湖北省武汉市高中毕业生四月调研测试数学(理)试题(解析版)
湖北武汉2024届高中毕业生四月调研考试数学答案
湖北省第九届高三（4月）数学答案12. 1 13. (2.25，4) 14.−1315．解：(1) 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1是平行四边形，而AC =AA 1，则平行四边形A 1ACC 1是菱形，连接A 1C ，如图，则有A 1C ⊥AC 1，因A 1B ⊥AC 1，A 1B ∩A 1C =A 1，A 1B ，A 1C ⊂平面A 1BC ，于是得AC 1⊥平面A 1BC ，…………………………………………………3分 而BC ⊂平面A 1BC ，则AC 1⊥BC ，由∠ACB =90∘，得AC ⊥BC ，AC ∩AC 1=A ， AC ，AC 1⊂平面A 1ACC 1，从而得BC ⊥平面A 1ACC 1，……………………………………………………………………………6分 又BC ⊂平面ABC ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．…………………………………………………7分(2) 方法一：在平面A 1ACC 1内过C 作Cz ⊥AC ，由(1)知平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，则Cz ⊥平面ABC ，以C 为原点，以射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，…8分 因∠A 1AC =60∘，AC =AA 1=4，BC =2，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，A 1(2,0,2√ 3)， P(2,0,0)则有BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,2√ 3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，设平面BA 1P 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则有{n ⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2y +2√ 3z =0n ⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2y =0，解得：{y =xz =0 令x =1得n⃗ =(1,1,0)，而平面A 1ACC 1的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)，……………………………10分 依题意，|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|n ⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗|=√ 2=√ 22设平面BA 1P 和平面A 1ACC 1的夹角的夹角是θ，则cosθ=|cos <n ⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|√22…………………12分420πθπθ=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈， 所以平面BA 1P 和平面A 1ACC 1的夹角是π4．…………………………………………………………13分 方法二：由（1）知11111ACC A P A ACC A BC 平面，而平面⊂⊥16．解：(1) 样本中总共100人，其中旅游支出均不低于10000元的有33人，所以从中随机抽取两位市 民的旅游支出数据，两人旅游支出均不低于10000元的概率为P =C 332C 1002=33×32100×99=875；………4分(2) (i)计算x −=1×3100+3×4100+5×8100+7×11100+9×41100+11×20100+13×8100+15×5100=9， 所以μ=9，σ=3，X 服从正态分布N(9,32)，……………………………………………………6分 P(X ≥15)=P(X ≥9+2×3)=12×[1−P(9−6≤X ≤9+6)]≈12×(1−0.9545)=0.02275， …………………………………………………………………………………………………………8分 500×0.02275=11.375(万)，估计襄阳市有11.375万市民每年旅游费用支出在15000元以上；………………………………9分 (ⅱ)由(i)知，μ=9000，则P(X >9000)=12，………………………………………………………10分.3210，，，所有可能的取值为ξP(ξ=0)=C 30⋅(1−12)3=18， P(ξ=1)=C 31⋅12⋅(1−12)2=38，P(ξ=2)=C 32⋅(12)2⋅(1−12)=38， P(ξ=3)=C 33⋅(12)3=18；所以随机变量ξ的分布列为：14分均值为E(ξ)=3×12=32． ……………………………………………………………………………15分17．解：(1)由题知，函数f(x)的定义域为(−1,+∞)，f ′(x)=2ax[x−(12a−1)]1+x，………………………2分 ①当0<a <12时，有12a−1>0，所以，f(x)在(−1,0)上单调递增，f(x)在(0,12a −1)上单调递减，f(x)在(12a −1,+∞)上单调递增； …………………………………………………………………………………………………………4分 ②当a =12时，有12a −1=0，f ′(x)=x 21+x ≥0，所以f(x)在(−1,+∞)上单调递增；…………………………………………………………………6分 ③当a >12时，有−1<12a−1<0，所以，f(x)在(−1,12a−1)上单调递增，f(x)在(12a−1,0)上单调递减，f(x)在(0,+∞)上单调递增．…………………………………………………………………………………………………………8分 (2)由(1)知：当a =12时，f(x)在(0,1)上单调递增，所以，当x ∈(0,1)时，f(x)>f(0)=0，即x 22>x −ln(1+x)=g(x)，………………………13分α∈(0,π2)，sinα∈(0,1),cosα∈(0,1), 所以g(sinα)+g(cosα)<sin 2α+cos 2α2=12.……………………………………………………………15分18．解：(1) 设M i (x,y)，又A i (2in ,0)，B i (2,√ 3−√ 3in)(i =1,2,3⋯,n −1)，则直线EA i :y +√ 3=√ 3n2i x ，①直线GB i :y −√ 3=−√ 3i2nx ， ②………………………………………………………………………3分点M i (x,y)的坐标是方程①②的解，①×②可得(y +√ 3)(y −√ 3)=−34x 2， 化简得x 24+y 23=1，所以M i (x,y)在同一个椭圆上，该椭圆方程为x 24+y 23=1．………………………………………6分(2) 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，则x 02+y 02=7，切线PA 方程为：x 1x 4+y 1y 3=1，切线PB 方程为：x 2x 4+y 2y 3=1，两直线都经过点P ，所以得：x 1x 04+y 1y 03=1，x 2x 04+y 2y 03=1，从而直线AB 的方程是：x04x +y 03y =1，……………8分当y 0=0时，x 02=7由{x 04x =1x 24+y 23=1得y 2=97，则|AB|=|y 1−y 2|=√779)747(7621=−⨯=∴S …………………………………………………………………………9分当y 0≠0时，由{x 04x +y 03y =1x 24+y 23=1，消y 得：(y 02+21)x 2−24x 0x +48−16y 02=0，由韦达定理，得：x 1+x 2=24xy 02+21，x 1x 2=48−16y 02y 02+21，……………………………………………11分|x 1−x 2|=√ (24x 0y 02+21)2−4⋅48−16y 02y 02+21=8|y 0|√y 02+9y 02+21，|AB|=√ 1+(−3x 04y 0)2⋅|x 1−x 2|=√ 1+9x 0216y 02⋅8|y 0|√y 02+9y 02+21=2√7(y 02+9)y 02+21， 点P 到直线AB 的距离d =|x 02+y 02−1|√ (04)2+(03)2=√ y 02+9√ 7，21)9(7921)9(7221212320202020++=+⋅++⋅=⋅=∴y y y y y d AB S 其中0<y 02≤7…………………14分 令t =√ y 02+9，则t ∈(3,4]，∴S △PAB =t 3t 2+12，令f(t)=t 3t 2+12，则f′(t)=t 4+36t 2(t 2+12)2>0，∴f(t)在t ∈(3,4]上单调递增，()⎥⎦⎤⎝⎛∈∴716,79t f .………………………………………………16分 综上所述，△PAB 面积的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡716,79.……………………………………………………17分19．解：(1) 由题意，可知a 31=a 11+m ×(3−1)=2m +2，a 32=a 31·m =(2m +2)m =2m(m +1)，a 41=a 11+m ×(4−1)=3m +2， ∵a 41=12a 32+2，∴3m +2=12×2m(m +1)+2，化简整理，得m 2−2m =0，解得m =0(舍去)，或m =2，………………………………………………………………………4分 ∴a 51=a 11+m ×(5−1)=2+2×4=10，∴a 53=a 51·m 2=10×22=40，……………………………………………………………………5分 （2）[]j j j i ij i i a a 222)1(22111⋅=⋅⋅−+=⋅=−−……………………………………………………6分∴[]jj j jj j j j j jjnj c c c n n n a )1()1(3)1(3)1(33)13(21122211−+−⋅⋅++−⋅+−⋅+=−=⋅=−−−− []j j n nm m n )1(3)1(3−⋅+=−+=∴.3)1(的余数除以等于jnj n b −⋅…………………………………………………………………7分 当j 为奇数时.)1(n n j−=−⋅①223)23(*)(23)23(=∴+−=−−=−∈−=−j k b k k n N k k n ，时，②113)13(*)(13)13(=∴+−=−−=−∈−=−j k b k k n N k k n ，时，③03*)(3)3(=∴−=−∈=j k b k n N k k n ，时，………………………………………………………8分 当j 为偶数时.)1(n n j=−⋅①11)1(323*)(23)23(=∴+−=−=∈−=−j k b k k n N k k n ，时， ②22)1(313*)(13)13(=∴+−=−=∈−=−j k b k k n N k k n ，时， ③003*)(3)3(=∴+=∈=j k b k n N k k n ，时，……………………………………………………9分 792)33(32)12()12()12(33)56)(56(2)56(1)56(56−=+−⋅=+++++++=+++=∴−−−−−−m m b b b c m m m m m m个69)23(3)21()21()21()21(23)46)(46(2)46(1)46(46−=−⋅=++++++++=+++=−−−−−−m m b b b c m m m m m m个0000)36)(36(2)36(1)36(36=+++=+++=−−−−− m m m m m b b b c39)13(3)12()12()12(13)26)(26(2)26(1)26(26−=−=++++++=+++=−−−−−−m m b b b c m m m m m m个291)13(31)21()21()21(13)16)(16(2)16(1)16(16−=+−=+++++++=+++=−−−−−−m m b b b c m m m m m m个0000)6)(6(2)6(1)6(6=+++=+++= m m m m m c b b c ………………………………………12分1836*61626364656−=+++++∈∴−−−−−m c c c c c c N m m m m m m m 时，………………………13分29)2(18182)183618(*)(222263n n k k k T T N k k n k n =⋅==⋅−+==∈=∴时，当 21952118)21(1851818)39()29(018*)(122222261666363+=++⋅−+⋅=+−=−−−−−=−−−==∈−=−−−n n n k k k k k c c c T T T N k k n k k k k k n 时，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=.219.29223为奇数，为偶数，综上，n n n n T n ………………………………………………………17分。
2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷(理科)(附答案解析)
2020年湖北省武汉市武昌区四月调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|log 2x >0}，则A ∩B =( )A. {x|1<x <2}B. {x|0<x <2}C. {x|1<x <3}D. {x|0<x <1}2. i 为虚数单位，复数z =1−2i(1+i)2的虚部为( )A. 12B. −12C. 12iD. −12i3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=3a 3，则S5S 9=( )A. 59B. 95C. 53D. 5274. 已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x −a ，则f(−1)=( )A. 3B. −3C. −2D. −15. 已知实数x ，y 满足{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0，则z =x −3y 的最小值为( )A. −7B. −6C. 1D. 66. 已知(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为14，则实数a 的值为( )A. −1B. 1C. 45D. −457. 若tanα=3tan2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=( )A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知a =ln3，b =√3ln2,c =log 32，则( )A. c <b <aB. c <a <bC. a <b <cD. a <c <b9. 已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB =AC =1，AA 1=2√3，∠BAC =2π3，则球O 的体积为( )A.32π3B. 3πC. 4π3D.24π310. 如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设DF =3FA ，则( )A. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3663AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2463AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 11. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是△PF 1F 2的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若|PF 1|=4a ，则双曲线的离心率为( )A. 32B. 2C. √3D. √212. 已知一个正方形的四个顶点都在函数f(x)=x 3−92x +1的图象上，则此正方形的面积( )A. 5或172B. 5或10C. 5或17D. 10或17二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n +a n+1=4×3n−1，则S 2020=______． 14. 有人收集了七月份的日平均气温t(摄氏度)与某冷饮店日销售额y(百元)的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如表：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是y ̂=1.2t +a ̂，给出下列说法：①a ̂=−32.4②日销售额y(百元)与日平均气温t(摄氏度)成正相关； ③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元． 其中正确说法的序号是______15. 已知F 是抛物线y =18x 2的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为(3,−2)，则|PF||PA|的最小值是______16. 已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx −π4)的图象在区间(π2,π)上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinA−sinBsinC =a−ca+b．(1)求角B的大小；(2)若b=6，且AC边上的中线长为4，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AD//BC，AB=AD=DC=12BC=2，PB⊥AC．(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若PA=4，PB=2√3，求二面B−PC−D的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P(2,1)，离心率为√22．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P作两条互相垂直的弦PA，PB分别与椭圆C交于点A，B，求点P到直线AB距离的最大值．20.某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位(一套住宅为一户)．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量(单位：吨)，得到统计表如表：(1)若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费．试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望；(3)用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．21.已知函数f(x)=(e−x)lnx(e为自然对数的底数)．(1)求函数f(x)的零点，以及曲线y=f(x)在其零点处的切线方程；(2)若方程f(x)=m(m≠0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1−x2|<e−1−em．e−122. 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，以O为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)曲线C 2与x 轴交点为P ，与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|PA|+1|PB|的值．23. (1)解不等式|x −2|+|x +3|≥9；(2)若|a|<1，|b|<1，求证：|ab +1|>|a +b|．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={x|x >1}， ∴A ∩B ={x|1<x <3}． 故选：C ．可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：复数z =1−2i(1+i)2=1−2i 2i=−i(1−2i)2i(−i)=−1−12i.其虚部为−12， 故选：B ．利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为a 5=3a 3，所以a 1+4d =3(a 1+2d)即a 1=−d ，则S 5S 9=5a 1+10d 9a 1+36d =5d 27d =527． 故选：D ．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．4.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义域为R 的奇函数，则f(0)=0， 则有f(0)=20−a =1−a =0，解可得a =1， 则f(1)=2+2−a =4−1=3，又由f(x)为奇函数，则f(−1)=−f(1)=−3； 故选：B ．根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=20−a =1−a =0，解可得a 的值，即可得函数的解析式，求出f(1)的值，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出a 的值，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：由约束条件{2x +y −2≥03x −y −3≤0x −2y +4≥0作出可行域如图，联立{x −2y +4=03x −y −3=0，解得A(2,3)，化目标函数z =x −3y 为y =x3−z3，由图可知，当直线y =x3−z 3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为−7． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.【答案】B【解析】解：(1x −1)5的展开式的通项为T r+1=∁5r ⋅(1x )5−r ⋅(−1)r =(−1)r ⋅∁5r ⋅xr−5． 取r −5=−1，得r =4，取r −5=0，得r =5．∴(3x +a)(1x −1)5的展开式中常数项为：3×(−1)4⋅∁54+a ⋅(−1)5⋅∁55=14，得a =1． 故选：B ．写出(1x −1)5的展开式的通项，求出其常数项以及含x −1的项，则答案可求． 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．7.【答案】B【解析】解：因为tanα=3tan 2π7，则cos(α−3π14)sin(α−2π7)=cosαcos3π14+sinαsin 3π14sinαcos 2π7−sin 2π7cosα=cosαsin2π7+sinαcos 2π7sinαcos 2π7−sin 2π7cosα，=tan 2π7+tanαtanα−tan2π7，=4tan2π72tan2π7=2，故选：B ．由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简后代入已知即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档试题．8.【答案】B【解析】解：0=log 31<c =log 32<log 33=1，所以0<c <1， a =ln3>lne =1，所以a >1，b =√3ln2=ln2√3>lne =1，所以b >1， 因为2√3>3，所以ln2√3>ln3，b >a ， 所以c <a <b ， 故选：B ．利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：∵△ABC 中，AB =1，AC =1，∠BAC =120°， ∴△ABC 的外接圆的半径r =1．直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3， 则球O 的半径R =√11+(√3)2=2； ∴球O 的体积V =43πR 3=323π.故选：A ．由已知可得△ABC 的外接圆的半径r =3.直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，且AA 1=2√3，利用勾股定理即可得出球O 的半径R本题考查了直三棱柱的性质、直角三角形的边角关系、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：由题，DF =3FA ，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =14AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+116CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC⃗⃗⃗⃗⃗ +116(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ +164AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴6364AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +316AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4863AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1263AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．根据已知，确定比例关系，利用平面向量的三角形法则表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，通过化简以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示即可．本题考查平面向量的线性运算，做题时需细心谨慎，根据比例关系数形结合，属简单题．11.【答案】A【解析】解：设P(x 0,y 0)，F 1(−c,0)，F 2(c,0)，设P 在第一象限，所以重心M(x 03,y3)，因为|PF 1|=4a ，由双曲线的定义可得|PF 2|=|PF 1|−2a =2a ，设三角形△PF 1F 2与各边的切点分别为如图所示E ，F ，D ，则PE =PD ，EF 1=F 1F ，FF 2=DF 2，所以|PF 1|−|PF 2|=2a =|PE|+|EF 1|−(|PD|+|DF 2|)=|F 1F|−|FF 2|=|F 1F 2|−2|FF 2|=2c −|FF 2|，所以|FF 2|=c −a ，即F 为双曲线的右顶点，又MN 与x 轴平行，所以可得N(a,y3)△PF 1F 2的内切圆的半径为r =y 03，所以S △PF 1F 2=12⋅2c ⋅y 0=12(|PF 1|+|F 1F 2|+|PF 2|)⋅r =12(4a +2a +2c)⋅y 03，所以可得：2c =3a ，所以离心率e =c a =32， 故选：A ．