概率ch3-5
人教版高中数学必修3第三章概率《3.1.1 随机事件的概率》教学PPT
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我们看到，当试验次数很多时，出现正面的 频率值在0.5附近摆动.
上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否 发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随 着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定 的规律性，这个规律性是如何体现出来的？
有些事情的发生是偶然的，有些事情的发生是必然的.
但是偶然与必然之间往往有某种内在联系.
例如，北京地区一年四季的变化有着确定的、必 然的规律，但北京地区一年里哪一天最热，哪一天最 冷，哪一天降雨量最大，那一天降雪量最大等，又是 不确定的、偶然的.
基本概念
1、随机事件: 在条件S下可能发生也可能 不发生的事件，叫做相对于 条件S的随机事件，简称随 机事件.
这些事件会发生吗？是什么事件？
不可能发生，不可能发生，不可能事件
确定事件
考察下列事件： （1）某人射击一次命中目标； （2）任意选择一个电视频道，它正在播放
新闻； （3）抛掷一个骰子出现的点数为奇数.
这些事件一定会发生吗？他们是什么事件？
可能发生也可能不发生，随机事件.
对于随机事件，知道它发生的可能性大小是 非常重要的.
2、必然事件: 在条件S下一定会发生的事 件，叫做相对于条件S的必 然事件，简称必然事件.
3、不可能事件: 在条件S下一定不会发生的事 件，叫做相对于条件S的不可 能事件，简称不可能事件.
4、确定事件: 必然事件与不可能事件统称为 相对于条件S的确定事件，简称 确定事件.
概率统计ch3_4_5习题详细解答
第三、四(六、七节)、五章 习 题 解 答习 题3.11．一个袋子中有3只黑球、5只白球一共8只球．现从中不放回地抽出三只球，求这三球中黑球数的数学期望．解：用X 表示所抽三球中的黑球数． 则 ) 3 2, 1, ,0k ( ,}{38353=⋅==-C C C k X P kk ． 56635613561525630156100C k )(33835k 3=⨯+⨯+⨯+⨯=⋅⋅=∑=-k k C C X E ． 2．从学校乘汽车到某个公园的途中有3个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的概率都是0.4，并且相互独立．用X 表示途中遇到的红灯数，求X 的分布律和E(X)．解：)4.0 ,3(B X ～， 2.14.036.04.0k )(333=⨯=⨯⨯⋅=-=∑k k k k CX E ．3．根据气象资料，设某地区的年降雨量X （单位mm ）的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=- 0 x0, 0x ,)( 2x xe x f θθ，其中01.0=θ．求该地区的年平均降雨量E(X)．解：20020)()(020==⋅⋅+⋅==⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-θθθdx xex dx x dx x xf X E x．4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1x 0, 1x ,11)(2x x f π，求E(X)．解：根据奇函数积分性质可得 01)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx xxdx x xf X E π．5．设随机变量X 具有分布律：求E(X)，E(2X )，E(2X+3)．解：10951252231011510101)2(x )(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-==∑+∞=k k p X E ； 51151252231011510101)2(x )(2222212k2=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯-==∑∞+=k k p X E ；5245175261015513101)1()3(2x )32(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=+∑+∞=k k p X E ． 6．设随机变量X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1 x0, 1x ,1)(2x x f ． 证明X 的数学期望不存在．证：由于+∞===∞++∞+∞∞-⎰⎰1 12ln )(x dx x x dx x xf ，发散，故数学期望不存在． 7．设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤<=其他0, 1x 0 , )(a x k x f ， 且75.0)(=X E ，求正常数k 与a 的值．解：由11)(10=+==⎰⎰+∞∞-a k dx kx dx x f a， 75.02)()(101=+===⎰⎰++∞∞-a kdx kx dx x xf X E a ，得 2a ,3==k ．8．设) ,(b a U X ～，求)54(+X E ，)(2X E ． 解：由 2)(ba X E +=得 5)(25)(4)54(++=+=+b a X E X E ； 3)()(22222b ab a dx a b x dx x f x X E ba ++=-==⎰⎰∞+∞-．9．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0x 0, 0 x ,2)(2x e x f ，求)32(-X E ，)(3X e E -．解：232123)(2)32(-=-⨯=-=-X E X E ； 522)()(02333=⋅==⎰⎰+∞--+∞∞---dx e e dx x f e eE x x xX ． 10．一种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点．若规定疵点数不超过1为一等品，价格10元；疵点数大于1但不多于4为二等品，价格8元；疵点数4个以上者为废品，价格0元．求：(1) 产品的废品率； (2) 产品的平均价格．解：用X 表示每件产品上的疵点数，则 )(λP X ～，8.0)(==X E λ．(1) 废品率 00141.02224.21!8.01} 40 {1}4{8.048.0=-=⋅-=≤≤-=>=-=-∑e k e X P X P p k k ．(2) 用Y 表示一件产品的价格（元），Y 取值0 ,8 ,10．8088.0!8.0}10{}10{10 8.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ； 1898.0!8.0}42{}8{428.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ；00141.0}5{}0{==≥==p X P Y P ． 6064.900141.001898.088088.010)(=⨯+⨯+⨯=Y E （元）．习 题 3.21．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<=1 x 1, 1x 1bx,a 1 x,0 )(x F ． 试求：(1)常数a 和b ； (2) E(X)，)(X Var ．解：(1) )(x F 处处连续，0)01()1(=--=-=-F b a F ，1)01()1(=+=+=F b a F ，得 5.0==b a ．⎩⎨⎧≤≤-='=他其0, 1x 1 ,5.0)()(x F x f ．(2) 05.0)(11==⎰-xdx X E ，3105.0)]([)()(112222=-=-=⎰-dx x X E X E X Var ． 2．设随机变量X 的分布律为且 0.79Var(X) ,8.0)(2==X E ．试求常数c b a , ,．解：1=++c b a ，8.0)(2=+=c a X E ，79.0)(8.0)]([)()(222=--=-=a c X E X E X Var ． 得 0.45c 0.2,b ,35.0===a ． 3. 设随机变量X 服从几何分布，分布律为 {} 3, 2, 1,k ,)1(1=-==-k p p k X P ，其中常数)1 ,0(∈p ．求)(X Var ．解：记 p q -=1，px x p x p pq p X E qx qx k k k k k k 11 k x )( 1 111k ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====∞+=∞+=-∞+=∑∑∑； 2 1 2112221k 1k )]([)()(px p p pqX E X E X Var qx k k k k -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-==∞+=∞+=-∑∑21 1p x x p qx k k-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞+=∑ 22 111ppp x x x p qx -=-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛-==． 4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他0, 2x 1 1, 1x 0 ,23)(2x x x f ． 求)12(2+X E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛X E 1，⎪⎭⎫⎝⎛X Var 1．解：记 301341314215531)1(x 2321)(2)12(21 210 422=+-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⎰⎰dx x x dx X E X E ； 2ln 472ln 143)1(1x 231121 10 2-=-+=-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E ；2221 210 22222ln 47212ln 232ln 47)1(1x 231111⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E X E X Var2)2(ln 16332ln 29--=． 习 题 3.31．设随机变量)1 ,0(N X ～，利用标准正态分布表（附表1）对下列各种情况求出常数c ，并且用p 分位数p u 表示c ．(1) 95.0}{=<c X P ； (2) 5.0}{=>c X P ； (3) {}8.0 =≤c X P ． 解：(1)645.195.0==u c ； (2) 05.0==u c ；(3) {}8.01}{2}]{1[}{}{ =-≤=≤--≤=≤≤-=≤c X P c X P c X P c X c P c X P ，9.0}{=≤c X P ，282.19.0==u c ．2．设随机变量)(λExp X ～，常数0>λ．若X 的0.70分位数12070.0=x ，求参数λ． 解：) 0 x ( ,1)( ≥-=-xex F λ，0.71)120( 120=-=-λe F ，01.01203.0ln =-=λ． 复 习 题 31．假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位吨），)5000 ,1000(U X ～．