2016高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业26理新人教A版
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业21同角三角函数的基本关系与诱导公式课件理新人教A版
12．已知11＋ －ttaannxx＝3＋2 2，则 sinx(sinx－3cosx)的值为________。
解析 由11＋ －ttaannxx＝3＋2 2得 tanx＝ 22，所以 sinx(sinx－3cosx)＝sin2x －3sinxcosx＝sins2ixn－2x＋3sicnoxsc2oxsx＝tanta2xn－2x＋3ta1nx＝13－ 2。
C．35
D．45
解析 sinα＝45，cosα＝35，sinα－2 0217π＝－cosα＝－35。故选 B。 答案 B
4．若 cosπ2－α＝ 32，则 cos(π－2α)＝(
)
A．29
B．59
C．－29
D．－59
解析 由 cosπ2－α＝ 32，得 sinα＝ 32。所以 cos(π－2α)＝－cos2α＝ －(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×29－1＝－59。故选 D。
解析 原式＝cosα sin2αco＋s2cαos2α＋sinα· sin2αsi＋n2cαos2α＝cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|，因为 α 是第二象限角，所以 sinα>0，cosα<0，所以 cosα|co1sα|＋ sinα|si1nα|＝－1＋1＝0，即原式等于 0。
答案 0
答案 A
7．已知
α∈23π，2π，且满足
cosα＋2
0217π＝35，则
sinα＋cosα＝(
)
A．－75
B．－15
C．15
D．75
解析 因为 cosα＋2 0217π＝cosα＋1 008π＋π2＝－sinα＝35，且 α∈ 23π，2π，所以 sinα＝－35，cosα＝ 1－sin2α＝45，则 sinα＋cosα＝－35＋45＝ 15。故选 C。
高考数学一轮复习 第三单元三角函数课件 理 新人教课标A
第16讲 角的概念及任意角的三角函数 第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式 第18讲 三角函数的图象和性质 第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质 第20讲 两角和与差的三角函数 第21讲 简单的三角恒等变换 第22讲 正弦定理和余弦定理 第23讲 解三角形的应用
第三单元 三角函数
3．课时安排 该部分共8节，其中第20讲设置双课时作业，一个滚动 基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任 务．
第三单元 │ 使用建议
推导出π±α的正弦、余弦、正切，及π2±α的正弦、余弦的
诱导公式”“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”等； (4)正弦定理、余弦定理是考试大纲要求掌握的内容，是最高 级别的要求，在复习这两个定理时应该要求学生对照课本掌 握这两个定理的证明，然后通过例题，讲解和变式训练使学 生牢固掌握这两个定理并能利用其解有关三角形的题型． (5)正弦定理和余弦定理都能实现三角形中边角关系的互化， 在三角形的三角函数问题中边角互化是解决问题的基本思 想，教师在引导学生复习时，要注重引导学生寻求合理的边 角互化的方向．正弦定理、余弦定理本身就是一个方程，在 三角形问题中注意引导学生使用方程的思想解题．
第三单元 │ 考纲要求
3．解三角形 (1)正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题． (2)应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题．
第三单元 │ 命题趋势
命题趋势
三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基 础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位 置．
第三单元 │ 使用建议
(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形 的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角 度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理， 把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理 和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际 应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际 应用问题的本质所在．
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习练习 第3章 三角函数、解三角形-7
自主园地 备考套餐加固训练 练透考点1．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A .16B .17C .18D .19解析：∵∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝3.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC cos ∠BAC ＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.∴BC ＝19.答案：D2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°解析：如图，∠ABC ＝20°， AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得 AD sin 160°＝ABsin 10°， ∴AD ＝AB·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.故选C 项．答案：C3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A .1762海里/小时 B ．346海里/小时 C .1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°， ∴MN ＝68×32＝34 6.∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)． 答案：A4．如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C 处的乙船，乙船立即朝北偏东θ＋30°角的方向沿直线前往B处营救，则sinθ的值为()A.217B.22C.32D.5714解析：连接BC.在△ABC中，AC＝10，AB＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos120°＝700，∴BC＝107，再由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ABsinθ，∴sinθ＝21 7.答案：A5．[2014·四川]如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC 约等于______m.(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73)解析：过A作BC边上的高AD，D为垂足．在Rt△ACD中，AC＝92，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝ACsin∠ABC×sin∠BAC＝92sin67°×sin37°≈920.92×0.60＝60(m)．答案：60。
【红对勾】(新课标)2016高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形课时作业26 理 新人教A版
课时作业26 三角函数高考热点追踪一、选择题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A2．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 答案：B3．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210B.210C.3210 D.7210解析：由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 答案：A4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，当0≤x <π2时，π6≤x ＋π6<2π3，f (x )的最大值是2.答案：B5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17 B.15 C.152D ．3解析：∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－ 78 2＝152.答案：C6．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．2，π3B.12，π3 C ．2，π6D.12，π6解析：由CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数图象可以看成是由y ＝sin2x的图象向左平移而来，故可知φω＝φ2＝π6，故φ＝π3.答案：A 二、填空题7．(2014·山东卷)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为______． 解析：原式＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. ∴周期T ＝2π2＝π.答案：π8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π39．已知函数y ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． 解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12. 当a >0时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12，y 取得最大值为12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1，y 取得最大值为－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1. 答案：2或－1 三、解答题10．(2014·北京卷)如右图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3tan A ·tan B －(tan A ＋tan B )＝3，且c ＝ 3.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由3tan A ·tan B －(tan A ＋tan B )＝3， 得3tan A ·tan B －3＝tan A ＋tan B ， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－ 3.在△ABC 中，A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3及正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝3sinπ3＝2，可得a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2[sin A ＋sin(2π3－A )]＋3＝3cos A ＋3sin A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin(A ＋π6)≤1，所以a ＋b ＋c 的取值范围为(23，33]．1．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.6365解析：由f (3α＋π)＝165，得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165，即4sin(α＋π2)＝165，所以cos α＝45，又α∈[0，π2]，所以sin α＝35.由f (3β＋5π2)＝－2013，得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013，即sin(β＋π)＝－513，所以sin β＝513.又β∈[0，π2]，所以cos β＝1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.答案：D2．已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的一段图象如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是f (x )的图象上一个最低点，C 在x 轴上，若内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S 满足12S ＝b 2＋c 2－a 2，将f (x )的图象向左平移一个单位得到g (x )的图象，则g (x )的表达式为( )A ．g (x )＝cos π2xB ．g (x )＝－cos π2xC ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12 D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12 解析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足． 由已知，12S ＝b 2＋c 2－a 2， 即12×12bc sin ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 2，∴3sin ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc＝cos ∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝13.∴AD ＝3，即34T ＝3，T ＝4，2πω＝4，ω＝π2，f (x )＝sin π2x .将f (x )的图象向左平移一个单位得到g (x )＝sin π2(x ＋1)的图象，即g (x )＝cos π2x ，故选A.答案：A3．如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA ，OB ，再修建一长度为AB 的围栏，围栏的造价与AB 的长度成正比．现已知墙角AOB 的度数为120°，当△AOB 的面积为3时，就可起到保护作用．则当围栏的造价最低时， ∠ABO ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：只要AB 的长度最小，围栏的造价就最低．设OA ＝a ，OB ＝b ，则由余弦定理得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，又S △AOB ＝12ab sin120°＝3，所以ab ＝4.故AB 2≥12，即AB 的最小值为2 3.由a ＝b 及3ab ＝12，得a＝b ＝2.由正弦定理得sin ∠ABO ＝a sin120°AB ＝223×32＝12.故∠ABO ＝30°，故选A.答案：A4．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，已知g (x )的部分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点F (0,1)，与x 轴相交于点P ，Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为π2.(1)求函数g (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，g (A )＝1，且b ＝5，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意可知g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ.由于S △MPQ ＝12·2·|PQ |＝π2，则|PQ |＝T 2＝π2，∴T ＝π，即ω＝2.又由于g (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝1， 且－π2<φ－π2<π2，则φ－π2＝π6，∴φ＝2π3.即g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1,2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，则2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 由余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝5， ∴5＝b 2＋c 2－bc ≥bc .∴S △ABC ＝12bc sin A ≤534，当且仅当b ＝c ＝5时，等号成立，故S △ABC 的最大值为534.。
