数学人教版九年级上册21.3 实际问题与一元二次方程(面积问题 )
21.3 实际问题与一元二次方程 教案 【新人教版九年级上册数学】
21.3 实际问题与一元二次方程教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1. 掌握用“倍数关系”、“面积法”等建立数学模型，并利用它解决实际问题．2. 掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．3. 经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．教学难点根据“倍数关系”、“面积法”等之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．课时安排3课时.1教案A第1课时教学内容21.3 实际问题与一元二次方程（1）：由“倍数关系”等问题建立数学模型，并通过配方法或公式法或分解因式法解决实际问题．教学目标1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决实际问题．2．经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型．教学重点用“倍数关系”建立数学模型．教学难点用“倍数关系”建立数学模型．教学过程一、导入新课师：同学们好，我们已经学过用一元一次方程来解决实际问题，你还记得列一元一次方程解决实际问题的步骤吗？生：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程，最后答题．试：同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型．这一节我们就讨论如何利用一元二次方程解决实际问题．二、新课教学探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？教师引导学生审题，让学生思考怎样设未知数，找等量关系列出方程．分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．开始有一个人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有个人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，用代数式表示，第二轮后共有个人患了流感．列方程1＋x＋x(x＋1)＝121，整理，得x2＋2x－120＝0．解方程，得x1＝10，x2＝－12（不合题意，舍去）2答：每轮传染中平均一个人传染了10个人．思考：按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？121＋121×10＝1331（人）通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗?后一轮被传染的人数是前一轮患病人数的x倍．三、巩固练习某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支、主干，如果支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则1＋x＋xx＝91，即x2＋x－90＝0．解得x1＝9，x2＝－10（不合题意，舍去）答：每个支干长出9个小分支．四、课堂小结本节课应掌握：1．利用“倍数关系”建立关于一元二次方程的数学模型，并利用恰当方法解它．2．解一元二次方程的一般步骤：一审、二设、三列、四解、五验（检验方程的解是否符合题意，将不符合题意的解舍去）、六答．五、布置作业习题21.3 第6题．第2课时教学内容21.3实际问题与一元二次方程（2）：建立一元二次方程的数学模型，解决增长率与降低率问题．教学目标掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题．教学重点如何解决增长率与降低率问题．教学难点解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了探究1关于“倍数”的问题，知道了解一元二次方程的一般步骤．今天，我们就学习如何解决“增长率”与“降低率”的问题．二、新课教学探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 0003元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）．显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）．解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2元，于是有5 000(1－x)2＝3 000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%．算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率．解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有6 000(1－x)2＝3 600．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%．甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%．思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．三、巩固练习某人将2 000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1 000元用于购物，剩下的1 000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1 320元，求这种存款方式的年利率．分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2 000元取1 000元，剩下的本金和利息是1 000＋2 000x×80%；第二次存，本金就变为1 000＋2000x×80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1 000＋2 000x×80%＋(1 000＋2 000x×8%)x×80%＝1 320．整理，得1 280x2＋800x＋1 600x＝320，即8x2＋15x－2＝0．解得4。
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教学设计
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程《21.3实际问题与一元二次方程》第1课时，主要介绍了如何将实际问题转化为一元二次方程，并通过求解方程得到实际问题的解答。
本节课的内容是学生对一元二次方程知识的进一步拓展和应用，有助于提高学生的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的基本概念、解法和应用。
但实际问题与一元二次方程的结合，对学生而言是一个新的挑战。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生对实际问题转化为数学问题的能力的培养，引导学生学会用数学的眼光看待实际问题。
三. 教学目标1.理解实际问题与一元二次方程之间的关系，学会将实际问题转化为一元二次方程。
2.掌握一元二次方程的解法，并能应用于实际问题的解答。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生的数学应用能力。
四. 教学重难点1.教学重点：实际问题转化为一元二次方程的方法。
2.教学难点：如何引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的联系。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体案例，引导学生发现实际问题与一元二次方程之间的关系。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、分享心得，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示实际问题与一元二次方程之间的关系。
2.案例素材：准备一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的实际问题，引导学生思考实际问题与数学问题之间的关系，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示几个实际问题，让学生尝试将其转化为一元二次方程。
学生在课堂上进行讨论，分享自己的思路。
教师引导学生总结实际问题转化为一元二次方程的方法。
3.操练（10分钟）教师给出一些实际问题，学生独立将其转化为一元二次方程，并求解。
人教版九年级数学上册实际问题与一元二次方程
量平均每年须降低的百分率是
．
（2）若明年年底要将图书增加到7.
