高考数学一轮复习导学案 导数与函数单调性
高三数学一轮复习导数导学案
课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时一、考点梳理：1.导数、导数的计算（1）．导数的概念：一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y '=. （2）．导函数： 记为f ′(x )或y ′.（3）．导数的几何意义： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． !（4）．基本初等函数的导数公式（5）．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎡⎦⎤f x g x ′＝__________(g (x )≠0)． （6）．复合函数的导数： 2．导数与函数的单调性及极值、最值（1）导数和函数单调性的关系：(1)对于函数y ＝f (x )，如果在某区间上f ′(x )>0，那么f (x )为该区间上的________；如果在某区间上f ′(x )<0，那么f (x )为该区间上的________．(2)若在(a ，b )的任意子区间内f ′(x )都不恒等于0，f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为____函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，⇔f (x )在(a ，b )上为____函数．[（2）函数的极值与导数(1)判断f (x 0)是极值的方法： 一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时， ①如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧________，右侧________，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤 ： ①____________ ；②________________ ;③_________________________.（3）求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )上的________；(2)将函数y ＝f (x )的各极值与______________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． `二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0f (x )＝x n (n ∈Q *) ；f ′(x )＝________ f (x )＝sin x f ′(x )＝________ f (x )＝cos x f ′(x )＝________ f (x )＝a x f ′(x )＝________f (x )＝e x >f ′(x )＝________ f (x )＝log a x f ′(x )＝________ f (x )＝ln xf ′(x )＝________2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． {A ．a ＞0B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．~【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数．考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)．；【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ；考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．…【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；\【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．"【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．【变式】设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．@【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．【变式】已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．、(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．四、课题巩固：一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． ?A ．2B ．－1C ．1D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )二、填空题： —5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数．?10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围．11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．~(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．课题： 导数、导数的计算及其应用 2课时参考答案 二、基础自测：1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 2}2．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1) 3．(2012陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )．A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 4．若函数y ＝a (x 3－x )的递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，则a 的取值范围是( )． A ．a ＞0 B ．－1＜a ＜0C ．a ＞1 D ．0＜a ＜15．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是__________．《参考答案：1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2，∴ΔyΔx ＝4＋2Δx . 2．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3.∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.3．D 解析：由f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝1x ⎝⎛⎭⎫1－2x ＝0可得x ＝2.当0＜x ＜2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故x ＝2为f (x )的极小值点． 4．A 解析：∵y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33，∴当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33＜0. ∴要使y ′＜0，必须取a ＞0.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4，∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0.6．3 解析：∵f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，∴f ′(x )＝3x 2－a ≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2在[1，＋∞)上恒成立，而当x ∈[1，＋∞)时，(3x 2)min ＝3×12＝3.∴a ≤3，故a max ＝3. 三、考点突破： ^考点一、根据导数的定义求函数的导数 【例1-1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2fx －3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数． 【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx ＋1＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3. 【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴ΔyΔx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.∴f ′(1)＝－12. 【变式】：求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求出其导函数． 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20－1x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx2＋1＋x 20＋1，￥∴ΔyΔx ＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.∴Δx →0时，Δy Δx →x x 2＋1.∴y ′＝xx 2＋1.考点二、利用求导公式、法则求导 [例2]求下列函数的导数：(1) y ＝(2x －3)2；(2)y ＝tan x ；(3)y ＝x e x ；(4)y ＝ln xx . （5）y ＝ln(2x ＋5)． 解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x ＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x ＝1cos 2x . (3)y ′＝x ′e x ＋x (e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．(4)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. ?（5）设u ＝2x ＋5，则y ＝ln(2x ＋5)由y ＝ln u 与u ＝2x ＋5复合而成．∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·2＝2u ＝22x ＋5.【变式】求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (2)y ＝3－x ； 考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程；(3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y－⎝⎛⎭⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.(3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x－y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.？【变式】：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程． 解:f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k .(1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2，所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①②得x 0＝32，k ＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .综上，曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程为y ＝2x 或y ＝－14x .考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；解：(1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，∴f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )＞0，即(－x 2＋2)e x ＞0，∵e x ＞0，∴－x 2＋2＞0，解得－2＜x ＜ 2.∴函数f (x )的单调递增 /区间是(－2，2)．(2)∵函数f (x )在(－1,1)上单调递增，∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，∴[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．∵e x >0，∴－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即x 2－(a－2)x －a ≤0对x ∈(－1,1)恒成立．设h (x )＝x 2－(a －2)x －a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧h －1≤0h 1≤0，解得a ≥32.【变式】(2009·浙江)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)，又⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0f ′0＝－a a ＋2＝－3,解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)由f ′(x )＝0，得x 1＝a ，x 2＝－a ＋23.又f (x )在(－1,1)上不单调，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，a ≠－a ＋23或⎩⎪⎨⎪⎧－1<－a ＋23<1，a ≠－a ＋23.解得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<a <1，a ≠－12或⎩⎪⎨⎪⎧－5<a <1，a ≠－12.所以a 的取值范围为(－5，－12)∪(－12，1)． 【例5】若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 【解 (1)由题意可知f ′(x )＝3ax 2－b .于是⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝12a －b ＝0f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4故函数为f (x )＝13x 3－4x ＋4. (2)由(1)可知f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 ](2，＋∞)f ′(x ) ＋0 － 0 ＋ f (x )~ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值283，当x ＝2时，f (x )有极小值－43， 所以函数的大致图象如右图，故实数k 的取值范围为(－43，283)．【变式】 设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值；(2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． >解 (1)f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a ＋2b ＋1＝0f ′2＝a2＋4b ＋1＝0.解得a ＝－23，b ＝－16. (2)f ′(x )＝－23x ＋(－x3)＋1＝－x －1x －23x.函数定义域为(0，＋∞)，列表 x(0,1) 1 (1,2) 2 (2，＋∞) { f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )单调递减[极小值单调递增极大值单调递减∴x ＝1是f (x )的极小值点，x ＝2是f (x )的极大值点．【例6】已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值． 解： (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0；① 、当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4，又切点的横坐标为x ＝1，∴f (1)＝4.∴1＋a ＋b ＋c ＝4.∴c ＝5.(2)由(1)，得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，∴f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝23，∴f ′(x )<0的解集为⎝⎛⎭⎫－2，23，即为f (x )的减区间．[－3，－2)、⎝⎛⎦⎤23，1是函数的增区间．又f (－3)＝8，f (－2)＝13，f ⎝⎛⎭⎫23＝9527，f (1)＝4，∴y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.变式迁移3 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b .因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b .因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )，即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋(b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]，从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2. (2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2，令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数； ）当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由前面讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得，而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43.因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43. 四、课题巩固： 一、选择题：1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f1－f 1－2x2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )． A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－22．(2012辽宁高考)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )． A ．(－1,1] B ．(0,1]C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞):3．如图所示的曲线是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )4.已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( )参考答案：1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x ＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x ＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．B 解析：对函数y ＝12x 2－ln x 求导，得y ′＝x －1x ＝x 2－1x (x ＞0)，令⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1x ≤0，x ＞0，解得x ∈(0,1]．因此函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]．故选B.3．C [由图象知f (x )＝x (x ＋1)(x －2)＝x 3－x 2－2x ＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，∴b ＝－1，c ＝－2，d ＝0.而x 1，x 2是函数f (x )的极值点，故x 1，x 2是f ′(x )＝0，即3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，∴x 1＋x 2＝－2b 3，x 1x 2＝c3，、x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49b 2－2c 3＝169.][∵x ∈[0，＋∞)，f ′(x )>0，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因f (x )是偶函数，∴f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13.即13<x <23. 二、填空题：5．函数f (x )＝x －ln x 的单调减区间为________．6． 已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是_____． 7．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是_____________．8．若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上有________个零点．|参考答案：1．(0,1) 2.－37 3. ⎣⎡⎭⎫3π4，π 4. 1个解析：f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4，易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，在函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有1个零点． 三、解答题9.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的极小值；(2)讨论关于x 的方程f (x )－m ＝0 (m ∈R )的解的个数． 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ， 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )，f (x )的变化的情况如下：x ⎝⎛⎭⎫0，1e 1e 《⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞ f ′(x ) －0 ＋f (x )极小值￥所以，f (x )在(0，＋∞)上的极小值是f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e .(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调递减且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f (x )单调递增且f (x )的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞.令y ＝f (x )，y ＝m ，两函数图象交点的横坐标是f (x )－m ＝0的解，由(1)知当m <－1e 时，原方程无解；由f (x )的单调区间上函数值的范围知，当m ＝－1e 或m ≥0时，原方程有唯一解；当－1e <m <0时，原方程有两解． 10．设f (x )＝e x 1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解：对f (x )求导得f ′(x )＝e x1＋ax 2－2ax (1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12. 结合①，可知 所以，x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号．结合①与条件a ＞0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，因此Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a ＞0，知0＜a ≤1.11.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >1，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．解: (1)由函数f (x )图象过点(－1，－6)，得m －n ＝－3.①由f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2，得f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋n ，则g (x )＝f ′(x )＋6x ＝3x 2＋(2m ＋6)x ＋n .而g (x )的图象关于y 轴对称，所以－2m ＋62×3＝0.所以m ＝－3，代入①，得n ＝0.于是f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．由f ′(x )>0，得x >2或x <0，故f (x )的单调递增区间是(－∞，0)∪(2,＋∞);由f ′(x )<0,得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是(0,2)．(2)由(1)得f ′(x )＝3x (x －2)，令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值由此可得：当1<a <3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内有极小值f (2)＝－6，无极大值； 当a ≥3时，f (x )在(a －1，a ＋1)内无极值．综上得：当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )无极值．x ⎝⎛⎭⎫－∞，1212 …⎝⎛⎭⎫12，32 32 ⎝⎛⎭⎫32，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 －0 ＋f (x )极大值极小值。
高考数学第一轮高效复习导学案-导数
高考数学第一轮高效复习导学案导数及其应用1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2. 熟记八个基本导数公式(c,m x (m 为有理数)，x x a e x x a x x log ,ln ,,,cos ,sin 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值．导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数.第一课时 导数概念与运算【学习目标】1．了解导数的定义、掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率；2．掌握幂函数、多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式及两个函数的和、差、积、商的导数运算法则及简单复合函数的求导公式，并会运用它们进行求导运算；【考纲要求】导数为B 级要求【自主学习】1．导数的概念：函数y ＝)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比xy ∆∆的 ，即)(x f '＝ ＝ ． 2．导函数：函数y ＝)(x f 在区间(a, b)内 的导数都存在，就说)(x f 在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的 ，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值 ，就是)(x f 在0x 处的导数.3．导数的几何意义：设函数y ＝)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的 .4．求导数的方法(1) 八个基本求导公式)('C ＝ ；)('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝)('x e ＝ ， )('x a ＝)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝(2) 导数的四则运算)('±v u ＝])(['x Cf ＝ )('uv ＝ ，)('vu ＝ )0(≠v 【基础自测】1.在曲线y=x 2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy ∆∆为 . 2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则)(x f '= .3.设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为 .4.曲线在y=53123+-x x 在x=1处的切线的方程为 . 5.设曲线y ax e =在点（0，1）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= .[典型例析]例1．求函数y=12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.例2. 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++= （2）);3)(2)(1(+++=x x x y （3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛--=x x y （4）.1111x x y ++-=例3. 已知曲线y=.34313+x （1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.例4. 设函数bx ax x f ++=1)( (a,b∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y=3. （1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线)(x f y =上任一点的切线与直线x=1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.[当堂检测]1. 函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝2．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy ∆∆为 3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为4.设f (x )、g(x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且g(3)=0.则不等式f (x )g(x )＜0的解集是________________5．在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数有 个。
导数与函数的单调性课件高三数学一轮复习
【例1】
（1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g
（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性；
目录
解
（1）g（x）＝f'（x）＝ex
则g'（x）＝ex
ln(1 + ) +
2
1+
ln(1 + ) +
1
−
(1+)2
1
（2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划
分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间；
（3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图
象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间.