设P 的坐标，由重心的公式可得重心M 的坐标，再由MN 与x 轴平行可得△PF 1F 2的内心的纵坐标，即可得△PF 1F 2的内切圆的半径，再由三角形的面积公式用内切圆的半径表示可得a ，c 的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查三角形的重心坐标的求法及三角形的面积由内切圆的半径表示的代数式，及双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：由f(x)+f(−x)=2，得函数f(x)关于点M(0,1)中心对称，显然该正方形ABCD 的中心为M ，由正方形性质可知，AC ⊥BD 于M ，且|AM|=|BM|=|CM|=|DM|， 设直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)， 联立直线AC 方程与函数y =f(x)得{y =kx +1y =x 3−92x +1，即x 3−(k +92)x =0，∴x 12=k +92，同理x 22=92−1k，又|AM|=√1+k 2|x 1−0|,|BM|=√1+1k2|x 2−0|，∴(1+k 2)(k +92)=(1+1k 2)(92−1k )，即k 2+1k 2+92(k −1k )=0，化简得2(k −1k )2+9(k −1k)+4=0，∴k −1k =−4或k −1k =−12，∴k +1k =√(k −1k )2+4=2√5或√172， ∴S 正方形ABCD =2|AM||BM|=2√1+k 2⋅√1+1k 2⋅|x 1x 2|=2(k +1k )⋅√(k +92)(92−1k )=2(k +1k )⋅√92(k −1k )+774=10或17．故选：D ．分析函数关于点M(0,1)中心对称，进而正方形ABCD 的对称中心为M ，设出直线AC 的方程为y =kx +1(k >0)，则直线BD 的方程为y =−1k x +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则C(−x 1,2−y 1)，D(−x 2,2−y 2)，联立直线方程与函数y =f(x)可得x 12=k +92，x 22=92−1 k ，由|AM|=|BM|，可得(1+k2)(k+92)=(1+1k2)(92−1k)，进而求得k−1k=−4或k−1 k =−12，再用|AM|，|BM|表示出正方形的面积，代值计算即可得出答案．本题考查直线与曲线的综合运用，涉及了函数的对称性，正方形的性质，弦长公式等基础知识点，考查了运算求解能力，属于较难题目．13.【答案】32020−12【解析】解：由题意，可知S2020=a1+a2+⋯+a2020=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+⋯+(a2019+a2020)=4×1+4×32+4×34+⋯+4×32018=4×(1+32+34+⋯+32018)=4×1−32018⋅321−32=32020−12．故答案为：32020−12．本题根据题干中给出的通项公式的特点在计算S2020的值时，可将相邻的奇偶项合为一组代入，然后根据等比数列的求和公式可计算出S2020的值．本题主要考查根据递推公式的特点运用分组求和法求前n项和，考查了整体思想，转化与化归思想，等比数列求和公式的应用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．14.【答案】①②【解析】解：已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，代入上式7.2=1.2×33+â，得â=−32.4，故①正确，因为k=1.2>0，故正相关，②正确，当t=33时，y不一定为7，故③错误，故答案为：①②．已知y关于t的线性回归方程是ŷ=1.2t+â，由t=31+32+33+34+355=33，y−=5+6+7+8+105=7.2，求出线性回归方程，再判断即可．本题考查了线性回归方程的计算和应用，考查运算能力和实际应用能力，基础题．15.【答案】√55【解析】解：如图所示，过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|， ∴|PF||PA|=|PM||PA|=sin∠PAM ，显然∠PAM 为锐角，∴要求|PF||PA|的最小值，只需保证∠PAM 最小即可， 而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P 的坐标为(a,a 28)，y′=14x ，∴直线PA 的斜率为14a =a 28+2a−3，解得a =8或−2，对应的点P 坐标分别为(8,8),(−2,12)，当P(8,8)时，|PF||PA|=|PM||PA|=8−(−2)√(8−3)2+(8+2)2=2√55， 当P(−2,12)时，|PF||PA|=|PM||PA|=12−(−2)√(−2−3)2+(12+2)2=√55，∵2√55>√55，∴|PF||PA|的最小值是√55． 故答案为：√55．过P 作PM ⊥x 轴，交直线y =−2于点M ，则|PF|=|PM|，于是原问题可以转化为求sin∠PAM 的最小值，也就是∠PAM 最小，而当直线PA 与抛物线相切时，∠PAM 最小．设点P(a,a 28)，结合导数求出在点P 的切线的斜率，并与用两点法表示的直线斜率构造关于a 的方程，解出a =8或−2，进而得到相应的点P 坐标，然后分类求出|PF||PA|的值，比较大小，取较小者即可得解．本题考查利用抛物线的几何性质求最值，还涉及利用导数求切线斜率，考查学生数形结合能力和分析能力，属于中档题．16.【答案】(34,32)∪(74,114]∪[72,154]【解析】解：函数f(x)=sin(ωx−π4)(ω>0)的图象在(π2,π)内有且仅有一条对称轴，根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，k∈z，①又因为：π−π2≤T=2πω⇒ω≤4；②∵ω>0；③因为有且仅有一条对称轴；所以还需满足：ωπ−π4≤(k+1)π+π2且(k−1)π−π2≤ωπ2−π4；即4k−12≤ω≤4k+74④联立①②③④解得：ω∈(34,32)∪(74,114]∪[72,154].故答案为：(34,32)∪(74,114]∪[72,154].根据正弦函数的对称轴性质，可得ω⋅π2−π4<kπ+π2<ωπ−π4⇒4k+34<ω<4k+32，再结合其他限制条件即可求解实数ω的取值范围．本题给出三角函数图象在某区间上有且仅有一条对称轴，求参数的取值范围，着重考查了正弦曲线的对称性和y=Asin(ωx+φ)的图象变换等知识，属于中档题．17.【答案】解；(1)因为sinA−sinBsinC =a−ca+b=a−bc所以a2+c2−b2=ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =12，所以B=13π；(2)设AC的中点D，由余弦定理可得，BD2+AD2−AB22BD⋅AD =−BD2+CD2−BC22BD⋅CD，即42+32−c22×3×4=−42+32−a22×3×4，整理可得，a2+c2=50，因为a2+c2−b2=ac，b=6，所以ac=14，所以S=12acsinB=12×14×√32=7√32【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求cos B，进而可求B；(2)由已知结合余弦定理可求ac，然后结合三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．18.【答案】解：(1)∵AD//BC, AB=AD=12BC=2，∴∠BAC=90°，∴AB⊥AC．又∵PB⊥AC，∴AC⊥平面PAB．∵AC⊂平面ABCD，∴平面PAB⊥平面ABCD．(2)∵PA=4,PB=2√3,AB=2，∴PB⊥BA，由(1)知，PB⊥平面ABCD，∴PB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD．过D作DE⊥BC于E，则DE⊥平面PBC，过E作EF⊥PC交PC于F，则∠DFE为所求二面角平面角．在梯形ABCD中，求得DE=√3，在Rt△PBC中求得EF=√3√7．在Rt△DEF中，求得DE=√6√7, DF=√3．在△DEF中，求得cos∠DEF=√24．即二面B−PC−D的余弦值为√24．【解析】(1)根据面面垂直的判定定理，只需证出AC⊥平面PAB即可；(2)先利用面面垂直转化为线面垂直，进而找到二面角的平面角，然后借助于直角三角形求出所求角．本题考查空间位置关系的判定以及空间角的求法，强调转化思想在立体几何中的应用，集几何法求空间角遵循作、证、指、算的步骤．属于中档题．19.【答案】解：(1)由题意，得{4a2+1b2=1c a =√22，又a2=b2+c2，∴a2=6，b2=3．则椭圆方程为x26+y23=1；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程， 整理得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．由△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−6)>0，得6k 2−m 2+3>0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2．∵PA ⊥PB ，∴k PA ⋅k PB =−1，即y 1−1x1−2⋅y 2−1x 2−2=−1．即y 1y 2−(y 1+y 2)+1=−x 1x 2+2(x 1+x 2)−4．其中y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m ，代入整理得：4k 2+8mk +3m 2−2m −1=0，即(2k +m −1)(2k +3m +1)=0． 当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)， ∴当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23． 当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去． 当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43． 综上，点P 到直线AB 距离的最大值为d =|PM|=4√23．【解析】(1)由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合隐含条件求得a ，b 的值，则椭圆方程可求；(2)当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y =kx +m ，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA ⊥PB 可得(2k +m −1)(2k +3m +1)=0，当2k +m −1=0时，直线AB 过点P ，不合题意；当2k +3m +1=0时，直线AB 的方程为y =k(x −23)−13，直线过定点(23,−13)，可知当PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为d =|PM|=4√23.当直线AB的斜率不存在时，设其方程为x =n ，代入解得n =23或n =2舍去．当n =23时，点P 到直线x =23的距离为43，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．20.【答案】解：(1)若某居民用水17吨，需交费12×4+4×5+1×7=75(元)．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3， P(ξ=0)=C 73C 103=724，P(ξ=1)=C 72C 31C 103=2140， P(ξ=2)=C 71C 32C 103=740，P(ξ=3)=C 33C 103=1120，∴ξ的分布列为：E(ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910．(3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，于是P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10， 由{C 104(35)k (25)10−k ≥C 10k+1(35)k+1(25)10−(k+1)C 10k (35)10−k ≥C 10k−1(35)k−1(25)10−(k−1)， 化简，得{2C 10k ≥3C 10k+13C 10k ≥2C 10k−1，解得285≤k ≤335， ∵k ∈N ∗，∴k =6．【解析】(1)由某居民用水17吨，根据题设条件能求出需交费用．(2)设取到第二阶段电量的用户数为ξ，第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．(3)从全市中抽取10户的用电量为第一阶段，满足X ～B(10,35)，P(X =k)=C 10k(35)k (25)10−k .k =0，1，2，…，10，依题意列出不等式组，由此能求出k ．本题考查离型型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查排列组合、古典概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)由f(x)=(e −x)lnx =0，得x =1，或x =e ，所以f(x)的零点为1，e ；因为f′(x)=ex −lnx −1，所以f′(1)=e −1，f′(e)=−1．因为f(1)=f(e)=0，所以曲线线y =f(x)在x =1处的切线方程为y =(e −1)(x −1)，在x =e 处的切线方程为y =−x +e …4分(2)证明：因为f′(x)=e x −lnx −1，所以f″(x)=−1x −e x 2<0，所以f′(x)=ex −lnx −1单调递减．令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ， 下面证f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)，记m(x)=(e −1)(x −1)−(e −x)lnx ，则m′(x)=lnx −ex +e ，m″(x)=1x +ex 2>0， 所以m′(x)单调递增，且m′(1)=0，故m(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增． 所以m(x)≥m(1)=0，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)， 同法可证f(x)≤ℎ(x)，即(e −x)lnx ≤−x +e ． 不妨设g(x 3)=f(x 1)=f(x 2)=ℎ(x 4)=m ，因为g(x 1)>f(x 1)=m =g(x 3)，且g(x)=(e −1)(x −1)为增函数，所以x 1>x 3， 由g(x 3)=)=(e −1)(x 3−1)=m ，得x 3=me−1+1， 同理，x 4>x 2，x 4=e −m ，所以me−1+1=x 3<x 1<x 2<x 4=e −m ， 所以，|x 1−x 2|<e −m −(me−1+1)=e −1−eme−1， 所以，|x 1−x 2|<e −1−em e−1…12分【解析】(1)令f(x)=(e −x)lnx =0，可求得f(x)的零点，再利用导数的几何意义可求得曲线y =f(x)在其零点处的切线的斜率，从而可得切线方程；(2)由于f′(x)=ex −lnx −1，f″(x)=−1x −ex 2<0，故f′(x)=ex −lnx −1单调递减，令g(x)=(e −1)(x −1)，ℎ(x)=−x +e ，通过证明f(x)≤g(x)，即(e −x)lnx ≤(e −1)(x −1)与(e −x)lnx ≤−x +e 成立，而证得原结论成立．本题考查利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的最值，考查等价转化思想与创新思维能力、逻辑思维能力及综合运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得：x 2+(y −3)2=4．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，化为：x +y =4． (2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，∴y 1+y 2=7，y 1y 2=212，∵直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)， ∴|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|， ∴1|PA|+1|PB|=√2|y |√2|y |=12√2y y =√2×212=√23．【解析】(1)曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =3+2sinθ(θ是参数)，利用平方关系可得普通方程．曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2，展开为：√22ρ(sinθ+cosθ)=2√2，利用互化公式可得普通方程．(2)联立{x +y =4x 2+(y −3)2=4，化为：2y 2−14y +21=0，根据直线x +y =4的斜率k =−1，P(4,0)，可得|PA|=√2|y 1|，|PB|=√2|y 2|，可得1|PA|+1|PB|=√2|y |+√2|y |，利用根与系数的关系代入化简即可得出．本题考查了参数方程与极坐标方程化为普通方程、和差公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)当x ≤−3时，2−x −x −3≥9，解之得x ≤−5；当−3<x ≤2时，2−x +x +3=5<9，无解； 当2<x 时，x −2+x +3≥9，解之得4≤x ； 所以，原不等式的解集为{x|x ≤−5或4≤x}，(2)证明：因为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)， 又因为|a|<1，|b|<1， 所以a 2−1<0，b 2−1<0， 所以(a 2−1)(b 2−1)>0， 即：|ab +1|>|a +b|．【解析】(1)根据题意去绝对值，讨论每一部分的解，(2)先转化为|ab +1|2−|a +b|2=(a 2−1)(b 2−1)，根据题中给的范围，可求其值大于0，既得证．本题考查解绝对值不等式，以及证明不等式，属于中档题．。
【全国市级联考】湖北省武汉市2017届高三四月调研测试理数试题解析(解析版)
武汉市2017届高中毕业生四月调研测试数学试卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数，则复数在复平面内的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】,复数在复平面内的点位于第四象限,选D.2. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】,,,选B.3. 若等差数列的前项和满足，，则（）A. B. 0 C. 1 D. 3【答案】B【解析】根据等差数列的性质仍成等差数列，则，则，，选B.4. 在长为的线段上任取一点，以为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】本题为一维几何概型，设，则，，矩形面积为：，，则该矩形的面积大于的概率为，选A.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】运行程序，不满足，，不满足，，不满足，，不满足…………，，满足，输出，选C.6. 如图所示，某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足函数，则这段曲线的函数解析式可以为（）...A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】A7. 已知数列满足，，若，则数列的通项（）A. B. C. D.【答案】B【解析】 , ,,则 ,数列是首项为2，公比为2的等比数列，，利用叠加法，，，则.选B.8. 已知实数满足约束条件，如果目标函数的最大值为，则实数的值为（）A. 3B.C. 3或D. 3或【答案】D【解析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为，目标函数的最大值只需直线的截距最大，当，(1) ,即时，最优解为，，符合题意；（2），即时，最优解为，，不符舍去；当，（3），即时，最优解为，，符合；（4），即时，最优解为，，不符舍去；，，综上：实数的值为3或，选D.9. 四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C...【解析】根据三视图还原几何体为一个四棱锥，平面平面，由于为等腰三角形，四边形为矩形，，过的外心作平面的垂线，过矩形的中心作平面的垂线两条垂线交于一点为四棱锥外接球的球心，在三角形中，，则，，，，，，.选C.【点睛】求几何体的外接球的半径问题，常用方法有三种：（1）恢复长方体，（2）锥体或柱体“套”在球上，（3）过两个面的外心作垂线，垂线的交点即为球心.10. 已知圆：和点，若圆上存在两点，使得，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】过点作圆的两条切线，切点分别为，连接，若圆上存在两点，使得，只需，，解得,选C.11. 已知函数（，为自然对数的底数），若与的值域相同，则的取值范围是（）A. B. C. D. 或【答案】A【解析】排除法：当时，令，，值域为，在上为增函数，值域为，不合题意舍去；当时，，，的值域为的值域也是，不符合题意，排除C和D.当时，，，函数在上单增，值域为，的值域也为，符合题意，排除B，选A.12. 记为中的最小值，若为任意正实数，则的最大值是（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】设，不妨设，则，有，又，，则，当时，，此时最小；当时，，此时最小，则 .选D.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，常数项为________．（用数字作答）...【答案】15【解析】 , ,常数项为.14. 在四面体中，，则该四面体体积的最大值为________．【答案】【解析】由于平面是边长为1的正三角形，，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当平面时体积最大，.15. 已知直线过椭圆的左焦点，与椭圆交于两点，直线过原点与平行，且与椭圆交于两点，则_________．【答案】【解析】特殊化，设轴，则，.【点睛】特殊化法在求解选择题时不失为一种“投机取巧”的良法，很适合应试，特值特例法在很多选择题中应用，省时、准确，备受同学们的欢迎 .16. 已知的外接圆圆心为，且，若，则的最大值为__________．【答案】【解析】设三个角所对的边分别为，由于，，，所以，解得，.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知的三个内角的对边分别为，且满足，，．（1）求的值；（2）若平分交于点，求线段的长．【答案】（1）;（2）．【解析】利用余弦定理和正弦定理解方程组求出，第二步利用与面积和为的面积列方程求出，注意使用三角形面积公式及角平分线平分已知角.（1）由余弦定理得，即，联立，解得．（2），，，由，得，∴．【点睛】利用正弦定理和余弦定理进行“边转角”和“角转边”是高考常见考题，结合面积公式，灵活应用定理公式解题是考纲的基本要求，这类考题属于高考高频考点也是学生最容易得分的题目，要加强训练.18. 某鲜花店根据以往某品种鲜花的销售记录，绘制出日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组区间的频率视为概率，且假设每天的销售量相互独立．（1）求在未来的连续4天中，有2天的日销售量低于100枝且另外2天不低于150枝的概率；（2）用表示在未来4天里日销售量不低于100枝的天数，求随机变量的分布列和数学期望．...【答案】（1）∴;（2）见解析.【解析】（1）设日销量为，有2天日销售量低于100枝，另外2天不低于150枝为事件．则，，∴．（2）日销售量不低于100枝的概率，则，于是，则分布列为∴．【点睛】频率分布直方图、茎叶图、线性回归、独立性检验是高考需要掌握的统计知识，概率分布问题注意一些常用的概率分布，如二项分布，超几何分布等，会计算概率，正确列出分布列，正确计算数学期望及方差.19. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析;（2）．【解析】（1）证明：∵，为的中点，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．又，，∴面．（2）方法一：由平面平面，作于，则面．作于，连，则，由，，知，而，，故，即．在四边形中，设．...则由余弦定理得．，设与交于点，则，，而，则．于是，即，∴或（舍）容易求得：，而．故，由面面，则面，过作于，连，则为二面角的平面角，由平面几何知识易得，．∴．方法二：以点为原点，为轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，．∴，．由，得，∴，则，，于是，，∵，∴，即，解得或（舍），故，则，，于是，，设平面的法向量为，则即，取，则，∴．不妨设平面的法向量，则，故二面角的余弦值为．【点睛】证明线面垂直，只需寻求线线垂直，利用题目提供的面面垂直，可以得到线面垂直，进而说明线线垂直；求二面角的方法有两种，传统方法为“作、证、求”，用空间向量，借助法向量更容易一些.20. 已知圆：和抛物线：，为坐标原点．（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标．【答案】（1）;（2）或．21. 已知函数．（1）若，其中为自然对数的底数，求函数的单调区间；（2）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析;（2）且且．【解析】把值带入后对求导，分子提取公因式是重要的一步，由于的正负不清楚，所以设为二次求导，发现的单调性及零点，最后根据的符号说明单调性；对求导，研究因式，得，这是非常智慧的一步变形．针对函数求导研究单调性求出极值，模拟图象得出解答.（1），由知，设，则，，∴，∴在上单调递增，观察知，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．（2），，由，得．设，则，由，得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴．又时，时，∴，这是必要条件．检验：当时，既无极大值，也无极小值；当时，满足题意；当时，只有一个极值点，舍去；当时，则，则．综上，符合题意的的范围为且且．【点睛】对函数求导，研究导数的符号，确定函数的单调性是导数应用常规方法，的正负不清楚，所以设为二次求导，发现的单调性及零点，最后根据的符号说明单调性；二次求导或三次求导解题时经常采用，研究因式，得，这是非常智慧的一步变形．针对函数求导研究单调性求出极值，模拟图象研究零点个数也是常规方法.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线：（为参数）和直线：（为参数）．（1）将曲线的方程化为普通方程；（2）设直线与曲线交于两点，且为弦的中点，求弦所在的直线方程．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由，得，即，又，两式相除得，代入，得，整理得，即为的普通方程．（2）将代入，整理得．由为的中点，则．∴，即，故，即，所以所求的直线方程为．【点睛】本题参数方程属于选修内容，熟悉万能代换公式的同学都知道，把曲线的方程化为普通方程的方法是换元，令消元更方便，当然本题也可直接消元；第二步为直线的参数方程的几何意义问题，代入参数方程整理为的一元二次方程，由于为弦的中点，则，求出直线方程.... 23. 选修4-5：不等式选讲（1）求不等式的解集；（2）若正实数满足，求证：．【答案】（1）;（2）见解析．【解析】（1）当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；当时，，解得，舍去．综上，．故原不等式的解集为．（2）证明：要证，只需证，即证，即证，而，所以成立，所以原不等式成立．【点睛】解含绝对值不等式问题，使用零点分区间讨论法；证明不等式常采用综合法、分析法及反证法，证明时常借助几个重要不等式，如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等，另外经常边分析、边综合研究证明.。
2020届湖北省武汉为明教育集团高三下学期第四次调研考试数学(理)试题(解析版)
【详解】
（1）因为四边形 为菱形，所以 ，
平面 ， 平面
平面 ，
因为平面 平面 直线 平面
所以 ；
（2）因为四边形 为菱形，所以
因为 平面 ，ห้องสมุดไป่ตู้以以O为坐标原点、OA,OB,OF为x,y,z轴建立空间直角坐标系
此时 ，解得 ，
则球O的表面积为 .