5(1+x)(1+x) 1400（1-x)2=12600.
完成任务，求原计划每天打多少口井？
开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x个人，用代数式表示，第一轮后共有_______人患了流感；
【解析】设原计划每天打x口井，由题意可列方程 5000（1－x）2=3000
如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
平均一个人传染了____个人．
5(1+x)(1+x)
若设每年的平均增长率为x
解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
学校图书馆去年年底图书馆有藏书5万册，为了扩大同学们的阅读量，准备购买新图书
=(1+10)+10(1+10)+10×10(1+10)
不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均 下降率．
跟踪训练
如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有 一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小 岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头：小岛F位于BC上且恰 好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡 航，一般补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行， 欲将一批物品送达军舰． (1)小岛D和小岛F相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍， 军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E 处， 那么相遇时补给船航行了多少海 里?（结果精确到0.1海里）
5000（1－x）
2=3000
解方程，得: x1≈0.225，x2≈1.775
根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率 约为22.5％
人教版九年级上册数学 21.3 实际问题与一元二次方程 课件
4.三个连续偶数，已知最大数与最小数的
平方和比中间一个数的平方大332，求这三 个连续偶数.
1.偶数个连续偶数（或奇数），一般可设中间两个为 (x1)和(x 1). 2.奇数个连续偶数（或奇数，自然数），一般可设中 间一个为x.如三个连续偶数，可设中间一个偶数为x， 则其余两个偶数分别为(x2)和(x+2)又如三个连续自 然数，可设中间一个自然数为x，则其余两个自然数 分别为(x1)和(x 1).
解这个方程得：x1 x2 4
CQ
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm2
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: • a(1±x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)
数字与方程
实际问题与一元二次方程 （三）
1. 两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
2. 一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而 它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这 个两位数.
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5. 把这个两位数的十位数字与个位数字互换后得到 另一个两位数,两个两位数的积为736.求原来的 两位数.
则 x(18 x) 81
化简得，x2 18x 81 0 (x9)2 0 x1 x2 9
人教版九年级数学上册课件：21.3.2实际问题与一元二次方程(面积和利润问题)
某校准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上 修筑若干条道路,余下部分作草坪,使草坪面积为 540平方米.求图中道路的宽是多少?
解法二：
如图，设路宽为x米，则草坪的长为 （32-x）米，草坪的宽为（20-x）米，
根据题意得： （32-x）（20-x)=540 解得：x1=50,x2=2
图中的道路面积不等于 32x 20x 平方米。
某校准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上 修筑若干条道路,余下部分作草坪,使草坪面积为 540平方米.求图中道路的宽是多少?
解法一：所以正确的方程是：
3220 32x 20x x2 540
化简得， x2 52x 100 0,
x1 2, x2 50
解：设每件衬衫降价x元，根据00
整理得，x2-30x+200=0
解方程得，x1=10,x2=20 因为要尽快减少库存，所以x=10舍去。
答：每件衬衫应降价20元。
学导练P15举一反三2
2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反 映：每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元， 在让顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售 单价定为多少元？
50 20（不合题意，舍去） x 2
答：所求道路的宽为2米。
某校准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上 修筑若干条道路,余下部分作草坪,使草坪面积为 540平方米.求图中道路的宽是多少?
解法二：
我们利用“图形经过移动，它的面 积大小不会改变”的道理，把纵、横 两条路移动一下，使列方程容易些
下课
50 20（不合题意，舍去）
人教版九年级上册数学全册教案21.3 实际问题与一元二次方程
6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm 的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．课堂总结．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．。
21.3 实际问题与一元二次方程 21.3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
21．3 实际问题与一元二次方程
21．3.3 实际问题与一元二次方程(三)——面积问题
武汉专版·九年级上册
1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900 m2的矩形绿地，并且长比宽多
10 m，设绿地的宽为x m，根据题意，可列方程为B( )
A．x(x－10)＝900
A．x(x－10)＝900
B．x(x＋10)＝9பைடு நூலகம்0
C．10(x＋10)＝900
D．2[x＋(x＋10)]＝900
2．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出局部区域栽种鲜花(如图中阴影局部)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正 方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，那么可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 6．将外表积为550 cm2的包装盒剪开铺平，纸样如下图，包装盒的高为15 cm，求出包装盒底面的长与宽．
x2－6x＋8＝0，解得
x1
＝2，x2＝4，都符合题意，∴经过 2 s 或 4 s，△PBQ 的面积为 8 cm2
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草 坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
10．要在一块长52 m，宽48 m的矩形绿地上修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小 颖的设计方案．
小亮设计的方案如图①所示，甬路宽度均为x m，剩余的四块绿地面积共2 300 m2.