提醒 若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”
2≤0恒成立，
1
2
即a≥ 2 － 恒成立.
1
所以a≥G（x）max，而G（x）＝
1
因为x∈[1，4]，所以
∈
1
,1
4
2
− 1 －1，
，
7
所以G（x）max＝－ （此时x＝4），
16
7
所以a≥－ ，即a的取值范围是
16
7
− , +∞
16
.
目录
｜解题技法｜
已知单调性求解参数范围的步骤
（1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）；
（x）＝x－sin x在R上单调递增，故B满足题意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋
第10讲 导数与函数的单调性(解析)-2023年高考一轮复习精讲精练必备
第10讲 导数与函数的单调性一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系2.第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f ′(x )的零点；第3步，用f ′(x )的零点将f (x )的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x )在各区间上的正负，由此得出函数y ＝f (x )在定义域内的单调性.二、考点和典型例题1、不含参函数的单调性【典例1-1】1．（2022·湖北·房县第一中学模拟预测）已知函数()221e e 1x x f x -=+，不等式()()22f x f x >+的解集为（ ） A ．()(),12,-∞-+∞ B ．()1,2- C ．()(),21,-∞-+∞ D ．()2,1-【答案】B 【详解】解：因为()221e e 1xx f x -=+，所以()()2224e 0e 1xxf x -'=<+，所以()f x 在R 上单调递减，则()()22f x f x >+等价于22x x <+，解得12x -<<，即原不等式的解集为()1,2-.故选：B.2．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三阶段练习（理））函数()()3e xf x x =-的单调增区间是( )A ．()2-∞，B ．()03，C ．()14，D ．()2+∞，【答案】D 【详解】∵()()3e x f x x =-，∵()()()e 3e 2e x x xf x x x '=+-=-，当x ＞2时，()0f x '>，∵f (x )的单调递增区间是()2+∞，． 故选：D ．3．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的R x ∈，都有()()2f x f x >'+，且()12022f =，则不等式()12020e 2x f x --<的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】C 【详解】 设函数()()2e xf xg x -=，所以()()()()()2e 2e 2eex x xxf x f x f x f xg x '⎡⎤⨯--⨯'-+⎣⎦'==，因为()()2f x f x >'+，所以()()20f x f x '-+<，即()0g x '<，所以()g x 在R 上单调递减，因为()12022f =， 所以()()122020e1e f g -==，因为()12020e 2x f x --<，整理得()22020e ex f x -<， 所以()()1g x g <，因为()g x 在R 上单调递减，所以1x >.故选：C.4．（2022·浙江金华·模拟预测）已知函数()ln (0,0,)a f x x x bx x a b R =->≠∈ (1)当0b =时，讨论()f x 的单调区间；(2)当0a <时，若()f x 有两个零点12,x x ，且12x x <，求证：2211e a x a ab-<≤--. 【解析】(1)当0b =时，11()(ln 1)(ln 1)a a f x x a x b x a x --=+-=+'所以，当0a <时，()f x 在10,e a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上增，在1e ,a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上减；当0a >时，()f x 在10,e a-⎛⎫ ⎪⎝⎭上减，在1e ,a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上增.(2)方法一：参数分离1()ln 0ln a a f x x x bx x x b -=-=⇔=有两个不同的零点()1212,x x x x <令1()ln (0)a h x x x x -=>，则2()[(1)ln 1]a h x x a x -=-+'令2()[(1)ln 1]0a h x x a x --+'==得11a x e -= 当110ax e -<<时，()0h x '>，所以：()h x 在110,a e -⎛⎫⎪⎝⎭递增；当11ax e->时，()0h x '<，所以：()h x 在11,a e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减.显然1x >时，()0h x >.作出()h x 的图象如下：所以：∵110ab h e -⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以：11121a x e x -<<<，所以，11212111a a x e a a-->≥+=--； 下面证明：21x eab ≤-.要证：2211x bx eab ea≤-⇔≤-，因为122ln a x x b -= 所以：22211ln a bx x x ea ea≤-⇔≤- 由（1）得()12221ln aa x x f x f e ea -⎛⎫=≤=- ⎪⎝⎭.所以21x eab ≤-，原不等式得证.综上所述：2211a x a eab-<≤--. 方法二：部分参数分离零点12,()ln ax x g x x x <=.从而()()112212,,,g x bx g x bx x x ==为()y g x =的图像与y bx =交点的横坐标.对给定的a ，令0x 使得()()000f x f x '==，即()0001000ln 10aa x lnx bx x a xb -⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，得110ax e-=，存在且唯一，此时()y g x =的图像与y bx =有唯一交点.又(1)0g =，由（1）得，当0a <时，11()e e ag x g a -⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭，所以()221e g x x b ab=≤-， （这里要说明0b >）又因为11201e11ax x a->=>+-成立. 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()()0a xf x x a x -=⋅>，（0a >且1a ≠）.(1)当2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()()1h x f x =-有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)增区间为20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)()()1,,+∞e e【解析】(1)当2a =时，()22xf x x -=⋅，()()()222ln 2222ln 222x x xx x x x x f x -⋅-⋅'==当20,ln 2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2,ln 2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时()0f x '<； 故()f x 的单调递增区间为20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)由题意知()1f x =在()0,∞+有两个不等实根，ln ()1ln l n n l a x f x x a a x x a x x a a ==⇔=⇔=⇔，令()ln x g x x=，21ln ()xg x x -'=，所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减；又0x +→，()g x →-∞，()1g e e=，()10g =，x →+∞，()0g x →，作出()g x 的图象如图所示：由图可知ln 10a a e<<，解得1a >且a e ≠，即a 的取值范围为()()1,,+∞e e .2、含参函数的单调性【典例2-1】1．（2022·四川绵阳·二模（文））若2x =是函数()()2224ln f x x a x a x =+--的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),2-∞- B ．()2,-+∞ C ．()2,+∞ D ．()2,2-【答案】A 【详解】()()()()()22224224222x a x a x x a a f x x a x x x+---+'=+--==，()0x > 若0a ≥时，当2x >时，()0f x '>；当02x <<时，()0f x '<； 则()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增.所以当2x =时，()f x 取得极小值，与条件不符合,故满足题意.当2a <-时，由()0f x '>可得02x <<或x a >-；由()0f x '<可得2x a <<- 所以在()0,2上单调递增；在()2,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极大值，满足条件.当20a -<<时，由()0f x '>可得0x a <<-或2x >；由()0f x '<可得2a x -<< 所以在()0,a -上单调递增；在(),2a -上单调递减，在()2,+∞上单调递增. 所以当2x =时，()f x 取得极小值，不满足条件.当2a =-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，即()f x 在()0,∞+上单调递增. 此时()f x 无极值. 综上所述：2a <-满足条件 故选：A2．（2021·湖北·应城市第一高级中学高三阶段练习）已知函数()ln 1f x x x =--，若不等式()()21f x a x ≥-在区间(]0,1上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【详解】解：由已知可得2()(1)0f x a x --≥即为2ln 1(1)0x x a x ----≥， 设2()ln 1(1)g x x x a x =----，(0,1]x ∈， 则(1)(12)()x ax g x x--'=，当0a ≤时，显然()0g x '≤，当102a <≤时，()0g x '≤在(0,1]x ∈上也成立， 所以12a ≤时，()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)0g x g ≥=恒成立； 当12a >时，当102x a <<时，()0g x '<，当112x a <<时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，在1,12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 于是，存在01,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()(1)0g x g <=，不满足()0g x ≥，舍去此情况，综上所述，12a ≤. 故选：A.3．（2021·黑龙江绥化·高三阶段练习（理））已知()()ln 11axf x x x =+++，则下列说法正确的是（ ）A ．当0a >时，()f x 有极大值点和极小值点B ．当0a <时，()f x 无极大值点和极小值点C ．当0a >时，()f x 有最大值D ．当0a <时，()f x 的最小值小于或等于0【答案】D【详解】 由题设，2211()(1)1(1)a x a f x x x x ++'=+=+++且(1,)∈-+∞x ，当0a >时()0f x '>，则()f x 在(1,)-+∞上递增，无极值点和最大值，A 、C 错误；当0a <时，若(1,1)x a ∈---则()0f x '<，()f x 递减；(1,)x a ∈--+∞则()0f x '>，()f x 递增； 所以()(1)1ln()f x f a a a ≥--=++-，即()f x 无极大值点，有极小值点，B 错误； 令()1ln()g a a a =++-且(,0)a ∈-∞，则11()1a g a a a+'=+=， 当1a <-时()0g a '>，()g a 递增；当10a -<<时()0g a '<，()g a 递减； 所以()(1)0g a g ≤-=，即()f x 的最小值小于或等于0，D 正确； 故选：D4．（2022·全国·模拟预测）（多选题）已知()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，则（ ）A ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b >B ．当()1,0m ∈-，a ，(),0b ∈-∞时，a b <C ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b >D ．当()1,2m ∈，a ，()0,b ∈+∞时，a b < 【答案】AC 【详解】设()()2e 2e x xf x m m x =+--，因为()()22e 2e e 2e a a b bm m a m m +--=+-，所以()()f a f b b =+，当a ，(),0b ∈-∞时，()()0f a f b b -=<，即()()f a f b <.易知()()()e 12e 1x xf x m '=-+，当()1,0m ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(),0∞-上单调递减， 所以a b >，故选项A 正确，选项B 错误.当a ，()0,b ∈+∞时，()()0f a f b b -=>，即()()f a f b >. 当()1,2m ∈时，令()0f x '=，解得ln x m =-，所以()f x 在(),ln m -∞-上单调递减，在()ln ,m -+∞上单调递增， 所以a b >，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：AC.5．（2022·广东佛山·三模）已知函数()ln(1)1af x x x=+--，其中0x >，a ∈R ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)当2a =时，0x 是()f x 的零点，过点()()00,ln 1A x x +作曲线ln(1)y x =+的切线l ，试证明直线l 也是曲线1e x y +=的切线． 【解析】(1)解：因为()ln(1)1af x x x=+--定义域为()0,∞+， 所以2221()1(1)a x ax a f x x x x x ++'=+=++， ∵当0a ≥时，()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立， 所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，没有减区间；∵当0a <时，令()0f x '=时，1x =2x =且120x x <<，令()0f x '>得x >()f x的增区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭． 令()0f x '<得0x <<()f x的减区间为⎛ ⎝⎭(2)解：当2a =时，0x 是()f x 的零点，所以()()0002ln 110f x x x =+--= 即()000022ln 11x x x x ++=+= 由ln(1)y x =+得11y x '=+，由1e x y +=得1e x y +'=． 所以过点()()00,ln 1A x x +作曲线ln(1)y x =+的切线l 的方程为()()0001ln 11y x x x x -+=-+（*） 假设曲线1e x y +=在点()11,B x y 的切线与l 斜率相等，所以1101e1x x +=+，所以()101ln 1x x +=-+，即()10ln 11x x =-+- ()01ln 11101e e1x x y x -++===+ 把()10ln 11x x =-+-代入（*）式得 ()()()()00000011ln 1ln 111ln 1111y x x x x x x ⎛⎫=++-+--=-+- ⎪++⎝⎭()00001000021ln 111111x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+-=-== ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭所以点()11,B x y 在切线l 上． 所以直线l 也是曲线1e x y +=的切线3、根据函数的单调性求参数【典例3-1】1．