高考复习方案(新课标)高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形课时作业 文
【高考复习方案】（新课标）2016届高考数学一轮复习 第3单元 三角函数、解三角形课时作业 文课时作业(十五) [第15讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．若角θ同时满足sin θ<0，tan θ<0，则角θ的终边一定落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2，3]B ．(－2，3)C ．[－2，3)D ．[－2，3] 3．若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞04．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或45．[2014·辽源模拟] 若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．能力提升6．若α＝k·180°＋45°(k∈Z )，则角α的终边在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限 7．如果θ是第一象限角，那么恒有( )A ．sin θ2>0B ．tan θ2<1C ．sin θ2>cos θ2D ．sin θ2<cos θ28．已知角α的终边过点P(－a ，－3a)，a ≠0，则sin α＝( )A .31010或1010 B .31010 C .1010或－1010 D .31010或－310109．[2014·大庆模拟] 已知角α终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正角是( )A .11π6 B .12π7 C .2π3 D .π310．已知角α的终边与函数y ＝－5x 12(x≤0)的图像重合，则cos α＋1tan α－1sin α＝_______.11．如图K 151所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6，则阴影部分的面积是________．图K 15112．(13分)如图K 152所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为(35，45)，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB.图K 152难点突破13．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边，角α的终边与单位圆O 的交点B 在第一象限，已知点A(－1，3)．(1)若OA⊥OB，求tan α的值；(2)若点B 的横坐标为45，求S △AOB .课时作业(十六) [第16讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式](时间：30分钟 分值：80分)基础热身1．“sin α＝35”是“cos α＝45”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．tan (－1410°)的值为( ) A .33 B ．－33C . 3D ．－ 3 3．[2014·济南质检] 若α∈(－π2，π2)，sin α＝－35，则cos (－α)的值为( )A ．－45B .45C .35D ．－354．已知α是第二象限角，且sin (π＋α)＝－35，则tan 2α的值为( )A .45B ．－237C ．－247D ．－2595．若f(cos x)＝cos 2x ，则f(sin 15°)＝________． 能力提升6．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B .54 C ．－34 D .457．已知sin (5π2＋α)＝15，则cos α＝( )A ．－2 65 B .2 65 C .15 D ．－158．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m ，sin 2α＝m 2，则m 的值为( )A .33 B ．－33 C ．－13 D ．－239．已知函数f(x)＝sin x －cos x 且f′(x)＝2f(x)，f ′(x)是f(x)的导函数，则1＋sin 2xcos 2x －sin 2x＝( )A ．－ 195B .195C .113D ．－ 11310．已知tan (π6－α)＝33，则tan (56π＋α)＝________．11．下列说法正确的有________．(填序号)①若－π2＜α＜β＜π2，则α－β的范围为(－π，π)；②若α在第一象限，则α2在一、三象限；③若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m∈(3，9)；④若sin θ2＝35，cos θ2＝－45，则θ在第四象限.12．(13分)已知sin α＝－2 55，且tan α<0. (1)求tan α的值；(2)求2sin （α＋π）＋cos （2π－α）cos （α－π2）－sin （3π2＋α）的值．难点突破13．(12分)[2014·长沙模拟] 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin (3π2－A)·cos (π2＋A)的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值．课时作业(十七) [第17讲 三角函数的图像与性质](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．已知f(x)＝sin (x ＋π2)，g(x)＝cos (x －π2)，则f(x)的图像( )A ．与g(x)的图像相同B ．与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图像D ．向右平移π2个单位，得到g(x)的图像2．设0≤x<2π，且1－sin 2x ＝sin x －cos x ，则( )A ．0≤x ≤πB .π4≤x ≤5π4C .π4≤x ≤7π4D .π2≤x≤3π23．已知函数y ＝sin (sin x)，下列结论中正确的是( )A ．定义域是[－1，1]B ．是偶函数C ．值域是[－sin 1，sin 1]D ．不是周期函数 4．[2014·温州模拟] 已知函数f(x)＝sin （x ＋π）cos （π－x ），则下列结论中正确的是( )A ．f(x)的最小正周期是2πB ．f(x)在区间[4，5]上单调递增C ．f(x)的图像关于x ＝π2对称 D ．f(x)的图像关于点(3π2，0)对称5．若函数f(x)＝sin (πx ＋π2)，x ∈[－1，1]，则( )A ．f(x)为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减B ．f(x)为偶函数，且在区间[0，1]上单调递增C ．f(x)为奇函数，且在区间[－1，0]上单调递增D ．f(x)为奇函数，且在区间[－1，0]上单调递减6．函数y ＝3sin (2x ＋π4)的最小正周期为________．能力提升7．方程|x|＝cos x 在R 内( )A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根 8．若方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E 和F ，则( )A ．E FB ．E FC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅9．设函数f(x)＝cos (2π－x)＋3cos (π2－x)，则函数f(x)的最小正周期为( )A .π2B ．πC ．2πD ．4π10．给出下列命题：①函数y ＝tan (x ＋φ)在定义域内不存在单调递减区间； ②函数y ＝tan (x ＋φ)的最小正周期为π； ③函数y ＝tan (x ＋π4)的图像关于点(π2，0)对称；④函数y ＝tan (x ＋π4)的图像关于直线x ＝π2对称． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．311．函数f(x)＝3sin (2x －π6)在区间[0，π2]上的值域为( ) A ．[－32，32] B ．[－32，3] C ．[－3 32，3 32] D ．[－3 32，3] 12．函数f(x)＝1tan x －1的定义域为__________．13．函数f(x)＝sin (x ＋π3)－3cos (x ＋π3)，x ∈[0，2π]的单调递减区间是____________．14．(10分)[2014·湛江模拟] 设函数f(x)＝2sin (2x －π4)－1.(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调递减区间． 15．(13分)设函数f(x)＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且f(x)的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间[π，3π2]上的最大值和最小值.难点突破16．(12分)已知函数f(x)＝cos (2x －π3)＋2sin (x －π4)sin (x ＋π4)．(1)求函数f(x)图像的对称轴的方程； (2)求函数f(x)在区间[－π12，π2]上的值域．课时作业(十八) [第18讲 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．函数f(x)＝sin x cos x 最小值是( )A ．－1B .12C ．－12D ．12．若函数y ＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的部分图像如图K 181所示，则ω＝( )图K 181A ．5B ．4C ．3D ．23．[2014·青岛检测] 函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴方程可以为( )A ．x ＝π4B ．x ＝π3C ．x ＝34π D ．x ＝π4．将函数y ＝sin (x ＋π6)(x∈R )的图像上的所有点向左平移π6个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图像的解析式为( )A ．y ＝sin(2x ＋π3)B ．y ＝sin(x 2＋π3)C ．y ＝sin x 2D ．y ＝cos x25．当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x<2π)取得最大值时，x ＝________．6．有一种波，其波形为函数y ＝sin π2x 的图像，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是________．能力提升7．函数f(x)＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，28．将函数y ＝f(x)sin x 的图像向右平移π4个单位，与其图像关于x 轴对称的图像为函数y ＝1－2sin 2x 的图像，则f(x)＝( )A ．2sin xB ．sin xC ．2cos xD ．cos x9．[2014·赣州联考] 若函数f(x)＝sin (ωx＋2π3)＋sin (ωx－2π3)(ω＞0)的最小正周期为π，则( )A ．f(x)在区间(0，π4)上单调递增B ．f(x)在区间(0，π4)上单调递减 C ．f(x)在区间(0，π2)上单调递增 D ．f(x)在区间(0，π2)上单调递减10．图K 182是函数y ＝sin (ωx＋φ)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值为( )图K 182A .12πB .19π2＋1 C .19π2－1 D .13π2－111．[2014·郑州模拟] 已知直线x ＝5π12和点(π6，0)恰好是函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0)的图像上相邻的对称轴和对称中心，则f(x)的解析式可以是( )A ．f(x)＝2sin (2x －π6)B ．f(x)＝2sin (2x －π3) C ．f(x)＝2sin (4x ＋π3) D ．f(x)＝2sin (4x ＋π6)12．已知函数y ＝sin (ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图像如图K 183所示，则φ＝________．图K 18313．已知函数y ＝A sin (ωx＋φ)＋m(ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．(填序号)①y ＝4sin (4x ＋π6)；②y＝2sin (2x ＋π3)＋2；③y ＝2sin (4x ＋π3)＋2；④y＝2sin (4x ＋π6)＋2.14．(10分)[2014·温州模拟] 如图K 184所示，点P(0，A 2)是函数y ＝A sin (2π3x ＋φ)(其中A>0，φ∈[0，π))的图像与y 轴的交点，点Q ，R 是其与x 轴的两个交点．(1)求φ的值；(2)若PQ⊥PR，求A 的值．图K 18415．(13分)[2014·湛江模拟] 设函数f(x)＝2·sin (ωx－π4)(ω>0)，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4.(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调递减区间．难点突破16．(12分)已知向量a ＝(cos x ，－12)，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π2]上的最大值和最小值．课时作业(十九) [第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．计算sin 47°cos 17°－cos 47°cos 73°的结果为( )A .12B .33 C .22 D .322．已知sin α＝35，则cos 2α的值为( )A ．－2425B ．－725C .725D .24253．已知tan (α－π6)＝37，tan (π6＋β)＝25，则tan (α＋β)的值为( )A .2941B .129C .141D ．14．在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于________． 5．已知sin (π4－x)＝14，则sin 2x 的值为________．6．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________.能力提升7．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos 2α＝14，则cos α的值等于( )A .22 B .33C .12 D .328．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1C ．1 D ．39．[2014·大连二模] 已知cos (α－π6)＋sin α＝4 35，则sin (α＋π6)的值是( )A .45 B ．