故答案为：
【点睛】
本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题.
16．在平面直角坐标系中，已知点P分别到点 的距离之和为3，记点P的轨迹为曲线W，关于曲线W有如下命题：
①曲线W关于y轴对称
②曲线W关于坐标原点对称
③存在实数 ，对于曲线W上任意一点 都有 ；
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【详解】
因为当产品价格 低于均衡价格 时，需求量大于供应量，
故可排除A,D；
且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，
故排除B.
故选：C．
【点睛】
本题属于识图的问题，解题的关键是读懂题意、看准图形，解答本题时容易出错，其中的原因就是对图形和题意的不理解．解题时要注意到纵轴表示自变量，而用横轴来表示因变量，故分析时应由 轴分析 轴，并借助排除法求解．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，由余弦定理可得： ，再利用余弦定理可得 ．由正弦定理可得： ，解出 ， 代入 ，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．
【详解】
，
由正弦定理可得： ，
2023年武汉市高三4月调研考试数学试卷+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023年武汉市高中毕业生四月调研考试数学试卷的。
1.已知集合，，则( )A. B.C.D.2.若复数是纯虚数，则实数( )A. B. C. D.3.已知，则( )A.B.C. D. 4.正六边形ABCDEF 中，用和表示，则( )A.B.C.D. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则( )A. 55 B. 49C. 43D. 376.设抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l 的垂线，垂足为Q ，若直线QF 的倾斜角为，则( )A. 3B. 6C. 9D. 127.阅读下段文字：“已知为无理数，若为有理数，则存在无理数，使得为有理数;若为无理数，则取无理数，，此时为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是( )A.是有理数B.是无理数C. 存在无理数a ，b ，使得为有理数D. 对任意无理数a ，b ，都有为无理数8.已知直线与函数的图象恰有两个切点，设满足条件的k 所有可能取值中最大的两个值分别为和，且，则( )A.B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是( )A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加B. 招商引资后，转移净收入是前一年的倍C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10.椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率的可能取值有( )A. B.C.D.11.函数的图象可能是( )A.B.C.D.12.三棱锥中，，，，直线PA与平面ABC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，则下列说法中正确的有( )A. 三棱锥体积的最小值为B. 三棱锥体积的最大值为C. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为锐角D. 直线PC与平面ABC所成的角取到最小值时，二面角的平面角为钝角三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届湖北省高三4月份调研考试数学(理)试题(解析版)
2019届湖北省高三4月份调研考试数学（理）试题、单选题已知集合M = {xl-3 <^<2},A . MDN = （-Z2） B.MAN - （-S-2）C D. 「、•*• = "•：: f；【答案】D【解析】根据指数不等式的解法得到N =&|xN-2}，再由集合的并集的概念得到结果【详解】集合M={x|-3<x<2}, =&|x > -2）,根据集合的并集的概念得到M U N = （ - * +叫）.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了集合的并集的解法，以及指数不等式的解法^2 .已知复数乙=T+2】，贝U下列关系式中正确的是（）A . |z|<2 B. C .|司字|1 十方| D . |z| = J -2i|【答案】D【解析】根据复数的模的计算得到I』=也2+（-1沪=泰进而判断其它选项的正误.【详解】复数上= -I十瓦冒=Jz2I（T）'=近排除AB , ll-2il = \] +2i\ = ^故得到I』=11 - 2il.故答案为：D.【点睛】这个题目考查了复数的模长的计算，属于简单题^3.已知^smx + cosx = y，则E J X—J=（）A . I B. T C. T D. I 【答案】B【解析】根据正弦函数的两角和的公式将原式子进行化一，再由诱导公式得到cos\x - +- y-5.如图，网格纸上的小正方形的边长为1,粗线C3【答案】C【详解】 已知 + CDSX = ~,化一得到 2sin(w+J = 则•'-故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数化一公式的应用，以及诱导公式的应用，属于基础题 ^4 .已知双曲线C:饵-春=1 (a^O/bX)的离心率为g ，贝U 双曲线C 的渐近线方程为( )A . 2x = y = 0B .*Hy=°C . <5xiy=O D.【答案】B—，一 ................................................................................. _ .，…，t i', b J dW 1—b 1 _____ ___ _________【解析】根据双曲线的离心率公式得到 ；孑=& ；=±菱进而得到渐近线万 程. 【详解】已知双曲线毛书=1 E 哄>0)的离心率为专，双曲线的渐近线方程为： 故答案为：B.【点睛】 这个题目考查了双曲线的离心率的求法，以及设计了离心率和渐近线的表达式间的关系,属于基础题【解析】根据三视图还原几何体，由棱锥体积公式计算得到结果^【详解】根据题意得到原图是下图中的四棱锥GADDiAi,根据题意得到四边形ADD L A I边长为2,棱锥的高为1 ,故四棱锥的体积为：故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循长对正，高平齐,宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.6 .已知函数财）是定义域为R的奇函数，当xMO时，心）= ]n（l + x2）+ x,则不等式1）＞ 1+1点的解集为（）A. B.C 'MM 上 D. 5【答案】A【解析】忒株+1）＞1 + 1心守f（2x + l）＞f（]）,函数是定义域为R的奇函数，根据函数表达式可得到函数单调递增，故只需要株+ 1 ＞]=＞x＞0.【详解】当x潮时，史x）= 】n（l+G十X,Rl）= In2 + ] ±＜2x+ 1）＞1 + ln2^f（2x + 1）＞f（l）函数fix）是定义域为R的奇函数，当胰0时，林）= m（l +妒）+ X,可得到函数是单调递增的，故在整个实属范围内也是单调递增的，故只需要2x+ 3 lf>0.故答案为：A.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及函数单调性的应用，对于解不等式的问题，如果不等式的解析式未知或者已知表达式，直接解不等式非常复杂，则通常是研究函数的奇偶性和单调性来达到解不等式的目的.7.甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（）A . 36 种 B. 30 种 C . 24 种 D . 12 种【答案】C【解析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有A；,进而得到结果.【详解】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有A；,故共有4XA¥=2斗种方法.故答案为：C.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素（或位置）的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列组合问题常以元素（或位置）为主体，即先满足特殊元素（或位置），再考虑其他元素（或位置）.8.如图，圆。
湖北省武汉市高中毕业生四月调研测试(数学理)
湖北省武汉市高中毕业生四月调研测试（数学理）姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分得分第1小题：评卷人得分sin ()=A. B. C . D.【答案解析】A第2小题：设等差数列{an}的前n项和为，若=15,则=A.3B. 4C. 5D.6【答案解析】A第3小题：若复数z满足(i是虚数单位），则Z=A. B. C. D.【答案解析】C第4小题：已知a、b,c直线，是平面，给出下列命题：①若，则；②若..，则；③若，则；④若a与6异面,且，则b与相交；⑤若a与b异面，则至多有条直线与a,b都垂直.其中真命题的个数是A. 1B.2C. 3D.4【答案解析】A第5小题：已知a,b为非零向量，，若，当且仅当t=时，|m取得最小值，则向量a,b的夹角为A. B. C. D.【答案解析】C第6小题：在ΔBC 中，“sinA〉sinB”是“cosA&(*);cosB的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案解析】C第7小题：若，且 P()=0.3，则A.0.2B. 0.3C. 0.7D.0.8【答案解析】A第8小题：已知二面角的平面角为为垂足,PA =5,PB=4,点A、B到棱l的距离分别为x,y 当θ变化时,点(x,y)的轨迹是下列图形中的【答案解析】C第9小题：设是[0,1]上的函数,且定义，则满足的x的个数是A. 2nB.C.D. 2(2n-1)【答案解析】C第10小题：某班要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,，则不同选派方案种数为________【答案解析】14第11小题：已知函数.’给出下列结论：①函数在- = 1处连续；②f(1) =5; ③；④.其中正确结论的序号是________.【答案解析】④第12小题：=________【答案解析】第13小题：用17列货车将一批货物从A市以V km/h的速度匀速行驶直达B市.已知A、B两市间铁路线长400 km，为了确保安全，每列货车之间的距离不得小于km,则这批货物全部运到B市最快需要________h,此时货车的速度是________km/h.【答案解析】8,100第14小题：在平面直角坐标系xOy中，给定两定点M(- 1，2)和N( 1，4),点P在x轴上移动，当取最大值时,点P的横坐标是________.【答案解析】1。
湖北省武汉市2022-2023学年高三下学期4月调研考试 数学试卷
武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2023.4.11本试题卷共5页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}260A x x x =--<，{}230B x x =+>，则A B = （ ）A. 32,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B. 3,32⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,32⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 3,22⎛⎫-⎪⎝⎭2. 若复数3i2i a ++是纯虚数，则实数a =（ ）A. 32- B. 32 C. 23-D.233. 已知3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.2425B. 2425-C.725 D. 725-4. 正六边形ABCDEF 中，用AC 和AE表示CD ，则CD = （ ）A. 2133AC AE -+B. 1233AC AE -+C. 2233AC AE-+D.1133AC AE -+5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题.现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则10a =（ ）A. 55B. 49C. 43D. 376. 设抛物线26y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是抛物线上位于第一象限内的一点，过P 作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120︒，则PF=（）A. 3B. 6C. 9D. 127. 阅读下段文字：为无理数，若a b==，使得b a为有理数；若a=，b=，此时(22ba====为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是（）A. 是有理数B.C. 存在无理数a，b，使得b a为有理数D. 对任意无理数a，b，都有b a为无理数8. 已知直线y kx t=+与函数sin()(0,0)y A x Aωϕω=+>>的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为1k和2k，且12k k>，则（）A. 1273kk> B. 125733kk<< C. 127553kk<< D. 1275kk<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍10. 椭圆()222210x ya ba b+=>>的一个焦点和一个顶点在圆225440x y x y+--+=上，则该椭圆的离心率的可能取值有（）A.12B.14C.D.11. 函数()21e xy kx=+的图象可能是（）A. B. C. D.12. 三棱锥P ABC -中，AB =，1BC =，AB BC ⊥，直线PA 与平面ABC 所成的角为30︒，直线PB 与平面ABC 所成的角为60︒，则下列说法中正确的有（ ）A. 三棱锥P ABC -B. 三棱锥P ABC -C. 直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P BC A --的平面角为锐角D. 直线PC 与平面ABC 所成的角取到最小值时，二面角P AB C --的平面角为钝角三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()()6121x x -+的展开式中含2x 项的系数为______.14. 半正多面体亦称“阿基米德体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它的各棱长都相等，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为______.15. 直线1l ：2y x =和2l ：1y kx =+与x 轴围成的三角形是等腰三角形，写出满足条件的k 的两个可能取值：______和______.（写对一个得3分，写对两个得5分）16. 在同一平面直角坐标系中，P ，Q 分别是函数()e ln()xf x ax ax =-和2ln(1)()x g x x-=图象上的动点，若对任意0a >，有PQ m ≥恒成立，则实数m 的最大值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，有()1n n S n a n =+-.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若当且仅当7n =时，n S 取得最大值，求1a 的取值范围.18.（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有2sin 6b cB aπ+⎛⎫+=⎪⎝⎭.（1）求角A ；（2）若BC 边上的高h =，求cos cos B C .19.（12分）如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别为边AB ，AC 的中点.将AEF △沿EF 翻折至1A EF △，得到四棱锥1A EFCB -，P 为1AC 的中点.（1）证明：FP ∥平面1A BE ；（2）若平面1A EF ⊥平面EFCB ，求直线1A F 与平面BFP 所成的角的正弦值.20.（12分）中学阶段，数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中.例如，甲乙两人进行比赛，若甲每场比赛获胜概率均为12，且每场比赛结果相互独立，则由对称性可知，在5场比赛后，甲获胜次数不低于3场的概率为12.现甲乙两人分别进行独立重复试验，每人抛掷一枚质地均匀的硬币.（1）若两人各抛掷3次，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率；（2）若甲抛掷()1n +次，乙抛掷n 次，*n ∈N ，求抛掷结果中甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率.21.（12分）过点()4,2的动直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于M ，N 两点，当l 与x 轴平行时，MN =l 与y 轴平行时，MN =.（1）求双曲线E 的标准方程；（2）点P 是直线1y x =+上一定点，设直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标.22.（12分）已知函数()ln kf x x x x=-，其中0k >.（1）证明：()f x 恒有唯一零点；（2）记（1）中的零点为0x ，当e02k <<时，证明：()f x 图象上存在关于点()0,0x 对称的两点.武汉市2023届高中毕业生四月调研考试数学参考答案一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C【解析】()2,3A -，3,2B ⎛⎫=-+∞ ⎪⎝⎭，则3,32A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，选：C.2.【答案】A 【解析】3i (3i)(2i)23(6)i 2i 55a a a a ++-++-==+，则230a +=，有32a =-，选：A.3.【答案】D 【解析】22sin 2sin 2cos 26323ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭272sin 1325πα⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，选：D.4.【答案】B【解析】设边长为2，有1OD =，3AO =，则11()()26CD CO OD CA AE AC AE =+=+++1233AC AE =-+，选：B.5.【答案】A【解析】61n a n =+，有1055a =，选：A.6.【答案】B【解析】依题意3QFH π∠=，3HF =，QH =，6QF =，又PF QP =，3PQF π∠=，则PQF △为等边三角形，有6PF =，选：B.7.【答案】C 8.【答案】B【解析】考虑sin y x =的情况，设1k 对应切点为（()11,sin x x ，()11,sin x x ''，11x x '<，设2k 对应切点为()12,sin x x ，()22,sin x x ''，22x x '<，只考虑112x x π'+=，224x x π'+=的情况，则1112sin 22x k x π=--，2222sin 42x k x π=--，其中2102x x π-<<<，所以112221sin 42sin 22k x x k x x ππ-=⋅-，其中有()111sin cos x x x π=-，()222sin 2cos x x x π=-，易得13x π<-，则1222253k x k x ππ->>-，则1221215783k x k x ππ-<<<-，选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AD 10.【答案】BCD【解析】22525(2)24x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，上顶点()0,2，焦点()1,0或()4,0，则e =()1,0，右顶点()4,0，则14e =，选：BCD.11.【答案】ABC【解析】()2()1e x f x kx =+，有()2()21e x f x kx kx '=++，244001k k k ∆=-≤⇒≤≤，选：ABC.12.【答案】ACD【解析】作PH ⊥平面ABC ，则tan 603tan 30AH BH =︒︒=.设(),H x y，)A，()B，22229((x y x y ++=-+2220x y x ⇒+++=.又有PH =，BH ∈，圆心⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，半径298r =，所以PH ∈，则max 13V ==，min 13V ==，A 正确，B 错误.由221BH CH ==+1=+当BH CH最小时，有H 在ABC △外部，如图，此时，二面角P BC A --为锐角，P AB C --为钝角，D 正确.选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】－48【解析】4252266C (2)C (2)(1260)48x x x x x ⋅+⋅=-=-，系数为－48.14.【答案】56【解析】设棱长为2，则3112028323V '=-⨯⨯=，所以205246V V '==.15.【答案】－2【解析】2k =-，2112y x x y kx k =⎧⇒=⎨=+-⎩，所以1k k =⇒=.16.【解析】()()()2222ln 1()e ln n m m n an an m PQ -⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭222ln(1)e ln (21)9222nm m an an n m -⎛⎫-+-- ⎪+⎝⎭≥≥=，则max m =.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为()1n n S na n n =+-①，则()()()11112n n S n a n n --=-+--②①－②可得11(1)22(1)(1)2(1)n n n n n a na n a n n a n a n --=--+-⇔-=--+-12n n a a -⇔=-，故{}n a 为等差数列.（2）若当且仅当7n =时，n S 取得最大值，则有767117881012012140140S S a a a S S a a ⎧>>⎧->⎧⎪⎪⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨><-<⎪⎩⎪⎩⎩，故1a 的取值范围为()12,14.18.【解析】（1）由sin sin 2sin 6sin B CB Aπ+⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos )sin sin sin cos sin cos B B A B A B B A +=++，1cos A A =+，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3A π=.（2）由11sin 22ABC S ah bc A ==△2=，所以22a bc =，有2sin 2sin sin A B C =，则3sin sin 8BC =，又1cos cos()sin sin cos cos 2A B C B C B C =-+=-=，则1cos cos 8B C =-.19.【解析】（1）连接1A B 的中点Q ，则有PQ BC ∥，且12PQ BC =，同理EF BC ∥，且12EF BC =，故PQ EF ∥，且PQ EF =，则四边形PQEF 为平行四边形，则FP EQ ∥，又EQ ⊂平面1A BE ，故FP ∥平面1A BE .（2）以EF 中点O 为原点，EF 为y 轴，EF 和BC 的垂直平分线为x 轴，AO 为z 轴，建立空间直角坐标系，则可得(1A ，()0,1,0F，)2,0B-，)2,0C，()0,1,0F ，则由P 为1AC中点，故P ，则1(0,1,A F =，(BF =，PF ⎛= ⎝ ，设平面BFP 的法向量(),,n x y z =，则0n BF n PF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即300y x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则::x y z =，故取n = ，则1cos ,A F n == ，故直线1A F 与平面BFP.20.