设该商品每售出一吨可获利3万美元；但若销售不出积压于库，则每吨每年需支付保管费1万美元．试问如何计划年出口量，能使国家期望获利最多？解：设国家计划年出口量为s 吨， ]5000 ,1000[∈s ． 则利润函数为 ⎩⎨⎧≥<-=--=s X ,3sX ,4)(3)(s s X X s X X L s ，期望获利 ]102 160002[400014000 3 4000)4()]([625000 1000⨯-+-=+-=⎰⎰s s dx s dx s x X L E s ss ． 令0)160004(40001)]([=+-=s X L E ds d s ， 当 4000=s 吨时，)]([X L E s 取最大值，即期望获利最多． 2．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧≤≤=他其0, 1x 0 ,)(2ax x f ， 试求：(1)常数a ；(2) E(X)；(3))}({X E X P >．解：(1) 由13ax )(12===⎰⎰+∞∞-adx dx x f ，得 3=a ． (2) 433x )(21=⋅=⎰dx x X E ．(3) 64374313 43)}({21 432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>⎰dx x X P X E X P ．3．设X 是随机变量，c 是常数，证明：2][)(c X E X Var -≤． 证：22]})([)]({[][)(c X E X E X E c X E X Var -+-=-≤)(])([)(}])([])()][([2)]({[222X Var c X E X Var c X E c X E X E X X E X E ≥-+=-+--+-=．4．设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0 0,0 x ,)()2(222x ex x f x σσ， 其中常数0>σ．瑞利分布常用于描述随机噪音．求E(X)，)(X Var ．解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22Y 22exp 21)(f ), ,0(σσπσy y N Y 则～，222[E(Y)]Var(Y))E(Y ,0)(σ=+==Y E ． 2)( 212exp 2212exp 1)()(2222222022πσσπσσσππσσσ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞+∞-Y E dx x x dx x x dx x xf X E2πσ=；22exp d )(22exp 1)]([)()(2220 22223222πσσπσσσ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰∞+∞+x x dx x x X E X E X Var22220 2022224222f(x)dx 2 2exp σπσπσσπσσ-=-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰∞++∞x x ． 5．由统计物理学知，一种气体分子运动的速率V 服从Maxwell 分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0 v ,)(22v e Av v f b v ， 其中常数kT mb 2=，k 为Boltzmann 常数，T 为绝对温度，m 为气体分子质量．试确定常数A ，并求动能221mV E =的平均值． 解：设b x e b x b N X 21)(f ,2 ,0X -=⎪⎭⎫⎝⎛π则～， 0)(=X E ， 2[E(X)]Var(X) )E(X 2222b dx e b x b x =+==-∞+∞-⎰π．由122)(2v 2Av )(220222=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞--∞+-∞+∞-b b A X E b A dv e b b A dv edv v f b v bv ππππ， 得 bb A π4=．221mV E = 的平均值 )( 4 2)(mv 21)(0 30 4222⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞∞--===b v b v e d v Abm dv e v Am dv v f E E )(8343340 20 20 2032222⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-+∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=bv b v b v b v e vd m Ab dv e v Abm dv e v e v AbmkT m mb Amb dx x f Amb dv e ve m Ab X b v b v 8343163)( 16383225250 0222====⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰∞+∞-∞+-∞+-ππ( kTmb 2=代入)． 6．设随机变量)(λP X ～，常数0>λ．求X 的众数．解：由于 ) N k ( ,!}{∈==-k e k X P k λλ，⎩⎨⎧><≤≤≥==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-==---λλλλλλλk 1,k 0 ,1)!1(!}1{}{1k k e k e k X P k X P k k ， 所以 ][*λ=x ． 习 题 4.61．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=他其0, 1x y 0),(2),(y x y x f ． 求E(X)，E(Y)，)(XY E ，)(22Y X E -．解：433)(2),()(13010==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x x dx dy y x xf dx X E x ； 12535)(2),()(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x y dx dy y x yf dx Y E x；1581532)( 2),( )(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x xy dx dy y x f xy dx XY E x ；3011611)( )y (x 2),( )y (x )(10 40 2210 2222==+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x dx dy y x f dx Y X E x ．2．设随机变量0.2) B(10,Y ),3(～～P X ． (1) 求)2(Y X E +，)2(22Y X E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 72.010232)(2)()2(=⨯⨯+=+=+=+np Y E X E Y X E λ；1293)]([)()(222=+=+=+=λλX E X Var X E ；6.5)2.010(8.02.010)()]([)()(2222=⨯+⨯⨯=+=+=np npq Y E Y Var Y E ； 4.186.5122)()(2)2(2222=-⨯=-=-Y E X E Y X E ；(2) 62.0103)()()(=⨯⨯=⋅==np Y E X E XY E λ．3．设随机变量)9 ,1(N X ～，随机变量Y 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=10, 1y ,3)(4y y y f Y ．(1) 求)2(Y X E -，)3(2X Y E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 233)(14==⎰+∞dy yy Y E ， 21232232)()(2)2(=-=-=-=-μY E X E Y X E ； 257)19(323})]([)({3)()(222-=+⨯-=+-=-X E X Var Y E X Y E ； (2) 2323123)()()(=⨯=⋅==μY E X E XY E ． 4．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) 设 2)(Y X Z +=，求 E(Z)； (4) )(X Var ，)(Y Var ．解：(1) 1.03.027.0)1()(11-=⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ji ipx X E ；9.04.021.015.00)(11=⨯+⨯+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i j p y Y E ；(2) 3.01.04022.003.0)2(1.0)1(3.00)(11-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i jip yx XY E ；(3) 31.04032.023.011.003.0)1()()(22222112=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=∑∑+∞=+∞=i j j i jip y x Z E ；(4) 89.1)1.0(9.1)]([)()(222=--=-=X E X E X Var ； 89.09.07.1)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ．5．掷n 颗骰子出现点数之和记为X ，求平均点数E(X)和)(X Var ．解：用i X 表示第i 颗骰子出现的点数，)n , 2, 1,i ( =． n 21X , , , X X 相互独立，具有相同分布．∑==ni i X X 1． ) 6 , 2, 1,k ( ,61}{ ===k X P i ．276)621()(61=+++==∑= k k i kp X E ； 123527)621(61)]([)()(222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=-= i i i X E X E X Var ．21276)()(61=⨯==∑=i i X E X E ； 23512356)()(61=⨯==∑=i i X Var X Var ．习 题 4.71．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求E(X)，3)]([X E X E -，)(2Y E ，) ,(Y X Cov ，XY ρ．