－45 C .4 315 D ．－4 31510．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝3 78，则sin θ＝( )A .35B .45C .74 D .3411．已知sin 2α＝－2425，α∈(－π4，0)，则sin α＋cos α＝( )A ．－15B .15C ．－75D .7512．已知tan θ＝－3，则2cos2θ2＋sin θ－12cos （θ＋π4）的值为________． 13．[2014·厦门质检] 已知sin (α－β)cos α－cos (β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin (2β＋π)＝________．14．(10分)已知函数f(x)＝tan (3x ＋π4)．(1)求f(π9)的值；(2)设α∈(π，3π2)，若cos α＝－55，求cos (α－π4)的值．15．(13分)[2014·亳州质检] 已知tan (π4＋α)＝2，tan β＝12.(1)求tan 2α的值；(2)求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值．难点突破16．(12分)已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)．(1)求tan (α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin (x －α)＋cos (x ＋β)的最大值．课时作业(二十) [第20讲 简单的三角恒等变换](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．化简：sin （180°＋2α）1＋cos 2α·cos 2αcos （90°＋α）等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α2．设α，β均为锐角，且cos (α＋β)＝sin (α－β)，则tan α的值为( ) A ．2 B . 3 C ．1 D .333．若sin θ＝45，sin θ－cos θ>1，则sin 2θ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．－45D .24254．sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝________． 5．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________．6．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β＝________． 能力提升7．已知sin (3π－θ)＝－2sin (π2＋θ)，则tan 2θ＝( ) A .43 B ．－43 C .65 D ．－658．在△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2的值是( )A ．± 3B ．－ 3C . 3D .339．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin (α＋π4)＋cos (α＋π4)＝( )A .4 25 B ．－4 25 C .3 25 D ．－3 2510．已知点 P(sin 3π4，cos 3π4)落在角 θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则 tan (θ＋π3)的值为( )A .3＋3B .3－3C ．2＋ 3D . 2－ 311．已知tan (α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos （α－π4）＝( )A ．－2 55 B ．－3 510 C ．－31010 D .2 5512．[2014·临沂三模] 已知α是第一象限角，sin α＝55，tan (β－α)＝－13，则tan (β－2α)的值为________．13．已知函数f(x)＝sin 2ωx ＋3sin ωx ·cos ωx ，x ∈R ，又f (α)＝－12，f (β)＝12，若|α－β|的最小值为3π4，则正数ω的值为________ 14．(10分)已知α，β∈(0，π)，且tan (α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．15．(13分)设函数f(x)＝sin (2x ＋π3)＋33sin 2x －33cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期及其图像的对称轴的方程；(2)将函数f(x)的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图像，求g(x)在区间[－π6，π3]上的值域．难点突破 16．(12分)[2014·惠州调研] 已知平面直角坐标系上的三点A(0，1)，B(－2，0)，C(cos θ，sin θ)(θ∈(0，π))，O 为坐标原点，向量BA →与向量OC →共线．(1)求tan θ的值； (2)求sin (2θ－π4)的值．课时作业(二十一) [第21讲 正弦定理和余弦定理](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A .15B .59C .53D ．1 2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1B ．2C .3－1D . 33．[2014·日照检测] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为( )A .π6B .π3C .π6或5π6D .π3或2π34．在△ABC 中，内角A ，B 的对边分别是a ，b ，且A ＝30°，a ＝2 2，b ＝4，那么满足条件的△ABC( )A ．有一个B ．有两个C ．不存在D ．不能确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a 的值为 ( )A . 3B . 6C .13D ．2 136．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．能力提升7．△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为12，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3C .3＋33D ．2＋ 3 8．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定9．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC的面积为( )A ．2 3＋2B .3＋1C ．2 3－2D .3－110．[2014·广州二模] 在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝1，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( ) A .314 B .3 314C .2114 D .3211411．[2014·武汉测试] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2 3sin B ，则A ＝( )A .π6B .π4C .π3D .5π1212．[2014·惠州调研] 在△ABC 中，若b ＝3，c ＝1，cos A ＝13，则a ＝________．13．在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，且c sin A ＝3a cos C ，则△ABC 的面积为________．14．(10分)[2014·扬州检测] 已知锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝6，sin 2C ＝－3cos 2C.(1)求角C 的大小；(2)若sin A ＝13，求△ABC 的面积．15．(13分)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2 6，B ＝2A. (1)求cos A 的值； (2)求c 的值． 难点突破16．(12分)[2014·昆明调研] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A2＝32b.(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积．课时作业(二十二) [第22讲 正弦定理和余弦定理的应用](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．如图K 221所示，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )图K 221A ．α，a ，bB ．α，β，aC ．a ，b ，γD ．α，β，b2．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于( )A .35B .45C .34D .433．某人遥控一机器人，让机器人从A 出发向正北方向走了2 3 km 到达B 后，向右转105°，然后朝新方向走了x km 后到达C ，结果发现此时机器人在点A 的东北方向，则x 为( )A . 3B ．2 3C ．2 3或2 2D ．2 24．某次测量中，在A 处测得同一平面内的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B ，C 间的距离为( )A .16B .17C .18D .19 5．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________km .6．如图K 222所示，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是________ n mile /h .图K 222能力提升7．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为 3 km ，则x ＝( )A . 3B ．2 3C .3或2 3D ．38．如图K 223所示，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )图K 223A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°9．已知A 船在灯塔C 的北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 的北偏西40°处，且A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为( )A ．1 kmB ．2 kmC ．3 kmD ．(6－1) km10．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )A ．5海里B ．5 3 海里C ．10海里D ．10 3 海里11．[2014·成都检测] 某公司要测量一水塔CD 的高度，测量人员在该水塔所在的正西方向的水平直线上选择A ，B 两个观测点，在A 处测得该水塔顶端D 的仰角为α，在B 处测得该水塔顶端D 的仰角为β.已知AB ＝a ，0<β<α<π2，则水塔CD 的高度为( )图K 224A .a sin （α－β）sin αsin βB .a sin αsin βsin （α－β）C .a sin （α－β）sin βsin α D .a sin αsin （α－β）sin β12．[2014·大连模拟] 如图K 225所示，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，且在点C 处测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是________．图K 22513．如图K 226所示，在四边形ABCD 中，已知AD⊥CD，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________.图K 22614．(10分)[2014·郑州质检] 某气象仪器研究所测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度．已知A ，B ，C 三地位于同一水平面上，将该仪器放在C 处进行垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度．(声音的传播速度为340 m /s )图K 22715．(13分)如图K 228所示，在等腰直角三角形OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝2 2，点M 在线段PQ 上．(1)若OM ＝5，求PM 的长．(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON＝30°，问：当∠POM 取何值时，△OMN 的面积最小？并求出△OMN 面积的最小值．图K 228难点突破16．(12分)某观测站在城A 南偏西20°方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上距C 处31 km 的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20 km 后到达D 处，此时C ，D 间的距离为21 km ，问这人还要走多少千米可到达城A?参考答案课时作业(十五)1．D [解析] 若sin θ<0，则角θ的终边位于x 轴下方；若tan θ<0，则角θ的终边位于第二或第四象限．所以角θ的终边位于第四象限．2．A [解析] ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 3．C [解析] 因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 4．C [解析] 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2，从而α＝l r ＝4或α＝l r＝1.5．钝角三角形 [解析] ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角，∴sin α＞0，cos β＜0，∴β为钝角，故此三角形为钝角三角形．6．A [解析] k 为偶数时，角α的终边在第一象限；k 为奇数时，角α的终边在第三象限．所以选A.7．B [解析] 由于θ是第一象限角，所以2k π<θ<2k π＋π2(k ∈Z )，则k π<θ2<k π＋π4(k ∈Z )，易知选项B 正确． 8．D [解析] sin α＝－3a （－a ）2＋（－3a ）2＝－3a10a2.当a >0时，sin α＝－31010；当a <0时，sin α＝31010.9．A [解析] 由sin 2π3＞0，cos 2π3＜0知角α的终边在第四象限．又tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，故角α的最小正角为11π6. 10．－7713 [解析] 在角α的终边上取点P (－12，5)，则r ＝13，故cos α＝－1213，tan α＝－512，sin α＝513，故cos α＋1tan α－1sin α＝－7713.11．12π－9 3 [解析] ∵120°＝23π，∴l ＝6×23π＝4π.∵S 扇形AOB ＝12×4π×6＝12π，∴S △OAB ＝12·OA ·OB ·sin 120°＝12×6×6×sin 120°＝9 3，S 扇形AOB －S △OAB ＝12π－9 3，∴阴影部分的面积为12π－9 3.12．解：(1)A 点的坐标为35，45，根据三角函数的定义可知sin ∠COA ＝45.(2)因为△AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°.又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35，所以cos ∠COB ＝cos (∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35×12－45×32＝3－4 310. 13．