（2022·福建南平·三模）对任意的(]12,1,3x x ∈，当12x x <时，1122ln 03x a x x x -->恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞ C ．[)9,+∞ D ．()9,+∞【答案】C 【详解】1122ln 03xa x x x -->，即1122ln ln 33a a x x x x ->-，令()ln 3af x x x =-，由题意得()f x 在(1,3]上单调递减，故()103af x x'=-≤，即3≥a x 在(1,3]上恒成立，则9a ≥， 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）若函数()()3log a f x x ax =-（0a >且1a ≠）在区间1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．91,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间 1(,0)2- 内有意义，则311()0,22a -+14a ∴，设3,t x ax =-则 log a y t =，2 3t x a '=- ( 1 ) 当 1a >时，log a y t = 是增函数， 要使函数3()log ()(0,1)a f x x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增，需使 3t x ax =- 在区间1(,0)2-内内单调递增，则需使230t x a '=-≥，对任意1(0)2x ∈-恒成立 , 即23a x ≤对任意1(,0)2x ∈-恒成立；因为1(,0)2x ∈-时，23034x <<所以0a <与14a >矛盾，此时不成立.( 2 ) 当01a <<时，1a y og t =是减函数，要使函数()()3)0,1(a f x log x ax a a =->≠在区间1(,0)2-内单调递增， 需使3t x ax =-在区间1(,0)2-内内单调递减，则需使230t x a '=-≤ 对任意1(,0)2x ∈-恒成立，即23a x ≥对任意1(,0)2x ∈-恒成立，因为213(,0),0342x x ∈-<<时，所以34a， 又1a <，所以314<a . 综上，a 的取值范围是314<a 故选：B3．（2020·天津市第八中学高三期中）若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭【答案】B 【详解】若函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数，只需2320y x x m '=++≥在R 上恒成立， 即4120m ∆=-≤，∵13m ≥．故m 的取值范围为1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．故选：B.4．（2018·浙江·模拟预测）若定义在R 上的函数()f x 满足(0)0f =，且()f x 的导函数()'f x 的图象如图所示，记|(1)|(1)f f α'=-+，|(1)|(1)f f β'=+-，则（ ）A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．2αβ=【答案】C 【详解】因为导函数的图象为直线，且(0)0f =， 所以函数()f x 为过原点的二次函数， 设2()(0)f x ax bx a =+≠，所以由导函数图象可知()f x 在,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递增，在,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，则0a <， 又由12ba->，得2b a >-， 则(1)20,(1)0f a b f a b a '=+>=+>->， (1)20,(1)0f a b f a b '-=-+>-=-<，所以|(1)|(1)2f f a b α'=-+=+，|(1)|(1)2f f a b β'=+-=-+， 所以(2)(2)20a b a b a αβ-=+--+=<， 故选：C5．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数()()e 1xf x x -=+(1)求函数()f x 的极值；(2)设1t ，2t 为两个不等的正数，且211212ln ln t t t t t t -=-，若不等式12ln ln 0t t λ+>恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】(1)函数()()e 1xf x x -=+定义域为R ，求导得()e x f x x -=-'，当0x <时，()0f x '>，当0x >时，()0f x '<，因此，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 所以当0x =时，函数()f x 有极大值1，无极小值.(2)令1212,ln ln t t x x ==，即1212e ,e x xt t ==，则21121221121212121211e e e e ()()e eln ln x x x xx x t t t t t t x x x x f x f x -=++⇔-=-⇔=⇔=-， 依题意，两个不等的实数12,x x 满足12()()f x f x =，且不等式120x x λ+>恒成立，不妨令12x x <，由(1)知，()f x 在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递减，且当0x >时，()0f x >恒成立，而(1)0f -=，因此有1210x x -<<<，由120x x λ+>知，21x x λ>-，0λ>，则有120x x λ>->，而()f x 在(0,)+∞上递减，从而有112()()()x f x f x f λ=<-，即111111e ex x x x λλ--++<，两边取对数得：1111ln(1)ln(1)x x x x λλ+-<-+，即111ln(1)ln(1)(1)0x x x λλλλ+---+<，110x -<<，令()ln(1)ln(1)(1)xg x x x λλλλ=+---+，10x -<<，1(1)(1)()(1)1(1)()1x x g x xx x x λλλλλλ++-'=+-+=++--，当1λ≥时，()0g x '>，则()g x 在(1,0)-上单调递增，()(0)0g x g <=，符合题意， 当01λ<<时，即110λ-<-<，当10x λ-<<时，()0g x '<，()g x 在(1,0)λ-上单调递减， 当10x λ-<<时，()(0)0g x g >=，不符合题意， 综上得：1λ≥，所以实数λ的取值范围是[1,)+∞.4、函数单调性的应用【典例4-1】1．（2022·全国·模拟预测）已知函数()e 11xf x ax =-++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(),e -∞- B ．(],e -∞- C ．()e,0- D ．()e,∞-+【答案】A 【详解】由题意知方程e 11xax -+=-有两个不同的实数根，令()e 0e 112e 0x xxx g x x ⎧≥=-+=⎨-<⎩，，，，作出()g x 的图象如图所示，数形结合可知直线y ax =-与函数()g x 的图象在()0,∞+上有两个不同的交点． 当直线y ax =-与函数()g x 的图象相切时，设切点为()00,P x y ，则00y ax =-，00e x y =，则00e xax -=∵，当0x >时，()e xg x '=，则()00=e x g x a '=-∵， 由∵∵可得01x =，()00e e xg x '==，∵e a ->，得e a <-， 故选：A ．2．（2022·全国·模拟预测）若关于x 的不等式()22ln 1e xm x x x +++≤在()0,∞+上恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],0-∞ B ．(],e -∞- C ．(],e -∞ D ．(],1-∞-【答案】A 【详解】依题意，()2ln 12e 0xx m x x ++≤->．令()()2ln 1e 0xx g x x x +=->，故()2222e ln x x x g x x +'=． 令()()222e ln 0x h x x x x =+>，则()22214e 4e 0x xh x x x x'=++>， 故()222e ln xh x x x =+在()0,∞+上单调递增，且()212e 0h =>，222ee 212e 12e 10e eh -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x =，即()00g x '=，当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，故()()0200min 0ln 1e x x g x g x x +==-． 由022002eln 0x x x +=，得022002e ln x x x =-，即()()02200ln 2e ln ln x x x =-，即()0000ln 2ln 2ln ln x x x x ++=-，故()()0000ln 22ln ln ln x x x x +=-+-．因为函数ln y x x =+在()0,∞+上单调递增，所以002ln x x =-，()00min 000ln 1ln 12x x g x x x x +=-=-=，故22m +≤，解得0m ≤. 故选:A ．3．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2121x x f x -=+，若()()e 0xf f ax +<有解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,∞+ B ．(),e -∞-C ．[]e,0-D ．()(),e 0,-∞-⋃+∞【答案】D 【详解】解：因为()f x 的定义域为R ，()()2121x xf x f x ----==-+，所以函数()f x 为奇函数， 因为()2121x f x =-+，所以函数()f x 在R 上单调递增. 因为()()e 0x f f ax +<有解，即()()e xf f ax <-有解，所以()()e xf f ax <-有解，由函数()f x 在R 上单调递增，可得e x ax <-有解.解法一：令()e x g x ax =+，则()e xg x a '=+.∵当0a >时，()0g x '>，函数()g x 在R 上单调递增，11e 10a g a -⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，符合题意；∵当0a =时，()0g x >，不符合题意；∵当0a <时，令()0g x '=，得()ln x a =-；当()(),ln x a ∈-∞-时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()()ln ,x a ∈-+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，因此()()()()min ln ln g x g a a a a =-=-+-，()min 0g x <， 解得e a <-.综上，实数a 的取值范围为()(),e 0,-∞-⋃+∞.解法二:若0x >，则e xa x ->有解. 令()()e 0x g x x x =>，则()()2e 1x x g x x -'=，当01x <≤时，()0g x '≤，()g x 单调递减，当1≥x 时，()0g x '≥，()g x 单调递增，所以()()min 1e g x g ==，故e a ->，即e a <-.若0x <，则e xa x -<有解，易知()e x g x x=恒小于零，所以0a -<，即0a >.若0x =，则()()()()1e 1003xf f ax f f +=+=>，不符合题意.综上，实数a 的取值范围为()(),e 0,-∞-⋃+∞.解法三：若0a <，如图，在同一平面直角坐标系内作出e x y =与y ax =-的图象，当直线y ax =-与函数e x y =的图象相切时，设切点为()00,e x x ，则切线方程为()000e e x xy x x -=-，再结合切线y ax =-过原点得01x =，故0e e x a =-=-，由e x ax <-有解，得函数e x y =的部分图象在直线y ax =-的下方， 所以，数形结合可知e a <-.若0a >，易知函数e x y =的图象必有一部分在直线y ax =-的下方，符合题意. 若0a =，由函数的单调性可知，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围为()(),e 0,-∞-⋃+∞.故选：D4．（2022·山东威海·三模）已知函数()2ln af x x x x=-+．(1)当34a =时，求()f x 的单调区间； (2)若()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，从下面两个结论中选一个证明． ∵()()21212f x f x x x a-<--；∵()222ln 223f x a <+-． 【解析】(1)22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=>，当34a =时，2222232483(21)(23)4()44x x x x x x f x x x x -+--+--==--'=，令()0f x '>，解得1322x <<；令()0f x '<，解得102x <<或32x >，所以()f x 的单增区间为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；单减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．(2)证明∵：由题意知，12,x x 是220x x a -+=的两根，则12122x x x x a +=⎧⎨=⎩，()()()()()122121211221212ln ln a x x x x x x f x f x x x x x x x ----+-=--，将12x x a =代入得，()()()212121212ln ln 2f x f x x x x x x x --=---，要证明()()21212f x f x x x -<--，只需证明()21212ln ln 22x x x x --<--，即2121ln ln x x x x -=- 因为120x x <<，所以210x x ->，只需证明21lnx x <=t ，则1t >，只需证明21ln t t t<-，即12ln 0(1)t t t t -+<>， 令1()2ln ,1h t t t t t =-+>，22221(1)()10t h t t t t --=--=<'，所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，可得()(1)0h t h <=， 所以12ln 0(1)t t t t-+<>，综上可知，()()21212f x f x x x -<-．证明∵：22222()1(0)a x x af x x x x x -+-'=--=> 设2()2g x x x a =-+-， 因为()f x 有两个极值点，所以Δ440(0)0a g =->⎧⎨<⎩，解得01a <<，因为(2)0,(1)10g a g a =-<=->， 所以212x <<，()2222222ln 33a f x a x x a x -=-+-，由题意可知22220x x a -+-=，可得2222a x x =-+代入得，()2222222102ln 2333f x a x x x -=+-+，令2210()2ln 2(12)33h x x x x x =+-+<<， 24102(1)(23)()333x x h x x x x--=+-='，当31,,()02x h x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭'，所以()h x 在31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当3,2,()02x h x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭'，所以()h x 在3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调速增，因为212x <<，所以()2max{(1),(2)}h x h h <，由2(1),(2)2ln 223h h =-=-，可得()22ln8ln (2)(1)03e h h --=>，所以(2)(1)h h >，所以()2(2)h x h <，所以()222ln 223f x a -<-，即()222ln 223f x a <+-．5．（2022·全国·模拟预测）已知函数()2e xf x x =，()()21ln 2e eg x x x =++．(1)讨论函数()f x 的单调性，并求函数()f x 的极值； (2)证明：对任意1x >，都有()()f x g x >． 【解析】(1)因为()2e x f x x =，所以()()e 2xf x x x '=+，由()0f x '>得0x >或2x <-，由()0f x '<得20x -<<，所以()f x 在()2,0-上单调递减，在(),2-∞-和()0,∞+上单调递增， 因此()()00f x f ==极小值，()()242f x f e =-=极大值． (2)要证对任意1x >，都有()()f x g x >，即证()221e ln 2e e x x x x >++对任意1x >恒成立，即证()2ln 21e ln 2e ex x x x +>++对任意1x >恒成立. 构造函数()e 1xh x x =--，0x ≥.因为()e 10xh x '=->在()0,∞+上恒成立，所以()h x 在[)0,∞+上是增函数，故()()00h x h ≥=，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时等号成立， 因为1x >，所以2ln e 2ln 1x x x x +>++， 所以只需证()12ln 12ln 2ex x x x ++>++对任意1x >恒成立， 即证()12ln 12ln 20ex x x x ++-++>对任意1x >恒成立． 令()()()12ln 12ln 2ex x x x x ϕ=++-++，[)1,x ∞∈+，则()21212e 2110e e e e x x x xϕ-'=+--=-+>， 因此()x ϕ在()1,+∞上是增函数，所以当1x >时，()()3120ex ϕϕ>=->．所以当1x >时，()12ln 12ln 20ex x x x ++-++>恒成立． 故对任意1x >，都有()()f x g x >．。
