第4讲 动量与动量守恒定律

例题1 质量为2.5g的乒乓球以 的乒乓球以10m/s的速率飞 例题 质量为 的乒乓球以 的速率飞
的速率飞出。 来，被板推挡后，又以20m/s的速率飞出。设 被板推挡后，又以 的速率飞出 两速度在垂直于板面的同一平面内， 两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与 板面法线的夹角分别为45 板面法线的夹角分别为 o和30o，求： ；（2） （1）乒乓球得到的冲量；（ ）若撞击时间为 ）乒乓球得到的冲量；（ 0.01s，求板施于球的平均冲力的大小和方向。 ，求板施于球的平均冲力的大小和方向。 取挡板和球为研究对象， 解：取挡板和球为研究对象，由于作用 时间很短，忽略重力影响。 时间很短，忽略重力影响。 设挡板对球的冲力为F 设挡板对球的冲力为 。根据动量定理得 O y
Fx =6.1N Fy =0.7N F = F + F =6.14N
2 x 2 y
I x =0.061Ns
I y =0.007Ns
2 I = I x2 + I y = 6.14×10 2 N s
tg α =
Iy Ix
= 0 .1 1 4 8
v1
I
v2 30o 45o v1 n
α =6.54°
α为 I 与x方向的夹角。 □ 方向的夹角。 方向的夹角
由于由于内力总是成对出现的 由于由于内力总是成对出现的，质点系内部作用力 内力总是成对出现 和反作用力有相同的作用时间， 和反作用力有相同的作用时间，作用力冲量与反作 用力冲量之和为零， 用力冲量之和为零，则有 v v v t v v ∫ ( ∑ Fi外 ) d t = ∑ m i vi ∑ m i v 0 i = ∑ Pi ∑ P0 i
3 平均冲力
v v v I = ∫ Fdt =P v v P F= t
鸟与飞机相向飞行时, 鸟与飞机相向飞行时,虽然鸟飞行的 速度不会很快, 速度不会很快,但是飞机的飞行速度 很快,鸟对飞机造成的撞击会非常大. 很快,鸟对飞机造成的撞击会非常大. 鸟重0.45公斤 飞机速度960公里 鸟重0.45公斤,飞机速度960公里/小 公斤, 公里/ 相撞将产生21.6万牛顿的力 万牛顿的力. 时,相撞将产生21.6万牛顿的力. 鸟重1.8公斤 飞机速度700公里 小时, 鸟重1.8公斤,飞机速度700公里/小时, 公斤, 公里/ 相撞将产生比炮弹还大的冲击力. 相撞将产生比炮弹还大的冲击力.
高度下落， ， 例题２ 例题２ 一只篮球质量为 0.58 kg，从2.0 m 高度下落， 到达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅 到达地面后，以同样速率反弹， 0.019s。 求：对地平均冲力。 。 对地平均冲力。 解： 篮球到达地面的速率 F F(max)
v = 2 gh = 2 × 9.8 × 2 = 6.3 m/s
I x＝Px－Px 0
I y＝Py－Py 0 I z＝Pz－Pz 0
------ 分量形式
一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着， 例4 一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下 端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落 端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开， 在桌面上。证明：在绳下落的过程中， 在桌面上。证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于 桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。 证明：取如图坐标， 时刻已有 证明：取如图坐标，设t时刻已有 x长的柔绳落至桌面，随后的 时 长的柔绳落至桌面， 长的柔绳落至桌面 随后的dt时 间内将有质量为ρ ρ 间内将有质量为ρdx(ρ=M/L)的柔 的柔 绳以速率v 绳以速率 =dx/dt 碰到桌面而停 它的动量增量 增量为 止，它的动量增量为：
2 应用
利用冲力：增大冲力,减小作用时间——冲床 利用冲力：增大冲力,减小作用时间——冲床 避免冲力：减小冲力, 增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲 避免冲力：减小冲力, 增大作用时间——轮船靠岸时的缓冲 计算平均冲力： 计算平均冲力：碰撞或冲击等作用时间极短过程中产生的冲 力变化迅速, 难以测量瞬时值, 一般计算平均冲力, 力变化迅速, 难以测量瞬时值, 一般计算平均冲力, 再乘 以一个保险系数, 即可估算此过程中的作用力. 以一个保险系数, 即可估算此过程中的作用力. 一般此内 部冲力远大于外部主动冲力(如重力), 因而忽略外部冲力. 部冲力远大于外部主动冲力(如重力), 因而忽略外部冲力.