解：(1)由题可知A (－1，3)，B (cos α，sin α)0<α<π2，∴OA →＝(－1，3)，OB →＝(cos α，sin α)0<α<π2.由OA ⊥OB ，得OA →·OB →＝0，∴－cos α＋3sin α＝00<α<π2，∴tan α＝13.(2)由(1)得|OA |＝（－1）2＋32＝10，记∠AOx ＝β，则β∈π2，π，∴sin β＝310＝3 1010，cos β＝－110＝－1010.∵|OB |＝1，cos α＝45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴sin ∠AOB ＝sin(β－α)＝31010×45＋1010×35＝3 1010， ∴S △AOB ＝12|AO ||BO |sin ∠AOB ＝12×10×1×31010＝32.课时作业(十六)1．D [解析] sin α＝35⇒cos α＝±45，cos α＝45⇒sin α＝±35.故“sin α＝35”是“cos α＝45”的既不充分也不必要条件．2．A [解析] tan(－1410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝33. 3．B [解析] 因为α∈(－π2，π2)，sin α＝－35， 所以cos α＝45，所以cos(－α)＝45.4. C [解析] sin(π＋α)＝－35得sin α＝35，又α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以tan α＝－34，从而tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.故选C. 5．－32[解析] sin 15°＝cos 75°，所以f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. 6．D [解析] 原式＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 7．C [解析] sin(5π2＋α)＝15⇒sin(π2＋α)＝15⇒cos α＝15.8．B [解析] 由sin α＋cos α＝2m 平方得1＋sin 2α＝4m 2，即1＋m 2＝4m 2，解之得m ＝±33.又因为α为第三象限角，所以sin α与cos α均为负值，从而m <0，故选B. 9．A [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ，∵f ′(x )＝2f (x )， ∴cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，∴tan x ＝3，∴1＋sin 2x cos 2x －sin 2x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x ＝－195. 10．－33 [解析] tan(56π＋α)＝tan(π－π6＋α)＝tan[π－(π6－α)]＝－tan(π6－α)＝－33. 11．②④ [解析] 若－π2＜α＜β＜π2，则α－β范围为(－π，0)，故①错．∵sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴m ＝0或m ＝8，故③错．12．解：(1)∵sin α<0，tan α<0，∴α在第四象限，∴cos α＝55，∴tan α＝－2.(2)2sin （α＋π）＋cos （2π－α）cos(α－π2)－sin(3π2＋α)＝－2sin α＋cos αsin α＋cos α＝－2tan α＋1tan α＋1＝－5.13．解：(1)∵sin A ＋cos A ＝15，两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，∴sin(3π2－A)cos π2＋A ＝(－cos A )(－sin A )＝sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，∴A 为钝角， ∴△ABC 是钝角三角形．(3)∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，∴sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75.又sin A ＋cos A ＝15，∴sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.课时作业(十七) 1．D [解析] f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x ，g (x )＝cos(x －π2)，所以把f (x )的图像向右平移π2个单位，得到g (x )的图像．2．B [解析] 因为1－sin 2x ＝|sin x －cos x |＝sin x －cos x ，所以sin x －cos x ≥0.在同一坐标系中分别作出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图像(图略)，可得π4≤x ≤5π4.3．C [解析] ∵－1≤sin x ≤1且y ＝sin x 在区间[－1，1]上是增函数，∴y ＝sin(sin x )的值域是[－sin 1，sin 1]．4．D [解析] f (x )＝sin （x ＋π）cos （π－x ）＝－sin x－cos x＝tan x ，故选D.5．A [解析] f (x )＝sin(πx ＋π2)＝cos πx ，显然f (x )为偶函数，且在区间[0，1]上单调递减．6．π [解析] 最小正周期T ＝2π2＝π.7．C [解析] 分别作出函数y ＝|x |，y ＝cos x 的图像(图略)，易知这两个函数的图像在R 内有两个交点，故选C.8．A [解析] 由sin x ＝0，得x ＝k π(k ∈Z )；由sin 2x ＝0，得2x ＝k π，即x ＝k π2(k ∈Z )．显然E F .9．C [解析] 函数f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，故其最小正周期为2π. 10．C [解析] ①正确，函数y ＝tan(x ＋φ)在定义域内只存在单调递增区间．②正确．③错误，其对称中心应为k 2π－π4，0(k ∈Z )．④错误，函数y ＝tan(x ＋π4)的图像不存在对称轴．故选C.11．B [解析] 当x ∈[0，π2]时，2x －π6∈[－π6，5π6]，∴sin(2x －π6)∈[－12，1]，故3sin(2x －π6)∈[－32，3]，12.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪ x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z ) [解析] 要使函数f (x )有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的定义域为x⎪⎪⎪ x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 13.[π2，3π2](区间的开闭不影响) [解析] f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)＝2sin(x ＋π3－π3)＝2sin x ，∴函数f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)，x ∈[0，2π]的单调递减区间是[π2，3π2].14．解：(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，∴2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．15．解：(1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin(2ωx －π3).因为f (x )的图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，且ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin(2x －π3).当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin2x －π3≤1， 因此－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.16．解：(1)f (x )＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π4)sin(x ＋π4)＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －π6)，由2x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π3＋k π2(k ∈Z )，即函数f (x )图像的对称轴的方程为x ＝π3＋k π2(k ∈Z )．(2)∵x ∈[－π12，π2]，∴2x －π6∈[－π3，5π6].∵f (x )＝sin2x －π6在区间[－π12，π3]上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， ∴当x ＝π3时，f (x )取得最大值 1.又∵f(－π12)＝－32<f(π2)＝12，∴当x ＝－π12时，f (x )取得最小值－32.∴函数 f (x )在区间[－π12，π2]上的值域为[－32，1].课时作业(十八) 1．C [解析] f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，所以函数f (x )的最小值为－12.2．B [解析] 易知2πω＝2×π4，解得ω＝4.3．D [解析] y ＝2sin 2x ＝－cos 2x ＋1.由2x ＝k π(k ∈Z )，得对称轴的方程为x ＝k π2(k ∈Z )，所以x ＝π是函数y ＝2sin 2x 的图像的一条对称轴，故选D.4．B [解析] 易知将函数y ＝sin(x ＋π6)的图像向左平移π6个单位长度，得到函数y＝sin(x ＋π3)的图像，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(12x ＋π3)的图像．故选B.5.5π6 [解析] 原函数可化为y ＝2sin(x －π3)，由x ∈ [0，2π)得x －π3∈[－π3，5π3)，∴当x －π3＝π2时，即x ＝5π6时，函数取得最大值2.6．5 [解析] 函数y ＝sin π2x 的最小正周期T ＝4，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰，则t ≥54T ＝5.7．A [解析] f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin(2x ＋π3)，则f (x )的最小正周期为π，振幅为1.8．C [解析] 函数y ＝1－2sin 2x ＝cos 2x ，与其图像关于x 轴对称的图像为函数y ＝－cos 2x 的图像，将函数y ＝－cos 2x 的图像向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝－cos 2(x＋π4)＝sin 2x ＝2sin x cos x 的图像，所以f (x )＝2cos x . 9．B [解析] f (x )＝sin(ωx ＋23π)＋sin(ωx －23π)＝－sin ωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，即f (x )＝－sin 2x ，易知其在区间(0，π4)上单调递减．10．C [解析] 由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π.又A(π6，1)，∴B(2π3，－1)，∴OA →·OB →＝π29－1.11．B [解析] 根据题意可知14T ＝512π－π6＝π4，所以T ＝π，所以ω＝2πT＝2.又f (x )的图像过点(π6，0)，于是有2sin2×π6＋φ＝0，得φ＝－π3＋k π(k ∈Z )，可知B 中的解析式满足．12.9π10 [解析] 由图像知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为22π－3π4＝5π2，∴2πω＝5π2，∴ω＝45. ∵当x ＝34π时，y 有最小值－1，∴45×3π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，即φ＝2k π－11π10(k ∈Z )． ∵－π≤φ<π，∴φ＝9π10.13．④ [解析] 因为已知函数的最大值为4，最小值为0，所以A ＝m ＝2.又最小正周期为2πω＝π2，所以ω＝4.又直线x ＝π3是其图像的一条对称轴，所以sin4×π3＋φ＝±1，所以φ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝k π－5π6(k ∈Z )，当k ＝1时，φ＝π6，故④符合条件．14．解：(1)∵函数的图像经过点P(0，A 2)，∴sin φ＝12.又∵φ∈[0，π)，且点P 在递增区间上，∴φ＝π6.(2)由(1)可知y ＝A sin(2π3x ＋π6)＝A sin( 23πx ＋14)，易得Q(－14，0)，R(54，0).又∵P(0，A2)， ∴PQ →＝(－14，－A 2)，PR →＝(54，－A 2).∵PQ ⊥PR ，∴PQ →·PR →＝－516＋14A 2＝0.又A >0，∴A ＝52. 15．解：(1)因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π4，所以函数f (x )的最小正周期为π，且ω＝2ππ＝2.(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )，由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )．16．解： f (x )＝cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x )＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin2x －12cos 2x ＝sin(2x －π6).(1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6.由正弦函数的性质知，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值－12.因此，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.课时作业(十九)1．A [解析] sin 47°cos 17°－cos 47°cos 73°＝sin 47°cos 17°－cos 47°sin 17°＝sin 30°＝12.2．C [解析] cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×352＝725.3．D[解析] tan(α＋β)＝tan(α－π6＋π6＋β)＝.4．120° [解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ，∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ，∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.5．78 [解析] 由sin(π4－x )＝14，得22(cos x －sin x )＝14，cos x －sin x ＝24，平方得1－2sin x cos x ＝18，即sin 2x ＝78.6．1－ 2 [解析] y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π4)＋1≥1－ 2.7．C [解析] ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14.又∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12.8．A [解析] 因为tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两个根，所以tan α＋tanβ＝3，tan αtan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.9．