9．如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影局部)，余下的局部种草坪，要使草坪的面积为540 m2，那么道路的宽应为多少？
人教版九年级数学上册+21.3.5+实际问题与一元二次方程(五)图形的面积问题-+课件+
宽为xcm，那么x满足的方程是（ B ）
A．x2+130x-1400=0
B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0
D．x2-65x-350=0
x
80cm
x
50cm
x x
2.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方
形， 然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm3，
点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s的
速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出
发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
解：若设出发x s后可使△PCQ的面积为9cm²
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm
1 (6 x)2x 9 2
求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为x cm,则有长为2x cm
5 5
5(2x-10)(x-10)=3000
x
x2-15x-250=0
解得 x1=25 x2=-10(舍去）
所以 2x=50
2x
答：铁板的长50cm,宽为25cm.
3.如图，要设计一个宽20cm,长为30cm的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横 竖彩条的宽度之比为2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分 之一，应如何设计每个彩条的宽度？
整理，得 x2 6x 9 0
【点睛解】得主要x1=集x中2=3在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系.
如果答图：形点不P规，则Q出应发割3或s后补可成使规△则P图C形Q的,找面出积各为部9c分m面². 积之间的关系,再运用规
21.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
知识点1：一般图形的面积问题 1．一个面积为35 m2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m，则这个苗圃 的长为( C ) A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m 2．(2014·襄阳)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长 方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为( B ) A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64 C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，这两 2cm，7cm 条直角边长分别为______________ ．
11 ． 如图 ， 已知点 A 是一次函数 y ＝ x － 4 图象上的一点 ， 且矩形 (3，－1)或(1，－3) ． ABOC的面积等于3，则点A的坐标为___________________ 12．如图是一个矩形花园，花园的长为100米，宽为50米，在它的 四角各建一个同样大小的正方形观光休息亭，四周建有与观光休息 亭等宽的观光大道 ， 其余部分 ( 图中阴影部分 ) 种植的是不同花 草．已知种植花草部分的面积为3600平方米，那么花园各角处的正 方形观光休息亭的边长为多少米？ 解：设正方形观光休息亭的边长为x米，依题意得(100－2x)(50－2x) ＝3600，整理得x2－75x ＋350 ＝0 ，解得x1＝5 ， x2＝70 ，∵x2＝70 ＞50，不合题意，舍去，∴x＝5，即矩形花园各角处的正方形观光 休息亭的边长为5米
解：(1)设x秒后，△PBQ的面积等于4 cm2，根据题意得x(5－x)＝ 4，解得x1＝1，x2＝4. ∵当x＝4时 ，2x＝8＞7，不合题意，舍去，∴x＝1 (2)设x秒后，PQ的长度等于5 cm，根据题意得(5－x)2＋(2x)2＝25， 解得x1＝0(舍去)，x2＝2，∴x＝2 (3)设x秒后，△PBQ的面积等于7 cm2，根据题意得x(5－x)＝7， 此方程无解，所以不能
人教版2021年九年级上数学21.3实际问题与一元二次方程课时3几何图形面积问题