【解析】（1）设甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数的概率1p ，0011223333333333133C C C C C C C C 5228P ⋅+⋅+⋅+⋅==⨯，由对称性可知则甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数的概率和甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数的概率相等，故113216P P -==.（2）可以先考虑甲乙各抛赛n 次的情形，①如果出现甲正面朝上次数等于乙正面朝上次数，将该情形概率设为1p ，则第1n +次甲必须再抛掷出证明朝上，才能使得最终甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数；②如果出现甲正面朝上次数小于乙正面朝上次数，则第1n +次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然不大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为2p ；③如果出现甲正面朝上次数大于乙正面朝上次数，则第1n +次无论结果如何，甲正面朝上次数仍然大于乙正面朝上次数，将该情形概率设为3p ，由对称性可知23p p =故1312n P p p =+，而由231231p p p p p =⎧⎨++=⎩，可得13123132112222n p p p p p P p p +++=+===.21.【解析】解析一：（1）22144x y -=（2）∵()4,2，M ，N 三点共线，∴12122244y y x x --=--，∴12124(1)2(1)x x y y λλλλ=+-⎧⎨=+-⎩，∴[][]22224(1)2(1)4x y λλλλ+--+-=，∴22122y x λ=-+，∴()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+⋅=⋅--.∴()()()2222020122202220222211243222y y x x x y x k k y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭⋅=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭，∴()()()022002012020220031212223422x y x x x y x k k x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭⋅=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭，根据约分：000121x x x --=-且00001134222x x x x --=⇒=--，∴当03x =时，124k k ⋅=.∴()3,4P ，124k k ⋅=时，成立.解析二：（1）由题可知双曲线E ：22221x y a b -=过点(2)±，(4,±，将其代入方程可得222284116121a ba b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，计算可得2244a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则双曲线E 的标准方程为22144x y -=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()00,P x y ，直线MN ：()42y k x =-+，与双曲线2240x y --=联立可得[]22(4)240x k x --+-=，注意到1x ，2x 为方程[]22(4)240x k x --+-=的两根，故有恒等式[]()()()22212(4)241x k x kx x x x --+-=---，则()()()()222000124241x k x kx x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，同理由(4)2y k x =-+，可得24y x k-=+，与双曲线2240x y --=联立可得222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭2222(24)40y k k y k ⇔-+--=，注意到1y ，2y 为方程2222(24)40y k k y k -+--=的两根，故有恒等式()()()2222212(24)41y k k y k k y y y y -+--=---，则()()()()222220001022441y k k y k kyy y y -+--=---，则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2220222012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-，若12k k 为定值，则必有22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-，计算可得0034x y=⎧⎨=⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为点P 在直线1y x =+上，故点P 坐标为()3,4.22.【解析】（1）2()0ln ()f x k x x g x =⇔==，又()(2ln 1)g x x x '=+，令()0g x '>，则x >()g x 递增，令()0g x '<，则0x <<，()g x 递减，而01x <<时，()0g x <，1x >时()0g x >，有(1)0g k =<，()2e e k k g k k =>，可得()f x 恒有唯一零点.（2）因为200e ln 0,2k x x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，故0x ∈，要证()f x 图象上存在关于点()0,0x 对称的两点，即证方程()()00()20f x f x x x x +-=≠有解；()()000ln 2ln 202k k x x x x x x x x x⇔-+---=-()()()2200002ln 2ln 220x x x x x x x x x kx ⇔-+---=()()()223000002ln 2ln 22ln 0x x x x x x x x x x x ⇔-+---=，令()()()()223000000()2ln 2ln 22ln 02h x x x x x x x x x x x x x x =-+---<<，()()()2220000()34ln()384ln 2h x x x x x x x x x x x '=-++-+-，()()()0000()64ln()68ln 22h x x x x x x x x x ''=-++--+，()()()00008()6ln 26ln()2x x x h x x x x x x x -'''=--+-，当00x x <<时，02x x x ->，则()0h x '''>，()h x ''递增，当002x x x <<时，02x x x -<，则()0h x '''<，()h x ''递减，故()()000()212ln h x h x x x ''''≤=-，因为0x ∈，故()00h x ''>，又0x →时，()h x ''→-∞，02x x →时，()h x ''→-∞，故()h x ''先负后正再负，则()h x '先减再增再减，又()00h x '=，且0x →时，()h x ''→+∞，02x x →时，()h x ''→-∞，故()h x ''先正后负再正再负，则()h x 先增再减再增再减，又0x →时，()h x →-∞，02x x →时，()h x →-∞，而()00h x =，。
湖北省武汉市2022届高三下学期4月调研考试 数学 试题(含答案)
武汉市2022届高中毕业生四月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2022.4.26本试题卷共5页，22题，全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z＝11i+，则z的虚部为A.-1B.1C.-12D.122．已知a＝e1n2，b＝log34，c＝21.1，则A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.c>b>a3．若椭圆222xya+＝1(a＞0)的离心率为22，则a的值为A.2B.12C．2或22D．2或1 24．如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为A.223B.43C.423D.835．设sin32°＝k，则tan16°＋1tan16=A.2kB.1kC.2kD.k6．已知直线ax＋by-1＝0(ab＞0)过圆(x-1)2＋(y-2)2＝2022的圆心，则11a b+的最小值为A.3+22B.3-22C.6D.97．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)-2，则下列是周期函数的是A.y=f(x)-xB.y=f(x)+xC.y=f(x)-2xD.y=f(x)+2x8．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X的期望E(X)和方差D(X)存在但其分布未知的情况下，对事件“|X-E(X)|≥ε”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：P(|X-E(X)|≥ε)≤f(D(X)，ε)，其中f(D(X)，ε)是关于D(X)和ε的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定f(D(X)，ε)的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是A.D(X)·ε2B. 21()D X ε⋅C. 2()D X εD. 2()D X ε二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市高三毕业生四月调研数学(理)试题含答案
武汉市２０１８届高中毕业生四月调研测试理 科 数 学武汉市教育科学研究院命制２０１８．４．１９本试卷共６页，２３题（含选考题）。
全卷满分１５０分。
考试用时１２０分钟。
★祝考试顺利★注意事项：１ 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
２ 选择题的作答：每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
３ 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
４ 选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用２Ｂ铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
５ 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
１ 复数５ｉ－２的共轭复数是Ａ ２＋ｉＢ －２＋ｉＣ －２－ｉＤ ２－ｉ２ 已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２＝１｝，Ｎ＝｛ｘ｜ａｘ＝１｝，若Ｎ Ｍ，则实数ａ的取值集合为Ａ ｛１｝Ｂ ｛－１，１｝Ｃ ｛１，０｝Ｄ ｛１，－１，０｝３ 执行如图所示的程序框图，如果输入的ｔ∈［－２，２］，则输出的Ｓ属于Ａ ［－４，２］Ｂ ［－２，２］Ｃ ［－２，４］Ｄ ［－４，０］４ 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为槡Ａ ３槡Ｂ ６槡Ｃ ２３槡Ｄ ２６５ 一张储蓄卡的密码共有６位数字，每位数字都可以从０～９中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过２次就按对的概率为Ａ ２５Ｂ ３１０Ｃ １５Ｄ １１０６ 若实数ａ，ｂ满足ａ＞ｂ＞１，ｍ＝ｌｏｇａ（ｌｏｇａｂ），ｎ＝（ｌｏｇａｂ）２，ｌ＝ｌｏｇａｂ２，则ｍ，ｎ，ｌ的大小关系为Ａ ｍ＞ｌ＞ｎＢ ｌ＞ｎ＞ｍＣ ｎ＞ｌ＞ｍＤ ｌ＞ｍ＞ｎ７ 已知直线ｙ＝ｋｘ－１与双曲线ｘ２－ｙ２＝４的右支有两个交点，则ｋ的取值范围为Ａ （０，槡５２）Ｂ ［１，槡５２］Ｃ （－槡５２，槡５２）Ｄ （１，槡５２）８ 在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对应边分别为ａ，ｂ，ｃ，条件ｐ：ａ≤ｂ＋ｃ２，条件ｑ：Ａ≤Ｂ＋Ｃ２，那么条件ｐ是条件ｑ成立的Ａ 充分而不必要条件Ｂ 必要而不充分条件Ｃ 充要条件Ｄ 既不充分又不必要条件９ 在（ｘ＋１ｘ－１）６的展开式中，含ｘ５项的系数为Ａ ６Ｂ －６Ｃ ２４Ｄ －２４１０ 若ｘ，ｙ满足｜ｘ－１｜＋２｜ｙ＋１｜≤２，则Ｍ＝２ｘ２＋ｙ２－２ｘ的最小值为Ａ －２Ｂ ２１１Ｃ ４Ｄ －４９１１ 函数ｆ（ｘ）＝２ｓｉｎ（ｗｘ＋π３）（ｗ＞０）的图象在［０，１］上恰有两个最大值点，则ｗ的取值范围为Ａ ［２π，４π］Ｂ ［２π，９π２）Ｃ ［１３π６，２５π６）Ｄ ［２π，２５π６）１２ 过点Ｐ（２，－１）作抛物线ｘ２＝４ｙ的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，ＰＡ，ＰＢ分别交ｘ轴于Ｅ，Ｆ两点，Ｏ为坐标原点，则△ＰＥＦ与△ＯＡＢ的面积之比为Ａ 槡３２Ｂ 槡３３Ｃ １２Ｄ ３４二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分。
湖北省武汉市2019届高中毕业生四月调研测试数学理试题(解析版)
武汉市2019届高中毕业生四月调研测试试题理科数学一、选择题 1. 设复数满足121zi z+=-，则A.1355i + B.1355i - C.1355i -+ D.1355i --【难度系数】0.96 【答案】C【考点】复数的四则运算【解析】121zi z+=-化为：12(1)z z i +=-，即：12(1)z z i +=-， 即：12i z i -=+＝(1)(2)13555i i i --=-+2. 已知集合，，则A ∩B ＝A.B.C.D.【难度系数】0.96 【答案】B【考点】一元二次不等式解析，集合运算【解析】A ＝｛x|－1＜x ＜2｝，B ＝｛x|－3＜x ＜0｝，A ∩B ＝｛x|－1＜x ＜0｝ 3. 等比数列中，，，则数列前3项和A.13B.－13C.－51D.51 【难度系数】0.98 【答案】B【考点】等比数列通项公式、求和公式 【解析】3464a q =-=，所以，q ＝－4， S 3＝123a a a ++=－1+4－16＝－134. 某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A —结伴步行，B —自行乘车，C —家人接送，D —其他方式，并将收集到的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是A.30B.40C.42D.48【难度系数】0.99 【答案】A【考点】统计图形的应用【解析】设总人数为n ，则由C 的人数及百分比得：30n＝25%，所以，n ＝120， A 类人数：120－（42+30+18）＝305. 为了得到函数y ＝sin2x 的图象，可以将cos(2)6y x π=-的图象A.向右平移6π个单位长度B.向右平移3π个单位长度C.向左平移6π个单位长度D.向左平移3π个单位长度【难度系数】0.77 【答案】A【考点】三角函数图象变换，诱导公式【解析】因为y ＝sin2x ＝cos(2)2x π-＝cos(2)2x π-，将cos(2)6y x π=-向右平移6π得：cos[2()]cos(2)662y x x πππ=--=-，所以，选A 。
2024年湖北省武汉市高中毕业生四月调研考试(武汉四调)数学试卷(含答案详解)
武汉市2024届高中毕业班四月调研考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数2ii 1iz =++，则z =（）A ．1B CD2．已知集合{}{}22230,40,A xx x B x x x x =--<=-<∈Z ∣∣，则A B = （）A ．{}2,3,4B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}1,2,33．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A ．若,m αβ⊥ α，则m β⊥B ．若,m αβα⊥⊂，则m β⊥C ．若m ,n αα⊥，则m n⊥D ．若m n m ,⊥ α，则n α⊥4．()()5231x x --的展开式中3x 的系数为（）A ．－50B ．－10C ．10D ．505．记0.20.20.23,0.3,log 0.3a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．b c a>>C ．c b a>>D ．b a c >>6．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若8128,26S S ==，则4S =（）A ．1B ．2C ．3D ．47．点P 是边长为1的正六边形ABCDEF 边上的动点，则PA PB ⋅的最大值为（）A ．2B ．114C ．3D ．1348．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，其左右顶点分别为,A B ，过F 且与x 轴垂直的直线交双曲线E 于,M N 两点，设线段MF 的中点为P ，若直线BP 与直线AN 的交点在y 轴上，则双曲线E 的离心率为（）A ．2B ．3C D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
武汉市届高中毕业生四月调研测试数学理科试卷.docx
武汉市2016届高中毕业生四月调研测试数学理科试卷数 学（理科）2016.4.14一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知复数z ＝ii3223-+，则z 的共轭复数z = A ．1 B ．1- C ．i D ．i - (2) 已知条件1:≥x p ,条件11:<xq ，则p ⌝是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3) 已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+,0,062,0321x y x y y x 则y x z -=的最小值为A ．1B ．1-C ．3D ．3-(4) 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？” 现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=nA ．4B ．5C ．2D ．3 (5) 若等比数列{}n a 的各项均为正数，3221=+a a ，62234a a a =，则=4aA ．83B ．524C ．163D ．169(6) 将向量()1,1=OA 绕原点O 逆时针方向旋转 60得到OB ,则=OBA ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-231,231 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+231,231 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---231,231 D ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-231,231(7) 15211⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 的展开式中系数最大的项是A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项(8) 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A=｛两次的点数均为奇数｝，B=｛两次的点数之和为4｝，则P （B ∣A ）=A ．121 B ．41 C ．92 D ．32(9) 如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．38B ．34C ．328 D ．324(10) 如图三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是A ．72B ．144C ．240D ．288 (11) 函数()32211+++++++=x x x x x x x f 的对称中心为 A ．()6,4- B ．()3,2- C ．()3,4- D ．()6,2-(12) 已知椭圆134:22=+y x C 的右焦点为F ,不垂直于x 轴且不过F 点的直线l 与椭圆C 交于22222正视图 俯视图 侧视图N M ,两点，若MFN ∠的外角平分线与直线MN 交于点P ，则P 点的横坐标为 A ．32 B ．34C ．3D ．4 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
武汉市2024届高中毕业生四月质量检测数学参考答案及评分标准
武汉市2024届高中毕业生四月质量检测数学参考答案及
评分标准
由于无法获取具体的武汉市2024届高中毕业生四月质量检测数学参
考试题及答案及评分标准，以下是一些常见的数学题型和评分标准供参考：
1.选择题（每题2分，共计20分）
-每题有四个选项，选择正确选项得2分，选择错误选项得0分。
2.解答题（共计80分）
-解答题根据题型难度和涉及知识点确定分值。
-评分标准一般根据解题过程、答案全面性、答题格式和解题思路进
行评分。
3.计算题（根据题目难度和涉及知识点确定分值）
-评分标准一般根据计算过程、计算结果、答题格式和步骤的正确性
进行评分。
4.证明题（根据题目难度和涉及知识点确定分值）
-评分标准一般根据证明过程、证明思路、逻辑严谨性和答题格式进
行评分。
注意：以上只是一般的评分标准，具体的题目和答案还需以官方发布
的试卷为准。
2020届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学(理)试题(解析版)
