图论模型在实际中的应用
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• 布线时电路只能沿直线或直角布线。 • 为避免线路相交，已布线方格做上封闭标
记，其他线路布线不允许穿过封闭区域。
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建模步骤的总结
• 模型的准备
– 提出问题，搜集数据。
• 模型的假设
– 根据实际情况，提出合理的假设简化问题。
• 模型的建立
– 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用 对象的内在规律和适当的数学工具，构造各 个量间的等式关系或其它数学结构。
建模步骤的总结
• 模型的分析与求解
– 已建立的模型是否有标准解法 – 转化成标准模型 – 对已有的标准解法修改，以适应模型的求解
• 模型的检验
– 灵敏性，鲁棒性
• 模型的应用
图论模型的引入
引例
现有6个人，任意两人之间或者相互 认识，或者相互不认识，证明这6个人中， 或者有3个人彼此都认识，或者有3个人 彼此不认识
•
以时间最短为例
模型的建立
• G=(V,E)
• 每个车站：G的顶点
• 每条公交线路相邻两点的连线：G的边
• 边的权重：耗费时间 点的权重：换乘时间
• 并不是一个简单图，两点间可能有多条边
7 a
c 9
5
3
b(8)
与经典最短路径问题比较
• 考虑a经过b到c的最短路径 • 由于有换乘的情况，只记录任意两点间的
数学建模
雷涛 罗睿辞 王尧 汪瑜婧
数学建模的定义
• 目前还没有统一的定义 • 数学模型是为一种特殊目的而建立
的一个抽象的、简化的结构。 • 描述现实世界的一部分特征 • 表现事物之间的一部分客观联系
数学模型的分类
• 微分方程模型 • 差分方程模型 • 层次分析模型 • 线性规划模型 • 动态规划模型 • 图论模型 • 其它模型
主要内容
• 建模的方法和步骤 ——汪瑜婧
• 图论模型的建立
——罗睿辞
• 图论模型的选择和关系的简化
——雷涛
• 其它数学模型举例
——王尧
建模的方法和步骤
• 模型准备 • 模型假设 • 模型的建立 • 模型求解与分析 • 模型检验 • 模型应用
问题的提出
• 2007CUMCM B题 乘公交，看奥运 • 给定若干条公交线路，以及在每条公交线
最短路径是不够的。 • 并非一个标准的图论模型
7 a
c 6
5
3
b(8)
Min(a,b)=5 Min(b,c)=3 Min(a,c)=5+6=11
转化成标准的图论模型
• 每条公交线路抽象 为一层
• 层与层之间相连的 顶点均代表同一个 车站
• 它们之间的边(虚 线)的权值为换乘 花费的时间
•
调用M*M次Dijkstra算法才能得到最优解
路中任意相邻的两站之间所花费的时间。 • 并且给定乘客在任意站点换乘的耗时 • 要求给出任意两公汽站点之间线路选择问
题的一般数学模型与算法，求出最佳的公 交线路.
模型的假设
• 对”最优”的理解有三个具有代表性的指标：
• 时间最短
• 花费最少
• 最方便（换乘次数最少）
• 不同的人群对最优的理解不同,需要根据实 际定义.可以根据需要定义代价函数,三个指 标的权重不同,代价值也不同。
算法的总结
• 关键在于如何解决换乘的耗时 • 扩展节点的策略与经典算法不同 • 算法实际用到了分支界限法的思想 • 类似于回溯法，但是求解的目标不同。 • 目标：找到使目标函数取极值的解。
分支界限法思想
• 以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树
• 从一个点开始，每次以一定的策略扩展 一些结点。每一个活结点一旦成为扩展 结点，就一次性产生其所有子结点，并 从活节点中移除。在产生 的子结点中， 导致不可行解或导致非最优解的子结点 被舍弃，其余的加入活结点表中。
• 取堆顶,对此定点,逐一枚举所有不用换乘 就能到达的顶点,更新堆中对应点的标志信 息.
• 不断重复取堆顶的过程,直到取出的顶点为 最终目标T
•
Time(T)即为所求
举例说明算法步骤
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考虑顶点b到顶点g的路径 e
8
3 f
g2 15
11
问题重述
• 加入步行的因素,即任意两个车站之间人都 可能通过步行到达,并给出步行的时间代价.