人教版2021年九年级上数学21.3实际问题与一元二次方程课时3几何图形面积问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某中学准备建一个面积为375m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10m．设游泳池的长为xm，则可列方程（）A．x（x﹣10）=375 B．x（x+10）=375 C．2x（2x﹣10）=375D．2x（2x+10）=3752．在半径为R的圆形钢板上，挖去四个半径都为r的小圆.若R＝16.8，剩余部分的面积为272π，则r的值是（）A．3.2B．2.4C．1.6D．0.83．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝04．某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为2144m（如图），则甬路的宽为（）A．3m B．4m C．2m D．5m5．如图，把长40cm，宽30cm的矩形纸板剪掉2个小正方形和2个小矩形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为x cm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是9502cm，则x的值是（）A ．3B ．4C ．4.8D ．5二、填空题 6．一个直角三角形三边长是三个连续整数，则它的周长为_______，面积为______． 7．现要在一个长为40m,宽为26m 的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m 2,那么小道的宽度应是____m.8．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，据此易得2x =．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程24120x x --=的正确构图是_____．（只填序号）三、解答题9．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x 的值.10．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，其它三侧内墙各保留1m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m 2？11．如图所示，某农户准备利用现有的34米长的篱笆靠墙AB （墙长18米）围成一个面积是120平方米的长方形养鸡场，要在与墙垂直的一边和与墙平行的一边各开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余这个养鸡场的两条邻边长各是多少米？晓华的解题过程如下：（解）设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(382)x -米．依题意得(382)120x x -=，整理得219600x x -+=，解得1215,4x x ==．当15x =时，3828x -=；当4x =时，38230x -=．答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米或4米、30米．请问晓华的解题过程正确吗？如果不正确，给出正确的解题过程．12．在一块长16m 、宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．小明说：我的设计方案如图（1），其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m ．小颖说：我的设计方案如图（2），其中花园中每个角上的扇形相同．（1）你认为小明的结果对吗？请计算说明；（2）请你帮助小颖求出图中的x （结果保留根号和）；13．如图，已知正方形ABCD 的边长为4cm ，动点P 从点B 出发，以2cm /s 的速度沿B C D →→方向向点D 运动且不与点D 重合，动点Q 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A B →方向向点B 运动且不与点B 重合，若P ，Q 两点同时出发，运动时间为s t ．（1）连接,,PD PQ DQ ，求当t 为何值时，PQD △的面积为27cm ．（2）当点P 在BC 上运动时，是否存在这样的t 使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A【解析】由题意得，x （x ﹣10）=375，所以选A.2．C【分析】根据大圆面积-4个小圆面积=272π，即可求出r 的值.【详解】由题意得，16.82π-4πr 2=272π解得r 2=2.56r=1.6或r=-1.6（不合题意，舍去）故答案为C【点睛】本题考查列方程解应用题，根据题意找出等量关系是解题的关键.3．C【详解】解：设人行道的宽度为x 米，根据题意得，（18﹣3x ）（6﹣2x ）=60，化简整理得，x 2﹣9x+8=0．故选C ．4．C【分析】设小路的宽为xm ，那么小路所占面积为（40x+2×26x-2x 2），于是六块草坪的面积为[40×26-（40x+2×26x-2x 2）]，根据面积之间的关系可列方程40×26-（40x+2×26x-2x 2）=144×6，解方程求解，并根据实际意义进行值的取舍即可确定甬路的宽．【详解】解：设甬路的宽为m x ．根据题意得()240264022621446x x x⨯-+⨯-=⨯，整理得246880x x -+=，解得1244,2x x ==，当44x =时不符合题意，故舍去，所以2x =．故选C ．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用以及矩形面积计算公式，难度一般．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．5．D【分析】 观察图形可知阴影部分小长方形的长为402()2x x cm -+，再根据去除阴影部分的面积为9502cm ，列一元二次方程求解即可．【详解】解：由图可得出， 2402403022()9502x x x x整理，得，2201250x x 解得，125,25x x （不合题意，舍去）．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的应用，根据图形找出阴影部分小长方形的长是解此题的关键．6．12 6【分析】先根据题意设该直角三角形较长的直角边长为x ，则另外两边长分别为1,1x x -+，再根据勾股定理得出方程，从而得出三角形的周长和面积【详解】解：设该直角三角形较长的直角边长为x ，则另外两边长分别为1,1x x -+．