2020届湖北省武汉市武昌区高三下学期四月调研测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2230A x x x =--<，{}2log 0B x x =>，则A B =I （ ） A ．{}12x x << B ．{}02x x <<C ．{}13x x <<D ．{}01x x <<【答案】C【解析】由题意分别计算出集合A 、B ，再由集合交集的概念即可得解. 【详解】由题意{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>， 则{}{}{}13113A B x x x x x x ⋂=-<<⋂>=<<. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式、对数不等式的求解，考查了集合的交集运算，属于基础题. 2．i 为虚数单位，复数()2121iz i -=+的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】B【解析】由复数的运算法则可得112z i =--，再由复数虚部的概念即可得解. 【详解】 由题意()()22121212112221i i ii z i i i i -⋅--====--+，所以复数z 的虚部为12-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a ≠，若533a a =，则59S S =（ ）A ．59B ．95C ．53D ．527【答案】D【解析】由等差数列前n 项和公式及等差数列的性质结合题意可得539559S a S a =，即可得解. 【详解】 由题意1553552a a S a +=⨯=，1995992a aS a +=⨯=，3513a a =，则5395551599327S a S a ==⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式及等差数列性质的应用，属于基础题.4．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()22xf x x a =+-，则()1f -=（ ）A ．3B ．3-C ．2-D ．1-【答案】B【解析】由题意结合奇函数的性质可得()010f a =-=，解出1a =后利用()()11f f -=-即可得解.【详解】Q 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()010f a =-=，∴1a =，又当0x >时，()221xf x x =+-，∴()()()112213f f -=-=-+-=-.故选：B. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用及指数的运算，考查了运算求解能力，属于基础题.5．已知实数,x y 满足220330240x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为（ ）A ．－7B ．－6C ．1D ．6【答案】A【解析】作出约束条件的可行域，根据目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】画出约束条件的可行域，如图（阴影部分）所示：由图可知向上平移直线30x y -=，到边界()2,3B 的位置时，z 取得最小值，此时2337z =-⨯=- 故选：A 【点睛】本题主要考查了线性规划问题，考查的核心素养是直观想象，属于基础题6．已知()5131x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为14，则实数a 的值为（ ） A ．1- B ．1C ．45D ．45-【答案】B【解析】由题意结合二项式定理可得二项式511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()5151rr r r T C x -+=⋅-⋅，分别令51r -=-、50r -=即可得3514a ⨯-=，即可得解.【详解】由题意二项式511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()55155111rr rr r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令51r -=-即4r =，()()4455115rrC C ⋅-=⋅-=，令50r -=即=5r ，()()5555111r r C C ⋅-=⋅-=-，所以()5131x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为3514a ⨯-=，解得1a =.故选：B. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.7．若2tan 3tan 7πα=，则3cos 142sin 7παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意结合诱导公式、三角恒等变换可得322cos sin coscos sin 1477222sin cos cos sin sin 777πππαααπππααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】由题意332cos sin sin 141427222sin sin sin 777ππππαααπππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222sin coscos sin tan tan 4tan 777722222sin cos cos sin tan tan 2tan7777ππππαααππππααα++====--. 故答案为：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数的商数关系、诱导公式及三角恒等变换的应用，属于中档题. 8．已知ln3a =，2b =，3log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】由对数的运算法则与对数函数的单调性可得3log 21ln 32<<，即可得解.【详解】由题意2lnb==Q8522563243=>=，∴8523>，∴8523>>，∴ln ln31>>，33log2log31c=<=，∴3log2ln32<即c a b<<.故选：B.【点睛】本题考查了对数运算法则和对数函数单调性的应用，属于基础题.9．已知直三棱柱111ABC A B C-的6个顶点都在球O的表面上，若1AB AC==，1AA=23BACπ∠=，则球O的体积为（）A．323πB．3πC．43πD．243π【答案】A【解析】设ABCV外接圆圆心为1O，半径为r，由正弦定理可得22r=，利用OA=.【详解】设ABCV外接圆圆心为1O，半径为r，连接1O O，如图，易得1O O⊥平面ABC，Q1AB AC==，1AA=23BACπ∠=，∴1221sin2ABrACB===∠即11O A=，1112O O AA==，∴2OA===，∴球O的体积343233V OAππ=⋅=.故选：A.【点睛】本题考查了直棱柱的几何特征及外接球体积的求解，考查了空间思维能力，属于中档题. 10．如图所示，在由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形中，设3DF FA =，则（ ）A ．36246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rB ．36126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．48246363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD ．48126363AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r【答案】D【解析】建立直角坐标系，设1AB =，33DF FA x ==，由余弦定理求得21BD x ==后，再由余弦定理得cos 221DAB ∠=，由同角三角函数的平方关系可得3sin 221DAB ∠=6237D ⎛ ⎝⎭，由672233μλμ⎧=+⎪⎪=. 【详解】如图建立直角坐标系，由题意易知AFC △≌BDA V ，则BD AF =，120ADB ∠=o ， 不妨设1AB =，33DF FA x ==，则4AD x =，BD x =，所以13,22AC⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，()1,0AB=u uu r，在ADB△中，由余弦定理可得2222cosAB AD BD AD BD ADB=+-⋅⋅∠，所以2221164x x x=++解得21BD x==，421AD x==，则222cos2AB AD BDDABAB AD+-∠=⋅即16112121cos42212121DAB+-∠==⨯⨯，所以2293sin1sin1221221DAB DAB⎛⎫∠=-∠=-=⎪⎝⎭，所以点()cos,sinD AD DAB AD DAB⋅∠⋅∠即623,7D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以623,7AD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，设AD AB ACλμ=+u u u r u u u r u u u r，则672233μλμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=，解得164821634122163λμ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩，所以48126363AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r.故选：D.【点睛】本题考查了余弦定理和平面向量的综合应用，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为双曲线C 的右支上一点，点M 和N 分别是12PF F △的重心和内心，且MN 与x 轴平行，若14PF a =，则双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．2C D【答案】A【解析】不妨设点()()000,0P x y y >，()1,0F c -，()2,0F c ，由题意00,33x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，则点N 到直线1PF 、2PF 、12F F 的距离均为3y ，点P 到12F F 的距离为0y ，利用三角形面积公式可得()0033y a c y c +=，再由ce a =即可得解.【详解】不妨设点()()000,0P x y y >，()1,0F c -，()2,0F c ，则122F F c =，Q 14PF a =，∴2422PF a a a =-=， Q 由点M 是12PF F △的重心，∴点00,33x c c y M +-⎛⎫⎪⎝⎭即00,33x y M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又MN 与x 轴平行，点N 是12PF F △的内心，∴点N 到直线1PF 、2PF 、12F F 的距离均为03y ，点P 到12F F 的距离为0y ， ∴()()1200112213233PF F y y S PF PF F F a c ++=⋅=+△， 又12100212PF F S F F y y c =⋅=△，∴()0033y a c y c +=，∴23a c =，∴32c e a ==.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线性质的应用和离心率的求解，考查了三角形内心、重心性质的应用，属于中档题.12．已知一个正方形的四个顶点都在函数()3912f x x x =-+的图像上，则此正方形的面积为（ ） A ．5或172B ．5或10C ．5或17D ．10或17【答案】D【解析】由题意可得正方形的中心为()0,1P ，设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k =-+，联立方程组可得2192x k =+，22192x k =-+，再由PA PB =可得2220k k +-=或2410k k +-=，最后利用22S PA =化简即可得解.【详解】设正方形ABCD ，31119,12A x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，32229,12B x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，33339,12C x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，34449,12D x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∴1324x x x x +=+，333311332244999911112222x x x x x x x x -++-+=-++-+， ∴()()()()2222131133242244x x x x x x x x x x x x +-+=+-+，又()()331313221133139922ACxx x x kx x x x x x ---==-+--，()()332424222244249922BD xx x x k x x x x x x ---==-+--，当13240x x x x +=+=时，3311339911222x x x x -++-+=， 又函数()3912f x x x =-+的图象可看做是由奇函数()392g x x x =-的图象向上平移一个单位所得，∴函数()3912f x x x =-+的图象的对称中心为()0,1， ∴正方形的中心为()0,1P ，符合题意；当13240x x x x +=+≠时，则222211332244x x x x x x x x -+=-+即可得1324x x x x =，此时AC BD k k =，不合题意；不妨设直线AC 的方程为()10y kx k =+>，则直线BD 的方程为11y x k=-+， 则31912y kx y x x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y 得392x x kx -=，由10x ≠可得2192x k =+， 同理可得22192x k =-+， ∴()()22222221111111PA x y x k x x k =+-=+=+，()2222222222221111PB x y x x x k k ⎛⎫⎛⎫=+-=+-⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由PA PB =可得()222122111x k x k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭即()2229191122k k k k k+⎛⎫⎛⎫++=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简可得2219102k k k k ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即2191202k k k k ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112k k -=-或14k k-=-即2220k k +-=或2410k k +-=， ∴正方形面积()()()()2222219221212912S PA x k k k k k ⎛⎫==+=++=++ ⎪⎝⎭，当2220k k +-=时，()()22236291172k k S k k --+=++==；当2410k k +-=时，()()()22291841810S k k kk =++=-++=；所以此正方形的面积为10或17. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图象与正方形对称性的应用，考查了运算能力和转化化归思想，属于中档题.二、填空题13．数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1143n n n a a -++=⨯，则2020S =______.【答案】20202020312S -=【解析】由题意结合分组求和法以及等比数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意得()()()()202012345620192020S a a a a a a a a =++++++⋅⋅⋅++()()202020200242018211331433334132⨯--=⨯+++⋅⋅⋅+=⨯=-. 故答案为：20202020312S -=. 【点睛】本题考查了分组求和法和等比数列前n 项和公式的应用，考查了计算能力，属于基础题. 14．有人收集了七月份的日平均气温t （摄氏度）与某次冷饮店日销售额y （百元）的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下：由资料可知，y 关于t 的线性回归方程是··1.2y t a =+，给出下列说法：①·32.4a =-；②日销售额y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关； ③当日平均气温为33摄氏度时，日销售额一定为7百元. 其中正确说法的序号是______. 【答案】①②【解析】由$ 1.2ay t =-计算后可判断①，由统计表可判断②，由线性回归方程的概念可判断③，即可得解.【详解】 由统计表可得3132333435335t ++++==，5678107.25++++==y ， 则$ 1.27.2 1.23332.4ay t =-=-⨯=-，故①正确； 由统计表可得日销售额y （百元）与日平均气温t （摄氏度）成正相关，故②正确； 由线性回归方程的概念可得当日平均气温为33摄氏度时，日销售额的预计值为1.23332.47.2y =⨯-=，故③错误.故答案为：①②. 【点睛】本题考查了线性相关关系及回归直线方程的应用，属于基础题. 15．已知F 是抛物线218y x =的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为()3,2-，则PF PA的最小值是______.【解析】由题意02PF y =+，PA =PF PA=，按照03x =、03x >、03x <分类讨论，结合基本不等式求得0032x y -+的最值即可得解. 【详解】 由题意218y x =可变为28x y =，其准线为2x =-， 设点()00,P x y ，则()0022PF y y =--=+，PA =所以PFPA==当03x =时，1PF PA=；当03x ≠时，()()0002200000833382521636238x x x x y x x x ---===++-+++-； 当03x >时，()0025366163x x -++≥=-，当且仅当002533x x -=-时，等号成立，此时0038102162x y -<≤=+，所以5PFPA≥=；当03x <时，()002536643x x -++≤-=--，当且仅当002533x x -=-时，等号成立，此时003202x y --≤<+， 所以5PFPA≥=； 综上所述，PFPA. . 【点睛】本题考查了抛物线性质及两点之间距离公式的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.16．已知0>ω，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是______. 【答案】33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦U U 【解析】由题意结合三角函数的性质可得24T πω=≤，()()13,42131413142x k k k ππππωπππωπππω⎧⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎡⎤++≥⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤+-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎩，整理后按照0k =、1k =、2k =、3k =分类讨论即可得解. 【详解】Q 函数()f x 的图像在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条对称轴，0>ω，∴函数()f x 的周期22T πππ≥-=，∴24Tπω=≤， 令()42x k k Z ππωπ-=+∈，则()134x k k Z ππω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， ∴()()()13,42131,413142x k k k Z k ππππωπππωπππω⎧⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎡⎤++≥∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤+-≤⎪⎢⎥⎣⎦⎩，整理得()()3243143142k k k ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，()k Z ∈，∴0k ≤≤3且k Z ∈，当0k =时，原不等式可化为3243143142ωωωω⎧<<⎪⎪⎪+≥⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3342ω<<；当1k =时，原不等式可化为()()3124311431142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，解得71144ω<≤；当2k =时，原不等式可化为()()3224321432142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，解得71524ω≤≤；当3k =时，原不等式可化为()()3324331433142ωωωω⎧<+<⎪⎪⎪++≥⎨⎪⎪+-≤⎪⎩，无解；综上所述，实数ω的取值范围是33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦U U .故答案为：33711715,,,424424⎛⎫⎛⎤⎡⎤⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦U U . 【点睛】本题考查了三角函数性质的应用，考查了运算求解能力和分类讨论思想，属于中档题.三、解答题17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A B a cC a b--=+.（1）求角B 的大小；（2）若6b =，且AC 边上的中线长为4，求ABC V 的面积.【答案】（1）3B π=（2 【解析】（1）由正弦定理得a b a cc a b--=+，化简后再利用余弦定理即可得解； （2）由余弦定理得22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD+-+-=-⋅⋅，化简可得2250a c +=，结合222a c b ac +-=即可得14ac =，利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）由正弦定理得a b a c c a b--=+，化简得222a c b ac +-=. 由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，由()0,B π∈可得3B π=；（2）设AC 的中点为D ，由余弦定理得222cos 2BD AD AB ADB BD AD +-∠=⋅，222cos 2BD CD BC BDC BD CD+-∠=⋅，由ADB BDC π∠+∠=可得cos cos ADB BDC ∠=-∠，即22222222BD AD AB BD CD BC BD AD BD CD +-+-=-⋅⋅即2222224343243243c a +-+-=-⨯⨯⨯⨯， 所以2250a c +=.又222a c b ac +-=，6b =，所以14ac =，所以11373sin 142222S ac B ==⨯⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，AD ∥BC ，122AB AD DC BC ====，PB AC ⊥.（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若4PA =，3PB =B PC D --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）24【解析】（1）由题意可得AB AC ⊥，结合PB AC ⊥利用线面垂直的判定即可得AC ⊥平面PAB ，再由面面垂直的判定即可得证；（2）过点D 作DE BC ⊥于E ，过E 作EF PC ⊥交PC 于F ，由题意可得PB ⊥平面ABCD ，进而可得平面PBC ⊥平面ABCD ，DFE ∠为所求二面角的平面角，求出37EF =、267DF =cos EF DEF DF ∠=即可得解.【详解】（1）证明：因为//AD BC ，122AB AD DC BC ====， 所以90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥，因为PB AC ⊥，PB AB B ⋂=，所以AC ⊥平面PAB ， 因为AC ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ； （2）因为4PA =，3PB =，2AB =，所以PB BA ⊥.由（1）知平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =， 所以PB ⊥平面ABCD ，由BC ⊂平面ABCD ，PB ⊂平面PBC ，所以PB BC ⊥，平面PBC ⊥平面ABCD . 过点D 作DE BC ⊥于E ，则DE ⊥平面PBC .过E 作EF PC ⊥交PC 于F ，则DF PC ⊥即DFE ∠为所求二面角的平面角， 在梯形ABCD 中，求得1EC =，223DE CD CE =-=， 在Rt PBC V中，223sin 7PB PBC PC PB BC∠===+，所以37EF EC =即37EF =， 在Rt DEF △中，22267DF DE EF =+=， 在Rt DEF △中，求得2cos EF DFE DF ∠==， 故二面角B PC D --的余弦值为24.【点睛】本题考查了面面垂直的判定及二面角的求解，考查了空间思维能力，属于中档题.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦,PA PB 分别与椭圆C 交于点,A B ，求点P 到直线AB 距离的最大值.