冲量的方向与平均冲力的方向相同. 冲量的方向与平均冲力的方向相同 □
4 动量的物理意义
v v t2 v v P = (mv) = ∫ Fdt = I
t1
根据动量定理, 相等的冲量作用下 根据动量定理, 在相等的冲量作用下, 不同质量的 作用下, 物体, 速度变化是不相同的 但它们的动量的变 物体, 其速度变化是不相同的, 但它们的动量的变 却是一样 一样的 化却是一样的. 所以从过程角度来看, 所以从过程角度来看, 动量比速度能更恰当地反 映了物体的运动状态. 映了物体的运动状态. 因此, 一般描述物体作机械运动时的状态参量, 因此, 一般描述物体作机械运动时的状态参量, 用 动量比用速度更确切些 动量比用速度更确切些. 动量和位矢是描述物体机械运动状态的状态参量. 动量和位矢是描述物体机械运动状态的状态参量. □
∫
t1
I y = ∫ Fy dt = mv2 y mv1 y
t1
t2
——分量形式 ——分量形式
I z = ∫ Fz dt = mv2 z mv1z
t1
t2
1 说明
v t2 v v P = ∫ Fdt = I
t1
动量定理建立了过程量 冲量 与状态量 动量 之间的关系 动量定理建立了过程量 冲量)与状态量(动量 之间的关系. 过程量(冲量 动量)之间的关系 由动量定理知, 冲量的方向与动量增量的方向相同. 由动量定理知, 冲量的方向与动量增量的方向相同. 计算物体冲量时, 无须确定各个外力, 只须知道质点始末 计算物体冲量时, 无须确定各个外力, 两态的动量的变化即可. 两态的动量的变化即可. 质点动量的改变是由外力和作用时间两个因素决定的. 质点动量的改变是由外力和作用时间两个因素决定的.
对地平均冲力
F
2mv 2 × 0.58 × 6.3 = 3.8 × 102 N F= = t 0.019
重物所受重力! 相当于 40kg 重物所受重力 □ O 0.019s
t
例题3 一颗子弹在枪筒内受合力为F 例题3 一颗子弹在枪筒内受合力为 = a – bt ，运行到枪 口刚好 F = 0 ，由枪口射出时速率为 v0 。 求：子弹在枪筒内运行的时间；子弹所受的 子弹在枪筒内运行的时间； 冲量；子弹的质量。 为常数、 单位质 单位质） 冲量；子弹的质量。 （a、b为常数、SI单位质） 、 为常数 解： 子弹出枪口时 a bt = 0 由冲量的定义 I = ∫ 由动量定理
3.1 质点的动量定理 3.2 质点系的动量定理 3.3 动量守恒定律 牛顿第二定律——合外力作用下, 质点产生加速度, 牛顿第二定律——合外力作用下 质点产生加速度, 合外力作用下, 速度将发生变化 将发生变化. 速度将发生变化. 力的作用需要持续一段时间, 从而使物体的动量发 力的作用需要持续一段时间, 从而使物体的动量 动量发 生改变, 这就是力对时间的累积作用 生改变, 这就是力对时间的累积作用. 力对时间的累积作用. 冲量会使质点或质点系的动量发生变化或转移. 在 冲量会使质点或质点系的动量发生变化或转移. 一定条件下, 质点系内的动量将保持守恒. 一定条件下, 质点系内的动量将保持守恒. □
二 质点的动量定理 v
——牛顿第二定律推论之一 牛顿第二定律推论之一
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v v v v dP ∴ dP = Fdt = dI ——微分形式 Q F= 微分形式 dt
动量的微分等于合力的元冲量. 动量的微分等于合力的元冲量 v v v v P2 v v Q F = F ( t ) ∴ P2 P = P dP = v 1
t0 p0
因为作用时间相同， 因为作用时间相同，有：
∫
t
t0
v v v ( ∑ Fi ) d t = ∑ m i v i ∑ m i v 0 i
v v v 把作用力区分为外力和内力， 把作用力区分为外力和内力，则： Fi = Fi外 + Fi内
∫
t
t0
v v v v (∑ Fi外 + ∑ Fi内 )dt = ∑mi vi ∑mi vi 0
v v dI = Fdt
作用时间很短, 认为dt 作用时间很短 认为 时间内的力为恒力. 时间内的力为恒力
方向：与力的方向相同. □ 方向：与力的方向相同.
3 变力的冲量
v F
F t1 O dt t2 t
v v 一般情况, 一般情况 F = F ( t )
v t2 v I = ∫ Fdt
t1
方向：等于这段时间内元冲量的矢量和的方向 方向：等于这段时间内元冲量的矢量和的方向. 4 合力的冲量 v v v v v v F = ∑ Fi I = ∫ Fdt = ∫ ∑ Fi dt = ∑ ∫ Fi dt = ∑ I i i i i i 各个分力作用时间相同. 各个分力作用时间相同 冲量是矢量, 表征力持续作用一段时间的累积效应. 冲量是矢量, 表征力持续作用一段时间的累积效应. 冲量是过程量, 是改变物体运动状态(动量)的原因. □ 冲量是过程量 是改变物体运动状态(动量)的原因. 过程量,
3.1 质点的动量定理
一 力的冲量 力总是在一段时间内起作用, 为了表述力在这段时间 力总是在一段时间内起作用 为了表述力在这段时间 内的累积作用, 引入冲量的概念. 内的累积作用 引入冲量的概念 1 恒力的冲量
v F
t1 t2 t
v v I = F t
方向：与力的方向相同. 方向：与力的方向相同. 2 元冲量
a/b 0