20
7 a
5
c 加入步行的路径
6
并给定权值
• 由于每两点之间均有步行路径,每次扩展都将涉及 到所有顶点,复杂度增加不少
• 改进的办法
– 预处理 找到两个相邻顶点之间路径的最小值, 如果它加上两个顶点的权值之后后,仍然小于一 些其它的路径,就可以将其它路径删除.这样至少 可以删除不少步行路径
– 考虑实际情况,可设定步行时间的上限.
•
M为公交线路的总数
7 a
c
Min(a,b)=5
6
Min(b,c)=3
5
3
b(8)
Min(a,c)=5+6=11
• 回顾上图
• 导致无法使用标准算法原因:
– Min(a,b)和Min(b,c)之间需要计算附加耗时 – 不用换车的线路成为最佳路径
• 改进的想法:一次性地处理不用换车的情况
模型的求解
选择扩展的节点
• 从活结点表中选择下一扩展结点可能有 不同的方式
• 队列式分支限界法：先入先出的原则 • 优先队列式分支限界法：选择优先级最
高的节点进行扩展 • 最大效益问题：最大值堆 • 最小耗费问题：最小值堆
一个简单的例子
• 印刷电路板将布线区域划分为n×m个方 格阵列
• 精确的电路板布线问题要求确定连接方格 a的中点到方格b的中点的最短布线方案。
• 标准算法: – 每次选择一个新顶点进行扩展 – 所有顶点扩展完毕即为最优解
• 修改后的算法 – 每次对一个顶点所能选择的所有公交线路扩 展 – 所有不用换乘就能到达的顶点均在一次中处 理 – 所有顶点扩展完毕即为最优解.
算法描述
• 一次将扩展出多个顶点,用最小值堆保存
• 初始: 起点对应的节点S入堆；并赋予标 志信息Time(S)=0
思路一
只有6个人，人数非常少，可以枚举任意两人 之间的关系，然后判断每一种情况是否符合 题意。如果所有情况都满足，则命题成立。
虽然只有6个人，但是这样做的时间复杂度可 不低，枚举次数为215 只能借助计算机了。。。
记，其他线路布线不允许穿过封闭区域。
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建模步骤的总结
• 模型的准备
– 提出问题，搜集数据。
• 模型的假设
– 根据实际情况，提出合理的假设简化问题。
• 模型的建立
– 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用 对象的内在规律和适当的数学工具，构造各 个量间的等式关系或其它数学结构。
建模步骤的总结
• 模型的分析与求解
– 已建立的模型是否有标准解法 – 转化成标准模型 – 对已有的标准解法修改，以适应模型的求解
• 模型的检验
– 灵敏性，鲁棒性
• 模型的应用
图论模型的引入
引例
现有6个人，任意两人之间或者相互 认识，或者相互不认识，证明这6个人中， 或者有3个人彼此都认识，或者有3个人 彼此不认识
•
以时间最短为例
模型的建立
• G=(V,E)
• 每个车站：G的顶点
• 每条公交线路相邻两点的连线：G的边
• 边的权重：耗费时间 点的权重：换乘时间
• 并不是一个简单图，两点间可能有多条边
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与经典最短路径问题比较
• 考虑a经过b到c的最短路径 • 由于有换乘的情况，只记录任意两点间的
数学建模
雷涛 罗睿辞 王尧 汪瑜婧
数学建模的定义
• 目前还没有统一的定义 • 数学模型是为一种特殊目的而建立
的一个抽象的、简化的结构。 • 描述现实世界的一部分特征 • 表现事物之间的一部分客观联系
数学模型的分类
• 微分方程模型 • 差分方程模型 • 层次分析模型 • 线性规划模型 • 动态规划模型 • 图论模型 • 其它模型
主要内容
• 建模的方法和步骤 ——汪瑜婧
• 图论模型的建立
——罗睿辞
• 图论模型的选择和关系的简化
——雷涛
• 其它数学模型举例
——王尧
建模的方法和步骤
• 模型准备 • 模型假设 • 模型的建立 • 模型求解与分析 • 模型检验 • 模型应用
问题的提出
• 2007CUMCM B题 乘公交，看奥运 • 给定若干条公交线路，以及在每条公交线
最短路径是不够的。 • 并非一个标准的图论模型
7 a
c 6
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b(8)
Min(a,b)=5 Min(b,c)=3 Min(a,c)=5+6=11
转化成标准的图论模型
• 每条公交线路抽象 为一层
• 层与层之间相连的 顶点均代表同一个 车站
• 它们之间的边(虚 线)的权值为换乘 花费的时间
•
调用M*M次Dijkstra算法才能得到最优解
路中任意相邻的两站之间所花费的时间。 • 并且给定乘客在任意站点换乘的耗时 • 要求给出任意两公汽站点之间线路选择问
题的一般数学模型与算法，求出最佳的公 交线路.
