2020年高中数学人教A版必修二 圆与方程 练习21 Word版含答案

学业分层测评（二十一）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 D
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则()
A．a2＋b2＝0
B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0
D．a＝0，b＝0
【解析】由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
【答案】 B
3．(2016·湖南师大附中高一检测)圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是()
A．1 B．4
C．5 D．6
【解析】圆心(0,0)到M的距离|OM|＝32＋42＝5，所以所求最小值为5－1＝4.
【答案】 B
4．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【解析】 (－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，再由各象限内点的坐标的性质得解，D 正确．
【答案】 D
5．(2016·兰州高一检测)当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝5
B ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝5
C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝5
D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
【解析】 直线方程变为(x ＋1)a －x －y ＋1＝0.
由⎩⎨⎧ x ＋1＝0，－x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧
x ＝－1，y ＝2，∴C (－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5.
【答案】 C 二、填空题
6．若点P (5a ＋1,12a )在圆(x －1)2＋y 2＝1的外部，则a 的取值范围为________． 【解析】 ∵P 在圆外，∴(5a ＋1－1)2＋(12a )2>1,169a 2>1，a 2>1169，∴|a |>113，即a >113或a <－113.
【答案】 a >113或a <－1
13
7．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是________． 【解析】 圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离为
|1－1－2|
1＋1
＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋ 2.
【答案】 1＋ 2 三、解答题
8．已知圆C 过点A (4,7)，B (－3,6)，且圆心C 在直线l ：2x ＋y －5＝0上，求圆C 的方程.
【导学号：09960131】
【解】 法一：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， ∵A ，B ∈圆C ，C ∈l ，
∴⎩⎨⎧
(4－a )2＋(7－b )2＝r 2，
(－3－a )2＋(6－b )2＝r 2，2a ＋b －5＝0，
解得⎩⎨⎧
a ＝1，
b ＝3，
r ＝5.
故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.
法二：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，∵C ∈l ， ∴2a ＋b －5＝0，则b ＝5－2a ， ∴圆心为C (a,5－2a )． 由圆的定义得|AC |＝|BC |， 即(a －4)2＋(5－2a －7)2 ＝(a ＋3)2＋(5－2a －6)2.
解得a ＝1，从而b ＝3，即圆心为C (1,3)，半径r ＝|CA |＝(4－1)2＋(7－3)2＝5.
故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝25.
9．求圆⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －122＋(y ＋1)2＝54关于直线x －y ＋1＝0对称的圆的方程．
【解】 圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝54的圆心为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，－1，半径r ＝52.设所求圆的
圆心为(m ，n )，
∵它与⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，－1关于直线x －y ＋1＝0对称，
∵⎩⎪⎨⎪⎧
n ＋1
m －
12
×1＝－1，m ＋1
2
2－n －12＋1＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－2，n ＝3
2.
∴所求圆的圆心坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝52.
∴对称圆的方程是(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝5
4.
[能力提升]
10．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )
A ．2，1
2(4－5) B.12(4＋5)，1
2(4－5) C.5，4－ 5
D.12(5＋2)，1
2(5－2)
【解析】 点A (－1,0)，B (0,2)所在的直线方程为2x －y ＋2＝0，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线的距离为|2－0＋2|22＋(－1)2＝
45
5，又|AB |＝5，所以△P AB 面积的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455＋1＝12(4＋5)，最小值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫455－1＝1
2(4－5)，选B.
【答案】 B
11．设P (0,0)，Q (5,0)，R (0，－12)，求△PQR 的内切圆的方程和外接圆的方程.
【导学号：09960132】
【解】 |PQ |＝5，|PR |＝12，|QR |＝13， ∴|PQ |2＋|PR |2＝|QR |2，
∴△PQR 为直角三角形，且∠P 为直角， ∴内切圆的半径r 1＝5＋12－13
2＝2，
圆心为C 1(2，－2)．
∴内切圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4. ∵外接圆的半径r 2＝13
2， 圆心为C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，－6，
∴外接圆的方程为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －522
＋(y ＋6)2＝
1694.
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