解：18531061612121)(=⨯+⨯+⨯=X E ； 1212210)(=⨯+⨯=Y E ；33333181131185061185612118521)]([-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-X E X E ； 2212210)(222=⨯+⨯=Y E ；9118561118531003161100610310)()()()Y ,(-=-=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=Y E X E XY E X Cov ；54731061612121)(2222=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=X E ； 32417185547)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 112)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ； 1717213241791(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ．2．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他0, 1x ,21),(y y x f ．试验证X 与Y 是不相关的，但并非相互独立．证：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1 0, 1x , 121),()( 1 1x x dy dy y x f x f x x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1y 0, 1y , 121),()( 1 1y dx dx y x f y f y y Y ；0)1()(11=-=⎰-dx x x X E ； 0)1()(11=-=⎰-dy y y Y E ；00022),()(10 110111=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+∞∞-+∞∞-x x xxdy xy dx dy xydx dy y x xyf dx XY E ；0(Y)(X))()()((Y)(X)) ,(=-==σσσσρY E X E XY E Y X Cov XY ， X 与Y 不相关．但当121,121<<<<y x 时，0y)f(x, ,0)1)(1()()(=>--=y x y f x f Y X ， 所以 y)f(x, e. a. )()(y f x f Y X 不成立，X 与Y 不独立．3．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他0, 2x ,41),(y y x f ．求E(X)，4)]([X E X E -，)(3Y E ，) ,(Y X Cov ．解：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰∞+∞-2 0, 2x ), 2(4141),()(2 x x dy dy y x f x f x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤===⎰⎰-∞+∞-2] [0,y 0,2y 0 ,241),()(y dx dx y x f y f y yY ．0)2(4)()(22=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E X ； 1516)2(41)0()]([22444⎰-=-=-=-dx x x X E X E X E ； 51621)()(20 433⎰⎰===+∞∞-dy y dy y f y Y E Y ； 3421)()(20 2⎰⎰===+∞∞-dy y dy y yf Y E Y ；04),()(20===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-yydx xy dy dy y x xyf dx XY E ；03400)()()() ,(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ． 4．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他 0,10 1,x 0),(56),(2y y x y x f ．求E(X)，E(Y)，) ,(Y X Cov ，XY ρ，)(Y X Var +．解：⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0, x 0,1x 0,5256)(56),()(10 2x dy y x dy y x f x f X ；⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0,y 0,1y 0 ,5653)(56),()(210 2y dx y x dx y x f y f Y ．535256)()(10 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E X ； 535653)()(10 2⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞+∞-dy y y dy y yf Y E Y ；207)2(103)(56),()(10 210 10 2=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dy y x xy dx dy y x xyf dx XY E ；10015353207)()()() ,(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ； 150112593013535256x )]([)()(210 222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dx x X E X E X Var ； 2522592511535653y )]([)()(210 2222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dy y Y E Y E Y Var ；1763252150111001(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ；152100225215011) ,(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y Var X Var Y X Var ． 5．设随机变量)4 ,0(N X ～，)9 ,2(N Y ～，21=XY ρ．又设 32Y X Z -=．求：(1) E(Z)，)(Z Var ；(2) XZ ρ．解：(1) 32231021)(31)(21)(-=⨯-⨯=-=Y E X E Z E ；33221(Y)(X)) ,(=⨯⨯==σσρXY Y X Cov ；)(91) ,(31)(4133Y ,222)(Y Var Y X Cov X Var Y Var X Cov X Var Z Var +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1991331441=⨯+⨯-⨯=． (2) 1331421) ,(31) ,(21) ,(=⨯-⨯=-=Y X Cov X X Cov Z X Cov ， 21141(Y)(X)) ,(=⋅==σσρY X Cov XZ ． 6．设X 与Y 相互独立，服从相同的指数分布，X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0x ,21)(2x e x f x X ． 试求 Y Y X U X V βαβα-=+=与 的相关系数．这里 βα ,为非零常数．解：421)Var()Var( ,21)E()E( ,21 ),Exp(X 22========λλλλY X Y X ～； )(4)() ,() ,(Var(X)) ,(2222βαβαβαβα-=-+-=Y Var Y X Cov Y X Cov V U Cov ；)(4)()()(Var(U)2222βαβα+==+=V Var Y Var X Var ； 22222222)(4)(4(V )(U )) ,(βαβαβαβασσρ+-=+-==V U C o v UV． 7．设随机向量T X )Y ,(服从二维正态分布，均值向量与协方差矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1μ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4 339 C ．写出T X )Y ,( 的概率密度函数),(y x f 的表达式．解：21 ,3 ,4 ,9 ,1 ,121222121-=-====-=ρσρσσσμμ； ) R y x,( ,)1(41)1)(1(61)1(9132exp 361),(22∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=y y x x y x f π．复 习 题 410．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) Var(Y) ),(X Var ．解：(1)7273721733611124110)(1=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E； 3412539223613)1()(1=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j j j p y Y E ．(2) 72137819181618136131212181)1()(11=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ij ij p x XY E ； (3) 72175721733611124110)(222122=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E ； 512539223613)1()(222122=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j jj p y Y E ． 51847271727271727372175)]([)()(2222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 929345)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y Var ． 11．一电梯载n 人从一楼上升，设楼高 (M+1) 层，每人在每一层楼走出电梯是等可能的，且相互独立．若某一层无人走出电梯则电梯不停．求电梯的平均停止次数．解：用Y 表示电梯的停止次数． 令 ⎩⎨⎧=层不停止电梯在第层停止电梯在第i0,i,1i X ，) 1M , 3, 2,i (+= ．则 132++++=M X X X Y ．n i M M X E ⎪⎭⎫⎝⎛--=11)(， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--==∑+=n M i i M M M X E Y E 11)()(12 ． 12．设随机变量)3 ,0(U X ～，)5 ,1(U Y ～，且X 与Y 相互独立．令 ⎩⎨⎧<≥=Y X ,1YX ,0Z ． 写出Z 的分布律，并求E(Z)．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=⨯==他其0, 5y 13,x 0 ,1214131)()(),(y f x f y x f Y X ．61121),(}{}0{131===≥==⎰⎰⎰⎰≥-xy x dy dx d y x f Y X P Z P σ； 65}0{1}1{==-==Z P Z P ；65)(=Z E ．13．