依题意，得222(1)(1)x x x -+=+，解得10x =（舍去），24x =，∴直角三角形的三边长分别为3，4，5，∴三角形的周长为34512++=，三角形的面积为13462⨯⨯=． 故答案为：12，6【点睛】本题考查了勾股定理、解一元二次方程以及三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识是解题的关键7．2【分析】根据图形可知剩余的长为(40-2x)m ，剩余的宽为(26-x)m ，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.【详解】解：设小道的宽为x 米，依题意得(40-2x)(26-x)=864，解之得x 1=44（舍去）,x 2=2.故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m 2找到正确的等量关系并列出方程.8．②．【分析】仿造案例，构造面积是2(4)x x +-的大正方形，由它的面积为24124⨯+，可求出6x =，此题得解．【详解】解：24120x x --=即()412x x -=，∴构造如图②中大正方形的面积是2(4)x x +-，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24124⨯+，据此易得6x=．故答案为②．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，仿造案例，构造出合适的大正方形是解题的关键．9．x的值为4.【详解】由题意得（x+1）2-1=24，整理得：（x+1）2=25即：x+1=5或x+1=-5，∴x=4或x=-6.∵x＞0，∴x=-6不合题意，舍去.∴x的值是4．10．当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．【详解】解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm．根据题意，得（x﹣2）•（2x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣10（不合题意，舍去），x2=14．所以x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．根据题意，得（12x﹣2）•（x﹣4）=288．解这个方程，得x1=﹣20（不合题意，舍去），x2=28．所以x=28，12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．11．不正确，这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米，见解析【分析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为(382)x-米，根据题意，列出方程，即可求出x的值，然后根据实际意义取舍即可．【详解】解：晓华的解题过程不正确，正确解题过程如下：设垂直于墙的一边长为x 米，则平行于墙的一边长为(382)x -米．依题意得(382)120x x -=，整理得219600x x -+=，解得1215,4x x ==．当15x =时，3828x -=；当4x =时，3823018x -=>，不合题意，舍去．答：这个养鸡场的两条邻边长各是15米、8米．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，解题关键是解方程的实际应用题时，要注意根是否符合实际意义，如本题中，需分析两个取值是否符合实际情况．12．（1）小明的结果正确；（2）x =【分析】（1）设小路宽为y 米，列方程求解就可判断小明的结果是否正确；（2）由题意可知四个扇形刚好可以合成一个半径为x 米的圆，由此可列出方程求解；【详解】解：（1）小明的结果正确. 理由如下：设小路的宽为y m ，则由题意可得： 1(162)(122)16122y y --=⨯⨯， 解得：12212y y ，==（不合题意，舍去）∴2y =，故小明的结果正确；（2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，根据题意可得：2116122x π=⨯⨯，解得x =13．（1）1或9s 4；（2）存在， 43t =或4 【分析】 （1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解； （2）分当PD DQ =时和当PD PQ =时，进行讨论．【详解】解：（1）∵正方形ABCD 的边长为4cm ，∴4AB BC CD AD ====，当点P 在BC 边上,4,2,42AQ t QB t BP t PC t ==-==-．1111642(4)4(42)7222PQD ADQ BPQ DPC ABCD S S S S S t t t t =---=-⨯⨯-⨯⨯--⨯⨯-=正方形∴ 2210t t -+=，解得121t t ==．当点P 在CD 边上时，182,(82)472PQD DP t S t ∆=-=-⨯=， 解得94t =． 当t 为1或9s 4时，PQD △的面积为27cm ． （2）存在．理由如下：①当PD DQ =时，根据勾股定理，得2216(42)16t t +-=+, 解得124,43t t ==（不符合题意，舍去）． ②当PD PQ =时，根据勾股定理，得22216(42)(4)(2)t t t +-=-+，解得124,4t t ==-（不符合题意，舍去）．所以存在43t =或4时，使得PQD △是以PD 为一腰的等腰三角形． 【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的运用．。
人教版九年级数学上册优秀教学案例：21.3实际问题与一元二次方程(面积)