高考数学复习、高中数学 导数与函数的单调性附答案解析
第2节 导数与函数的单调性课标要求 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间。
【知识衍化体验】知识梳理1.函数的导数与单调性的关系函数y ＝f (x )在某个区间内可导：(1)若f ′(x )＞0，则f (x )在这个区间内 ； (2)若f ′(x )＜0，则f (x )在这个区间内 ； (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是 . 【微点提醒】1．在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．基础自测 1．函数f(x)＝ln x －x 的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(0，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)2．函数f (x )＝x 3－ax 为R 上增函数的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤0 B ．a <0 C ．a ≥0 D ．a >03．函数y ＝f(x)的导函数f′(x)的图象如下图，则函数y ＝f(x)的图象可能是( )4．若函数f(x)＝ln x ＋ax 2－2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2内单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ 【考点聚焦突破】考点1利用导数求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，讨论f (x )的单调性．规律方法当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出实数根，把函数f(x)的间断点即f(x)的无定义点的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的符号，从而确定单调区间.【训练1】函数f(x)＝axx2＋1(a>0)的单调递增区间是( )A．(－∞，－1) B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数f(x)＝x＋2cos x(x∈(0，π))的单调递减区间为________．考点2利用导数讨论函数的单调区间【例2】 (2015江苏节选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R)．试讨论f(x)的单调性．规律方法1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.遇二次三项式因式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，以此来确定分界点，分情况讨论.2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f x＝x3，f′x＝3x2≥0f′x＝0在x＝0时取到，f x在R上是增函数.【训练2】已知函数f(x)＝e x(ax2－2x＋2)(a＞0)，试讨论f(x)的单调性．考点3函数单调性的简单应用角度1比较大小或解不等式【例3-1】(1)已知函数f (x )＝－xex ＋ln 2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12D ．大小关系无法确定 (2)已知定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意的x ∈R 总有f ′(x )<3，则不等式f (x )<3x －15的解集为________．角度2 根据函数的单调性求参数【例3-2】已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(Ⅰ)若f (x )在(－1，1)上为减函数，则实数a 的取值范围为 ； (Ⅱ)若f (x )的单调递减区间为(－1，1)，则实数a 的值为 ； (Ⅲ)若f (x )在(－1，1)上不单调，则实数a 的取值范围为 .【训练3】（1）若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数，则a 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．（3）定义在R 上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )＜f (－x )，则满足13(2x －1)f (2x －1)＜f (3)的实数x 的取值范围是________．规律方法1.利用导数比较大小或解不等式的常用技巧，利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．2. f(x)在区间D上单调递增(减)，只要f′(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可，如果能够分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．反思与感悟【思维升华】1．函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f′(x)≥0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为增函数．在一个区间上，f′(x)≤0(个别点取等号)⇔f(x)在此区间上为减函数．2．根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．【易错防范】1．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．2．研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．第2节 导数与函数的单调性【知识衍化体验】 知识梳理1.(1)单调递增；(2)单调递减；(3)常数函数．基础自测 1．B 2．B 3.D 4.D【考点聚焦突破】【例1】解：f ′(x )＝4e x (x ＋2)－2(x ＋2)＝2(x ＋2)(2e x－1).令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝ln 12.当x 变化时， f (x )， f ′(x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，ln 12 ln 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 12，＋∞ f ′(x ) ＋－＋f (x )极大值极小值∴y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(ln 12，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－2，ln 12.【训练1】B函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝a 1－x 2x 2＋12＝a 1－x 1＋xx 2＋12.由于a >0，要使f ′(x )>0，只需(1－x )·(1＋x )>0，解得x ∈(－1,1)．故选B.2．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6解析 f ′(x )＝1－2sin x ，令f ′(x )<0得sin x >12，故π6<x <5π6.【例2】解：由题意， f (x )的定义域为R ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a 3当a ＝0时，有f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增.当a ＞0时，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－ 2a 3∪(0，＋∞)；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减.当a ＜0时，令f ′(x )>0，得x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞；令f ′(x )<0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减.综上，当a＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，0上单调递减；当a ＜0时， f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－2a 3上单调递减 【训练2】解 由题意得f ′(x )＝e x[ax 2＋(2a －2)x ](a ＞0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2a a.(1)当0＜a ＜1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；(2)当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(3)当a ＞1时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0. 【例3-1】C 解析 f ′(x )＝－e x－－x exe x ·e x＝x －1ex，当x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．∵1e <12<1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.故选C. (2) (4，＋∞)令g (x )＝f (x )－3x ＋15，则g ′(x )＝f ′(x )－3<0，所以g (x )在R 上是减函数．又g (4)＝f (4)－3×4＋15＝0，所以f (x )<3x －15的解集为(4，＋∞)．【例3-2】 解(Ⅰ)(法一)由题意，f ′(x )＝3x 2－a ，由f (x )在(－1，1)上为减函数，得f ′(x )≤0在(－1，1)上恒成立，即a ≥3x 2恒成立.又因为当x ∈(－1，1)时，函数y ＝3x 2的值域是[0，3)，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(法二)当a ≤0时， f ′(x )＝3x 2－a ≥0，显然没有单调递减区间，不符合题意.当a ＞0时，令f ′(x )＝3x 2－a ＝0，得x ＝±3a 3，易知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3时， f (x )单调递减.若f (x )在(－1，1)上为减函数，则(－1，1)应为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3的子区间，即3a 3≥1，解得a ≥3，所以实数a 的取值范围是[3，＋∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )的单调递减区间为( －3a 3， 3a 3)，所以3a 3＝1，解得a ＝3. (Ⅲ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f (x )在R 上单调递增，不符合题意.当a >0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±3a 3，因为f (x )在(－1，1)上不单调，所以0<3a3<1，解得0<a <3，所以a 的取值范围是(0，3).【训练3】（1） [3，＋∞)由条件知f ′(x )＝2x ＋a －1x 2≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立，即a ≥1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上恒成立．∵函数y ＝1x 2－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，∴y max ＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫122－2×12＝3，∴a ≥3.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞ 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞.（3）(－1，2)∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴由xf ′(x )<f (－x )可得xf ′(x )＋f (x )<0，即[xf (x )]′<0，∵当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，∴当x ∈(－∞，0]时，恒有[xf (x )]′<0，设F (x )＝xf (x )，则函数F (x )＝xf (x )在(－∞，0]上为减函数，∵F (－x )＝(－x )f (－x )＝(－x )(－f (x ))＝xf (x )＝F (x )，∴函数F (x )为R 上的偶函数，∴函数F (x )＝xf (x )为[0，＋∞)上的增函数，∵13(2x －1)f (2x －1)<f (3)，∴(2x －1)f (2x －1)<3f (3)，∴F (2x －1)<F (3)，∴|2x －1|<3，解得－1<x <2.。
【新高考】高三数学一轮复习知识点专题3-2 导数与函数的单调性、极值与最值
专题3.2 导数与函数的单调性、极值与最值（精讲）【考情分析】1.了解函数的单调性与导数的关系；2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
3.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；4.会用导数求函数的极大值、极小值；5.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
【重点知识梳理】知识点一函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点二函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.知识点三函数的极值与导数形如山峰形如山谷知识点四函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值；②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【特别提醒】1.函数f (x )在区间(a ，b )上递增，则f ′(x )≥0，“f ′(x )>0在(a ，b )上成立”是“f (x )在(a ，b )上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的必要不充分条件.3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【典型题分析】高频考点一求函数的单调区间例1.【2019·天津卷】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数，求()f x 的单调区间。
高考数学一轮复习导数与函数的单调性
所以 G(x)max＝－176(此时 x＝4)，所以 a≥－176， 又因为 a≠0，所以实数 a 的取值范围是－176，0∪(0，＋∞).
(2)若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.
因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间， 则 f′(x)<0 在[1,4]上有解，所以当 x∈[1,4]时，a>x12－2x有解， 又当 x∈[1,4]时，x12－2xmin＝－1(此时 x＝1)， 所以a>－1，又因为a≠0，所以实数a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞).