设)Y ,(X 是二维随机变量，证明：)Y ()()Y X ,(Var X Var Y X Cov -=-+． 证：)Y X ,()Y X ,()Y X ,(-+-=-+Y Cov X Cov Y X Cov)()()Y ,()X ,()Y ,()X ,(Y Var X Var Y Cov Y Cov X Cov X Cov -=-+-=．14．设随机变量)2 ,0(πU X ～，令X Y sin =，)cos(a X Z +=，其中常数]2 ,0[π∈a ．求相关系数YZ ρ．解：02sin )(sin )(20⎰⎰==⋅=+∞∞-ππdx xdx x f x Y E X ；02)cos()()cos()(20 ⎰⎰=+=⋅+=+∞∞-ππdx a x dx x f a x Z E X ；a dx a a x dx a x x dx x f a x x YZ E X sin 21)]sin()2[sin(412)cos(sin )()cos(sin )(20 20-=-++=+⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰+∞∞-ππππ；21)]2cos(1[41sin 21)]([)()(20 20222⎰⎰=-==-=ππππdx x xdx Y E Y E Y Var ；21)](2cos 1[41)(cos 21)]([)()(20 20222⎰⎰=++=+=-=ππππdx a x dx a x Z E Z E Z Var ； a a Z E Y E YZ E Z Y Cov YZ sin 21sin 21(Z)(Y))()()((Z)(Y)) ,(-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==σσσσρ．15．设)Y ,(X 是二维随机变量，E(X)= 1，E(Y)= 0，)(X Var = 2，)(Y Var = 4，3.0=XY ρ．令aY X W +=2，求常数a ，使)(W Var 达到最小．解：26.0423.0(Y)(X)) ,(=⨯⨯=⋅=σσρXY Y X Cov ；8 24.24)() ,(4)(4)() ,2(2)2()(22++=++=++=a a Y Var a Y X aCov X Var aY Var aY X Cov X Var W Var ；令024.28)(=+=a W Var dad， 当 23.0-=a 时，)(W Var 达到最小． 16．已知三个随机变量X 、Y 、Z 中，E(X)= 0， 1)(-=Y E ， E(Z)= 0，1)()(==Y Var X Var ，4)(=Z Var ，21-=XY ρ，0=XZ ρ，21-=YZ ρ． 求 Z)Y Var(X )(++++和Z Y X E ．解：1010)()()()(-=+-=++=++Z E Y E X E Z Y X E ；Var(Z)Z),Y 2Cov(X Y)Var(X Z)Y Var(X ++++=++Var(Z) Z),2Cov(Y Z),2Cov(X Y) ,2Cov(X Var(Y)Var(X)+++++=(Z)(Y)2(Z)(X)2(Y)(X)2Var(Z)Var(Y)Var(X)Y Z X Z X Y σσρσσρσσρ+++++=321212210221112411=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+++=．17．一家大型超市在某个城市开设四个销售门店，各门店每周售出的同一种食品的重量（单位kg ）分别记为1X ，2X ，3X ，4X ．已知)350 ,600(1N X ～，)200 ,450(2N X ～，)300 ,500(3N X ～，)250 ,400(4N X ～，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，记 ∑==41i iXZ ．(1) 求这家超市一周的总销售量的均值 E(Z)和方差)(Z Var ；(2) 求这家超市一周内销售这种食品的总重量达到2000kg 的概率}2000{≥Z P ； (3) 超市每周进货一次，为了使新的供货到达之前各门店不脱销的概率大于0.99，问超市的仓库至少应储存多少公斤该食品？解：⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==41 241 ,i i i i N Z σμ～， 即 )1100 ,1950(N Z ～．(1) 1100Var(Z) ,1950)(2====σμZ E ． (2) 0658.09342.01)508.1(11100195020001}2000{1}2000{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥Z P Z P ．(3) 设仓库至少应储存该食品x 公斤，则(kg) 2027.182.327 x ,327.2),327.2(99.0}{=+>>-Φ=>⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=≤μσσμσμx x x Z P ． 习 题 5.11．某公司生产一种儿童使用的化妆品，经检测，每毫升产品中所含的细菌数X 的期望为200，标准差为10．试估计概率}30200{≤-X P ．解：10)(,200)(====X X E σσμ． 9830101)(1})({}30200{222=-=-≥≤-=≤-εεX Var X E X P X P ．2．设随机变量)9 ,0(N X ～． (1) 求概率{}8 ≤X P ； (2) 利用切比雪夫不等式估计{}8 ≤X P 的下界．解：0E(X) ,3,0====μσμ． (1) 9924.019962.021)667.2(2308308}8{}8{}8{=-⨯=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-<-≤=≤X P X P X P ． (2) 8594.0891)(1}8)({}8{22=-=-≥≤-=≤εX Var X E X P X P ． 习 题 5.21．设随机变量 ,X , ,X ,n 21 X 独立同分布，记∑==ni i X n X 11．在下列情况下，当+∞→n 时，X 依概率收敛于什么值？(1) )0.5 ,10(B X n ～， 3, 2, ,1 =n ； (2) ) ,(a a U X n -～， 3, 2, ,1 =n ，常数0>a ； (3) ) ,(2σμN X n ～， 3, 2, ,1 =n ．解：(1) 5=−→−μP X ； (2) 0)(==−→−n PX E X μ； (3) μ−→−PX ． 2．设 ,X , ,X ,n 21 X 是一个相互独立的随机变量序列，且 {})1ln(+=i X P i{}5.0)1ln(=+-==i X P i ， 3, 2, ,1 =i ． 试利用切比雪夫不等式证明：+∞→−→−=∑=n ,0 11Pn i i X n X ．证：) 3, 2, 1,i ( ,0])1ln([5.0)1ln(5.0)( ==+-⨯++⨯==i i X E i i μ． 0)(1)(1==∑=ni i X E n X E ．)1ln()1ln(5.0)1ln(5.0)]([)()(22+=+⨯++⨯=-=i i i X E X E X Var i i i ，n n n n i n X Var n X Var n i n i n i i )1ln()1ln( 1)1ln( 1)( 1)(1 21 21 2+=+≤+==∑∑∑===． 0 >∀ε，据切比雪夫不等式得：) n ( ,0)1ln()(1})({022+∞→→+=≤≥-≤εεεn n X Var X E X P ． 从而 1})({lim =<-+∞→εX E X P n ， 即 ) n ( ,0 11+∞→−→−=∑=Pn i i X n X ．习 题 5.31．设连续随机变量10021X , ,X , X 相互独立，它们服从相同的分布，概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1x 0, 1x ,)(x x f ． 记∑==1001 i i X S ．利用中心极限定理计算}10{≥S P ．解：0)()(11====⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E i μ，210)]([)()(2112222=-=-==⎰-dx x x X E X E X Var i i i σ． 100=n ． 据定理5.3.1，得：0787.09213.01)414.1(1100101100100101}10{1}10{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-Φ-=<-=≥σσμσμnn S S P S P ．2．若计算机进行数值的加法时，对每个加数以四舍五入取整到个位．设所有舍入误差是相互独立的且服从(－0.5, 0.5)上的均匀分布．(1) 将1000个数相加，求误差总和的绝对值大于10的概率； (2) 最多有多少个数相加可使误差总和的绝对值20≤的概率达到99% 以上？解：(1) 用i X 表示第i 个舍入误差，则 ) 1000 , 2, 1,i ( ),0.5 ,5.0( =-U X i ～．100021X , ,X , X 独立同分布，1000n .12112)5.05.0()( ,025.05.0)(22==+===+-==i i X Var X E σμ． 据定理5.3.1，得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑∑===n n n n X nn P X P X P ni i n i i n i i σμσμσμ1010110101101112736.0]8632.01[2)]095.1(1[21211000101211000101=-=Φ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Φ-≈．(2) 要求n 满足 99.0201≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=n i i X P ． 即 99.0120220201≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--∑=n n n n n X nn P ni i σσμσμσμ，723.91n ,575.2n 20),575.2(995.020≤≥Φ=≥⎪⎭⎫⎝⎛Φσσn ． 最大可取 723=n ． 3．假设在n 重伯努利试验中事件A 每次发生的概率为0.6，要使事件A 出现的频率在0.58～0.62之间的概率不低于0.95，问至少需要进行多少次独立试验？(1) 利用切比雪夫不等式估计； (2) 利用中心极限定理计算．解：用X 表示n 重伯努利试验中A 发生的次数，令 ⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i ,0A i ,1i Z ，)n , 2, ,1 ( =i ．则 0.4q 0.6,P(A)p ,1====∑=ni i Z X ，) ,(p n B X ～．(1) A 出现的频率npq Var(X) np,E(X) , Z Z 11 )(n1i i =====∆=∑n X n A f n ． n pq Var(Z) 0.6,E(Z)==． 95.00004.0102.0)(1}02.0)({}02.0)(02.0{}62.0158.0{2≥-=-≥≤-=≤-≤-=≤≤n pqZ Var Z E Z P Z E Z P X n P ， 05.00004.0≤n pq ， 1200005.00004.04.06.005.00004.0=⨯⨯=⨯≥pq n ．