A [解析] cos(α－π6)＋sin α＝cos αcos π6＋sin αsin π6＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin(α＋π6)＝435，所以sin(α＋π6)＝45. 10．D [解析] 方法一：∵θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝3 78，∴cos 2θ＝－1－3 782＝1－2sin 2θ，解得sin θ＝34.方法二：∵θ∈[π4，π2]，∴sin θ∈[22，1].由⎩⎪⎨⎪⎧2sin θcos θ＝3 78，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝34或sin θ＝74(舍去)． 11．B [解析] sin 2α＝－2425，α∈(－π4，0)，即2sin αcos α＝－2425，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125，所以sin α＋cos α＝±15.又α∈(－π4，0)，所以sin α<0，cos α>0，且|sin α|<|cos α|，所以sin α＋cos α＝15.故选B.12．－12 [解析] 2cos 2θ2＋sin θ－12cos θ＋π4＝cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝1＋tan θ1－tan θ＝1－31＋3＝－12.13．－2425[解析] sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝sin(α－β－α)＝35，所以sin β＝－35，又β是第三象限角，所以cos β＝－45，所以sin(2β＋π)＝－sin 2β＝－2sin βcos β＝－2425.14．解：(1)f(π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tanπ41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为α∈(π，3π2)，cos α＝－55，所以sin α＝－2 55，所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋－2 55×22＝－31010. 15．解：(1)∵tan(π4＋α)＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，∴tan α＝13，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝231－19＝34. (2)sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）＝ sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17. 16．解：(1)由cos β＝55，β∈(0，π)，得sin β＝2 55，tan β＝2， 于是tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.(2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)，所以sin α＝110，cos α＝－310.又f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β) ＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x cosβ－sin x sin β，即f (x )＝－3 55sin x －55cos x ＋55cos x －2 55sin x ＝－5sin x ，所以f (x )的最大值为 5.课时作业(二十)1．D [解析] 原式＝（－sin 2α）·cos 2α（1＋cos 2α）·（－sin α）＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.2．C [解析] 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)．因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1.3．A [解析] 当sin θ－cos θ>1时，cos θ一定是负值，故cos θ＝－35，所以sin2θ＝2sin θcos θ＝－2425.4.32[解析] sin 200°cos 140°－cos 160°sin 40°＝ sin 20°cos 40°＋cos 20°sin 40°＝ sin 60°＝32. 5.34 [解析] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 6.π4 [解析] 由sin α＝55，cos β＝3 1010，且α，β为锐角，可知cos α＝2 55，sin β＝1010， 故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝2 55×3 1010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.7．A [解析] 由sin(3π－θ)＝－2sin(π2＋θ)，得tan θ＝－2，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝43. 8．C [解析] ∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C .又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C 2＝tan(A 2＋C 2)(1－tan A 2·tan C 2)＋3tan A 2tan C2＝ 3.9．D [解析] ∵sin α＝45，π2<α<π，∴cos α＝－35，∴sin(α＋π4)＋cos(α＋π4)＝2sin(α＋π2)＝2cos α＝－3 25.10．D [解析] 因为tan θ＝cos 3π4sin3π4＝－2222＝－1，所以tan(θ＋π3)＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝－1＋31＋3＝2－ 3.11．A [解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，∴tan α＝－13.∵－π2<α<0，∴sin α＝－1010，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin α()sin α＋cos α22()cos α＋sin α＝22sin α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝－255，故选A.12．－1 [解析] 因为α是第一象限角，且sin α＝55，所以cos α＝2 55，tan α＝12，故tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan （β－α）－tan α1＋tan （β－α）tan α＝－13－121－13×12＝－1. 13.13 [解析] f (x )＝1－cos 2ωx 2＋32sin 2ωx ＝32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋12＝sin(2ωx －π6)＋12.又f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，所以T ＝3π，于是ω＝13.14．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，。
最新高考数学总复习 三角函数、解三角形 课时作业正弦定理和余弦定理(含解析)新人教A版
课时作业 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ． 又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ． ∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ， 所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，①由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，②又由cos C ＝35，得sin C ＝45，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab5＝4，∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝ac，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sinB ＝217，c ＝3_. 解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝32. 解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°. 由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°， 此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”． 10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6.解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ， ∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ， 则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin Asin B，所以sin B ＝cos A ，即sin B＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1 ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98.因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98.由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角，又asin A＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得，sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝23sin A cos B ＋23cos A sin B ， 即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ， 从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3.解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )， 即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ． 当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形， 又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233. 法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32，∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π，∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3. 综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ， ∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ， 即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得bsin B＝csin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎪⎨⎪⎧B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时，S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形考前增分微课2解三角形的综合应用课件理新人教A版
“＝”，故cosC的最小值是
6－ 4
2。
答案
6－ 2 4
2．求边的最值 【例4】 (2019·石家庄市一模)如图，四边形ABCD的对角线交点位于 四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的 最大值为________。
解析 设∠ACB＝θ0<θ<2π，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋π2，由余 弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝
考前增分微课(二) 三角函数与三角形中的最值问题
纵观近几年的高考试题和高考模拟试题，不难发现在三角函数和三角 形中求最值问题成为其中一个亮点，本文从求三角函数的最值、三角形中 的最值两个方面举例说明，希望对高考备考有所帮助。
类型一 三角函数的最值 1.可化为“y＝Asin(ωx＋φ)＋B”型的最值问题 【例1】 (2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋ 3sinxcosx。 (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在区间－π3，m上的最大值为32，求m的最小值。
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围 对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低 点的取值来确定函数的最值。
【变式训练】 函数f(x)＝3sinx＋4cosx，x∈[0，π]的值域为 ________。
解析 f(x)＝3sinx＋4cosx＝5 35sinx＋45cosx ＝5sin(x＋φ)，其中cosφ＝ 35，sinφ＝45 ，0<φ<π2 。因为0≤x≤π，所以φ≤x＋φ≤π＋φ。所以当x＋φ＝ π2 时，f(x)max＝5；当x＋φ＝π＋φ时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sinφ＝－4。所 以f(x)的值域为[－4,5]。
2016高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业20理新人教A版