(2)若a<0，设g(x)＝f(x)＋ax2，求函数g(x)的单调区间.
g(x)＝ax2＋(2－a)x－ln x－1(a<0)，其定义域为(0，＋∞)，
∴g′(x)＝2ax＋2－a－1x＝2ax2＋2x－ax－1＝2x－1xax＋1(a<0)， 令 g′(x)＝0，可得 x1＝12，x2＝－1a>0， ①若－1a>12，即－2<a<0， 当 0<x<12或 x>－1a时，g′(x)<0；当12<x<－1a时，g′(x)>0， ∴g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞，单调递增区间为12，－1a；
1 ex
－ex＋2x－1 3
x3，若f(3a2)＋f(2a－1)≥0，
则实数a的取值范围是_－__1_≤__a_≤__13__.
由题意得 f′(x)＝－e1x－ex＋2－x2＝－ex＋e1x＋2－x2， 因为 ex＋e1x≥2 ex·e1x＝2，当且仅当 x＝0 时等号成立， 所以f′(x)≤0，所以函数f(x)在R上单调递减， 又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数， 所以f(3a2)＋f(2a－1)≥0⇒f(3a2)≥－f(2a－1)＝f(1－2a)， 即 3a2≤1－2a，解得－1≤a≤13.
高考数学(文)一轮复习文档：第二章 基本初等函数、导数及其应用 第11讲导数与函数的单调性 Word版含答案
第11讲导数与函数的单调性,)函数的单调性在(a，b)内函数f(x)可导，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．辨明导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0(或<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件；(2)f′(x)≥0(或≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件．注意：由函数f(x)在区间内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．1.教材习题改编函数f(x)的导函数f′(x)有下列信息：①f′(x)>0时，－1<x<2；②f′(x)<0时，x<－1或x>2；③f′(x)＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x)的大致图象是( )C 根据信息知，函数f(x)在(－1，2)上是增函数．在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是减函数，故选C.2.教材习题改编函数f(x)＝x3－3x＋1的单调增区间是( )A．(－1，1) B．(－∞，1)C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)，(1，＋∞)D f′(x)＝3x2－3.由f′(x)>0得，x<－1或x>1.故单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，故选D.3.教材习题改编函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )A．先增后减B．先减后增C．增函数D．减函数D 因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.4.教材习题改编函数f (x )＝sin x ＋kx 在(0，π)上是增函数，则实数k 的取值范围为________．因为f ′(x )＝cos x ＋k ≥0， 所以k ≥－cos x ，x ∈(0，π)恒成立． 当x ∈(0，π)时，－1<－cos x <1， 所以k ≥1.k ≥15.教材习题改编函数f (x )＝x 2－ax －3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．f ′(x )＝2x －a ，因为f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以2x －a ≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a ≤2x ，所以a ≤2.a ≤2利用导数判断或证明函数的单调性已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x .讨论f (x )的单调性． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝1x－2ax ＋(2－a )＝－（2x ＋1）（ax －1）x.①若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝1a，且当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0，当x >1a时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0，1a )上单调递增，在(1a，＋∞)上单调递减．已知函数f (x )＝x －2x＋1－a ln x ，a >0.讨论f (x )的单调性．由题意知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，导函数f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8. ①当Δ<0，即0<a <22时，对一切x >0都有f ′(x )>0. 此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．②当Δ＝0，即a ＝22时，仅对x ＝2有f ′(x )＝0，对其余的x >0都有f ′(x )>0.此时f (x )是(0，＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0，即a >22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0<x 1<x 2.所以f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：(a ＋a 2－82，＋∞)上单调递增．求函数的单调区间求函数f (x )＝ln x －12x 2＋x －12的单调区间．【解】 因为f (x )＝ln x －12x 2＋x －12，且定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －x ＋1＝－（x －1－52）（x －1＋52）x.令f ′(x )＝0，所以x 1＝1＋52，x 2＝1－52(舍去)．当x ∈(0，1＋52)时，f ′(x )>0；当x ∈(1＋52，＋∞)时，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1＋52)，单调递减区间为(1＋52，＋∞)．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调区间． (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ， 因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0， 即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x ＜－4时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当－4＜x ＜－1时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数； 当－1＜x ＜0时，g ′(x )＜0，故g (x )为减函数； 当x ＞0时，g ′(x )＞0，故g (x )为增函数．综上知，g (x )的单调递减区间为(－∞，－4)，(－1，0)，单调递增区间为(－4，－1)，(0，＋∞)．函数单调性的应用(高频考点)利用导数根据函数的单调性(区间)求参数的取值范围，是高考考查函数单调性的一个重要考向，常以解答题的形式出现．高考对函数单调性的考查主要有以下两个命题角度： (1)已知函数单调性求参数的取值范围； (2)比较大小或解不等式．(1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ． 因为函数f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x，函数在区间(1，＋∞)上单调递减，则f ′(x )≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k －1x≤0在区间(1，＋∞)上恒成立，故k ≤1x在区间(1，＋∞)上恒成立，因为在区间(1，＋∞)上0＜1x＜1，故k ≤0.(1)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间上恒成立列出不等式．②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题．③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．(2)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．(1)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(2)注意函数的单调区间与函数在某区间上具有单调性是不同的．角度一 已知函数单调性求参数的取值范围1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x －1，x ≤1log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2，3]． (2，3]角度二 比较大小或解不等式2．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞)B ．(8，9]C ．D ．(0，8)B 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f ≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x （x －8）≤9，解得8＜x ≤9., )——分类讨论思想研究函数的单调性已知函数f (x )＝(ax 2－x ＋a )e x，试讨论函数f (x )的单调性． 【解】 f ′(x )＝(x ＋1)(ax ＋a －1)e x.当a ＝0时，f ′(x )在(－∞，－1)上时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，－1)上单调递增；f ′(x )在(－1，＋∞)上时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．当a >0时，因为－1＋1a >－1，所以f (x )在(－∞，－1)和(－1＋1a，＋∞)上单调递增，在(－1，－1＋1a)上单调递减；当a <0时，因为－1＋1a <－1，所以f (x )在(－∞，－1＋1a)和(－1，＋∞)上单调递减，在(－1＋1a，－1)上单调递增．(1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2)本题求解中分a >0，a ＝0，a <0三种情况讨论．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2－(1＋a )x .求函数f (x )的单调区间．f ′(x )＝a x ＋x －(1＋a )＝x 2－（1＋a ）x ＋a x ＝（x －1）（x －a ）x.当a ≤0时，若0<x <1，则f ′(x )<0，若x >1，则f ′(x )>0，故此时函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，单调递增区间是(1，＋∞)；当0<a <1时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当a ＝1时，f ′(x )＝（x －1）2x≥0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当a >1时，同0<a <1时的解法，可得函数f (x )的单调递增区间是(0，1)，(a ，＋∞)，单调递减区间是(1，a )．, )1．函数f (x )＝e x－e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(－∞，1)D ．(1，＋∞)D 由题意知，f ′(x )＝e x－e ，令f ′(x )>0，解得x >1，故选D.2．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．若函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x 在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是( ) A ．(－∞，518]B ．(－∞，3]C ．[518，＋∞)D ． f ′(x )＝3x 2－2tx ＋3，由于f (x )在区间上单调递减，则有f ′(x )≤0在上恒成立，即3x 2－2tx ＋3≤0在上恒成立，则t ≥32(x ＋1x )在上恒成立，因为y ＝32(x ＋1x )在上单调递增，所以t ≥32(4＋14)＝518，故选C.4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的大小关系为( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5>f (1) A 因为f (x )＝x ·sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )．所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以此时函数是增函数．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，故选A. 5．(2017·郑州第一次质量预测) 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－3)＝f (5)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，且导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜1的解集是( )A ．(－3，0)B ．(－3，5)C ．(0，5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)B 依题意得，当x >0时，f ′(x )>0，f (x )是增函数；当x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数．又f (－3)＝f (5)＝1，因此不等式f (x )<1的解集是(－3，5)．6．已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为( )A ．a ≥11B ．a ≤11C ．a ≥418D ．a ≤418A f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.因为x ∈，所以a ≥9x ＋3x 2－1x 3.令1x＝t ，则当t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时，a ≥9t ＋3t 2－t 3.令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.所以h ′(t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．所以h ′(t )min ＝h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－34＋12＞0. 所以h (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数．所以a ≥h (1)＝11，故选A.7．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．对于函数y ＝12x 2－ln x ，易得其定义域为{x |x >0}，y ′＝x －1x ＝x 2－1x ，令x 2－1x<0，又x >0，所以x 2－1<0，解得0<x <1，即函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0，1)．(0，1)8．若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在上单调递减，则实数a 的值为________．因为f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4，所以f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，又函数f (x )恰在上单调递减， 所以－1，4是f ′(x )＝0的两根， 所以a ＝(－1)×4＝－4. －49．(2017·石家庄二中开学考试)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________．由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x＋2xln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.(1，2)10．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．(－3，0)∪(0，＋∞)11．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.(1)求b ，c 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．(1)f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝1，f ′（0）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，b ＝0. (2)由(1)得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内为单调增函数． ②当a >0时，由f ′(x )>0得，x >a 或x <0；由f ′(x )<0得0<x <a .即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )． ③当a <0时，由f ′(x )>0得，x >0或x <a ；由f ′(x )<0得，a <x <0.即函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，单调递减区间为(a ，0)．12．(2017·河北省衡水中学模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x e x，a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＝－1时，求证：f (x )在(0，＋∞)上为增函数．函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，f ′(x )＝x 3＋x 2＋ax －a x 2e x . (1)当a ＝0时，f (x )＝x ·e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x，所以f (1)＝e ，f ′(1)＝2e.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0. (2)证明：当a ＝－1时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x (x >0)． 设g (x )＝x 3＋x 2－x ＋1，则g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)>0，得x >13. 令g ′(x )＝(3x －1)(x ＋1)<0，得0<x <13. 所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞上是增函数， 所以函数g (x )在x ＝13处取得最小值， 且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2227>0. 所以g (x )在(0，＋∞)上恒大于零．于是，当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝x 3＋x 2－x ＋1x 2e x >0恒成立．所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数．13．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e x(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由． (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)e x，所以f′(x)＝(－2x＋2)e x＋(－x2＋2x)e x＝(－x2＋2)e x.令f′(x)>0，即(－x2＋2)e x>0，因为e x>0，所以－x2＋2>0，解得－2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对任意x∈R都成立．即e x≤0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≥0对任意x∈R都成立．所以Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故函数f(x)不可能在R上单调递减．若函数f(x)在R上单调递增，则f′(x)≥0对任意x∈R都成立，即e x≥0对任意x∈R都成立．因为e x>0，所以x2－(a－2)x－a≤0对任意x∈R都成立．而Δ＝(a－2)2＋4a＝a2＋4>0，故函数f(x)不可能在R上单调递增．综上可知函数f(x)不是R上的单调函数．。
一轮复习利用导数研究函数单调性
2.若典例中的函数变为f(x)=(a-1)ln x+ax2+1,a∈R, 试讨论f(x)的单调性.
a 1 【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= +2ax x 2ax 2 a 1 = . x
(1)当a≥1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.
