(2019高考题2019模拟题)2020高考数学基础巩固练(六)理(含解析)

基础巩固练(六)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·吉林省名校一模)设复数z 满足z －i 2－i＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 5 C ．3 D.10 答案 D解析 ∵复数z 满足z －i 2－i＝i ，∴z －i ＝2i ＋1，可得z ＝3i ＋1.则|z |＝32＋12＝10.故选D.2．(2019·长春高三质量监测)命题“∀x ∈R ，e x≥x ＋1”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，e x<x ＋1 B ．∃x 0∈R ，e x 0 ≥x 0＋1 C ．∀x ∉R ，e x <x ＋1 D ．∃x 0∈R ，e x 0 <x 0＋1答案 D解析 命题“∀x ∈R ，e x≥x ＋1”的否定是∃x 0∈R ，e x 0 <x 0＋1，故选D.3．(2019·辽宁葫芦岛一模)函数f (x )＝x sin2x ＋cos x 的大致图象有可能是( )答案 A解析 因为函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－x sin(－2x )＋cos(－x )＝x sin2x ＋cos x ＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，排除D.由f (x )＝x ·2sin x cos x ＋cos x ＝0，得cos x (2x sin x ＋1)＝0，得cos x ＝0，当x ∈(0,2π)时，x ＝π2或3π2，由2x sin x ＋1＝0得sin x ＝－12x ，作出函数y ＝sin x 和y ＝－12x 在(0,2π)内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上，f (x )在(0,2π)内有四个零点，排除B ，C.故选A.4．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1R ＋r2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R3.设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α51＋α2≈3α3，则r 的近似值为( )A.M 2M 1R B. M 22M 1R C. 33M 2M 1R D. 3M 23M 1R 答案 D解析 由α＝r R 得r ＝αR ，代入M 1R ＋r 2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，整理得3α3＋3α4＋α51＋α2＝M 2M 1. 又∵3α3＋3α4＋α51＋α2≈3α3，∴3α3≈M 2M 1，∴α≈ 3M 23M 1， ∴r ＝αR ≈ 3M 23M 1R .故选D.5．(2019·秦州区校级三模)数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如下图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a ，b 分别为8,2，则输出的n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 n ＝1，a ＝8＋4＝12，b ＝4，a ＜b 否，n ＝2；n ＝2，a ＝12＋6＝18，b ＝8，a ＜b 否，n ＝3； n ＝3，a ＝18＋9＝27，b ＝16，a ＜b 否，n ＝4； n ＝4，a ＝27＋272＝40.5，b ＝32，a ＜b 否，n ＝5； n ＝5，a ＝40.5＋20.25＝60.75，b ＝64，a ＜b 是，输出n ＝5，故选B.6．(2019·昆明市第一次摸底)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P (A |B )的值为( )A.14B.34C.29D.59 答案 C解析 P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344，P (A |B )＝P AB P B ＝29.故选C.7．(2019·衡阳市八中模拟)若x ，y 满足2y ≤x ≤y －1，则y －2x的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32 答案 B解析 由x ，y 满足2y ≤x ≤y －1，作可行域如图中阴影部分所示，联立⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ，x ＝y －1，解得A (－2，－1)．∵y －2x的几何意义为可行域内的动点与Q (0,2)连线的斜率，∴动点位于A 时，⎝⎛⎭⎪⎫y －2x max ＝－1－2－2＝32，又直线2y ＝x 的斜率为12，则y －2x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32.故选B.8．(2019·贵州省黔东南州一模)已知函数f (x )＝2x 3－(6a ＋3)x 2＋12ax ＋16a 2(a ＜0)只有一个零点x 0，且x 0＜0，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0 答案 A解析 f ′(x )＝6(x －1)(x －2a )，a ＜0，当x ＜2a 或x ＞1时，f ′(x )＞0，当2a ＜x ＜1时，f ′(x )＜0，故函数f (x )的极小值是f (1)＝16a 2＋6a －1，∵x 0＜0，∴16a 2＋6a －1＞0，又a ＜0，则a ＜－12，故选A.9．(2019·山东日照一模)正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部(不包括正方形的边)一点，且AE →·AC →＝2，则(AE →＋AC →)2的最小值为( )A.232 B ．12 C.252D ．13 答案 C解析 建立以A 为坐标原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴的平面直角坐标系．设E (x ，y )，x ∈(0,2)，y ∈(0,2)，则AE →＝(x ，y )，AC →＝(2,2)，由AE →·AC →＝2x ＋2y ＝2，得x＋y ＝1.所以(AE →＋AC →)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝x 2＋y 2＋4(x ＋y )＋8＝2x 2－2x ＋13＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋252，所以当x ＝12时，(AE →＋AC →)2的最小值为252. 10．(2019·吉林实验中学模拟)一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是( )A.334 B.33 C.34 D.312答案 C解析 如图，设正三棱锥的底面中心为O ，连接OP ，延长CO 交AB 于点D ，则CD ＝32OC .∵O 是正三棱锥P －ABC 的外接球的球心， ∴OP ＝OC ＝1，∴CD ＝32，∴BC ＝ 3.∴V P －ABC ＝13S △ABC ·OP ＝13×34×(3)2×1＝34.