(2) 要求n 满足 95.0}62.0158.0{≥≤≤X n P ，即 95.0} 62.058.0{≥≤≤n X n P ． 利用153P 公式(5.3.5)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤npq n npq n npq np n npq np n n X n P 02.002.058.062.0} 62.058.0{102.02-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅Φ=pq n 95.0≥， 2304.96n ,96.102.0 ),96.1(975.002.0≥≥Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φpq npq n ． 最小取 2305=n ．4．现有一大批产品，次品率为1%．若随机地抽取5000件进行检查，求次品数在30～60件之间的概率的近似值．解：用A 表示抽到次品，0.99q ,01.0)(===A P p ． 此为5000=n 重伯努利试验． 用X 表示所抽n 件产品中的次品数，则 ) ,(p n B X ～． 据定理5.3.2 得：)914.2()492.1(5.295.60} 5.605.29{} 6030{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9304.019982.09322.01)914.2()492.1(=-+=-Φ+Φ=．5．某次英语课程的考试成绩（百分制）)225 ,65(N X ～，考生有一大批，各人成绩相互独立．试求： (1) 考试的合格率}60{≥=X P p ；(2) 随机地抽取1000名考生作调查，其中成绩合格的人数在600～700之间的概率的近似值． 解：(1) 用A 表示“考试合格”， 6304.0)333.0(22565601}60{)(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥==X P A P p ；3696.01=-=p q ．(2) 此为1000=n 重伯努利试验． 用Y 表示所抽n 名考生中的合格人数，则 ) ,(p n B X ～． 所求概率)024.2()592.4(5.5995.700} 5.7005.599{} 700600{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9785.019785.011)024.2()592.4(=-+=-Φ+Φ=．复 习 题 51．某车间有100台车床，它们独立地工作，开工率各为0.8，开工时耗电功率各为0.5kW ．问供电所至少要供给该车间多少kW 的电力，才能以 99% 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？解：用X 表示“任一时刻工作的车床数”， 则 ) ,(p n B X ～，0.2p 1q ,8.0 ,100=-===p n ． 要求x 满足 99.0}5.0{≥≤x X P ， 即 99.0} 2{≥≤x X P ． 利用定理5.3.2．)327.2(99.022} 2{Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤npq np x npq np x npq np X P x X P ， 327.22≥-npq npq x ， 654.44)327.2(21=+≥np npq x ． 最小取(kW) 45=x2．一家保险公司承接中国民航的航空意外伤害保险业务，每张保险单售价20元．空难发生后，每位乘客的家属可获得保险公司理赔40万元．据调查，近年来中国民航的空难发生率平均为十万分之一．假设一年中保险公司售出此种保险单10万张．试求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司一年中从该项业务中获得利润达到100万元、150万元的概率分别是多少？解 设X 表示购买保险单的十万人中遭受空难的人数，则 0.00001p 100000,n ), ,( ==p n B X ～， 0.99999npq 1,np ,99999.01===-=p q ． 由定理5.3.2，)1 ,0(N npq npX A ～-． (1) 所求概率为：}5.5{1}5{1}20100000400000{}{<-=≤-=⨯>=X P X P X P P 保险公司亏本0)500.4(15.51=Φ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈npq np ． (2) 所求概率为：}5.2{}100000040000020100000{}100 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 5.29332.0)500.1(5.2=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈npq np ． }25.1{}150000040000020100000{}150 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 25.15987.0)250.0(25.1=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈npq np ． 3．设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，已知4 3, 2, 1,k ,)(1==k k X E μ存在，且224μμ>．证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Y 121 渐近地服从正态分布，并指出其分布参数．证：随机变量序列{}+∞12nX 独立同分布，)()( ,)()(21222212X Var X Var X E X E n n =====σμμ0)]([)(22422141>-=-=μμX E X E ．根据定理5.3.1，得： 当n 充分大时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=n N n Y A i n 2242n 1 2i ,X 1μμμ～． 4．设随机变量)(n P Y n ～，并记nn Y Z n n -=，}{)(x Z P x F n n ≤=， 3, 2, 1,=n ．试证明：R x ),(e21)(lim 2t 2∈Φ==⎰∞--+∞→x dt x F xn n π．（提示：可将n Y 看成n 个相互独立，且都服从P(1)分布的随机变量之和）． 证：设随机变量序列 ,X , ,X ,n 21X 独立同分布，)1(P X n ～． 记 )(1n P X Y ni in ～∑== ( Poisson 分布具有可加性)．1)( ,1)(2====n n X V a r X E σμ， 由定理5.3.1， 得： 当n 充分大时，)1 ,0( N n n Y nn Y Z A n n n ～σμ-=-=， 即n Z 的极限分布是)1 ,0(N ．。
概论与统计第一章 随机事件及概率
事件 C：“没有次品”
基本事件
事件 D： “有2个或3个次品”
包含2个基本事件:
整理课件
1.3 事件间的关系及运算 ❖ 引言
因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事 件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似。
1、事件的包含与相等
属于 A 的 必然属于 B
** 事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B
试验E的任何事件A都可表示为其样本空间的子集。
样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点集{ω}称为基本
事件，也是一种随机事件。否则，称为复合事件(由两个或两 个以上的基本事件构成的事件整)理。课件
事件发生：如果当且仅当样本点ω1,ω2,…,ωk有一个出 现时，事件A就发生。
用事件A中的样本点的全体来表示事件A，即 A={1， 2，…... k}
了数理统计的基本概念和方法，主要有参数估计、参数假设检验、
回归分析基本知识和原理，使学生对统计学原理的作用有一深刻的
了解。(Ch6----Ch9)
通过本课程的学习，使学生能全面理解、掌握概率论与数理统
计的思想与方法，掌握基本而常用的分析和计算方法，并能运用概
率论与数理统计的观点和方法来研究解决经济与管理中的实践问
题。
整理课件
第一章 随机事件及其概率
引言
确定性现象：在一定条件下一定会发生或一定不会发生 的现象
随随机机现现象象：：在在一一定定条条件件下下可可能能发发生生也也可可能能不不发发生生的的现现象象
例 1 (1)太阳从东方升起 (2)边长为a的正方形的面积为a2 (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球
整理课件
§1 随 机 事 件
1.1 随机试验与样本空间
概率论与数理统计总复习-
一. 二维离散型r.v.
概率统计-总复习-13
1. 联合分布律（2个性质）
P(Xxi,Yyj)pij,
2.联合分布函数（5个性质）
F ( x , y ) P X x , Y y
3.联合分布律与联合分布函数关系
F(x,y)pij, xixyjy
4. 边缘分布律与边缘分布函数
n
Xi
n
E( Xi )
i1 i1
D
n
Xi
n
D( Xi )
i1 i1
X1,,Xn 相互独立
常见离散r.v.的期望与方差
概率统计-总复习-27
分布 概率分布
期望 方差
参数p的 0-1分布
P (X 1 )p ,P (X 0) q
2. 联合分布函数（5个性质）
xy
F(x,y) p(u,v)dvdu
3.联合密度与联合分布函数关系 2F( x,y) p( x,y)
xy
4.边缘密度与边缘分布函数
p (x) p( x,y)dy p ( y) p( x,y)dx
X
Y
FX( x) F(x, ) FY ( y ) F(, y)
5.全概率公式：分解 P(B) P(Ai)P(B|Ai),B
i1
6.贝叶斯公式
P(Aj |B)
P(Aj )P(B| Aj )
,j
P(Ai )P(B|Ai )
i1
四. 概率模型
概率统计-总复习-6
1.古典概型： 摸球、放球、随机取数、配对
2. n重伯努利概型：
概率论3-5
xz y
G1
G2
yz
0
O
x
f ( x, y)d xd y
f (x, y)d xd y,
0
yz
令u x y ,
G2
yz
f ( x, y)d xd y 0
f (x, y)d xd y
G1
z
z
yf ( yu, y)d ud y
3. M max( X ,Y )及N min( X ,Y )的分布
设 X ,Y 是两个相互独立的随机变量,它们 的分布函数分别为FX ( x) 和 FY ( y), 则有 Fmax (z) P{M z} P{X z,Y z}
P{X z}P{Y z} FX (z)FY (z). Fmin (z) P{N z} 1 P{N z}
x u y z
f (u y, y)du d y
y x yz
O
x
z
f (u y, y)d y d u.
由此可得概率密度函数为
fZ (z)
f (z y, y)d y.
由于 X 与 Y 对称,
fZ(z)
yf ( yu, y)d y yf ( yu, y)d y d u.
0
由此可得分布密度为
0
f (z) yf ( yz, y)d y yf ( yz, y)d y
0
y f ( yz, y)d y.