1.实际问题引入：通过设计具有挑战性和启发性的实际问题，如“一个长方形的长比宽多20%，求长方形的面积”，引导学生主动探索、思考和解决问题。这种教学方法能够激发学生的学习兴趣，培养他们的数学思维水平，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
2.一元二次方程的解法展示：在教学过程中，我通过示例演示了一元二次方程的解题过程，让学生掌握解题方法。我详细解释了一元二次方程的公式法、因式分解法等解法，并通过步骤演示了如何应用这些解法解决实际问题。这种教学方法有助于学生理解和掌握一元二次方程的解法，提高他们的数学素养。
（三）小组合作
1.将学生分成小组，鼓励他们合作交流、共同解决问题。教师给予适当的引导和指导，帮助学生建立合作学习的意识。
2.设计小组讨论的问题，如“你们小组认为一元二次方程在解决实际问题中的应用有哪些？”引导学生进行深入讨论和思考。
3.组织小组展示和分享，鼓励学生表达自己的观点和解决问题的方法，培养他们的沟通能力和团队合作精神。
2.引导学生运用一元二次方程的解法，通过实践操作和合作交流，提高他们的数学操作能力和团队协作能力。
3.设计拓展问题，让学生尝试运用一元二次方程解决更复杂的问题，培养他们的创新思维和拓展能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心，使他们能够积极主动地参与数学学习。
2.培养学生勇于尝试、不断探索的精神，让他们在解决实际问题的过程中感受到数学的价值。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示实际问题，如动画演示一个长方形的长比宽多20%，让学生直观地感受一元二次方程在解决实际问题中的应用。
2.通过生活实例，如测量教室的长和宽，计算教室的面积，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程(教案)
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《实际问题与一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算面积、速度或距离等与一元二次方程相关的情况？”这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程在实际问题中的应用奥秘。
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册：21.3实际问题与一元二次方程
1.实际问题中的一元二次方程：以生活中的例子导入，如面积、速度、时间等问题，引导学生理解一元二次方程的实际意义。
2.解一元二次方程的步骤：回顾一元二次方程的定义，总结求解一元二次方程的步骤，包括移项、合并同类项、因式分解等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一元二次方程的建立和解法这两个重点。对于难点部分，如判别式和根与系数的关系，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体抛掷的高度，并利用一元二次方程计算最大高度。
3.应用一元二次方程解决实际问题：结合教材例题，让学生学会将实际问题转化为数学模型，进而求解一元二次方程。
4.一元二次方程的根的判别式：讲解判别式的概念，引导学生学会判断一元二次方程的根的情况。
5.一元二次方程的根与系数的关系：探讨一元二次方程的根与系数之间的关系，如韦达定理等。
人教版数学九年级上册2实际问题与一元二次方程(面积问题)课件
人教版 九年级上册
学习目标
1.会分析实际问题（面积问题）中的数量关系并会列 一元二次方程. 2.理解栅栏问题中的等量关系. 3.通过用一元二次方程解决面积问题，体会数学知识 应用的价值.
知识回顾
列方程解实际问题的一般步骤：
1.审：分清已知未知，明确数量关系； 2.设：设未知数 ；3.列：列方程； 4.解：解方程； 5.验：验方程、验实际；
EF
则BC=29-2x+1=30-2x
解：设AB为xm，AD长为（30-2x）m 矩形ABCD的面积x(30-2x)=112，
解得x1=7, x2=8 当x=7时，AD=30-2x7=16>15（不合题意，舍去） 当x=8时，AD=30-2x8=14 ∴猪圈的长为14m，宽为8m．
如图，某养猪户想用29米长的围栏设计一个矩形的 养猪圈，其中猪圈一边靠墙MN，另外三边用围栏围 住，在AB,BC边各开个门（宽度都为1米），MN的长 度为15m,为了让围成的猪圈（矩形ABCD）面积到达 112m2，请你帮忙计算一下猪圈的长与宽分别是多少 若设AB=xm则可列方程为 x(31-2x)=112 .
1.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长 为12m的住房墙，另外三边用25m长的篱笆围成，为方便 进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，花圃面
积为80m2，设与墙垂直的一边长为xm（已标注在图中）， 则可以列出关于x的方程是（ ）
2.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角 墙角DA和DC（两边足够长），再用28m长的篱笆围成一个面 积为192m2矩形花园ABCD（篱笆只围AB、BC两边），在P处有 一棵树与墙CD、AD的距离分别是15m和6m，现要将这棵树也 围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则AB的长为 （A．12） B．16或12 C．16 D．8或12
21.3 实际问题与一元二次方程(几何问题和数字问题)九年级数学上册(人教版)
复习巩固Hale Waihona Puke 【提问】计算下列图形面积?