故选C.11．(2019·浙江高考)设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ，n ∈N *，则( ) A ．当b ＝12时，a 10>10B ．当b ＝14时，a 10>10C ．当b ＝－2时，a 10>10D ．当b ＝－4时，a 10>10答案 A解析 解法一：考察选项A ，a 1＝a ，a n ＋1＝a 2n ＋b ＝a 2n ＋12，∵⎝⎛⎭⎪⎫a n －122＝a 2n －a n ＋14≥0，∴a 2n ≥a n －14.∵a n ＋1＝a 2n ＋12>0，∴a n ＋1≥a n －14＋12＝a n ＋14>a n ，∴{a n }为递增数列．因此，当a 1＝0时，a 10取到最小值，现对此情况进行估算．显然，a 1＝0，a 2＝a 21＋12＝12，a 3＝a 22＋12＝34，a 4＝a 23＋12＝1716，当n >1时，a n ＋1>a 2n ，∴lg a n ＋1>2lg a n ，∴lg a 10>2lg a 9>22·lg a 8>…>26lg a 4＝lg a 644，∴a 10>a 644＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11664＝C 064＋C 164⎝ ⎛⎭⎪⎫1161＋C 264⎝ ⎛⎭⎪⎫1162＋…＋C 6464⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋64×116＋64×632×1162＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝1＋4＋7.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664＝12.875＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11664>10，因此符合题意，故选A. 解法二：由已知可得a n ＋1－a n ＝a 2n ＋b －a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －122＋b －14.对于选项B ，当a ＝12，b ＝14时，a n ＝12恒成立，所以排除B ；对于选项C ，当a ＝2或－1，b ＝－2时，a n ＝2或－1恒成立，所以排除C.对于选项D ，当a ＝1±172，b ＝－4时，a n ＝1±172恒成立，所以排除D.故选A.12．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f (x )的定义域为R ，满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，94B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，73C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，83 答案 B解析 当x ∈(0,1]时，f (x )＝x (x －1)，∴当x ∈(0,1]时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0. ∵f (x ＋1)＝2f (x )，∴当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，0；当x ∈(－2，－1]时，x ＋1∈(－1,0]，f (x )＝12f (x ＋1)＝14f (x ＋2)＝14(x ＋2)(x ＋1)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，0；…；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝2f (x －1)＝2(x －1)(x －2)，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0； 当x ∈(2,3]时，x －1∈(1,2]，f (x )＝2f (x －1)＝4f (x －2)＝4(x －2)(x －3)，f (x )∈[－1,0]；….f (x )的图象如图所示．若对任意x ∈(－∞，m ]，都有f (x )≥－89，则有2<m ≤3.设f (m )＝－89，则4(m －2)(m －3)＝－89，∴m ＝73或m ＝83.结合图象可知，当m ≤73时，符合题意．故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·银川一中二模)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________． 答案 40解析 由题意即求(2x －y )5的展开式中x 2y 3与x 3y 2的系数和．T r ＋1＝(－1)r C r 5(2x )5－r y r. x 2y 3的系数为(－1)3C 35·22＝－40，x 3y 2的系数为(－1)2C 25·23＝80，故所求系数为－40＋80＝40.14．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y ＝ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(－e ，－1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是________．答案 (e,1)解析 设A (m ，n )，则曲线y ＝ln x 在点A 处的切线方程为y －n ＝1m(x －m )．又切线过点(－e ，－1)，所以有n ＋1＝1m(m ＋e)．再由n ＝ln m ，解得m ＝e ，n ＝1. 故点A 的坐标为(e,1)．15．(2019·东城二模)椭圆C 1：x 24＋y 2b2＝1与曲线C 2关于直线y ＝－x 对称，C 1与C 2分别在第一、二、三、四象限交于点P 1，P 2，P 3，P 4.若四边形P 1P 2P 3P 4的面积为4，则点P 1的坐标为________，C 1的离心率为________．答案 (1,1)63解析 椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1关于直线y ＝－x 对称的曲线C 2是y 24＋x 2b2＝1，由椭圆的对称性知四边形P 1P 2P 3P 4是矩形，又点P 2在直线y ＝－x 上，所以四边形P 1P 2P 3P 4是正方形，点P 1的坐标为(1,1)，因为点P 1(1,1)在椭圆上，所以14＋1b 2＝1，解得b ＝233，c＝a 2－b 2＝4－43＝263，所以C 1的离心率为e ＝c a ＝263×12＝63. 16．(2019·宝鸡一模)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (1)＝4且f (x )的导函数f ′(x )＜3，则不等式f (ln x )＞3ln x ＋1的解集为________．答案 (0，e) 解析 设t ＝ln x ，则不等式f (ln x )＞3ln x ＋1等价为f (t )＞3t ＋1， 设g (x )＝f (x )－3x －1， 则g ′(x )＝f ′(x )－3， ∵f (x )的导函数f ′(x )＜3，∴g ′(x )＝f ′(x )－3＜0，此时函数g (x )单调递减， ∵f (1)＝4，∴g (1)＝f (1)－3－1＝0，则当x ＞1时，g (x )＜g (1)＝0，即g (x )＜0， 则此时g (x )＝f (x )－3x －1＜0，则不等式f (x )＞3x ＋1的解集为(－∞，1)， 即f (t )＞3t ＋1的解集为(－∞，1)， 由ln x ＜1，解得0＜x ＜e ，即不等式f (ln x )＞3ln x ＋1的解集为(0，e)．