3ax2+2bx+c=0有两个不同的正根,所以 c>0,- 2b >0,b<0.
3a c >0,所以 3a
2.已知函数f(x)=ln x+a(1-x),讨论f(x)的单调性. 【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= 1 -a.
x
若a≤0,则f′(x)>0恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
【解析】由题意得f′(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a>0),
2 2a 令f′(x)=0,解得x1=0,x2= . a
(1)当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和
2 2a ( , ), 单调递减区间为 (0, 2 2a ). a a
(2)当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增; (3)当a>1时,f(x)的单调递增区间为 ( , 2 2a ) 和 (0,+∞),单调递减区间为 ( 2 2a ,0).
(3)得出结论:f′(x)>0时为增函数,f′(x)<0时为减函 数. 提醒:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取 值对不等式解集的影响进行分类讨论.
高考数学一轮复习-用导数研究函数的单调性ppt课件
恒成立，即 ≥
恒成立，又 =
在 , +∞ 上单调递减，故
< ，所以
+
+
+
≥ ，当 = 时，导数不恒为0.故选D.
02
研考点 题型突破
题型一 不含参数的函数的单调性
典例1 函数y = xln x(
D )
A.是严格增函数
B.在
1
0,
e
上是严格增函数，在
1
, +∞
e
上是严格减函数
为 , .故选A.
（2）函数f x
[解析] 函数
或 =
2
x2
0,
= x 的增区间为________.
ln 2
2
⋅ − ⋅ ⋅
= ，则′ =
，当
.
.令′ = ，解得 =
∈ −∞, 时,′ < ,函数 单调递减，当 ∈ ,
（2）已知函数f x = ex − e−x − 2x + 1，则不等式f 2x − 3 >
3
, +∞
1的解集为_________.
2
[解析] = − − − + ，其定义域为，
∴ ′ = + − − ≥ ⋅ − − = ，当且仅当 = 时取“=”，∴ 在
在 a, b 上单调递减，则当x ∈ a, b 时，f′ x ≤ 0恒成立.
2.若函数f x 在 a, b 上存在增区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x > 0有解；若函数f x
在 a, b 上存在减区间，则当x ∈ a, b 时，f′ x < 0有解.
高考数学第一轮复习教案导数精选
高考数学第一轮复习教案导数复习目标1. 了解导数的概念,能利用导数定义求导数.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.在了解瞬时速度的根底上抽象出变化率的概念.2熟记根本导数公式,掌握两个函数四那么运算的求导法那么和复合函数的求导法那么,会求某些简单函数的导数,利能够用导数求单调区间,求一个函数的最大〔小〕值的问题,掌握导数的根本应用.3. 了解函数的和、差、积的求导法那么的推导,掌握两个函数的商的求导法那么.能正确运用函数的和、差、积的求导法那么及已有的导数公式求某些简单函数的导数^4. 了解复合函数的概念.会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合.掌握复合函数的求导法那么,并会用法那么解决一些简单问题 .三、根底知识梳理：导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具.在高中阶段对于导数的学习,主要是以下几个方面：1 .导数的常规问题：〔1〕刻画函数〔比初等方法精确细微〕；〔2〕同几何中切线联系〔导数方法可用于研究平面曲线的切线〕；〔3〕应用问题〔初等方法往往技巧性要求较高,而导数方法显得简便〕等关于n次多项式的导数问题属于较难类型.2 .关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论,导数法求最值要比初等方法快捷简便^3 .导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型,也是高考中考察综合水平的一个方向,应引起注意.4 .瞬时速度物理学习直线运动的速度时,涉及过瞬时速度的一些知识,物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻〔或某一位置〕的速度叫做瞬时速度,然后从实际测量速度出发,结合汽车速度仪的使用,对瞬时速度作了说明.物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述,有了极限工具后,本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度.5 .导数的定义导数定义与求导数的方法是本节的重点,推导导数运算法那么与某些导数公式时,都是以此为依据. 对导数的定义,我们应注意以下三点：(1) Ax是自变量x在X o处的增量(或改变量).(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念,如果△ x-O 时,—y有极限,那么函数y=f(x)在点x0处x可导或可微,才能得到f(x)在点x0处的导数.(3)如果函数y=f(x)在点x0处可导,那么函数y=f(x)在点x0处连续(由连续函数定义可知).反之不一定成立.例如函数y=|x|在点x=0处连续,但不可导.由导数定义求导数,是求导数的根本方法,必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量y f(x0x) f(x0);(2)求平均变化率一y ——x)—f-(x^)；(3)取极限,得导数f'(x0) lim —y .x x x 0 x6 .导数的几何意义函数y=f(x)在点x o处的导数,就是曲线y=(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率.由此,可以利用导数求曲线的切线方程.具体求法分两步：⑴求出函数y=f(x)在点x o处的导数,即曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线的斜率；(2)在切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为y y o f'(x o)(x x o)特别地,如果曲线y=f(x)在点P(x o, f (x o))处的切线平行于y轴,这时导数不存,根据切线定义,可得切线方程为x x o7 .导数与函数的单调性的关系㈠f (x) o与f(x)为增函数的关系.3f (x) 0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x) x在(,)上单调递增,但f (x) 0, f (x) 0是f(x)为增函数的充分不必要条件.㈡f (x) 0 时, f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.假设将f (x) 0的根作为分界点,由于规定 f (x) 0 ,即抠去了分界点,此时 f (x) 为增函数,就一定有f (x) 0.,当f (x) 0时,f (x) 0是f(x)为增函数的充分必要条件.㈢f (x) 0 与f (x) 为增函数的关系.f(x) 为增函数,一定可以推出 f (x) 0,但反之不一定,由于 f (x) 0,即为f (x) 0或f (x) 0 .当函数在某个区间内恒有 f (x) 0,那么f(x)为常数,函数不具有单调性..•. f (x) 0是f (x)为增函数的必要不充分条件.㈣单调区间的求解过程y f (x)( 1)分析y f (x) 的定义域；( 2)求导数y f (x)( 3)解不等式 f (x) 0,解集在定义域内的局部为增区间( 4)解不等式 f (x) 0 ,解集在定义域内的局部为减区间我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系,才能准确无误地判断函数的单调性. 以下以增函数为例作简单的分析,前提条件都是函数y f (x) 在某个区间内可导.㈤函数单调区间的合并函数单调区间的合并主要依据是函数f(x)在(a,b)单调递增,在(b,c)单调递增,又知函数在f(x) b处连续,因此f(x)在(a,c)单调递增.同理减区间的合并也是如此,即相邻区间的单调性相同, 且在公共点处函数连续,那么二区间就可以合并为以个区间.8 . y f (x) x [a , b](1)f (x) 0恒成立.. y 〞*)为(2,3上•••对任意x (a,b)不等式f(a) f(x) f(b) 恒成立(2) f (x) 0恒成立y f (x)在(a,b)上四、经典例题解析:2 - c(i)求a 和b 的值；(n)讨论 f(x)的单倜性；(出)设 g(x) - x 3 x 2,试比拟 3小.解：(I)由于 f (x) e x 1(2x x 2) 3ax 2 2bx xe x 1 (x 2) x(3ax 2b), 又x 2和x 1为f (x)的极值点,所以f ( 2) f(1) 0,因此6a 2b 0'解方程组得a Lb 1.3 3a 2b 0,3一. 1E)由于 a 3 b 1,所以 f(x)x(x 2)(e1),令 f (x) 0,解得 x 12 , x 2 0 , x 31 .由于当 x (, 2) U(01)时,f (x)当x ( 2,0)U(1,)时,f (x) 0.所以f(x)在(2,0)和(1,)上是单调递增的； 在(,2)和(0,1)上是单调递减的.2 x 113 2 2 x 1 3 2 . x 1(出)由(I)可知 f (x) x e - x x ,故 f (x) g(x) x e x x (e 3 ....................................... - ...........人 x 1 x 1金_h(x) ex,…那么 h (x) e 1 .令 h (x) 0 ,得 x 1 ,由于x ,1时,h (x) 0 0,所以h(x)在x ,1上单调递减.故 x,1 时,h(x)> h(1) 0；由于 x 1,时,h(x)>0,所以h(x)在x 1,上单调递增.故x 1, 时,h(x) > h(1) 0.所以对任意x (,),恒有h(x) > 0 ,又x 2 2 0 ,对任意x (a ,b)不等式f(a)f (x) f(b)恒成立例1设函数f(x)2 x 1 3.2x e ax bx , x2和x 1为f(x)的极值点.f (x)与g(x)的大0；x)说明：此题主要考查函数的极值及利用导数解决函数单调性问题,另外利用导数证实不等式也是高考不科 无视的考查方向.所以,当b 2时,函数f(x)在(,b 1)上单调递减,在(b 1,1)上单调递增, 在(1,)上单调递减.当b 2时,函数f(x)在(,1)上单调递减,在(1, b 1)上单调递增,在(b 1,)上单调递减., r , 2 ~ 一., .................. ...............................当b 1 1,即b 2时,f(x)所以函数f (x)在(,1)上单调递减,在(1,)上单调递减.x 1a例3.函数f x x — b x 0 ,其中a,b R .x(i)假设曲线 y f x 在点P 2, f 2处的切线方程为y 3x 1,求函数f x 的解析式； (n)讨论函数 f x 的单调性；因此f(x) g(x) > 0 ,故对任意x (),恒有 f (x) > g(x).例2.函数f(x )2( x 1)2 解：f (x)- ---- -令 f (x) 0,得 x b 当b 1 1,即b 2时,当b 1 1 ,即b 2时------ ,求导函数 f (x),并确£ (x1)2(2x b) 2(x 1) 2x 2b (x 1)4(x 1)31 .,f (x)的变化情况如下表：x (, b 1) b 1f (x),f (x)的变化情况如下表：x (,1) (1, b 1)f (x)三f(x)的单调区间.22[x (b 1)] 3(b 11)(1,)b 1 (b 1,)从而得b 7,所以满足条件的b 的取值范围是(,7］. 44说明：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等根底知识,考查运算能 力、综合分析和解决问题的水平.t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年数据,某水库1(出)右对于任息的 a — ,2 ,不等式f x2.110在一1上恒成乂, 4求b 的取值范围a解：(I) f (x) 1 一,由导数的几何意义得 f (2) 3,于是a 8. x 由切点P(2, f(2))在直线y 3x 1上可得 2 b 7,解得b 9.