当 X, Y 独立时,
f (z) y fX ( yz) fY ( y)d y.
概率ch-5
P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 )P( Aik )
性质1 若事件A1, A2 ,… , An 是相互独立的，则将 A1, A2 ,… , An中的任意k (1≤k≤n)个事件换为各自的
对立事件后的n 个事件仍然是相互独立的.
性质2 若事件A1, A2 ,… , An 是相互独立的，则
1 P( A1 A2 A3 ) 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] 4 2 3 3 1 0.6 5 3 4 5
四、伯努利(Bernoulli )(贝努里)概型
如果一个试验有下列特点： （1）每次试验的结果都一样，且可能的结果为有限个；
[1 P( A1 )][ 1 P( A2 )][1 P( A25 )]
8 9
25
P(Si ) 1 P(Si )
显然，大巴车在第 i 站停车与在第j 站停车的概率相同 ，
（2）在第 i 站不停车的条件下在第j 站停车的概率，
在第 i 站不停车，意味着在第i 站没有人下车，于是， 所有乘客在其余8个站等可能下车， 所以此时第j 站停
（2）每次试验的结果不相互影响，或称为相互独立.
满足（1)（2）的n 次重复试验称为n 重独立试验概型. 下面考虑每次试验的结果都一样，且可能的结果为两个的 n 重独立贝努里试验. 一般地说,如果试验E 只有两种可能的结果: A 及 A 并且 P( A) p, P( A) 1 p q (0 p 1), 把E 独立地重复n 次 的试验看成一个试验. 这个试验称作n重贝努里试验. 记作 E n 在一个n 重贝努里试验中，我们考虑的问题是：
3-5概率统计经典讲义-PPT文档资料
设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量, 它们的分布函数分别为
r i 0
，i=0,1,2,…
，j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i , Y r i )
由卷积公式
P ( Z r ) P ( X i , Y r i )
r
e
i 0
i 0 r
- 1
i 1
i!
e
- 2
r-i 2
(r-i)!
例3 若X和Y 独立,且具有共同的概率密度
1 , 0x1 ; f (x ) 求Z=X+Y的概率密度 . , 其它 . 0
解: 由卷积公式
f ( z ) ( x ) f ( z x ) dx Z X Y f
为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域
0 x 1 0 z x 1
特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的 边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为:
f () z ( z yf )Y () y d y Z X f
f () z () xf ( z x ) d x Z X Y f
这两个公式称为卷积公式 .
下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度.
dx z, 0 z 1 ; 0 1 fZ (z) dx 2 z, 1 z 2; z1 0, 其它 .
z
例4 若X和Y 独立,且具有相同的分布N(0,1),则 Z=X+Y服从正态分布N(0,2). 证： f Z ( z ) f X ( x ) f Y ( z x ) d x
ch3ch5习题课.ppt
EX i和DX i均存在，且方差有界，即DX i C(i 1,2,...),
则对任意的ε>0，lim n
P{|
1 n
n i 1
Xi
1 n
n i 1
EX i
|
}
1
2.Th3.9（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是两两不相关的随机变量，它们的
EX i和DX i均存在，且方差有界，即DX i C(i 1,2,...),
解
设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则X ~ b(6000,
由中心极限定理,
有
X
a ~ N (1000
, 5000 6
)
1 6
),
P
X 6000
1 6
0.01
P940
X
1060
0
1060 1000 5000 6
0
940 1000 5000 6
影响生产？
解 用X 表示开工的机床数，则X~b(200,0.7)
由于n=200较大，
有
X
a
~
N (140 ,140 0.3 )
Ex47. 某车间有同型号机床200部,每部开动的概率为0.7,假定各车床
开关是独立的，开动时每部都要消耗电能15个单位.问电厂最少应供
应该车间多少单位电能，才能以95％的概率保证不致因供电不足而
r.v.函数 离散型r.v. 直接在表上做 难点 的分布 连续型r.v. FZ (z) P{Z z} P{g( X ,Y ) z}
《机械制造工艺学》第二版_王先奎_机械制造工艺学ch3-5_误差统计课件
学习交流PPT
28
2．确定工序能力及其等级
样本的平均值 表示该样本的尺寸分散中心。 它主要决定于调整尺寸的大小和常值系统误差。
x
1 n
n i 1
xi
学习交流PPT
12
样本的标准差Ｓ反映了该批工件的尺寸分散 程度。它是由变值系统误差和随机误差决定的， 误差大，S也大，误差小，S也小。
1 n
2
S n1i1 (xi x)
学习交流PPT
13
学习交流PPTຫໍສະໝຸດ 232．非正态分布
工件的实际分布， 有时并不近似于正态分 布。例如将两次调整下 加工的工件混在一起， 由于每次调整时常值系 统误差是不同的，如常 值系统误差之值大于2.2s， 就会得到双峰曲线（图 3-56a）；
学习交流PPT
24
如果加工中刀具或砂轮的尺寸磨损比较显著，所 得一批工件的尺寸分布如图3-56b所示。尽管在加工 的每一瞬间，工件的尺寸呈正态分布，但是随着刀具 或砂轮的磨损，不同瞬间尺寸分布的算术平均值是逐 渐移动的（当均匀磨损时，瞬时平均值可看成是匀速 移动），因此分布曲线为平顶。
学习交流PPT
17
由直方图可以直观地看到:
• 工件尺寸或误差的分布情况：该批工件的尺寸 有一分散范围，尺寸偏大、偏小者很少，大多 数居中；
• 尺寸分散范围（6S=53.58m）略大于公差值 （T=50 m），说明本工序的加工精度稍显不 足；
概率论 Ch3连续型随机变量与分布(4,5,6).ppt
x
1 2
x
fX Y
t
1 2
dt
x 1
2t 3
dt
1
0
1 3
x
2
1
1
x 1 1 x2 x2
x 1 1 x2
x2
⑵由分布函数性质知
3 1
3 1
1
P0
X
2
Y
2
FX Y
2
2
FX
Y
0
2
1 3
3 2
2
1
0
5 12
也可由密度函数性质得到:
P
0
X
3 2
Y
1 2
3 2 0
fX Y
x
1 2
dx
3 2
2xdx
13
5.
12
⑶由定义: fY X y x
fX
x
x3 4
0,
而
f x, y
,
fX x
当0 x 2时,
f
x,
y
2xy
0 x 2, 0 y x , X x 2
0
其余
2xy
0
0 y x 2
其余
故当 0 x 2 时,
2 xy
fY X
例1 设二维随机变量 X ,Y 的联合分布函数为
F x, y AB arctan xC arctan y,
求常数 A, B,C.
解 由分布函数 F x, y的性质得:
lim
x y
F
x,
y
A
B
π 2
C
π 2
1,
lim
x, y
F
概率论ch5
数
0
性质: (1) (s 1) s(s)
(2)
(1)
1,
1 2
(3) (n 1) n!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
24
例1.证明:
1
x2
e 2 dx 1
2
问: e2x2 dx ?
25
二.数理统计中的常见分布
1.χ2分布
定义:n个独立的标准正态变量平方和的 分布称为自由度为n的χ2分布
2
X
2 1
X
2 2
P{F>c1}= α/2, P{F>c2}= 1-α成立.
查分位数的一般步骤：
1.将分位数用下侧分位数表示出来；
2.查表若表中没有（t分布、F分布）， 利用性质转换后，再查表。
§5.4常用的统计量及其分布
1.统计量的定义
Def 1 设X1, X 2 ,, X n为总体X的样本，
g( X1 , X 2 ,, X n )为 样 本 的 一 个 函 数 ， 如果
Fn
(
x)
3 5
/ /
6 6
1 x 2 2 x3
1 x 3
若总体分布函数为F(x), 则
lim
n
P{|
Fn
(
x)
F
(
x)
|
}
1
经验分布函数依概率收敛于总体分布函数. 即经验分布函数是总体分布函数的近似.