模型的假设
• 对”最优”的理解有三个具有代表性的指标：
• 时间最短
• 花费最少
• 最方便（换乘次数最少）
• 不同的人群对最优的理解不同,需要根据实 际定义.可以根据需要定义代价函数,三个指 标的权重不同,代价值也不同。
算法的总结
• 关键在于如何解决换乘的耗时 • 扩展节点的策略与经典算法不同 • 算法实际用到了分支界限法的思想 • 类似于回溯法，但是求解的目标不同。 • 目标：找到使目标函数取极值的解。
分支界限法思想
• 以广度优先或以最小耗费（最大效益） 优先的方式搜索问题的解空间树
• 从一个点开始，每次以一定的策略扩展 一些结点。每一个活结点一旦成为扩展 结点，就一次性产生其所有子结点，并 从活节点中移除。在产生 的子结点中， 导致不可行解或导致非最优解的子结点 被舍弃，其余的加入活结点表中。
• 取堆顶,对此定点,逐一枚举所有不用换乘 就能到达的顶点,更新堆中对应点的标志信 息.
• 不断重复取堆顶的过程,直到取出的顶点为 最终目标T
•
Time(T)即为所求
举例说明算法步骤
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考虑顶点b到顶点g的路径 e
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问题重述
• 加入步行的因素,即任意两个车站之间人都 可能通过步行到达,并给出步行的时间代价.
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c 加入步行的路径
6
并给定权值
• 由于每两点之间均有步行路径,每次扩展都将涉及 到所有顶点,复杂度增加不少
• 改进的办法
– 预处理 找到两个相邻顶点之间路径的最小值, 如果它加上两个顶点的权值之后后,仍然小于一 些其它的路径,就可以将其它路径删除.这样至少 可以删除不少步行路径
– 考虑实际情况,可设定步行时间的上限.
•
M为公交线路的总数
7 a
c
Min(a,b)=5
6
Min(b,c)=3
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b(8)
Min(a,c)=5+6=11
• 回顾上图
• 导致无法使用标准算法原因:
– Min(a,b)和Min(b,c)之间需要计算附加耗时 – 不用换车的线路成为最佳路径
• 改进的想法:一次性地处理不用换车的情况
模型的求解
选择扩展的节点
• 从活结点表中选择下一扩展结点可能有 不同的方式
• 队列式分支限界法：先入先出的原则 • 优先队列式分支限界法：选择优先级最
高的节点进行扩展 • 最大效益问题：最大值堆 • 最小耗费问题：最小值堆
一个简单的例子
• 印刷电路板将布线区域划分为n×m个方 格阵列
• 精确的电路板布线问题要求确定连接方格 a的中点到方格b的中点的最短布线方案。
• 标准算法: – 每次选择一个新顶点进行扩展 – 所有顶点扩展完毕即为最优解
• 修改后的算法 – 每次对一个顶点所能选择的所有公交线路扩 展 – 所有不用换乘就能到达的顶点均在一次中处 理 – 所有顶点扩展完毕即为最优解.
算法描述
• 一次将扩展出多个顶点,用最小值堆保存
• 初始: 起点对应的节点S入堆；并赋予标 志信息Time(S)=0
思路一
只有6个人，人数非常少，可以枚举任意两人 之间的关系，然后判断每一种情况是否符合 题意。如果所有情况都满足，则命题成立。
虽然只有6个人，但是这样做的时间复杂度可 不低，枚举次数为215 只能借助计算机了。。。