 3
x3
4x2
6x
1 的两个极值点，则
log a2016 2
=(
)
A． 2
B． 3
a10 a6
（
）
A.1
B. 2
C. 4
【答案】.C
D. 8
【解析】设公比为 q ，因为 a1
1， a3
2 ，所以 q2
a3 a1
2
，所以
a5 a1
a10 a6
a1q4 a6q4 a1 a6
q4
22
4 ，故选 C.
3.数列{an} 的前 n 项 和 记 为 Sn ，an1 an an1 (n N * ，n 2) ，a1 2018 ，a2 2017 ，
7．已知函数 f x ＝ x2 1 ，则不等式 f (e1x )＞f (e2x1 ) 的解集是（ ）
x
A．
,
2 3
B．
,
2 3
C． (, 0)
D．
2 3
,
【答案】B【解析】函数
f
(x)
x2 1 x
x
1 x
，可得
f
( x)
1
1 x2
，
x (0， ) 时， f (x)＞0 ， f (x) 单调递增，
可得 f (x) x 2 mx 4 ，函数 f (x) 1 x3 1 mx 2 4x 3 在区间[1,2]上是增函数， 32
可得 x 2 mx 4 0 在区间[1,2] 上恒成立，
可得 m x 4 ， x 4 2 x 4 4 ，当且仅当 x 2 时取等号，所以 m 4 .
C． 4
D． 5
【答案】A
【解析】 f (x) 1 x3 4x 2 6x 1， f (x) x 2 8x 6 ， 3
等差数列{an } 中的 a2
、
a4030 是函数
f
(x)
1 3
x3
4x2
6x
1的两个极值点，
所以 a2 a4030
8 ，所以 a2016
1 2
(a
2
a4030 )
所以 a3 a9 24 ，
又 a3 a9 24 2a6 ，所以 a6 12 ，
S11
11 (a1 2
a11)
11 2a6 2
132
，故选
D.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题.
2.已知{an} 是等比数列， a1
1， a3
2
，则
a5 a1
B．120 个
C．96 个
D题意，万位上的数字只能是 4 或 5.①若万位上的数字是 5，则个位上的数字可
能是 0，2，4 中的一个，千位、百位、十位上的数字从剩余的四个数字中选取，此时偶数的
个数为 1×4×3×2×3＝72；②若万位上的数字是 4，则个位上的数字可能是 0，2 中的一个，
a97 a98 a99 a100 a1 a2 a3 a4 2016 .故选 A.
4.已知函数 f x 可导，则 lim
f 1 x f 1
等于（
）
x0
x
A． f '1
B．不存在
C． 1 f '1
3
【答案】A
D．以上都不对
【解析】 lim f 1 x f 1 lim f 1 x f 1 f (1) .
则 S100 （ ）
A． 2016
【答案】.A
B. 2017
C. 2018
D. 2019
【解析】因为 a1 2018 ， a2 2017 ， an1 an an1 (n N * ， n 2) ，所以 a3 1 ，
a4 2018 ，a5 2017 ，a6 1，a7 2018 ，…，所以数列{an}是周期数列，周期为 6 ， 因为 a1 a2 a5 a6 0 ，所以 S100 16(a1 a2 a5 a6 )