6.频率直方图
样本观测值 x1,x2,…,xn (1) 排序x(1)≤x(2) ≤… ≤ x(n) (2) 分组 a<x(1), b>x(n)
2
1
0
20
30
40
50
第5章概率知识点清单-高一下学期数学湘教版
新教材湘教版2019版数学必修第二册第5章知识点清单目录第5章概率5. 1 随机事件与样本空间5. 2 概率及运算5. 3 用频率估计概率5. 4 随机事件的独立性第5章概率5. 1 随机事件与样本空间5. 1. 1 随机事件一、确定性现象与随机现象1. 在一定条件下必然发生(出现)的现象称为确定性现象.2. 在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到不同的结果，每一次试验或观察之前不能确定会出现哪种结果. 我们把这种现象称为随机现象.二、随机试验、样本点与样本空间1. 随机试验对随机现象进行试验、观察或观测称为随机试验. 随机试验一般用大写字母E表示.2. 样本点对于一个随机试验，我们将该试验的每个可能结果称为样本点，常用ω(或带下标)表示.3. 样本空间将随机试验所有样本点构成的集合称为此试验的样本空间，用Ω表示.用集合的语言描述时，试验的样本空间是该试验所有样本点构成的全集，样本点是该全集的元素. 它们之间的关系可用如图刻画.4. 有限样本空间如果样本空间中样本点的个数是有限的，则称该样本空间为有限样本空间.三、随机事件1. 随机事件一般地，当Ω是试验的样本空间时，我们称Ω的子集A是Ω的随机事件，简称为事件，一般用大写字母A，B，C，…来表示.对于样本空间Ω，A是事件和A⊆Ω等价.2. 基本事件由一个样本点组成的集合，称为基本事件.当试验结果(即试验的样本点)ω∈A时，就称事件A发生，否则称A不发生，即样本点ω∈A和事件A发生等价.3. 必然事件Ω也是Ω的子集，并且包括了所有的样本点，所以必然发生. 我们称样本空间Ω是必然事件.4. 不可能事件空集⌀也是Ω的子集，所以空集⌀是事件. 空集⌀中没有样本点，永远不会发生，所以我们称⌀是不可能事件.四、随机事件、必然事件与不可能事件的理解1. 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)还是一定不发生(不可能事件).五、样本点与样本空间的确定1. 样本空间是由试验的所有可能结果组成的集合，而试验的每种可能结果称为该试验的样本点，样本点具有以下性质：(1)样本点是不能再分的最简单的可能结果；(2)样本点和样本空间是元素和集合的关系.2. 随机事件的结果是相对于条件而言的，要弄清某一个随机事件的所有结果，必须首先明确事件发生的条件，再根据题意，按一定的次序列出问题的答案.3. 探求样本空间中的样本点通常用字典排列法、画树状图法和列表法三种方法.(1)“从n个元素中任取m个元素”常采用字典排列法；(2)“依次取出”常采用画树状图法；(3)“从两个集合中分别任取一个”常采用列表法.5. 1. 2 事件的运算一、事件的关系二、事件的运算三、互斥事件与对立事件四、概率论中事件的运算性质1. 概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：(1)A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；(2)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；(3)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，C∩(A∪B)=(C∩A)∪(C∩B)；(4)A∪B=A∩B，A∩B=A∪B.五、互斥事件与对立事件的判断1. 互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2. 判断两个事件是互斥事件还是对立事件可以先对样本点进行逻辑划分，再进行分析.3. 可以利用Venn图，类比集合的关系进行分析判断.六、事件的运算事件间运算的方法1. 利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果(可以是样本点，也可以是具有相同特点的一些样本点的集合)，分析并利用这些结果进行事件间的运算.2. 利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，从而进行运算.3. 对复杂事件的研究，通常将复杂事件表示为简单事件的和或积的形式.5. 2 概率及运算5. 2. 1 古典概型一、概率1. 定义设试验的样本空间Ω有n个样本点，且每个样本点发生的可能性相同. 当Ω中的事件A包含了m个样本点时，称P(A)=mn为事件A发生的概率，简称为A的概率. 2. 概率的基本性质(1)任何事件的概率在0~1之间，即0≤P(A)≤1.(2)必然事件包含样本空间Ω中的所有样本点，因而P(Ω)=1.(3)不可能事件不包含任何样本点，因而P(⌀)=0.二、古典概型1. 定义：我们把概率定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型.2. 特点(1)样本空间中只有有限个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相等.3. 计算公式P(A)=A中的样本点个数Ω中的样本点个数.三、求古典概型的概率1. 解决古典概型实际问题的步骤 四、古典概型的综合应用1. 有关古典概型与统计结合的题型，一般利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只要能够从题中提炼出需要的信息，就能解决此类问题.2. 有关古典概型与其他数学知识结合的题型，可利用有关数学知识得出限制事件的条件，进而解决概率问题.5. 2. 2 概率的运算一、概率的运算1. 互斥事件的概率加法公式如果Ω中的事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B).推广：如果事件A1，A2，A3，…，A n两两互斥，那么事件A1∪A2∪A3∪…∪A n发生(是指A1，A2，A3，…，A n中至少有一个发生)的概率，等于这n个事件的概率的和，即P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n).2. 对立事件的概率公式：如果A是样本空间Ω的事件，则P(A)=1-P(A).3. 一般概率加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).二、利用概率的运算性质求事件的概率1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤(1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示；(2)事件运算：将已知概率的事件进行适当运算得到要求概率的事件；(3)求概率：利用互斥事件、对立事件等的概率公式求相关概率.5. 3 用频率估计概率一、频率与概率1. 设Ω是某个试验的样本空间，A是Ω的事件. 在相同的条件下将该试验独立地重复n次，则称F n(A)=n次试验中A发生的次数n是n次独立重复试验中事件A发生的频率.2. 一般地，如果事件A发生的可能性愈大，频率F n(A)也愈大；反之，如果F n(A)愈大，那么可以设想事件A发生的可能性也愈大. 因此，频率与概率间应有紧密的联系.3. 理论和实践都证明：在相同的条件下，将一试验独立重复n次，若用F n(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率，则当n增加时，F n(A)将向一个固定的数值p靠近，这个数值p就可看作事件A发生的概率P(A)，即F n(A)是P(A)的估计.4. 频率和概率都是随机事件发生可能性大小的定量刻画，但频率与试验次数及具体的试验有关，因此频率具有随机性；而概率是刻画随机事件发生可能性大小的数值，是一个固定的量，不具有随机性，因此频率不能完全反映概率.二、用频率估计概率1. 频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出事件A的频率. 频率本身是随机变化的，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.2. 解此类题目的步骤是先利用频率的计算公式计算出频率，再用频率估计概率.5. 4 随机事件的独立性一、事件的相互独立1. 在概率论中，设A，B为两个事件，若P(A∩B)=P(A)P(B)，则称事件A，B相互独立，简称为独立.(1)事件A与事件B相互独立，即事件A(或B)是否发生，对事件B(或A)发生的概率没有影响.(2)若事件A，B独立，则计算P(A∩B)的公式为P(A∩B)=P(A)P(B).二、事件相互独立的性质2. 相互独立事件与互斥事件的区别三、判断事件的独立性1. 判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.(2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立，即两个事件同时发生的概率是否等于每个事件发生的概率的乘积.(3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与B或A与B或A与B 是否相互独立.四、利用事件的独立性求复杂事件的概率1. 由简单事件通过运算得到复杂事件，进而利用互斥、对立、独立等关系计算概率. 解题时要注意(1)对事件进行分解，一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；另一方面分解为独立的几类，利用事件同时发生(乘法)求出概率.(2)已知两个事件A，B，那么①A，B中至少有一个发生为事件A+B.②A，B都发生为事件AB.③A，B都不发生为事件A B.④A，B恰有一个发生为事件A B+B A.⑤A，B中至多有一个发生为事件A B+B A+A B.(3)求较复杂事件的概率的一般步骤①列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.②厘清事件之间的关系(事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式.③根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.④当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.。
ch3-5-文档
p(
x,
z
x)dx
z 2
dx
z1
0
,
0
z
2
1
z 2
z 2 0
0 z 2 其他
例2. 设随机变量、相互独立，其密度函数分别为
1, p ( x) 0
0 x 1， 其他
e y ,
p ( y)
0
求 的概率密度函数。
y0 y0
解
：
联合
概
率
密度
为p(
x,
y)
e
y
0
0 x 1, y 0, 其他
利用卷积公式
z 0时，p (z) 0
0,
0 z 1时，p (z)
z e(zx)dx 1 ez ,
0
z 1时，p (z)
1e(zx)dx (e 1)ez
0
故p
(
z)
1 ez
(e 1)ez
z0 0 z 1
z 1
例 3. 与 独立，且都服从 [a,a] 上的均匀分布， 求 的分布。
P( xi , y j )
xi y j zk
P ( xi , zk xi )
i
或者 p (zk ) P( zk y j , y j )
j
若 与 独立，则
p (zk ) p ( xi ) p (zk xi )
i
或者， p (zk ) p (zk yj ) p ( yj ) j
p (z) p( x, z x)dx .
