2020高中数学第六章 5《归纳与类比》复习学案

2020高中数学

第6章不等式、推理与证明

5《归纳与类比》复习学案【要点梳理·夯实知识基础】

1．合情推理

主要包括归纳推理和类比推理.

合理推理的过程：

从具体问题出发→

观察、分析、

比较、联想

→归纳、类比→提出猜想

(1)归纳推理：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

(2)类比推理：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

2．演绎推理

从已知事实和正确的原理出发，推出某个新的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到一般的推理．

(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(2)“三段论”可以表示为

①大前提：M是P；

②小前提：S是M；

③结论：S是P.

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．()

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．()

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()

(5)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，其大前提错误，其结论也是错误的．() 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√

[小题查验]

1．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()

A．大前提B．小前提

C．推理过程D．没有出错

解析：A[要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和推理形式是否都正确，只有这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．本题中大前提：任何实数的平方都大于0，是不正确的．]

2．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x) B．－f(x)

C．g(x) D．－g(x)

解析：D[由已知得偶函数的导函数为奇函数，

故g(－x)＝－g(x)．]

3．给出下列三个类比结论．

①(ab)n＝a n b n与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝a n＋b n；

②log a(xy)＝log a x＋log a y与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；

③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是()

A．0 B．1

C．2 D．3

解析：B[只有③正确．]

4．(教材改编)已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n

1＋a n

(n＝1,2,3，…)，归纳该数列的通项公式a n＝________.

答案：1 n

5．(文科)观察下列不等式：

1＋1

22<

3

2，

1＋1

22＋

1

32<

5

3，

1＋1

22＋

1

32＋

1

42<

7

4，

……

照此规律，第五个

．．．不等式为________.

解析：观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母的开方与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列．

∴第五个不等式为1＋1

22＋

1

32＋

1

42＋

1

52＋

1

62<

11

6.

答案：1＋1

22＋

1

32＋

1

42＋

1

52＋

1

62<

11

6

5．(理科)设函数f(x)＝

x

x＋2

(x>0)，观察：

f1(x)＝f(x)＝

x

x＋2

，

f2(x)＝f(f1(x))＝

x

3x＋4

，

f3(x)＝f(f2(x))＝

x

7x＋8

，

f4(x)＝f(f3(x))＝

x

15x＋16

，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N ＋且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝ ________ .

解析：依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .

所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x

(2n －1)x ＋2n

.

答案：

x

(2n －1)x ＋2n

【考点探究·突破重点难点】

考点一 归纳推理(多维探究)

[命题角度1] 数式的归纳 1．观察下列等式：

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 2π3－2＝4

3×1×2；

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π5－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 4π5－2 ＝4

3×2×3；

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π7－2＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

sin 6π7－2＝43×3×4；

⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π9－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π9－2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 8π9－2＝43×4×5；

……

照此规律，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛

⎭⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝

________ .

解析：观察前4个等式，由归纳推理可知⎝ ⎛

⎭⎪⎫sin π2n ＋1－2＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫sin 2π2n ＋1－2＋…＋⎝ ⎛

⎭

⎪⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.

答案：4n (n ＋1)

3

2．已知f (x )＝x

1＋x

，x ≥0，

若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋， 则f 2 014(x )的表达式为 ________ .