课时作业20 两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan2α＝( ) A.247 B.2425 C ．－2425D ．－247解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247.答案：D2．已知sin(π－α)＝－1010，则2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.12 B ．－255C.255D ．2解析：∵sin(π－α)＝－1010，∴sin α＝－1010. ∴2sin 2α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αα＋cos α22α＋cos α＝22sin α＝－255.答案：B3．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β＝( )A ．－6365B ．－3365C.3365D.6365解析：∵α，β是锐角，∴0<α＋β<π，又cos(α＋β)＝－513<0，∴π2<α＋β<π，∴sin(α＋β)＝1213，sin α＝45.又cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－513×35＋1213×45＝3365.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.答案：C5．已知α、β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β等于( ) A.π4 B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π4解析：由α、β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.故选A. 答案：A6．在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14B.13C.12D.53解析：∵C ＝120°，∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ＝－tan120°＝ 3. 又∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B，∴3＝2331－tan A tan B .∴1－tan A tan B ＝23，tan A tan B ＝13.答案：B 二、填空题7．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝________.解析：依题意可将已知条件变形为sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.∴sin(β＋5π4)＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝－35×(－22)＋(－45)×(－22)＝3210＋4210＝7210. 答案：72108．化简：11＋tan α－11－tan α＝________.解析：原式＝－2tan α＋tan α－tan α＝－2tan α1－tan 2α＝－tan2α. 答案：－tan2α9．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于________．解析：由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3. 答案： 3 三、解答题10．(2014·广东卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3.(2)由(1)知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4故f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32，∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22θ＋cos θ＋22θ－sin θ＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 11．已知，0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)法1：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79. 法2：sin2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－35×13＋45×223＝82－315.1．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．cos(α＋β)>cos αcos β C ．sin(α＋β)>sin(α－β) D ．cos(α＋β)>cos(α－β)解析：∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 又∵α、β都是锐角，∴cos αsin β>0， 故sin(α＋β)>sin(α－β)． 答案：C2．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )A.31010B.1010C.510D.515解析：因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1， 所以∠AED ＝π4.又因为在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1， 所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255. 于是sin ∠CED ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－∠BEC＝sin π4cos ∠BEC －cos π4sin ∠BEC＝22×255－22×55＝1010.故选B. 答案：B3．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α＝________.解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝45.又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋45×223＝3＋8215.答案：3＋82154．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，又θ∈(0，π)，则θ＝π2，所以f (x )＝－sin2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得，f (x )＝－12sin4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25，即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3310.。
高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形课时作
课时作业21 简单的三角恒等变换一、选择题1．已知tan α＝2，那么sin2α的值是( ) A ．－45B.45 C ．－35D.35解析：sin2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan α1＋tan 2α＝45. 答案：B2．已知a ∈(0，π2)，cos α＝33，则cos(α＋π6)等于( )A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66D ．－1＋66解析：∵α∈(0，π2)，cos α＝33，∴sin α＝63，∴cos(α＋π6)＝cos αcos π6－sin αsin π6＝33×32－63×12＝12－66. 答案：A3．若α∈(π2，π)，则3cos2α＝sin(π4－α)，则sin2α的值为( )A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：由3cos2α＝sin(π4－α)得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，从而3(cos α＋sin α)＝22，即cos α＋sin α＝26平方得1＋2sin αcos α＝118，∴2sin αcos α＝－1718，即sin2α＝－1718.答案：D 4.2cos10°－sin20°si n70°的值是( )A.12B.32C. 3D. 2解析：原式＝2cos 30°－20°－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435， 得12sin α＋32cos α＋sin α＝－435， 所以32sin α＋32cos α＝－435，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－435，于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.答案：D6．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 解析：f (x )＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6.x ∈R ，所以x －π6∈R ，所以f (x )∈[－3，3]，故选B.答案：B 二、填空题7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan2x 的值为________．解析：由tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，得tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13， ∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝49. 答案：498．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1，又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝－79.答案：－799．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. 解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎪⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.答案：－255三、解答题10．(2014·江西卷)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，θ∈(－π2，π2)． (1)当a ＝2，θ＝π4时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；(2)若f (π2)＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值．解：(1)f (x )＝sin(x ＋π4)＋2cos(x ＋π2)＝22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin(π4－x )， 因为x ∈[0，π]，从而π4－x ∈[－3π4，π4]故f (x )在[0，π]上的最大值为22，最小值为－1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f π2＝0，f π＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ1－2a sin θ＝0，2a sin 2θ－sin θ－a ＝1，又θ∈(－π2，π2)知cos θ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，θ＝－π6.11．已知f (x )＝2cos x2⎝⎛⎭⎪⎫3sin x2＋cos x2－1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (α)＝2，f (β)＝85，求f (α＋β)的值．解：(1)f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，f (x )的最小正周期T ＝2π.(2)因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1，π6<α＋π6<2π3，所以α＋π6＝π2，α＝π3.2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝85，sin ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝45，π6<β＋π6<2π3，因为45<32，所以π6<β＋π6<π2，cos⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6＝35，所以f(α＋β)＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋β＋π6＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋β＝2cosβ＝2cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6－π6＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6cosπ6＋2sin⎝⎛⎭⎪⎫β＋π6sinπ6＝33＋45.1．已知sin2α＝13，则cos2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A.13B．－13C.23D．－23解析：cos2⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos⎝⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23，故选C.答案：C2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tanα＝1＋sinβcosβ，则( ) A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2解析：∵tanα＝1＋sinβcosβ＝cosβ2＋sinβ22cos2β2－sin2β2＝cosβ2＋sinβ2cosβ2－sinβ2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tan(π4＋β2)，且0<α<π2，π4<π4＋β2<π2，∴α＝π4＋β2即2α－β＝π2，选B.答案：B3．如图所示，点B 在以PA 为直径的圆周上，点C 在线段AB 上，已知PA ＝5，PB ＝3，PC ＝1527，设∠APB ＝α，∠APC ＝β，α，β均为锐角，则角β的值为________．解析：因为点B 在以PA 为直径的圆周上， 所以∠ABP ＝90°，所以cos α＝PB PA ＝35，sin α＝45，所以tan α＝43.因为cos ∠CPB ＝cos(α－β)＝PB PC ＝31527＝7210，所以sin(α－β)＝210， 所以tan(α－β)＝17，tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝1.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.答案：π44．已知函数f (x )＝2sin 2(x ＋π4)－22cos(x －π4)－5a ＋2.(1)设t ＝sin x ＋cos x ，将函数f (x )表示为关于t 的函数g (t )，求g (t )的解析式； (2)对任意x ∈[0，π2]，不等式f (x )≥6－2a 恒成立，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝1－cos(2x ＋π2)－2(cos x ＋sin x )－5a ＋2＝sin2x －2(cos x ＋sin x )－5a ＋3.因为t ＝sin x ＋cos x ，所以sin2x ＝t 2－1，其中t ∈[－2，2]，即g (t )＝t 2－2t －5a ＋2，t ∈[－2，2]．(2)由(1)知，当x ∈[0，π2]时，t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[1，2]，又g (t )＝t 2－2t －5a ＋2＝(t －1)2－5a ＋1在区间[1，2]上单调递增， 所以g (t )min ＝g (1)＝1－5a ，从而f (x )min ＝1－5a ， 要使不等式f (x )≥6－2a 在区间[0，π2]上恒成立，只要1－5a ≥6－2a ， 解得a ≤－53.。
2016届高考数学理新课标A版一轮总复习课件 第3章 三角函数、解三角形-2
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第三章 第二节 第二十四页，编辑于星期五：二十一点 十九分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
解析：(1)由s3icnoαs＋α－3csoinsαα＝5，得t3a－nαt＋anα3＝5， 即tanα＝2. 所以sin2α－sinαcosα＝sinsi2nα2－α＋sincoαsc2oαsα＝tatna2nα2－α＋ta1nα＝25，故选A.