z y
同理： F (z)
dy
p( x, y)dx
p (z)
p(z y,y)dy
★若 与 独立，则 p (z) p ( x) p (z x)dx
概率3-5
概率论
特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有 相同分布函数F(x)时，有
F M z[Fz]n F N z 1 [ 1 F z ]n
概率论
例6 设系统 L 由两个相互独立的子L1 ,系L2
统
连接而成,连接的方式分别为 (i)
串联, (ii) 并L 1联, (iii) L 2
备用 (当L系1 , L统2
概率论
例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从λ1 , λ 2
参数为 的泊松分布,
证明Z=X+Y服从参数为 λ1
λ2的泊松分布.
解 依题意
P(X i) e1i1i = 0 , 1 , 2 , …
i!
P(Y j) e2j2j = 0 , 1 , 2 , …
j!
于是
r
P(Zr)P(Xi,Yri)
M
z
X Y
z z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的
分布函数为:
FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有
FM(z)=
FX(z)FY(z)
概率论
2. N = min(X,Y) 的分布函
数
FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
N
z
x xyz
固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令
x=u-y,得 z F Z(z) [f(uy,y)d]d uy
z
变量代换
[ f(uy,y)d]ydu
交换积分次序
概率论
z
F Z(z) [f(uy,y)d]d yu
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率
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ρσ1σ 2 , 2 σ2
由此可得
C
1 2 σ2 1 det C ρσ1σ 2
ρσ1σ 2 2 σ1 ρσ1σ 2 . 2 σ1
2 σ2 1 2 2 2 σ1 σ 2 (1 ρ ) ρσ1σ 2
μ1 μ . μ2 c11 及 ( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵C c21
x1 引入矩阵 X , x2
c12 , c22
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§3.5 矩与协方差矩阵
2 c11 c12 σ1 C c21 X i , X j ) E {[ X i E ( X i )][ X j E ( X j )]
i , j 1,2,, n 都存在, 则称矩阵
c11 c 21 C c n1
c12 c 22 cn2
c1 n c2n c nn
例如 二维随机变量 ( X 1 , X 2 ) 的协方差矩阵为
c11 c12 C c21 c22
其中 c11 E {[ X 1 E ( X 1 )]2 },
c12 E{[ X 1 E ( X 1 )][ X 2 E ( X 2 )]}, c21 E{[ X 2 E ( X 2 )][ X 1 E ( X 1 )]},
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§3.5 矩与协方差矩阵
由于
( X μ ) T C 1 ( X μ )
2 σ2 1 ( x1 μ1 , x2 μ2 ) ρσ σ det C 1 2
ρσ1σ 2 x1 μ1 2 x μ σ1 2 2
1 ( x1 μ1 )2 ( x1 μ1 )( x2 μ2 ) ( x2 μ2 )2 2ρ 2 2 2 . σ1σ 2 1 ρ σ1 σ2
c22 E {[ X 2 E ( X 2 )] }.
2
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§3.5 矩与协方差矩阵
以二维正态随机变量 ( X1 , X 2 ) 为例.
由于
f ( x1 , x2 ) 1 2 πσ1σ 2 1 ρ2
1 ( x1 μ1 )2 ( x1 μ1 )( x2 μ2 ) ( x2 μ2 )2 exp 2ρ 2 2 2 . σ 1σ 2 σ1 σ2 2(1 ρ )
f ( x1 , x 2 , , x n )
1 1 T 1 exp ( X μ) C ( X μ). n2 12 ( 2π) (det C ) 2
其中X ( x1 , x 2 ,, x n )T ,
c11 μ1 E ( X 1 ) μ2 E ( X 2 ) C c21 μ , c μ E( X ) n1 n n
三阶中心矩E {[ X E ( X )]3 }主要用来衡量随 机变量的分布是否有偏.
四阶中心矩 E{[ X E ( X )]4 } 主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.
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§3.5 矩与协方差矩阵
4. 协方差矩阵 设 n 维随机变量( X 1 , X 2 ,, X n )的二阶混合
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§3.5 矩与协方差矩阵
3. 说明
(1) 以上数字特征都是随机变量函数的数学期望 ; ( 2) 随机变量 X 的数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原
点矩, 方差为二阶中心矩, 协方差 Cov( X ,Y )是 X 与 Y 的二阶混合中心矩; ( 3) 在实际应用中, 高于 4 阶的矩很少使用.
c1n c22 c2 n . cn 2 cnn 11 c12
存在, 称它为 X 的 k 阶原点矩, 简称 k 阶矩.
若 E {[ X E ( X )]k }, k 2, 3, 存在, 称它为 X 的 k 阶中心矩.
若
E ( X Y ), k , l 1, 2,
k l
存在, 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合矩.
若 E {[ X E ( X )]k [Y E (Y )]l }, k , l 1, 2, 存在, 称它为 X 和 Y 的 k l 阶混合中心距.
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为 n 维随机变量的协方差矩阵.
§3.5 矩与协方差矩阵
由于 c ij c ji ( i , j 1,2,, n) , 所以协方差矩 阵为对称的非负定矩阵.
协方差矩阵的应用
协方差矩阵可用来表示多维随 机变量的概率密度，从而可通 过协方差矩阵达到对多维随机 变量的研究.
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§3.5 矩与协方差矩阵
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§3.5 矩与协方差矩阵
于是 ( X 1 , X 2 ) 的概率密度可写成
f ( x1 , x 2 ) 1 1 T 1 exp ( X μ ) C ( X μ ). 22 12 ( 2 π ) (det C ) 2
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§3.5 矩与协方差矩阵
推广
n 维正态随机变量 ( X1 , X 2 ,, X n )的概率密度可表示为
第3章 随机变量的数字特征
§3.5
1. 为什么引入矩？
矩和协方差矩阵
矩的概念是从力学上引进的,是随机变量的各种 数字特征的一种抽象,若有了矩的概念,期望、方差、 协方差,则可以统一归结为矩.矩实际上就是随机变 量及其各种函数的期望值.
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第3章 随机变量的数字特征
2. 矩的定义 设 X 和 Y 是随机变量, 若E ( X k ), k 1, 2,