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·广州毕业班综合测试)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c cos B ＝(3a －b )cos C .(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)解法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ， 所以由正弦定理，得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ， 即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ， 所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ， 则sin A ＝3sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.解法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ， 所以由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )·a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)解法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24，即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.解法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24.又b －a ＝2，所以a ＝3，b ＝5.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.18．(本小题满分12分)(2019·柳州模拟)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300)：空气质量指数(0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250] (250，300] 空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．(1)以这10天的空气质量指数监测数据估计2018年11月的空气质量情况，则2018年11月中有多少天的空气质量达到优良？(2)从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，求恰好有一天空气质量良的概率；(3)从这10天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽取空气质量良的天数，求ξ的分布列和期望．解(1)由频率分布直方图，知这10天中1级优1天，2级良2天，3～6级共7天．∴这10天中空气质量达到优良的概率为P＝310，∵30×310＝9，∴2018年11月中平均有9天的空气质量达到优良．(2)记“从这10天的空气质量指数监测数据中，随机抽取三天，恰有一天空气质量良”为事件A，则P(A)＝C12·C28C310＝715，即恰好有一天空气质量良的概率为715.(3)由题意，得ξ的所有可能取值为0,1,2，P(ξ＝0)＝C02C38C310＝715，P(ξ＝1)＝C12C28C310＝715，P(ξ＝2)＝C22C18C310＝115.∴ξ的分布列为ξ01 2P 715715115∴E(ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.19．(本小题满分12分)(2019·海淀二模)如图1所示，在等腰梯形ABCD，BC∥AD，CE ⊥AD，垂足为E，AD＝3BC＝3，EC＝1.将△DEC沿EC折起到△D1EC的位置，使平面D1EC⊥平面ABCE，如图2所示，点G为棱AD1上一个动点．(1)当点G为棱AD1的中点时，求证：BG∥平面D1EC；(2)求证：AB⊥平面D1BE；(3)是否存在点G，使得二面角G－BE－D1的余弦值为63？若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．解(1)证法一：在题图1的等腰梯形ABCD内，过点B作AE的垂线，垂足为F，如图3.因为CE⊥AD，所以BF∥EC.又因为BC∥AD，BC＝CE＝1，AD＝3，所以四边形BCEF为正方形，AF＝FE＝ED＝1，F为AE的中点．在题图2中，连接GF，如图4.因为点G是AD1的中点，所以GF∥D1E.又因为BF∥EC，GF∩BF＝F，GF⊂平面BFG，BF⊂平面BFG，D1E⊂平面D1EC，EC⊂平面D1EC，所以平面BFG∥平面D1EC.又因为BG⊂平面GFB，所以BG∥平面D1EC.证法二：在题图1的等腰梯形ABCD内，过B作AE的垂线，垂足为F，如图3.因为CE⊥AD，所以BF∥EC，又因为BC ∥AD ，BC ＝CE ＝1，AD ＝3，所以四边形BCEF 为正方形，AF ＝FE ＝ED ＝1，得AE ＝2，所以BC ∥AE ，BC ＝12AE .在题图2中设点M 为线段D 1E 的中点，连接MG ，MC ，如图4. 因为点G 是AD 1的中点， 所以GM ∥AE ，GM ＝12AE ，所以GM ∥BC ，GM ＝BC ，所以四边形MGBC 为平行四边形， 所以BG ∥CM .又因为CM ⊂平面D 1EC ，BG ⊄平面D 1EC ， 所以BG ∥平面D 1EC .(2)证明：因为平面D 1EC ⊥平面ABCE ， 平面D 1EC ∩平面ABCE ＝EC ，D 1E ⊥EC ，D 1E ⊂平面D 1EC ，所以D 1E ⊥平面ABCE .又因为AB ⊂平面ABCE ，所以D 1E ⊥AB .又AB ＝2，BE ＝2，AE ＝2，满足AE 2＝AB 2＋BE 2， 所以BE ⊥AB . 又BE ∩D 1E ＝E ， 所以AB ⊥平面D 1BE .(3)因为EA ，EC ，ED 1三线两两垂直，如图，建立空间直角坐标系EACD 1，所以A (2,0,0)，D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，AD 1→＝(－2,0,1)，EB →＝(1,1,0)． 假设存在点G 满足题意，设AG →＝λAD 1→，0≤λ≤1，则AG →＝λ(－2,0,1)，所以EG →＝EA →＋AG →＝(2,0,0)＋λ(－2,0,1)＝(2－2λ，0，λ)， 设平面GBE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧EB →·m ＝0，EG →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2－2λa ＋λc ＝0，取a ＝λ，则m ＝(λ，－λ，2λ－2)， 由(2)，AB →＝(－1,1,0)为平面BED 1的法向量， 令|cos 〈AB →，m 〉|＝|AB →·m ||AB →||m |＝|－2λ|2·2λ2＋2λ－22＝63， 解得λ＝23或λ＝2(舍去)．