开卷速查
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第三章 第二节 第二页，编辑于星期五：二十一点 十九分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝ 考 纲 1，csoinsxx＝tanx. 导 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的 学
正弦、余弦、正切的诱导公式.
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sin2α＋cos2α (2)cos2α－1 sin2α＝scions22αα＋－csoins22αα＝cos2cαo－s2αsin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1.
cos2α ∵tanα＝－43，
∴cos2α－1 sin2α＝t1a－n2tαa＋n2α1＝1－－43－2＋4312＝－275.
答案：C
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第三章 第二节 第十四页，编辑于星期五：二十一点 十九分。
高考进行时 一轮总复习 ·数学（新课标通用A版 ·理）
4．cos－147π－sin－147π＝__________.
解析：cos－147π－sin－147π＝cos147π＋sin174π＝cos4π＋π4＋ sin4π＋π4＝cosπ4＋sinπ4
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第三章 三角函数、解三角形 第一节
课时作业一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3 B.π6 C ．－π3D ．－π6C [将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16. 即为－16×2π＝－π3.]2．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1C ．4D ．8A [设扇形的半径和弧长分别为r ，l ，则易得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，解得⎩⎨⎧l ＝4r ＝1或⎩⎨⎧l ＝2，r ＝2.故扇形的圆心角的弧度数是4或1.]3．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B.32C ．－12 D.12D [因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.]4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [∵θ是第三象限角，∴θ2为第二或第四象限角．又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2＜0，知θ2为第二象限角．]5．(2014·聊城模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( )A ．1B ．－1C ．3D ．4B [因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin (90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.]6．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由已知得(sin θ－cos θ)2>1，1－2sin θcos θ>1， sin θcos θ<0，且sin θ>cos θ，因此sin θ>0>cos θ， 所以角θ的终边在第二象限．] 二、填空题7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析 依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3， 即B (－1，3)． 答案 (－1，3)8．若β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos3π4，sin 3π4，则sin β＝________，tan β＝________．解析 因为β的终边所在直线经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4，sin3π4，所以β的终边所在直线为y ＝－x ，则β在第二或第四象限． 所以sin β＝22或－22，tan β＝－1. 答案 22或－22 －19．如图，角α的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1)交于第二象限的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________．解析 由题图知sin α＝35，又点A 在第二象限， 故cos α＝－45.∴cos α－sin α＝－75. 答案 －75 三、解答题10．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .解析 设圆的半径为r cm ， 弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H .则∠AOH ＝1弧度．∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．11．如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴正半轴的交点，A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，△AOB 为正三角形．(1)求sin ∠COA ； (2)求cos ∠COB .解析 (1)根据三角函数定义可知sin ∠COA ＝45. (2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°， 又sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35， ∴cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°) ＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60° ＝35·12－45·32＝3－4310.12．(1)设90°<α<180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求sin α与tan α的值；(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ， cos θ.解析 (1)∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x＝xx2＋5，解得x＝0或x＝± 3.∵90°<α<180°，∴x<0，因此x＝－ 3.故r＝22，sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.(2)∵θ的终边过点(x，－1)，∴tan θ＝－1 x，又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.当x＝1时，sin θ＝－22，cosθ＝22；当x＝－1时，sin θ＝－22，cosθ＝－22.。
高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业18理新人教A版
第三章 三角函数、解三角形课时作业18 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( ) A ．－43πB ．－53πC ．－76πD ．－74π解析：－300×π180＝－53π.答案：B2．若角α与β终边相同，则一定有( ) A ．α＋β＝180° B ．α＋β＝0°C ．α－β＝k ·360°，k ∈ZD ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z解析：α＝β＋k ·360°，α，β终边相同． 答案：C3．下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin165°>0 B ．cos280°>0 C ．tan170°>0D ．tan310°<0 解析：165°是第二象限角，因此sin165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan310°<0正确．答案：C4．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6，cos π6，则角α的最小正值为( )A.11π6B.5π6C.π3D.π6解析：由tan α＝cosπ6sinπ6＝3212＝3，故角α的最小正值为π3，选C. 答案：C5．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于θ是第三象限角，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2<θ2<2k π＋3π4，(k ∈Z )，即θ2是第二象限角．答案：B6．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433D. 3解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 答案：C 二、填空题7．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x的值为________． 解析：y x＝tan300°＝tan(360°－60°)＝－tan60°＝－ 3. 答案：－ 38．设P 是角α终边上一点，且|OP |＝1，若点P 关于原点的对称点为Q ，则Q 点的坐标是________．解析：点P 的坐标为(cos α，sin α)，则Q 点坐标为(－cos α，－sin α)． 答案：(－cos α，－sin α)9．设MP 和OM 分别是角17π18的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①MP <OM <0；②OM <0<MP ； ③OM <MP <0；④MP <0<OM . 其中正确的是________．解析：sin 17π18＝MP >0，cos 17π18＝OM <0.答案：② 三、解答题10．若角θ的终边与168°角的终边相同，求在[0°，360°)内，终边与角θ3的终边相同的角．解：∵θ＝168°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴θ3＝56°＋k ·120°(k ∈Z )． ∵0°≤56°＋k ·120°<360°， ∴k ＝0,1,2时，θ3∈[0°，360°)．故在[0°，360°)内与角θ3的终边相同的角是56°，176°，296°.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积． 解：(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长为l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.1．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3.答案：A2．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． 解析：∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示)． ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 3．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝________.解析：原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α，由题意知角α的终边在第二、四象限，sin α与cos α的符号相反，所以原式＝0.答案：04．如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P 、Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，∠AOP ＝π6，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)．(1)若Q (35，45)，求cos(α－π6)的值；(2)设函数f (α)＝OP →·OQ →，求f (α)的值域．解：(1)由已知可得cos α＝35，sin α＝45，∴cos(α－π6)＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝35×32＋45×12＝33＋410. (2)f (α)＝OP →·OQ →＝(cos π6，sin π6)·(cos α，sin α)＝32cos α＋12sin α＝sin(α＋π3)． ∵α∈[0，π)，∴α＋π3∈[π3，4π3)．∴－32<sin(α＋π3)≤1，∴f (α)的值域为(－32，1]．。
高三人教版数学(理)一轮复习课时作业 第三章 三角函数、解三角形 第四节
课时作业一、选择题1．函数y ＝cos x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )的解析式应为( )A ．－sin xB ．sin xC ．－cos xD ．cos xA [由图象的平移得g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x ．]2．(2014·日照模拟)已知a 是实数，则函数f (x )＝a cos ax 的图象可能是( )C [对于A 、D ，注意到当x ＝0时，f (x )＝a cos 0＝a ≠0，因此结合选项知，选项A 、D 不正确；对于B ，注意到其最小正周期T ＝2πa ＝π，a ＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合．因此选项B 不正确．综上所述，选C.]3．(2013·山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后，得到的图象的解析式是y ＝sin(2x ＋π4＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.]4．(理)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [由图象可得，3T 4＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝π，则ω＝2ππ＝2，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)中得， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1， 令5π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得，φ＝2k π－π3，k ∈Z ， 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则取k ＝0, ∴φ＝－π3.故选A.]4．(文)(1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π3A [由图象知函数周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，∴ω＝2ππ＝2，把⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2代入解析式，得 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1.∴5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )． 又－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3.]5．(2014·福州质检)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 D [由函数的图象可得14T ＝2π3－5π12，∴T ＝π， 则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.] 二、填空题6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________．解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π2，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以，φ＝π4.再由图象过定点(0，1)，得A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3.答案37．(2014·大庆模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是__________．(写出所有正确结论的序号) ①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称； ③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12内是增函数；④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可以得到图象C . 解析 由于2×1112π－π3＝3π2，故①正确； 由于2×2π3－π3＝π，故②正确； 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12得2x －π3∈[－π2，π2]，故函数为增函数，故③正确；将函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位可得函数 y ＝3sin 2(x －π3)＝3sin(2x －π3)的图象，故④不正确． 答案 ①②③ 三、解答题8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈[－π，－π6]时，求f (x )的取值范围． 解析 (1)由图象得A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2， 所以T ＝2π，则ω＝1.将点(π6，1)代入得sin(π6＋φ)＝1，而－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3， 因此函数f (x )＝sin(x ＋π3)．(2)由于x ∈[－π，－π6]，－2π3≤x ＋π3≤π6， 所以－1≤sin(x ＋π3)≤12， 所以f (x )的取值范围是[－1，12]．9．已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin (x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 解析 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x＝3cos x ＋sin x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]， ∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时， sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1.。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时作业26 正弦定理和余弦定理的应用课件
12/11/2021
解析：∵AD＝DB，∴∠A＝∠ABD，
∠BDC＝2∠A.设 AD＝BD＝x，
∴在△BCD 中，sin∠BCCDB＝sBinDC，
可得 4 ＝ sin2A
x π.①
sin3
在△AED 中，sEinDA＝sin∠ADAED，
2
7 .
