《微积分基本定理》PPT课件
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
《微积分基本定理》课件
证明方法三：使用不定积分和定积分的性质
总结词
利用不定积分和定积分的性质来证明微积分基本定理 。
详细描述
首先，我们知道不定积分的定义是$int f(x) dx = F(x) + C$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，$C$是常 数。然后，根据定积分的性质，我们知道 $int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$。因此，我们可以 将微积分基本定理的结论表示为$int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{Delta x to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x$ ，其中$xi_i$是每个小区间的中点，$Delta x$是每个 小区间的宽度。最后，我们利用不定积分的定义和极 限的性质来证明这个结论。
我们可以将积分看作是计算曲线下方的面积。对于一个给 定的函数，我们可以在坐标系中画出其图像。然后，将积 分区间分成若干个小区间，每个小区间的宽度为$Delta x$ ，高度为$f(x)$。因此，每个小矩形的高度与宽度的乘积 即为该小区间的面积。所有小矩形的面积之和即为整个曲 线下方的面积，即函数的积分值。
广义微积分基本定理的应用
广义微积分基本定理在数学分析和实变函数等领域中有 着重要的应用，例如在证明某些积分的收敛性和求解某 些特殊类型的积分等。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了函数积分与导数之间 的联系，为解决各种问题提供了重要的方法和思路。
微积分基本定理的背景
微积分基本定理的起源可以追溯到17世纪，当 时科学家们开始研究如何求解各种物理问题， 如速度、加速度、面积和体积等。
牛顿和莱布尼茨等科学家在研究这些问题时， 发现了微积分基本定理，从而为解决这些问题 提供了重要的方法和工具。
微积分基本公式PPT幻灯片课件
dx v( x)
d
(
u( x)
f (t )dt) f (u( x))u( x)
f (v( x))v( x)
dx v( x)
例
( x)
x2 1 0 1 t 2 dt,
则
(
x
)
1
2
x x
4
I( x)
x2 1 x 1 t 2 dt,
则I( x)
2x 1 x4
第五章 第二节
微积分基本公式
本节主要内容
一、积分上限函数 二、微积分基本公式 三、积分上限函数的应用
引例 设f (t) 0，且在[a,b]上可积。ab f (t)dt表示一曲 边梯形的面积 取。 x (a, b)，则ax f (t)dt
表示区间[a, x]上方部分曲边梯形的面积。
当x变化时，面积也随之变化。
x
a
f
(t )dt在[a, b]区间上定义了一个x的函数。
因为x是积分上限， y
故称为积分上限函数。
o a xx x b x
一、积分上限函数
定义 设函数f ( x)在[a,b]上可积，x [a,b]，则称
( x) ax f (t)dt
为定义在[a, b]上的积分上限函数。
相应地可以定义积分下限函数：
dx x2 1 t 4 1 x12
1 x8
3x2 2x 。 1 x12 1 x8
例 求 lim 0x cos t 2dt 。
x0
x
解： 用洛必达法则
原极限 lim cos x2 1。 x0 1
1 et2 dt
练习 求 lim cosx
.