【答案】（1）22163x y +=（2）23【解析】（1）由题意2241122a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩结合222a b c =+解出26a =，23b =后，即可得解；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程得122412km x x k -+=+，21222612m x x k-=+，由1PA PB k k ⋅=-化简可得()()212310k m k m +-++=，进而可得直线AB 方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由直线过定点21,33M ⎛⎫-⎪⎝⎭即可得点到直线距离的最大值为PM ；当直线AB 斜率不存在时，设其方程为x n =，求出n 后即可得点到直线的距离；即可得解.【详解】（1）由题意，得224112a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，结合222a b c =+，得26a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 代入椭圆方程，整理得()222124260kxkmx m +++-=，由>0∆得22630k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以121211122y y x x --⋅=---， 即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入整理得22483210k mk m m ++--=，即()()212310k m k m +-++=， 当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意； 所以2310k m ++=，此时满足>0∆， 则直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以当PM AB ⊥时，点P 到直线AB 的最大距离3d PM ===； 当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为xn =，由12x x n ==，12y y =-，代入()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-可得221144y n n -+=-+-，结合221163y n +=可得23n =或2n =（舍去）， 当23n =时，点P 到直线23x =的距离为43，综上，点P 到直线AB 的最大距离为3. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力，属于中档题.20．某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，居民用水原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了10户居民的月用水量（单位：吨），得到统计表如下：（1）若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过16吨时，超过12吨部分按5元/吨计算水费；若用水量超过16吨时，超过16吨部分按7元/吨计算水费.试计算：若某居民用水17吨，则应交水费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列与期望； （3）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到k 户月用水量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.【答案】（1）75元（2）见解析，910（3）6 【解析】（1）由题意直接计算1244517⨯+⨯+⨯即可得解；（2）由超几何分布的概率公式求得()0P ξ=、()1P ξ=、()2P ξ=、()3P ξ=，即可列出分布列，由期望公式计算即可求得期望，即可得解；（3）由二项分布的概率公式可得()10103255kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由题意列出不等式()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即可得解. 【详解】（1）若某居民用水17吨，则需交费124451775⨯+⨯+⨯=（元）；（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===.故ξ的分布列是所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知从全市中抽取10户，其中用电量为第一阶梯的户数X 满足3~10,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，于是为()10103255k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,210k =⋅⋅⋅，由()()10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+-++-----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩， 化简得11010110102332k k k k C C C C +-⎧≥⎨≥⎩，解得283355k ≤≤. 因为*k ∈N ，所以6k =. 【点睛】本题考查了二项分布和超几何分布的应用，考查了离散型随机变量分布列和期望的求解，属于中档题.21．已知函数()()ln f x e x x =-（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的零点，以及曲线()y f x =在其零点处的切线方程； （2）若方程()()0f x m m =≠有两个实数根12,x x ，求证：1211emx x e e -<---. 【答案】（1）零点为1,e ；()()11y e x =--；y x e =-+；（2）见解析.【解析】（1）由题意可得函数()f x 的零点为1，e ，求导后，求出()11f e '=-，()1f e '=-，再求出()()10f f e ==，利用点斜式即可求得切线方程；（2）利用导数证明()()()ln 11e x x e x -≤--、()ln e x x x e -≤-+，设()()()()3124g x f x f x h x m ====，由函数单调性可知13x x >、42x x >，利用1243x x x x -<-即可得证.【详解】（1）由()()ln 0f x e x x =-=，得1x =或x e =，所以函数()f x 的零点为1，e ， 因为()ln 1ef x x x'=--，所以()11f e '=-，()1f e '=-. 又因为()()10f f e ==，所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()11y e x =--， 在x e =处的切线方程为y x e =-+；（2）证明：因为函数()f x 的定义为()0,∞+，()ln 1ef x x x'=--， 令()()ln 10e p x x x x =-->，则()210ep x x x'=--<，所以()p x 即()f x '单调递减，由()110f e '=->，()10f e '=-<，所以存在()01,x e ∈，使得()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减； 不妨设102x x x <<，且11x ≠，2x e ≠，令()()()()110g x e x x =-->，()()0h x x e x =-+>， 记()()()()11ln m x e x e x x =----，则()ln em x x e x'=-+， 令()()ln 0e q x x e x x =-+>，则()210eq x x x'=+>， 所以()m x '单调递增，且()10m '=，故()m x 在()0,1单调递减，()m x 在()1,+∞单调递增， 所以()()10m x m ≥=，即()()()ln 11e x x e x -≤--； 记()()ln n x x e e x x =-+--，则()ln en x x x'=-， 所以()n x '单调递增，且()0n e '=，故()n x 在()0,e 单减，()m x 在(),e +∞单增. 则()()0n x n e ≥=，即()ln e x x x e -≤-+； 不妨设()()()()3124g x f x f x h x m ====，因为()()()113g x f x m g x >==，且()()()11g x e x =--为增函数，所以13x x >. 由()()()3311g x e x m =--=，得311mx e =+-； 同理42x x >，4x e m =-； 所以312411mx x x x e m e +=<<<=--. 所以12431111m em x x x x e m e e e ⎛⎫-<-=--+=-- ⎪--⎝⎭，所以1211emx x e e -<---. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了计算能力和推理能力，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为2cos 32sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ是参数），以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 和曲线2C 的普通方程；（2）曲线2C 与x 轴交点P ，与曲线C 交于点,A B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】（1）曲线1C 的普通方程()2234x y +-=，曲线2C 的普通方程4x y +=，（2）3【解析】（1）消去参数即可得曲线1C 的普通方程；变2C 的极坐标方程为sin cos 4ρθρθ+=，利用sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得曲线2C 的普通方程；（2）写出直线2C的参数方程可写为422x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=后，利用1111A BPA PB t t +=+即可得解. 【详解】（1）消去参数后可得曲线1C 的普通方程为()2234x y +-=；由sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin cos ρθθ= 即sin cos 4ρθρθ+=，由sin cos x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线2C 的曲线方程为4x y +=；（2）由题意可知点()4,0P ，则直线2C的参数方程可写为42x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入()2234x y +-=得2210t -+=，140∆=>，0A B t t +=>，210A B t t =>，所以111111213A B A B A B A B t t PA PB t t t t t t ++=+=+===【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程和直角坐标方程的转化，考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，属于中档题.23．（1）解不等式239x x -++≥；（2）若1a <，1b <，求证：1ab a b +>+. 【答案】（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）见解析.【解析】（1）按照3x ≤-、32x -<<、2x ≥分类讨论，分别解不等式即可得解； （2）两边同时平方后作差可得()()22221110ab a b a b +-+=-->，即可得证. 【详解】（1）当3x ≤-时，原不等式可转化为239x x ---≥解得5x ≤-； 当32x -<<时，原不等式可转化为239x x -++≥，不等式不成立； 当2x ≥时，原不等式可转化为239x x -++≥，解得4x ≥； 所以原不等式的解集为{5x x ≤-或}4x ≥；（2）证明：由题意()()2222111ab a b a b +-+=--， 因为1a <，1b <，所以210a -<，210b -<，所以()()22110a b -->，所以2210ab a b +-+>即221ab a b +>+， 所以1ab a b +>+. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式的求解与证明，考查了分类讨论思想和转化化归思想，属于中档题.。
湖北省武汉市2022届高三下学期四月调研数学试题附答案解析
湖北省武汉市2022届高三下学期四月调研数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数11iz =+，则z 的虚部为（ ）A ．1-B ．1C ．12-D ．122．已知ln 2 1.13e ,log 4,2a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b>>D ．c b a>>3．若椭圆2221(0)x y a a +=>a 的值为（ ）A B ．12C D 或124．如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为（ ）A B ．43C D ．835．设sin32k = ，则1tan16tan16+=（ ）A ．2kB ．1kC ．2kD ．k6．已知直线()100ax by ab +-=>过圆()()22122022x y -+-=的圆心，则11a b+的最小值为（ ）A ．3+B ．3-C ．6D ．97．定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=-，则下列是周期函数的是（ ）A ．()y f x x =-B ．()y f x x =+C ．()2y f x x=-D ．()2y f x x=+8．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X 的期望()E X 和方差()D X 存在但其分布末知的情况下，对事件“()X E X ε-…”的概率作出上限估计，其中ε为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：()()()(),P X E X f D X εε-……，其中()(),f D X ε是关于()D X 和ε的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定()(),f D X ε的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是（ ）A ．()2D X ε⋅B ．()21D X ε⋅C ．()2D X εD ．()2D X ε二、多选题9．已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的取值可以是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．在研究某种产品的零售价x （单位：元）与销售量y （单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：x 1214161820y1716141311利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为ˆˆ26.2y bx =+，则下列说法中正确的是（ ）A ．x 与y 的样本相关系数0r >B ．回归直线必过点()16,14.2C ．ˆ0b<D ．若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是9.7万件11．函数()()sin cos 0f x x a x a =+≠在一个周期内的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．12．数列{}n a 共有M 项（常数M 为大于5的正整数），对任意正整数k M …，有10k M k a a +-+=，且当2M n …时，12n n a =.记{}n a 的前n 项和为n S ，则下列说法中正确的有（ ）A ．若10231024n S …，则20M …B ．{}n a 中可能出现连续五项构成等差数列C ．对任意小于M 的正整数,p q ，存在正整数,i j ，使得i j p qa a S S +=-D ．对{}n a 中任意一项r a ，必存在(),s t a a s t ≠，使得,,r s t a a a 按照一定顺序排列可以构成等差数列三、填空题13．若平面向量()()1,1,2,a b m ==满足()a ab ⊥- ，则m =___________.14．若一个偶函数的值域为(]0,1，则这个函数的解析式可以是()f x =___________.15．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为___________.四、双空题16．三棱锥P ABC -的底面是以AC 为底边的等腰直角三角形，且AC =长均为3，点E 为棱PA 的中点，点Q 是线段CE 上的动点，则E 到平面ABC 的距离为___________；设Q 到平面PBC 的距离为1,d Q 到直线AB 的距离为2d ，则12d d +的最小值为___________.五、解答题17．公差不为零的等差数列{}n a 满足358a a a =，61a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ，求使n n S a <成立的最大正整数n .18．某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个.在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验.若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件.(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检测的次数为X ，求X 的分布列及期望.19．如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2O AB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC .(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.20．如图，ABC V 内一点P 满足,2PB PC AC BP ⊥==.(1)若AB PC ==，求sin ACP ∠的值；(2)若110AB ACP ∠==，求AP 的长.21．已知抛物线2:2(0)E y px p =>，点1,4Q m ⎛⎫⎪⎝⎭为E 上一点，且Q 到E 的准线的距离等于其到坐标原点O 的距离.(1)求E 的方程；(2)设AB 为圆22(2)4x y ++=的一条不垂直于y 轴的直径，分别延长,AO BO 交E 于,C D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值.22．定义在π,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的函数()()sin f x x k x =-.(1)当π6k =时，求曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积；(2)将()f x 的所有极值点按照从小到大的顺序排列构成数列{}n x ，若()()120f x f x +=，求k 的值.参考答案：1．C 【解析】【分析】先化简求出z ，即可得出答案.【详解】因为()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以z 的虚部为12-.故选：C.2．B 【解析】【分析】利用中间值结合单调性判断两数的大小．【详解】∵ln22e a ==，33log 4log 92b a =<==， 1.1122c a =>= ，∴c a b >>．故选：B 3．C 【解析】【分析】分21a >和21a <，利用离心率的定义求解.【详解】解：当21a >，即1a >时，则2221-=a a ，解得a =当21a <，即01a <<时，则2211-=a ，解得a =综上：a 故选：C 4．B 【解析】【分析】高为1，由体积公式计算可得答案.【详解】的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为142133⨯=.故选：B.5．A 【解析】【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：1sin16cos16tan16tan16cos16sin16︒︒=+︒︒︒+︒22sin 16cos 16sin16cos16︒+︒︒⋅︒=11sin 322=︒2k=.故选：A.6．A 【解析】【分析】由圆的方程确定圆心，代入直线方程可得21a b +=，由()11112a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心()1,2；直线()100ax by ab +-=>过圆的圆心，()210a b ab ∴+=>；()111122333a b a b a b a b b a ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭（当且仅当2a b b a =，即a =时取等号），11a b ∴+的最小值为3+故选：A.7．D 【解析】【分析】根据已知条件进行化简，结合周期函数的知识确定正确选项.【详解】依题意，定义在R 上的函数()f x 满足()()12f x f x +=-，所以()()()1212f x x f x x +++=+，所以()2y f x x =+是周期为1的周期函数.故选：D 8．D 【解析】【分析】由题知()()()()22P X E X P X E X εε-=-……，计算可得结果.【详解】切比雪夫不等式的形式为：()()()(),P X E X f D X εε-……，由题知()()()()()()()22222E X E X D X P X E X P X E X εεεε--=-≤=……，则()(),f D X ε的具体形式为()2D X ε.故选：D.9．AB 【解析】【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B = ，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB 10．BCD 【解析】【分析】对于A ，根据相关系数的公式的特点即可求解；对于B ，C ，根据已知条件，求出变量x 与y 的均值，再利用线性回归直线方程过样本中心，即可得出回归方程，进而可以求解；对于D ，将22x =代入该线性回归方程中即可求解.【详解】由表中数据可知1214161820801655x ++++===，17161413117114.255y ++++===，对于A，根据相关性系数的公式为r =，故相关系数的正负取决分子51()()iii x x y y =--∑()()()()()4 2.82 1.800.22 1.24 3.2300=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=-<故A 不正确；对于B,C ，由变量x 与y 的均值，得样本点的中心为()16,14.2，所以样本点的中心()16,14.2必过线性回归方程，故B 正确；将()16,14.2代入ˆˆ26.2ybx =+中，得ˆ1626.14.22b =⨯+，解得ˆ0.75b =-，所以ˆ0.750b=-<，故C 正确；因为ˆ0.75b=-，所以回归直线方程为ˆ0.7526.2y x =-+，当22x =时，ˆ0.752226.216.526.29.7y=-⨯+=-+=，所以该产品的零售价定为22元，可预测销售量是9.7万件，故D 正确.故选：BCD.11．AC 【解析】【分析】由函数()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x ，利用平移变换判断.【详解】函数()()sin cos ϕ=+=+f x x a x x ，其中tan a ϕ=，因为0a ≠，所以,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，即2πϕ<，又函数()f x是由i n =y x 向左或向右平移ϕ个单位得到的，AC 符合题意，故选：AC 12．BCD 【解析】【分析】根据题中的条件可得数列{}n a 具有对称性，故通过对称性及根据对称性举例来判断选项即可.