12/11/2021
6．(多选题)△ABC 中，A→B＝c，B→C＝a，C→A＝b，在下列命 题中，是真命题的有( BCD )
A．若 a·b>0，则△ABC 为锐角三角形 B．若 a·b＝0.则△ABC 为直角三角形 C．若 a·b＝c·b，则△ABC 为等腰三角形 D．若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，则△ABC 为直角三角形
解析：由题知 m⊥n，所以(b－c)sinC＋(a－b)(sinA＋sinB) ＝0，所以(b－c)c＋(a－b)(a＋b)＝0，整理得 b2＋c2－a2＝bc，所 以 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12，又 0<A<π，所以 A＝π3.由题知△ABC 的 面积 S＝12bcsinA＝ 3，所以 bc＝4，又 b2＋c2－bc＝a2，所以 a2 ＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc＝4，即 a≥2 ①，又 b＋c≥2 bc＝ 4 ②，所以，由①②，知 a＋b＋c≥2＋4＝6，a＝b＝c＝2 时取 等号．
课时作业26 正弦定理和余弦定理的应用
12/11/2021
一、选择题 1．如图，两座灯塔 A 和 B 与河岸观察站 C 的距离相等，灯 塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( D )
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课时作业26 三角函数高考热点追踪一、选择题1．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．答案：A2．已知向量a ＝(2，sin x )，b ＝(cos 2x,2cos x )，则函数f (x )＝a ·b 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x ＝1＋cos2x ＋sin2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π. 答案：B3．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为( )A ．－210B.210C.3210 D.7210解析：由tan α＋1tan α＝103得sin αcos α＋cos αsin α＝103∴1sin αcos α＝103，∴sin2α＝35.∵α∈(π4，π2)，∴2α∈(π2，π)，∴cos2α＝－45.∴sin(2α＋π4)＝sin2αcos π4＋cos2αsin π4＝22×(35－45)＝－210. 答案：A4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2 C.3＋1D.3＋2解析：依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，当0≤x <π2时，π6≤x ＋π6<2π3，f (x )的最大值是2.答案：B5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17 B.15 C.152D ．3解析：∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－782＝152. 答案：C6．已知A ，B ，C ，D 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．2，π3B.12，π3 C ．2，π6D.12，π6解析：由CD →在x 轴上的投影为π12，知OF ＝π12，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，所以AF ＝T 4＝π2ω＝π4，所以ω＝2.同时函数图象可以看成是由y ＝sin2x的图象向左平移而来，故可知φω＝φ2＝π6，故φ＝π3.答案：A 二、填空题7．(2014·山东卷)函数y ＝32sin2x ＋cos 2x 的最小正周期为______． 解析：原式＝32sin2x ＋1＋cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12. ∴周期T ＝2π2＝π.答案：π8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.解析：由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.答案：2π39．已知函数y ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值为4，则实数a 的值为________． 解析：∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤12. 当a >0时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝12，y 取得最大值为12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－1，y 取得最大值为－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1. 综上可知，实数a 的值为2或－1. 答案：2或－1 三、解答题10．(2014·北京卷)如右图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B ) ＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得 BD ＝AB ·sin∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3tan A ·tan B －(tan A ＋tan B )＝3，且c ＝ 3.(1)求角C 的大小；(2)求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由3tan A ·tan B －(tan A ＋tan B )＝3， 得3tan A ·tan B －3＝tan A ＋tan B ， 所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－ 3.在△ABC 中，A ＋B ＝2π3，所以C ＝π3.(2)由c ＝3及正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝3sinπ3＝2，可得a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，所以a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋3＝2[sin A ＋sin(2π3－A )]＋3＝3cos A ＋3sin A ＋3＝23sin(A ＋π6)＋ 3.因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以12<sin(A ＋π6)≤1，所以a ＋b ＋c 的取值范围为(23，33]．1．已知函数f (x )＝4sin(x 3＋π6)，f (3α＋π)＝165，f (3β＋5π2)＝－2013，其中α，β∈[0，π2]，则cos(α－β)的值为( )A.1365B.1565C.4865D.6365解析：由f (3α＋π)＝165，得4sin[13(3α＋π)＋π6]＝165，即4sin(α＋π2)＝165，所以cos α＝45，又α∈[0，π2]，所以sin α＝35.由f (3β＋5π2)＝－2013，得4sin[13(3β＋5π2)＋π6]＝－2013，即sin(β＋π)＝－513，所以sin β＝513.又β∈[0，π2]，所以cos β＝1213.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×1213＋35×513＝6365.答案：D2．已知函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的一段图象如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是f (x )的图象上一个最低点，C 在x 轴上，若内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积S 满足12S ＝b 2＋c 2－a 2，将f (x )的图象向左平移一个单位得到g (x )的图象，则g (x )的表达式为( )A ．g (x )＝cos π2xB ．g (x )＝－cos π2xC ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12 D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12 解析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足． 由已知，12S ＝b 2＋c 2－a 2， 即12×12bc sin ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 2，∴3sin ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc＝cos ∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝13.∴AD ＝3，即34T ＝3，T ＝4，2πω＝4，ω＝π2，f (x )＝sin π2x .将f (x )的图象向左平移一个单位得到g (x )＝sin π2(x ＋1)的图象，即g (x )＝cos π2x ，故选A.答案：A3．如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA ，OB ，再修建一长度为AB 的围栏，围栏的造价与AB 的长度成正比．现已知墙角AOB 的度数为120°，当△AOB 的面积为3时，就可起到保护作用．则当围栏的造价最低时， ∠ABO ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：只要AB 的长度最小，围栏的造价就最低．设OA ＝a ，OB ＝b ，则由余弦定理得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，又S △AOB ＝12ab sin120°＝3，所以ab ＝4.故AB 2≥12，即AB 的最小值为2 3.由a ＝b 及3ab ＝12，得a＝b ＝2.由正弦定理得sin ∠ABO ＝a sin120°AB ＝223×32＝12.故∠ABO ＝30°，故选A.答案：A4．将函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到g (x )的图象，已知g (x )的部分图象如图所示，该图象与y 轴相交于点F (0,1)，与x 轴相交于点P ，Q ，点M 为最高点，且△MPQ 的面积为π2.(1)求函数g (x )的解析式；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，g (A )＝1，且b ＝5，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意可知g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ.由于S △MPQ ＝12·2·|PQ |＝π2，则|PQ |＝T 2＝π2，∴T ＝π，即ω＝2.又由于g (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π2＝1， 且－π2<φ－π2<π2，则φ－π2＝π6，∴φ＝2π3.即g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1,2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，则2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3. 由余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2＝5， ∴5＝b 2＋c 2－bc ≥bc .∴S △ABC ＝12bc sin A ≤534，当且仅当b ＝c ＝5时，等号成立，故S △ABC 的最大值为534.。