探探究究新新知知
要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等
宽，应如何设计四周边衬的宽度？
7a
【分析】封面的长宽之比是9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是9∶7。
典典例例分分析析
针针对对训训练练
能能力力提提升升
能能力力提提升升
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3 如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长 为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆）， 已知墙长为 28 m． (1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米； (2)能否围成500平方米的矩形花园?若能求出 BC长；若不能，说明理由．
解：设水渠的宽应挖 x m . ( 92 - 2x)（60 - x ）= 6×885
解得 x1=105(舍去），x2=1 答：水渠应挖1米宽
60
60-x
92-2x
92
探探究究新新知知
如图,在一块长为 92m ,宽为 60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠 把耕地分成面积均为 885m2 的 6 个小矩形，水渠应挖多宽？ 【分析】设水渠宽为 x m，水渠的总面积为
1.根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程。 2.通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用， 经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识。
目录
复习巩固
探究新知
典例分析
21.3.3 实际问题与一元二次方程(三)面积与周长问题
21.3.3 实际问题与一元二次方程（三）几何图形面积与周长问题【自主导学】1. 如图，长方形的长为x，周长为24，则宽为2. 如图，在一个长5，宽为4的矩形土地中修两条宽度为x的道路，用x的式子表示剩余土地的面积为【易错点睛】如图，用48米长的篱笆在一个25米长的墙边靠墙围成一个面积是300平方米的长方形鸡场，鸡场有一个2米的门，求鸡场的长与宽.2mA 夯实基础知识点一圈形面积类问题1．(2016兰州改)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7m B．8m C．9m D．l0m2．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为602米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )A．x2+9x-8= 0 B.x2 -9x-8=0 C. x2-9x+8=0 D.2x2-9x+8=018m 6m3．【教材变式】（P25第8题改）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为2002m的矩形场地，求矩形的长和宽。
4．【教材变式】（P22第8题改）在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②）．如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽．知识点二 围墙类问题5．有40米的篱笆在一个25米长的墙边靠墙围成一面积是200平方米的矩形场地，则此矩形场地的长宽分别是 米、 米．6．要用一条长24cm 的铁丝围成一个斜边是l0cm 的直角三角形，则两条直角边分别是6 cm.， 8 cm ．B 综合运用7. 如图，甲、乙两人分别从正方形场地ABCD 的顶点C ，B 两点同时出发，甲由C 向D 运动，乙由B 向C 运动，甲的速度为1km/min ，乙的速度为2km/min,若正方形场地的周长为40km ，则2分钟后，两人首次相距102km.DC BA 甲乙8．如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为（217x +）cm ，正六边形的边长为（22x x +）cm （x ＞0），求这两段铁丝的总长。
21.3.3实际问题与一元二次方程6(面积问题)
智慧
你能行吗
一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽 多2m，苗圃的长和宽各是多少？
解：设矩形的宽为xm，则长为(x＋2) m, 根据题 意得：
x (x＋2) ＝120.
x
X+2
一元二次方程的 几何解法
x X+2
X+2 x
X+2 x
3、一元二次方程的几何解法: 解方程 X² +2x-35=0
解:要放x层,则每一层放 (1+x) 支铅笔.得 x (1+x) =190×2 X2 ＋ X －380＝0
解得X1＝19，
X2＝ － 20(不合题意)
答:要放19层.
几何问题方法提示：
1)有关几何图形的面积问题, 与面积公式是等量关系；
如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之
间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程; 2)与直角三角形有关的问题：用勾股定理列方程。即直
考点：一元二次方程的应用． 专题：几何图形问题． 分析：设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列 出方程求解即可． 解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30-2x）（20-x）=532． 整理，得x2-35x+34=0． 解得，x1=1，x2=34． ∵34＞20（不合题意，舍去）， ∴x=1． 答：小道进出口的宽度应为1米． 点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并 列出方程．
根据题意可列方程
整理得
1 x10 x 12 2
解得
x2－10x+24 = 0. x1=4, x2=6(不符题意).
边长＝
根据勾股定理
2 3 13
人教版九年级上册 21.3 一元二次方程的应用(第5课时)(面积问题2)
8. 如图，有一面积为50 m2的长方形鸡场ABCD，鸡场的一边靠墙， 其余的边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为30 m，设AB为 x m，列
方程得：___x_(_3_0_－__4_x_)_＝__5_0___.