【详解】对于A ，根据条件可知，数列{}n a 具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0.下面对M 讨论.当M 为偶数（数列{}n a 各个数非零），2max 2111221023()1102412Mn MS S ⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==≤-，得102111210242M⎛⎫⎛⎫≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以20M ≤.当M 为奇数（数列{}n a 120M a +=），12max 112211023()121024M n M M S S S -+-⎛⎫===-≤⎪⎝⎭，解得21M ≤，故A 错误；对于B ，显然满足，如1111,,0,,2442--，故B 正确；对于C ，通过数列具有对称性知，对任意小于M 的正整数,p q 有，p q S S -的值是该数列中的一项或两项，当值为一项时，因为任意小于M 正整数,p q ，故该项必定为中间项，数列12n na =刚好具备相邻两项差为该数列的某一项；如果为两项，显然直接找出其两项即可，故C 正确；对于D ，考虑到数列11111111,,,,,,,2481616842---- ，满足112111122222n n n n +++-==⋅，当2M n ≤时，22n m n n a a a -++=；当2Mn >时，由对称性，也成立，例：1111248816⎛⎫-+=-=⨯- ⎪⎝⎭.故选：BCD 【关键点点睛】解决本题的关键一是对称性的运用，二是通过举例来判断选项，三是分类讨论思想的运用.13．0【解析】【分析】由题意得()0-⋅=a b a ，代入坐标进行计算即可．【详解】∵()a ab ⊥- ，∴()0-⋅=a b a ，又()()1,1,2,a b m ==，()1,1-=-- a b m ，∴110m -+-=，即0m =，故答案为：0．14．2x -（答案不唯一，其它正确答案同样给分）【解析】【分析】取()2x f x -=，验证函数为偶函数且值域为(]0,1即可.【详解】取()2x f x -=，函数的定义域为(),-∞+∞且关于原点对称，()22()xxf x f x ----===，所以函数()2xf x -=为偶函数.00,0,0221xx x -≥∴-≤∴<≤= ，即01y <≤所以函数()2x f x -=的值域为(]0,1.故答案为：2x -（答案不唯一，其它正确答案同样给分）.15【解析】【分析】以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由题意求出a c 、可得答案.【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由题意知220==CD a ，所以20a =，()25,A m，()70-+F m ，所以()22222225120701⎧-=⎪⎪-=m b m b ，解得4030=⎧⎨=⎩b m ，所以22216004002000=+=+=c a b ，所以e ===c a .16．【解析】【分析】取AC 中点O ，连接,PO BO ，通过得出PO ⊥平面ABC 可求出E 到平面ABC 的距离，以O为原点建立空间直角坐标系设()01CQ CE λλ=≤≤，利用向量关系表示出12d d +，求导可求出最小值.【详解】取AC 中点O ，连接,PO BO ，因为3PA PC ==，AC =PO AC ⊥，且PO ==因为ABC V 是等腰直角三角形，所以BO AC ⊥，且BO =又3PB =，满足222PB PO BO =+，所以PO BO ⊥，因为AC BO O ⋂=，所以PO ⊥平面ABC ，因为点E 为棱PA 的中点，所以E 到平面ABC的距离为12PO =如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，设()01CQ CE λλ=≤≤,则()(()),0,,,0,,C E P A B ⎛ ⎝，则(),,,0,PB PC AB CE ⎛==== ⎝，设()01CQ CE λλ=≤≤，则可得0,CQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则0,Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则AQ ⎛⎫=-⎪⎝⎭ ，所以cos AQ AB QAB AQ AB ⋅∠==⋅所以sin QAB ∠=所以2sin d AQ QAB =⋅∠=设平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则00n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0-=-=，令x =n = ，则1CQ n d n⋅== ，所以()12,01d d fλλ+==+≤≤，所以()f λ'=+，令()0f λ'=，解得25λ=，又()0f λ''=>，所以()f λ'在[]0,1单调递增，所以当20,5λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f λ'<，()0f λ=单调递减，当2,15λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f λ'>，()0f λ=单调递增，所以()min 25ff λ⎛⎫== ⎪⎝⎭12d d+..17．(1)211n an =-(2)10n =【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为()0d d ≠，利用等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，由此可得n a ；（2）由等差数列求和公式可求得n S ，由n n S a <可构造不等式组求得n 的范围，由此可得结果.(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由35861a a a a =⎧⎨=⎩得：()()111124751a d a d a d a d ⎧+=++⎨+=⎩，解得：192a d =-⎧⎨=⎩，()921211n a n n ∴=-+-=-.(2)由（1）得：()29211102n n n S n n -+-==-，若n n S a <，210211n n n ∴-<-，即()()212111110n n n n -+=--<，解得：111n <<；n n S a ∴<成立的最大正整数10n =.18．(1)710；(2)分布列答案见解析，数学期望：10945.【解析】【分析】（1）依题意，利用古典概型的公式计算求解；（2）利用概率的乘法计算每一个随机变量取值的概率，再求数学期望.(1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A .则()39310710C P A C ==；(2)X 可能取值为1,2,3，则()211105P X ===；()828210945P X ==⨯=，()873.1095284P X ==⨯=故X 的分布列是X123P158452845故()18281091235454545E X =⨯+⨯+⨯=19．(1)证明见解析【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.(1)取AC 中点M ，由题意，11,2PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O .由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .(2)以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：())()()1,,,2,0,0,2A BC P O ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，故)12.AO =设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而(),2BC CP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故020n BC n CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =，得).n = 设所求角的大小为θ，则1sin cos ,AO θ= .所以直线1AO 与平面PBC20．【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出BC ，再利用余弦定理求出cos ACB ∠ ，利用同角三角函数基本关系式求出sin ACB ∠，最后利用两角差的正弦公式计算即可（2）设AP x = ，在APB △与APC △采用余弦定理与正弦定理，然后利用APB ∠与APC ∠的关系列出关于x 的方程，解出x 即可(1)BC ==cos PC BP PCB PCB BC BC ∠∠=====在ABC V 中，222cos 2AC BC AB ACB AC BC ∠+-==⋅又sin 0ACB ∠>，故sin ACB ∠==所以()sin sin sin cos cos sin ACP ACB PCB ACB PCB ACB PCB∠∠∠∠∠∠∠=-=-==(2)设(0)AP x x =>，在APB △中，22221cos 24AP BP AB x APB AP BP x∠+--==⋅.在APC △中，sin sin AP AC ACP APC ∠∠=，代入得：1sin 5APC x ∠=.又32APB APC π∠∠+=，故3cos cos sin 2APB APC APC π∠∠∠⎛⎫=-=-⎪⎝⎭.即21145x x x -=-，解得：x AP =21．(1)22y x =(2)16【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义可知，QO QF =，即可列式求p ；（2）首先设直线AC 的方程为：y kx =，分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点,A C 的坐标，利用弦长公式求AC ，再利用AC BD ⊥，求BD ，最后表示四边形的面积12S AC BD =⨯⨯，再通过换元，利用导数求函数的最值.(1)设抛物线焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意QO QF =，故1224p =⨯，解得：1p =.故抛物线的标准方程为22y x =.(2)由题意，直线AC 斜率存在且不为0，设直线AC 的方程为：y kx =，设点()()1122,,,A x y C x y ，()2224y kx x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩，联立得：()22140k x x ++=，由10x ≠，得124.1x k -=+22y kx y x=⎧⎨=⎩，联立得：2220k x x -=，由20x ≠，得222.x k=1AC x =-=因为AC BD ⊥，用1k -代替k，得BD ==故四边形ABDC 面积()()()22222662023131121k k k k S AC BD k k k k++++=⋅==++.令()216882,6t k t t S t k t t++=≥==+.设函数()()()222886862,60t f t t t f t t t t-=+≥=-=>'，故()f t 单调递增.故当2t =，即1k =时，S 取到最小值16，所以四边形ABCD 面积的最小值是16.22．(1)2π144(2)π2【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及点斜式，再结合三角形的面积公式即可求解；（2）根据已知条件及正切函数的性质，利用导数法求函数的极值及函数存在性定理，再根据零点范围及三角函数相等的角的关系即可求解.(1)当π6k =时，()()ππsin ,sin cos 66f x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎝⎭'⎭，故ππ1sin 662f ⎛⎫== ⎪'⎝⎭.曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线的斜率为π162k f ⎛⎫== ⎪⎝⎭'，曲线()y f x =在点π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为1π26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π0,12x y ==-.所以切线与y 轴的交点π0,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.此时所求三角形的面积为21πππ2126144⨯-⨯=.(2)()()sin cos f x x x k x=+-'当ππ22x -<<时，()()cos tan f x x x x k =⋅+-'.由函数tan y x x =+在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，且值域为R ，故存在唯一0ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得00tan x x k +=.此时当0π2x x -<<时，()()0,f x f x '<单调递减；当0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增，因此10x x =.同理，存在唯一'0π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得''00tan x x k +=.此时当'0π2x x <<时，()()0,f x f x '>单调递增；当'03π2x x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，因此'20x x =.由()()211111111sin 10,tan ,cos cos cos x f x x k x f x x x x =-=-=-=-'.同理：()222222sin 1cos cos cos x f x x x x =-=-.由()()120f x f x +=，整理得：()12121cos cos 10cos cos x x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.又12ππ3π222x x -<<<<，故12cos cos 1x x ≠，则有()122cos cos cos πx x x =-=-由2πππ22x -<-<，故12πx x =-或()12πx x =--.又1122tan tan k x x x x =+=+，当12πx x =-时，不满足，舍去.所以()12πx x =--，即12πx x +=，则1122tan tan π22x x x x k +++==.综上所述，π2k =.【点睛】解决此题的关键，第一问根据导数的几何意义及三角形的面积公式即可；第二问利用导数法求函数的极值的步骤，但此时无法解决导数函数的零点，只能通过函数零点存在性定理得出，再结合已知条件及零点范围及三角函数相等角的关系即可.答案第16页，共16页。
湖北省武汉市高中数学毕业生四月调研测试理科试题
武汉市2009届高中毕业生四月调研测试理科数学试卷武汉市教育科学研究院命制 2009.4.16本试卷共150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷的答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡上.答在试题卷上无效.3.考试结束，监考人员将本试题和答题卡一并收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C P P -=- 球的表面积公式24S R π=其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(12)12i z i +=+，则z =（ ）A ．3455i + B ．3455i -+ C ．3455i -- D ．3455i - 2．已知点(3,4),(6,3)A B --到直线:10l ax y ++=的距离相等，则实数a 的值等于（ ） A ．79 B ．13- C ．7193--或 D ．7193或 3．轮船A 和轮船B 在中午12时离开海港C ，两艘轮船航行方向的夹角为120︒，轮船A 的航行速度是25海里/小时，轮船B 航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（ ）A ．35海里B ．C ．海里D ．70海里 4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的1份为（ ） A ．53 B ．103 C ．56 D ．1165．下列说法正确的是（ ）A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小 6．已知,,a b c 为三条不同的直线，且a ⊂平面M ，b ⊂平面N ，M N c =（1）若a 与b 是平行两直线，则c 至少与a,b 中的一条相交； （2）若//,//a b a c 则；（3）若a 不垂直于c ，则a 与b 一定不垂直； （4）若,a b a c ⊥⊥,则必有M N ⊥.其中正确的命题个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．在实数范围内，条件:,(0,1)p a b ∈且1a b +=是条件222:()q ax by ax by +≥+成立的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不是充分又不是必要条件8．从星期一到星期六安排甲、乙、丙三人值班，每人值2天班，如果甲不安排在星期一，乙不安排在星期六，那么值班方案种数为（ ）A ．42B ．30C ．72D ．609．若函数()'()()y f x f x f x =>满足，则当0,()(0)a a f a e f >时与之间大小关系为（ ） A ．()(0)a f a e f < B ．()(0)a f a e f >C ．()(0)a f a e f =D ．与()f x 或a 有关，不能确定10．已知圆Γ：22(4)(3)25x y -+-=，过圆Γ内定点P （2，1）作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ） A ．21 B． C ．212D ．42 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上. 11．在2421(21)(1)x x -+的展开式中，常数项为 . 12．已知区域D 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么区域D 内离坐标原点O 距离最远的点P 的坐标为 .13．在ABC ∆中，||3,||4,||5AB AC BC ===，O 为ABC ∆的内心，且,AO AB BC λμ=+则λμ+= .14．已知ABC ∆内接于椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，且ABC ∆的重心G 落在坐标原点O ，则ABC ∆的面积等于 .15．函数()f x =的值域为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数2()2f x x cox x m ++，其定义域为[0,]2π，最大值为6.（1）求常数m 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间.17．（本小题满分12分）袋中装有若干个质地均匀大小一致的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍.每次从袋中摸出一个球然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束.（1）求摸球3次就停止的事件发生的概率；（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB=1，BC=2，，E 为边BC 上异于B 、C 的点，且PE ⊥ED. （1）求EC 的长；（2）求二面角E-PD-A 的大小.19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的两个焦点分别为12F F 和，且点(A B 在椭圆C 上，又1(F . （1）求焦点F 2的轨迹Γ的方程；（2）若直线(0)y kx b k =+>与曲线Γ交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆经过原点，求实数b 的取值范围.20．（本小题满分13分） 已知函数2()2ln f x x x =-（1）若方程1()0[,]f x m e e+=在内有两个不等的实根，求实数m 的取值范围；（e 为自然对数的底数）（2）如果函数()()g x f x ax =-的图象与x 轴交于两点1(,0)A x 、2(,0)B x 且120x x <<.求证：12'()0g px qx +<（其中正常数,1,p q p q q p +=≥满足且）.21．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足：112312,(3,*)n n n n k a a a a a k a n n N a -+-+====≥∈其中0k >，数列{}n b 满足：21(1,2,3,4,)n n n n a a b n a +++==（1）求1234b b b b 、、、；（2）求数列{}n b的通项公式；（3）是否存在正数k，使得数列{}n a的每一项均为整数，如果不存在，说明理由，如果存在，求出所有的k.武汉市2009届高中毕业生四月调研测试理科数学试题参考答案及评分细则武汉市教育科学研究院命制 2009.4.16 一、选择题 1．B2．C3．D4．A5．B6．C7．A8．A9．B10．D二、填空题11．712．（2，3）13．5614 15．(,0)-∞三、解答题16．解：（1）由2()22cos f x x x m ++2cos21x x m =+++ 2sin(2)16x m π=+++由02x π≤≤知：72666x πππ≤+≤，于是可知()3f x m ≤+ 36m ∴+=得3m =.………………………………………………………（6分）（2）由()2sin(2)46f x x π=++及72666x πππ≤+≤而()f x 在2262x πππ-≤+≤上单调递增 可知x 满足：2662x πππ≤+≤时()f x 单调递增06x π∴≤≤于是()f x 在定义域0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………………（12分） 17．解：（1）摸球3次就停止，说明前三次分别都摸到了红球，则311()327p ==……………………………………………………………（5分） （2）随机变量ξ的取值为0，1，2，3.则055132(0)(1)3243p C ξ==⨯-=，1451180(1)(1)33243p C ξ==⨯⨯-=22351180(2)()(1)33243p C ξ==⨯⨯-=，332222233411111117(3)(1)()(1)()(1)333333381p C C C ξξ==⨯-+⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯=.随机变量ξ的分布列是3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………（12分） 18．解：（1）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，则PA DE ⊥若PE ED ⊥，则DE 和面PAE 内相交的两直线均垂直 DE ∴⊥面PAE ，故DE AE ∴⊥.在底面的平行四边形ABCD 中，令BE x =在ABC ∆中，90,1,2,60BAC AB BC ABC ∠=︒==∠=︒则. 于是2222121cos601AE x x x x =+-⋅⋅⋅︒=+- 在Rt AED ∆中，由222AD AE DE =+可知：222(1)(2)1(2)4x x x x +-+-++-=求得1x =或2x =依题意1x =，于是有1EC =.……………………………………………（6分） （2）过点E 作,EM AD M M MN PD N ⊥⊥于过作于，连结ENPA ABCD ⊥面. PAD ABCD ∴⊥面面又EM AD ⊥，面PAD ABCD AD =面 EM ∴⊥面PAD由三垂线定理知：ENM ∠为所求二面角的平面角过点C CQ AD Q ⊥作于易知1sin 602EM CQ ==⨯︒=11cos 602DQ =⨯︒=13122DM ∴=+= 又sin PA MNPDA PD MD∠==3PA DM MN PD ⋅∴=== 在Rt EMN ∆中MN EM ==45ENM ∴∠=︒故所求二面角的大小为45︒.