所以函数f(x)的解析式为f(x) x - 9. xa(n) f (x) 1 —. x当a 0时,显然f (x) 0(x 0) .这时f(x)在(,0), (0,)内是增函数. 当a 0时,令f (x) 0,解得x B当x 变化时,f (x), f (x)的变化情况如下表:x (, a) 、,a (、.a,0) (0, ■ a)、.a (、. a,)f (x) + 0f (x)/ 极大值 \\ 极小值所以f (x)在(Va) , (ja,)内是增函数,在(ja,0) , (0, Va)内是减函数.(m)由(n)知,,1 ,,…,,… f (x)在［一 1］上的最大值为1 -f(一)与f (1)中的较大者,对于任意的 41 … a [-,2],不等2 1 一 , ,一」式f (x) 10在［1,1］上恒成立,当且仅当,1f(1) 10 即 b 4 5即 f(1) 10 b39 , 4a 一一,, 4 ,对任息的a 9 a1~ [-,2]成立. 2例4.水库的蓄水量随时间而变化,现用的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)= ( t2 14t 40)e450,0 t 10,4(t 10)(3t 41) 50,10 t 12(I)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i—1vtvi表示第i月份(i=1,2, (12),问一年内哪几个月份是枯水期？(n )求一年内该水库的最大蓄水量(取e=2.7计算).…,、…,?…,2 ,1t解：(I)①当0V t 10 时,V(t)=( — t+14t —40) e450 50,化简得t2—14t+40>0,解得t V 4,或t > 10,又0V t 10,故0V tv 4.②当10V t 12 时,V (t) =4 (t—10) (3t —41) +50V 50,41化简彳#(t—10) (3t —41) v 0,解得10vt v —,又10V t 12,故10V t 12.3综合得0v t <4,或10<t 12,故知枯水期为1月,2月,3月,4月,11月,12月共6个月.(n )由(I )知：V(t)的最大值只能在(4, 10)内到达.1t一 3 11t8),由V (t) =e4( -t23t 4) -e4 (t2)(t4 2 4令V (t)=0,解得t=8(t= -2 舍去).当t变化时,V' (t)与V( t)的变化情况如下表:(4,8) (8,10)V' (t)Mt) 极大值由上表,V(t)在t = 8时取得最大值V8) =8e2+50- 108.32(亿立方米).故知一年内该水库白最大蓄水量是108.32亿立方米说明：本小题主要考查函数、导数和不等式等根本知识,考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际 问题水平........ kx 1例5.函数f(x) f (c 0且c 1, k R )恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是 x c x c.(I)求函数f(x)的另一个极值点；(n)求函数f(x)的极大值M 和极小值m ,并求M m>1时k 的取值范围.-22k(x c) 2x(kx 1) kx 2x ck解：(I) f (x) — ----------------- 2 ----- 2 ------ -------- 2 -----2一,由题意知 f ( c) 0 ,(x c) (x c)2.即得 c k 2c ck 0, (*)Qc 0, k 0., … 2 rr2 (n)由(*)式得 k ---------------- ,即 c 1 -.c 1k当 c 1时,k 0；当 0 c 1时,k 2.M m- k2 1 -"恒成立.综上可知,所求 k 的取值范围为(,2)U[J2,).由 f (x) 0得 kx 22x ck 0,由韦达定理知另一个极值点为(i)当 k 0时,f(x)在(,c)和(1,)内是减函数,在(c,1)内是增函数. k 1 k f ⑴.2 °, m f( c)kc 1 k 22~~cc 2(k 2)k 22(k 2)0,解得(ii )当 k 2 时,f(x)在(,c)和(1,)内是增函数,在(c,1)内是减函数.f( c)k 2 2(k 2)kf (1) — 02求证以下不等式(1)2xx ——ln( 1 x) x2 2(1 x)x (0,(2)2x ,一、sin x ——x (0 ,—) 2(3) x sin x tanx x (0, 一)2证实: f (x) ln(1 x) (x2-)2f(0) 0x2 1------- 0x 1f(x)为(0, )上x (0, f(x) 0 恒成立••• ln(12 x x) x —2g(x) --------- ln( 12(1 x)x) g(0)g (x)4x24x 2x21 -------------- 2-4(1 x)22x24(1g(x)在(0 , )上x (0,2(1 x)ln(1 x) 0恒成立(2)原式sin x令f (x) sin x/xx (0,2) cosx x tanx•• f (x)cosx(x tanx)(0；f(x) 0 (0,-)• sin x2x(3)令f(x) tanx 2x sin x f(0)f (x) sec2 x 八(1 cosx)(cos x2 cosx ----------------- --- 2-cos xsin2 x)x (0,-) f (x) 0 (0,-)2 2tanx x x sin x说明：利用导数证实不等式这一局部内容不可无视,它本质是还是考查利用导数研究函数的单调性及最值问题.五、强化跟踪：x 0x1 .设函数f(x)在*0处可导,那么lim f(x0 x)f(x0)等于A f'(x.)B . f'( x0)C , f'( x0)D . f( x0)f(x0 2 x) f(x.)2.右lim ------------------------------ 1 ,那么f (x0)等于( )x 0 3 xA. 2 B .3 C . 3 D . 23 23 .曲线y x3 3x上切线平行于x轴的点的坐标是( )A (-1,2)B , (1,-2)C . (1,2)D . ( -1 , 2)或(1 , -2 )4 .假设函数f(x)的导数为f ' (x)=-sinx ,那么函数图像在点(4, f (4))处的切线的倾斜角为()A 90°B .0°C .锐角D .钝角5 .函数y 2x33x2 12x 5在［0 , 3］上的最大值、最小值分别是( )A. 5, —15B. 5,-4C. —4, —15D. 5, —16s6 . 一直线运动的物体,从时间t到t+ At时,物体的位移为△ s,那么lim ——为( )0 ttA从时间t至ij t+ At时,物体的平均速度 B.时间t时该物体的瞬时速度C.当时间为^ t时该物体的速度 D .从时间t到t+ At时位移的平均变化率7 .关于函数f(x)2x3 6x2 7 ,以下说法不正确的选项是A.在区间( ,0)内,f(x)为增函数B .在区间(0, 2)内,f(x)为减函数D.在区间( ,0)(2,)内,f(x)为增函数 8 .对任意x,有f'(x)4x 3, f(1)=-1 ,那么此函数为()4_4___4_4 一A f (x) xB . f(x) x 2C . f(x) x 1D . f(x) x 29 .函数y=2x 3-3x 2-12x+5在［0,3］上的最大值与最小值分别是()A.5 , -15B.5,4C.-4 , -15D.5 ,-1610 .设f(x)在X O 处可导,以下式子中与f'(x .)相等的是⑴ l …：(xo2x)；..f(X o X) f (X O X) lim -----------x 0 V11 . f ( x )是定义在区间［—c,c ］上的奇函数,其图象如下图：令 g (x)的表达正确的选项是()A.假设a <0,那么函数g ( x)的图象关于原点对称.B.假设a=-1, — 2<b<0,那么方程g (x) =0有大于2的实根.C.假设awo,b=2,那么方程g ( x) =0有两个实根D.假设a>1,b<2,那么方程g ( x) =0有三个实根12 .假设函数f(x)在点X O 处的导数存在,那么它所对应的曲线在点 13 .设f(x) x 1,那么它与x 轴交点处的切线的方程为 . x14 .设 f'(x 0)3,那么 limf(Xo h)-f(Xo 3h).h 0h15 .垂直于直线2x-6y+1=0 ,且与曲线y x 3 3x 2 5相切的直线的方程是⑶lx mf (X O 2 x) f (X Ox)(4)lx mf (X O x) f (X O 2 x)A (1) (2)B . (1) (3) C(2) (3) D (1) (2) (3) (4)C.在区间(2,)内,f(x)为增函数+b,那么以下关于函数(X O , f(X o ))处的切线方程是16 .曲线y17 . y=x 2e x 的单调递增区间是18 .曲线y 3]3x2—1在点(1,3/4)处的切线方程为1 ...............................19 . P 是抛物线y X 2上的点,假设过点 P 的切线方程与直线 y -x 1垂直,那么过P 点处的切线方程是220 .在抛物线y x 2上依次取两点,它们的横坐标分别为X 1 1, X 2 3,假设抛物线上过点 P 的切线与过这两点的割线平行,那么 P 点的坐标为 .21 .曲线f(x) x 3在点A 处的切线的斜率为 3,求该曲线在 A 点处的切线方程.22 .在抛物线y x 2上求一点P,使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为一.4__ x(x 0)23 .判断函数f(x) ')在x=0处是否可导.x(x 0)24 .求经过点(2, 0)且与曲线y 1相切的直线方程. x25 .曲线C 1 : y x 2与C 2： y (x 2)2 .直线l 与C 1、C 2«W,求直线l 的方程. 六.参考答案：1 — 5 CBDCA 6 —10 BDBAB 11 B 12 . y f (X O ) f'(X O )(X X O )1317. (-8,-2)与(0,+ oo) 18. x V2y 1 019 . 2x-y-1=020. ( 2, 4) 21 .由导数定义求得f'(x) 3x 2,y=2(x-1)或 y=2(x+1)14 . -6 153x+y+6=0 16令 3x 2 3 ,那么 x= ± 1.当x=1时,切点为(1,1),所以该曲线在(1, 1)处的切线方程为 y-1=3(x-1)即3x-y-2=0 ; 当x=-1时,那么切点坐标为(-1,-1),所以该曲线在(-1,-1)处的切线方程为 y+1=3(x+1)即3x- y+2=0.22.由导数定义得f' (x)=2x,设曲线上 P 点的坐标为(x 0,y 0),那么该点处切线的斜率为 k p 2x 0,根据2x .3limx 0y二•lim ——不存在.x 0x,函数f(x)在x=0处不可导.1lim --------------- x 0x 0(x 0x)夹角公式有2x o 3 解得x 01或x o由x 0得y 016, 一 八 1 1、 那么P (-1, 1)或 P(-,—).4 1623- limx 0limx 0f(0f(0)limx 0limx 0limx 0f(0 x) f(0)xlimx 024.可以验证点 (2, 0)不在曲线上,故设切点为P (x 0, y 0).由 y'|x x 0lim xxx .x 0xlim ------------- x ------ x 0x (x 0 x) x 01~~2, x 01 得所求直线方程为y y0 」2(x x o).X.由点(2, 0)在直线上,得x：y. 2 X o,再由P(X o,y.)在曲线上,得x.y. 1,联立可解得x0 1 , y01.所求直线方程为x+y-2=0.25.解：设l与G相切于点P(x1,x；),与C2相切于Q(x2,① 2)2).对C1 : y' 2x ,那么与C1相切于2 2点P的切线方程为y x1 2x1( x x1),即y 2x1x x1 . ①2对C2：y' 2(x 2),那么与C2相切于点Q的切线方程为y (x2 2) 2(x2 2)(x x2),即2y 2( x22)x x2 4. ②2x1 2M 2) x 0, x 2•••两切线重合,・•.12 2 2,解得1 ,或1 ,x；x2 4 x22; x20「•直线方程为y=0或y=4x-4.。
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
导数与函数的单调性(高三一轮复习)
例1 (1)(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数有( BD )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x－sin x
C．f(x)＝xex
D．f(x)＝ex－e－x
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究 (2)函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的大致图象是( A )
∞)，∴a≤2.又a＞0，∴0＜a≤2.