9．如图，有一面积为100 m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙 (墙长18 m)，另三边用竹篱笆围成，但其中一边开了一个小门，门宽 1 m，如果竹篱笆的长为29 m，求鸡场的长与宽各为多少米？
(2)如图，矩形ABCD的周长为20. ①若AB＝4，则BC＝__6______； ②若AB＝x，则BC＝1_0_－__x____.
二、新课学习
2．(例1)用长20 m的铁线围成一个面积为24 m2的长方形，
长与宽各为多少米？
解：设长为x m，则宽为(10－x) m. 依题意得x(10－x)＝24
根． 而Δ ＝(－5)2－4×9＝25－36＝－11＜0 ∴方程无解，故不能围成9 m2的长方形．
5．将一条长为20 cm的铁丝剪成两段， 并以每一段铁丝的长度 为周长做成一个正方形，要使这两个正方形的面积之和等于17 cm2，那么这条铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
解：设这条铁丝剪成两段的其中一段长度为x cm，
6．在长比宽多4 cm的矩形的四个角上截去四个边长为2 cm 的小正方形，折成一个体积为120 cm3的无盖长方体，求 矩形的宽. 设矩形的宽为 x cm，列方程得：____2_x_(_x_－__4_)＝__1_2_0_____.
一、知识储备
1．矩形周长＝2(长＋宽)；矩形面积＝长×宽 (1)若矩形的长为3，宽为1，则周长＝___8__，面积＝__3___.
2．如图，有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其 中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56平方米， 两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，问人行通 道的宽度是多少米？ 设人行通道的宽度为 x m， 列方程得：___(_2_0_－__3_x_)_(8_－__2_x_)_＝__5_6____.
人教版数学九年级上册21.3实际问题与一元二次方程优秀教学案例
4.教师巡回指导，给予学生必要的帮助和提示。
（四）总结归纳
1.让学生汇报各自小组的讨论成果，总结一元二次方程解决实际问题的方法；
2.教师引导学生归纳一元二次方程的解法及其应用，强调重点和难点；
3.结合学生的讨论，总结解决实际问题的策略和技巧；
4.培养学生自主探究、动手实践的能力，使其能在实际问题中灵活运用一元二次方程的解法。
（三）情感态度与价值观
1.让学生体验数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣和信心；
2.通过解决实际问题，让学生感受到数学在生活中的重要性，提高学生的数学应用意识；
3.培养学生勇于探索、积极动脑思考的良好学习习惯，增强学生的自主学习能力；
3.通过设置悬念，引发学生的好奇心，激发学生积极探索的欲望；
4.结合学生的认知水平，创设适宜难度的情境，使学生能顺利地进入学习状态。
（二）问题导向
1.引导学生分析问题，明确已知条件和所求目标，培养学生的问题解决能力；
2.鼓励学生提出假设，引导学生运用一元二次方程进行验证，培养学生的推理能力；
3.设计具有挑战性的问题，激发学生的思维，使学生在解决问题的过程中不断提高；
3.小组合作的学习方式：通过小组合作，学生能够相互交流、分享解题思路，培养团队合作精神和沟通能力。这种学习方式不仅提高了学生的学习效果，还使他们能够从同伴那里获得不同的观点和解决问题的方法。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本案例以购物场景为背景，让学生在熟悉的环境中感受数学与生活的紧密联系。这样的设计不仅激发了学生的学习兴趣，还使他们能够更容易地理解一元二次方程在实际问题中的应用，从而提高了教学的实效性。
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21.3实际问题与一元二次方程(面积问题)
一、引入新课
1、列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？
2、创设情境
问题1要设计一本书的封面，封面长27 cm，
宽21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色
边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、
右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？
二、动脑思考，解决问题
问题2 要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽
21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩
形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的
四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如
何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？
问题3：某学校准备在一块长32米，宽20米的草地上修筑道路互相垂直的两条道路（道路的宽度相等），
使余下的草坪的面积为540平方米，求这个方案的道路的宽度。
变式：某学校准备在一块长32米，
宽20米的草地上修筑道路互相垂直的弯形
道路（道路的宽度相等），使余下的草坪的
面积仍为540平方米，你觉得这个方案的道
路宽度会变小吗？为什么？
问题4 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m 。
(1) 鸡场的面积能达到180m2吗?
(2) 鸡场的面积能达到200m2吗?
(3) 鸡场的面积能达到250m2吗?
课堂小结：
作业： 课本P22 9 P25 8。