………………………………………………（12分）19．解：（1）1212AF AF BF BF +=+2211642AF BF BF AF ∴-=-=-=故轨迹F 为以A 、B 为焦点的双曲线的右支.设其方程为：22221(0,0,0)x y a b x a b-=>>>22222,1,4a a b c a =∴==-=.故轨迹方程为221(0)4y x x -=>.…………………………………………（6分） （2）由221(0)4y x x y y kx b ⎧-=>⎪⎨⎪=+⎩消去整理得 方程222(4)2(4)0k x kbx b ---+=有两个正根12,x x .2222221212244(4)(4)0 (1)40 (2)420 (3)4k b k b b x x k kb x x k ⎧∆=+-+>⎪⎪+⎪∴=>⎨-⎪-⎪+=>⎪-⎩设1122(,),(,)M x y N x y ，由条件知12120x x y y +=.而2212121212()()()y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++221212(1)()0k x x kb x x b ∴++++= 即2222222(1)(4)2044k b k b b k k ++-+=-- 整理得2234(1)b k =+，即224(1) (4)3b k =+ 由（1）知2240b k -+>，即224(1)403k k +-+>显然成立. 由（2）、（3）知240k kb ⎧>⎨<⎩ 而0,0k b >∴<.224420(1)(41)333b k ∴=+>+=3b ∴<=-. 故b的取值范围为,⎛-∞ ⎝⎭……………………（13分） 20．解：（1）由2()2ln f x x x =-， 求导数得到：22(1)(1)()2x x f x x x x-+'=-= 1x e e≤≤，故()0f x '=在1x =有唯一的极值点2211()2,()2,()(1)1f f e e f x fe e=--=-==-极大值，且知1()()f e fe<故1(),m f x ee⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦在上有两个不等实根需满足：2121me--≤-<-故所求m的取值范围为211,2e⎛⎤+⎥⎝⎦.………………………………………（6分）（2）2(),g x x ax'=--又()0f x ax-=有两个实根12,x x则211122222ln02ln0x x axx x ax⎧--=⎪⎨--=⎪⎩两式相减得到：121212122(ln ln)()(0,0)x xa x x x xx x-=-+>>-且于是12()g px qx'+12121212122(ln ln)22()()x xpx qx x xpx qx x x⎡⎤-=-+--+⎢⎥+-⎣⎦122112122(ln ln)2(21)()x xp x xpx qx x x-=-+--+-2121,0q x x≥>>且，故21(21)()0p x x--≤要证：12()0g px qx'+<，只需证：1212212(ln ln)2x xpx qx x x-+<+-只需证：211122ln0(*)x x xpx qx x-+<+令12xtx=，则01t<<只需证明：1()ln0tu t tpt q-=+>+在01t<<上恒成立.又11,,2p q q+=≥则221,1q qp p≥≥从而于是由1t<可知22qtp<.故知()0u t'>∴()(0,1)u t t∈在上为增函数，则()(1)0u t u<=从而可知121212ln0x x xx px qx-+<+，即（*）式成立，从而原不等式得证.…………………………………………………………………………（13分）21．解：（1）经过计算可知：451,2,a k a k=+=+4563(1)(2)24k a a k k ka ka k k++++===++.求得1324212,kb b b bk+====.…………………………………………（4分）（2）由条件可知：121n n n na a k a a+--=+.…………①类似地有：211n n n na a k a a+-+=+.…………②①-②有：122111n n n n n n n na a a a a a a a+-+--+-=-.即：121121n n n n n n n na a a a a a a a+-+-+-+=+.因此：2211n n n nn na a a aa a+-+-++=即：2,n nb b-=故132123122n na ab b ba--+=====242222321n na a kb b ba k-++=====所以：41(1)(*)22nnkb n Nk k+-=+∈.…………………………………………（8分）（3）假设存在正数k，使得数列{}n a的每一项均为整数.则由（2）可知：21221222122(1,2,3,)21n n n n n n a a a n k a a a k +-++=-⎧⎪=⎨+=-⎪⎩…………③ 由1a k Z =∈，及624a k Z k=++∈可知12k =或. 当1k =时，213k k+=为整数，利用123,,a a a Z ∈，结合③式，反复递推，可知4a ，5a ，6a ，7a ，…均为整数.当2k =时，③变为21221222122(1,2,3)52n n n n n n a a a n a a a +-++=-⎧⎪=⎨=-⎪⎩………④ 我们用数学归纳法证明21n a -为偶数，2n a 为整数(1,2,3,)n = 1n =时，结论显然成立，假设n k =时结论成立，这时21n a -为偶数，2n a 为整数，故212212n n n a a a +-=-为偶数，222152n n n a a a ++=-为整数，所以1n k =+时，命题成立.故数列{}n a 是整数列.综上所述，k 的取值集合是{}1,2.………………………………………（13分）。
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武汉市高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数52i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i -+ C ．2i -- D ．2i -2.已知集合2{|1}M x x ==，{|1}N x ax ==，若N M ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{1}B ．{1,1}-C ．{1,0}D ．{1,1,0}-3.执行如图所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于（ ）A ．[4,2]-B ．[2,2]-C ．[2,4]-D ．[4,0]-4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（ ）A B C ．D ．5.一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09 中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（ ） A ．25 B ．310 C ．15 D ．1106.若实数a ，b 满足1a b >>，log (log )a a m b =，2(log )a n b =，2log a l b =，则m ，n ，l 的大小关系为（ ）A ．m l n >>B ．l n m >>C ．n l m >>D ．l m n >>7.已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．(D ．8.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，条件p ：2b c a +≤，条件q ：2B CA +≤，那么条件p 是条件q 成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9.在61(1)x x+-的展开式中，含5x 项的系数为（ ） A ．6 B ．6- C ．24 D ．24- 10.若x ，y 满足1212x y -++≤，则2222M x y x =+-的最小值为（ ） A ．2- B ．211 C ．4 D ．49- 11.函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为（ ） A ．[2,4]ππ B ．9[2,)2ππ C ．1325[,)66ππ D ．25[2,)6ππ 12.过点(2,1)P -作抛物线24x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于E ，F 两点，O 为坐标原点，则PEF ∆与OAB ∆的面积之比为（ ）A ．2 B ．3C ．12D ．34二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα= ．14.已知向量a ，b ，c 满足20a b c ++= ，且1a = ，3b = ，2c =，则22a b a c b c ⋅+⋅+⋅= ．15.已知(,)22x ππ∈-，()1y f x =-为奇函数，'()()tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为 ．16.在四面体ABCD 中，1AD DB AC CB ====，则四面体体积最大时，它的外接球半径R = ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知正数数列{}n a 满足：12a =，11212n n n n n a a a a ---+=+-(2)n ≥.（1）求2a ，3a ；（2）设数列{}n b 满足22(1)n n b a n =--，证明：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项n a .18.如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别在棱AB ，CD 上，且1AE CF ==.（1）已知M 为棱1DD 上一点，且11D M =，求证：1B M ⊥平面11A EC .（2）求直线1FC 与平面11A EC 所成角的正弦值.19.已知椭圆Γ：22142x y+=，过点(1,1)P作倾斜角互补的两条不同直线1l，2l，设1l与椭圆Γ交于A、B两点，2l与椭圆Γ交于C，D两点.（1）若(1,1)P为线段AB的中点，求直线AB的方程；（2）记ABCDλ=，求λ的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =14.31=；②2(,)z N μσ ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=； ③40.84130.501=.21.已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，a R ∈. （1）当a e =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值.23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+.（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.理科数学答案解析1、B 解析：55(2)1052,2(2)(2)52其共轭复数为i i i i i i i++===----+--+ 2、D 解析：2{|1}{1,1},0,,;110,,,11,11;{1,1,0}当时满足当时因为可得或解得或所以实数的取值集合是M x x a N N M a N N M a aa a ===-==∅⊆⎧⎫≠=⊆=-⎨⎬⎩⎭=-- 3、A 解析：32,03,020,2[40);分段函数当时，t t S t t t t S t <⎧=⎨-⎩-≤<=∈-≥3202,3,()333(1)(1)当时则t S t t S t t t t ≤≤=-'=-=+-[0,1),()0,(),(1,2],()0,(),(0)0,(1)2,(2)2,()[2,2]当时递减当时递增又t S t S t t S t S t S S S S t '∈<'∈>==-=∴∈-,[4,2]综上输出的S ∈-4、B解析：如下图所示，1任意两顶点之间距离的最大值为A D ==5、C 解析：1911101095所求概率为P=+⨯=6、B 解析：4442224411 4,2,log(log2)log,2211(log2),log21,24不妨取则所以a b mn l l n m =====-⎛⎫=====>>⎪⎝⎭7、D解析：222222212212214,(1)250,10420(1)02,1151将代入得：根据题意可得解得y kx x y k x kxkk kk kx xkx xk=--=-+-=⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪<<⎨+=>-⎪⎪=>⎪-⎩8、A 解析：222222222,cos222332621,0,8823若则则b cb cb c b c aa Abc bcb c bc bc bcAbc bcπ+⎛⎫+- ⎪++-⎝⎭=+--⎛⎤==∈ ⎥⎝⎦≤≥≥,,,,223,,,,2,1,326.2反过来若即可得举例说明如此时不满足B C AA A AA B C a b cb caπππππ+-======+≤≤≤≤9、B 解析：5551561(1)6展开式中含的项为x C x xx⎛⎫⋅⋅-=-⎪⎝⎭10、D解析：(,,112,,1,,(1,0),23,,1,设则满足在平面直角坐标系中作可行域为如图所示的菱形其中y x t xxOt ABCDA BCD=-++=⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎛⎝⎭22011(,),022.而表示可行域内的动点与之间距离的平方x t P x t P⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭002:101,61114221829显然的最小值为点到直线的距离所以的最小值为P P P AB x d M d --==-=-=-11、C 解析：0,;,;33326513925,;,.326326当时令得令得令得x x x x x x x x πππππωωωππππππωωωω=+=+==+==+==()[0,1],13113256,256616因为的图象在上恰有两个最大值点所以解得f x πππωωπω⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩≤≤12、C 解析：2222,,4,,,442,()242设切点为由得切线斜率切线方程为①t x x t x y y y t t tk y x t ⎛⎫'=== ⎪⎝⎭=-=-(212(2,1),440,2223,将代入①整理得解得所以P t t t t A ---==-=+--1(2(22△OABS =-+-+-=,0,,2(1(111122△在方程①中令得所以所以PEF P t y x E F EF S EF y ==+==⋅⋅=⨯= 1.2所以△与△的面积之比为PEF OAB13、25 解析：222sin 2cos ,tan 2,sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15由得所以ααααααααααα=====++14、-13 解析：,,,2222341213由题可知向量与方向相同且向量与向量方向相反所以a b a b c a b a c b c a b a c b c ⋅+⋅+⋅=⋅-⋅-⋅=--=-15、(0,)2π 解析：2(,),cos 0,()cos 22()()1,(),cos cos ()cos ()sin ()()tan ()0cos cos 因为所以则不等式等价于设则x x f x x f x f x g x x xf x x f x x f x f x xg x x xππ∈->>>=''++'==> ()(),()1cos (0),(0)10,(0)1,(0)1cos 0()1()(0),0,()cos 0,2所以是一个单调递增函数因为是奇函数所以即所以所以即所以所以的解集为f x g x y f x xf f fg g x g x g x f x x π==--====>>>⎛⎫> ⎪⎝⎭16解析：,,,,,,,,如下图易知△≌△取中点连接设则当平面平面时四面体的体积最大ACD BCD CD E BE AE BE AE a ACD BCD ==⊥1313△△BCD A BCD BCD S a V S AEa -==⋅==463532(),()462(23),()0,,30,()0,(),1,()0,(),,(),,3设则令得当单调递增时单调递减所以当取得最大值即取得最大值此时A BCD f a a a f a a a a a f a a a f a f a a f a f a a f a V AE CE -'=-=-=-'=='<<>'<<<===22222222222222,,,,,,,1,,3设△的外心为则在线段上连接设△的外接圆半径为在△中因为所以解得则ACD O O AE CO ACD r CEO CO r EO r CE CO EO CE r r r O E ==-=⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭==O 2ADCEOO 21AEB12,,,,过△的外心作平面的垂线过作平面的垂线则两条垂线的交点即为四面体外接球的球心连接BCD O BCD OACD ABCD BO2222211315,41282412则所以外接球的半径BO BO OO R BO ⎛⎛=+=+=+= ⎝⎭⎝⎭==武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: BDABC 6-10: BDABD 11-12：CC二、填空题13.25 14. 13- 15. (0,)2π三、解答题17.（1）由已知212132a a a a +=+-，而12a =，∴2222232(2)a a -=+-，即222230a a --=.而20a >，则23a =.又由323252a a a a +=+-，23a =，∴233952(3)a a -=+-，即233280a a --=.而30a >，则34a =.∴23a =，34a =.（2）由已知条件可知：22112()21n n n n a a a a n ---=-+-，∴22221(1)(1)(1)n n a a n n ----=--，则22221(1)(1)(1)n n a n a n ---=---223(1)2a =⋅⋅⋅=--222(1)1a =--0=，而22(1)n n b a n =--，∴0n b =，数列{}n b 为等差数列.∴22(1)n a n -=.而0n a >，故1n a n =+.18.解：（1）过M 作1MT AA ⊥于点T ，连1B T ，则11AT =.易证：111AA E A BT ∆≅∆，于是111AA E A BT ∠=∠.由111190A BT ATB ∠+∠= ，知11190AA E ATB ∠+∠=，∴11AE BT ⊥.显然MT ⊥面11AA B B ，而1A E ⊂面11AA B B ，∴1MT A E ⊥，又1BT MT T = ，∴1A E ⊥面MTB ，∴11A E MB ⊥.连11B D ，则1111B D AC ⊥. 又111D M AC ⊥，1111B D D M D = ，∴11AC ⊥面11MD B ，∴111ACMB ⊥.由11A E MB ⊥，111AC MB ⊥，1111A E AC A = ，∴1B M ⊥面11A EC .（2）在11D C 上取一点N ，使11ND =，连接EF .易知1//A E FN .∴1111A EFC N EFC E NFC V V V ---== 11113(23)33332NFC S ∆=⋅⨯=⨯⨯⨯=.对于11A EC ∆，11AC =，1A E1EC =由余弦定理可知11cos EAC ∠==.∴11A EC ∆的面积11111sin 2S A C A E EA C =⋅∠12=⨯=.由等体积法可知F 到平面11A EC 之距离h 满足111113A EC A EFC S h V ∆-⋅=，则133h =，∴h =，又1FC 1FC 与平面1AEC 所成角为θ，∴sin 95θ===. 19.解：（1）设直线AB 的斜率为tan k α=，方程为1(1)y k x -=-，代入2224x y +=中， ∴222[(1)]40x kx k +---=.∴222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +--+--=.判别式222[4(1)]4(21)[2(1)4]k k k k ∆=--+--28(321)k k =++.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221224(1)212(1)421k k x x k k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩.∵AB 中点为(1,1)，∴12212(1)()1221k k x x k -+==+，则12k =. ∴直线的AB 方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=. （2）由（1）知12AB x =-==. 设直线的CD 方程为1(1)(0)y k x k -=--≠.同理可得CD =∴0)ABk CD λ==≠.∴2241312k k kλ=++-41132k k=++-. 令13t k k =+，则4()12g t t =+-，(,)t ∈-∞-+∞ .()g t在(,-∞-，)+∞分别单调递减，∴2()1g t ≤<或1()2g t <≤故221λ<或212λ<≤.即λ∈ . 20.解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯850.15950.170.5+⨯+⨯=，∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分.（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布22(,)(70.5,14.31)N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而(4,0.8413)B ξ ，∴444(3)1(4)10.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.21.解：（1）定义域为：(0,)+∞， 当a e =时，(1)()'()x x xe e f x x +-=.∴()f x 在(0,1)时为减函数；在(1,)+∞时为增函数.（2）记ln t x x =+，则ln t x x =+在(0,)+∞上单增，且t R ∈.∴()(ln )x f x xe a x x =-+()t e at g t =-=.∴()f x 在0x >上有两个零点等价于()t g t e at =-在t R ∈上有两个零点.①在0a =时，()t g t e =在R 上单增，且()0g t >，故()g t 无零点；②在0a <时，'()t g t e a =-在R 上单增，又(0)10g =>，11()10a g e a=-<，故()g t 在R 上只有一个零点； ③在0a >时，由'()0tg t e a =-=可知()g t 在ln t a =时有唯一的一个极小值(ln )(1ln )g a a a =-.若0a e <<，(1ln )0g a a =->最小，()g t 无零点；若a e =，0g =最小，()g t 只有一个零点；若a e >时，(1ln )0g a a =-<最小，而(0)10g =>，由于ln ()xf x x=在x e >时为减函数，可知：a e >时，2a e e a a >>.从而2()0a g a e a =->，∴()g x 在(0,ln )a 和(ln ,)a +∞上各有一个零点.综上讨论可知：a e >时()f x 有两个零点，即所求a 的取值范围是(,)e +∞.22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=.由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=.（2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d此时093sin 3cos 5ϕϕ==，0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M .23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤.综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+，或22(1)4x ax a x +--≤-+， 故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。