解法二：y′＝1－
a2 x2
，依题意知1－
a2 x2
≥0，即a2≤x2在x∈[2，＋∞)上恒成立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4，又a＞0，∴0＜a≤2.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
关键能力 互动探究
命题点1 不含参函数的单调性
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 6—
基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)≥0，则f(x)在此区间内单调递增．( ×) (2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函 数．( √ ) (3)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调 性．( √ )
— 16 —
思维点睛►
讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域． (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根． (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论 f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
第一轮复习14---导数与函数的单调性、极值、最值
1 - k e; k 2时，最小值为
1 2 1 0 a 1时，极大值- a a ln a, 极小值 - ； 2 2 a 1时，无极值； 1 1 2 a 1时，极大值- , 极小值 - a a ln a。 2 2
极值最值 已知函数f x ax2 1a 0 , g x x 3 bx. 当a 3, b 9时，若函数f x g x 在区间 k ,2上的最大值为28，求k的取值范围。
含参数的单调区间
1 3 设函数f x x 1 a x 2 4ax 24a, 3 其中常数a R, 求f x 的单调区间。
含参数的单调区间
已知函数f x e a R，减区间为 。
ln a,，减区间为 , ln a。 a 0时，增区间为
求最值： 求出极值，与端点值比 较。
极值最值
e 设f x , 其中a为正实数. 2 1 ax 4 若a , 求f x 的极值点。 3
3 1 x1 是极小值点， x2 是极大值点。 2 2
x
极值最值
1 2 设a 0,函数f x x a 1x a1 ln x . 2 求函数f x 的极值。
'
是减少的。该区间为函 数的减区间。
单调区间
1 3 设函数f x x 1 a x 2 4ax 24a, 3 其中常数a 1, 求f x 的单调减区间。
2,2a
含参数的单调区间--界点讨论法
界点选取原则： 1，开口 2，△ 3，根的大小 4，根与定义域的关系
单调性下的取值范围
y f x 是区间上的增函数 y f x 是区间上的减函数 f x 0在区间上恒成立。
导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习
解析 ,且，则 . 当时，，则在 上单调递增. 当时， ， ①当时，，所以的单调递减区间为 ； ②当时，，所以的单调递增区间为 . 综上所述，当时，的单调递增区间为 ，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 .
考点三 导数与函数单调性的应用［多维探究］
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，导数与函数的单调性是高考常考内容，试题难度中等及以上.命题热点为含有参数的函数的单调性问题，涉及分类讨论的数学思想.预计2025年高考命题情况不变
Hale Waihona Puke 基础知识·诊断函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数 在区间 上可导
在区间 上①__________
在区间 上②__________
，
解析 因为 ，所以 ，令,解得或 ，故的单调递增区间为， .
4.（人教A版选修②P87 · 例3改编）已知函数在 上单调递增，则实数 的取值范围为__________.
解析 因为 ，所以，因为在 上单调递增，所以恒成立，所以，解得 ，所以实数的取值范围为 .
题组3 走向高考
5.（2023 · 新高考Ⅱ卷）已知函数在区间上单调递增，则实数 的最小值为( ) .
在区间 上是③__________
单调递增
单调递减
常数函数
1. 若函数在上单调递增，则当时，恒成立；若函数 在上单调递减，则当时， 恒成立.2. 若函数在上存在单调递增区间，则当时， 有解；若函 数在上存在单调递减区间，则当时， 有解.
3. 研究函数的单调性，要坚持“定义域优先”原则.
导数与函数的单调性
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
第4章+第2讲+导数与函数的单调性2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
解析
23a≠0， (2)若f(x)在(2,3)上不单调，则有2<23a<3， 可得3<a<92.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 利用导数研究函数(不含参)的单调性
例1 (1)函数y＝4x2＋1x的单调递增区间为(
解 因为f(x)＝x(1－ln x)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ ln x＋x·－1x＝－ln x.
当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0. 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
解
(3)(2021·上饶二模)已知函数f(x)＝2exsinx(e是自然对数的底数)，求f(x) 的单调区间．
解
(ⅱ)当a<
1 3
时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝
1－
1－3a
3
，
1＋ 1－3a
x2＝
3
，
令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；
令f′(x)<0，则x1<x<x2.
所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)
上单调递增．
综上，当a≥13时，f(x)在R上单调递增；
方法二：
当方程f′(x)＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′(x)＝0，求出 实数根，把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大 的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′(x)在各个区间内的 符号，从而确定单调区间．
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 导数的应用(Ⅰ)
解 (1)由已知f′(x)=3 -a,x2 ∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f′(x)=3 -ax≥2 0在(-∞,+∞)上恒成立， 即a≤3 x在2 x∈R上恒成立. ∵3 x≥2 0,∴只需a≤0. 又a=0时，f′(x)=3 ≥x20,f(x)= -1在x3R上是增函数， ∴a≤0. (2)由f′(x)=3 -ax≤2 0在(-1,1)上恒成立，得a≥3 在x∈x2(-1,1)上恒成立. ∵-1＜x＜1,∴3 ＜3,∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)=x32 -a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0, 即f(x)在（-1,1）上为x减2 函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
学后反思 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便， 但应注意f′(x)>0 ［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条 件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应 是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区 间内都不恒等于0.这就是说， 函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时， 应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用 不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0， 若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0 ［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.
高考数学大一轮复习第三章导数及其应用2第2讲导数与函数的单调性课件文新人教A版
利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式 f′(x)＞0 或 f′(x)＜0 求出 单调区间． (2)当方程 f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，按实根把函数的 定义域划分区间，确定各区间 f′(x)的符号，从而确定单调区间． (3)当导函数的方程、不等式都不可解时，根据 f′(x)结构特征， 利用图象与性质确定 f′(x)的符号，从而确定单调区间． [提醒] 所求函数的单调区间不止一个时，这些区间之间不能 用“∪”及“或”连接，只能用“，”及“和”隔开．
1．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R，f′(x)＞
2，则 f(x)＞2x＋4 的解集为( )
A．(－1，1)
B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，＋∞)
解析：选 B.由 f(x)＞2x＋4，得 f(x)－2x－4＞0，设 F(x)＝f(x)
－2x－4，则 F′(x)＝f′(x)－2，因为 f′(x)＞2，所以 F′(x)＞0 在
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′(x)＞0.( ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则 f(x)在此区间内 没有单调性．( )
答案：(1)× (2)√
函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π)上的单调性是( )
2.由函数的单调性与导数的关系可得的结论 (1)函数 f(x)在(a，b)内可导，且 f′(x)在(a，b)任意子区间内都不 恒等于 0，当 x∈(a，b)时： f′(x)≥0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递增； f′(x)≤0⇔函数 f(x)在(a，b)上单调递减． (2)f′(x)＞0(<0)在(a，b)上成立是 f(x)在(a，b)上单调递增(减)的 充分条件． [提醒] 利用导数研究函数的单调性，要在定义域内讨论导数 的符号．
高考数学一轮复习第3章一元函数的导数及其应用2利用导数研究函数的单调性课件新人教版
π
π
-π,, 0,
____________.
2
2
由题意可知 f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.
令 f'(x)=xcos x>0,解得其在区间(-π,π)内的解集为
即 f(x)的单调递增区间为
π
-π,- 2
,
π
0, 2
.
π
-π,2
∪
π
0,
2
,
解题心得利用导数讨论函数单调性或求单调区间的方法
等,都需要考虑函数的单调性,所以也是高考必考知识.应用时,要注意函数
的定义域优先,准确求导变形,转化为导函数在某区间上的符号问题.常用
到分类讨论和数形结合的思想,对数学运算核心素养有一定的要求.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数,求a的取值范围.
解 (1)若a=1,则f(x)=3x-2x2+ln x的定义域为(0,+∞),
1
-42 +3+1
故 f'(x)= -4x+3=
=
-(4+1)(-1)
(x>0).
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,即函数f(x)=3x-2x2+ln x单调递增;
1
2
7
7
即 g(x)在区间[1,4]上单调递增,g(x)max=g(4)= − =- ,即 a≥- .
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导数与函数单调性
一、回顾： 将函数x x f y sin )('=的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是 ▲ （写出一个即可） 二、08~12年江苏数学命题研究及13年走势分析
2012年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A 级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B 级要求.
导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.
2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用
2009年03题考查 导数研究函数单调性
2010年14题考查 导数研究函数性质
2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义 2012年考查 导数研究函数零点
导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。
利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。
那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。
小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数. 三、知识点梳理： 函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；
如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.
注：①)('x f ＞0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有)('x f ＞0，有一个点例外即x =0时)('x f = 0，同样)('x f ＜0是f （x ）递减的充分非必要条件.
②一般地，如果)('x f 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增（或单调减）的. 经典体验：
1.【07广东12】函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 .
2.函数]1,0[11)(2
2
在x x x x x f -++-=
上的最小值是 . 3.函数2cos y x x =+在区间[0，2
1
]上的最大值是 . 经典讲练：
例：1.【2010·拉萨中学月考】函数)(x f y =在定义域（3,2
3
-
）内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)('x f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为__ ____ 2.【靖江六校2011一调】7.已知函数()y f x =在定义域3(,3)2
-上可导，()y f x =的图像如图，记()y f x =的导函数'()y f x =，则不等式'()0xf x ≤的解集是 __ _ ___.
例：2（2001年天津卷）0>a x x e
a
a e x f +
=
)(是
R 上的偶函数。
（I ）求a 的值；
（II ）证明)(x f 在),0(+∞上是增函数。
变式练习1.已知函数2
1()(1)ln ,12
f x x ax a x a =
-+->. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：若5a <，则对任意1212,(0,),x x x x ∈+∞≠ 2，有1212
()()
1f x f x x x ->--.
变式练习2求下列函数的最值. 1.1cos ,,222y x x x ππ⎡⎤=
-∈-⎢⎥⎣⎦
； 2.2
cos y x x =-，,22x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
例:3【2010黄冈中学】若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不．是单调函数，则实数k 的取值范围是 ▲ .
变式练习1【温州十校联合·理】22已知函数2
1()ln (4)2
f x x x a x =
++-(1,)+∞在上是增函数.（I ）求实数a 的取值范围； 所以.2≥a
变式练习2【2010·南京模拟】若函数()sin f x x a x =+在R 上递增，则实数a 的取值范围为 ▲ .
变式练习3【2007年江苏13】已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别
为,M m ，则M m -= ．32
变式练习4【2007江西9】设2
:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m ≥-，则p 是q 的 。
必要不充分条件
例4【兴化市戴南高级中学09模】19．已知函数ln ()x
f x x x
=- （1）求函数()f x 的最大值；
（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值； (3)试证明：对n N *
∀∈，不等式211ln n n
n n
++<恒成立．
变式练习【楚州中学10—11高二期末】20．已知函数)(,2sin )(2R b x b x x f ∈-+=，且对任意R x ∈，有()()f x f x -=. （1）求b ；
（2）已知x a x x f x g ln )1(2)()(+++=在区间（0，1）上为单调函数，求实数a 的取值范围.
（3）讨论函数k x f x x h --+=)(21)1ln()(2
的零点个数？(提示：22
2[ln(1)]'1x x x +=+)。