微积分学基本定理(精)ppt课件
a bf(x)d xF (x)|b aF (b )F (a )
证明: 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
x
F (x) (x)Caf(t)d tC x[a,b]
x
F(x)a f(t)d tC
微积分学基本定理 与定积分的计算
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念 定义
， 设 f( x ) 在 [ a ,b ] 上则 可 ( x ) x f 积 ( t) d ,x t[ a ,b ] a
定 义 了 一 个 以x为 积自 分变 上量 限 ，的 称函 为数 变
限的定积，分 或积分上限.函数
b
b
af(x)g(x)d xg(b)f(x)d;x (6)
2) 推论 设函 f在 数 [a,b]上可 ,若 积 g为单调 , 函
则[a,b],使得
b
b
af(x )g (x )d x g (a )af(x )d x g (b )f(x )d;x
证明: 若 g为增,令 函 h(x) 数 g(x)g(a)则 , h为非 、 增函 , 由 数定 9.1(i1 理 )i , [a,b]使 , 得
1 et2dt
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11 设函f数 在[a,b]上可，积
(i)若函 g在 [a,数 b]上,且 减 g(x)0,则 [a,b]使 , 得
b
af(x)g(x)d xg(a)af(x)d;x (5)
证明: 已 知 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
又 (x)a xf(t)d也 t是 f(x)的 一 个 原 函 数 ,
x
F (x) (x)Caf(t)d tC x[a,b]
x
F(x)a f(t)d tC
微积分学基本定理 与定积分的计算
一 变限积分与原函数的存在性
1 变限积分的概念 定义
， 设 f( x ) 在 [ a ,b ] 上则 可 ( x ) x f 积 ( t) d ,x t[ a ,b ] a
定 义 了 一 个 以x为 积自 分变 上量 限 ，的 称函 为数 变
限的定积，分 或积分上限.函数
b
b
af(x)g(x)d xg(b)f(x)d;x (6)
2) 推论 设函 f在 数 [a,b]上可 ,若 积 g为单调 , 函
则[a,b],使得
b
b
af(x )g (x )d x g (a )af(x )d x g (b )f(x )d;x
证明: 若 g为增,令 函 h(x) 数 g(x)g(a)则 , h为非 、 增函 , 由 数定 9.1(i1 理 )i , [a,b]使 , 得
1 et2dt
lim
x0
cosx
x2
sinxeco2sx
lim
x0
2x
1. 2e
3 积分第二中值定理
1) 定理9.11 设函f数 在[a,b]上可，积
(i)若函 g在 [a,数 b]上,且 减 g(x)0,则 [a,b]使 , 得
b
af(x)g(x)d xg(a)af(x)d;x (5)
微积分基本定理_图文_图文
微积分基本定理_图文_图文.ppt
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
微积分的基本定理 课件
0
解析：
2 cos2x2dx＝
2
1＋cos 2
xdx＝
2 1
2 cos xdx＝12x 2 ＋12sin x 2 ＝π4＋12.
0
0
0
答案：π4＋12
(4)利用函数性质求定积分．
1
2
例：
lg11＋－xxdx＝________.
－1
2
解析：记 f(x)＝lg11＋－xx，易知定义域为(－1,1)，因为 f(－x)
a
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则
bfxdx
＝
a
_－__S_下__．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图
③，则bf(x)dx＝ a
S上－S下
；若S上＝S下，则abfxdx＝
0
.
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos x－ex)dx；
－π
(3) 2 sin2x2dx.
0
[解]
(1)
2
(x2＋2x＋3)dx
1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x33 2 ＋x2 2 ＋3x 2 ＝235.
1
1
1
(2)
0
(cos x－ex)dx＝0 cos xdx－0 exdx
－π
－π
－π
0
＝sin x
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
微积分基本定理 课件
(2)ʃ20|1－x2|dx＝____2____. 解析 |1－x2|＝1x2－－x12， ，01≤ <xx≤≤21. ， ʃ20|1－x2|dx＝ʃ10(1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx ＝ x－13x310＋ 31x3－x21 ＝23＋73－1＝2.
(3)ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx＝_4_＋__ln__2_－__s_in__2_＋__s_in__1. 解析 ʃ21[2x2＋xx＋1－cos x]dx ＝ʃ21(2x＋1＋1x－cos x)dx ＝(x2＋x＋ln x－sin x)|21 ＝6＋ln 2－sin 2－(2－sin 1)
解析 ʃ10f(x)dx＝ʃ10(ax2＋c)dx
＝ 31ax3＋cx10＝a3＋c. f(x0)＝ax20＋c，
∴a3＝ax20，即
x0＝
33或－
3 3.
∵0≤x0≤1，∴x0＝
3 3.
1.微积分基本定理 (1)条件：f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x)＝f(x) ； (2)结论：ʃbaf(x)dx＝__F_(_b_)－__F_(_a_)_； (3)符号表示：ʃbaf(x)dx＝_F__(x_)_|ba__＝__F_(_b_)－__F__(a_)__. 2.常见的原函数与被积函数关系 (1)ʃbaCdx＝Cx|ba(C 为常数). (2)ʃbaxndx＝ n＋1 1xn＋1ba(n≠－1).
＝4＋ln 2－sin 2＋sin 1.
类型二 利用定积分求参数
例2
(1)已知 2≤ʃ21(kx＋1)dx≤4，则实数 k 的取值范围为__[23_，__2_]__.
解析 ʃ21(kx＋1)dx＝ 21kx2＋x21＝32k＋1. 由 2≤32k＋1≤4 得23≤k≤2.