所以存在点G ，使得二面角G －BE －D 1的余弦值为63，且AG →＝23AD 1→， 得AG ＝253.20．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE的面积．解 (1)证明：设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1.因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1， 故y 1＋12x 1－t＝x 1. 整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0. 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x22可得x 2－2tx －1＝0.于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2| ＝1＋t 2×x 1＋x 22－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离， 则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12. 因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行， 所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1. 当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.21．(本小题满分12分)(2019·重庆八中模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a ln x . (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，证明：x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)．解 (1)f ′(x )＝2x －2＋a x ＝2x 2－2x ＋ax(x ＞0)．令u (x )＝2x 2－2x ＋a ，Δ＝4－8a .①当Δ≤0时，解得a ≥12，则f ′(x )≥0，此时函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当Δ＞0时，解得a ＜12，由f ′(x )＝0，解得x 1＝1－1－2a 2，x 2＝1＋1－2a2.f ′(x )＝2x －x 1x －x 2x.当0＜a ＜12时，x 1，x 2＞0，此时函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2a 2内单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－2a 2，1＋1－2a 2内单调递减， 在⎝⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞内单调递增． 当a ≤0时，x 1≤0，x 2＞0.此时函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1－2a 2内单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2a 2，＋∞内单调递增．(2)证明：函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2,0＜a ＜12.令g (x )＝f x x ＝x －2＋a ln xx，x ∈(0，＋∞)， g ′(x )＝1＋a ·1－ln x x 2＝x 2＋a 1－ln xx2. 令u (x )＝x 2＋a (1－ln x )，则u ′(x )＝2x －a x＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝⎛⎭⎪⎫x －a 2x，可得x ＝a2时，u (x )取得最小值，u (x )≥u ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a2＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12ln a 2＞0， ∴g ′(x )＞0，∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵0＜x 1＜x 2，∴f x 2x 2＞f x 1x 1， 即x 1f (x 2)＞x 2f (x 1)．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·高安中学模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R )，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于极点O ，且|AB |＝26，求实数α的值．解 (1)C 1：(x －2)2＋y 2＝4，C 2：x 2＋(y －2)2＝4.(2)由(1)知C 1：(x －2)2＋y 2＝4， 故其极坐标方程为ρ＝4cos θ.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4cos θ，θ＝2，得ρA ＝4cos α，同理可得ρB ＝4sin α，∴|ρA －ρB |＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝26，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，∵0＜α＜π，∴α＝7π12或11π12.23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] (2019·南昌二中模拟)已知函数f (x )＝|2x －4|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤9；(2)若对于任意x ∈(0,3)，不等式f (x )＜2x ＋a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )≤9可化为|2x －4|＋|x ＋1|≤9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，3x －3≤9或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，5－x ≤9或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，－3x ＋3≤9，解得2＜x ≤4或－1≤x ≤2或－2≤x ＜－1， 所以不等式的解集为[－2,4]．(2)当0<x ≤2时，不等式化为4－2x ＋x ＋1<2x ＋a ，即x >5－a3；当2<x <3时，不等式化为2x －4＋x ＋1<2x ＋a ，即x <a ＋3.由题意，|2x －4|＋|x ＋1|<2x ＋a 在x ∈(0,3)上恒成立，所以(0,3)⊆⎝⎛⎭⎪⎫5－a 3，a ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧5－a ≤0，a ＋3≥3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ≥5⇒a ≥5.。